矩阵的初等变换优秀课件
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矩阵的初等变换与初等矩阵52页PPT
行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标 准形．
第二章 矩阵的运算
14
例如，
1 0 1 0 4
A
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
c3 c4 c4c1c2
1 0
0 c 5 4 c 1 3 c 2 3 c 3 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 4 4
0 0 0
1 0 0
x1 1
B4
对应方程组为
x2
0
x 3 0
第二章 矩阵的运算
12
矩阵B3 和B4 都称为行阶梯形 . 矩阵 特点：
（1）、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零；
（2）、每个台 阶 只有一行，
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
A
0 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元．
A
r42r10
r2 r1
0 0
1 1 0
3 3 0
2 2 0
4 6 2
4 10 6
第二章 矩阵的运算
17
r3 r2
3 0
r4 r3
0 0
2 1 0 0
3 3 0 0
4 2 0 0
5 4 2 0
9
4 6 0
(行阶梯形矩 阵)
2 2×1
x1
2x2 x3 x2 2x3 0
1
3 1 x2 3x3 0
1
2 (B2 )
3
第二章 矩阵的运算
2
3 2
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第二章 矩阵的运算
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例如，
1 0 1 0 4
A
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3 3
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c3 c4 c4c1c2
1 0
0 c 5 4 c 1 3 c 2 3 c 3 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 4 4
0 0 0
1 0 0
x1 1
B4
对应方程组为
x2
0
x 3 0
第二章 矩阵的运算
12
矩阵B3 和B4 都称为行阶梯形 . 矩阵 特点：
（1）、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零；
（2）、每个台 阶 只有一行，
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
A
0 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元．
A
r42r10
r2 r1
0 0
1 1 0
3 3 0
2 2 0
4 6 2
4 10 6
第二章 矩阵的运算
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r3 r2
3 0
r4 r3
0 0
2 1 0 0
3 3 0 0
4 2 0 0
5 4 2 0
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(行阶梯形矩 阵)
2 2×1
x1
2x2 x3 x2 2x3 0
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3 1 x2 3x3 0
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第二章 矩阵的运算
2
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x1
(人大版)线性代数PPT课件：2.6 矩阵的初等变换
00 11 22
11 22 22
11 22
33
00 11 00
001001
001
0 1 0
1 2
2
1 2
7
0 1 2
001 001
0 1 0
0 0 2
5/2 5 7
1 1 2
1/ 211
1 0 1 例 3 求矩阵 A 2 1 0 的逆矩阵
3 2 5
解解
((AA
II33)
1 2 13
0 1 2
推论 如果A为n阶可逆矩阵 则DIn
2 1 2 3 例 1 求矩阵 A 4 1 3 5 的等价标准形
2 0 1 2
2 1 2 3 解 A 4 1 3 5
2 0 1 2
2 1 2 3 0 1 1 1
0 1 1 1
2 0 0 0 0 1 1 1
0 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1
0 1 2
1 0 5
1 0 0
0 1 0
001 001001
00 11 22
11 22 22
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00 11 00
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1 0 1 例 3 求矩阵 A 2 1 0 的逆矩阵
3 2 5
解解
((AA
II33)
1 2 13
0 1 2
1 0 5
1 0 0
0 1 0
001001001
(1)对I施以第(1)种初 I(i j(l))
等变换得到的矩阵
OM OM 1
j行
(2)对I施以第(2)种初 等变换得到的矩阵
O 1
定理22(初等矩阵的作用) 设Amn(aij)mn (1)对A的行施以一次某种初等变换得到的矩阵 等于用
初等变换与初等矩阵课件
0 0 0
3 0 0
2 0 0
1
0
0
1 0 0 0
c2
1 3
c3 2c2
c4 c2
0 0
1 0
0 0
0 0
I2 O
O O
，
0 0 0 0
最后一个分块矩阵称为矩阵C1的等价标准形矩阵， 简称标准形，分块矩阵的左上角的单位阵的阶数恰9
好等于行阶梯形（或行最简形）矩阵中非零行的行
1 0 2 0 0 1
0 2 3 1 0 1
1 0 2 0 0 1
1 0 2 0 0 1
r2 3r3
r1 r3
0
1
6
0
1
3
r3 2r2
0
1
6
0
1
3
0 2 3 1 0 1
0 0 9 1 2 5
1
r3
1 9
r2 6r3
0
r1 2r3
0
0 1 0
0 0 1
2
9 2 3 1 9
如果A是可逆矩阵，我们可以用初等行变换的方法
求A1B：
A1 A, B I, A1B ,
32
或用初等列变换的方法求BA1：
A
B
A1
I BA1
.
例2.27 求矩阵X，使AX B，其中
1 2 3 2 5
A
2
3
2 4
1 3
,
B
3 4
1 3
.
解 对分块矩阵 A, B施行初等行变换：
B
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
1 1 2
线性代数课件 矩阵的初等变换
第i列
第 j列
11
(2) 以数 k 0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。
以数k 0乘单位矩阵的第i行( ri k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
标准形矩阵
特点：左上角为一个单 位矩阵,其他位置上的元素全 都为 0 .
9
二、初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 1 0 0 r 4r 1 0 4 1 3 例如 E 0 1 0 ~ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
3
定义3 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作A ~ B．
等价关系的性质：
（1）自反性 A A；
（2）对称性 若 A B , 则 B A; （3）传递性 若 A B, B C, 则 A C.
4
行阶梯形矩阵：
特点： （1）可划出一 条阶梯线，线的 下方全为零； （2）每个台阶 只有一行，
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法演示精品PPT课件
返回15
互换两个方程的位置
16
返回
方程两边同乘以一个非零常数c
返回17
一个方程加上另一个方程的k倍
返回18
对调I中的两行（或两列）
对调I的两行
对调I的两列
返回19
非零数乘以I中的某行（或某列）
非零数乘以I的行
非零数乘以I的列
20
返回
某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）
返回21
初等矩阵左乘相当于行变换 初等矩阵右乘相当于列变换
7
变为阶梯型矩阵之后就得到了原方程组的同解方程组。
或
注意：在对矩阵进行初等变换时，只能进行行变换，不 能进行列变换！因为矩阵列变换对应的并不是线性方程 组的同解变换。
8
初等矩阵
定义：由单位矩阵I经过一次初等变换的矩阵称为初 等矩阵。 由于初等变换有三种类型，所以对应的初等矩阵就有 三种类型。 （1）对调I的两行（或两列）； （2）非零数乘以I中的某行（或某列）； （3）某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）。 初等矩阵都是可逆的，并且
则
Pt1 P21P11 A I
Pt1 P21P11I A1
上式表明，对矩阵A与I进行相同的行变换，
在把A化为方向组合成一个大矩阵，对
大矩阵进行行变换，在A部分成为I的时候，
原来的I部分就成为A的逆。
11
例题
设
，求
解：
12
小结
本节要求掌握内容 1. 矩阵初等变换的记号，初等矩阵的记号； 2. 初等矩阵的性质； 3. 用初等行变换求逆矩阵.
返回24
初等矩阵的性质
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆.
※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应 的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该 矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。
互换两个方程的位置
16
返回
方程两边同乘以一个非零常数c
返回17
一个方程加上另一个方程的k倍
返回18
对调I中的两行（或两列）
对调I的两行
对调I的两列
返回19
非零数乘以I中的某行（或某列）
非零数乘以I的行
非零数乘以I的列
20
返回
某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）
返回21
初等矩阵左乘相当于行变换 初等矩阵右乘相当于列变换
7
变为阶梯型矩阵之后就得到了原方程组的同解方程组。
或
注意：在对矩阵进行初等变换时，只能进行行变换，不 能进行列变换！因为矩阵列变换对应的并不是线性方程 组的同解变换。
8
初等矩阵
定义：由单位矩阵I经过一次初等变换的矩阵称为初 等矩阵。 由于初等变换有三种类型，所以对应的初等矩阵就有 三种类型。 （1）对调I的两行（或两列）； （2）非零数乘以I中的某行（或某列）； （3）某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）。 初等矩阵都是可逆的，并且
则
Pt1 P21P11 A I
Pt1 P21P11I A1
上式表明，对矩阵A与I进行相同的行变换，
在把A化为方向组合成一个大矩阵，对
大矩阵进行行变换，在A部分成为I的时候，
原来的I部分就成为A的逆。
11
例题
设
，求
解：
12
小结
本节要求掌握内容 1. 矩阵初等变换的记号，初等矩阵的记号； 2. 初等矩阵的性质； 3. 用初等行变换求逆矩阵.
返回24
初等矩阵的性质
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆.
※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应 的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该 矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。
经济数学课件 7-3矩阵的初等行变换
0 1
0 0
1 0
0 1
7 2 5 1
11
《经济数学基础》配套课件
1 0 0 2 0 1
1 0 0 2 0 1
0 0
1 0
0 7 1 5
2 1
11
0 0
10 01
7 5
2 1
11
2 0 1
所以
A 1
7
2
1
则
5 1 1
2 0 1 1 1 3 2
X
A 1 B
7
2 1 2
3 6 9
5 1 1 5 4 2 4
《经济数学基础》配套课件
三、矩阵的秩
定义7.3.4 利用初等行变换把矩阵A 化为阶梯形矩阵，若 阶梯形矩阵中非零行的行数为 r ，则称 r 为矩阵 A
的秩．记作r( A) r ．
例5 设矩阵
1 A 2
1 3
1 3
2 2
，求 r( A)
1 1 2 1
《经济数学基础》配套课件
1 解 因为 A 2
1
1 3 1
1 3 2
2 2 1
1 0 0
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1 1 1
2 21
1 1 1 2
1 1 1 2
0 0
1 2
1 1
01
0 0
1 0
1 3
01
所以 r(A) 3 ．
《经济数学基础》配套课件
第三节 矩阵的初等行变换
一、 矩阵的初等行变换 二、 逆矩阵的求法 三、 矩阵的秩
《经济数学基础》配套课件
一、 矩阵的初等行变换
定义7.3.1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
高中数学《矩阵及其初等变换》课件
0 3 1 2 01 3 0 1 2 2
注意: 在这个例子中 BA 无意义.
例2
A
a1
a2
,
B b1
b2
则
AB
a1b1
a2b1
a1b2 a2b2
,
BA
(b1a1
b2a2
)
注意: 在这个例子中,虽然 AB 与
BA 均有意义,但是AB 是 2×2 矩阵, 而BA是 1×1 矩阵.
第一章 矩阵及其初等变换
1
本章主要内容
1.1 矩阵及运算 1.2 向量与分块矩阵 1.3 初等变换与初等阵
2
1.1 矩阵的概念
1.1.1.矩阵的概念
1. 矩阵的定义
由 mn 个数排成的m行、n列的矩形数表
a11 a12
A
a21
a22
am1
am 2
称为阶数为 m n 的矩阵.
a1n
a2n
非齐次线性方程组的表示形式
a11 x1 a12 x2 (1)一般形式： a21x1 a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
(2) 矩阵形式： AX b 其中A (aij )mn , X ( x1, x2, b (b1, b2, , bm )T
a11
对角矩阵:
diag(a11,
ann
单位矩阵: E ,In 或 E n diag(1,1,
a11 a12
上三角矩阵:
a22
a1n
a2
n
ann
, ann )
,1)
a11
下三角矩阵:
a21
a22
【优】矩阵的初等变换(3)最全PPT资料
a11()
③ 矩阵的某一行（列）加另一行（列）的 倍，
如果
，则对于 可以重复上述过程，
A() 就相当于在 在的左边乘上相应的 的初等矩
a () 其中 与 都是首1多项式(
与i1
一、λ－矩阵的初等变换
中的全部元素都是可以被 除尽的，
都等价于下列形式的矩阵
a1j()
aij()
③ 对一个 的 ―矩阵 作一次初等行变换
若 还不能除尽 的全部元素，
中的全部元素都是可以被 除尽的，
因此在有限步以后，将终止于一个λ－矩阵 对 作一次初等列变换就相当于在 的右
（2） 与 等价 存在一系列初等矩阵
Bs( )
证：根据 中不能被 除尽的元素所在的
其中余式
，且
它的左上角元素 b()0 ，而且可以除尽 B ( ) ② 矩阵的某一行（列）乘以非零常数 c ；
除尽，这种情况的证明i)与类似.
iii) A ( )的第一行与第一列中的元素都可以被 a11 ( )
除尽，但 A ( ) 中有另一个元素 aij()(i1,j1)
被 a11 ( ) 除尽. 我们设 a i1 () a 1 1 ()().
对 A ( ) 作下述初等行变换:
故 为所求的矩阵.
由引理，又可以找到与 B1 ( ) 等价的 B2 ( ) ，且
B2 ( ) 左上角元素 b2()0， b 2 () b 1 ().
如此下去，将得到一系列彼此等价的λ－ 矩阵：
A () ,B 1 () ,B 2 () , .
它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低.
如此下去，但将得次到一数系列彼是此等非价的负λ－ 矩整阵：数，不可能无止境地降低.
2、说明
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43xx11
x1 x2 2x3 x4 6x2 2x3 2x4 6x2 9x3 7x4
4 4 9
(1)
(2) (3)
(4)
2 1 1 1 2
方程组的增广矩阵B
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
(1) (2) x1x22x3x44(1)r1 r211214
00 0 1 4 00 0 0 0
1 0 2 0 2 1 0 0 0 0
~00
1 0
1 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 1
3 4
~00
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
第二节 矩阵的秩
在m×n阶矩阵A中，任取k行与k列(k≤m， k ≤n)，位于这些行列交叉点处的k2个元素，不 改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行 列式，称为矩阵A的k阶子式。
(3)2
~
3x1 2 2 x1 x 6 1 x 2 3x x 2 29 x3 x x3 3 7x x x4 4 4 9 2 2(((4 3 2))) r3~ 22 2 3 63 1 19 1 1 719 2 2
(2 (3 )) 2( 2()1)x1x22x3x44 (1)r2 r3 2r 2r11121 4 (4) ~ 3(1) 2 3x 3 x2 2 x 2 2 3x 3 x3 3 x3 2 4x x x4 4 4 0 3 6(((2 3 4)))r4 ~ 3r0 0 0 3 2 3 2 33 4 2 1 06 3
(3)3(2)x1x22x3x44 (1)r33r211214
(4)3
~
x2x3 2x x x4 4 4 0 6 3(((3 2 4))) r4 ~ 30 0 01 0 0 0 011 1 2 06 3
(3)2(4)x1x22x3x44 (1)r32r411214
(4) (3) ~
显然，三种初等变换都是可逆的，且其变
换是同一类型的初等变换。变换ri↔rj的逆变换 就是本身；变换 rj×k 的逆变换为 rj÷k ；变换
ri+krj 的逆变换为ri k rj。
如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B，
称矩阵 A与 B是等价的，记为A～B 。
矩阵的等价关系有如下性质：
☞ 反身性： A～ A
x2x3x x0 4 4 0 0 3(((3 4 2)))r4 ~r30 0 01 0 0 0 011 1 0 0 03
x (1)(2)(3) 1 x3 4 (1)r1r2r310104
(2)(3) ~
x2x3 3 (2) x43(3) 00 (4)
r2r3
~
01103 00013 00000
2 3137r4r1 1 2024
解 ： A1 3 2 22 38 7 03 420 34rrr1 1 3 ~2 3rrr2 2 20 0 0 6 8 18 1 6
1 9 7
1 12 10
r38r2 r46r2
12
0
24
12 0 24
r2~(1)0010011141r4~r30010011141
(((3 33))) ~ (( (42 2))) x1 3x x2 2 x2 2 3x x x3 3 3 3x x x x4 4 4 4 0 4 6 9((((2 1 3 4))))
r3 r3 (r2 2)1121 4 r4~ r3 0 0 13 31 11 06
00 0 39
定义：下面三种变换称为矩阵的初等行变换： 1)交换两行(记为ri↔rj);
2)以数k 0乘某一行所有元素（记作rj×k）;
3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的对应元素 上去（记作ri+krj ）
把定义中和“行”换成“列”，即得矩阵的 初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成 “c”）。
矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩 阵的初等变换。
对称性： A～B ，则B ～ A
传递性： A～B， B ～ C，则A ～ C
在数学上，我们把满足上述三条性质的关 系称之为等价。
由前面的引例可以看出，同时也不难证明 对矩阵进行行的初等变换，可以把矩阵化为行 阶梯矩阵，进而可以化为行最简矩阵。
对行最简矩阵再施以列的初等变换，行最 简矩阵可变成一种形状更简单的矩阵，称它为 矩阵的标准形。矩阵标准形的特点是：其左上 角是一单位矩阵，其余元素全是零。可以证明， 任何一个m×n阶矩阵 A，都可以经过初等
矩阵的初等变换
§3.1 矩阵的初等变换 §3.2 矩阵的秩 §3.3 初等矩阵 §3.4 线性方程组的解
第一节
矩阵的初 等变换
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的 运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理 论的探讨中都可起到非常重要的作用。 引例：用消元法解下面的线性方程组
2x1 x2 x3 x4 2
变化化为标准形F。
F
Er 0
0 0mn
此标准形由m、n、r三个数完全确定，其中
r就是行阶梯矩阵中非零行的行数，所有与A等
价的矩阵组成了一个集合，这个集合称为一个
等价类，标准形F是这个等价类中形状最简单的
矩阵。
2 3 137 例1.把矩阵A1322803204化为行阶梯阵
237 4 3 和行最简阵，并求它的标准形。
m×n阶矩阵A中的k阶子式共有 Cmk Cnk 个。
设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D， 且所有r＋1阶子式(如果存在的话)全等于0， 那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为 矩阵的秩。记作R(A)。同时规定，零矩阵的秩 等于0。
(3)给某一方程乘以常数k加到另一个方程上去。
上述的三种操作又都是可逆的，因而变换前的 方程组与变换后的方程组是同解方程组。同时 还看到，上述变换过程中实际上只对方程组的 系数和常数进行运算，这就相当于是对该方程 组所对应的增广矩阵进行了： (1)给某一行所有元素都乘以一个非零常数； (2)交换两行元素的位置； (3)给某一行所有元素乘常数 k 加到另一行的 对应元素上去。
x x1 2 xx33 4 3 令 x3c， 即 方 程 组 的 解 为 ：
x43
x1 c4 1 4
x
xxx234
cc3 3
c11
3 0
0 3
在上述过程中，对线性方程组的消元操作实
际上就是对整个线性方程组进行了三种操作:
(1)对某一方程两边同时乘以不为零的常数；
(2)交换方程组中两个方程的位置；