高二数学人教版：3.4基本不等式√ab≤(ab)2单元检测试卷(Word版含解析)

课时训练基本不等式:

(名师精选试题+详细解答过程，值得下载打印练习)

一、对基本不等式的理解及简单应用

1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是()

A.a+b≥２

B.

C.≥２

D.a2+b2>2ab

答案:C

解析:因为ab>0,所以>0,>0,

即≥２·=2,所以选C.

2.设0

A.a

B.a<

C.a<

D.

答案:B

解析:0

a<

3.①x+≥2;②≥2;③≥2;④>xy;⑤||||.

其中正确的是(写出序号即可).

答案:②

解析:当x>0时,x+≥2;当x<0时,x+≤-2,①不正确;

∵x与同号,∴=|x|+

≥2,②正确;

||

当x,y异号时,③不正确;

当x=y时,=xy,④不正确;

当x=1,y=-1时,⑤不正确.故填②.

二、利用基本不等式求最值

4.(2015河南郑州高二期末,8)已知a>0,b>0,且2是2a与b的等差中项,则的最小值为()

A. B. C.2 D.4

答案:B

解析:∵2是2a与b的等差中项,∴2a+b=4.

又∵a>0,b>0,

∴2ab≤=4,当且仅当2a=b=2,即a=1,b=2时取等号.

∴.故选B.

5.(2015福建厦门高二期末,8)已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值等于()

A.7

B.8

C.9

D.10

答案:C

解析:∵a>0,b>0,不等式恒成立,

∴m≤().

∵(2a+b)=5+≥５+2×2=9,当且仅当a=b时取等号.

∴m的最大值等于9.故选C.

6.设x>0,则y=3-3x-的最值为.

答案:大3-2

解析:∵x>0,∴3x+≥２.

∴-≤-2.

∴y=3-3x-≤３-2.

∴y有最大值3-2,当且仅当3x=时,即当x=时等号成立.

7.(2015河北邯郸三校联考,15)设x,y满足x+4y=40且x>0,y>0,则lg x+lg y的最大值

是.

答案:2

解析:因为x,y满足x+4y=40且x>0,y>0,

所以lg x+lg y=lg(xy)=lg(x·4y)-lg 4

≤lg-lg 4=lg 400-lg 4=2.

当且仅当x=4y,即x=20,y=5时,等号成立.

8.设常数a>0,若9x+≥a+1对一切正实数x成立,则a的取值范围为.

答案:,∞

解析:∵x>0,a>0,∴9x+≥６a,当且仅当9x=,即x=时取等号.

从而由原不等式对x>0恒成立得6a≥a+1,

∴a≥.

三、利用基本不等式解决实际问题

9.(2015江西吉安联考,20)新余到吉安相距120 km,汽车从新余匀速行驶到吉安,速度不超过120 km/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分两部分组成:可变部分与速度

v(km/h)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a元.

(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数;并求出当a=50,b=时,汽车应以多大速度行驶,才能使得全程运输成本最小;

(2)随着汽车的折旧,运输成本会发生一些变化,那么当a=,b=,此时汽车的速度应调整为多大,才会使得运输成本最小.

解:(1)由题意知,汽车从新余匀速到吉安所用时间为,

全程成本为y=(bv2+a)·=120,v∈(0,120].

当a=50,b=时,y=120≥240··=120(当且仅当v=100时取等号).

所以汽车应以100 km/h的速度行驶,能使得全程运输成本最小.

(2)当a=,b=时,y=120,

由双勾函数的单调性可知v=120时,y有最小值.

所以汽车应以120 km/h的速度行驶,才能使得全程运输成本最小.

(建议用时:30分钟)

1.已知0

A. B. C. D.

答案:A

解析:∵00,

则x(3-3x)=3[x(1-x)]≤３×-

,

当且仅当x=1-x,即x=时取等号.

2.下列结论正确的是()

A.当x>0且x≠1时,lg x+≥２

B.当x>0时,≥２

C.当x≥２时,x+的最小值为 2

D.0

答案:B

解析:选项A,当x∈(0,1)时,lg x<0,不满足基本不等式恒为正数的要求;

选项B中满足“一正、二定、三相等”的条件,是正确选项;

选项C,当x>0时,x+≥2,等号成立的条件为x=1,当x≥２时,x+(利用函数单调性处理);

对于D,设f(x)=x-,则f'(x)=1+>0,函数为增函数,因而最大值为.

3.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()

A. B. C.5 D.6

答案:C

解析:∵x+3y=5xy,∴=1.

∴3x+4y=(3x+4y)+2·=5.

当且仅当,即x=2y时等号成立.

4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a

A.a

B.v=

C.

D.v=

答案:A

解析:v=.

因为-a=----

=0,所以>a,即v>a.故选A.

5.已知函数y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b=()

A.-3

B.2

C.3

D.8

答案:C

解析:y=x-4+=x+1+-5,