微分的概念及运算

2
d ( x ) x 1 dx d (cos x ) sin xdx d (cot x ) csc xdx
2
d (sec x ) sec x tan xdx d (csc x ) csc x cot xdx
d (a x ) a x ln adx 1 d (loga x ) dx x ln a 1 d (arcsinx ) dx 1 x2 1 d (arctanx ) dx 2 1 x
(2) e 0.03 1 0.03
0.97.
ex 1 x
例. 有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度,
要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 估计一下,每只球需
用铜多少克 .
解: 已知球体体积为 时体积的增量
4 R 2 R
R1 R 0.01
镀铜体积为 V 在
3.计算 f ( x ) 在 x 0点附近的函数近似值
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x ,
令 x0 0, x x .
f ( x ) f (0) f (0) x .
常用近似公式:
( x 很小)
x x x
1 1 x 证明(5) n 1 1 1 n n 设 f ( x) 1 x , f ( x ) (1 x ) , n 1 f (0) 1, f (0) . n x
所以 x 0 时
y 与 d y 是等价无穷小,
故当 x 很小时,
有近似公式
y dy
二.微分的几何意义
切线纵坐标的增量
y
y f ( x)
d y f ( x0 )x tan x
当 x 很小时, y d y 当 y x 时，
记
dy
y
y x d x d y f ( x ) dx
x
2
, dy
1 2 xe
x2
x2
dx.
dy
1 xe 1
xe 1 x2 2 x2 (dx e dx ) (dx 2 xe dx ) x2 x2 xe xe x2 1 2 xe dx x2 xe
d( x e )
x2
1
x2
(dx de )
x2
例2 解
例. 求
解:
的近似值 . f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x.
f ( x ) cos x
设 f ( x ) sin x , 取 则
sin 29

x

180 sin

6
cos

6
(

180
)
3 1 ( 0.0175) 2 2
例4. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
x C ) xdx 1 sin t C ) cos t d t ( 2) d(
(1) d(
1 2 2
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.
练习
P.60 3(1,3,5,7)
d ( u v ) du dv d ( uv ) vdu udv d (Cu) Cdu u vdu udv d( ) v v2
(1).求f ( x )在点x x0附近的近似值 ;
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x
使用原则:
y f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x .
( x 很小时)
1) f ( x0 ) , f ( x0 ) 好算 ; 2) x 很小
R1 R 0.01
0.126 (cm 3 )
因此每只球需用铜约为
8.9 0.126 1.12 ( g )
小结
y f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x . ( x 很小时) y dy f ( x0 ) x.
d (e x ) e x dx 1 d (ln x ) dx x d (arccosx ) 1 1 x2 1 d (arc cot x ) dx 2 1 x dx
2.微分运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv v du udv
5. 复合函数的微分 则复合函数 分别可微 , 的微分为
2.定义: 若函数
在点 x0 的增量可表示为
A x o( x )
( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y f ( x ) 在点 可微, 而 A x 称为
的微分,记作
3.可微的条件： 定理: 函数
即 d y A x
在点 可微的充要条件是 在点 处可导,且 即 d y f ( x0 )x
dy f ( x ) dx
o

称 x 为自变量的微分, 记作 d x
x0
x
x0 x
则有 从而
导数也叫作微商
三.微分的计算
dy f ( x )dx
求法: 计算函数的导数,乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式(P57)
d (C ) 0 d (sin x ) cos xdx d (tan x ) sec xdx
故
在点
可导,
且
定理 : 函数
在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导,且 即 d y f ( x0 )x 在点 的可导,
“充分性” 已知
y 则 lim f ( x 0 ) x 0 x y lim 0 ) f ( x 0 ) ( x 0 x 故 y f ( x0 ) x x f ( x0 ) x o( x )
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x .
f ( x ) f (0) f (0) x .
练习 P.60 5(2,4),6
( x在 0 附近)
作业 P.60 3(2,4,6), 4(在书上填) ,5(3)
1 x
f ( x ) f (0) f (0) x 1
n
.
例
计算下列各数的近似值.
(1) 3 998.5;
解 (1)
3
( 2) e 0.03 .
3
998.5
3
1000 1.5
n
1 1 x 1 x n
1.5 1000(1 ) 103 1 0.0015 1000 1 10(1 0.0015) 9.995. 3
定理 : 函数
在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 d y f ( x0 )x
证: “必要性”
已知
在点
可微 , 则
Baidu Nhomakorabea
y f ( x0 x ) f ( x0 ) A x o( x )
y o( x ) lim lim ( A )A x 0 x x 0 x
即 d y f ( x0 ) x
线性主部
说明:
y f ( x0 ) x o( x )
d y f ( x0 )x
当 f ( x0 ) 0 时 ,
( y的线性主部)
y 1 y y lim lim lim 1 x 0 f ( x )x x 0 x 0 d y f ( x0 ) x 0
3 y ( x 0 x ) 3 x 0 2 3 x0 x 3 x 0 ( x ) 2 ( x ) 3 .
(1)
( 2)
当x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x ),
2 y 3 x 0 x .
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
dy f ( x )dx
dy f ( u)du
四.微分在近似计算中的应用
1.计算函数增量的近似值
若 y f ( x)在点x0处的导数f ( x0 ) 0, 且 x 很小时 ,
y f ( x0 )x o( x ) y dy y f ( x0 ) x 2.计算函数的近似值
§2.3 微分的概念及运算
一、微分的概念
二、微分运算法则
三、微分在近似计算中的应用
一.微分的概念
1.引例： 正方形金属薄片受热后面积的改变量. 设边长由x0变到x0 x, x x
0
(x ) 2
x
正方形面积 A x0 ,
2 A ( x 0 x ) 2 x 0
2
(C 为常数)
f ( u) ( x ) dx d y f ( u) du
du
微分形式不变性
例1 设 y ln( x e ), 求dy.
解 方法一: 用定义 dy f ( x )dx
y 1 2 xe
x2
2
x2
方法二:
xe x ex 用微分形式的不变性 dy f ( u)du
设 y e 1 3 x cos x, 求dy.
dy cos x d (e 1 3 x ) e 1 3 x d (cos x )
cos x e1 3 x d (1 3 x) e1 3 x ( sinx)dx
3e
1 3 x
cos x dx e
1 3 x
sinx dx
e 1 3 x (3 cos x sin x )dx.
求 例3 . 设 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有
d( y sin x ) d(cos( x y )) 0 sin x d y y cos x dx sin( x y ) (d x d y ) 0 y cos x sin( x y ) dy dx sin( x y ) sin x
x 0 x
2 x 0 x ( x ) 2 .
(1) ( 2)
2 A x0
x 0 x
x0
(1) : x的线性函数, 且为A的主要部分 ; ( 2) : x的高阶无穷小 , 当 x 很小时可忽略 .
再例如, 设函数 y x 在点 x0处的改变量
3
为x时, 求函数的改变量y.