有限单元法期末重要知识点

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材料力学有限元法知识点总结

材料力学有限元法知识点总结材料力学是一门研究物质内部结构、性质和变形行为的学科，而有限元法则是一种在工程和科学领域中广泛应用的数值计算方法。

有限元法可以将一个复杂的实体划分为无数小的单元，通过对这些小单元进行分析和计算，最终得到整个实体的力学性质和行为。

本文将对材料力学有限元法的一些核心概念和知识点进行总结。

1. 有限元法基础概念有限元法基于将实际连续的物体离散为有限数量的单元，通过计算每个单元的受力、变形等性质，再通过组合这些单元的结果来近似整个物体的行为。

它包含以下几个基础概念：1.1 单元（Element）：有限元法中的基本组成单元，可以是一维的线段、二维的三角形或四边形，或三维的四面体、六面体等。

1.2 节点（Node）：单元的角点或边上的点，用于定义单元之间的连接关系和边界条件。

1.3 自由度（Degree of Freedom）：每个节点与力学性质相关的物理量，如位移、应力等。

根据问题的不同，在每个节点上可能有一个或多个自由度。

1.4 单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）：描述单元内部受力和变形关系的矩阵，在有限元法中通过组合所有单元的刚度矩阵来得到整个系统的刚度矩阵。

1.5 全局刚度矩阵（Global Stiffness Matrix）：由所有单元刚度矩阵组合而成的整个系统的刚度矩阵，用于计算节点的位移和应力。

2. 有限元法的数学原理有限元法的数学原理主要基于以下两个方面：2.1 变分原理（Variational Principle）：有限元法的数学基础是根据变分原理推导实现的。

它通过对结构的势能进行变分并进行最小化，得到满足结构力学行为和边界条件的位移和应力场。

2.2 加权残差法（Weighted Residuals Method）：有限元法通过将变分原理中的势能函数展开为一系列基函数的线性组合，并使用权重函数对残差进行加权求和的方式进行近似。

这样可以将求解连续问题转化为离散问题，进而进行数值计算。

有限元法及应用知识点总结

• 虚应力原理可以应用于线弹性以及非线性弹性等不同的力学问题。
• 但是必须指出，无论是虚位移原理还是虚应力原理，他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于小变形理论的，他们不能直接应用于基于大变形理论的力学问题。
4.最小位能原理和最小余能原理
• 明确：最小位能原理是建立在虚位移原理基础上的，而最小余能原理建立在虚应力原理基础上。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题
几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。
• 最小位能原理是指在所有可能位移中，真实位移使系统总位能取最小值。
• 总位能是指弹性体变形位能和外力位能之和。
• 最小余能原理是指在所有的应力中，真实应力使系统的总余能取最小值。
• 总余能是指弹性体余能和外力余能总和。
4.最小位能原理和最小余能原理（续）
• 一般而言，利用最小位能原理求得位移近似解的弹性变形能是精确解变形能的下界，即近似的位移场在总体上偏小，也就是说结构的计算模型显得偏于刚硬；而利用最小余能原理求得的应力近似解的弹性余能是精确解余能的上界，即近似的应力解在总体上偏大，结构的计算模型偏于柔软。
平面单元划分原则（续）
• 3）划分单元的形状，一般均可取成三角形或等参元。对于平直边界可取成矩形单元，有时也可以将不同单元混合使用，但要注意，必须节点与节点相连，切莫将节点与单元的边相连。 4）单元各边的长不要相差太大，否则将影响求解精度。

有限元期末复习提纲及整理

有限元期末复习提纲1.弹性矩阵，应变矩阵，应力矩阵的定义微分体表面上的应力可分解为一个正应力和两个切应力。

垂直于表面的应力称为正应力；平行于表面的应力称为切应力。

应力矩阵弹性矩阵应变矩阵2.节点自由度定义，写出平面应力三角形单元，刚架单元与桁架单元（平面与空间），薄板弯曲单元，实体元的节点自由度节点自由度：节点所具有的位移分量的数量平面应力三角形单元：节点自由度2，单元自由度数=2*3=6平面刚架单元：节点自由度3（2个移动自由度，1个旋转自由度），单元自由度数=3*2=6空间刚架单元：节点自由度6，单元自由度数=6*2=12平面桁架单元：节点自由度2，单元自由度数=2*2=4空间桁架单元：节点自由度3，单元自由度数=3*2=6薄板弯曲单元：实体元：4节点四面体单元：节点自由度3，单元自由度数=3*4=123.平面应力问题的定义和特点1. 平面应力问题如果空间物体满足以下两个条件，则该问题可以按平面应力问题考虑。

（1）某方向尺寸较另外两方向的尺寸小得多，即近似为一等厚的薄板；（2）受到平行于板面的沿厚度方向均匀分布的面力；根据上述条件，在上图中，图(a)所示的结构属于平面应力问题。

而图(b)中结构的载荷与板平面不平行，图(c)中结构的厚度t与截面尺寸差不多，因此不是平面应力问题。

一般地，当结构厚度t≤L／15(L为截面特征尺寸)时，结构可作为平面应力问题。

如车辆的墙板顶板等受拉压的平板，内燃机的飞轮，链传动的链片以及宽度较小的直齿圆柱齿轮等。

4.杆件结构的分类及其特点杆件结构定义：当结构长度尺寸比两个截面方向的尺寸大得多时，这类结构称为杆件曲杆直杆等截面杆（1）桁杆，和其他结构采用铰相连接，如图（a)所示，其连接处可以自由转动，因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。

影响应力的几何因素主要是截面面积。

由桁杆组成的杆系称为桁架，若杆系和作用力均位于同一平面内，则称为平面桁架，否则称为空间桁架。

有限元复习重点

●有限元起源于20世纪50年代中期航空工程中飞机结构的矩阵分析。

●有限元基本思想：在力学模型上将一个原来连续的物体离散成为有限个具有一定大小的单元，这些单元仅在有限个节点上相连接，并在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。

对于每个单元,根据分块近似的思想，选择一种简单的函数来表示单元内位移的分布规律，并按弹性理论中的能量原理(或用变分原理)建立单元节点力和节点位移之间的关系。

最后，把所有单元的这种关系式集合起来，就得到一组以节点位移为未知量的代数方程组，解这些方程组就可以求出物体上有限个离散节点上的位移。

“一分一合”，化整为零，集零为整，把复杂的结构看成由有限个单元组成的整体。

●单元、节点、边界：采用8节点四边形等参数单元把受力体划分成网格，这些网格称为单元；网格间互相连接的点称为节点；网格与网格的交界线称为边界。

节点数和单元数目是有限的。

●有限元法的优点：（1）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起对该法的理解。

(2) 具有灵活性和适用性，应用范围极为广泛。

(3) 该法在具体推导运算中，广泛采用了矩阵方法，便于实现程序设计的自动化。

●有限单元法分为三类:位移法（以节点位移为基本未知量）、力法（以节点力为基本未知量）和混合法（一部分以节点位移，另一部分以节点力作为基本未知量）。

●有限元法分析计算的基本步骤可归纳如以下五点。

1.结构的离散化（将某个机械结构划分为由各种单元组成的计算模型）在平面问题用三角形、矩形或任意四边形单元。

在空间问题用四面体、长方体或任意六面体单元2.单元分析①选择位移模式（位移模式是表示单元内任意点的位移随位置变化的函数式，由于所采用的函数是一种近似的试函数，一般不能精确地反映单元中真实的位移分布）位移模式或位移函数：i ni i a y φ∑=②建立单元刚度方程e e e F k =δ，e 为单元编号；e δ为单元的节点位移向量；e F 为单元的节点力向量；ek 为单元刚度矩阵.③计算等效节点力：用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。

计算力学(有限单元法)第三章重点整理

第三章一、三角形单元（常应变单元）1）三角形单元位移函数：123456u a a x a yv a a x a y =++⎧⎨=++⎩2）位移函数用形函数来表示：i i j j m mi i j j m mu N u N u N u v N v N v N v =++⎧⎨=++⎩其中1()(,,)2i i i i N a bx c y i j m A =++，,(,,)i j m m ji j m ij m a x y x y b y y i j m c x x ⎧=-⎪=-⎨⎪=-+⎩，11121i i j j mmx y A x y x y = 形函数用单元节点位移分量来描述位移函数的插值函数，反映了单元的位移形态，数学是反映了节点位移对单元内任一点位移的插值。

矩阵形式：0000i i ijm j ijm jm m u v N N N u u N NN v v u v ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭或{}[]{}[][]{}i j m f N N N N δδ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦4）单元应变：{}[]{}B εδ=（其中[]B 为常量）由x y xy u x v y u v y x εεγ⎧⎫∂⎪⎪∂⎪⎪⎧⎫⎪⎪∂⎪⎪=⎨⎬⎨⎬∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪∂∂+⎪⎪∂∂⎩⎭得到[]001002ii i i i i i i i Nx b N B c y Ac b N N yx ⎡⎤∂⎢⎥∂⎢⎥⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥==⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎣⎦应变和节点位移关系式：00010002i i x i j m j y i j m j xy iijjmm m m u v b b b u c c c v A c b c b c b u v εεγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭5）单元应力：{}[][]{}{}[]D B S σδδ==其中36[][[][][]]i j k S S S S ⨯=平面应力问题2[],(,,)2(1)1122i i i i ii i b c ES b c i j m Ac b μμμμμ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥--⎢⎥⎣⎦平面应变问题将上式中的21E E μ=-6）单元平衡方程：{}{}[]d k F δ=,{}{}{}{}d V S c F F F p =++7）单元刚度矩阵：[][][][]TVk B D B dv=⎰（表示单元力和单元位移关系间的系数，代表单元的刚度特性）性质：（1）三角形单元刚度矩阵与坐标系无关，即单元刚度矩阵[]k 不随单元或坐标轴的平行移动或作n π角度的转动而改变（平面问题的单元刚度矩阵可以认为是结构坐标系中的单元刚度矩阵，没有坐标变换问题）（2）单元刚度矩阵中每个元素ij k 的物理意义表示单元第j 个自由度产生单位位移，其它自由度固定时，第i 个自由度产生的节点力。

有限元考试必备

有限元考试必备
1
有限元知识点归纳及复习题
1.、有限元解的特点、原因？
答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。

在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。

2有限元法的基本原理
是一种工程物理问题的数值分析方法，根据近似分
割和能量极值原理，把求解区域离散为有限个单元
的组合，研究每个单元的特性，组装各单元，通过
变分原理，把问题化成线性代数方程组求解。

分析指导思想：化整为零，裁弯取直，以简驭繁，
变难为易
有限元分析的基本步骤
（1）将结构进行离散化，包括单元划分、结点编号、单元编号、结点坐标计算、位移约束条件确定（2）等效结点力的计算
（3）刚度矩阵的计算（先逐个计算单元刚度，再组装成整体刚度矩阵）
（4）建立整体平衡方程，引入约束条件，求解结点位移（5）应力计算 2。

计算力学(有限单元法)第四章重点整理

第四章一、杆单元平面杆单元（轴力）1)位移函数：121(),()i i u x x x x x αα-=+≤≤ 2）形函数：1111,ee i i i i i i i i x x x x N N x x x x ------==-- （拉格朗日多项式）则{}11i eeee i ii ii u u N N N u δ--⎧⎫⎡⎤⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎩⎭3）单元应变和应力：（设1i i L x x -=-） {}[]{}1[]11e e i i i du B dx Lεδδ===-，{}[]e i i E E B σεδ== 4）单元刚度矩阵：111[][]11ii x e T ii i x EA K B AE B dx L --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎰5）单元等效节点力： {}{}11[]12ii x ee ii i x gAL F gA N dx ρρδ-⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭⎰二、梁单元不考虑剪切变形的平面梁单元1、弯剪平面梁单元（,v θ仅有位移v 是独立的，其中dv dxθ=） 1）位移函数：231234()v x x x x αααα=+++2）形函数：323312232223332324(32)/(2)/(32)/()/N l lx x l N l x lx x lN lx x l N lx x l⎧=-+⎪=-+⎪⎨=-⎪⎪=--⎩（Hermite 插值函数解得）则{}[]11123422e ev v N N N N N v θδθ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭3）单元应力和应变：{}{}223[][(126)(64)(126)(62)]bi i i d v yy B x l l x x l l x l dx lεδδ=-==------{}{}[]b e E E B σεδ==4）单元刚度矩阵：2230221261266462[][][]([][])1261266264le T T z V A l l l l l l EI k B D B dv E B B dx dA l l l l l l l -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥---⎢⎥-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰考虑轴向变形后：32322232322200001261260064620000012612600626400z zzz zz zz ez z zz z z zz EAEA ll EI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l l l l k EAEA l l EIEI EI EI l l l l EI EI EI EI l lll ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 5）单元等效节点力：{}0[]()leTyy F N p x dx =⎰，其中{}{}Te yii jj FQM Q M =2、弯剪扭平面梁单元（截面形心和扭心重合时，弯曲和扭转是相互独立的） 1）基本位移未知量：{}{}Texiyii xj yj j w w δθθθθ=2）等效节点力:{}{}Texiyizixjyizj FM M Q M M Q =3）单元刚度矩阵：（见上册书P98）考虑剪切变形的平面梁单元 1）位移函数：12()u x x αα=+231234()b v x x x x ββββ=+++（弯曲变形引起的挠度） 12()s v x x γγ=+（剪切变形引起的挠度）2）形函数：323312232223332324(32)/(2)/(32)/()/N l lx x l N l x lx x lN lx x lN lx x l⎧=-+⎪=-+⎪⎨=-⎪⎪=--⎩和56()//N l x l N x l =-⎧⎨=⎩则{}{}56123400000i b i bbbi ee j b j j u v N N v N u N N N N v θδθ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭，{}[]56sss i s e e s j v v N N N v δ⎧⎫⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎩⎭3）单元应力和应变：{}[]{}{}3232110000(126)(64)(126)(62)00bb bb e e ll B y x l y x y x l y x l l l l εδδ⎡⎤-⎢⎥==⎢⎥----⎢⎥---⎢⎥⎣⎦{}[][]{}[]{}00bbbb b be e EA D B B EI σδδ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦{}{}11[]sss s e e B ll εδδ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦s s s sGA D kσεε==4）单元刚度矩阵：3232223232220000126126006462000012612600626400z zzz zz zz be zz zz z z zz EAEA ll EI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l l l l k EAEA l l EI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l lll ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦,11[]11e sGA k kl -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦由几何关系可得整体刚度矩阵：32322232322000012612600(1)(1)(1)(1)64)62)00(1)(1)(1)(1)000012612600(1)(1)(1)(1)6(20(1)z z z z z z z z ez zz z z EAEAll EI EI EI EI b l b l b l b l EI b EI EI b EI b l b l b l b l k EA EA l l EI EI EI EI b l b l b l b l EI b b l ----+++++--++++⎡⎤=⎣⎦---++++--+（（2)6(4)0(1)(1)(1)zz z EI EI b EI b l b l b l ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥-⎢⎥+++⎣⎦其中212EIkb GAl = Timoshenko 梁单元（截面转角θ与挠度w 独立变化） 1）几何关系：,dw d dx dxθγθκ=-=- 2）形函数：1211,22N N ξξ-+== 2211,i i i i i i v N v N θθ====∑∑1211000i i j j v N N v v N N θθθ⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭3）单元应力与应变：b s εεε=+[]{}{}[]{}11000101bb e e edN dN B dx dx εδδδ⎡⎤==--=-⎢⎥⎣⎦[]{}{}[]{}12121111ss e e e dN dN B N N dxdxεδδδ⎡⎤==--=--⎢⎥⎣⎦4）单元刚度矩阵：222200001/21/20101/2/3/2/600001/21/20101/2/6/2/3e e e b s l l l l l l EI GA K K K l l l kl l l l l -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦5）等效节点荷载：{}00[]leT FN dx q ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎰，其中121200[]0N N N N N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦三、坐标变换1、坐标变换矩阵[]T ：把单元位移从结构整体坐标转换单元坐标系的变换矩阵—{}{}[]eT δδ= 平面单元1）平面铰接杆单元与弯剪平面梁单元（连续梁）cos sin 00sin cos 00[]00cos sin 00sin cos T αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2）轴剪弯平面梁单元（刚架）与面外弯剪扭平面梁单元cos sin 0000sin cos 0000001000[]000cos sin 0000sin cos 001T αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦空间单元1）空间杆单元(,,)u v w[][]00[]T λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中坐标系的旋转矩阵111213212223313233[]λλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（λ代表单元坐标轴,,x y z 在整体坐标系,,X Y Z 中的方向余弦）111213,,j i j i j i X X Y Y Z Z λλλ=-=-=-（单位长度）212223λλλ===3132330,λλλ===2）空间梁单元(,,,,,)x y z u v w θθθ[][][][][]T λλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中坐标系的旋转矩阵111213212223313233[]λλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦111213,,j i j i j i X X Y Y Z Z λλλ=-=-=-213312311113112211212223()()(),,A A A A A A A A Aλλλλλλλλλ---===312313233,,A A AA A Aλλλ=== 注：在主惯性平面xy 上任取一参考点(,,)k k k k X Y Z123,,,k i k i k ik k k kX X Y Y Z Z g g g D D D D ---====111221321132113211112,,,A g g A g g A g g A λλλλλλ=-=-=-=四、梁端自由度释放原刚度矩阵eOOR RO R K K K K ⎡⎤⎢⎥⎣⎦释放自由度后的刚度矩阵1e O OR R RO K K K K K -=-五、带刚域的梁单元刚度矩阵：[][][][]'Td d k T k T =其中10000001000001000[]000100000010000001d a T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

弹性力学及有限单元法复习提纲

1
位移模式与收敛性条件形函数及其性质有限元支配方程的建立荷载列阵：单元到整体劲度矩阵：单元到整体
简单问题的有限元具体计算
计算结果的整理与分析网格剖分的注意事项
3
1、应力、应变、位移等概念； 2、弹性力学的基本假定，在那些地方用到； 3、弹性力学基本方程，平衡方程、几何方程、物理方程、相容方程，及其推导； 4、应力边界条件、圣维南原理的应用； 5、按位移求解的方法及推演； 6、按应力求解的方法及推演； 7、逆解法和半逆解法的求解思路； 8、常体力情况的解法，应力函数； 9、能用给定应力函数或自行假定应力函数求解具体弹性力学问题； 10、掌握典型解答并能灵活运用，如简支梁纯弯曲、简支梁受匀布荷载、半无限体表面受集中力、圆孔应力集中解答；

有限元知识点汇总

有限元知识点汇总有限元知识点汇总第一章1、何为有限元法？其基本思想是什么？》有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法。

》基本思想：化整为零，化零为整2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？》有限元法的基本思想是几何离散和分片插值；》用离散单元的组合来逼近原始结构，体现了几何上的近似；用近似函数逼近未知量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利用与问题的等效的变分原理建立有限元基本方程，又体现了明确的物理背景。

3、单元、节点的概念？》单元：把参数单元划分成网格，这些网格就称为单元。

》节点：网格间相互连接的点称为节点。

4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？》3大步骤；——结构离散化；——单元分析；——整体分析。

5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？》有限元方法分3种；——位移法、力法、混合法。

》本课程讲授的：位移法6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？》弹性力学的基本变量是——{外力、应力、应变、位移}》几何方程——{描述弹性体应变分量与位移分量之间关系的方程} 》物理方程——{描述应力分量与应变分量之间的关系}》虚功方程——{描述内力和外力的关系的方程}》弹性矩阵特点——{ }7、何为平面应力问题和平面应变问题？》平面应力问题——{满足（1）几何条件——所研究的是一根很薄的等厚度薄板，即一个方向上的几何尺寸远远小于其余两个面上的几何尺寸;（2）载荷条件——作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用}》平面应变问题——{满足（1）几何条件——所研究的是长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变；（2）载荷条件——作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力}第二章7、形函数的特点？》1形函数Ni再节点i处等于1，在其他节点上的值等于0，对于Nj、Nm也有同样的性质。

有限元分析复习资料打印版

有限元复习资料1．简述有限单元法的应用范围答：①工程地质现象机制的研究；②工程区岩体应力边界条件或区域构造力的反馈；③工程岩土体位移场和应力场的模拟；④岩土体稳定性模拟2．简述有限元单元法的基本原理答：有限元单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。

它是50年代首先在连续体力学领域----飞机结构静，动态特性分析中应用的一种由此奥的数分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导。

电磁场、流体力学等连续性问题。

有限元分析计算的思路和做法可归纳如下：①物体离散化将整个工程结构离散为由各个单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。

离散散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、树木等应是问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定（一般情况但愿划分月息则描述变形情况月精确，及月接近实际变形，但计算两越大）。

所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。

这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。

如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。

②单元特性分析A．选择位移模式在有限单元法中，选择节点位移为基本未知量称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。

位移法易于实现计算机自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。

当采用位移法时，物体或结构离散化之后，就可把单元总的一些物理量如位移，应变和应力等由节点位移来表示。

这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原原函数的近似函数予以描述。

通常，有限元法我们就将位移作为坐标变量的简单函数。

这种函数称为位移模式或位移函数，如y=a其中a 是待定系数，y是与坐标有关的某种函数。

B．分析但愿的力学性质根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，折中单元分析中的关键一部。

有限元单元法复习资料

1.1有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质的问题转变为有限自由度问题的？位移有限单元法的标准化程式是怎样的？（1）离散的含义即将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元，并在其上设定有限个节点；用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体，而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。

（2）给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。

因节点位移个数是有限的，故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。

（3）有限元法的标准化程式：结构或区域离散，单元分析，整体分析，数值求解。

1.2单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质？各自的物理意义是什么?两者有何区别?单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性（单元刚度矩阵的行列式为零）。

整体刚度矩阵的性质：对称性、奇异性、稀疏性。

单元刚度矩阵Kij物理意义Kij即单元节点位移向量中第j个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时，在第i个自由度方向引起的节点力。

整体刚度矩阵K中每一列元素的物理意义是：要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有个节点上需要施加的节点荷载。

2.1 为了使计算结果能够收敛于精确解，位移函数需要满足什么条件？为什么？满足完备性和协调性。

原因：完备性包括两个条件：即刚体位移条件与常应变条件。

首先，位移函数必须包含单元的刚体位移。

结构中的单元不仅产生与该单元本身变形相应的位移，还可能因其他单元变形而通过节点位移产生单元刚体位移。

为了正确反映单元的实际位移形态，位移函数必须具有反映刚体位移的能力。

其次，由于单元位移函数采用多项式，故在单元内部协调条件总能满足，要求反映在相邻单元之间。

实质上来说，要求相邻单元间协调是为了保证单元交界面上应变有限。

3.1构造单元形函数有那些基本原则？试采用构造单元几何方法，构造T10单元的形函数，并对其收敛性进行讨论。

有限元法复习资料

有限元法及其应用考点总结简答题1.什么是有限元法？人为的将一个受力物体划分为有限个大小和有限量单元，这些结构单元在有限个节点上相互连接，组成整个受力物体，再通过几何和力学分析得到这些单元的应力、应变和位移的代数方程组。

利用计算机对代数方程组联立求解，就可求出各个单元的应力、应变和位移。

用有限元法求解结构的应力、应变和位移的步骤是什么？(1)将受力结构划分成单元，结构离散化(2)单元特性分析，单元位移模式选择(3)构造单元位移函数，建立单元的应力，应变，位移之间的关系(4)简历整体结构的平衡方程(5)利用计算机进行数值计算，求出节点的位移，应变，应力(6)输出单元，绘制应力应变的图形曲线。

2.说明弹性力学中的连续性假设？（1）物体是连续的（2）物体是线性弹性的（3）物体是均匀的各向同性的（4）物体的位移和应变微小3.解释并绘简图说明圣维南原理？在弹性体的一小部分边界上，将所作用的面力作静力等效变换只对力作用处附近的应力有影响，对离力作用处较远的应力几乎无影响。

4.说明什么情况下的受力问题，可以归结为轴对称问题？在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束状态，以及其他外在因素都是对称于某一根轴（过该轴的任一平面都是对称面），那么弹性体的所有应力、应变和位移也就都对称于这根轴。

这类问题通常称为空间轴对称问题。

有限元的轴对称问题，既结构轴对称，载荷轴对称，约束也是轴对称。

5.说明求解弹性力学问题的两种不同途径是什么？应力法和位移法。

应力法：应力（物理）应变（几何）位移位移法：位移（几何）应变（物理）应力6.说明单元刚度矩阵和整体刚度矩阵的含义，二者有何区别？单元：联系力分量与位移分量之间的关系。

性质：分块形式，物理意义，对称性，奇异矩阵整体：将单元刚度矩阵中的每个子块进行换码，换成对应的整体码，送到整体刚度矩阵中的对应位置上，如果有几个单元的对应子块，就进行叠加。

性质：对称性，稀疏性，带形分布，奇异矩阵。

计算力学(有限单元法)第五章重点整理

第五章一、Lagrange 单元1、插值函数：01110111()()()()()()()()()()()n k k n k k k k k k k k n l ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ-+-+-----=----- （注：三角形单元Lagrange 插值函数用面积坐标表示）2、四边形单元形函数：1）一维：()n i I N l ξ=2）二维：()()n m i IJ I J N N l l ξη==3）三维：()()()n m p i IJK I J K N N l l l ξηζ==3、三角形单元形函数：（线性（3）、二次（6）、三次（10））123()()()I J K i I J K N l L l L l L = ——总是完备的（从低到高进行）4、简化方法——划线法（8节点以下）经过除了本节点外的其它节点的直线方程的左部的函数积来构造插值函数5、二次三棱柱Lagrange 单元：三角形平面内采用面积坐标，垂直方向采用基准坐标ζ二、Serendipity 单元1、插值函数构造方法：变节点数法（注：三角形单元插值函数用面积坐标表示）1）构造角节点的插值函数（不考虑其它节点）2）构造边节点的插值函数（不考虑内部节点）3）构造内部节点的插值函数4）修正边节点插值函数，使之在内部节点等于05）修正角节点插值函数，使之在内部节点和边节点等于02、位移函数：一个方向一次乘以另一个方向的p 次Lagrange 多项式（见书P10页Pascal 分布）3、二次三棱柱Serendipity 单元：三角形平面内采用面积坐标，垂直方向采用基准坐标ζ三、Hermite 单元1、定义：单元节点参数中，除场函数的节点值外，还包含场函数导数的节点值的C1型单元为Hermite 单元2、一维Hermite 单元中形函数的确定：场函数：22(0)(1)11()()()()i i i i i i d HH d φφξξφξξ===+∑∑ (0)()i H ξ由条件(0)(0)()(),0ji i j ij dH H d ξξξδξ==四个方程确定为三次多项式(1)()i H ξ由条件(1)(1)()()0,ji i j ij dH H d ξξξδξ==四个方程确定为三次多项式。

有限元方法考试重点

有限元方法是通过求解联立代数方程组进行问题求解的，而不是求解微分方程。

数值法可以求解出连续体中多个离散点未知量的近似值。

通过将物体划分为由小物体或单元组成的等价系统而进行物体建模的过程称为离散化，多个单元通常在公共点、边界线或表面相互连接。

有限元方法并非一次性求解整个物体，而是通过为每一个有限元建立方程，并进而组合这些方程而对物体进行求解。

有限元方法的步骤：1、离散化和选择单元类型2、选择位移函数3、定义应变/位移和应力/应变的关系4、推导单元刚度矩阵和方程5、组合单元方程得出总体方程并引进边界条件6、解未知自由度7、求解单元应变和应力8、解释结果有限元方法的优点：1、便于模拟不规则形状的结构2、易于处理一般载荷条件3、因为单元方程是单个建立的，所以可以模拟由几种不同材料构成的物体4、能够处理各种数量和类型的边界条件5、单元的大小是可变的，必要时可以使用小单元6、改变有限元模型比较容易，代价不大7、可包括动力效应8、可处理大变形和非线性材料带来的非线性问题。

最小势能原理：在一个物体可能呈现的所有几何形状中，与满足该物体稳定平衡相对应的真实的形状由总势能最小值确定。

选择位移近似函数：1、考虑刚体位移和单元内的常应变状态2、杆单元内部应是连续的3、函数通常为多项式4、离散单元每节点所有自由度连续，二位三维单元公共边界和面连续棱柱形单轴杆的弹簧常数：k=AE/L 扭转弹簧常数：k=JG/L ；J 极惯性矩G 材料剪切模量三维桁架流程图：开始、画出几何形状并应用力和边界条件、定义单元类型和属性、令JE=1，NELE 、计算单元刚度矩阵[k]、利用直接刚度程序将[k]加入到组装刚度矩阵[K]和载荷矩阵{F}的适当位置、解[k]{d}={F}求{d}、计算杆单元的力和应力、输出结果、结束。

桁架计算机求解步骤：①几何建模②选择桁架单元③输入单元几何属性（面积A ）④选择材料特性（弹性模量E ）⑤固定边界条件添加约束⑥施加节点载荷⑦模型选择性检查⑧分析每个单元的应力⑨选择与具体分析相关的结果。

有限单元法考试重点汇编

1有限单元法的分析过程，结构离散化，确定单元位移模式单元特性分析，建立整体刚度方程，解方程组和输出计算结果。

补充：①结构离散化：将需要分析的结构对象用一些假象的线、面进行切割。

3虚功原理，任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力所做的总虚功恒等于变形体所接受的总虚变形功。

虚位移原理，受给定外力的变形体处于平衡状态的充分，必要条件，对一切虚位移，外力所作的总虚功恒等于变形体所接受的总虚变形功。

5结构离散化问题，对用结点将结构进行划分所得到的单元体集合体，按一定顺序对结点，单元分别进行加以编号，为用数据来描述结构做准备。

6单元刚度矩阵的性质，对称性，自由式单元的奇异性。

8结构整体刚度矩阵的性质，对称性，奇异性，带状稀疏性。

有限单元法知识点总结

有限单元法知识点总结1. 有限元法概述有限单元法（Finite Element Method ，简称FEM）是一种数值分析方法，适用于求解工程结构、热传导、流体力学等领域中的强耦合、非线性、三维等问题，是一种求解偏微分方程的数值方法。

有限元法将连续的物理问题抽象为由有限数量的简单几何单元（例如三角形、四边形、四面体、六面体等）组成的离散模型，通过对单元进行适当的数学处理，得到整体问题的近似解。

有限元法广泛应用于工程、材料、地球科学等领域。

2. 有限元法基本原理有限元法的基本原理包括离散化、加权残差法和形函数法。

离散化是将连续问题离散化为由有限数量的简单单元组成的问题，建立有限元模型。

加权残差法是选取适当的残差形式，并通过对残差进行加权平均，得到弱形式。

形函数法是利用一组适当的形函数来表示单元内部的位移场，通过形函数的线性组合来逼近整体位移场。

3. 有限元法的步骤有限元法的求解步骤包括建立有限元模型、建立刚度矩阵和载荷向量、施加边界条件、求解代数方程组和后处理结果。

建立有限元模型是将连续问题离散化为由简单单元组成的问题，并确定单元的连接关系。

建立刚度矩阵和载荷向量是通过单元的应变能量和内力作用，得到整体刚度矩阵和载荷向量。

施加边界条件是通过给定位移或力的边界条件，限制未知自由度的取值范围。

求解代数方程组是将有限元模型的刚度方程和载荷方程组成一个大型代数方程组，通过数值方法求解。

后处理结果是对数值结果进行处理和分析，得到工程应用的有用信息。

4. 有限元法的元素类型有限元法的元素类型包括结构单元、板壳单元、梁单元、壳单元、体单元等。

结构单元包括一维梁单元、二维三角形、四边形单元、三维四面体、六面体单元。

板壳单元包括各种压力单元、弹性单元、混合单元等。

梁单元包括梁单元、横梁单元、大变形梁单元等。

壳单元包括薄壳单元、厚壳单元、折叠单元等。

体单元包括六面体单元、锥体单元、八面体单元等。

5. 有限元法的数学基础有限元法的数学基础包括变分法、能量方法、有限元插值等。

有限单元法考试重点

1.有限单元法的基本概念：（1）物理概念：有限单元法将一个连续体划分成有限个微小的单元体，并假定各单元体之间仅在节点处相互传递节点力和位移，从而把一个具有无限个自由度的连续体简化为有限个自由度(节点处)的近似的物理模型，进而可以运用类似于结构分析的方法求解。

（2）数学概念：有限单元法就是通过离散化的处理，从变分原理和分区插值，把这类二次泛函的极值问题转化为一组多元线性代数方程组来求解。

把求解在整个求解域内连续的未知场函数转化为求解仅在有限个点(离散网格的节点)处的未知函数值。

而未知函数的连续、光滑性要求仅限在一个单元体内，即所谓分片光滑的函数。

2.几何方程：应变-位移关系，物理方程：应力-应变关系3.虚功原理可以表述为:弹性体(或变形连续体)处于平衡状态的充分和必要条件是对任意微小的虚位移,其外力在虚位移上所做的总虚功等于变形体总的虚应变能。

4.最小势能原理可以表述为:在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有可能的位移中，能满足平衡条件的位移应使总势能成为极小值。

5.有限单元法基本方程的建立最关键是建立单元的刚度方程，而选择单元类型及正确的位移函数又是单元刚度方程建立的关键。

6.单元刚度矩阵的阶数取决于一个单元的节点数目和一个节点的自由度数目。

而总体刚度矩阵的阶数(即总体方程组的方程数目)是由整体离散化网格的节点数目及其自由度决定的。

7.总体位移列阵是由有限单元离散化网格的各节点的位移分量,按照网格节点的顺序号依次排列而形成。

荷载列阵是由外部荷载(即体力、面力)在各个节点的等效节点力形成的。

8.有限单元法的求解步骤：①结构的离散化；②建立单元刚度矩阵并组集总体刚度方程；③引入边界条件，修改总体刚度方程；④求解总体刚度方程；⑤计算成果的整理、分析与评价。

9.结构的离散化的两个基本要求：近似性和连续性。

10.近似性包括几何近似和物理近似。

即要剖分形成的有限元网格，在几何形状(外形)和物理特性两方面都同原来的结构或连续体充分的接近。

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九论证四结点矩形单元是完备的协调单元 77 四结点矩形单元的位移函数可表示为 U=α1 +α2 x+α3 y+α4 xy V=α5 +α6 x+α7 y+α8 xy 他们是 x,y 的双线性函数。其中参数α1 α2 α3 和α5 α6 α7 反映了刚体位移和常应变，所以，是完备单元。另外，在相邻单元的公共边x = −a 和y = − b上，位移函数按线性变化，而相邻单元在边界的两个结点上有相同位移。所以，这两个相邻单元在公共边界的各点上有相同的位移，这就保证了相邻单元的协调性，因此，这种单元也是协调单元。 1. 3 非线性问题的类型 1．材料非线性：非线性效应仅由应力应变关系的非线性引起，位移分量仍假设为无限小量，故仍可采用工程应力和工程应变来描述，即仅材料为非线性。 2．几何非线性：如果结构经受大变形，则变化了的几何形状可能会引起结构的非线性响应，这又可以分为两种情形：第一种情形，大位移小应变。第二种情形，大位移大应变。 3．状态非线性：除以上两种非线性问题之外，还有一种非线性问题，即由于系统刚度和边界条件的性质随物体的运动发生变化所引起的非线性响应。常用的非线性分析方法非线性方程组的增量逐步解法 Newton－Raphson 迭代格式的增量逐步解法 2、什么是等参元？它有什么特点？ P47（等参数单元）等参数单元（简称等参元）就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型单元。由于等参变换的采用使等参单元的刚度、质量、阻尼、荷载等特性矩阵的计算仍在前面所表示单元的规则域内进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。也正因为如此，等参元已成为有限元法中应用最为广泛的单元形式。
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5 网格分界面和分界点应使网格形式满足边界条件特单元上的力和力矩能够通过节点传递相邻单元。为保证位移协调，一个单元的节点必须同时也是相邻单元的节点，而不应是内点或边界点。 7 网格布局当结构外形对称时，其网格也应划分对称网格。 8 节点和单元编号节点和单元的编号影响结构总刚矩阵的带宽和波前数，因而影响计算时间和存储容量的大小，因此公道的编号有利于进步计算速度。六、你知道哪些大型有限元软件，请说明
ansys 偏向于专业的工程应用，需要获得精确的分析结果。操作起来也十分专业，包括网络划分，几何修正、几何体的物理模型等都给与使用者更多的选择，以便达到更加精确的效果。Ansys 更偏重专业分析人员来做工程分析。 ABAQUS 长于非线性有限元分析,可以分析复杂的固体力学和结构力学系统，特别是能够驾驭非常庞大的复杂问题和模拟高度非线性问题。ABAQUS 不但可以做单一零件的力学和多物理场的分析，同时还可以做系统级的分析和研究，其系统级分析的特点相对于其他分析软件来说是独一无二的。七、形函数性质，并画出三节点三角形单元函数Ni 的分布规律 1 形函数与位移函数是相同次数的多项式 2，形函数在自身节点上的值为 1，其它结点上的值是 0； 3 单元的任一点上，三个形函数之和为 1；八、为了保证有限元法解答的收敛性，位移模式应满足哪些条件?如何构造？ 1. 位移函数必须包括单元的刚度位移。 2. 位移函数必须包括单元常应变 3. 位移函数在单元内必须连续，在相邻单元间必须协调。多项式的项数应等于单元的自由度数，其阶次应包括常数项和完全线性项。同时要对称地选取多项式的项数。
一．有限元法求解弹性力学问题的基本步骤，为什么应力解答的精度低于位移解答精度？（1）步骤 1 弹性单元的离散化 2 选择位移函数 3 建立单元刚度方程 4 建立整体平衡方程 5，求解整体平衡方程（2）位移法求解，位移是直接解，应力是一个与位移导数相关的派生解，这就导致了应力解答的精度低于位移解答精度。二．简述单元刚度矩阵和整体刚度矩阵的性质单元刚度矩阵性质 48 1 单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面问题，每列元素之和为零。 2.单元刚度矩阵中对角线上的元素为正。 3 单元刚度矩阵为对称矩阵 4 单元刚度矩阵为奇异矩阵整体刚度矩阵性质 1 每一列元素表示一组平衡力系，对于平面问题，每列元素之和为零。 2.单元刚度矩阵中对角线上的元素为正。 3 单元刚度矩阵为对称矩阵 4 单元刚度矩阵为奇异矩阵，排除整体刚度位移后为正定矩阵。 5 整体刚度矩阵是带状矩阵三、简述你知道的单元类型，对同一类型的单元精度比较，给出一般规律。三角形单元中，三结点的常应变单元，其单元内应力是常量，它是一种简单但精度低的单元；六结点的二次三角形单元精度高但不能适应曲线边界。而矩形单元，其精度虽比相应的三角形单元高，但不易改变单元尺寸，以及不能适应曲线边界和非直角的直线边界。平面等参数单元适应了曲线边界和非直角的直线边界。四、有限元网格划分的过程中应注意哪些问题？ 1 网格数目网格数目的多少将影响计算结果的精度和计算规模的大小。一般来讲，网格数目增加，计算精度会有所进步，但同时计算规模也会增加。实际应用时可以比较两种网格划分的计算结果，假如两次计算结果相差较大，可以继续增加网格，相反则停止计算。 2 网格疏密网格疏密是指在结构不同部位采用大小不同的网格，这是为了适应计算数据的分布特点。在计算数据变化梯度较大的部位(如应力集中处)，为了较好地反映数据变化规律，需要采用比较密集的网格。而在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模型规模，则应划分相对稀疏的网格。 3 单元阶次选用高阶单元可进步计算精度，所以当结构外形不规则、应力分布或变形很复杂时可以选用高阶单元。但高阶单元的节点数较多，在网格数目相同的情况下由高阶单元组成的模型规模要大得多，因此在使用时应权衡考虑计算精度和时间。 4 网格质量网格各边或各个内角相差不大、网格面不过分扭曲、边节点位于边界，在重点研究的结构关键部位，应保证划分高质量网格