小波分析学习心得

小波分析学习心得

学习小波分析这门课程已经有一段时间了，我对于这一门课程已经有了一定程度的认识。由于学科专业所限，我平时接触小波分析的机会并不是很多，很高兴在这个学期能够有机会专门学习小波分析。经过这一段时间小波分析的学习，虽然我还不能说是精通小波分析，不过也是对其中的一些基本概念有了一定的理解。后文中，我将会对在小波分析学习过程中所得到的一些学习心得进行总结。

我们通常说的波一般指的是物质的一种运动方式，在数学中它对应于时间域或空间域的震荡方程。正弦波就是一种最为常见的波，它的振幅均匀的分布时域中，并不收敛，所具有的能量是无穷的。小波，顾名思义，就是小的波，它的能量是有限的，相对于正弦波而言，它的振幅在时域上是收敛的，能量并不是无穷的。傅里叶变换将函数投影到正弦波上，将函数分解成了不同频率的正弦波，这是一个非常伟大的发现，但是在大量的应用中，傅里叶变换的局限性却日趋明显，事实上在光滑平稳信号的表示中，傅里叶变换已经达到了近似最优表示，但是日常生活中的信号却并不是一直光滑的，傅里叶变换在奇异点的表现就令人非常不满意，从对方波的傅里叶逼近就可以看出来，用了大量不同频率的正弦波去逼近其系数衰减程度相当缓慢。其内在的原因是其基底为全局性基底，没有局部化能力，以至局部一个小小的摆动也会影响全局的系数。很多应用场合要求比较精确的时频定位，傅里叶变换的缺点就越来越突出了。

窗口傅里叶变换将信号乘上一个局部窗，然后再做傅里叶变换，获得比较好的时频定位特性，再沿时间轴滑动窗口，得到整个时间轴上的频率分布，似乎到这里就应该结束了，因为我们可以把窗设计小点获得较高的时间分辨率，并期望有同样高的频率分辨率，但测不准原理无情的告诉我们，没有这么好的窗能在时

间和频率都任意小的，最优的就是高斯窗了（窗的选取还需满足频率域也为窗函数，并不是每个时窗都满足这个条件的）。通过短时傅里叶变换我们可以画出时频图，但是存在问题：当我们分析频率较高部分信号时应该用更窄的窗，反之用宽窗，但短时傅里叶变换一旦选定窗过后，分辨率就固定了，若要其他分辨率则需要更换窗。接下来用于分析窗函数的平移本身不能构成基底，没有简化计算的可能性，使得时频分析的计算量一直很大（如果为正交基底，系数的计算相当方便）。另外一个问题：由于时间和频率都使用连续表达，连续窗口傅里叶变换具有极大的冗余性，怎样去离散时间和频率参数以减少冗余，而又不导致信息丢失，一个明显的要求就是时频盒子一致时间和频率平移必须完全覆盖整个时频平面。由框架分析可以得知，离散窗口调制不能成为基底，但可构成框架（时频采样密度大于临界值，即盒子的有效铺叠刚好邻接并充满整个时频空间），并当时频采样密度为临界采样率一半的时候（盒子有大量重叠），框架差不多是紧的。

针对短时傅里叶变换的第一个问题，马上想到我们能不能用一个窗函数的伸缩和平移来分析信号，要求这个变换是可以完全重构的且保持能量守恒，如果存在，这样的窗函数应满足什么条件，答案是肯定的，这个窗函数就是连续小波，其应满足容许条件即可达到完全重构。容许条件暗含该函数在零点的傅里叶变换为零，这也解释了小波为什么必须有零值平均。由重构公式可以看到对于过高频率的信息，我们认为已经不重要了，予以丢弃也不会对我们的分析造成太大的影响，对于低频成分的信息，我们需要对其截断保留，以便恢复信号。这可通过引入尺度函数来做到。这样连续小波变换就得到一个在不同尺度和不同时间的系数图，系数较大的地方说明信号在该时间与该尺度的窗有很大的相似性（由变换公式和内积的含义可知）。这样我们就可以根据系数图来分析信号的特性了。但是

连续小波变换存在很大的冗余性，事实上由连续小波变换的模极大值就可完全稳定重构信号，很自然就就可以想到对尺度和平移的离散，这一想法导致了小波框架。离散要求满足时频窗完全覆盖整个时频平面，通过在给定离散参数的情况下估计小波框架的上下界的定理，在满足一定条件的小波函数和一定离散参数选择下，可以最大程度上消除了冗余性，此即二进离散小波；但是此举将小波的（任意）平移不变性去掉了（信号平移与采样网格未必一致），即信号移动后再做小波变换后系数发生了很大的变化。如果想保持小波的平移不变性，可以只对尺度进行离散化但平移参数不离散，取尺度序列为二进序列即为具有平移不变性的二进小波变换，但得到一个高冗余度的信号表示（时间未被离散）。如果要继续较少冗余而又保持平移不变性，这就要求将采样网格自适应地作与信号相同的平移，也就是信号的平移必须以采样网格为参考。非抽取小波变换在离散了平移参数情况仍然保持了平移不变性，这是因为信号和小波均离散化后采样网格与信号平移是一致的。

与傅立叶变换相比，小波变换是时间和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了傅里叶变换不能解决的许多困难问题。信号分析的主要目的是寻找一种简单有效的信号变换方法，使信号所包含的重要信息能显现出来。小波分析属于信号时频分析的一种，在小波分析出现之前，傅立叶变换是信号处理领域应用最广泛、效果最好的一种分析手段。小波变换是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的时频窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。它能够通过变换充分突出问题某些方面的特征，因此，小波变换在许多领

域都得到了成功的应用，特别是小波变换的离散数字算法已被广泛用于许多问题的变换研究中。