微分的概念及运算
3.3 微分及其在近似计算中的应用
即 y 2x0 x f '( x0 ) x
x0
这个结论具有一般性
x
x
x0 x
x0 x
x0
y 设 y f ( x) 在点 x 处可导, lim 即 f ( x), x 0 x y f ( x) ( 是 x 0时的无穷小量), 因而 x y f ( x)x x ( lim 0),
例3. 用微分的不变性求下列函数的微分： x (2) y esin x (1) y ln(1 e ) ex dx (1)dy d ln(1 ex ) 1 x d(1 e x ) 解： x 1 e 1 e sin x (2)dy d(e ) esin x d(sin x) cos x esin xdx 例4 在等式左端的()中填入适当的函数,使等式成立
1 (2)d(ln(1 x) C ) 1 x 1 (4)d( dx x C ) 2 x (6)d(sin 2 x) ( 2sin x )dsin x
小结
微分的定义及其求法
作业
P25 6（3）（4）
P27 10、11
ln 0.99 ln[1 (0.01)] 0.01
练习 在下列括号内填入适当的函数,使等式成立
(1)d(
2x C ) 2dx
1 1 C ) 2 dx (3)d( x x e2 x (5)d( ) e 2 xdx C 2 1 (7) dx ( 1 )d(arctan2 x) 1 4 x 2 2
dx
(2 x tan x x sec x)dx
2 2
练 1、 求函数 y x 2 1在 x 1, x 0.1时的改变量与微分.
解： y f ( x0 x) f ( x0 ) f (1.1) f (1)
微分概念及其运算
微分概念及其运算§2微分概念及其运算设y=f(x)在x点可导，即下面的极限存在：∆yf(x+∆x)-f(x)f'(x)＝li＝lim∆x→0∆x→0∆x∆x因此∆y＝f'(x)＋α，其中α→0（∆x→0），∆x)x+α∆x=f'(x∆)x+o(∆x)∆x→0于是∆y＝f'(x∆，（函数的增量∆y=（∆x的线性函数）+o(∆x)）物理意义：如果把y=f(x)视作时间x时所走到的路程，∆x时间内所走到的路程∆y=以匀速f'(x)运动所走过的路程f'(x)∆x+因为加速度的促进作用而产生的额外路程o(∆x)定义4.2设y=f(x)在(a,b)有定义，如果对给定的x∈(a,b)，有∆y＝f(x+∆x)－f(x)＝a∆x＋o(∆x)，(∆x→0)其中a与∆x无关，则称f(x)在x点可微，并称a∆x为函数f(x)在x点的微分，记为dy＝a∆x或df(x)＝a∆x由前面的讨论得微分具备两小关键特征：2)微分是自变量的增量的线性函数；微分与函数增量∆y之差∆y-dy，是比∆x高阶的无穷小量.因此，称微分dy为增量∆y的线性主要部分。
事实上当dy≠0时o(∆x)∆ydy+o(∆x))＝1＝lim＝lim(1+∆x→0∆x→0∆x→0dya∆xdylim即为∆y与dy就是等价无穷小量。
注1系数a是依赖于x的，它是x的函数，备注2微分dy既与x有关，又与∆x有关，而x和∆x就是两个互相单一制的变量，但它对∆x的依赖是线性的．基准1自由落体运动中，s(t)=12gt211g(t+∆t)2-gt222∆s＝s(t+∆t)-s(t)＝==11g(2t+(∆t2))=gt∆t+g(∆t)222即∆s可表为∆t的线性函数和∆t的高阶无穷小量之和，由微分定义知，s(t)在t点可微，且微分ds=gt∆t它等于以匀速s'(t)＝gt运动，在∆t时间内走过的路程．基准2圆面积y=πr2，∆y＝π(r+∆r)2一πr2＝2πr∆r+π(∆r)2．∆y可以则表示为∆r的线性函数与∆r的高阶无穷小之和，故函数在r连续函数，且微分dy=2πr∆r从几何来看，微分可以这样认知：2πr是圆周长，当半径r变大即圆面积膨胀时，设想圆周长保持不变，半径增大∆r 所引起的圆面积变化就是2πr∆r。
一微分的定义二微分的基本公式三微分的四则运算法则
v udx u vdx vdu udv.
定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 v 0 ，则 u 可微,
v
且有
d(u v)Fra bibliotekvdu v2
udv.
证 d(u) (u)dx vv
uv v2
uv dx
v
udx v2
u
vdx
vdu v2
微分及其运算
一、微分的定义 二、微分的基本公式 三、微分的四则运算法则 四、微分形式的不变性 五、微分在近似计算中的应用
一、微分的定义
当正方形的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的面积 增量 S (x0 x)2 x02 2x0x (x)2 .函数增量 S 分成两部分，一部分是 x 的线性部分 2x0 x ，一部 分是关于x 的高阶无穷小 (x)2 o(x).
即
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ).
当 f (x0 ), f (x0 ) 容易计算时，就可以用上述的 近似公式来计算 x0附近点的函数值.
例6 计算 2的近似值. 解 1.96 1.4, 令 f (x) x,则
2 f (2) f (1.96) f '(1.96) (2 1.96) 1.4 1 0.04 1.414 3. 2 1.4
五、微分在近似计算中的应用
设y=f(x)在 x0 可导，当自变量从 x0 变到x(即取得 增量 x x x0)，则有
x f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ) o(x x0 ). 当x很接近 x0 时，即| x || x x0 |很小时，就有近 似公式
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 )，
函数的微分
练习： (1)求函数y cos x在x
6 2 (2)求函数y x 当x由1变到1.01 时的微分.
处的微分.
二、微分的几何意义
如图，设M ( x0 , y0 ) 和点N ( x0 x, y0 y ) 是曲线上y f ( x )的两点。 由图可知， MQ x, QN y。 设切线MP的倾斜角是， 则
y , x 0 x 根据无穷小与函数极限的关系，上式可写成
这表明，当f '( x0 ) 0时，函数的增量 可以分为两个部分： 把它叫做y的线性主部； 另一部分是x, 当x 0时，它是比 x高阶的无穷小.
一部分是f '( x0 ) x, 它是y的主要部分，
所以当 x 很小时，可以认为y f '( x0 )x.
2、 微分的四则运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv
(C 为常数)
vdu udv
3. 复合函数的微分
分别可微 ,
则复合函数
的微分为
f (u ) ( x) dx
du
d y f (u ) du
若yf(u) u(x) 则dyf (u)du
dy
x2 x 0.02
3 x 2 x
x2 x 0.02
0.24.
பைடு நூலகம்
例3 求函数 y x 3 当 x 1, 和x 3时的微分 .
解 dy ( x 3 )x 3 x 2 x .
dy x1 3 x 2x x1 3x dy x3 3 x 2x x3 27x
dy f ' ( x)x
当 y x时，dy dx x
于是函数的微分又可以 记为 dy f ' ( x)dx 从而
微分运算法则
( lim 0 )
x0
故 y f ( x0 ) x x f ( x0 ) x o( x)
即 d y f ( x0 ) x
说明: y f ( x0 ) x o( x)
d y f ( x0 )x
当 f ( x0 ) 0 时 , y y lim lim x 0 f ( x0 ) x x 0 d y 1 y lim 1 f ( x0 ) x 0 x 所以 x 0 时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
x
d y f ( x) dx
dy f ( x) dx
导数也叫作微商
x0 x
例如, y x 3 ,
dy
x2 dx 0.02
3x 2 dx
0.24 x2 dx 0.02
又如, y arctan x , 1 dy dx 2 1 x
基本初等函数的微分公式 (见 P116表)
很小时, 有近似公式
y dy
微分的几何意义
切线纵坐标的增量
d y f ( x0 )x tan x
当 x 很小时, y d y
dy
y
y f ( x)
当 y x 时，
y
y x dx
称 x 为自变量的微分, 记作 dx
则有 从而
记
O
x0
y o(x) lim lim ( A )A x 0 x x 0 x
故 在点 可导, 且
定理 : 函数
在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
已知 “充分性” 在点 可导, 则
y lim f ( x0 ) x 0 x y f ( x0 ) x
微分 课程
dy yx dx f (u) g( x ) dx f (u) du
可见, 不论u是中间变量还是自变量 , 其微分 形式是一样的 这叫做一阶微分形式的 . 不变性.
例 4 y ( x 3 1)4 , 求 dy .
解 dy d ( x 3 1)4 4( x 3 1)3 d ( x 3 1)
2
2 x0 x ( x )
2
s x0
2
2 x x o(x ) (x 0) ∆x的线性函数 0
x0
x
∆x的高阶无穷小 当 | x | 很小时 o(x ) 忽略不计 则 s 2 x0 x . , , 若立方体的边长从 x 0 变到 x0 x则相应体积的增量是:
2 3 V ( x0 x )3 x0 3 x0 x 3 x0 ( x )2 ( x )3
2 3 x0 x o( x )
当 | x | 很小时, o( x ) 忽略不计 则 V 3 x x . ,
2 0
∆x的高阶无穷小
2.微分定义
设函数 y f ( x ) 在点 x0 及其附近有定义 , 若存在 常数 A, 使得 y f ( x0 x ) f ( x0 ) Ax o( x ) ( x 0), 其中A与x无关, o( x )是 x 的高阶无穷小 , 则称 y f ( x ) 在点x0 可微 , 而A称为f ( x )在点x0处的 微分, 记为 d y x x , 即
或
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )
x , f ( x ) ( x )
1 ,
例7 计算 2 的近似值 .
解 设 f ( x)
微分概念及其计算
微分概念及其计算微分是微积分的一个重要概念，指的是在数学中研究函数局部变化的方法。
微分的计算方法主要通过求导来实现。
本文将详细介绍微分的概念和计算方法。
一、微分的概念微分是函数在其中一点的变化量与自变量的变化量的比率。
对于一个函数y=f(x)，如果在其中一点x0处存在一个常数A，使得当x在x0附近变化时，函数f(x)与直线y=f(x0)+A(x-x0)之间的差异可以忽略不计，那么这个常数A就是函数f(x)在点x0处的微分，记作dy。
具体来说，如果函数f(x)在点x0处可导，则其微分dy满足以下等式：dy = f'(x0)dx其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数，dx表示自变量x的变化量。
二、微分的计算计算微分的方法有很多种，根据函数的不同形式和求导规则，可以使用以下几种常见的求导方法。
1.基本求导法则基本求导法则是求导的基本规则，包括常数微分法、幂函数微分法、指数函数微分法、对数函数微分法、三角函数微分法等。
根据不同的函数类型和导数规则，可以迅速求出函数的导数。
2.高阶导数与迭代法对于函数的高阶导数，可以使用迭代法进行求解。
迭代法的基本思想是通过对导数的连续求导来得到高阶导数。
例如，若f'(x)存在且可导，则f"(x)=(f'(x))'，f"'(x)=(f"(x))'，以此类推。
3.复合函数的导数对于复合函数，即由两个或多个函数经过运算得到的函数，可以根据链式法则求导。
链式法则指出，若y=f(u)和u=g(x)均可导，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过两者的导数相乘得到：dy/dx=f'(g(x))g'(x)。
4.隐函数的求导对于隐函数，即由一个方程所定义的函数，可以通过求导的方式进行计算。
隐函数的求导主要利用了导数的局部线性近似性质，将方程两边同时对自变量求导。
5.参数方程的求导参数方程指的是自变量和因变量都由参数t决定的函数形式。
微分公式和运算法则
(cos x)sin x
d(cos x)sin xdx
(tan x)sec2 x
d(tan x)sec2xdx
(cot x)csc2x
d(cot x)csc2xdx
(sec x)sec x tan x
d(sec x)sec x tan xdx
(csc x)csc x cot x
d(csc x)csc x cot xdx
§ 2.2.1 微分概念
一、微分的定义
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 变到
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则
当x在 取
得增量 时, 面积的增量为
关于△x 的
时为
线性主部 高阶无穷小
故
称为函数在 的微分
1
定义1: 若函数
在点 的增量可表示为
( A 为不依赖于△x 的常数)
解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
因此每只球需用铜约为 (g)
17
2.误差估计 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
18
误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为
12
§ 2.2.3 高阶微分
1、二阶微分：一阶微分的微分称为二阶微分。记作
且有
（1）
2、n 阶微分：n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作
且有
（2）
3、高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。
例设
（2）求
解由
得
依公式（1）得 类似地，依公式（2）得
微分与积分的基本性质与运算规则
微分与积分的基本性质与运算规则微分与积分是微积分学的基础概念，它们的基本性质和运算规则对于求解各种数学问题至关重要。
本文将对微分与积分的基本性质和运算规则进行详细的介绍与阐释。
一、微分的基本性质与运算规则1. 微分的定义：微分代表了函数对自变量的变化率。
设函数y=f(x)，当自变量x在某一点x₀发生微小变化Δx时，对应的函数值变化量为Δy=f(x₀+Δx)−f(x₀)。
微分dy定义为当Δx趋近于0时Δy的极限，即dy=lim(Δx→0)(Δy/Δx)，也可用更加简洁的形式表示为dy=f'(x₀)dx。
2. 运算规则：a. 常数微分法：对常数C，其微分为dC=0。
b. 基本函数微分法：对于基本函数的导数，有以下规则：- 导数和差积法则：设u(x)和v(x)是可导函数，常数k，有(d/du(u+v))=du+dv和(d/du(u−v))=du−dv；- 常数倍法则：对于y=kf(x)，有(d/dx(y))=k(df(x)/dx)；- 幂函数：对于函数y=x^n，有(d/dx(y))=nx^(n-1)；- 指数函数和对数函数：对于函数y=a^x和y=log_a(x)，有(d/dx(y))=a^x·ln(a)和(d/dx(y))= 1/(xln(a))。
3. 高阶微分：在函数的微分的基础上，还可以进行高阶微分。
如果函数f(x)的一阶导数f'(x)可导，那么f'(x)的导数称为f(x)的二阶导数，以此类推。
二、积分的基本性质与运算规则1. 积分的定义：积分代表了函数下方曲线与x轴之间的“面积”。
设函数y=f(x)，在区间[a, b]上的积分是由x=a到x=b之间的所有小矩形的面积之和的极限，记为∫[a, b]f(x)dx。
2. 运算规则：a. 常数积分法：对常数C，其积分为∫Cdx=Cx；b. 基本函数积分法：对于基本函数的积分，有以下规则：- 常数倍法则：∫k·f(x)dx=k∫f(x)dx；- 恒函数积分法：∫f(x)dx=F(x)+C，其中F(x)是f(x)的原函数，C是常数；- 幂函数积分法：对于y=x^n，当n≠-1时，有∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1)+C；- 指数函数和对数函数积分法：对于y=e^x和y=1/x，它们的积分分别为∫e^xdx=e^x+C和∫1/x dx=ln|x|+C。
一、微分的定义二、微分的基本公式三、微分的四则运算法则
dy | x x0 , 或df | x x0 , 即 dy | x x0 A x.
定理3.7 y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)可导，且 有 dy f ( x)dx .
dy 由于 f ( x) ，即函数的导数等于函数的微 dx 分与自变量微分之比，因此导数也称微商.
证
d(u v) (u v)dx (u v)dx
udx vdx du dv.
d(uv) (uv)dx (uv uv)dx
v udx u vdx vdu udv.
u 定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 v 0 ，则 可微, v u vdu udv 且有 d ( ) . 2 v v
(a 0,a 1).
d tan x sec2 xdx.
d cot x csc xdx.
2
d sec x sec x tan xdx. d csc x csc x cot xdx.
1 d arsin x dx. 2 1 x 1 d arccos x dx. 2 1 x
当立方体的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的体 积增量
3 2 2 V ( x0 x) 3 x0 3 x0 x (3x0 (x) 2 (x) 3 ).
函数增量 V 分成两部分，一部分是 x 的线性部分
2 3x0 x, 一部分是关于 x 的高阶无穷小
1 d arctan x dx . 2 1 x 1 d arccot x dx . 2 1 x
三、微分的四则运算法则
定理3.8 设u=u(x)，v=v(x)可微 ，则 u v , u , v可微， 且有
微分
第二节 微分§2.1 微分的概念一、微分概念的引入在实际测量中，由于受到仪器精度的限制，往往会产生误差。
例如x 0为准确数，实际测量出是x *＝x 0＋Δx 为x 0的近似数，由此产生的误差为Δx 相应产生的函数值的误差Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)，往往需要估计Δy 的值。
如果f(x 0＋Δx)，f(x 0)计算很复杂。
因此计算Δy 也很麻烦或者实际中只知道近似数x *与误差｜Δx ｜≤δ，又如何估计Δy?假设f ′(x)存在，则0x lim→∆x )x (f )x x ("f 00∆-∆+＝0x lim →∆x y∆∆＝f ′(x ０)，有 xy∆∆＝f ′(x ０)＋α，0x lim →∆α＝0，于是Δy ＝f ′(x 0)Δx ＋αΔx ，而0x lim →∆xx∆∆∂＝０(1)即 αΔx ＝0(Δx)(Δx →0)因此，当｜Δx ｜很小时，Δy ≈f ′(x 0)Δx在实际中如果不知道x 0，只知道x *，由x 0，x *相差很小，则Δy ≈f ′(x *)Δx ，从而可以估计出Δy 。
从(1)式我们看到，f ′(x 0)相对Δx 是一个常数，αΔx 是Δx 的高阶无穷小，如果Δy ＝A Δx ＋0(Δx)(Δx →0)，则Δy ≈A Δx ，由此得到微分的概念。
二、微分的概念定义 设y ＝f(x)在x 0的某领域U(x 0)内有定义，若Δy ＝f(x ＋Δx)－f(x)可表示为Δy ＝A Δx ＋o(Δx) (Δx →0)其中A 是写Δx 无关的常数，A Δx 称为Δy 的线性部。
则称y ＝f(x)在点x 处可微，称线性部A Δx 为y ＝f(x)在点x 处的微分，记为dy ，即dy ＝A Δx 。
三、可微与可导的关系从概念的引入，我们可以看到可导必可微，反之也是正确的。
因此有定理 函数y ＝f(x)在点x 可微的充要条件是函数y ＝f(x)在点x 处可导。
一、微分的概念
f ( x ) (Δ x )2 f ( x ) (d x )2 .
或写作 d 2 y f ( x )d x 2 , 称为 f 的二阶微分.
注 由于 Δ x 与 x 无关, 因此 x 的二阶微分 d(Δ x )
d(d x ) d 2 x 0, 它与 d x 2 (d x )2 , d( x 2 ) 2 x d x
sin x x, tan x x, ln1 x x , e x 1 x .
例5 试求 sin 33o 的近似值 ( 保留三位有效数字 ). π π π ), 取 f ( x ) sin x , x0 , 解 sin 33 sin( 6 60 6 x π , 由公式 (9) 得到 60
果已知测量值 x0 的误差限为 x , 即
| Δ x | | x x0 | x ,
则当 x 很小时, 量 y0 的绝对误差估计式为:
| Δ y | | f ( x ) f ( x0 ) | | f ( x0 )Δ x | | f ( x0 ) | x .
Δ x 的线性部分 2 xΔ x 和 Δ x 的高阶部分( Δ x )2.因
此, 当边长 x 增加一个微小量 Δ x 时, Δ S 可用 Δ x
的线性部分来近似. 由此产生的误差是一个关于
2 ( Δ x ) 的高阶无穷小量 , 即以 Δ x 为边长的小 Δx
正方形(如图).
x2
2
xΔ x
Δx
xΔ x
d (sin x ) cos x dx ;
ห้องสมุดไป่ตู้
d (a ) a ln a dx .
x
x
二、微分的运算法则
由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则:
函数的微分
微分与增量的关系
定理：当f ( x0 ) 0 时，微分是增量的线性 主部。
主部：设 ， 均为无穷小，若 o
则称 是 的主部，有 o 结论： 若 o ，则 ~ 。
。
证： 若 f ( x 0 ) 0 ，则 Δy f ( x 0 Δx ) f ( x 0 ) 0
得
当
3 x 2 d x 3 y 2 d y 3 cos 3 x d x 6 d y 0 1 由上式得 d y x 0 d x x 0 时 y 0, 2
返回
称为a 的相对误差
若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 按公式 已知测量误差限为 计算 y 值时的误差
x ,
d y f ( x) x
故 y 的绝对误差限约为
y f ( x) x
y
f ( x) x y f ( x)
整理并移项即得： x (dy dx ) y (dy dx ) #
思考： 若 y＝e
sin x
dy ，怎样求 ？ d cos x
返回
三、 微分在近似计算中的应用
y f ( x0 )x o( x)
当
x
很小时,
得近似等式:
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
y 2 2 例 3 推证等式 arctan ＝ln x ＋y 满足 x 关系式 x dy－dx ＝ y dy＋dx .
证：
利用微分的形式不变性 对等式两边求微分 1 xdy ydx 1 1 2 (2 xdx 2 ydy ) 2 2 2 2 x y x y 1 x
微积分—微分
数 f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
证 (1) 必要性 f ( x )在点x0可微,
y A x o( x ),
y o( x ) A , x x
y o( x ) 则 lim A lim A. x 0 x x 0 x
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
令y x, dy dx ( x)x x.
dy f ( x)dx.
dy dy f ( x )dx. f ( x ). dx 即函数的微分 dy与自变量的微分 dx之商等于
该函数的导数. 导数也叫 " 微商".
(微分的实质) 微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.
由定义知:
dy A x y A x o (x)
(1) dy是自变量的改变量 x的线性函数 ;
( 2) y dy o( x )是比x高阶无穷小 ; ( 3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小 ;
即函数 f ( x )在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x )在点x0 可导,
y lim f ( x 0 ), x 0 x
li m y A
从而 y f ( x0 ) x ( x ), f ( x0 ) x o( x ),
d (C ) 0 d (sin x ) cos xdx d (tan x ) sec2 xdx d ( x ) x 1 dx d (cos x ) sin xdx d (cot x ) csc2 xdx
微分总结归纳
微分总结归纳微分是微积分的基础概念之一，是研究函数局部变化的工具。
通过微分运算，我们能够获得函数在某一点的斜率，进而揭示函数的特点和规律。
本文将对微分的基本概念、计算方法以及应用进行总结归纳。
一、微分的基本概念微分的基本概念可以用极限的思想来解释。
对于函数y=f(x)，在点x处的微分记作dy，表示函数在该点附近的一个小区间内的增量。
微分dy与自变量增量dx之间的关系可以用以下式子表示：dy = f'(x)dx其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数值，也称为函数的斜率或变化率。
微分的概念意味着我们可以用导数来描述函数在某一点的变化情况。
二、微分的计算方法微分的计算方法是微积分的重点之一。
根据函数的不同形式，我们可以采用不同的方法来进行微分计算。
1. 基本函数微分对于常见的基本函数，我们可以直接利用导数的定义和常用的导数公式进行微分计算。
例如，对于幂函数y=x^n，我们有如下的微分公式：dy/dx = nx^(n-1)2. 复合函数微分当函数是由多个基本函数复合而成时，我们需要运用链式法则进行微分计算。
链式法则告诉我们，复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数乘以内层函数对自变量的导数。
通过链式法则，我们可以逐步求解复杂函数的微分。
3. 隐函数微分当函数表达式中含有隐含的关系时，我们需要借助隐函数微分来求解函数的导数。
隐函数微分要求我们将含有导数的各项分离，并利用导数间的关系进行计算。
隐函数微分的思想在实际问题中具有广泛的应用。
三、微分的应用微分不仅是一种数学工具，同时也具有广泛的应用价值。
微分在物理学、经济学、生物学等领域都发挥着重要作用，以下是微分在几个典型应用中的体现。
1. 极值问题微分可以帮助我们判断函数的极值点。
通过求解导数为0的方程，我们可以找到函数取得极大值或极小值的点。
在实际问题中，极值问题是一类常见的优化问题，微分的方法为我们提供了寻找最优解的思路。
2. 斜率问题微分可以描述函数在某一点的斜率，从而帮助我们研究函数的变化趋势。
第二章第五节 函数的微分
高等数学
二、微分的几何意义
当x从x0变到x0+∆x时, ∆y是曲线上点的纵坐 标的增量; dy是过点(x0, f(x0))的切 线上点的纵坐标的增量. 当|∆x|很小时, |∆y−dy|比|∆x|小得多. 因此, 在点M的邻近, 我们可以用切线段来近似代 替曲线段. 记 自变量的微分, ∆y = ∆x = dx 称∆x为 自变量的微分 记作 dx dy = f ′(x) 导数也叫作微商 则有 dy = f ′(x) dx 从而 dx
高等数学
§2.5函数的微分 函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用
高等数学
一、微分的概念 引例: 引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其 边长由 x0 变到 x0 + ∆x , 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A= x2 , 当 x 在 x0 取 得增量 ∆x 时, 面积的增量为 (∆x)2 x0∆x ∆x 关于△x 的 ∆x →0时为 线性主部 高阶无穷小 故 称为函数在 x0 的微分
高等数学
2、 微分的四则运算法则 、 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
= du ± dv = vdu + udv
3. 复合函数的微分 分别可微 , 则复合函数 的微分为
(C 为常数)
= f ′(u) ϕ′(x) dx dy = f ′(u) du
du
微分形式不变
高等数学
若y=f(u), u=j(x), 则dy=f ′(u)du. 例3 y=sin(2x+1), 求dy. 解 把2x+1看成中间变量u, 则 dy=d(sin u) =cos udu =cos(2x+1)d(2x+1) =cos(2x+1)⋅2dx =2cos(2x+1)dx. 在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量. 例4. y =ln(1+ex2 ) , 求 dy. 解 dy =d ln(1+ex2 ) = 1 2 d(1+ex2 ) 1+ex 1 ⋅ex2d(x2) = 1 ⋅ex2 ⋅2xdx = 2xex2 dx = . x2 x2 x2 1+e 1+e 1+e
第十三讲微分概念及运算
1 x) = dx x ln a
(7) d (sin x ) = cos xdx (9) d (tan x ) = sec 2 xdx
(11) d (sec x ) = sec x tan xdx
1 dx x (8 ) d (cos x ) = − sin xdx
d (cot x ) = − csc 2 xdx (10 )
= 2xe2−(1+ x)dx xx1
小结
微分的概念: 一.微分的概念:熟记公式 dy = f ′(x)dx
1
初等函数微分的基本公式
二.微分的运算 微分的运算
2 微分的运算法则
注意:符号 符号dy和 的区别和联系 的区别和联系. 三. 注意 符号 和∆y的区别和联系
达标检测十三
填空
1.设 = 5x2,则 = y dy
1+ x
微分的四则运算法则
记 u = u(x), v = v(x),则
(1 d(u ± v) = du ± dv ) (2) d(uv) = udv + vdu (3) d(cu) = cdu u vdu−udv (4) d( ) = (v ≠ 0) 2 v v
练习
求下列各函数的微分
(1) y = 3x −sin x 1 (2)y = 2 x
x
10xdx _____
(cos x +3x ln3)dx 2.设 = sin x +3 则 = _____ y dy x (1−ex )dx 3.d(x −e ) =_____
4.d(arctan3x) = _________
) 5. d(2x +1 = ( )dx; dx = ( )d(2x +1 )
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(C 为常数)
f ( u) ( x ) dx d y f ( u) du
du
微分形式不变性
例1 设 y ln( x e ), 求dy.
解 方法一: 用定义 dy f ( x )dx
y 1 2 xe
x2
2
x2
方法二:
xe x ex 用微分形式的不变性 dy f ( u)du
定理 : 函数
在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 d y f ( x0 )x
证: “必要性”
已知
在点
可微 , 则
y f ( x0 x ) f ( x0 ) A x o( x )
y o( x ) lim lim ( A )A x 0 x x 0 x
(2) e 0.03 1 0.03
0.97.
ex 1 x
例. 有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度,
要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 估计一下,每只球需
用铜多少克 .
解: 已知球体体积为 时体积的增量
4 R 2 R
R1 R 0.01
镀铜体积为 V 在
即 d y f ( x0 ) x
线性主部
说明:
y f ( x0 ) x o( x )
d y f ( x0 )x
当 f ( x0 ) 0 时 ,
( y的线性主部)
y 1 y y lim lim lim 1 x 0 f ( x )x x 0 x 0 d y f ( x0 ) x 0
dy f ( x ) dx
o
称 x 为自变量的微分, 记作 d x
x0
x
x0 x
则有 从而
导数也叫作微商
三.微分的计算
dy f ( x )dx
求法: 计算函数的导数,乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式(P57)
d (C ) 0 d (sin x ) cos xdx d (tan x ) sec xdx
所以 x 0 时
y 与 d y 是等价无穷小,
故当 x 很小时,
有近似公式
y dy
二.微分的几何意义
切线纵坐标的增量
y
y f ( x)
d y f ( x0 )x tan x
当 x 很小时, y d y 当 y x 时，
记
dy
y
y x d x d y f ( x ) dx
设 y e 1 3 x cos x, 求dy.
dy cos x d (e 1 3 x ) e 1 3 x d (cos x )
cos x e1 3 x d (1 3 x) e1 3 x ( sinx)dx
3e
1 3 x
cos x dx e
1 3 x
2
d ( x ) x 1 dx d (cos x ) sin xdx d (cot x ) csc xdx
2
d (sec x ) sec x tan xdx d (csc x ) csc x cot xdx
d (a x ) a x ln adx 1 d (loga x ) dx x ln a 1 d (arcsinx ) dx 1 x2 1 d (arctanx ) dx 2 1 x
1 x
f ( x ) f (0) f (0) x 1
n
.
例
计算下列各数的近似值.
(1) 3 998.5;
解 (1)
3
( 2) e 0.03 .
3
998.5
3
1000 1.5
n
1 1 x 1 x n
1.5 1000(1 ) 103 1 0.0015 1000 1 10(1 0.0015) 9.995. 3
§2.3 微分的概念及运算
一、微分的概念
二、微分运算法则
三、微分在近似计算中的应用
一.微分的概念
1.引例： 正方形金属薄片受热后面积的改变量. 设边长由x0变到x0 x, x x
0
(x ) 2
x
正方形面积 A x0 ,
2 A ( x 0 x ) 2 x 0
2
3 y ( x 0 x ) 3 x 0 2 3 x0 x 3 x 0 ( x ) 2 ( x ) 3 .
(1)
( 2)
当x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x ),
2 y 3 x 0 x .
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x .
f ( x ) f (0) f (0) x .
练习 P.60 5(2,4),6
( x在 0 附近)
作业 P.60 3(2,4,6), 4(在书上填) ,5(3)
例4. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
x C ) xdx 1 sin t C ) cos t d t ( 2) d(
(1) d(
1 2 2
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.
练习
P.60 3(1,3,5,7)
d ( u v ) du dv d ( uv ) vdu udv d (Cu) Cdu u vdu udv d( ) v v2
2.定义: 若函数
在点 x0 的增量可表示为
A x o( x )
( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y f ( x ) 在点 可微, 而 A x 称为
的微分,记作
3.可微的条件： 定理: 函数
即 d y A x
在点 可微的充要条件是 在点 处可导,且 即 d y f ( x0 )x
例. 求
解:
的近似值 . f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x.
f ( x ) cos x
设 f ( x ) sin x , 取 则
sin 29
x
180 sin
6
cos
6
(
180
)
3 1 ( 0.0175) 2 2
x
2
, dy
1 2 xe
x2
x2
dx.
dy
1 xe 1
xe 1 x2 2 x2 (dx e dx ) (dx 2 xe dx ) x2 x2 xe xe x2 1 2 xe dx x2 xe
d( x e )
x2
1
x2
(dx de )
x2
例2 解
x 0 x
2 x 0 x ( x ) 2 .
(1) ( 2)
2 A x0
x 0 x
x0
(1) : x的线性函数, 且为A的主要部分 ; ( 2) : x的高阶无穷小 , 当 x 很小时可忽略 .
再例如, 设函数 y x 在点 x0处的改变量
3
为x时, 求函数的改变量y.
R1 R 0.01
0.126 (cm 3 )
因此每只球需用铜约为
8.9 0.126 1.12 ( g )
小结
y f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x . ( x 很小时) y dy f ( x0 ) x.
3.计算 f ( x ) 在 x 0点附近的函数近似值
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x ,
令 x0 0, x x .
f ( x ) f (0) f (0) x .
常用近似公式:
( x 很小)
x x x
1 1 x 证明(5) n 1 1 1 n n 设 f ( x) 1 x , f ( x ) (1 x ) , n 1 f (0) 1, f (0) . n x
故
在点
可导,
且
定理 : 函数
在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导,且 即 d y f ( x0 )x 在点 的可导,
“充分性” 已知
y 则 lim f ( x 0 ) x 0 x y lim 0 ) f ( x 0 ) ( x 0 x 故 y f ( x0 ) x x f ( x0 ) x o( x )
sinx dx
e 1 3 x (3 cos x sin x )dx.
求 例3 . 设 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有
d( y sin x ) d(cos( x y )) 0 sin x d y y cos x dx sin( x y ) (d x d y ) 0 y cos x sin( x y ) dy dx sin( x y ) sin x
d (e x ) e x dx 1 d (ln x ) dx x d (arccosx ) 1 1 x2 1 d (arc cot x ) dx 2 1 x dx
2.微分运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv v du udv
5. 复合函数的微分 则复合函数 分别可微 , 的微分为
dy f ( x )dx
dy f ( u)du
四.微分在近似计算中的应用
1.计算函数增量的近似值