(完整)(用一)整式的乘法(知识点+例题),推荐文档

整式的乘除与因式分解复习

一、整式的乘法

1．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：m n m n a a a

+⋅=（m ，n 都是正整数）。

例1：计算 （1）821010⨯；（2）23x x ⋅-（-）（）；（3）n 2n 1n a

a a a ++⋅⋅⋅（4）()()103x x -⨯-=；（5）322(3)---⨯-

（6）23132--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭

= 。 例2：计算 （1）35b 2b 2b 2+⋅+⋅+（）（）（）；（2）

23

x 2y y x -⋅（）（2-） 例3：已知x 22m +=，用含m 的代数式表示x 2。 例4已知2a x =，3b x =，求23a b x -的值。

例5已知36m =，92n =，求2413

m n --的值。 1整式的除法运算

例：()()()32101036a a a a -÷-÷-÷ = 。

例2：已知32214369

m n a b a b b ÷=，则m 、n 的取值为（ ） A 、 4,3m n == B 、4,1m n == C 、1,3m n == D 、2,3m n ==

例3若5320x y --=，则531010x y ÷=_________。

例4若3129

327m m +÷=，则m =__________。

2．幂的乘方（重点）幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如

53a （）是三个5a 相乘，读作a 的五次幂的三次方。 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即

m n mn a a =（）（m ，n 都是正整数）。 例4：计算

（1）m 2a （）；（2）()4

3m ⎡⎤-⎣⎦

；（3）3m 2a -（） 3．积的乘方（重点）积的乘方的意义：指底数是乘积形式的乘方。如：()()()()3

ab ab ab ab =⋅⋅ 积的乘方法则：积的乘方，等于把积得每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。如：

n n n ab a b ⋅（）= 例5：计算

（1）()()2332x x -⋅-；（2）()4xy -；（3）()3

233a b -

例6：已知a b

105,106==，求2a 3b 10+的值。 例7：计算（1）201120109910010099⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()315150.1252⨯

4．单项式与单项式相乘（重点）

法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式例含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

例8：计算

（1）2213ab a b 2abc 3⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭; (2) ()()n 1n 212x

y 3xy x z 2+⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭; (3) ()()32

221

6m n x y mn y x 3-⋅-⋅⋅- 5.单项式与多项式相乘（重点）

法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。用式子表示为

()m a b c ma mb mc ++=++（m ，a ，b ，c 都是单项式）

。 例9：计算

（1）22324xy x y 4xy y 233⎛⎫⎛⎫-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）2

243116mn 2mn mn 32⎛⎫⎛⎫⋅-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

题型一：整式乘法与逆向思维

若8a 7=，7b 8=，则56

56=___________（用含a ，b 的代数式表示） 例：已知：23a =，326b =，求3102

a b +的值；

题型二：解不等式或方程 求出使()()()()3x 23x 4x-2x 3+->+9成立的非负整数解。

题型四：整体变化求值

已知2x 5y 30+-=，求x y

432⋅的值。

题型五：整式乘法的综合应用

已知2x 3x 3++与2x 3x k -+的乘积中不含2x 项，求k 的值。 二、乘法公式

1．平方差公式（重点）

平方差公式：()()22

a b a b a b +-=- 即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。

例：下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？能用平方差公式计算的，写出计算结果。

（1）()()2a 3b 3b 2a --；（2）()()2a 3b 2a 3b -++；（3）()()2a 3b 2a 3b -+--；

（4）()()2a 3b 2a 3b +-；（5）()()2a 3b 2a 3b ---； （6）()()2a+3b 2a 3b --

2．完全平方公式（重点）

完全平方公式()()222222a b a 2ab b a b a 2ab b ⎧⎫+=++⎪⎪⎨⎬-=-+⎪⎪⎩⎭

即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积得2倍。

这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式

例10：化简

()2a 3b +（1）()()()()22

2x 3y 3m n 42x+32x 3-+----；（）；（）；（）。

例11：计算 221999922011（）；（）

3．添括号（难点）

法则：添括号时，如果括号前面是正号。括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

例12：按要求把多项式332

5a b 2ab 3ab 2b -+-添上括号：

（1） 把前两项括到前面带有“+”的括号里，后两项括到前面带有“-”的括号里；

（2） 把后三项括到前面带有“-”的括号里；

（3） 把四次项括到前面带有“+”的括号里，把二次项括到前面带有“-”的括号里。

例13：运用乘法公式计算： ()()()()()()()2

1a b c a b c 22x y 1y 12x 3x y z 42a 3b 112a 3b -++--+-+-++---（）；（）；（）；（）

题型一：乘法公式在解方程和不等式组中的应用

解方程：()()()()()()2x 12x 13x 2x 27x 1x 1+-+-+=+-

题型二：应用完全平方公式求值

设m+n=10，mn=24，求()2

22m n m n +-和的值。

题型三：巧用乘法公式简算

计算：（1）()()()24832121211++++； （2）9910110001⨯⨯

题型四：利用乘法公式证明

对任意整数n ，整式()()()()3n 13n 13n 3n +---+是不是10的倍数？为什么？

题型五：乘法公式在几何中的应用

已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足222a b c ab bc ac 0++---=，试判断△ABC 的形状。