2020年山东省三校高三线上联考答案

高三年级第一次（在线）联考
数学试题解析 2020.3
1.【答案】C
解析：2x y =与2
y x =的图像有3个交点，{
}
2
2,x x x x R =∈的非空真子集的个数
6223=-个
2.【答案】B 解析：考察复数几何意义和椭圆定义
3.【答案】A
解析：()
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x x x x x 1-11-126
62 展开式通项为：
()()626628266661111k
r
k r k k r r k k r
r C x x C x C x C x x x ----⎛⎫⎛⎫⋅⋅--⋅⋅-=⋅-⋅-⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
令620820k r -=⎧⎨-=⎩，得34k r =⎧⎨=⎩，因此，二项式()6
211x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为346635C C --=-，故选：A.
4.【答案】C 解析：()C ,
5.27t ,82lg 1t ,10281t 故选解得解得由≤≤-≤- 5. 【答案】C
解析：定义域是{1}x x ≠±，2()()1
x x x e e f x x --=-，
22()()
()()()11
x x x x x e e x e e f x f x x x ------===---，即()f x 为偶函数，排除A
当(0,1)x ∈时，210x -<，0x >，1x e e <<，
11
1x
e e <<， ∴0x x e e -->，则()0
f x <，即可排除BD 综上，选C
6.【答案】C
解析：由韦达定理知：2
12124,3x x a x x a +==，
21144[4()]3333a b a a a a a a =+
=+=--+-≤-=-
当且仅当-
6
a b ==时，b 有最大值。

注意充分条件是小范围 7.【答案】D
解析：0x π≤≤，,6
6
6
wx w π
π
π
π∴-
≤-
≤-
=6
wx t π
-
令，画出sin y t =在
[,]66t w π
ππ∈-
-时的图形因区间左端点处函数值15sin()sin 6224ππ-=->-=，4560ππ
ωπ≤-≤12
1761≤
≤∴ω 8. 【答案】A
解析：因奇函数，则1
cos 3n n n a a π
+-=，
11
a = 当
1n =时，211cos 3
2a a π
-==
，23
2a =
当
2n =时，3221
cos 32a a π-==-，31a = 当
3n =时，433cos 13a a π
-==-，40a = 当
4n =时，5441cos 32a a π-==-，512
a =- 当
5n =时，6551
cos 32a a π-==，
60a = ..........
以此类推，即知T=6,
202012612342023
336(...)2S a a a a a a a ∴=+++++++=
9.【答案】AC 【解析】
A.已知随机变量ξ服从正态分布(
)2
~1
N ξσ，，()40.79P ξ≤=，则曲线关于1x =对称，
可得()410.790.21P ξ>=-=，()()-240.21P P ξξ≤=>=，故A 正确； B.若1~10,3x B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则()()12
3299102033
D X D X +==⨯⨯⨯
=，故B 错误 C.回归直线10.8y b x ∧
=+ 经过样本点的中心(4,50)，代入知：50410.8b
=+$，则9.8b =$，
故C 正确
D.设这个数字是x ，则平均数是
317
x
+，众数是3， 若3x ≤，则中位数为3，此时10x =-
若35x <<，则中位数为x ，此时31237x
x +=
+，4x = 若5x ≥，则中位数为5，此时312537
x
+⨯=+，18x = 所以可能值为－10,4,18，其和为12.故D 错； 故选：AC ． 10.【答案】BD 解析：
A. 由抛物线的定义知，242
p
+
=，则4p =，28y x = 故A 错误。

B. 过P 作抛物线准线的线，垂足为P '，∴P MP 6PF PM P PM ''+=+≥=，故B 正确。

C.对称，线在抛物线上，且关于直）（设06),,(,,A 2211=-+y x y x B y x
,8,1888212121212
2212
1=+∴=+=--=∴⎪⎩⎪⎨⎧==y y y y x x y y k x y x y AB 则
）在抛物线上，
（，而得，代入则）（的中点，设4,2D 206-4,,D B A 000000==+=x y x y y x 故C 错误。

D.,N N AF A A ''轴的垂线，垂足为作的中点，过轴的垂线，垂足为作过y y
2
AF 2OF A A N N ,2AF A A =
+'='-
='由梯形中位线知由抛物线定义知，p
， 即以以AF 为直径的圆与ｙ相切。

故D 正确。

11.【答案】ABD
解析：A 选项，当Q 取1B 时，⊥C B 1面1ABD ，所以P D C B 11⊥，即结论成立；
B 选项，当CQ 垂直R D 1在平面11BC
C B 的投影时，可得R
D CQ 1⊥；
C 选项，C A AR 1⊥时，
由等面积法可求得5545
242=⨯=AR ，55
21=
R A ，所以511=AR R A ，
以D 为坐标原点，DA 所在的直线为x 轴，
DC 所在的直线为y 轴，1DD 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5853258，，
R ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5853252-，，，⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=525
32581，，R D ， 01≠⋅D ，所以结论不成立。

D 选项，R A C A 113=Θ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==
323
323231
11，，A A ，易求面1BDC 的法向量()
3,1,3--=，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=∴32,332,341111A A D D ，
01=⋅D ，
因为⊄R D 1面1BDC ，所以//1R D 平面1BDC 。

12. 【答案】ABD
解析：
A.对
化简，
显然A a T f f a f a a f f f f ∴=∴=-+=+>+=-+≥2)(2
1
)(21)2()0)(()(2
1
21)()(2
βββββββΘ
B.,,sin sin ,sin ],2
,
0(βββββ
β
π
βk y y k k ====∈∀，在同一坐标系做出则令
ββπβsin ],2,0(∈∀的最小值为π
2
C.
）
（）（）上恒成立在（）上是增函数，
在区间（2
,01,01,1,001)1cos()]([1,0ln )1sin()('πβββββββ⊆∈-≥+
--=∴+-=ΘΘa f a f
0)1sin()1cos()]1cos([,)
1cos(1
0)1cos('>-+-=--≤
∴>-∴ββββββββa
1
1)
1cos(1
1,0)1cos(1,0)1cos(≤∴∞+∈-∴∈--a ），（）（）单调递增，在（ββββββ D.若,0),cos(
2)sin()(πϕϕπβϕπββ<<+-+=f 可知
)sin(2)cos()]1(),sin(2)cos()]([''=+++=+++=ϕππϕππϕπβπϕπβπβf f 21tan 0sin 2cos -=∴=--ϕϕπϕπ5
4
2sin -=∴ϕ
13.答案：⎪⎪
⎭⎫
⎢⎣⎡2233，
解析：法一：由题意可知相当于以原点为圆心以
c
2为半径的圆与椭圆只要有交点就行，
所以a
c b ≤≤2，且c b >⎪⎪⎭⎫
⎢⎣⎡∈∴2233，e
法二：
.22,33,22
.33,4sin ,
2
APB APB P ;22,4sin 2
APB APB P 2APB B A O P ),0(O F F 22221⎪⎪⎭
⎫⎢⎣⎡∈<>≥≥≥∠∠≤≤≤
∠∠=
∠>>>=+e e c b e b c e a c c b a c y x 故，可得又由即所以最大，此时在短轴端点时当即所以，
最小，此时在长轴端点时，当，可得，为的两条切线，切点分别作圆过：为直径的圆以ππππ
π
14.解析：2
15
2153=⨯
⨯=⋅ 因为O 是AB C ∆的外心，作AC OD ⊥，则D 为AC 的中点。

29===∠=⋅OAC ,同理可得2
25
=⋅。

()
1525
2522
AO AB mAB nAC AB m n ⋅=+⋅=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
()
299215=+=
⋅+=⋅n m AC AC n AB m AC AO ，
解方程组可知91,157==
n m ，所以45
26
=+n m 。

15、
3
1040π
【解析】 设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，由题可得23＝13×S △ABC ×4，解得S △ABC
＝
233.因为∠ABC ＝120°，S △ABC ＝2
33＝12ac sin 120°，所以ac ＝6，由余弦定理可得b
2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos 120°＝a 2
＋c 2
＋ac ≥2ac ＋ac ＝3ac ＝18，当且仅当a ＝c 时取等号，此时b min
＝3 2.设△ABC 外接圆的半径为r ，则b sin 120°＝2r (b 最小，则外接圆半径最小)，故32
3
2
＝
2r min ，所以r min ＝ 6.
如图，设O 1为△ABC 外接圆的圆心，D 为PA 的中点，R 为球的半径，连接O 1A ，O 1O ，
OA ，OD ，PO ，易得OO 1＝2，R 2＝r 2＋OO 21＝r 2
＋4，当r min ＝6时，R 2min ＝6＋4＝10，
R min =10，故球O 体积的最小值为43πR 3min ＝43
π×(10)3＝3
1040π .
16【答案】53;162
2=+y x
【解析】
.
16Q 4P F 2
1
OQ P F F F Q O 8P F PF -PF -PF ,P PF Q F P 2221212221121=+==∴'=='='='y x P P P P PF 的方程为即，的中点，，分别是，，又由双曲线定义可知，，由题可知相交于与直线在第一象限，直线不妨设Θ共线时，等号成立）。

，，。

（当）（）（，即相似，与，，
ＯＭＯＭＭＯ），（Ｍ＝２，即ＯＭ＝ＭＯ，使Ｍ在ＯＡ上取一点M M B 530-62-5M B BM M M BM AM 2
1
AM 21M M MOA OM M MOA OM M 21OA 0,221
2
2'=+='≥+'=+=
'∴∆'∆∴∠='∠==''''Θ四、解答题 17.（10分）
【解析】
若选①，(sin cos sin cos )sin sin C A B B A C C +=， ................2分
sin()sin sin C A B C C +=
tan C =,3
C π
=
....................................................5分
若选②，则由正弦定理知
sin sin
sin sin 2
C
A C A π-=，cos
sin 2sin cos 222
C C C
C ==.......................................2分 1sin
,22C =3
C π
=....................................................................................................................5分 若选③，则有正弦定理知22
()b a c bc -=-........................................................................2分
∴222b a c bc +-=，由余弦定理知：1cos 2C =
,3
C π
=................................................5分 41)62sin(21)2cos 1(412sin 43sin 21cos sin 23)sin 2
1
cos 23(sin )32sin(sin sin sin ,322+-=-+=+⋅=+⋅=-⋅=⋅∴=
+πππA A A A A A A A A A A B A B A
..................................8分
)67,6(62)32,
0(π
πππ-∈-∴∈A A Θ
所以3
π
=A 当时，B A sin sin ⋅的最大值是
4
3
. .........................................10分
18. （12分）
（1）11(1)n n a n n -=-+
+n S 111+(1)(2)
n n n
S a n n ++∴=-++，
当n=1时，易知11
2
a =
...............................................................................................................1分 1111
(1)(2)(1)
n n n n n n n a S S a a n n n n +++-∴=-=
--++++.....................................................2分
122112112(1)(2)(1)1(1)(2)1(1)n n n n n a a a n n n n n n n n n n ++--∴=
-+=--++++++++++
111
2[](1)(2)(1)n n a a n n n n +∴+
=++++...........................................................................5分
令1(1)n n b a n n =+
+，则+1+11
(1)(2)
n n b a n n =+++，上式可化为+12=n n b b
∴{}n b 是以1=1b 为首项，公比为12的等比数列，1
1=2n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭
........................................6分
（2）1
112(1)
n n a n n -⎛⎫∴=-
⎪+⎝⎭
∴1
2(1)n c n n -=+n ..............................................................7分 1
1n n n n c c c c +-≤⎧∴⎨≤⎩，112
22(1)(+1)+222(1)(1)n n
n n n n n n n n n n
---⎧≤⎪+⎪∴⎨⎪≤
⎪+-⎩（） .........................................10分 1
222111
n n n n ⎧≤⎪⎪+∴⎨⎪≤⎪+-⎩23n ∴≤≤. ...............................................................11分
所以当2n =或3n =时，最小值为231
3
n c c c ===
............................................12分 19. （12分）
证明：(1) ⊥AB Θ平面SAC ，⊂SC 面SAC ，SC AB ⊥∴，
又因为SC AS ⊥，A AS AB =⋂，⊂AS AB ,面SAB ， ⊥∴SC 平面SAB ，
而⊂SC 平面SCE ，∴平面SCE ⊥平面SAB ……………………………………………2分 （2）存在点 N 为SB 上靠近S 的四等分点即SB SN 4
1
=时，//MN 平面SAC 。

证明如下：
取AE 的中点F ，连接FM FN ,。

F Θ是AE 的中点，M 为CE 的中点，
AC MF //∴。

⊂AC Θ面SAC ,⊄MF 面SAC ，//MF ∴平面SAC 。

…………………………………4分
E Θ为AB 的中点，BS
BN
BA BF =
=∴
43,SA NF //∴，⊂SA Θ面SAC ，⊄NF 面SAC ，//NF ∴平面SAC 。

…………………………………………………………………………6分 F NF MF =⋂Θ，⊂NF MF ,
面MNF ，∴面//MNF 平面SAC 。

⊂MN Θ面MNF ，//MN ∴平面SAC 。

…………………………………………………………………………7分
（3）过S 作AC SO ⊥于O ，则⊥SO 平面ABC ，过O 作AB 的平行线交BC 于Q ，以O 为坐标原点，以OA 所在的直线为x 轴，以OQ 所在的直线为y 轴，以OS 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，面BEC 的一个法向量为()1,0,01=n ………………8分
若o
30=∠SCA ，SC AS ⊥Θ，
22=∴AS ，42=AO ，423=OC ，46=OS ,21
=AE ，从而 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛0,1,42B ，
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
0,21,42E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-
0,0,423C ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛46,0,0S ，
面SEC 的一个法向量为()z y x n ,,2=，⎪⎭⎫ ⎝
⎛=0,21,
2CE ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=46,0,423SC ， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022SC n n ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=--=+0464
230212z x y x ，即⎩⎨⎧-=-=x z x y 322 取1=x ，则()
3,22,12--=n ………………………………………………………10分
从而21
3
23
-=-=
=
，………………………………………………11分
因为二面角B CE S --是钝二面角，所以二面角B CE S --的大小是o
120.…………12分
20. （12分）
【解析】(1)列联表补充如下：
2分
()841.3325
25203050712-13182
2
<=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=k
， …………………………………… 4分
所以，没有%95的把握认为使用刷脸支付与性别是否有关． ………………5分 (2) 010,40,30,220,101020的可能取值X ++m m m ，为由题意可知，………6分
()；161414120=⨯==m X P ()；
81414122010=⨯⨯=+=m X P ()；41
214121010=⨯⨯
=+=m X P
()；161414140=⨯==X P ()；
41
2141230=⨯⨯==X P ()4
1
212120=⨯==X P …………………………………………………………………9分
所以X 的分布列为
…………………………………10分
().205+=m X E 所以 ……………………………………11分
由50205≥+m 解得.66的最小值为，
m m ∴≥…………………………………… 12分 21.（12分）
(1)设过点E 、F 与动圆相切的切点分别为D C,，则QD QC =，FM FD =，EM EC =，所以,FM CE FM QC QE DF QD QE +=++=++=+QF QE FM EM +=，
由E 、F 、M 的坐标可知13==FM EM ，, EF QF QE >=+∴4，
由椭圆的定义可知，点Q 是以E 、F 为焦点，长轴长为4的椭圆（不包括长轴端点）。

设曲线Ω的方程为：)0,0(12222≠>>=+x b a b x a y 即3
,1,22
=∴==b c a
故曲线Ω的轨迹方程为）（013
42
2≠=+x x y …………………………………… 4分 (2)由题可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)1)(2(±≠-=k x k y
由⎪⎩
⎪⎨⎧-==+)2(1
3
42
2x k y x y 消y 得0)1(1212432222=-+-+k x k x k ）（ 140,0)1)(43(4814422224≠<≤∴>-+-=∆k k k k k 且， 设,,P ,,B ,,A 002211）（）（）
（y x y x y x 则43)
1(12,431222212221+-=+=+k k x x k k x x ， …………………………………… 6分
4
31644312)4(2
222121+-=-+=-+=+∴k k
k k k x x k y y ）（
4316,4312),(),(,2022210212100+-=+=+=∴++=∴+=k k y k k x x x y y x x y x OB OA OP λλλλλ，
Θ
当0=λ时，0=k ,直线l 为x 轴，满足+=λ。

……………………………8分
当00≠≠k ，λ时，43161)(1,43121)(1
221022210+-=+=+=+=k k y y y k k x x x λλλλ， 代入椭圆方程得1)43(312)43(416-2
22222222=+++k k k k λλ）（）（，化简得2222
43164316k k k +=+=λ， ，且，，且7
16,401402222≠
<<∴≠<<λλk k Θ ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈∴2,77477400774774,2Y Y Y ，，λ …………………………11分
综上可得λ的取值范围为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈∴2,774774774774,2Y Y ，λ……… 12分 22.（12分）
解：（1）当0>x 时)
1(1)111(11)()(+--=+---=-x e x e x e x h x f x x x 01)(,1)(>-='--=x x e x x e x ϕϕ，），在（∞+--=01)(x e x x ϕ是增函数..........1分 ,0)0()(=>∴ϕϕx 0)()(>-∴x h x f )()(x h x f -∴零点个数为0个. ....................3分
（2）
①数列}{n a 为减数列， 证明如下：n
a n n a n a e a a f e a a n n -+---=∴==+1ln )(,1111Θ 要证}{n a 为减数列，只需证∴<+,1n n a a n n
a a a e n <---1ln ， 只需证,1),0(,1ln x x x
xe e x x x
e --->-><--........................................5分
由)]1(1[1,11)(x x x x x x e x xe e e e
e x
f ------=>-∴-=-= 即1
)(11)(+=>-=-=-x x x h e e e x f x x x ，由（1）可知成立........................................6分
②要证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛-<∑+=21211n
n i i a ，由,11=a 只需证n n a 211<+，只要证21n n a a <+，由于,11=a 此时n n n n n a a a a 2
12......221211=<<<<-+.成立 .......................................8分 所以即证2
1ln n n a a a e n <---，即21ln x x e x <---， 即)0(,1222>>->----x x e e e x e x x x x
.......................................10分 令01)(2
1)(),0()(2222>-+='>--=--x x x
x
e e x m x x e e x m ,因此)(x m 在),0(+∞递增，0)0()(=>∴m x m ，于是)0(22>>--x x e
e x
x
成立，所以原不等式成立......................12分。