第二章z变换

围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法
1、围数积分法求解（留数法）
若函数X(z)zn-1在围数C上连续，在C以内有K 个极点zk，而在C以外有M个极点zm，则有：
j Im[z]
x(n)
1
2j
c
X
( z ) z n1dz
C
Rx
0
Rx
Re[z]
Re s[ X (z)zn1]zzk k
or Re s[ X (z)zn1]zzm m
n0
j Im[z]
后式Roc: Rx z
当R x
Rx时，Roc :
Rx
0
Re[z]
Rx
当R x
R x
时，Roc
:
Rx
z
Rx
例1
[n]ZT 1,0 z
δ [n]zn 1 n
收敛域应是整个z的闭平面
例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域
解：X(z)= x(n)zn = RN (n)zn
n
1）有限长序列
x(n)
x(n) 0
n1 n n x(n)zn
n n1
Roc至少为： 0 z
j Im[z]
Re[z] 0
• 除0和∞两点是否收敛与n1和n2取值情况 有关外，整个z 平面均收敛。
X (z) x(n1)zn1 x(n1 1)z(n11) L x(1)z1 x(0)z0 x(1)z1 L x(n2 1)z(n21) x(n2 )zn2
j Im[z]
a
b 0
c
Re[z]
j Im[z]
a
b Re[z]
0 c
j Im[z]
a 0
b Re[z] c
j Im[z]
a
b 0
Re[z] c
§2.2 z反变换
z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
x(n) IZT[X (z)]
X (z) ZT [x(n)] x(n)zn
n
• 实质：求X(z)幂级数展开式 • z反变换的求解方法：
Roc : a < z 1/ a
j Im[z]
零点：z 0, 极点：z a,a1
a
Re[z]
0
1/ a
• 给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列， 只有同时给出收敛域才能唯一确定。
• X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：
– 右边序列的z变换收敛域一定在模最大 的有限极点所在圆之外
– 左边序列的z变换收敛域一定在模最小 的有限极点所在圆之内
n
n
N 1
=
zn
1 zN 1 z1
n0
zN 1 z N 1(z 1)
n2 qn qn1 qn2 1
n n1
1 q
n2 时须满足 q 1
j Im[z]
零点：z
e
j 2 r
N
r 1,..., N 1
Re[z]
极点：z 0 （N 1）阶
0
Roc : 0 z
例3：求x(n)=anu(n)的变换及其收敛域
3）左边序列
0
x(n)
x(n)
n n2 n n2
当n2 0时，Roc : 0 z Rx 当n2 0时，Roc : 0 z Rx
j Im[z]
Re[z]
0
Rx
n2 0
4）双边序列
n为任意值时皆有值
1
其z变换：X (z) x(n)zn x(n)zn
n
前式Roc: 0 z Rx
n
n
n
n0
= an zn an zn
n 1
n0
Q anzn
az
n 1
1 az
az 1 z 1/ a
Q
an zn
n0
1 1 az1
az1 1 z a
当 a 1时，无公共收敛域，X(z)不存在
当a
1时，X (z)
az 1 az
1
1 az
1
z(1 a2 ) (1 az)(z a)
解：X(z)= x(n)zn = anu(n)zn = an zn
n
n
n0
1
1 az
1
当 az1 1时
j Im[z]
Roc : z a 零点：z 0 极点：z a
a
Re[z]
0
例4：求x(n)=-anu(-n-1)的变换及其收敛域
解：X(z)= x(n)zn = anu(n 1)zn
n
n
= an zn = an zn
n 1
n1
当 a1z 1时 j Im[z]
a 1 z 1 a1z
1 1 az1
Roc : z a
a Re[z]
0
零点：z 0 极点：z a
例5：求x(n)=a|n|，a为实数，求ZT及其收敛域
1
解：X(z)= x(n)zn = a n zn = anzn anzn
当n1 0时，Roc : Rx z
•因果序列的z变换必在∞处收敛 •在∞处收敛的z变换，
其序列必为因果序列
阿贝尔定理 j Im[z]
Rx
0
Re[z]
n1 0 包括z 处
阿贝尔定理
若幂级数 an xn在x0 0收敛，则在 x x0 内都收敛 n0
若幂级数 an xn在x1发散，则幂级数在 x x1 都发散 n0
• 如果n2≤0 ，则收敛域不包括∞点
n1 0, n2 0时，0 z
如果n1≥0 ，则收敛域不包括0点
n1 0, n2 0时，0 z
如果n1<0<n2，收敛域不包括0 、∞点
n1 0, n2 0时，0 z
2）右边序列
x(n)
x(n)
0
n n1 n n1
当n1 0时，Roc : Rx z
一、ZT的定义
X (z) x(n)z n n
x(n) X (z), z : (1, 2)
z 是复变量，所在的复平面称为z平面
二、ZT的收敛域
• 对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z) 收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。
• 级数收敛的充要条件是满足绝对可和
x(n)zn M
Re s[F(z)]zzr [(z zr )F(z)]zzr
1、围数积分法求解（留数法）
根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域
Rx
z
R x
,
（R x
0,
R x
）内是解析的，则
在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即
而
X (z) Cn zn Rx z Rx
n
i Cn
第二章 z变换和DTFT
本章主要内容：
1、z变换的定义及收敛域 2、z变换的反变换 3、z变换的基本性质和定理 4、离散信号的DTFT 5、z变换与DTFT的关系 6、离散系统的z变换法描述
§2.1 z变换的定义及收敛域
信号和系统的分析方法有两种： ——时域分析方法 ——变换域分析方法
连续时间信号与系统 —— LT FT 离散时间信号与系统 —— ZT FT