2020高考数学专项复习《三角函数10道大题》(带答案)
2020高考—三角函数(解答+答案)
2020年高考——三角函数1.(20全国Ⅰ文18)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ABC △的面积；（2）若sin A C ，求C .2. （20全国Ⅱ文17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ；（2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形．3.（20全国Ⅱ理 17）ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C = sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值．4.（20新高考Ⅰ17）在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B ，6C π=，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．5.(20天津16)（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c === （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求πsin(2)4A +的值．6.(20浙江18)（本题满分14分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2sin 0b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．7.（20江苏16）（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒． （1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．8.（20全国Ⅱ理21）(12分)已知函数f (x )= sin 2x sin2x ．（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性； （2）证明: 33()f x ≤； （3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤34nn ．9.(20北京17)（本小题13分）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．参考答案：1.解：（1）由题设及余弦定理得2222832cos150c c =+-⨯︒，解得2c =-（舍去），2c =，从而a =ABC △的面积为12sin1502⨯⨯︒=（2）在ABC △中，18030A B C C =︒--=︒-，所以sin sin(30)sin(30)A C C C C =︒-=︒+，故sin(30)C ︒+=而030C ︒<<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒.2．解：（1）由已知得25sin cos 4A A +=，即21cos cos 04A A -+=． 所以21(cos )02A -=，1cos 2A =．由于0A <<π，故3A π=．（2）由正弦定理及已知条件可得sin sin B C A -．由（1）知23B C π+=，所以2sin sin()33B B ππ--．即11sin 22B B =，1sin()32B π-=．由于03B 2π<<，故2B π=．从而ABC △是直角三角形．3．解：（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，①由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅，② 由①，②得1cos 2A =. 因为0πA <<，所以2π3A =.（2）由正弦定理及（1）得sin sin sin AC AB BCB C A===从而AC B =，π)3cos AB A B B B =--=-.故π33cos 3)3BC AC AB B B B ++=++=++.又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值3+4．解：方案一：选条件①．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =．由①ac =1a b c ==．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =． 方案二：选条件②．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =，6B C π==，23A π=．由②sin 3c A =，所以6c b a ===．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c =方案三：选条件③．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =．由③c =，与b c =矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．5．（Ⅰ）解：在ABC △中，由余弦定理及5,a b c ===222cos 22a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈，所以π4C =．（Ⅱ）解：在ABC △中，由正弦定理及π,4C a c ===，可得sin sin 13a C A c ==．（Ⅲ）解：由a c <及sin A =cos A == 进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 113A A A A A ===-=．所以，πππ125sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A +=+=⨯+⨯=．6.（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin B A A ，故sin B =， 由题意得π3B =. （Ⅱ）由πA B C ++=得2π3C A =-， 由ABC △是锐角三角形得ππ(,)62A ∈.由2π1cos cos()cos 32C A A A =-=-得11π13cos cos cos cos sin()]22622A B C A A A ++++=++∈.故cos cos cos A B C ++的取值范围是3]2.7.解：（1）在ABC △中，因为3,45a c B ===︒，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得292235b =+-⨯︒=，所以b =在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，，所以sin C =（2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角，而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角.故cos C =则sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠==，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠.从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯8．解：（1）()cos (sin sin 2)sin (sin sin 2)f x x x x x x x ''=+22sin cos sin 22sin cos2x x x x x =+ 2sin sin3x x =．当(0,)(,)33x π2π∈π时，()0f x '>；当(,)33x π2π∈时，()0f x '<． 所以()f x 在区间(0,),(,)33π2ππ单调递增，在区间(,)33π2π单调递减．（2）因为(0)()0f f =π=，由（1）知，()f x 在区间[0,]π的最大值为()3fπ=，最小值为()3f 2π=．而()f x 是周期为π的周期函数，故|()|f x ≤． （3）由于32222(sin sin 2sin 2)nx xx333|sin sin 2sin 2|n x xx =23312|sin ||sin sin 2sin 2sin 2||sin 2|n n n x x x x x x -= 12|sin ||()(2)(2)||sin 2|n n x f x f x f x x -=1|()(2)(2)|n f x f x f x -≤，所以22223333sin sin 2sin 2()4n nnn x xx ≤=．9.。
(完整)2019-2020年高考数学大题专题练习——三角函数(一)(含解析).doc
2019-2020 年高考数学大题专题练习 —— 三角函数（一）1. 【山东肥城】 已知函数 f ( x) 2sin 2 x 2sin 2 ( x) ， x R .（ 1）求函数 yf ( x) 的对称中心；6（ 2）已知在 △ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且f (B6 ) b c， ABC 的外接圆半径为 3 ，求 △ABC 周长的最大值 . 22a【解析】f ( x) 1 cos2 x1 cos2( x) cos(2 x) cos2 x6313 sin 2x cos 2xcos2x223sin 2x1cos2x sin(2 x 6 ) . 22（1）令 2xk （ k Z ），则 xk（ kZ ），6212所以函数 yf ( x) 的对称中心为 (k,0) k Z ；212（2）由 f (B)b c，得 sin( B ) bc ，即 3 sin B 1cos B b c ，262a6 2a 2 2 2a整理得 3a sin B a cos B b c ，由正弦定理得：3 sin A sin B sin A cos B sin B sin C ，化简得 3 sin A sin B sin B cos Asin B ，又因为 sin B0 ，所以 3 sin A cos A1，即sin( A1 ，6 )2由 0A，得A5 ，6 66所以 A，即 A3 ，6 6又 ABC 的外接圆的半径为3 ，所以 a 2 3 sin A 3 ，由余弦定理得222222232(b c) 2abc2bc cos A bcbc (b c)3bc (b c)(b c)44，即 ，当且仅当 bc 时取等号，所以周长的最大值为 9.2.【河北衡水】 已知函数 f x2a sin x cosx2b cos 2 x c a 0,b 0 ，满足 f 0 ，且当 x0,时， f x 在 x 取得最大值为 5.26 2（ 1）求函数 f x 在 x0, 的单调递增区间；（ 2）在锐角 △ABC 的三个角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且2 22 f C3，求a2b 2c 2 的取值范围 .2ab c【解析】（1）易得 f x5sin 2x 5，整体法求出单调递增区间为0, ， 2 ,；3 666 3 （2）易得 C，则由余弦定理可得 a2b 2c 2 2a 2 2b 2 ab2 b a 1，3a 2b 2c 2aba bbsin 2 A3 1 1由正弦定理可得sin B 3，所以asin Asin A2tan A2 ,22a 2b 2c 23,4 .a2b2c2rcos x, 1 r( 3 sin x,cos 2x) ， xR ，设函数3.【山东青岛】 已知向量 a， b 2r rf ( x) a b .（ 1）求 f(x)的最小正周期；（ 2）求函数 f(x)的单调递减区间；（ 3）求 f(x)在 0,上的最大值和最小值 . 2【解析】f (x) cos x, 1( 3 sin x,cos 2x) 23 cos x sin x 1cos2x 23sin 2 x 1cos 2x2 2cos sin 2x sin cos 2x6 6sin 2x.6（1）f ( x)的最小正周期为T 2 2，即函数f ( x) 的最小正周期为.2（2）函数y sin(2 x ) 单调递减区间：62k 2x 32k ， k Z ，2 6 2得：k x 5 k ， k Z ，63∴所以单调递减区间是3 k ,5k ， k Z .6（3）∵0 x ，2∴2x 5.6 6 6 由正弦函数的性质，当 2x6 2 ，即 x 时， f (x) 取得最大值1.3当x x 0 f (0) 1，即时，，6 6 2当 2x6 5 ，即 x2时， f21 ，6 2∴ f (x) 的最小值为1. 2因此， f (x) 在 0, 上的最大值是1，最小值是1 .2 224.【浙江余姚】已知函数 f ( x) sin x sin x cos( x ) .（ 1）求函数 f(x)的最小正周期；（ 2）求 f(x)在 0,上的最大值和最小值．2【解析】（ 1） 由题意得 f ( x) sin 2 x sin x cos x6sin 2 xsin x( 3 cos x 1sin x)2 23sin 2x3sin x cos x223(1 cos 2x)3sin 2x443 ( 1sin 2x3cos2x)3 2 2243sin( 2x) 32 34f (x) 的最小正周期为（ 2） x0, ，22x23 3 3当 2x，即 x0时， f ( x) min0 ；33当 2x5 时， f ( x) max2 3 33，即 x4212综上，得 x0时， f ( x) 取得最小值，为 0；当 x5 2 3 3时， f ( x) 取得最大值，为4125.【山东青岛】 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 b cos A 3a c ．3（ 1）求 cosB ；（ 2）如图， D 为 △ABC 外一点，若在平面四边形ABCD中， D 2 B ，且 AD 1， CD3 ， BC 6 ，求 AB 的长．【解析 】解：（ 1）在ABC 中，由正弦定理得 sin B cos A3sin Asin C ，3又 C( A B) ，所以 sin B cos A3sin Asin( A B) ，3故 sin B cos A3sin Acos B cos Asin B ，sin A3所以 sin Acos B3sin A ，3又 A(0, ) ，所以 sin A30 ，故 cos B3（2） QD 2 B ， cos D2cos 2 B 113又在ACD 中， AD 1， CD 3∴由余弦定理可得 AC2AD2CD22AD CD cosD 19 2 3 ( 1) 12 ，3∴ AC2 3 ，在 ABC 中， BC6 ， AC 2 3 ， cosB3，3∴由余弦定理可得 AC2AB 2 BC 2 2 AB BCcosB ，即 12 AB 2 6 2 AB63 ，化简得 AB 2 2 2 AB 6 0 ，解得 AB 3 2 ．3故 AB 的长为 32 ．6. 【江苏泰州】如图，在△ABC 中，ABC，2ACB， BC 1.P 是△ ABC 内一点，且BPC.3 2（1）若ABP，求线段AP的长度；6（2）若APB 2，求△ ABP 的面积 .3【解析】（1）因为PBC ，所以在 Rt PBC 中，6BPC ， BC 1，PBC3 ，所以 PB 1 ，2 2在 APB 中，ABP ， BP 13 ，所以， AB6 2AP2 AB 2 BP2 2AB BP cos PBA3 1 2 13 37，所以 AP 7 ；4 2 2 4 2（2）设PBA ，则PCB ，在 Rt PBC 中，BPC ， BC 1，2PCB ，所以 PB sin ，在 APB 中，ABP ， BP sin ， AB 3 ，APB 2，3由正弦定理得：sin 3 1sin3cos1sinsin sin 2 2 2 23 3sin 3 cos ，又 sin 2 cos2 1 sin2 32 7SABP 1AB BP sin ABP 1 3 sin 2 3 3 .2 2 148.【辽宁抚顺】已知向量m sin x,1 ， n cos x,3， f x m n4 4（ 1）求出 f(x)的解析式，并写出f(x)的最小正周期，对称轴，对称中心；（ 2）令 h xf x6，求 h(x)的单调递减区间；（ 3）若 m // n ，求 f(x)的值．【解析】（1） f xm nsin x4cos x341sin 2 x4 3 1sin 2x231cos2x 3222所以 f x 的最小正周期 T ，对称轴为 xk , kZ2对称中心为k ,3 , kZ42（2） h xf x1 cos2 x 32 36令2k2x32k , kZ 得k x6k ,k Z3所以 h x 的单调减区间为3k ,k ,k Z6（3）若 m // n ，则 3sinxcos x即 tan x13444tan x 2f x1cos2x 3 1sin 2 x231 sin2 x cos 2 xcos x2 sin 2 xcos 2 322 x1 tan2 x 1 332 tan 2 x 31109.【辽宁抚顺】已知函数 f x 2 3 sin x cos x 2cos 2 x 1 ， x R ．（ 1）求函数 f x 的最小正周期及在区间0,2 上的最大值和最小值；（ 2）若 f x 06，x 0, 2 ，求 cos 2x 0 的值．54【解析】（ 1） 由 f(x)＝ 2 3 sin xcos x ＋ 2cos 2x － 1，得 f(x)＝ 3 (2sin xcos x)＋(2cos2x－1)＝ 3 sin 2x＋cos 2x＝2sin 2x ，6所以函数 f(x)的最小正周期为π0 x , 2 x6 7 , 1 sin 2 x 12 6 6 2 6所以函数 f(x)在区间 0, 上的最大值为2，最小值为－ 12（ 2）由（1）可知f(x0)＝2sin 2 x6又因为 f(x0 )＝6，所以 sin 2 x6＝3 .5 5由 x0∈, ，得 2x0＋∈ 2,74 2 6 3 6从而 cos 2 x0 ＝ 1 sin 2 2 x06 ＝－46 5所以 cos 2x0＝ cos 2 x06 6 ＝ cos 2x0 cos ＋ sin 2x06sin6 6 6＝3 4 31010.【广西桂林】已知f x 4sin 24 x sin x cosx sin x cosx sin x 1 . 2（ 1）求函数 f x 的最小正周期；（ 2）常数0 ，若函数 y f x 在区间, 2上是增函数，求的取值2 3范围；（ 3）若函数 g x 1 f 2 x af x af x a 1在,的最大值为2 2 4 22，求实数的值 .【解析】（1）f x 2 1 cos x sin x cos2 x sin 2 x 1 22 2sin x sin x 1 2sin 2 x 1 2sin x .∴ T 2 .（2） f x 2sinx .由 2kx 2k2kx2k2 得, k Z ，222 ∴ fx 的递增区间为2k2, 2k, k Z2∵ fx 在,2上是增函数，23∴当 k0 时，有2, 22,.320,∴, 解得 03242 22 ,3∴ 的取值范围是0,3.4（3） gx sin 2x a sin xa cos x 1 a 1.2 令 sin xcos x t ，则 sin 2x1 t2 .112a21 2att2aa∴ y 1 ta 1at2 t4a .222∵ t sin x cos x2 sin x，由x 得x，4 42244∴ 2 t 1 .①当a2 ，即 a2 2 时，在 t2 处 y max2 1 a 2 .22由21 a2 2 ，解得 a8 8 2 2 12 2 （舍去 ).22 2 1 7②当2 a 1，即2 2 a2 时， y maxa 21 a ，由 a 21a 22424 2得 a 2 2a 8 0 解得 a2 或 a 4 （舍去） .③当a1，即a 2 时，在 t 1处y max a 1 ，由a1 2 得a 6.2 2 2综上， a 2 或 a 6 为所求.11.【江苏无锡】如图所示，△ ABC 是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖．．．．．（假设湖岸是笔直的），其中两腰CA CB 60 米，cos CAB 2.为了给市民3营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸AC，AB 上分别取点E，F（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF（宽度不计），使得三角形AEF 和四边形 BCEF 的周长相等 .（1）若水上观光通道的端点 E 为线段 AC 的三等分点（靠近点 C），求此时水上观光通道 EF 的长度；（2）当 AE 为多长时，观光通道 EF 的长度最短？并求出其最短长度 .【解析】（1）在等腰ABC 中，过点 C 作 CH AB 于 H ，在 Rt ACH 中，由 cosAH AH 240 ， AB 80 ，CAB ，即，∴ AHAC 60 3∴三角形 AEF 和四边形 BCEF 的周长相等.∴ AE AF EF CE BC BF EF ，即 AE AF 60 AE 60 80 AF ，∴AE AF 100.∵ E 为线段 AC 的三等分点（靠近点 C ），∴ AE 40， AF 60，在AEF 中，EF 2 AE 2 AF 2 2 AE AF cos CAB 402 602 2 40 60 2 200 ，3∴ EF 2000 20 5 米.即水上观光通道EF 的长度为20 5米.（2）由（ 1）知，AE AF 100 ，设 AE x ，AF y ，在AEF 中，由余弦定理，得EF 2 x2 y2 2x y cos CAB x2 y 24xy x y10xy .23 3∵ xy x y 2 1002 10 502 2 502 .502，∴EF22 3 350 6∴EF，当且仅当x y取得等号，3所以，当 AE 50 米时，水上观光通道EF 的长度取得最小值，最小值为50 6米.312.【江苏苏州】如图，长方形材料ABCD 中，已知AB 2 3 ， AD4 .点P为材料ABCD 内部一点，PE AB 于 E ， PF AD 于 F ，且 PE1 ，PF 3 .现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足MPN 150 ，点M、N分别在边AB，AD上.（ 1）设FPN，试将四边形材料AMPN 的面积表示为的函数，并指明的取值范围；（2）试确定点 N 在 AD 上的位置，使得四边形材料 AMPN 的面积 S 最小，并求出其最小值 .【解析】（1）在直角NFP 中，因为 PF 3 ，FPN ，所以 NF 3 tan ，所以 S NAP 1NA PF 1 1 3 tan 3 ，2 2在直角 MEP 中，因为 PE 1，EPM3，所以MEtan，3所以 S AMP1AM PE 1 3 tan31，2 2所以 SSNAPSAMP3tan1tan33 ，0, .2 23（2）因为S 3 1 tan33 tan3，tan2 33tan2 13 tan22令 t 13 tan，由0, ，得 t1,4，3所以S3 3t24t 4 3 t 43 3 t4 3 23 ，2 3t 2 3t 323t33当且仅当t2 3233 时，即 tan时等号成立，3此时，AN 2 3233，Smin3 ，答：当AN 2 3AMPN 的面积 S 最小，最小值为 233 时，四边形材料.313.【江苏苏州】 如图，在平面四边形ABCD 中， ABC3AD ，， AB4AB=1.uuur uuur3 ，求 △的面积；（ 1）若 AB BCABCg（ 2）若 BC 2 2 ， AD 5 ，求 CD 的长度 .【解析】uuur uuur3 ，所以 uuur uuur，（1）因为 AB BCBAgBC 3guuur uuurABC3 ，即 BA BC cosABC 3 ， AB 1 ，所以 1 uuur3 uuur3 2 ，又因为BC cos 3，则 BC44 1 uuur uuur ABC 3所以 S ABC AB BC sin .2 2（2）在 ABC 中，由余弦定理得：AC 2AB 2 BC 2 2 AB BC cos31 8 21 2 22 13 ，42解得： AC 13 ，在ABC 中，由正弦定理得：ACBC2 13sin ABC sin，即sin BAC，BAC13所以 cos CADcosBACsin BAC2 13 ，213在ACD 中，由余弦定理得：CD 2AD 2 AC 2 2AD AC cos CAD ，即 CD3 2 .14.【山东栖霞】 已知函数 f xA sin xA 0,0,的部分图象222如图所示， B ， C 分别是图象的最低点和最高点，BC4 .4（1）求函数 f(x)的解析式； （2）将函数y f x 的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到3原来的 2 倍（纵坐标不变）得到函数 yg x 的图象，求函数 yg 2 x 的单调递增区间 .13【解析】（1）由图象可得：3 T 5 ( ) ，所以 f (x) 的周期 T .4 12 3于是2，得2 ，C 524 A 22又 B， A ， ， A ∴ BC 4 ∴ A 1，12 1224又将 C (5,1) 代入 f (x)sin(2 x) 得， sin(2 5) 1，1212所以 25=2k，即=2k( k R ) ，1223由2 得， ，23∴ f (x)sin(2 x) .3（2）将函数 yf (x) 的图象沿 x 轴方向向左平移个单位长度，3得到的图象对应的解析式为：y sin(2 x) ，3再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为 g( x)sin( x3 ) ，cos(2x2 )22(x13y g ( x) sin 3 )22由 2k22k， kZ 得, kx k ， k Z ,2x336∴函数 yg 2 ( x) 的单调递增区间为 k,k (kZ ) .3615.【山东滕州】 已知函数 f ( x)Asin( x ) ( A 0, 0,) 的部分图象如 2图所示 .（ 1）求函数 f (x) 的解析式；（ 2）把函数 y f ( x) 图象上点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，得到函数y g (x) 的图象，求611关于 x 的方程 g ( x) m(0 m 2) 在 x [,] 时3 3所有的实数根之和 .【解析】2（1）由图象知，函数 f ( x) 的周期T，故 2 .T点 (, A) 在函数图象上，6∴ Asin(26) A，∴ sin(3) 1，解得：3 2k2， k Z ，即2k6， k Z ，又2 ，从而.6点 (0,1) 在函数图象上，可得：Asin(2 0 ) 1 ，6∴ A 2 .故函数 f (x) 的解析式为： f ( x) 2sin(2 x ) .6 （2）依题意，得g (x) 2sin( x ) .3∵ g( x) 2sin( x ) 的周期T ，3∴ g( x) 2sin( x ) 在 x [11] 内有2个周期. ,3 3 3令x3 k ， k Z ，2解得 x k ， k Z ，6即函数 g (x) 2sin( x ) 的对称轴为 x k ， k Z .3 6又 x [3 ,11 ] ，则 x3[0,4 ] ，3所以 g(x) m(0 m 2) 在 x [ , 11 ] 内有4个实根，3 3不妨从小到大依次设为x i (i 1,2,3, 4) .则x1x2 ， x3 x4 13 ，2 6 2 6故 g( x) m(0 m 2) 在x [3 ,11 ] 时所有的实数根之和为：3x1 x2 x3 x4 14. 3。
三角函数10道大题(带答案)
三角函数10道大题(带答案)三角函数1.已知函数$f(x)=4\cos x\sin(x+\frac{\pi}{6})+\sin(2x-\frac{\pi}{4})+2\cos2x-1,x\in R$。
Ⅰ）求$f(x)$的最小正周期；Ⅱ）求$f(x)$在区间$[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$上的最大值和最小值。
2.已知函数$f(x)=\tan(2x+\frac{\pi}{4}),x\in R$。
Ⅰ）求$f(x)$的定义域与最小正周期；II）设$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，若$f(\alpha+\frac{\pi}{4})=2\cos2\alpha$，求$\alpha$的大小。
3.已知函数$f(x)=\frac{(sinx-cosx)\sin2x}{\sin x}$。
1）求$f(x)$的定义域及最小正周期；2）求$f(x)$的单调递减区间。
4.设函数$f(x)=\frac{2\pi\cos(2x+\frac{\pi}{4})+\sin2x}{24}$。
Ⅰ）求函数$f(x)$的最小正周期；II）设函数$g(x)$对任意$x\in R$，有$g(x+\pi)=g(x)$，且当$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$时，$2\pi g(x)=1-f(x)$，求函数$g(x)$在$[-\pi,0]$上的解析式。
5.函数$f(x)=A\sin(\omega x-\frac{\pi}{6})+1(A>0,\omega>\frac{\pi}{6})$的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{\pi}{2}$。
1）求函数$f(x)$的解析式；2）设$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$f(\alpha)=2$，求$\alpha$的值。
6.设$f(x)=4\cos(\omega x-\frac{\pi}{6})\sin\omegax+\cos2\omega x$，其中$\omega>0$。
2020高考—三角函数(选择+填空+答案)
2020年高考——三角函数1.(20全国Ⅰ文7)．设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π22.(20全国Ⅰ理9)．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= A 5B ．23C ．13D 53.（20全国Ⅱ理2）．若α为第四象限角，则 A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<04.（20全国Ⅲ文5）．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（） A ．12B 3C ．23D 2 5.（20全国Ⅲ文11）．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B = A 5B ．5C ．5D ．56.（20全国Ⅲ文12）．已知函数f (x )=sin x +1sin x，则 A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图像关于y 轴对称C ．f (x )的图像关于直线x =π对称D ．f (x )的图像关于直线2x π=对称 7.（20全国Ⅲ理7）．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．238.（20全国Ⅲ理9）．已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=A ．–2B ．–1C ．1D ．29.（20新高考Ⅰ10）．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +） D ．5πcos(2)6x -10.(20天津8)．已知函数π()sin()3f x x =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②π()2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是 A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③11.(20浙江4)．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是12.(20北京9)．已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13.(20北京10)．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）．A ．30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．60606sintan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 14. （20全国Ⅱ文13）．若2sin 3x =-，则cos2x =__________． 15.（20全国Ⅲ理）16．关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．16.(20浙江13)．已知tan 2θ=，则cos2θ=_______，πtan()4θ-=_______．17.（20江苏8）．已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是 ▲ ．18.（20江苏10）．将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ▲ ．19.(20北京14)．若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________． 参考答案：1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．D 7．A 8．D 9．BC 10．B 11.A 12. C 13. A14.1915．②③ 16.31,53- 17．13 18．524x π=- 19.2π。
2020年高考试题三角函数汇编【题目+答案版】
2020年高考各地三角函数真题(1)【2020全国高考III卷(文)第5题】已知sin θ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=()A. 12B. √33C. 23D. √22(2)【2020全国高考（浙江卷）第4题】函数y=xcosx+sinx在区间[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.(3)【2020全国高考III卷(理)第9题】已知2tanθ−tan(θ+π4)=7,则tanθ=()A. −2B. −1C. 1D. 2(4)【2020全国高考（天津）卷第7题】已知函数f(x)=sin(x+π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是()A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③(5)【2020全国高考（浙江卷）第13题】已知tttt=2，则ttt2t=______；tan(t−t4)=______．(6)【2020全国高考（江苏卷）第10题】将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是______．(7)【2020全国高考（江苏卷）第18题】在△ttt中，角A、B、C的对边分别为a、b、t.已知t=3，t=√2，t=45°．(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ttt=−45，求tan∠ttt的值．(8)【2020全国高考I卷(理)第16题】如图，在三棱锥t−ttt的平面展开图中，tt=1，tt=tt=，AB AC，AB AD，ttt=，则ttt=__________．(9) 【2020全国高考天津卷第15题】如图，在四边形ABCD 中，∠t =60°，tt =3，tt =6，且tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数t 的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．(10) 【2020全国高考（浙江卷）第18题】在锐角△ttt 中，角t ,t ,t 的对边分别为t ,t ,t .已知2t sin t −√3t =0． (1)求角B ；(2)求cos t +cos t +cos t 的取值范围．(11) 【2020全国高考（上海卷）第18题】已知函数t (t )=sin tt ，t >0．(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)=12的解集；(2)已知ω=1，g(x)=f 2(x)+√3f(−x)f(π2−x)，x ∈[0,π4]，求g(x)的值域．(12) 【2020全国高考（天津卷）第16题】在△ttt 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，t .已知t =2√2，t =5，t =√13． (1)求角C 的大小； (2)求sin A 的值；(3)求sin (2t +t4)的值．(13) 【2020全国高考I 卷（文）第18题】∆ttt 的内角t ,t ,t 的对边分别为t ,t ,t ，已知t =150∘．（1）若a =√3c ，b =2√7，求∆ABC 的面积；（2）若sinA +√3sinC =√22，求C ．(14) 【2020全国高考II 卷（理）第16题】∆ttt 中，sin 2t −sin 2t −sin 2t =sin t sin t ．(1) 求A ；(2) 若BC =3，求∆ABC 周长的最大值．(15) 【2020全国高考II 卷（文）第17题】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2(π2+A)+cosA =54．(1)求A ；(2)若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．（16）【2020全国高考II卷理科21题】已知函数t(t)=sin2t sin2t．(1)讨论t(t)在区间(0,t)的单调性；(2)证明：|t(t)|≤3√3；8(3)设t∈N∗，证明：sin2t sin22t sin24t⋯sin22t t≤3t．4t【答案】2020年高考各地三角函数真题(1)【2020全国高考III卷(文)第5题】已知sin θ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=()A. 12B. √33C. 23D. √22解：∵sin (t+t3)=12sin t+√32cos t，∴sin t+sin (t+t3)=32sin t+√32cos t=√3sin (t+t6)=1得sin (t+t6)=√33故选：B．(2)【2020全国高考（浙江卷）第4题】函数y=xcosx+sinx在区间[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【解析】解：t=t(t)=ttttt+tttt，则t(−t)=−ttttt−tttt=−t(t)，∴t(t)为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B，D，当t=t时，t=t(t)=ttttt+tttt=−t<0，故排除B，故选：A．先判断函数的奇偶性，再判断函数值的特点．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性额函数值得特点是关键，属于基础题．(3)【2020全国高考III卷(理)第9题】已知2tanθ−tan(θ+π4)=7,则tanθ=()A. −2B. −1C. 1D. 2解：∵2tan t−tan (t+t4)=2tan t−tan t+11−tan t=7，∴2tan t(1−tan t)−(tan t+1)=7−7tan t，整理得(tan t−2)2=0，∴tan t=2，故选D．(4)【2020全国高考（天津）卷第7题】已知函数f(x)=sin(x+π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是()A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B【解析】【分析】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档题．由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为f(x)=sin(x+π3)，①由周期公式可得，f(x)的最小正周期T=2π，故①正确；、②f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12，不是f(x)的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象，故③正确．故选：B．(5) 【2020全国高考（浙江卷）第13题】已知tttt =2，则ttt2t =______；tan (t −t4)=______． 【答案】−35 13【解析】解：tttt =2，则ttt2t =cos 2t −sin 2t cos 2t +sin 2t=1−tan 2t 1+tan 2t =1−41+4=−35．tan (t −t4)=tttt −tan t41+ttttttt t4=2−11+2×1=13． 故答案为：−35；13．利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解第一问，利用两角和与差的三角函数转化求解第二问．本题考查二倍角公式的应用，两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式的应用，是基本知识的考查．(6) 【2020全国高考（江苏卷）第10题】将函数y =3sin(2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是______．解：因为函数t =3ttt (2t +t4)的图象向右平移t6个单位长度可得t (t )=t (t −t6)=3ttt (2t −t 3+t 4)=3ttt (2t −t12)，则t =t (t )的对称轴为2t −t12=t2+tt ，t ∈t ，即t =7t 24+tt2，t ∈t ，当t =0时，t =7t24， 当t =−1时，t =−5t24， 所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是t =−5t24， 故答案为：t =−5t 24．(7) 【2020全国高考（江苏卷）第18题】在△ttt 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、t .已知t =3，t =√2，t =45°． (1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ttt =−45，求tan ∠ttt 的值．【答案】解：(1)因为t =3，t =√2，t =45°.，由余弦定理可得：t =√t 2+t 2−2tttttt =√9+2−2×3×√2×√22=√5，由正弦定理可得t tttt =ttttt ，所以tttt =t t⋅ttt45°=√2√5⋅√22=√55，所以tttt =√55；(2)因为cos ∠ttt =−45，所以sin ∠ttt =√1−cos 2∠ttt =35， 在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由(1)可得tttt =√1−sin 2t =2√55，所以在三角形ADC 中，sin ∠ttt =sin (∠ttt +∠t )=sin ∠tttttt ∠t +cos ∠tttttt ∠t =2√525，因为∠ttt ∈(0,t2)，所以cos ∠ttt =√1−sin 2∠ttt =11√525，所以tan ∠ttt =sin ∠ttt cos ∠ttt=211．(8) 【2020全国高考I 卷(理)第16题】如图，在三棱锥t −ttt 的平面展开图中，tt =1，tt =tt =，AB AC ，ABAD ，ttt =，则ttt =__________．解：由已知得tt =√2tt =√6， ∵t 、E 、F 重合于一点，∴tt =tt =√3，tt =tt =√6， ∴ △ttt 中，由余弦定理得，∴tt =tt =1， ∴在△ttt 中，由余弦定理得．故答案为．(9) 【2020全国高考天津卷第15题】如图，在四边形ABCD 中，∠t =60°，tt =3，tt =6，且tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，tt⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数t 的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． (10) 【答案】16 132(11) 【解析】解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B =60°，AB =3，∴A(32,3√32)， ∵BC =6， ∴C(6,0)， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD//BC ， 设D(x 0,3√32)， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32，解得x 0=52，∴D(52,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ=16，∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 设M(x,0)，则N(x +1,0)，其中0≤x ≤5，∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32)， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132，当x =2时取得最小值，最小值为132， 故答案为：16，132．以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D 的坐标，即可求出λ的值，再设出点M ，N 的坐标，根据向量的数量积可得关于x 的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．(12) 【2020全国高考（浙江卷）第18题】在锐角△ttt 中，角t ,t ,t 的对边分别为t ,t ,t .已知2t sin t −√3t =0． (1)求角B ；(2)求cos t +cos t +cos t 的取值范围．【答案】解：(1)∵2t sin t =√3t ， ∴2sin t sin t =√3sin t ， ∵sin t ≠0， ∴sin t =√32， ，∴t =t3，(2)∵△ttt 为锐角三角形，t =t3， ∴t =2t3−t ，，△ttt 为锐角三角形，，，解得， ，，∴cos t+cos t+cos t的取值范围为(√3+12,32 ]．【解析】本题考查了正弦定理，三角函数的化简，三角函数的性质，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题．(1)根据正弦定理可得sin t=√32，结合角的范围，即可求出，(2)根据两角和差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出．(13)【2020全国高考（上海卷）第18题】已知函数t(t)=sin tt，t>0．(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)=12的解集；(2)已知ω=1，g(x)=f2(x)+√3f(−x)f(π2−x)，x∈[0,π4]，求g(x)的值域．【答案】解：(1)由于t(t)的周期是4t，所以t=2t4t =12，所以t(t)=sin12t．令sin12t=12，故12t=2tt+t6或2tt+5t6，整理得t=4tt+t3或t=4tt+5t3．故解集为{t|t=4tt+t3或t=4tt+5t3，t∈t}．(2)由于t=1，所以t(t)=sin t．所以t(t)=sin2t+√3sin(−t)sin(t2−t)=1−cos2t2−√32sin2t=−√32sin2t−12cos2t+12=12−sin(2t+t6)．由于t∈[0,t4]，所以t6≤2t+t6≤2t3．故−1≤−sin(2t+t6)≤−12，故−12≤t(t)≤0．所以函数t(t)的值域为[−12,0]．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．(1)直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域．【2020全国高考（天津卷）第16题】在△ttt中，角A，B，C所对的边分别为a，b，t.已知t=2√2，t=5，t=√13．(1)求角C的大小；(2)求sin A的值；(3)求sin(2t+t4)的值．【答案】解：(1)由余弦定理以及a=2√2，b=5，c=√13，则cosC=a2+b2−c22ab =2×22×5=√22，∵C∈(0,π)，∴C=π4；(2)由正弦定理，以及C=π4，a=2√2，c=√13，可得sinA= asinCc=2√2×√22√13=2√1313；(3)由a<c，及sinA=2√1313，可得cosA=√1−sin2A=3√1313，则sin2A=2sinAcosA=2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A=2cos2A−1=513，∴sin(2A+π4)=√22(sin2A+cos2A)=√22(1213+513)=17√226．【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．(1)根据余弦定理即可求出C的大小；(2)根据正弦定理即可求出sin A的值；(3)根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．(14)【2020全国高考I卷（文）第18题】∆ttt的内角t,t,t的对边分别为t,t,t，已知t=150∘．（1）若a=√3c，b=2√7，求∆ABC的面积；（2）若sinA+√3sinC=√22，求C．【答案】解：(1)由余弦定理得t2=t2+t2−2tt cos t，即28=3t2+t2−2√3t2cos150∘，解得t=4，所以t=4√3，所以t△ttt=12tt sin t=12×4√3×4×12=4√3．(2)因为t=180∘−t−t=30∘−t，所以sin t+√3sin t=sin(30∘−t)+√3sin t=12cos t+√32sin t=sin(30∘+t)=√22，因为t>0°，t>0°，所以0°<t<30°，所以30°<30°+t<60°，所以30°+t=45°，所以t=15°．【解析】【解析】本题考查余弦定理，三角形面积公式的应用，三角恒等变换的应用，属于中档题．(1)由已知条件结合余弦定理可求得c，从而可根据三角形面积公式求解；(2)由两角差的正弦公式对已知式进行化简，再由辅助角公式根据C的范围求解即可．(15) 【2020全国高考II 卷（理）第17题】∆ttt 中，sin 2t −sin 2t −sin 2t =sin t sin t ．(2) 求A ；(2) 若BC =3，求∆ABC 周长的最大值．【答案】解：(1)在▵ttt 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为sin 2t −sin 2t −sin 2t =sin t sin t ，由正弦定理得，t 2−t 2−t 2=tt ，即t 2+t 2−t 2=−tt ， 由余弦定理得，cos t =t2+t 2−t 22tt =−12，因为0<t <t ，所以t =2t 3． (2)由(1)知，t =2t3，因为tt =3，即t =3，由余弦定理得，t 2=t 2+t 2−2tt cos t ，所以9=t 2+t 2+tt =(t +t )2−tt ， 由基本不等式可得tt ≤(t +t )24，所以9=(t +t )2−tt ≥34(t +t )2,所以t +t ≤2√3(当且仅当t =t =√3时取得等号)， 所以▵ttt 周长的最大值为3+2√3．【解析】本题主要考查利用正余弦定理解三角形的问题，属于中档题． (1)直接利用正余弦定理即可求解；(2)利用余弦定理与基本不等式即可求解．(16) 【2020全国高考II 卷（文）第17题】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2(π2+A)+cosA =54．(1)求A ；(2)若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】【解答】解：(1)∵cos2(t2+t)+cos t=54，化简得cos2t−cos t+14=0，解得cos t=12，∵t是tttt的内角，故t=t3．(2)证明：∵t−t=√33t，t=t3，由正弦定理可得sin t−sin t=√33sin t=12，又t=t−t−t=2t3−t，∴sin(2t3−t)−sin t=12，化简可得√32cos t−12sin t=12，即可得cos(t+t6)=12，又t∈(0,2t3)，得t+t6∈(t6,5t6)，故可得t+t6=t3，即t=t6，故t+t=t3+t6=t2，∴tttt是直角三角形．【解析】本题考查了正弦定理的应用以及两角和差的正余弦公式的应用，考查了诱导公式和辅助角公式，属于中档题．(1)利用诱导公式和同角的三角函数关系对已知式进行化简，得到cos t=12，再结合A为三角形的一内角，即可求出角A；(2)利用正弦定理把t−t=√33t中的边化成角，得到sin t−sin t=√33sin t=12，再结合t+t=2t3，对式子进行化简，最后结合辅助角公式以及角C的范围，求出角C，即可证得三角形为直角三角形．（17）【2020全国高考II卷理科21题】已知函数t(t)=sin2t sin2t．(1)讨论t(t)在区间(0,t)的单调性；(2)证明：|t(t)|≤3√38；(3)设t∈N∗，证明：sin2t sin22t sin24t⋯sin22t t≤3t4t．【答案】解：(1)t(t)=sin2t⋅sin2t=2sin2t⋅sin t⋅cos t =2sin3t⋅cos tt′(t)=2[sin2t(3cos2t−sin2t)]=2sin2t⋅(√3cos t+sin t)⋅(√3cos t−sin t)=−8sin2t⋅sin(t+t3)⋅sin(t−t3)所以对于f’(t)有：当t∈(0,t3)时，t′(t)>0；当t∈[t3,23t]时，t′(t)≤0；当t∈(2t3,t)时t′(t)>0。
2020高考—三角函数(选择+填空+答案)
2020年高考——三角函数1.(20全国Ⅰ文7)．设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π22.(20全国Ⅰ理9)．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= A 5B ．23C ．13D 53.（20全国Ⅱ理2）．若α为第四象限角，则 A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<04.（20全国Ⅲ文5）．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（） A ．12B 3C ．23D 2 5.（20全国Ⅲ文11）．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B = A 5B ．5C ．5D ．56.（20全国Ⅲ文12）．已知函数f (x )=sin x +1sin x，则 A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图像关于y 轴对称C ．f (x )的图像关于直线x =π对称D ．f (x )的图像关于直线2x π=对称 7.（20全国Ⅲ理7）．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．238.（20全国Ⅲ理9）．已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=A ．–2B ．–1C ．1D ．29.（20新高考Ⅰ10）．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +） D ．5πcos(2)6x -10.(20天津8)．已知函数π()sin()3f x x =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②π()2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是 A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③11.(20浙江4)．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是12.(20北京9)．已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13.(20北京10)．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）．A ．30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．60606sintan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 14. （20全国Ⅱ文13）．若2sin 3x =-，则cos2x =__________． 15.（20全国Ⅲ理）16．关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．16.(20浙江13)．已知tan 2θ=，则cos2θ=_______，πtan()4θ-=_______．17.（20江苏8）．已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是 ▲ ．18.（20江苏10）．将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ▲ ．19.(20北京14)．若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________． 参考答案：1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．D 7．A 8．D 9．BC 10．B 11.A 12. C 13. A14.1915．②③ 16.31,53- 17．13 18．524x π=- 19.2π。
2020年高考模拟复习知识点试卷试题之高考数学三角函数高考题及练习题(含答案)
2 ＝－ 1. 1
1－（－ 3） ×2
3π 又α＋ 2β∈ 0， 2 ，
所以
α＋
2β＝
3π 4.
题型二 三角函数的图象与解析式问题
例 2 函数 f(x) ＝Asin( ωx＋φ)(A 、 ω、φ是常数， A>0 ，
(1) 求 f(0) 的值； π
(2) 若 0< φ<π， 求函数 f(x) 在区间 0， 3 上的取值范围．
8
8
所以－
4π
<2x
＋
π 4 <－
7π， 2
所以
－ 17 π，－ 8
15 8
π上是减函数．所以当
x1、 x2∈
－ 17 π，－ 8
15 8
π，
且 x1<x 2 时，
f(x) 在 都有
f(x 1)>f(x 2) ， 从 而 经 过 任 意 两 点 (x 1 ， f(x 1)) 和 (x 2 ， f(x 2)) 的 直 线 的 斜 率 k ＝
g(x) ＝2sin2
x
＋
π 6
＋
1＝
2sin
2x＋ π3 ＋1，
g(x) ＝ 0
sin
2x
π ＋3
＝
2020 年高考模拟复习知识点试卷试题之【高考精品】高考6语文知识点梳理
2020 年高考模拟复习知识点试卷试题之【高考精品】高考语文知识点梳理
－1 2
x＝ kπ－
π或 3
x＝kπ－
7 π， 12
k∈ Z, 即 g(x) 的零点相邻间隔依次为
2020 年高考模拟复习知识点试卷试题之【高考精品】高考语文知识点梳理
已知函数 f(x) ＝Asin ωx＋ Bcos ωx(A 、 B、 ω是常数，
2020年高考理科数学《三角函数》题型归纳与训练含答案解析
2020年高考理科数学《三角函数》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式例1 （1）点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A ．(－12，32)B ．(－32，－12) C ．(－12，－32)D ．(－32，12) (2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P(－4,3)，则cos()sin()2119cos()sin()22παπαππαα+---+的值为________． 【答案】（1）A （2）－34【解析】(1)设Q 点的坐标为(x ，y)， 则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.∴Q 点的坐标为(－12，32)．(2)原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义， 得tan α＝y x ＝－34，∴原式＝－34.【易错点】诱导公式和三角函数定义不熟练【思维点拨】(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等． 题型二 三角函数的图象及应用例1已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭：，则下面结正确的是（ ）.A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】（1） 1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x ，首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−→=+=+→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原点横标缩来2ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ，根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D. 【易错点】函数图像水平方向平移容易出错 【思维点拨】平移变换理论 (1)平移变换:①沿x 轴平移,按“左加右减”法则; ②沿y 轴平移,按“上加下减”法则. (2)伸缩变换:①沿x 轴伸缩时,横坐标x 伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的 倍(纵坐标y 不变); ②沿y 轴伸缩时,纵坐标y 伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A 倍(横坐标x 不变). 2.注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导公式化为同名函数再平移.例2函数sin 21cos xy x=-的部分图像大致为（ ）.【答案】C【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当x =π时，0y =，排除D ；当1x =时，sin 21cos 2y =>-，排除A.故选C.【易错点】函数图形判断通过过排除法 【思维点拨】例3函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3【答案】A【解析】 (1)因为T 2＝11π12－5π12，所以T ＝π.又T ＝2πω(ω>0)，所以2πω＝π，所以ω＝2.又2×5π12＋φ＝π2＋2kπ(k ∈Z )，且－π2<φ<π2，故φ＝－π3.【易错点】求φ时，容易忽略讨论k 【思维点拨】题型三 三角函数性质例1 （1）已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<|φ|<π2)为奇函数，且函数y ＝f(x)的图象的两相邻对称轴之间的距离为π2.(1)求f(π6)的值；(2)将函数y ＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间．【答案】（1）f(π6)＝2sin π3＝3（2）[kπ－π12，kπ＋5π12](k ∈Z )．【解析】（1）f(x)＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ) ＝2[12sin(ωx ＋φ)＋32cos(ωx ＋φ)]＝2sin(ωx ＋φ＋π3)．因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝2sin(φ＋π3)＝0，又0<|φ|<π2，可得φ＝－π3，所以f(x)＝2sin ωx ，由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2.故f(x)＝2sin 2x. 因此f(π6)＝2sin π3＝ 3.(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到f(x －π6)的图象，所以g(x)＝f(x －π6)＝2sin[2(x －π6)]＝2sin(2x －π3)．当2kπ－π2≤2x －π3≤2kπ＋π2(k ∈Z )，即kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k ∈Z )时，g(x)单调递增，因此g(x)的单调递增区间为[kπ－π12，kπ＋5π12](k ∈Z )．【易错点】 【思维点拨】题型四三角函数范围问题例1函数()23sin 0,42f x x x x ⎛π⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是 ． 【答案】1【解析】()2233πsin 1cos 0442f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，令cos x t =且[]01t ∈，，214y t =-+21t ⎛=-+ ⎝⎭，则当t =时，()f x 取最大值1． 【易错点】换元之后转化为二次函数在定区间上的定义域及最值 【思维点拨】 例2函数()cos sin =2+fx x x 的最大值为 .【解析】2()21f x +=【易错点】【思维点拨】辅助角公式运用 例3【2017年Ⅲ】函数()1ππsin cos 536f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（ ）. A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A 【解析】11()sin sin sin sin 5362533f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 6sin 53x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选A. 【易错点】本题属于中档题，基础差一点的学生在解题思路方面可能会存在一定问题，三角恒等变换中公式的选择对于学生来说是一个难点，对于老师教学来说是一个重点，选择合适的公式能起到事半功倍的效果！【思维点拨】题型五三角函数求值问题 例1已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ .【解析】由tan 2sin 2cos ααα==得 又22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=.因为0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 5α=，sin 5α=.因为cos cos cos sin sin 44αααππ⎛⎫-=π+ ⎪⎝⎭，所以cos 4525210πα⎛⎫-=+⨯= ⎪⎝⎭. 【易错点】【思维点拨】例2（1）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625（2）sin 20cos10cos160sin10-=（ ）A ．-B C ．12- D ．12【答案】（1）A （2）12【解析】（1）由sin 3tan cos 4ααα==，22cos sin 1αα+=，得3sin 5α=，4cos 5α=或3sin 5α=-， 4cos 5α=-，所以24sin 22sin cos 25ααα==，则2164864cos 2sin 2252525αα+=+=，故选A（2）原式=1sin 20cos10cos 20sin10sin(2010)sin 302+=+==【易错点】 【思维点拨】例3已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论f(x)在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．【答案】（1）f(x)的最小正周期为π，最大值为2－32,（2）f(x)在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减【解析】 (1)f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos xsin x －32(1＋cos 2x)＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f(x)的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x≤5π12时， f(x)单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x≤2π3时， f(x)单调递减．综上可知，f(x)在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 【易错点】【思维点拨】解答技巧，方法策略等 题型六 简单的三角恒等变换 例1(2018·新疆第二次适应性检测)cos10(13tan 30)cos50︒+︒︒的值是________．【答案】2【解析】依题意得cos 10°1＋3tan 10°cos 50°＝cos 10°＋3sin 10°cos 50°＝2sin 10°＋30°cos 50°＝2sin 40°sin 40°＝2.【易错点】【思维点拨】解答技巧，方法策略等 例2已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．【答案】（1）-3（2）1【解析】(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.【易错点】 【思维点拨】解三角函数的给值求值问题的基本步骤 (1)先化简所求式子或所给条件； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 例3若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4【答案】A【解析】选A ∵α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π，∵sin 2α＝55，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π. ∴α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2且cos 2α＝－255，又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010， ∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝⎝⎛⎭⎫－31010×⎝⎛⎭⎫－255－1010×55＝22，又α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，所以α＋β＝7π4. 【易错点】 【思维点拨】对于给值求角问题，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦函数较好．【巩固训练】题型一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1. 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,P y 是角θ终边上一点，且sin θ=则y = . 【答案】-8.【解析】由tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝1－tanθ1＋tanθ＝12，得tanθ＝13，∴sinθcosθ＝sinθcosθsin 2θ＋cos 2θ＝tanθtan 2θ＋1＝1319＋1＝310.故填310. 2. (1)已知tan α＝2，求值： ①2sin α－3cos α4sin α－9cos α；②4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.(2)已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝13，求sin θ－cos θ的值．【答案】(1)①-1②1(2)173【解析】(1)①2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.②4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.(2)∵sin θ＋cos θ＝13，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝19，∴sin θcos θ＝－49.∵θ∈(0，π)，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，θ， ∴sin θ>0>cos θ，sin θ－cos θ>0.由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋89＝179，得sin θ－cos θ＝173.3.若cos(π－α)＝53且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( ) A ．－53B ．－23C ．－13D ．±23【答案】B【解析】cos (π－α)＝－cos α＝53，∴cos α＝－53. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－532＝23， ∴sin (π＋α)＝－sin α＝－23，故选B ．题型二 三角函数图像1.为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( A ) A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移 π12个单位 D ．向左平移π4个单位【答案】A【解析】因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，所以将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象. 2.函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f(x 1)＝f(x 2)，则f(x 1＋x 2)＝( )A ．1B ．12C ．22D ．32【答案】D【解析】 观察图象可知，A ＝1，T ＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x ＋φ). 将⎝⎛⎭⎫－π6，0代入上式得sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝0. 由|φ|<π2，得φ＝π3，则f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f(x 1)＝f(x 2)，∴x 1＋x 22＝π12， ∴x 1＋x 2＝π6，∴f(x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32，故选D ． 3.已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性. 【答案】(1) ω＝1(2) f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增， 在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减.【解析】 (1)因为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4的最小正周期为π，且ω>0.从而有2π2ω＝π，故ω＝1． (2)因为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 若0≤x≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增； 当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x≤π2时，f(x)单调递减. 综上可知，f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增， 在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减. 题型三 三角函数性质1. 已知ω>0，函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，54 B ．⎣⎡⎦⎤12，34 C ．⎣⎡⎦⎤0，12 D ．[0,2]【答案】A【解析】由π2<x<π，ω>0得，ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4.又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54，故选A ．2.设函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f(x)的一个周期为－2πB ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f(x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f(x)在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减 【答案】D【解析】根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数一个周期为－2π，A 项正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－1，所以B 项正确；f(x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f(x ＋π)＝0，所以C 项正确；函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在⎝⎛⎭⎫π2，23π上单调递减，在⎝⎛⎭⎫23π，π上单调递增，故D 项不正确，故选D ．3.已知函数①y ＝sin x ＋cos x ，②y ＝22sin xcos x ，则下列结论正确的是( ) A ．两个函数的图象均关于点⎝⎛⎭⎫－π4，0中心对称 B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π4对称C ．两个函数在区间⎝⎛⎭⎫－π4，π4上都是单调递增函数 D ．将函数②的图象向左平移π4个单位得到函数①的图象【答案】C【解析】函数①y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，②y ＝22·sin xcos x ＝2sin 2x ，由于①的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π4，0中心对称，②的图象不关于点⎝⎛⎭⎫－π4，0中心对称，故A 项不正确；由于函数①的图象不可能关于直线x ＝－π4对称，故B 项不正确；由于这两个函数在区间⎝⎛⎭⎫－π4，π4上都是单调递增函数，故C 项正确；将函数②的图象向左平移π4个单位得到函数y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象，而y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，故D 项不正确，故选C ．题型四三角函数范围问题1.已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是 .【答案】3√32【解析】由题意可得T=2π是f(x)=2sin x+sin 2x 的一个周期,所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在[0,2π)上的值域.由f(x)=2sin x+sin 2x,得f'(x)=2cos x+2cos 2x=4cos 2x+2cos x -2.令f'(x)=0,可得cos x=12或cos x=-1,x ∈[0,2π)时,解得x=π3或x=5π3或x=π.因为f(x)=2sin x+sin 2x 的最值只能在x=π3,x=5π3,x=π或x=0时取到,且f (π3)=3√32,f (5π3)=-3√32,f(π)=0,f(0)=0,所以函数f(x)的最小值为-3√32.2.已知y ＝3－sin x －2cos 2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，求y 的最大值与最小值之和． 【答案】238【解析】 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x) ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.故函数的最大值与最小值的和为2＋78＝238.3.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称. (1)求ω，φ的值； (2)求f(x)的单调递增区间；(3)若x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π2，求f(x)的最大值与最小值， 【答案】(1)ω＝23.(2) ⎣⎡⎦⎤3kπ－3π2，3kπ，k ∈Z (3) 函数f(x)的最大值为1，最小值为0. 【解析】(1)因为f(x)＝sin(ωx ＋φ)是R 上的偶函数，所以φ＝π2＋kπ，k ∈Z ，且0≤φ≤π，则φ＝π2，即f(x)＝cos ωx.因为图象关于点M ⎝⎛⎭⎫34π，0对称， 所以ω×34π＝π2＋mπ，m ∈Z ，ω＝23＋4m3，又0<ω<1，所以ω＝23.(2)由(1)得f(x)＝cos 23x ，由－π＋2kπ≤23x≤2kπ，且 k ∈Z 得，3kπ－3π2≤x≤3kπ，k ∈Z ，所以函数的递增区间是⎣⎡⎦⎤3kπ－3π2，3kπ，k ∈Z . (3)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π2，所以23x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π3， 当23x ＝0时，即x ＝0，函数f(x)的最大值为1， 当23x ＝－π2时，即x ＝－3π4，函数f(x)的最小值为0.题型五三角函数求值问题 1.设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A ．3π4B ．5π4C ．7π4D ．5π4或7π4【答案】 C【解析】∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010，∴cos α＝－255，sin β＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α＋β＝7π4. 2.已知函数f(x)＝2cos 2ωx －1＋23sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x ＝π3是函数f(x)的图象的一条对称轴.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g(x)的图象是由y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求sin α的值. 【答案】（1）f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2kπ－2π3，2kπ＋π3(k ∈Z )（2） 【解析】 (1)f(x)＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6，（2）43－310由于直线x ＝π3是函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以sin ⎝⎛⎭⎫2π3ω＋π6＝±1，因此2π3ω＋π6＝kπ＋π2(k ∈Z )，解得ω＝32k ＋12(k ∈Z )，又0<ω<1，所以ω＝12，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.由2kπ－π2≤x ＋π6≤2kπ＋π2(k ∈Z )，得2kπ－2π3≤x≤2kπ＋π3(k ∈Z )， 所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2kπ－2π3，2kπ＋π3(k ∈Z ). (2)由题意可得g(x)＝2sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π6，即g(x)＝2cos x 2， 由g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝65，得cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故π6<α＋π6<2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.3.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值. 【答案】－3＋23 【解析】 cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α－sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－⎣⎡⎦⎤1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－33－⎝⎛⎭⎫1－13＝－3＋23. 题型六 简单的三角恒等变换1.已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，则cos 2α＝( ) A ．1 B ．－1 C.12D ．0【答案】选D【解析】 ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α， ∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即⎝⎛⎭⎫12－32sin α＝－⎝⎛⎭⎫12－32cos α， ∴tan α＝sin αcos α＝－1，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0.2.计算cos 10°－3cos －100°r(1－sin 10°)＝________(用数字作答)．【答案】2【解析】cos 10°－3cos －100°r(1－sin 10°)＝cos 10°＋3cos 80°1－cos 80°＝cos 10°＋3sin 10°2sin 40°＝2sin10°＋30°r(2sin 40°)＝2.3.已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，则β＝________.【答案】π3【解析】由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437，由0<β<α<π2，得0<α－β<π2，又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.。
专题06 三角函数及解三角形——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编(解析版).docx
专题06三角函数及解三角形2020年高考真题1. ［2020年高考全国I卷理数】设函数f(x) = cos(®x + -)在［-”，兀］的图像大致如下图，则/(%)的最小正6周期为9 64兀3兀C. —D.兰3 2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点( 4 兀1T \将它代入函数/(兀)可得：cosl一- •<« + —1 = 0,又［-普,o］是函数/(兀)图象与x轴负半轴的第一个交点,十.I 4兀兀兀5 e 3所以-亍0+丁丐,解得r •2K _ 2兀_ 4兀所以函数/(%)最小正周期为=T=T=T2故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.2. [2020 年高考全国I 卷理数】已知cc G (0,7i),且3COS2Q-8COSQ =5 ,贝0 sin^z =A. B.【答案】A又 a e (0, n),.'. sin a = Jl-cos? a =•故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解 能力，属于基础题.3.【2020年高考全国II 卷理数】若a 为第四象限角，则B. cos2a<0D. sin2a<0 【答案】D【解析】方法-：由。
为第四象限角，可得亍2炽“<2卄2炽从Z,所以 3兀 + 4k 兀 < 2a < 4兀 + 4-kn, e Z此时2a 的终边落在第三、四象限及V 轴的非正半轴上，所以sin2a<0,故选：D.兀方法二：当& =——时，cos 2a = cos 由a 在第四象限可得：sin a <0, cos a > 0 ,则由2 a 蕃1 aaz Qz < ，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力.C. sin2a>0>0,选项B 错误;<0,选项A 错误;【解析】3cos2a-8cosa = 5 ,得6cos 2tz-8coscr-8 = 0 -【答案】A2【解析】在ABC中，cosC = —, AC = 4, BC = 3, 3根据余弦定理：AB2 =AC2+BC2-2AC BC COS C，7AB- =42+32-2X4X3X-,3可得AB2 = 9，即AB — 3 ,… AB2+BC2-AC2 9 + 9-16 1由cos B = ------------------------- = ------------ =—,2ABBC2x3x3 9故cos B =—.9故选：A.5. [2020年高考全国III卷理数】已知2tan^-tan（0+ —）=7,则tan^=A. -2B. -1【答案】D【解析】2 tan - tan | ^ + — | = 7 , z. 2tan^~ tan^ + ^ =7 ,I 4 丿 1 - tan令/ = tan&,/Hl,则2/—土 = 7,整理得严_4/ + 4 = 0,解得t = 2,即tan6» = 2.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.6.【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（兀Day）.历史上，求圆周率兀的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数"充分大时，计算单位圆的内接正6“边形的周长和外切正6“边形（各边均与圆相切的正6“边形）的周长，将它们的算术平均数作为2兀的近似值.按照阿尔•卡西的方法，兀的近似值的表达式是2 71 、［/ — 71 -- 当“一 2571 6 _ 时，y = —1 二 2x^ + ^ = —+ 2^(^ e Z),3n < .30° 30°) 6n < .30° 30°) A. sin —— + tan ----- B. sin —— + tan ----- 1 n n 丿 I n n ) 3n (.60° 60°) 6n (.60° < 60°) c. sin ---- + tan ----- D. sin ----- + tan ----- I nn 丿 I nn ) 【答案】A 360° 60° 30° 【解析】单位圆内接正6〃边形的每条边所对应的圆周角为一 =——，每条边长为2sin —, nx6 n n 30° 所以，单位圆的内接正6〃边形的周长为12nsin ——, n30° 30° 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2tan —,其周长为12〃tan —, n n30° 30° 12nsin ----- 12ntan ---------.・.* 二 ----- n --------------- n _ 2( 30° 30°则 7i = 3n\ sin------ + tan --- I n n故选：A.【点睛】本题考查圆周率兀的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6〃边形和外切正6〃边形的 周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7. [2020年新高考全国I 卷】下图是函数y 二sin （亦+卩）的部分图像，贝!j sin （亦+卩）=【答案】BC=6“ sin 竺+ tan 竺, I n n ) A. sin(x + f)¥亠)【解析】由函数图像可知：- = -7T —— 2 3 71 _71 6~2 27T 则血=—=—=2,所以不选A, T 71 B.解得：cp 二 Ikn + 彳兀(£ e Z ),即函数的解析式为：y = sin| 2x + —TT + 2A ；7Z - | = sin| 2x + —+ —| = cos| 2x + — | = sin| — -2x I 3 丿(6 2丿(6丿(3 (\5/r而 cos I 2x + — I — - cos( — 2x) 故选：BC.【点睛】已知fix) =Asin(a}x +^)(A>0, e>0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的 是求待定系数e 和0常用如下两种方法：竺即可求出e ；确定y 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标xo,则令 exo+0 = O(或 a )xo+<p=7t'),即可求出 <p.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出co 和<p, 若对A, e 的符号或对°的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.&【2020年高考全国I 卷理数】如图，在三棱锥P ABC 的平面展开图中，AC=1, AB = AD =也,佔丄AC, AB±AD, ZCAE=30°,贝0 cosZFCB= _______________ .【答案】4【解析】 AB 丄AC, AB = j3, AC = E由勾股定理得BC = V A B 2+AC 2 = 2 ‘71 F(P)同理得 BD =品，：.BF = BD = ^，在△4CE 中，AC = 1, AE = AD =运,ZCAE = 30 ，由余弦定理得 CF = 3+^2—240 AEcos30 =l + 3-2xlxV3x —= 1, 2:.CF = CE = 1,在 BCF 中，BC = 2, BF =愿，CF = 1,CF~ + BC 2 -BF 2由余弦定理得cos ZFCB = 七——2CFBC故答案为：—. 4【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.9.【2020年高考全国III 卷理数】16.关于函数f (x) =sinx ——-—有如下四个命题: sinx®f (%)的图像关于y 轴对称.®f (x)的图像关于原点对称.1T®f (X )的图像关于直线x=3对称.®f (X )的最小值为2.其中所有真命题的序号是 __________ .【答案】②③所以，函数/(x)的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数/(X )的定义域为[x\x^kn,k^Z^ ,定义域关于原点对称, / ( -x) = sin (-%) + —r = - sin x - -— = -fsinx + -^―] = -/(%),sin (—兀) sinx I sinx)所以，函数/(x)的图象关于原点对称，命题②正确;1 + 4-6 2x1x2 【解析】对于命题①,A 7C \ . (7C ] 1(2 丿(2 ) .(7i' 7' 7 sm —+ x12所以，函数/(x)的图象关于直线x = |对称，命题③正确;对于命题④，当一7i<x<0时，sinx<0,贝J f(x} = sinx + — <0< 2 , sinx命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.JT 210.【2020年高考江苏】已知sin2(-+ <?) = -,则sin2a 的值是▲.4 3【解析】Qsin2(—+ cr) = (-^cosa-\——sin a)2 = —(1 + sin 2a)4 2 2 21 2 1— (1 + sin 2a) = —sin 2a =—2 3 3故答案为：-3【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.11.【2020年高考北京】若函数/(x) = sin(x+^) + cosx的最大值为2,则常数0的一个取值为 _______________IT TT【答案辽(2唸+亍心均可)【解析】因为 (兀)=cos ©sin 兀 +(sin 0 + 1)cos 兀=Jcos? 0 +(sin 0 + 1)2 sin (兀+ 0), 所以Jcos?(p + (sin(p +1『=2,解得sin0 = l,故可取^ = ~-7T7T故答案为：-(2^ + -,^eZ 均可). 2 2【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数 学运算能力，属于基础题.1T12. [2020 年高考浙江】已知 tan& = 2,则 cos2& = _______ , tan(6>-一) = ______ .3 1【答案】V 巧cos 2 0-sin 2 0 _ 1-tan 2 _ 1 -22cos 2 ^ + sin 2 0 1 + tan 2 0 1 + 223 1故答案为： 【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.13. [2020年高考江苏】将函数y = 3sin(2x +^)的图象向右平移夕个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最 4 6近的对称轴的方程是▲ • 【答案】2-峯 24V/ 'j I r jl【解析】y — 3sin[2(x ---- ) —] = 3 sin(2x ------ ) 6 4 12小 TC TC , , x 7 TT k/C 7 x2x ------ — —F k 兀G Z)x — ----------- 1 ---- (k G Z) 12 2 24 2当k = -1时兀=——• 24故答案为：x =———24 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.14. [2020年新高考全国I 卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O 为圆孔 及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧与直线BC 的切点，四边 形 DEFG 为矩形，BC 丄DG,垂足为 C, tanZODC= - , BH//DG , EF=12 cm, DE=2 cm, A 到直线5DE 和EF 的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为 ___________ cm 2.【解析】cos 20 = cos 2 0 - sin 2 0 = tan <9-1 l + tan& 2-11 + 2【答案】4 + »兀 2【解析】设05 = OA=r,由题意AM = AN = 1, EF = \2，所以NF = 5,因为 AP = 5,所以 ZAGP = 45\因为 BH//DG,所以 ZAH0 = 45°，因为AG 与圆弧4B 相切于A 点，所以Q4丄4G,即AOAH 为等腰直角三角形；在直角△0QD 中，0Q = 5_^r ，DQ = l-—r ，2 2因为 tanZ0DC = -^ = |，所以 21- —r = 25-^r ， DQ 5 22 解得 r = 2A /2 ；等腰直角MAH 的面积为恥》2屈2尽4；I 所以阴影部分的面积为S] + S?—㊁兀=4 +三-•故答案为：4 + T.扇形A0B 的面积S 2 = =3乃，【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.15.【2020 年高考全国II 卷理数】/XABC 中，sin2A —sin2B—sin2C= sinBsinC.(1)求A；(2)若BC=3,求zMBC周长的最大值.【解析】(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2^AC AB，①由余弦定理得BC2 = AC2 +AB2- 2AC AB cos A，②由①，②得cos A =—.22兀因为0<4<兀，所以A =—.3(2)由正弦定理及(1)得上匕=少-=-?£ = 2巧，sin B sin C sin A从而AC = 2A/3 sin B , AB = 2^3 sin(兀一A - B) = 3 cos B一A/3 sin B.故BC + 4C + AB = 3 + 7^sinB + 3cosB = 3 + 2V^sin(B + ¥).X0<B<-,所以当B =-时，AABC周长取得最大值3 + 2^3-3 616.[2020年高考江苏】在A ABC中，角A, B, C的对边分别为°, b, c,已知a = 3,c =迈,B = 45。
2020高考数学(理数)题海集训18三角函数图象性质(30题含答案)
得 f(x) 的单调递增区间为
5π kπ－ ， kπ＋
π
12
12
(k
∈ Z) ，故选
B.
15. 答案为： C;
【解析】由
，当
时，
，
因为
，所以当
时，正数 取得最小值 ，故选 C
16. 答案为： C;
∵ f(x)=(1-2cos
2x)sin
3π ＋ θ - 2sin x · cos xcos
π －θ
2
2
13. 下列叙述：
①作正弦函数的图象时，单位圆的半径长与
x 轴的单位长度必须一致；
②y= sin x ，x∈[0 ， 2π] 的图象关于点 P( π， 0) 对称；
③y= cos x ，x∈[0 ， 2π] 的图象关于直线 x=π 成轴对称图形；
④正、余弦函数 y=sin x 和 y=cos x 的图象不超出直线 y= － 1 与 y=1 所夹的区域 .
其中正确的个数为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
14. 答案为： B；
2 因为 sin φ －cos φ = 2 ，所以
2sin
π φ－ 4
=
2 ?
2
φ
－
π 4
π =
6
?
5π φ = 12 .
因为 f(x)=sin
2(x ＋ φ )= 1－ cos
2x＋ 2φ 2
5π
1－ cos 2x＋ 6
=
2
，
5π 所以由 2x＋ 6 ∈ [2k π， 2k π ＋ π](k ∈ Z)
2x)sin
3π 2 ＋θ -2sin xcos xcos(
2020年三角函数部分高考题(带答案)
作者：败转头作品编号44122544：GL568877444633106633215458 时间：2020.12.13三角函数部分高考题1.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ B ）A ．1BCD ．23.()2tan cot cos x x x +=( D )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x4.若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( C )（Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭5.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是C （A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π=+，x R ∈（C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)32y x π=+，x R ∈ 6.设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则D（A ）c b a << （B ）a c b << （C ）a c b << （D ）b a c <<7.将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（ C ）A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π8.已知cos （α-6π）+sin α=的值是则)67sin(,354πα-（A ）-532 （B ）532 (C)-54 (D) 54 9.（湖北）将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3π平移得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4x π=,则θ的一个可能取值是AA.π125 B. π125- C. π1211 D. 1112π- 10.函数2()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( C ) A.1 B.132+ C.32D.1+311.函数f(x)=sin 132cos 2sin x x x---(02x π≤≤) 的值域是B（A ）[-2,02] (B)[-1,0] （C ）[-2,0]（D ）[-3,0]12.函数f (x )=cos x (x )(x ∈R)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y =-f ′(x )的图象，则m 的值可以为AA.2πB.πC.－πD.－2π 13.在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是C（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 14.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =B （A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2- 15.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ B ） A. 1 B. 2C. 1/2D. 1/316.0203sin 702cos 10--=（ C ）A.12B.2C. 2D.217.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是 218.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6π. 19.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ．10 20.已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 ．π 21.已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．14322．设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.23.在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长． 解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =，由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=． ··········· 5分 （Ⅱ）由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=， 由（Ⅰ）知33sin 65A =，故65AB AC ⨯=， ···························· 8分又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==，故2206513AB =，132AB =．所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==． ························10分24.已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=+112cos 222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤， 所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 25.求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。
三角函数10道大题(带答案解析)
三角函数10道大题(带答案解析)1. 题目：已知sinA = 3/5，且A为锐角，求cosA的值。
答案解析：由sinA = 3/5可知，对边与斜边的比值为3/5。
根据勾股定理，我们可以求出邻边的长度，进而求出cosA的值。
设斜边长度为5，对边长度为3，则邻边长度为4。
因此，cosA = 4/5。
2. 题目：已知tanB = 2/3，且B为钝角，求sinB的值。
答案解析：由tanB = 2/3可知，对边与邻边的比值为2/3。
由于B为钝角，我们可以利用tanB = sinB/cosB的关系，结合勾股定理，求出sinB的值。
设邻边长度为3，对边长度为2（因为B为钝角，对边为负值），则斜边长度为根号13。
因此，sinB = 2/根号13。
3. 题目：已知cosC = 1/2，且C为锐角，求tanC的值。
答案解析：由cosC = 1/2可知，邻边与斜边的比值为1/2。
根据勾股定理，我们可以求出对边的长度，进而求出tanC的值。
设斜边长度为2，邻边长度为1，则对边长度为根号3。
因此，tanC = 根号3/1。
4. 题目：已知sinD = 1/2，且D为钝角，求cosD的值。
答案解析：由sinD = 1/2可知，对边与斜边的比值为1/2。
由于D为钝角，我们可以利用sinD = cos(90° D)的关系，结合勾股定理，求出cosD的值。
设斜边长度为2，对边长度为1（因为D为钝角，对边为负值），则邻边长度为根号3。
因此，cosD = 根号3/2。
5. 题目：已知tanE = 1，且E为锐角，求sinE的值。
答案解析：由tanE = 1可知，对边与邻边的比值为1。
根据勾股定理，我们可以求出斜边的长度，进而求出sinE的值。
设邻边长度为1，对边长度为1，则斜边长度为根号2。
因此，sinE = 1/根号2。
6. 题目：已知cosF = 1/2，且F为钝角，求tanF的值。
答案解析：由cosF = 1/2可知，邻边与斜边的比值为1/2。
2020年高考数学(理)高频考点 三角函数与解三角形 专题10 高考常考题型综合解析(解析版)
三角函数与平面向量10 高考常考题型综合解析一、具体目标：高考对本内容的考查主要有：(1)正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是B 级要求，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.(2)三角函数的有关知识大部分是B 级要求，只有函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质是A 级要求；试题类型可能是填空题，同时在解答题中也有考查，经常与向量结合考查，构成基础题. 二、知识概述：1.正、余弦定理、三角形面积公式 (1)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径). 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ； a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ； 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ； 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A . 2.常见三种函数的图象与性质函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象【考点讲解】单调性在⎣⎢⎡－π2＋2k π，⎦⎥⎤π2＋2k π (k ∈Z )上单调递增； 在⎣⎢⎡π2＋2k π，⎦⎥⎤3π2＋2k π(k ∈Z )上单调递减在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上单调递减在⎝ ⎛－π2＋k π，⎭⎪⎫π2＋k π (k ∈Z )上单调递增 对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝π2＋k π(k ∈Z )对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0 (k ∈Z )；对称轴：x＝k π(k ∈Z )对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )【温馨提示】1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到. 2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”. 3.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.4.对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x ，如果x 的系数不是1，则需把x 的系数提取后再确定平移的单位和方向.5.已知图象求函数y ＝A sin ()ωx ＋φ(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为（ ）2sin cos ++x xx x 【真题分析】A ．B ．C ．D ．【解析】本题考查函数的性质与图象，由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【答案】D2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．本题也可画出函数()sin sin f x x x =+的图象（如下图），由图象可得①④正确．【答案】C3.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x | 【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ，故选A ．图1图2图3【答案】A4.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=（ ）A ．15B ．55C ．33D ．255【解析】2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ． 【答案】B5.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④ 【解析】①若()f x 在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象， 由图1可知，()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，()f x 在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；④当()f x =sin （5x ωπ+）=0时，5x ωπ+=k π（k ∈Z ），所以ππ5k x ω-=， 因为()f x 在[0,2π]上有5个零点，所以当k =5时，π5π52πx ω-=≤，当k =6时，π6π52πx ω-=>，解得1229510ω≤<， 故④正确.③函数()f x =sin （5x ωπ+）的增区间为：πππ2π2π252k x k ω-+<+<+，732π2π1010k k x ωω⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<.取k =0，当125ω=时，单调递增区间为71ππ248x -<<， 当2910ω=时，单调递增区间为73ππ2929x -<<，综上可得，()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增.故③正确. 所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D. 【答案】D6.【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2-B ．2-C ．2D ．2【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=；又12π()sin ,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()24g =，∴2A =，∴()2sin 2f x x =，3π() 2.8f =故选C.【答案】C7.【2018年高考全国卷II 理数】若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．π4 B ．π2 C ．3π4D ．π 【解析】因为()πcos sin 2cos 4f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由π02ππ2π()4k x k k +≤+≤+∈Z 得π3π2π2π()44k x k k -+≤≤+∈Z ，因此[]π3ππ3ππ,,,,,,044444a a a a a a a ⎡⎤-⊂-∴-<-≥-≤∴<≤⎢⎥⎣⎦，从而a 的最大值为π4，故选A.【答案】A 8.【2018年高考天津】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为ππsin 2sin2105y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足()ππ2π22π22k x k k -≤≤+∈Z ，即()ππππ44k x k k -≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：()π3π2π22π22k x k k +≤≤+∈Z ，即()π3πππ44k x k k +≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递减区间为：5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选A. 【答案】A9.【2017年高考山东卷理数】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ） A ． B ． C ．2A B = D ．2B A = 【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+，所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，故选A.【答案】A10.【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 . 【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭a b c 2a b =2b a =()2222222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭2222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式22222122==22110⎛⎫⨯+-⨯ ⎪+⎝⎭； 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()2233[]=1210()13⨯-+--⨯-+.综上，π2sin 2.410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【答案】21011.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =， 解得23,23c c ==-（舍去），所以243a c ==，113sin 43236 3.222ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△ 【答案】6312．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，225AC =AB +BC =，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以1225BD =. ππ72cos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【答案】1225，721013.【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ 【答案】π6-14.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 【解析】因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα 所以11sin ,cos 22==αβ，因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【答案】12-15.【2017年高考浙江卷】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==， ∴1115cos ,sin 14164DBC DBC ∠=-∠=-=， ∴115sin 22BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=△． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=， 解得10cos 4BDC ∠=或10cos 4BDC ∠=-（舍去）． 综上可得，△BCD 面积为152，10cos 4BDC ∠=． 【答案】1510,2416.【2019年高考全国Ⅰ卷】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C ．【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-，由题设及正弦定理得()2sin sin 1202sin A C C ︒+-=，即631cos sin 2sin 222C C C ++=，可得()2cos 602C ︒+=-． 由于0120C ︒︒<<，所以()2sin 602C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+624+=．【答案】（1）60A ︒=；（2）62sin 4C +=.17.【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值； （2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【答案】（1）45；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=-. 18.【2019年高考天津卷理数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值； （2）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a aa cb B ac a a +-+-===-⋅⋅． （2）由（1）可得215sin 1cos 4B B =-=， 从而15sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故15371357sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ+⎛⎫+=+=-⨯-⨯=-⎪⎝⎭． 【答案】（1）14-；（2）35716+-.19．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-，直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=.因此道路PB 的长为15（百米）. （2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟. 在线段AD 上取点M （3，154），因为22221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由22(4)(93)15(4)AQ a a =-+-=>，得a =4321+，所以Q （4321+，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4321+，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4321(13)17321PQ =+--=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17321+（百米）.1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c =2，则C =（ ）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【解析】本题考点是三角形内角和公式，两角和的正弦公式，辅助角公式及正弦定理的应用. 由题意可知,π=++C B A 所以有()C A B +=sin sin ，所以原等式可整理成:()sin sin (sin cos )0++-=A C A C C ,也就是：sin cos cos sin sin sin sin cos 0++-=A C A C A C A C ，【模拟考场】即()sin sin cos 2sin sin 04π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭C A A C A ，因为是三角形△ABC ，.0π或≠C 所以有43π=A .由正弦定理得：C c A a sin sin =，得.6,21sin π==C C 得【答案】B2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1D ．3【解析】解法1：(余弦定理)由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得3＝1＋c 2－2c ×1×cos π3＝1＋c 2－c ，所以c 2－c －2＝0.所以c ＝2或－1(舍去)．法2：(正弦定理)由a sin A ＝b sin B ，得3sin π3＝1sin B ，所以sin B ＝12，因为b <a ，所以B ＝π6，从而C ＝π2，所以c 2＝a 2＋b 2＝4，所以c ＝2.【答案】B3.函数y =2xsin2x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】令()2sin2xf x x =，因为()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以()2sin2xf x x =为奇函数，排除选项A ，B ；因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，故选 D.【答案】D4.设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x =D ．()f x 在(π2，π)单调递减【解析】函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确； 函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π3x =对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确； 当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D.【答案】D5.设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ） A ．23ω=，12ϕπ= B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ． 【答案】A6.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D.【答案】D7.在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .【解析】因为0A π<<，所以215sin 1cos 4A A =-=， 又115sin 315,2428ABC S bc A bc bc ∆===∴=，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得 2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.【答案】88.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求cos C 的最小值. 【解析】()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B⎛⎫+=+⎪⎝⎭， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，即()2sin sin sin A B A B +=+.因为A B C π++=,所以()()sin sin sin A B C C π+=-=.从而sin sin =2sin A B C +. 由正弦定理得2a b c +=.()∏由()I 知2a bc +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立. 故 cos C 的最小值为12. 9.在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=o ，45A ∠=o ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若22DC =，求BC . 【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin 45sin ADB =︒∠，所以2sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<︒， 所以223cos 1255ADB ∠=-=. （2）由题设及（1）知，2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠225825225=+-⨯⨯⨯25=.所以5BC =. 【答案】（1）235；（2）5. 10. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A.（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =. 由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =.故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-. 所以2π3B C +=，故π3A =. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得33b c +=.故△ABC 的周长为333+.【答案】（1）23；（2）333+. 11. ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin2B AC +=． （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．【解析】（1）由题设及A B C ++=π，可得2sin 8sin2BB =，故()sin 41cos B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =(舍去)，15cos 17B =．（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14=sin 217△ABC S ac B ac =． 又=2ABC S △，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得：()()222217152cos 21cos 362(1)4,217b ac ac B a c ac B =+-=+-+=-⨯⨯+=所以2b =．【答案】（1）15cos 17B =；（2）2b =．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 【解析】（1）因为23,2,cos 3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以33c =. （2）因为sin cos 2A B a b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =. 因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =.因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 【答案】（1）33c =；（2）255. 13.如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处． 因为107,40AC AM ==，所以2240(107)30MC =-=，从而3sin 4MAC =∠， 记AM 与水面的交点为1P ，过1P 作P 1Q 1⊥AC ，Q 1为垂足， 则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12，从而AP 1=1116sin P MACQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ．同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1．记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处．过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32．因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=． 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠． 因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=． 于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠． 记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ，故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)【答案】（1）16 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)；（2）20 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)．。
2020全国卷高考专题：三角函数和解三角形
05三角函数和解三角形1.（2020•北京卷）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）．A . 30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B . 30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C . 60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D . 60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似值可得出结果.【详解】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n︒︒=⨯，每条边长为302sinn︒， 所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒， 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ︒，其周长为3012tan n n︒， 303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，则30303sintan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查圆周率π的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.2.（2020•北京卷）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()f x x θ=+2=，即可解出.【详解】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=.故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.3.（2020•北京卷）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin 2C =, S =选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =, 4S =. 【解析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得sin A ,再根据正弦定理求sin C ,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得sin ,sin A B ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求sin C ，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==-，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 7A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sin sin sin sin 7a c C A C C ==∴=11sin (118)822S ba C ==-⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，sin A B ∴====由正弦定理得：6sin sin a b a A B === （Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos 8161684C A B A B B A =+=+=+=11sin (116)622S ba C ==-⨯=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.4.（2020•全国1卷）设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A . 10π9 B .7π6 C . 4π3D . 3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解. 【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.5.（2020•全国1卷）已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ） AB .23C .13D【答案】A 【解析】用二倍角余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=， 即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴==故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.6.（2020•全国2卷）若α为第四象限角，则（ ） A. cos 2α＞0 B. cos 2α＜0C. sin 2α＞0D. sin 2α＜【答案】D【解析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可. 【详解】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α< 故选：D. 方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.（2020•全国2卷）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sinC. （1）求A ；（2）若BC ＝3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+ 【解析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.8.（2020•全国3卷）在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝（ ） A.19B.13C.12D.23【答案】A【解析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案. 【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅,2224322433AB =+-⨯⨯⨯, 可得29AB = ，即3AB =,由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯,故1cos 9B =.故选：A. .【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 9.（2020•全国3卷）已知2tan θ–tan(θ＋π4)＝7，则tan θ＝（ ） A. –2 B. –1C. 1D. 2【答案】D【解析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题. 10.（2020•全国3卷）关于函数f （x ）＝1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x ＝2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.11.（2020•江苏卷）已知2sin()4πα+ ＝23，则sin 2α的值是____. 【答案】13【解析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果. 【详解】221sin ())(1sin 2)42παααα+=+=+121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=,故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.12.（2020•江苏卷）将函数y ＝πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】524x π=-【解析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈,当1k =-时524x π=-,故答案为：524x π=-【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.13.（2020•江苏卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知3,45a c B ==︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）sin C =；（2）2tan 11DAC ∠=.【解析】（1）利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin C .（2）根据cos ADC ∠的值，求得sin ADC ∠的值，由（1）求得cos C 的值，从而求得sin ,cos DAC DAC ∠∠的值，进而求得tan DAC ∠的值.【详解】（1）由余弦定理得2222cos 92235b a c ac B =+-=+-⨯=，所以b =由正弦定理得sin sin sin sin c b c B C C B b =⇒==. （2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5ADC ∠==.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 5C == 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅34555525⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos DAC ∠==.所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题. 14.（2020•新全国1山东）下图是函数y ＝ sin(ωx ＋φ)的部分图像，则sin(ωx ＋φ)＝ （ ）A. πsin(3x +）B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +）D.5πcos(2)6x -【答案】BC【解析】首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 【详解】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A , 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭,故选：B C. 【点睛】已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.15.（2020•新全国1山东）在①ac =②sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin AB ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析【解析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA 的值，得到角,,A B C 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.【详解】解法一：由sin 3sin AB 可得：ab=(),0a b m m ==>，则：2222222cos 322c a b ab C m m m m =+-=+-⨯⨯=，即c m =.选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯==，1m ∴=，此时1c m ==.选择条件②的解析：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-，则：sin A ==，此时：sin 32c A m =⨯=，则：c m ==选择条件③的解析：可得1c mb m==，c b =，与条件=c 矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵(),,6sinA C B A C ππ===-+,∴()6sinA A C A π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,()1?2sinA A C =+= ，∴sinA =,∴tanA =23A π=,∴6B C π==,若选①，ac =,∵a ==2=c ＝1;若选②，3csinA =,3=,c =;若选③,与条件=c 矛盾. 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．16.（2020•天津卷）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是 A . ① B . ①③C . ②③D . ①②③【答案】B【解析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象， 故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.17.（2020•天津卷）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知5,a b c ===．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】（Ⅰ）4Cπ；（Ⅱ）sin A =；（Ⅲ）sin 2426A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可； （Ⅰ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅰ）先计算出sin ,cos ,A A 进一步求出sin 2,cos 2A A ，再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】（Ⅰ）在ABC中，由5,a b c ===及余弦定理得222cos 22a b c C ab +-===，又因为(0,)C π∈，所以4C π；（Ⅰ）在ABC 中，由4Cπ，a c ==及正弦定理，可得sin sin a C A c=== （Ⅰ）由a c <知角A为锐角，由sin A =cos A= 进而2125sin 22sin cos ,cos22cos 11313A A A A A ===-=，所以125sin(2)sin 2coscos2sin444132132A A A πππ+=+=⨯+⨯=26.【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.17.（2020•浙江卷）.已知tan 2θ=，则cos2θ=________；πtan()4θ-=______． 【答案】 (1).35 (2). 13【解析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos2θ，根据两角差正切公式得tan()4πθ-【详解】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++， tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++，故答案为：31,53-【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.18.（2020•浙江卷）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin b A =．（I ）求角B ；（II ）求cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II ）32⎤⎥⎝⎦ 【解析】（I ）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B 的大小； （II ）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【详解】（I ）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin sin ,sin 2B A A B =∴=△ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 32A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，113sin ,2232A π⎛⎤⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.10.（2020•上海卷）已知()=sin (0)f x x ωω>. （1）若f (x )的周期是4π，求ω，并求此时1()2f x =的解集； （2）已知=1ω，2g()()()()2x f x x f x π=+--，0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求g (x )的值域. 【答案】（1）1=2ω，5|=44,33x x x k x k k Z ππππ⎧⎫∈+=+∈⎨⎬⎩⎭或;（2）1-,02⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
2020年高考数学(理)之三角函数与解三角形 专题10 高考常考题型综合解析(解析版)
三角函数与平面向量10 高考常考题型综合解析一、具体目标：高考对本内容的考查主要有：(1)正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是B 级要求，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.(2)三角函数的有关知识大部分是B 级要求，只有函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质是A 级要求；试题类型可能是填空题，同时在解答题中也有考查，经常与向量结合考查，构成基础题. 二、知识概述：1.正、余弦定理、三角形面积公式 (1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径).变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ； a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ； 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ； 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A . 2.常见三种函数的图象与性质函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x【考点讲解】图象单调性在⎣⎢⎡－π2＋2k π，⎦⎥⎤π2＋2k π (k ∈Z )上单调递增； 在⎣⎢⎡π2＋2k π，⎦⎥⎤3π2＋2k π(k ∈Z )上单调递减在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上单调递减在⎝ ⎛－π2＋k π，⎭⎪⎫π2＋k π (k ∈Z )上单调递增 对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝π2＋k π(k ∈Z )对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0 (k ∈Z )；对称轴：x＝k π(k ∈Z )对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )【温馨提示】1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到. 2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”. 3.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.4.对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x ，如果x 的系数不是1，则需把x 的系数提取后再确定平移的单位和方向.5.已知图象求函数y ＝A sin ()ωx ＋φ(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【真题分析】1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【解析】本题考查函数的性质与图象，由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【答案】D2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．2sin cos ++x xx x综上所述，①④正确，故选C ．本题也可画出函数()sin sin f x x x =+的图象（如下图），由图象可得①④正确．【答案】C3.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x | 【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ，故选A ．图1图2图3【答案】A4.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=（ ）A ．15B ．55C ．33D ．255【解析】2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ． 【答案】B5.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④ 【解析】①若()f x 在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象，由图1可知，()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，()f x 在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；④当()f x =sin （5x ωπ+）=0时，5x ωπ+=k π（k ∈Z ），所以ππ5k x ω-=， 因为()f x 在[0,2π]上有5个零点，所以当k =5时，π5π52πx ω-=≤，当k =6时，π6π52πx ω-=>，解得1229510ω≤<， 故④正确.③函数()f x =sin （5x ωπ+）的增区间为：πππ2π2π252k x k ω-+<+<+，732π2π1010k k x ωω⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<.取k =0，当125ω=时，单调递增区间为71ππ248x -<<， 当2910ω=时，单调递增区间为73ππ2929x -<<，综上可得，()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增.故③正确. 所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D. 【答案】D6.【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2-B ．2-C ．2D ．2【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=；又12π()sin ,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()24g =，∴2A =，∴()2sin 2f x x =，3π() 2.8f =故选C.【答案】C7.【2018年高考全国卷II 理数】若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．π4 B ．π2 C ．3π4D ．π 【解析】因为()πcos sin 2cos 4f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由π02ππ2π()4k x k k +≤+≤+∈Z 得π3π2π2π()44k x k k -+≤≤+∈Z ，因此[]π3ππ3ππ,,,,,,044444a a a a a a a ⎡⎤-⊂-∴-<-≥-≤∴<≤⎢⎥⎣⎦，从而a 的最大值为π4，故选A.【答案】A 8.【2018年高考天津】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为ππsin 2sin2105y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足()ππ2π22π22k x k k -≤≤+∈Z ，即()ππππ44k x k k -≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：()π3π2π22π22k x k k +≤≤+∈Z ，即()π3πππ44k x k k +≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递减区间为：5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选A. 【答案】A9.【2017年高考山东卷理数】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ） A ． B ． C ．2A B = D ．2B A = 【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+，所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，故选A.【答案】A10.【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 . a b c 2a b =2b a =【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()2222222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭2222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式22222122==22110⎛⎫⨯+-⨯ ⎪+⎝⎭； 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()2233[]=1210()13⨯-+--⨯-+.综上，π2sin 2.410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【答案】21011.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =， 解得23,23c c ==-（舍去），所以243a c ==，113sin 43236 3.222ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△ 【答案】6312．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，225AC =AB +BC =，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以1225BD =. ππ72cos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【答案】1225，721013.【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ 【答案】π6-14.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 【解析】因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα 所以11sin ,cos 22==αβ，因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【答案】12-15.【2017年高考浙江卷】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==， ∴1115cos ,sin 14164DBC DBC ∠=-∠=-=， ∴115sin 22BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=△． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=， 解得10cos 4BDC ∠=或10cos 4BDC ∠=-（舍去）．综上可得，△BCD 面积为152，10cos 4BDC ∠=． 【答案】1510,2416.【2019年高考全国Ⅰ卷】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C ．【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-，由题设及正弦定理得()2sin sin 1202sin A C C ︒+-=，即631cos sin 2sin 222C C C ++=，可得()2cos 602C ︒+=-． 由于0120C ︒︒<<，所以()2sin 602C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+624+=．【答案】（1）60A ︒=；（2）62sin 4C +=.17.【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值； （2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=.（2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【答案】（1）45；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=-. 18.【2019年高考天津卷理数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值；（2）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得215sin 1cos 4B B =-=， 从而15sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故15371357sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ+⎛⎫+=+=-⨯-⨯=-⎪⎝⎭． 【答案】（1）14-；（2）35716+-.19．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-，直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=.因此道路PB 的长为15（百米）. （2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟. 在线段AD 上取点M （3，154），因为22221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由22(4)(93)15(4)AQ a a =-+-=>，得a =4321+，所以Q （4321+，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4321+，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4321(13)17321PQ =+--=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17321+（百米）.1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c =2，则C =（ ）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【解析】本题考点是三角形内角和公式，两角和的正弦公式，辅助角公式及正弦定理的应用. 由题意可知,π=++C B A 所以有()C A B +=sin sin ，所以原等式可整理成:【模拟考场】()sin sin (sin cos )0++-=A C A C C ,也就是：sin cos cos sin sin sin sin cos 0++-=A C A C A C A C ， 即()sin sin cos 2sin sin 04π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭C A A C A ，因为是三角形△ABC ，.0π或≠C 所以有43π=A .由正弦定理得：C c A a sin sin =，得.6,21sin π==C C 得【答案】B2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1D ．3【解析】解法1：(余弦定理)由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得3＝1＋c 2－2c ×1×cos π3＝1＋c 2－c ，所以c 2－c －2＝0.所以c ＝2或－1(舍去)．法2：(正弦定理)由a sin A ＝b sin B ，得3sin π3＝1sin B ，所以sin B ＝12，因为b <a ，所以B ＝π6，从而C ＝π2，所以c 2＝a 2＋b 2＝4，所以c ＝2.【答案】B3.函数y =2xsin2x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】令()2sin2xf x x =，因为()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以()2sin2xf x x =为奇函数，排除选项A ，B ；因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，故选D.【答案】D4.设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x =D ．()f x 在(π2，π)单调递减【解析】函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确； 函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π3x =对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确； 当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D.【答案】D5.设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ） A ．23ω=，12ϕπ= B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ． 【答案】A6.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D.【答案】D7.在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .【解析】因为0A π<<，所以215sin 1cos 4A A =-=， 又115sin 315,2428ABC S bc A bc bc ∆===∴=，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得 2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.【答案】88.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求cos C 的最小值. 【解析】()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B⎛⎫+=+⎪⎝⎭， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，即()2sin sin sin A B A B +=+.因为A B C π++=,所以()()sin sin sin A B C C π+=-=.从而sin sin =2sin A B C +. 由正弦定理得2a b c +=.()∏由()I 知2a bc +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立. 故 cos C 的最小值为12. 9.在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=o ，45A ∠=o ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若22DC =，求BC . 【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin 45sin ADB =︒∠，所以2sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<︒， 所以223cos 1255ADB ∠=-=. （2）由题设及（1）知，2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠225825225=+-⨯⨯⨯25=.所以5BC =. 【答案】（1）235；（2）5. 10. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A.（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =.故2sin sin 3B C =. （2）由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-.所以2π3B C +=，故π3A =.由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得33b c +=.故△ABC 的周长为333+.【答案】（1）23；（2）333+. 11. ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin2B AC +=． （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．【解析】（1）由题设及A B C ++=π，可得2sin 8sin2BB =，故()sin 41cos B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =(舍去)，15cos 17B =．（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14=sin 217△ABC S ac B ac =． 又=2ABC S △，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得：()()222217152cos 21cos 362(1)4,217b ac ac B a c ac B =+-=+-+=-⨯⨯+=所以2b =．【答案】（1）15cos 17B =；（2）2b =．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 【解析】（1）因为23,2,cos 3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以33c =.（2）因为sin cos 2A B a b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =.因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 【答案】（1）33c =；（2）255. 13.如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处． 因为107,40AC AM ==，所以2240(107)30MC =-=，从而3sin 4MAC =∠， 记AM 与水面的交点为1P ，过1P 作P 1Q 1⊥AC ，Q 1为垂足， 则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12，从而AP 1=1116sin P MACQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ．同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1．记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处．过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32．因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=． 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠． 因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=． 于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠． 记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ，故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)【答案】（1）16 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)；（2）20 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)．。
三角函数部分高考题(带答案)
三角函数部分高考题1.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ B ）A ．1BCD ．23.()2tan cot cos x x x +=( D )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x4.若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( C )（Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭5.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是C （A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π=+，x R ∈（C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)32y x π=+，x R ∈6.设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则D（A ）c b a << （B ）a c b << （C ）a c b << （D ）b a c <<7.将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（ C ）A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π8.已知cos （α-6π）+sin α=的值是则)67sin(,354πα- （A ）-532 （B ）532 (C)-54 (D) 549.（湖北）将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3π平移得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4x π=,则θ的一个可能取值是AA.π125 B. π125- C. π1211 D. 1112π-10.函数2()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( C )A.1B.12+ C.3211.函数f(x)02x π≤≤) 的值域是B（A ）] (B)[-1,0] （C ）]（D ）]12.函数f (x )=cos x (x )(x ∈R)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y =-f ′(x )的图象，则m 的值可以为AA.2πB.πC.－πD.－2π 13.在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是C（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 14.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =B （A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2- 15.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ B ） A. 1 B. 2C. 1/2D. 1/316.0203sin 702cos 10--=（ C ）A.12C. 2 17.函数f (x )＝3sin x +sin(?2+x )的最大值是 218.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6π. 19.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ．10 20.已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 ．π 21.已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．14322．设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.23.在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长．解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =，由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=． ··········· 5分 （Ⅱ）由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=， 由（Ⅰ）知33sin 65A =，故65AB AC ⨯=， ···························· 8分又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==，故2206513AB =，132AB =．所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==． ························10分24.已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=+112cos 222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤， 所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 25.求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。
2020年高考数学(理)必刷题《13 三角函数的概念及诱导公式》(解析版)
专题四 三角函数13三角函数的概念及诱导公式1．顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在y 轴上的角α的集合是 A ．π{|2π,}2k k αα=+∈Z B ．π{|2π,}2k k αα=-∈Z C ．π{|π,}2k k αα=+∈ZD ．π{|,}2k k αα=∈Z 【答案】C【解析】顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边落在y 轴上的角的取值集合为π{|π,}2k k αα=+∈Z ，故选C ．2．与角6π-终边相同的角是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】任一与 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和， 可得与角终边相同的角是， ，当 时，，故选D ． 3．若1sin(π)2A +=-，则sin(6π)A -= A ．12B ．12-C ．32-D ．32【答案】B【解析】∵1sin(π)2A +=-，∴1sin 2A -=-，∴1sin(6π)sin()sin 2A A A -=-=-=-， 故选B ．4．已知α是第三象限角，若3sin 2α=-，则tan α= A ．3-B ．3C ．33-D ．33【答案】B【解析】因为α是第三象限角，且3sin 2α=-，所以1cos 2α=-，所以sin tan 3cos ααα==． 故选B ．5．若(,)2απ∈π，4sin()5απ-=，则cos α= A ．35 B ．35- C ．45-D ．15【答案】B【解析】由诱导公式可得4sin()sin 5ααπ-==，∴3cos 5α=±， 又(,)2απ∈π，∴3cos 5α=-． 故选B ．6．已知tan 2α=，则sin 3cos 2sin cos αααα-=+A ．15-B ．15 C ．54-D ．54【答案】A【解析】因为tan 2α=，所以sin 3cos tan 32312sin cos 2tan 12215αααααα---===-++⨯+，故选A ．7．若sin cos 0θθ⋅<，tan 0sin θθ>，则角θ是 A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D 【解析】由tan 0sin θθ>，得10,cos 0cos θθ>>， 又sin cos 0θθ⋅<，所以sin 0θ<，所以θ为第四象限角， 故选D ．8．已知扇形OAB 的圆心角为8rad ，其面积是4 cm 2，则该扇形的周长是 A ．10 cm B ．4 cm C ．82cmD ．42cm【答案】A【解析】由题意得，设扇形的半径为r ，若扇形OAB 的圆心角为8rad ， 则根据扇形的面积公式可得2184,1,2S r r =⋅=∴=∴扇形的周长是21810r +⨯=， 故选A ．9．已知角α的终边上一点P 的坐标为22sin ,cos (33)ππ，则sin α= A ．12B ．12-C ．32D ．32-【答案】B【解析】由题可得角α的终边上一点P 的坐标为31(,)22-，它到原点的距离为1r =， 由任意角的三角函数定义可知1sin 2y r α==-， 故选B ．10．下列说法正确的是A ．钝角是第二象限角B ．第二象限角比第一象限角大C ．大于90︒的角是钝角D ．165-︒是第二象限角【答案】A【解析】钝角的范围为(90,180)︒︒，钝角是第二象限角，故A 正确；200-︒是第二象限角，60︒是第一象限角，但20060-︒<︒，故B 错误；由钝角的范围为(90,180)︒︒可知C 错误；由于18016590-︒<-︒<-︒，所以165-︒是第三象限角，D 错误． 故选A ．11．在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边逆时针旋转23π得到角β，若1sin()63απ+=，则=βcosA ．322-B ．32 C ．32D ．31-【答案】D【解析】由题可得2()326βααπππ=+=++，所以cos cos[()]sin()266βααπππ=++=-+， 因为1sin()63απ+=，所以31cos -=β，故选D ．12．已知27cos()39θπ+=-，则sin()6θπ+=A ．13B ．79C ．13-D ．79-【答案】B【分析】由于2()()362θθπππ+-+=，因此由诱导公式可求解． 【解析】由题可得2227sin()sin[()]sin[()]cos()6322339θθθθππππππ+=+-=--+=-+=， 故选B ．【名师点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值时，第一步应观察已知角和未知角的关系，通过角的关系确定选用什么公式，千万不能盲目地想当然地选用公式，否则可能会人为地加大难度，甚至不能正确地求解． 13．cos750︒=______________．【答案】32【解析】3cos750cos(72030)cos(236030)cos302︒=︒+︒=⨯︒+︒=︒=． 【名师点睛】本题考查利用诱导公式和特殊角的三角函数化简求值，属基础题.利用诱导公式和特殊角的三角函数化简求值即可． 14．若1sin()25απ+=，则cos α=______________． 【答案】15【解析】因为sin()cos 2ααπ+=且1sin()25απ+=，所以cos α=15． 【名师点睛】本题主要考查诱导公式的应用，属于简单题．对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度． 15．已知点(1,3)P 在角α的终边上，则6sin 8cos 3sin 2cos αααα+=-______________．【答案】267【解析】因为点(1,3)P 在角α的终边上，所以tan 3α=，所以6sin 8cos 3sin 2cos αααα+=-6tan 8638263tan 23327αα+⨯+===-⨯-．16．若12sin()613απ-=，则cos()3απ+=______________．【答案】1213【解析】因为12sin()613απ-=，所以πππ12cos()sin()sin()323613αααπ+=--=-=．17．化简：1cos()sin()tan()22αααππ++-π+的结果为______________．【答案】2cos α【解析】由题可得1cos()sin()tan()1sin cos tan 22ααααααππ++-π+=-22sin 1sin cos 1sin cos cos αααααα=-=-=．18．已知π3π(,)24α∈，sin a α=，cos b α=，tan c α=，那么,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】A【解析】此题可采用特值法，∵π3π(,)24α∈，故可取2π3α=， 此时3sin 2a α==，1cos 2b α==-，tan 3c α==-，即a b c >>成立．故选A ．19．已知π2(0,π),cos()62αα∈+=，则tan2α＝ A ．33B ．33-C ．3D ．3-【答案】A【解析】ππ7π(0,π),(,)666αα∈∴+∈， 由π2cos()62α+=可知ππ64α+=，则π12α=，所以π3tan2tan 63α==． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．首先求得α的值，然后结合特殊角的三角函数值求解tan 2α的值即可． 20．已知直线l 过点(2,0)-且倾斜角为α，若l 与圆22(3)20x y -+=相切，则3πsin(2)2α-= A ．35 B ．35-C ．45D ．45-【答案】A【解析】设直线:tan (2)l y x α=+，因为l 与圆22(3)20x y -+=相切，所以2|5tan |20,tan 21tan ααα=∴=±+，因此2222223πcos sin 1tan 143sin(2)cos22cos sin 1tan 145αααααααα----=-=-=-=-=+++， 故选A ．21．已知π02α-<<，1sin cos 5αα+=，则221cos sin αα=- A ．75 B ．257C ．725D ．2425【答案】B 【解析】因为π02α-<<，所以cos 0,sin 0αα><，可得cos sin 0αα->， 因为22(sin cos )(cos sin )2αααα++-=， 所以22149(cos sin )2(sin cos )22525αααα-=-+=-=，即7cos sin 5αα-=， 22177cos sin 5525αα-=⨯=，所以221cos sin αα-的值为257． 故选B ． 【名师点睛】由π02α-<<，可得cos 0,sin 0αα><，由平方关系可得7cos sin 5αα-=，从而得22177cos sin 5525αα-=⨯=，进而可得结果．三角函数求值常见的有三类：（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 22．已知角α的终边经过点(2,)P m （0m ≠），若5sin 5m α=，则3πsin(2)2α-=A ．35- B ．35 C ．45D ．45-【答案】B【解析】由题意得222||24OP m m =+=+（O 为坐标原点），所以25sin 54m m m α==+，解得21m =，即2211sin 55m α==，所以3πππsin(2)sin(22π)sin(2)cos 2222αααα-=+-=+=21312sin 1255α=-=-⨯=． 故选B ．23．已知a ∈R ，则“πcos()02α+>”是“α是第三象限角”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为πcos()02α+>，所以−sin 0,sin 0,ααα>∴<∴是第三、四象限和y 轴负半轴上的角．则α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角不能推出α是第三象限角；反之，α是第三象限角一定能推出πcos()02α+>，所以“πcos()02α+>”是“α是第三象限角”的必要不充分条件． 故选B ．【名师点睛】先化简“πcos()02α+>”，再利用充要条件的定义判断． （1）本题主要考查充要条件的判断和诱导公式，考查三角函数的值的符号，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力．（2）判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法． 24．由射线4(0)3y x x =≥逆时针旋转到射线5(0)12y x x =-≤的位置所成角为θ，则cos θ= A ．1665- B ．1665±C ．5665-D ．5665±【答案】A【解析】设4(0)3y x x =≥的倾斜角为α，则43sin cos 55αα==，， 射线5(0)12y x x =-≤的倾斜角为β，512sin cos 1313ββ==-，， ∴3124516cos cos()cos cos +sin sin ()51351365θβααβαβ=-==⨯-+⨯=-． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦函数公式，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．25．已知角α的终边经过点(,2)m m -，其中0m ≠，则sin cos αα+=A ．55-B ．55± C ．35-D ．35±【答案】B【解析】∵角α的终边经过点(,2)m m -，其中0m ≠， ∴0m >时，22sin 55m m α-==-，1cos 55m m α==，∴5sin cos 5αα+=-； 0m <时，22sin 55m m α-==-，1cos 55m m α==--，∴5sin cos 5αα+=． ∴5sin cos 5αα+=±． 故选B ．【名师点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，解题关键注意分析m 取正还是取负，属于基础题．利用三角函数定义确定sin α与cos α的值，即可得到结果． 26．已知θ为第三象限角，π1tan()43θ-=，则sin cos θθ-= A ．355-B ．55-C ．355D ．55【答案】B【解析】由π1tan()43θ-=，得1+1ππ3tan tan[()]=214413θθ=-+=-， 由同角三角函数基本关系式，得22sin 2cos sin cos 1θθθθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得221cos ,4sin 55θθ==．又因为θ为第三象限角，所以255sin ,cos 55θθ=-=-，则5sin cos 5θθ-=-． 故选B ．【名师点睛】先由两角和的正切公式求出tan θ，再利用同角三角函数基本关系式进行求解． （1）利用两角和差公式、二倍角公式进行三角恒等变形时，要优先考虑用已知角表示所求角，如：ππ(),2()()44θθααβαβ=-+=++-、2()()βαβαβ=+--；（2）利用同角三角函数基本关系式中的“22sin cos 1αα+=”求解时，要注意利用角的范围或所在象限进行确定符号．27．如果α是第三象限的角，那么3α必然不是下列哪个象限的角 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】α是第三象限的角，则3(2,2)2k k απ∈π+ππ+，k ∈Z ， 所以22(,)33332k k αππ∈π+π+，k ∈Z ； 所以3α可以是第一象限角、第三象限角或第四象限角． 故选B ． 28．函数sin |cos |tan |sin |cos |tan |x x xy x x x =++的值域是A ． ， ， ，B ． ， ，C ． ，D ． ，【答案】C【分析】因为角 的终边不能落在坐标轴上，所以分别求出角 终边在第一、第二、第三、第四象限时，根据三角函数的正负性，函数的表达式，进而求出函数的值域． 【解析】由题意可知：角 的终边不能落在坐标轴上， 当角 终边在第一象限时，； 当角 终边在第二象限时，； 当角 终边在第三象限时， ； 当角 终边在第四象限时，，因此函数的值域为 ， ，故选C ．29．已知3sin(),(,)52ααππ-=∈π，则sin2α=______________． 【答案】2425-【解析】依题意3sin(π)sin 5αα-==，由于(,)2απ∈π，所以24cos 1sin 5αα=--=-， 所以3424sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-．30．若1sin 2cos x x +=，则1sin cos x x-=______________．【答案】12【解析】方法1：由题意知1sin 2cos xx+=，则sin 2cos 1x x =-，代入22sin cos 1x x +=， 解得4cos 5x =，所以3sin 5x =，所以311sin 154cos 25x x --==． 方法2：显然22221sin 1sin 1sin cos 1cos cos cos cos x x x xx x x x+--⋅===， 因为1sin 2cos x x +=，所以1sin 1cos 2x x -=．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，联立求得cos ,sin x x 的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 31．已知直线2tan 10x y α++=的斜率为18，则3πcos2cos(2)2αα++=______________． 【答案】2317-【解析】∵直线2tan 10x y α++=的斜率为18，∴112tan 8α-=，即tan 4α=-． ∴223πcos 2cos(2)cos 2sin 2cos sin 2sin cos 2αααααααα++=+=-+ 222222cos sin 2sin cos 1tan 2tan 116823cos sin 1tan 11617ααααααααα-+-+--====-+++． 【名师点睛】由已知条件求出tan α的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得3πcos2cos(2)2αα++的值．应用三角公式解决问题的三个变换角度：（1）变角，目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”；（2）变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等；（3）变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等． 32．若4sin cos 3θθ-=，且3π(,π)4θ∈，则sin(π)cos(π)θθ---=______________． 【答案】23-【解析】由题意得416sin cos 12sin cos 39θθθθ-=⇒-=，于是72sin cos 9θθ=-， 由于3π(,π)4θ∈，()2sin(π)cos(π)sin cos sin cos θθθθθθ---=+=-+12sin cos θθ=-+=23-． 【名师点睛】对条件两边平方可得sin cos θθ，sin(π)cos(π)sin cos θθθθ---=+，利用“三姊妹”关系即可得到结果．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二． 33．已知1sin cos 5x x +=(0≤x ＜π)，则tan x 的值等于______________． 【答案】43-【分析】先根据sin cos x x +的值和二者的平方关系联立求得cos x 的值，进而根据同角三角函数的基本关系求得sin x 的值，最后利用商数关系求得tan x 的值．【解析】由1sin cos 5x x +=，得1sin cos 5x x =-，代入22sin cos 1x x +=， 得(5cos 4)(5cos 3)0x x -+=，4cos 5x ∴=或3cos 5x =-，当4cos 5x =时，得3sin 5x =-，又0x ≤<π，sin 0x ∴≥，舍去；当3cos 5x =-时，得4sin 5x =，∴4tan 3x =-．34．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同； ⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角．其中正确的命题是______________．（填序号） 【答案】③ 【解析】①43α=-π，则α为第二象限角；3βπ=，则β为第一象限角，此时αβ<，可知①错误； ②当三角形的一个内角为直角时，不属于象限角，可知②错误； ③由弧度角的定义可知，其大小与扇形半径无关，可知③正确； ④若3απ=，23βπ=，此时sin sin αβ=，但,αβ终边不同，可知④错误；⑤当θ=π时，cos 10θ=-<，此时θ不属于象限角，可知⑤错误． 综上，正确命题的序号为③．35．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B ．55C ．33D ．255【答案】B 【解析】2sin 2cos 21αα=+，24sin cos 2cos .(0,),cos 02αααααπ∴⋅=∈∴>，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 36．【2016年高考全国Ⅲ卷理数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【答案】A【解析】方法1：由tan α= ,cos 2α+sin 2α=1,得 或,则sin 2α=2sin αcos α= ,则cos 2α+2sin 2α= +．方法2：cos 2α+2sin 2α=2222cos 4sin cos 14tan 13649cos sin 1tan 25116ααααααα+++===+++．故选A ．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值； ②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．37．【2017年高考北京卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y轴对称．若1sin 3α=，则cos()αβ-=______________． 【答案】79-【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1s i n s i n 3βα==，22cos cos 3αβ=-=（或22cos cos 3βα=-=）， 所以2227cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-． 【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2π,k k αβ+=∈Z ，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z ．38．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则s i n()αβ+=______________．【答案】【解析】因为 ， ，所以， 因此．。
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4 2 ) 三角函数1.已知函数 f (x ) = 4 c os x s in(x +（Ⅰ）求 f (x ) 的最小正周期；) -1.6（Ⅱ）求 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值.6 42、已知函数 f (x ) = sin(2x + ) 3+ sin(2x - 3 + 2 cos 2 x - 1, x ∈ R .（Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期；（Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值.4 43、已知函数 f (x ) = tan(2x +),4（Ⅰ）求 f (x ) 的定义域与最小正周期；⎛ ⎫（II ）设∈ 0, ⎪ ，若 f ( ) = 2 cos 2, 求的大小⎝ ⎭4、已知函数 f (x ) =(sin x - cos x ) sin 2x.sin x（1） 求 f (x ) 的定义域及最小正周期；（2） 求 f (x ) 的单调递减区间.5、 设函数 f (x ) = cos(2x + + sin 2x .24（I ）求函数 f (x ) 的最小正周期；（ II ） 设 函 数 1g (x ) 对 任 意 x ∈ R ， 有g (x + 2 = g (x ) ， 且 当x ∈[0, ] 时 ， 2g (x ) = - f (x ) ，求函数 g (x ) 在[-, 0] 上的解析式.22 ) )3 + = 6、函数 f (x ) = A sin(x -称轴之间的距离为 ，2) +1（A > 0,> 0 ）的最大值为 3， 其图像相邻两条对 6（1）求函数 f (x ) 的解析式；（2）设∈(0, ) ，则 f ( ) = 2 ，求的值.2 27、设 f ( x ) = 4cos( ωx -π)sin ωx + cos 2ωx ，其中> 0.6（Ⅰ）求函数 y = f ( x ) 的值域（Ⅱ）若 y = f ( x ) 在区间⎡- 3π ,π⎤上为增函数，求 的最大值.⎣⎢ 2 2 ⎥⎦8、函数 f (x ) = 6 cos 2x + 23 cos x - 3(> 0) 在一个周期内的图象如图所示， A 为 图象的最高点， B 、C 为图象与 x 轴的交点，且∆ABC 为正三角形.（Ⅰ）求的值及函数 f (x ) 的值域；8 3 （Ⅱ）若 f (x 0 ) 5，且 x 0 ∈(- 10 2, ) ，求 f (x 0 1) 的值.3 39、已知 a , b , c 分别为∆ABC 三个内角 A , B , C 的对边， a cos C + 3a sin C - b - c = 0（1）求 A ；（2）若 a = 2 ， ∆ABC 的面积为 ；求b , c .10、在 ∆ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．已知 cos A cos C ．＝ 2，sin B ＝ 53(Ⅰ)求 tan C 的值； (Ⅱ)若 a ＝ 2 ，求∆ ABC 的面积．3 2 2 ) max+ = - (x )答案1、【思路点拨】先利用和角公式展开，再利用降幂公式、化一公式转化为正弦型函数，最后求周期及闭区间上的最值.【精讲精析】（Ⅰ）因为 f (x ) = 4 cos x sin(x + 1) -1 = 4 cos x ( sin x + cos x ) -1622= 3 sin 2x + 2 cos 2 x -1 = 3 sin 2x + cos 2x = 2 s in(2x +，所以 f (x ) 的最小正周期为.62（Ⅱ）因为- ≤ x ≤ 6 4 ，所以- ≤ 2x + ≤ 6 6 3 .于是，当2x + = 6 2 ，即 x =6时， f (x ) 取得最大值 2；当2x + = - 6 6 ，即 x = - 时， f (x ) 取得最小值－1.62、【解析】 （1）2f (x )= sin (2x + )+sin(2x - )+2cos x -1 = 2 s in 2x cos + cos 2x = 2 sin(2x + )3 3 3 42函数 f (x ) 的最小正周期为T = =23 （2） - ≤ x ≤ ⇒ - ≤ 2x + ≤ ⇒ - ≤ sin(2x +4 4 4 4 4 2 4) ≤ 1 ⇔ -1 ≤ f (x ) ≤当 2x + = (x = ) 时 ， 4 2 8 f (x )min = -1f (x ) = ， 当 2x = - 时 ， 4 4 4【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为 y =A sin (x +) 的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.3、【思路点拨】1、根据正切函数的有关概念和性质；2、根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值.k【精讲精析】（I）【解析】由2x +≠ + k , k ∈ Z ， 得 x ≠ + , k ∈ Z . 4 2 8 2k为 .2所以 f (x ) 的定义域为{x ∈ R | x ≠ + 8 2, k ∈ Z } ， f (x ) 的最小正周期（II）【解析】由 f ( ) = 2 cos 2, 得tan(+2) = 2 cos 2,42) ) )1 sin(+ 4 = 2(cos2 - s in 2 ), cos(+整理得4 sin + coscos - sin= 2(cos + sin )(cos - sin ). 21 1 因为∈(0, ) ，所以sin + cos ≠ 0.因此(cos - s in ) 4= ,即sin 2= .2 2由∈(0, ) ，得2∈(0, ) .所以2= ,即= .4 2 6 124、解（1）： sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ k(k ∈ Z ) 得：函数 f (x ) 的定义域为{x x ≠ k , k ∈ Z }f (x ) =(sin x - cos x ) sin 2x= (sin x - cos x ) ⨯ 2 cos xsin x= sin 2x - (1+ cos 2x ) = 2 sin(2x --14 2得： f (x ) 的最小正周期为T = = ；2（2）函数 y = sin x 的单调递增区间为[2k - , 2k + 2 2](k ∈ Z )3则2k - ≤ 2x - ≤ 2k + ⇔ k - ≤ x ≤ k +2 4 2 8 8得： f (x ) 的单调递增区间为[k - , k ),(k , k + 3](k ∈ Z )8 85、本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力.【 解 析 】1 1f (x ) = cos(2x + + sin 2 x = 1 cos 2x - 1 sin 2x + 1 (1- cos 2x )2 4 2 2 2= - sin 2x ， 2 22（I ）函数 f (x ) 的最小正周期T = =21 1（II ）当 x ∈[0, ] 时， g (x ) = - f (x ) = sin 2x2 当 x ∈[-2 21 1 sin 2x 当 x ∈[-, - ) 时， (x +) ∈[0, )2 2 g (x ) = g (x +) = sin 2(x +) = 2 2sin 2x⎧- 1 sin 2x (x ≤ 0) - ≤ ⎪ 22 得函数 g (x ) 在[-, 0] 上的解析式为 g (x ) = ⎨ .⎪ sin 2x (-≤ x <⎩⎪ 2 22 ) ) , 0] 时， (x + ) ∈[0, ] g (x ) = g (x + ) = 1 sin 2(x + ) = - 1 2 2 2 2 2 2 23 ⎢ ⎥ 6、【解析】（1）∵函数 f ( x ) 的最大值是 3，∴ A +1 = 3，即 A = 2 .∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ，∴最小正周期T =，∴= 2 .2故函数 f ( x ) 的解析式为 f (x ) = 2 s in(2x -) +1.61（2）∵ f ( ) = 2 s in(- 2) +1 = 2 ，即sin(- 6 ) = ，6 2∵ 0 << ，∴ - <- < ，∴- = ，故= .2 6 63 6 6 3⎛ 3 1⎫ 7、解：（1） f ( x ) = 4 2 cos x + 2 sin x ⎪⎪s in x + cos 2x ⎝ ⎭= 2 3 sin x cos x + 2 sin 2 x + cos 2 x - sin 2 x =3 sin 2x +1因-1 ≤ sin 2x ≤ 1，所以函数 y = f ( x ) 的值域为⎡1- 3,1+ 3⎤⎣⎦⎡ ⎤（2）因 y = sin x 在每个闭区间 ⎢⎣2k - 2 , 2k + 2 ⎥⎦ (k ∈ Z ) 上为增函数，故 f ( x ) = 3 sin 2x +1 (> 0) 在每个闭区间⎡ k - 4 , k + ⎤(k ∈ Z ) 上 4为增函数.⎡ 3 ⎤⎡ kk ⎤⎣⎦依题意知⎢- , ⎥ ⊆ ⎢ -, + ⎥ 对某个 k ∈ Z 成立，此时必有 k = 0 ，于是 ⎣ 2 2 ⎦ ⎣ 4 4⎦⎧- 3≥ -⎪ 2 41 1⎨⎪ ≤⎩ 2 4，解得≤ ，故的最大值为 . 6 6 8. 本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式，倍角公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想. [解析]（Ⅰ）由已知可得： f (x ) = 6 cos2x+ 23 cos x - 3(> 0)=3cosωx+ 3 sin x = 2 3 s in(x + )3又由于正三角形 ABC 的高为 2 ，则 BC=42 所以，函数 f (x )的周期T = 4 ⨯ 2 = 8，即= 8，得= 4所以，函数 f (x )的值域为[-2 3,2 3] .......................... 6 分 （Ⅱ）因为 f (x 0 ) =853，由（Ⅰ）有1 - ( 4)2 57 6 53 1 c os 2A5 561f (x ) = x 08 3x 0 42 3sin( 4 + ) =3 ， 即sin( 54 + ) = 35 由 x 0∈（- 10 2x 0 + ∈ (-，），得( ) , )3 34 3 2 2所以，即 x 0 3 cos( 4 + ) = =3 5 故 f (x + 1) = x 0= x 0 + + 02 3sin( = 4 x 0 + + ) 2 4 33sin[( ) ] 4 3 4x 0 2 3[sin( 4 + ) cos 3 4 + cos( 4 + ) s in3 4 = 2 3( 4⨯ 2 + 3 ⨯ 2 )5 2 5 2=12 分9..解：（1）由正弦定理得：a cos C + 3a sin C -b -c = 0 ⇔ sin A c os C - 3 sin A sin C = sin B + sin C⇔ sin A cos C + 3 sin A sin C = sin(a + C ) + sin C⇔ 3 sin A - cos A = 1 ⇔ sin( A - 30︒ ) = 12⇔ A - 30︒ = 30︒ ⇔ A = 60︒（2） S = bc sin A = ⇔ bc = 4 ， 2a 2 =b 2 +c 2 - 2bc cos A ⇔ b + c = 410. 本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点.(Ⅰ)∵cos A 2 0，∴sin A ＝ ，＝ ＞33又2 sin C ．35 cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝5 cos C ＋3整理得：tan C ＝ 5 ．(Ⅱ) 由图辅助三角形知： sin C ＝． 又由正弦定理知：a sin A c ，sin C故c 3 ． (1)b 2c 2 a 2 2对角 A 运用余弦定理：cos A ＝2bc ． (2) 3 解(1) (2)得： b 3 or b ＝ 3 (舍去)． ∴∆ ABC 的面积为：S ＝ 5． 3 2。