第七章 无穷级数

第七章 无穷级数

本章有四个问题：

1． 数项级数敛散性；

2． 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域； 3． 求和函数；

4． 将函数展成麦克老林级数。

7.1数项级数敛散性的判别方法

一 基本概念

1. 级数收敛：令121

n

n n k

k s u u u u

==+++=∑ ，若lim n n s s →∞

=，则称级数

1

n

n u

∞

=∑收敛，

若不然，则称

1

n

n u

∞

=∑发散；

2．绝对收敛：若1

n

n u

∞

=∑收敛，则称

1

n

n u

∞

=∑为绝对收敛；

3. 条件收敛：若

1

n

n u

∞

=∑发散，而

1

n

n u

∞

=∑收敛，则称

1

n

n u

∞

=∑为条件收敛；

二 基本结论

1．级数

1

n

n u

∞

=∑收敛的必要条件lim 0n n u →∞

=。

2. 等比级数1

n

n aq

∞

=∑的公比的绝对值小于1时，级数收敛，其和等于1减公比分之首项。

3. p 级数

11

p

n n

∞

=∑，当1p >时，收敛；当1p ≤时，发散。 三 基本方法

1．正项级数敛散性的判别方法

（1）比较判别法：

一般形式：若n n u v ≤（n N >），则 若

1

n

n v

∞

=∑收敛，则

1

n

n u

∞

=∑收敛；若

1

n

n u

∞

=∑发散，则

1

n

n v

∞

=∑ 发散。

极限形式：如果0n v ≠，且 lim n

n n

u l v →∞=，

（I ）当0l <<∞时，则

1n

n u

∞

=∑和

1

n

n v

∞

=∑具有相同的敛散性。 （II ）当0l =时，则

1

n

n v

∞

=∑收敛，

1

n

n u

∞=∑也收敛。 （III ）当l =∞时，则

1

n

n u

∞

=∑发散，

1

n

n v

∞

=∑也发散。

（2）比值判别法：（适用于!n 或连乘）

1

1lim

11n n n

u u ρρρ+→∞<⎧⎪

=>⎨⎪=⎩

收敛

发散不确定 （3）根值判别法：（适用于n 次方根）

111n ρρρ<⎧⎪

=>⎨⎪=⎩

收敛

发散不确定 注 ()m P n 是关于n 的m 次多项式，m

是有限数，则1n =。例如

1n =。

（4）积分判别法：若()f x 是单调递减连续函数，()n f n u =，则1

n

n u

∞

=∑与

1

()f x dx

+∞

⎰

具有相同的敛散性。（数三不要求）

2 交错级数敛散性的判别方法：

莱布尼兹判别法：若交错级数

1

(1)(0)n

n

n n u

u ∞

=->∑满足

（1）单调递减，即1n n u u +≤；（2）极限为零，即1lim 0n n u +→∞

=， 则级数

1

(1)n

n

n u

∞

=-∑收敛。

3 任意项级数敛散性的判别方法

1．考虑级数1

n

n u

∞

=∑是否收敛，若收敛，则

1

n

n u

∞

=∑是绝对收敛。

2．若

1

n

n u

∞

=∑不收敛，把级数

1

n

n u

∞

=∑的一般项分解为n n

n u u u '''=+，分别讨论级数 1

n

n u ∞

='∑ 和 1

n

n u ∞

=''∑的敛散性。

例1 讨论下列正项级数的敛散性：

（1）12!n n n n n

∞

=∑； （2）12sin 3n

n n x ∞

=∑；

（3）1(1cos )n n π

∞

=-∑； （4）121n

n n n ∞

=⎛⎫

⎪+⎝⎭

∑； （6）21ln n n

n ∞

=∑； （7

）11n ∞=⎫⎪⎪⎭

∑；

（8）

1

11

(2)n

n

n e

e

∞

-

=+-∑； （9）11

(1)n

n n ∞

=-∑。

解（1）利用比值判别法