常数函数

常数函数

一个函数也不会改变它的参数有所不同。的函数图一维常数函数是一个直行。的导数的一个常数函数是

(1)和积分是

(2)的傅里叶变换的常数函数是由

(3)在哪里是δ函数.

刘维有界性定理

有界整函数在复平面是恒定的。的代数基本定理作为一个简单的推论。

整函数

如果一个复变函数是分析有限的点复平面,那么它是全部,有时也被称为“积分”(Knopp 1996,p . 1996)。

任何多项式是完整的。

具体的例子在下表中给出整个函数。

,

,

,

,

, , , , , , , , , ,

, , ,

刘维有界性定理州,有界的必须是整个函数常数函数.

参

Xi-Function

最

小值

5

马

克斯

5

xi-function是函数

(1)

(2)

在哪里是黎曼ζ函数和是γ函数(Gradshteyn和Ryzhik 2000,p . 1076;1999年哈代,p。41;2001年爱德华,第16页)。这是最初由黎曼函数的一种变体在他的里程碑式的论文(黎曼1859),现在上面的标准符号是兰道(爱德华兹2001年,p . 16)。

这是一个整函数(爱德华兹2001年,p . 16)。

的零和它的衍生品都是位于关键地带,在那里。因此,非平凡的0黎曼ζ函数完全对应的(即。的根是相同的吗真实的),额外的好处完全是真实的。

最初几个零值发生在总结在下表中(车1991年,页361 - 362和367 - 367;Havil 2003,p . 196;教授),在相应的负值也根。接近这些值的整数14日,21日,25日,30日,33岁,38岁,41岁,43岁,48岁,50岁,…(OEIS A002410)。0的数量小于10, ,,……是0,29岁,649,10142,138069,1747146,……(OEIS A072080;Odlyzko)。

特殊值包括

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

的函数满足函数方程

(9) (爱德华兹2001年,p . 16)。

xi-function 有泰勒级数大约1/2的

(10)

在哪里

(11)

和

(12)

(13)

(爱德华兹2001年,p . 15)一个雅可比θ的函数。的系数简单的解析形式吗

(14)

(15)

(OEIS A114720).

如上所述,黎曼(1859年)和第一严格证明了阿达玛(1893),xi-function 可以写成

(16)

产品运行的根源在哪里的爱德华兹(2001)17 - 21页。区间。

xi-function 扩展到复平面上面的说明。 这个函数

有关

(17)

在哪里(Gradshteyn和Ryzhik 2000,p . 1074;2001年爱德华,16页),这是最初认为实际上表示的函数通过黎曼(爱德华兹2001年,p . 16)。这个函数也可以被定义为

(18)

给

(19)的de Bruijn-Newman常数定义的函数。

哈代(1914)证明无限多的实根(哈代的定理),哈代和Littlewood(1921)证明了数字0和之间的真正根源至少是对于一些积极的常数和所有足够大(1942)塞尔伯格(,Selberg)如此至少证明这个数字实际上是对于一些积极和所有的大型(爱德华兹2001年,p . 19)。

参见:

de Bruijn-Newman常数

让是xi-function定义为

(1)

可以被看作是吗傅里叶变换信号的

(2)为。然后表示傅里叶变换的作为 ,

(3)

de Bruijn(1950)证明只有真正的0的。c·m·纽曼(1976)证明存在一个常数这样只有真正的0敌我识别。目前最好的下界(1993年Csordas et al . 1993年)。的黎曼假设相当于这个猜想 .

参

de Bruijn常数

de Bruijn常数,也称为Copson-de Bruijn常数,是最小的常数

(OEIS A113276),这样的不平等

总是持有。

参见:

赖特函数

的整函数

在哪里和,英国数学家命名的e·m·赖特。

韦伯函数

虽然第二类贝塞尔函数有时也被称作韦伯函数,阿布拉莫维茨和Stegun 韦伯(1972)定义一个单独的函数是

(1)

这些函数也可以写成

(2)

在哪里是一个正则化超几何函数.

这个函数的实现Wolfram 语言作为WeberE (ν,z),是一个模拟的愤怒的函数. 真正的特殊值包括

(3)

(4)

(5)

(6)

在哪里是一个特斯。特鲁夫函数.

让是一个根的团结,另一组韦伯函数被定义为

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(韦伯,1902年特金和Morain 1902)是绰金η函数和是半周期比。这些函数有关Ramanujan g -和G-functions 和椭圆lambda 函数.

韦伯函数满足身份

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)