1.2.2导数运算公式与法则 导学案(教师版)
学案12：1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课标要求1．能利用导数的四则运算法则求解导函数．2．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．核心扫描1．对导数四则运算法则的考查．(重点)2．复合函数的考查常在解答题中出现．(重点)课前探究学习自学导引1．导数运算法则的定义域、值域满足什么关系？提示在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y＝f(u)的定义域的子集．名师点睛1．运用导数运算法则的注意事项(1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可．(2)①对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差， 即[f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f 1′(x )±f 2′(x )±…±f ′n (x )．②[ af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )； ③当f (x )＝1时，有⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ).(3)对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g ′(x )这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”． 2．复合函数求导对于复合函数的求导法则，需注意以下几点：(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数．如(sin 2x )′＝2cos 2x ，而(sin 2x )′≠cos 2x .(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数．如求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos u ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (4)复合函数的求导运用熟练后，中间步骤可省略不写. 课堂讲练互动题型一 利用导数的运算法则求函数的导数例1：求下列函数的导数：(1)y ＝x ·tan x ； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝x ＋3x 2＋3；(4)y ＝x sin x －2cos x； (5)y ＝x 5＋x 7＋x 9x ；(6)y ＝x －sin x 2cos x2.规律方法：解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前一般应先将函数化简，然后求导，以减少运算量． 变式1：求下列函数的导数：(1)y ＝5－4x 3； (2)y ＝3x 2＋x cos x ； (3)y ＝e x ·ln x ； (4)y ＝lg x －1x2.题型二 求复合函数的导数例2：求下列函数的导数：(1)y ＝11－2x 2； (2)y ＝e 2x ＋1； (3)y ＝(x －2)2； (4)y ＝5log 2(2x ＋1)．规律方法：应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面： (1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导． (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导． (4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤． 变式2：求下列函数的导数：(1)y ＝ln(x ＋2)； (2)y ＝sin 4x 4＋cos 4x4；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x.题型三 求导法则的应用例3：求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．题后反思：点(1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．变式3：若将本例改为求曲线y ＝x 3－2x 在点A (1，－1)处的切线方程，结果会怎样？方法技巧 数形结合思想在导数中的应用数形结合的原则：(1)等价性原则：在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．(2)双向性原则：在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析或仅对几何问题进行代数分析，在许多时候是很难完成的．(3)简单性原则：找到解题思路之后，至于用几何方法还是采用代数方法，则取决于哪种方法更为简单有效，“数”与“形”的结合往往能起到事半功倍的效果．示例：讨论关于x 的方程ln x ＝kx 解的个数．方法点评：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义 ，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．导数的这一几何意义为导数与解析几何的沟通搭建了一个平台．因此从某 种意义上说，导数也就是数形结合的桥梁.参考答案题型一 利用导数的运算法则求函数的导数例1：解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′(1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x＝sin x cos x ＋x cos 2x.(2)法一 ∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11. 法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2 ＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝(x ＋3)′(x 2＋3)－(x ＋3)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2.(4)y ′＝(x sin x )′－⎝⎛⎭⎫2cos x ′＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x . (5)∵y ＝x 5＋x 7＋x 9x ＝x 2＋x 3＋x 4，∴y ′＝(x 2＋x 3＋x 4)′＝2x ＋3x 2＋4x 3. (6)先使用三角公式进行化简，得 y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x . 变式1：解：(1)y ′＝－12x 2；(2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x ； (3)y ′＝e x x ＋e x·ln x ；(4)y ′＝1x ln 10＋2x3. 题型二 求复合函数的导数例2：解：(1)设y ＝u －12，u ＝1－2x 2，则y ′＝⎝⎛⎭⎫u －12′(1－2x 2)′＝⎝⎛⎭⎫－12u －32·(－4x ) ＝－12(1－2x 2)－32(－4x )＝2x (1－2x 2)－32.(2)y ＝e u ，u ＝2x ＋1，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋1. (3)法一 ∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4， ∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′ ＝1－4×12x －12＝1－2x.法二 令u ＝x －2，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝2(x －2)·(x －2)′ ＝2(x －2)⎝⎛⎭⎫12·1x －0＝1－2x . (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2. 变式2：解：(1)y ＝ln u ，u ＝x ＋2∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(x ＋2)′＝1u ·1＝1x ＋2.(2)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x4＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ，∴y ′＝－14sin x .(3)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2＋2x 1－x ＝41－x－2，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.题型三 求导法则的应用例3：解：设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝0x x y ='＝3x 20－2，故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0) ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0 ② 又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)． 解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.变式3：解：∵点A (1，－1)在曲线上，点A 是切点，∴在A 处的切线方程为x －y －2＝0.方法技巧 数形结合思想在导数中的应用示例：解：如图，方程ln x ＝kx 的解的个数就是直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 交点的个数． 设直线y ＝kx 与y ＝ln x 切于P (x 0，ln x 0) ，则kx 0＝ln x 0. ∵(ln x )′＝1x，∴k ＝1x 0，kx 0＝1＝ln x 0.∴x 0＝e ，k ＝1e.结合图象知：当k ≤0或k ＝1e 时，方程ln x ＝kx 有一解．当0<k <1e 时，方程ln x ＝kx 有两解．当k >1e 时，方程ln x ＝kx 无解．。
高中数学1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则三导学案新人教A选修22
青海师范大学附属第二中学高中数学 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算轨则(三)导学案新人教A版选修2-2[学习要求]1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导轨则．2．能够利用复合函数的求导轨则，并结合已经学过的公式、轨则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．[学法指导]复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以暗示成_______，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作__________.复合函数的求导轨则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝__________.即y对x的导数等于___________________________.探究点一复合函数的定义问题1 观察函数y＝2xcos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？问题2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？问题3 在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？例1 指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y＝(3＋5x)2； (2)y＝log3(x2－2x＋5)； (3)y＝cos 3x.跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成：(1)y＝ln x； (2)y＝e sinx； (3)y＝cos (3x＋1)．探究点二 复合函数的导数问题 如何求复合函数的导数？例2 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4； (2)y ＝11－2x ； (3)y ＝sin(－2x ＋π3)； (4)y ＝102x ＋3.跟踪训练2 求下列函数的导数．(1)y ＝ln 1x； (2)y ＝e 3x ； (3)y ＝5log 2(2x ＋1)．探究点三 导数的应用例3 求曲线y ＝e2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程．跟踪训练3 曲线y ＝e 2x cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．[达标检测]1．函数y ＝(3x －2)2的导数为 ( )A ．2(3x －2)B ．6xC ．6x(3x －2)D ．6(3x －2) 2．若函数y ＝sin 2x ，则y′等于 ( ) A ．sin 2xB ．2sin xC ．sin xcos xD ．cos 2x 3．若y ＝f(x 2)，则y′等于 ( )A．2xf′(x2) B．2xf′(x)C．4x2f(x) D．f′(x2)4．设曲线y＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.。
学案10：1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则新知初探1．导数的四则运算法则(1)条件：f (x )，g (x )是可导的．(2)结论：①[f (x )±g (x )]′＝ ．②[f (x )g (x )]′＝ ．③⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝______________________________．点睛 应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．(3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．2．复合函数的求导公式(1)复合函数的定义：①一般形式是 ．②可分解为 与 ，其中u 称为 ．(2)求导法则：复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为：y x ′＝ ．小试身手1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2. ( )(2)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)． ( )(3)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ． ( )2．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是 ( )A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2xB ．y ′＝cos 2xC ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x3．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为 ．4．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝ .课堂讲练题型一 利用导数四则运算法则求导典例 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x ；(3)y ＝cos x x.类题通法求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 活学活用 求下列函数的导数：(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝e x sin x.题型二 复合函数的导数运算典例 求下列函数的导数：(1)y ＝11－2x 2；(2)y ＝e sin(ax ＋b )； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)．类题通法1．求复合函数的导数的步骤2．求复合函数的导数的注意点(1)内、外层函数通常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点． 活学活用求下列函数的导数：(1)y ＝(3x －2)2； (2)y ＝ln(6x ＋4)；(3)y ＝e 2x ＋1； (4)y ＝2x －1；(5)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4；(6)y ＝cos 2x .题型三 与切线有关的综合问题典例 (1)函数y ＝2cos 2x 在x ＝π12处的切线斜率为 ．(2)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )，①求f (1)＋f ′(1)．②若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．类题通法关于函数导数的应用及其解决方法(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．活学活用若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 的值为 ( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7 参考答案新知初探1．(2) f ′(x )±g ′(x )②f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )③f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0) 2．(1)①y ＝f (g (x ))②y ＝f (u ) u ＝g (x ) 中间变量(2)y u ′·u x ′小试身手1．(1)× (2)√ (3)×2．【答案】B3．【答案】－x sin x4．【答案】1课堂讲练题型一 利用导数四则运算法则求导典例 解：(1)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝e x (x 3＋3x 2)．(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2. 活学活用 解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos x x. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x －e x ·(sin x )′sin 2x＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x＝e x (sin x －cos x )sin 2x题型二 复合函数的导数运算典例 解：(1)设y ＝u −12，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u −12)′(1－2x 2)′＝(-12u −32)·(－4x )＝－12(1－2x 2)−32(－4x )＝2x (1－2x 2)−32. (2)设y ＝e u ，u ＝sin v ，v ＝ax ＋b ，则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝e u ·cos v ·a＝a cos(ax ＋b )·e sin(ax ＋b )．(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3， 则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝2u ·cos v ·2＝4sin v cos v ＝2sin 2v ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )′·(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2. 活学活用解：(1)y ′＝2(3x －2)·(3x －2)′＝18x －12；(2)y ′＝16x ＋4·(6x ＋4)′＝33x ＋2； (3)y ′＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1；(4)y ′＝122x －1·(2x －1)′＝12x －1. (5)y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4·⎝⎛⎭⎫3x －π4′＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. (6)y ′＝2cos x ·(cos x )′＝－2cos x ·sin x ＝－sin 2x .题型三 与切线有关的综合问题典例 (1)【答案】－1【解析】由函数y ＝2cos 2x ＝1＋cos 2x ，得y ′＝(1＋cos 2x )′＝－2sin 2x ，所以函数在x ＝π12处的切线斜率为 －2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＝－1. (2)解：①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝ax 2＋ln x ，得f ′(x )＝2ax ＋1x，所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.②因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点， 即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x＝0有正实数解， 即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．活学活用【答案】A【解析】设过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x 0＝0或x 0＝32. 当x 0＝0时，直线方程为y ＝0.由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564. 当x 0＝32时，直线方程为y ＝274x －274. 由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.。
高中数学 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导学案(无答案)新人教A版选修2 2 学案
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学习目标：1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．学习重点理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数难点：理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数课前预习案导数的运算法则设两个函数分别为f(x)和g(x)[f xg x]′＝________________________一，新课导学课内探究案探究点一导数的运算法则问题1 我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？问题2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？探究点二导数的应用例2 (1)曲线y＝x e x＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为____________．二．合作探究例1 求下列函数的导数：(1)y＝3x－lg x；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝x5＋x7＋x9x.三．当堂检测1.求下列函数的导数：(1)f(x)＝x·tan x；(2)f(x)＝2－2sin2x2；(3)f(x)＝x－1x＋1；(4)f(x)＝sin x1＋sin x.教材练习题1．设y＝－2e x sin x，则y′等于( ) A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x)2．曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋23．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( )A.193B.163C.133D.1034．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．。
高中数学 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)导学案 新人教A版选修2-2
§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）学习目标：1、了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则；2、能利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导（仅限于形如()f ax b +的导数）。
一、主要知识：1、复合函数的概念：由几个函数复合而成的函数，叫做复合函数。
由函数)(u f y =与()u g x =复合而成的函数一般形式是 ，其中μ称为 。
2、复合函数的求导法则：复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦的导数和函数)(u f y =与()u g x =的导数的关系为x y '= ，即y 对x 的导数等于 与μ对x 的导数的 。
二、典例分析：〖例1〗：指出下列函数上怎样复合而成的：（1）()m n y a bx =+；（2）()324y x x =+；（3）22x y e +=；（4）()22sin 2y x =-。
〖例2〗：求下列函数的导数： （1）4312y x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）y =（3）y =（4）2cos 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（5）3log 2x y =；（6）2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。
〖例3〗：已知函数21nx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭过点11,9P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求函数在点P 处的切线方程。
〖例4〗：一物体作阻尼运动，其运动方程为()2sin 36t s t et π-⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，求该物体的速度和加速度的表达式。
三、课后作业：1、函数51y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的导数是（ ） A 、415y x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭ B 、421151y x x x ⎛⎫⎛⎫'=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C 、41151y x x x ⎛⎫⎛⎫'=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D 、4115y x x x x ⎛⎫⎛⎫'=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2、函数()820088y x =-的导数为（ ）A 、()7820088x -B 、64x -C 、()76482008x -D 、()76420088x - 3、若()2y f x =，则y '=（ ）A 、()22xf x 'B 、()2xf x 'C 、()24x f xD 、()2f x '4、设y a 是常数），则y '=（ ） AB C D 、 5、函数()2x x y e e -=+的导数是（ ） A 、()12x x e e -- B 、()12x x e e -+ C 、x x e e -- D 、x x e e -+ 6、函数ln 1x x e y e =+的导数（ ） A 、11x e + B 、11x e - C 、11x e -+ D 、11x e-- 7、若()()22f x x a =+，且()220f '=，则a = 。
《1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算》导学案(新部编)
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算》导学案【学习目标】1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则及复合函数求导法则；3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．【重点难点】导数的四则运算法则复合函数求导法则【学习过程】一、课前复习回顾：填写导数公式：二、自我学习与探究：(阅读课本第15页，并填写)1、导数的运算法则推论：[()]'cf x =思考：比较乘积的导数法则与商的导数法则的相同点与不同点 2、利用导数公式和导数运算法则求下列函数的导数(1)2log y x = (2)2xy e =(3)32234y x x =-- (4)3cos 4sin y x x =- (5)ln y x x = (6)ln xy x=3、复合函数的求导法则：思考：如何求函数ln(32)y x =+的导数呢？(1)复合函数的定义：一般地对于两个函数__________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ 的复合函数，记作_________________ .(2)复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为：________________________________即：__________________________________________.(3)利用复合函数求导法则求函数ln(32)y x =+的导数(写出详细过程)三、典型例题：例1：利用求导公式和运算法则求下列函数的导数：(1)n xy x e = (2)31sin x y x-=例2：利用导数运算法则及复合函数求导法则求下列函数的导数： (1)2(23)y x =+ (2)0.051x y e-+=(3)sin()y x πϕ=+，(其中π，ϕ均为常数)例3、已知函数2()138f x x =-+，且0'()4f x =，求0x课后作业1、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．(1)323y x x =-+ (2)sin y x x =⋅；(3)2(251)xy x x e =-+⋅； (4)4x x y =； (5)ln y x x = (6)ln xy x=(7)32log y x x =+ (8) 2xy x e -=2．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为： A ()2(1)f x x =- B 2()2(1)f x x =- C 2()(1)3(1)f x x x =-+- D ()1f x x =- 3．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a = A18 B 14 C 12D 1 4.曲线21x y xe x =++在点(0，1)处的切线方程为-------------------5.在平面直角坐标系中，点P 在曲线3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线在点P 处的切线的斜率为2，则P 点的坐标为_________________________.6、描述气球膨胀状态的函数()r V =________. 7、求函数ln y x x =在点x =1处的切线方程 .8、求曲线sin xy x=在点M (π，0)处的切线方程 .9、设函数()1x f x e =-的图象与x 轴相交于点P ，求曲线在点P 处的切线方程.10.设函数1()n y x n N +*=∈在点(1，1)处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则12n x x x ••⋅⋅⋅•=Al n B l 1n + C 1n n + D 1 11.已知函数32()f x x bx ax d =+++的图像过点P (0，2)，且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=，求函数的解析式 .。
2基本初等函数地导数公式及导数地运算法则(学、教案设计)
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课前预习学案一． 预习目标1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二． 预习内容1．基本初等函数的导数公式表 2.导数的运算法则导数运算法则1．[]'()()f x g x ±= 2．[]'()()f x g x ⋅=3．'()()f x g x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）推论：[]'()cf x =（常数与函数的积的导数，等于： ）三． 提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中函数导数 y c =*()()n y f x x n Q ==∈sin y x =cos y x =()x y f x a ==()x y f x e ==()log a f x x =()ln f x x =疑惑点疑惑内容课内探究学案一． 学习目标1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二． 学习过程（一）。
【复习回顾】复习五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y x =的导数公式填写下表 （二）。
【提出问题，展示目标】我们知道,函数*()()ny f x x n Q ==∈的导数为'1n y nx-=，以后看见这种函数就可以直接按公式去做，而不必用导数的定义了。
那么其它基本初等函数的导数怎么呢？又如何解决两个函数加。
减。
乘。
除的导数呢？这一节我们就来解决这个问题。
（三）、【合作探究】1．（1）分四组对比记忆基本初等函数的导数公式表函数导数 y c = y x =2y x =1y x =y x =*()()n y f x x n Q ==∈函数导数y c ='0y = *()()n y f x x n Q ==∈'1n y nx -=sin y x = 'cos y x = cos y x ='sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =⋅>()x y f x e == 'x y e =()log a f x x ='1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a==>≠且（2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数． （1）2y x =与2xy = （2）3x y =与3log y x =2.（1）记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点导数运算法则1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于： ）提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.（2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+ （2）sin y x x =⋅；（3）2(251)xy x x e =-+⋅； （4）4x x y =； 【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． （四）．典例精讲例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系0()(15%)tp t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？分析：商品的价格上涨的速度就是：解：()ln f x x = '1()f x x=变式训练1：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%分析：净化费用的瞬时变化率就是： 解：比较上述运算结果，你有什么发现？三．反思总结：（1）分四组写出基本初等函数的导数公式表： （2）导数的运算法则：四．当堂检测1求下列函数的导数（1）2log y x = （2）2xy e =（3）32234y x x =-- （4）3cos 4sin y x x =- 2.求下列函数的导数（1）ln y x x = （2）ln xy x=课后练习与提高1．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为： A ()2(1)f x x =- B 2()2(1)f x x =- C 2()(1)3(1)f x x x =-+- D ()1f x x =- 2．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a =A18 B 14 C 12D 1 3.设函数1()n y x n N +*=∈在点（1,1）处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则12n x x x ∙∙⋅⋅⋅∙=A l nB l 1n +C 1n n +D 14.曲线21xy xe x =++在点（0,1）处的切线方程为-------------------5.在平面直角坐标系中，点P 在曲线3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线在点P 处的切线的斜率为2，则P 点的坐标为------------6.已知函数32()f x x bx ax d =+++的图像过点P （0,2），且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=，求函数的解析式。
[最新]人教版高中数学选修2-2导学案：1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[WORD版可编辑]
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f / (x0 )或y / | x x0 ，即 f / ( x0 )
lim y _____________________ ． x0 x
2.导数的几何意义：函数在 f (x) 在 x x0 处的导数就是函数图象在点
切线的斜率 k，即 k=____________________________. 新知梳理：
度.
3s 时的速
4. 求曲线 y x 3 上过点 M 2,8 的切线与坐标轴围成的三角形面积 .
5. 已知 P 1,1 、 Q 2,4 是曲线 y x2 上的两点，求与直线 PQ 平行的曲线 y x 2 的切线
方程 . 6.已知抛物线 y=x 2，直线 x-y-2=0 ，求抛物线上的点到直线的最短距离 .
（ 2）用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度
.
2.在求函数的导函数时，可根据函数解析式的结构特征，先进行适当变形，在选择合适 的求导公式 .
【课堂小结】
【当堂达标】
1. 1. 函数 y 3 x 2 的导数 y =（ ）
A. 3 x 2 B. C. 1 x2 D.
2
1 x2 3
1
2 x
3
3
2. 在曲线 y x 2 上切线的倾斜角为 3 的点是（
）
4
2
A. ,
B.
2,4
88
C. 1 , 1
D.
24
1 , 1 坐标出错了 24
3. 若 f x x3 ， f / x0 6 ，则 x0 的值是（
）.
A. 2 B.
2
C. 2 D. 1
4. 求下列函数的导数：
（1） y=log 27;
(2)
1 y x2 ;
1.2 导数的计算 导学案(教师版)
§1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)内容要求 1.能根据定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 3.会使用导数公式表.知识点1几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2f(x)＝x f′(x)＝1 2x【预习评价】思考根据上述五个公式，你能总结出函数y＝xα的导数是什么吗？提示y＝xα的导数是y′＝αxα－1.知识点2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos__xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin__xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln__a(a>0)f(x)＝e x f′(x)＝e xf(x)＝log a x f′(x)＝1x ln a(a>0，且a≠1)f (x )＝ln xf′(x )＝1x求下列函数的导数：(1)f (x )＝4x 5；(2)g (x )＝cos π4；(3)h (x )＝3x . 解 (1)f (x )＝x 54，∴f ′(x )＝54x 14； (2)g (x )＝cos π4＝22，∴g ′(x )＝0； (3)h ′(x )＝3x ln 3.题型一 利用导数定义求函数的导数【例1】 利用导数的定义求函数f (x )＝2 019x 2的导数. 解 f ′(x )＝0limx ∆→2 019（x ＋Δx ）2－2 019x 2x ＋Δx －x＝0lim x ∆→2 019[x 2＋2x ·Δx ＋（Δx ）2]－2 019x 2Δx＝0lim x ∆→4 038x ·Δx ＋2 019（Δx ）2Δx ＝0lim x ∆→(4 038x ＋2 019Δx )＝4 038x .规律方法 解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤.(2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )，(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用. 【训练1】 利用导数的定义求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数. 解 y ′＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）2＋a （x ＋Δx ）＋b －（x 2＋ax ＋b ）Δx＝0lim x ∆→x 2＋2x ·Δx ＋（Δx ）2＋ax ＋a ·Δx ＋b －x 2－ax －bΔx＝0lim x ∆→2x ·Δx ＋a ·Δx ＋（Δx ）2Δx＝0lim x ∆→ (2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a .题型二 利用导数公式求函数的导数 【例2】 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3； (5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4； (4)y ′＝(4x3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较烦琐；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 【训练2】 求下列函数的导数： (1)y ＝x 13； (2)y ＝4x ； (3)y ＝sin x ； (4)y ＝15x 2.解 (1)y ′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x 12； (2)y ′＝(4x )′＝(x 14)′＝14x 14－1＝14x －34；(3)y ′＝(sin x )′＝cos x ； (4)y ′＝(15x 2)′＝(x －25)′＝－25x －25－1＝－25x －75.方向1 利用导数求曲线的切线方程【例3－1】 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与在这点处的切线垂直的直线方程.解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23(x －π6)，即2x ＋3y －32－π3＝0. 方向2 切线方程的综合应用【例3－2】 设P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离. 解 如图，设l 是与直线y ＝x 平行，且与曲线y ＝e x 相切的直线，则切点到直线y ＝x 的距离最小.设与直线y ＝x 平行的直线l 与曲线y ＝e x 相切于点P (x 0，y 0). 因为y ′＝e x ，所以e x 0＝1，所以x 0＝0. 代入y ＝e x ，得y 0＝1，所以P (0，1). 所以点P 到直线y ＝x 的最小距离为|0－1|2＝22. 规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键.【训练3】 (1)求曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32处的切线方程；(2)求曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12处的切线方程.解 (1)∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ，y ′|x =π6＝－sin π6＝－12.∴曲线在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即6x ＋12y －63－π＝0. (2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .∴曲线在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12处的切线的斜率为k ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝32.∴切线方程为y －12＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，即33x －6y ＋3π＋3＝0.课堂达标1.已知f (x )＝x 2，则f ′(3)等于( ) A.0B.2xC.6D.9解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 答案 C2.函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36B.0C.12xD.32解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.答案 A3.设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B.[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ，∴－1≤tan α≤1，又∵α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案 A4.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________. 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2. 答案 12e 25.已知f(x)＝52x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝________.解析因为f′(x)＝5x，g′(x)＝3x2，所以5x－3x2＝－2，解得x1＝－13，x2＝2.答案－13或2课堂小结1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y＝1－2sin2x2的导数.因为y＝1－2sin 2x2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.基础过关1.函数y＝3x在x＝2处的导数为()A.9B.6C.9ln 3D.6ln 3解析y′＝(3x)′＝3x ln 3，故所求导数为9ln 3.答案 C2.下列结论中，不正确的是()A.若y＝1x3，则y′＝－3x4B.若y＝3x，则y′＝3x3C.若y＝1x2，则y′＝－2x－3D.若f(x)＝3x，则f′(1)＝3 解析由(x n)′＝nx n－1知，选项A，y＝1x3＝x－3，则y′＝－3x－4＝－3x4；选项B ，y ＝3x ＝x 13，则y ′＝13x －23≠3x3；选项C ，y ＝1x 2＝x －2，则y ′＝－2x －3； 选项D ，由f (x )＝3x 知f ′(x )＝3， ∴f ′(1)＝3.∴选项A ，C ，D 正确.故选B. 答案 B3.已知f (x )＝cos x ，f ′(x )＝－1，则x 等于( ) A.π2B.－π2C.π2＋2k π，k ∈ZD.－π2＋2k π，k ∈Z解析 ∵f ′(x )＝－sin x ，则sin x ＝1， ∴x ＝π2＋2k π，k ∈Z . 答案 C4. 曲线y ＝x 2＋1x 在点(1，2)处的切线方程为________． 解析 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x 2， 所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)， 即y ＝x ＋1. 答案 y ＝x ＋15.若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 解析∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a ).令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 答案 646.已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值. 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1. 由f ′(x )＋g ′(x )≤0， 得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1， 但sin x ∈[－1，1]，∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .7．求下列函数的导数：(1)y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x 4)；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x2. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 能力提升8.函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A.1条 B.2条 C.3条D.不确定解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处分别有斜率为1的切线.答案 B9.已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B.－1e C.－eD.e解析y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，y 0＝e x0，k ＝e x 0，∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e. 答案 D10.曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 解析 ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1. ∴a ＝1. 答案 111.若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________. 解析 y ′＝10x ln 10，∴y ′|x ＝1＝10ln 10. 答案 10ln 1012.已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离.解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728， 所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.创新突破13.设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 019(x ). 解 ∵f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，∴f n ＋4(x )＝f n (x )，可知f (x )的周期为4，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝-cos x .。
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则%5B二%5D(教师版)
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) 知识点一 导数运算法则思考 (1)函数g (x )＝c ·f (x )(c 为常数)的导数是什么？(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)可导吗？反之如何？(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？答案 (1)g ′(x )＝cf ′(x ).(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)必可导.若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导.(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立.两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况，即[f 1(x )±f 2(x )±f 3(x )±…±f n(x )]′＝f ′1(x )±f ′2(x )±f ′3(x )±…±f ′n (x ).知识点二 复合函数的导数思考 设函数y ＝f (u )，u ＝g (v )，v ＝φ(x )，如何求函数y ＝f (g (φ(x )))的导数？ 答案 y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x .题型一 导数运算法则的应用例1 求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋23x 3；(2)y ＝lg x －e x ；(3)y ＝1x·cos x ；(4)y ＝x －sin x 2·cos x 2. 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5＋23x 3′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫23x 3′ ＝x 4＋2x 2.(2)y ′＝(lg x －e x )′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln 10－e x . (3)方法一 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′cos x ＋1x (cos x )′ ＝12()x -'cos x －1x sin x ＝－1232x -cos x －1xsin x ＝－cos x 2x 3－1x sin x ＝－cos x 2x x －1xsin x ＝－cos x ＋2x sin x 2x x. 方法二 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′x －cos x (x )′(x )2＝121sin cos 2x x x x--⋅＝－x sin x ＋cos x 2x x ＝－cos x ＋2x sin x 2x x . (4)∵y ＝x －sin x 2·cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′＝1－12cos x . 反思与感悟 在对较复杂函数求导时，应利用代数或三角恒等变形对已知函数解析式进行化简变形，如：把乘积的形式展开，分式形式变为和或差的形式，根式化为分数指数幂等，化简后再求导，这样可以减少计算量.跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1. 解 (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－(3x 2)′－(5x )′＋6′＝4x 3－6x －5.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2 x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2 x cos 2 x＝sin x cos x ＋x cos 2 x. (3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11.方法二 ∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11.(4)方法一 y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′ ＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2 ＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 方法二 ∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 题型二 复合函数求导法则的应用例2 求下列函数的导数：(1)y ＝(1＋cos 2x )3；(2)y ＝sin 2 1x； (3)y ＝11－2x2；(4)y ＝(2x 2－3)1＋x 2. 解 (1)y ＝(1＋cos 2x )3＝(2cos 2x )3＝8cos 6xy ′＝48cos 5x ·(cos x )′＝48cos 5x ·(－sin x )，＝－48sin x cos 5x .(2)令y ＝u 2，u ＝sin 1x ，再令u ＝sin v ，v ＝1x，∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝(u 2)′·(sin v )′·⎝⎛⎭⎫1x ′＝2u ·cos v ·0－1x 2＝2sin 1x ·cos 1x ·－1x 2＝－1x 2·sin 2x. (3)设y ＝12u -，u ＝1－2x 2，则y ′＝12()u -' (1－2x 2)′ ＝321()2u --·(－4x )＝3221(12)2x --- (－4x ) ＝3222(12)x x --.(4)令y ＝u v ，u ＝2x 2－3，v ＝1＋x 2，令v ＝w ，w ＝1＋x 2.v ′x ＝v ′w ·w ′x ＝(w )′(1＋x 2)′＝12122x -⋅w ＝2x 21＋x 2＝x 1＋x 2， ∴y ′＝(u v )′＝u ′v ＋u v ′＝(2x 2－3)′·1＋x 2＋(2x 2－3)·x 1＋x 2＝4x 1＋x 2＋2x 3－3x 1＋x 2＝6x 3＋x 1＋x 2. 反思与感悟 求复合函数的导数的步骤跟踪训练2 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)5；(2)y ＝1(1－3x )4； (3)y ＝31－3x ；(4)y ＝x ·2x －1；(5)y ＝lg(2x 2＋3x ＋1)；(6)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解 (1)设u ＝2x ＋1，则y ＝u 5，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u 5)′·(2x ＋1)′＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x ＋1)4.(2)设u ＝1－3x ，则y ＝u －4，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(1－3x )′＝－4u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝12(1－3x )5. (3)设u ＝1－3x ，则y ＝13u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝13·23u -·(1－3x )′ ＝13·13(1－3x )2·(－3)＝－13(1－3x )2. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′.设t ＝2x －1，u ＝2x －1，则t ＝12u ，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·12u -·(2x －1)′ ＝12×12x －1×2＝12x －1. ∴y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1. (5)设u ＝2x 2＋3x ＋1，则y ＝lg u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ln 10×(2x 2＋3x ＋1)′ ＝4x ＋3(2x 2＋3x ＋1)ln 10. (6)设u ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，v ＝2x ＋π3， 则y ＝u 2，u ＝sin v ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′ ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·2 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. 题型三 导数几何意义的应用例3 (1)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程是 .(2)已知函数f (x )＝k ＋ln x e x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为 .答案 (1)4x －y －3＝0 (2)1解析 (1)利用求导法则与求导公式可得y ′＝(3ln x ＋1)＋x ×3x＝3ln x ＋4. ∴k 切＝y ′|x ＝1＝4，∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.(2)由f (x )＝ln x ＋k e x， 得f ′(x )＝1－kx －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞). 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.反思与感悟 涉及导数几何意义的问题，可根据导数公式和运算法则，快速求得函数的导数，代入曲线切点处横坐标即可求得曲线在该点处的切线斜率，这样比利用导数定义要快捷得多. 跟踪训练3 (1)若曲线y ＝x 3＋ax 在(0,0)处的切线方程为2x －y ＝0，则实数a 的值为 .(2)若函数f (x )＝e x x在x ＝a 处的导数值与函数值互为相反数，则a 的值为 . 答案 (1)2 (2)12解析 (1)曲线y ＝x 3＋ax 的切线斜率k ＝y ′＝3x 2＋a ，又曲线在坐标原点处的切线方程为2x －y ＝0，∴3×02＋a ＝2，故a ＝2.(2)∵f (x )＝e x x ，∴f (a )＝e a a. 又∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝e x ·x －e x x 2，∴f ′(a )＝e a ·a －e aa 2. 由题意知f (a )＋f ′(a )＝0，∴e a a ＋e a ·a －e a a 2＝0，∴2a －1＝0，∴a ＝12.因对复合函数的层次划分不清导致求导时出现错误例4 求函数y ＝sin n x cos nx 的导数.错解 y ′＝(sin n x )′cos nx ＋sin n x (cos nx )′＝n sin n －1x ·cos nx ＋sin n x ·(－sin nx )＝n sin n －1x ·cos nx －sin n x sin nx .错因分析 在第二步中，忽略了对中间变量sin x 和nx 进行求导.正解 y ′＝(sin n x )′cos nx ＋sin n x (cos nx )′＝n sin n －1x ·(sin x )′·cos nx ＋sin n x ·(－sin nx )·(nx )′＝n sin n －1x ·cos x ·cos nx －sin n x ·(sin nx )·n＝n sin n －1x (cos x cos nx －sin x sin nx )＝n sin n －1 x cos [(n ＋1)x ].防范措施 在求解复合函数的导数时，不能机械地套用公式，应理清层次，逐层正确使用求导法则求解.1.已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( )A.193B.103C.133D.163答案 B解析 因f ′(x )＝3ax 2＋6x ，且f ′(－1)＝3a －6＝4，解得a ＝103，故选B. 2.函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C.e x －e －xD.e x ＋e －x 答案 A解析 y ′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )，故选A. 3.f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋xB.－11＋xC.1(1＋x )2D.－1(1＋x )2 答案 D解析 由f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ＝11x＋1，得f (x )＝1x ＋1， 从而f ′(x )＝－1(1＋x )2，故选D. 4.已知函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋4(a ∈R ，b ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数，则f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)的值为 .答案 8解析 f ′(x )＝a cos x ＋3bx 2，∴f ′(－x )＝a cos (－x )＋3b (－x )2＝f ′(x ).∴f ′(x )为偶函数.∴f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝0.f (2 014)＋f (－2 014)＝a sin 2 014＋b ·2 0143＋4＋a sin(－2 014)＋b ·(－2 014)3＋4＝8. ∴f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝8.5.已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝ . 答案 8解析 因y ＝x ＋ln x ，故y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2. ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵直线y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时，曲线变为直线y ＝2x ＋1，与已知直线平行).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式，对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.。
学案14：1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则学习目标1．理解各个公式的证明过程，进一步理解运用定义求导数的方法． 2．掌握常见函数的导数公式． 3．灵活运用公式求某些函数的导数． 问题导学一、根据求导公式和导数运算法则求导数 活动与探究1求下列函数的导数： (1)y ＝3x 2＋2x ＋1x 2；(2)y ＝3x ＋ln x ＋5； (3)y ＝e x cos x ＋sin x ； 迁移与应用1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的导数为( ) A ．y ′＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 B ．y ′＝cos x －sin x C ．y ′＝－sin x D ．y ′＝cos x 2．求下列函数的导数． (1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x ．名师点睛应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则，可迅速解决一些简单的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．对比较复杂的求导问题，可先进行恒等变形，再利用公式求导． 二、导数几何意义的应用 活动与探究2(1)已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标．(2)已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R ．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．迁移与应用1．曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为__________． 2．求过点(1，－1)与曲线y ＝f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．名师点睛(1)根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y ＝f (x )在点x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)；瞬时速度是位移函数s (t )对时间t 的导数，即v ＝s ′|t ＝t 0．(2)注意区别“在P 处”求切线和“过P ”求切线的不同，后者点P 不一定是切点，要先设出切点再求切线． 三、导数的综合应用 活动与探究3已知函数f (x )＝x 2a －1(a ＞0)的图象在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．迁移与应用1．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎭⎫0，π4 B ．⎣⎡⎭⎫π4，π2 C ．⎝⎛⎦⎤π2，3π4 D ．⎣⎡⎭⎫3π4，π 2．讨论关于x 的方程ln x ＝kx 的解的个数． 当堂检测1．已知函数π()=sin 2f x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，则π2f'⎛⎫ ⎪⎝⎭＝( ) A ．π2-B ．0C ．1D ．π22．下列结论正确的个数为( )①y ＝ln 2，则1'=2y ；②21=y x ，则=32'|=27x y -；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④12=log y x ，则1'=ln2y x -． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．eD ．1e4．设y ＝－2e x sin x ，则y ′＝__________．5．若曲线运动的物体的位移s 与时间t 的关系为221=2ts t t-+，则t ＝2时的瞬时速度为__________．课堂小结：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．参考答案一、根据求导公式和导数运算法则求导数活动与探究1解：(1)∵y ＝3x 2＋2x －1＋x －2，∴y ′＝6x －2x －2－2x －3＝6x －2x 2－2x 3．(2)y ′＝3x ln 3＋1x．(3)y ′＝e x cos x －e x sin x ＋cos x ． 迁移与应用 1．【答案】C【解析】∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，∴y ′＝－sin x ． 2．解：(1)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3．(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝(3x 2＋x 3)e x ． 二、导数几何意义的应用 活动与探究2(1)解：∵直线l 过原点，∴直线l 的斜率k ＝y 0x 0(x 0≠0)．由点(x 0，y 0)在曲线C 上，得y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，∴y 0x 0＝x 20－3x 0＋2． 又y ′＝3x 2－6x ＋2， ∴k ＝0x x y ='＝3x 20－6x 0＋2．又k ＝y 0x 0，∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2， 整理得2x 20－3x 0＝0．∵x 0≠0，∴x 0＝32，此时y 0＝－38，k ＝－14．因此直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－38． (2)解：∵f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，∴f ′(x )＝12x ，g ′(x )＝ax ．设f (x )，g (x )的交点为(x 0，y 0)，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧12x 0＝ax 0，y 0＝x 0，y 0＝a ln x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12e ，x 0＝e 2，y 0＝e.∴切线斜率k ＝f ′(x 0)＝f ′(e 2)＝12e ，切点为(e 2，e)，∴切线方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0．迁移与应用1．【答案】4x －y －3＝0【解析】因为y ′＝3ln x ＋4，故y ′|x ＝1＝4，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝4(x －1)，化为一般式方程为4x －y －3＝0． 2．解：设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为：k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2．故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)．① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0．② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，解得x 0＝1或x 0＝－12．故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)，即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0． 三、导数的综合应用 活动与探究3解：∵f ′(x )＝2x a ，∴f ′(1)＝2a．又f (1)＝1a －1，∴f (x )在x ＝1处的切线l 的方程是y －1a ＋1＝2a (x －1)．∴l 与坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12⎪⎪⎪⎪－1a －1⎪⎪⎪⎪a ＋12＝14⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2 ≥14×(2＋2)＝1． 当且仅当a ＝1a ，即a ＝1时，直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积最小，最小值为1．迁移与应用 1.【答案】D【解析】∵y ′＝⎝⎛⎭⎫4e x ＋1′＝－4exe x＋12＝－4e x ＋1ex ＋2≥－1，即tan α≥－1． 由正切函数图象得α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π，选D ．2．解：如图，方程ln x ＝kx 的解的个数就是直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 的交点的个数． 设直线y ＝kx 与y ＝ln x 切于P (x 0，ln x 0)，则kx 0＝ln x 0．∵(ln x )′＝1x ，∴k ＝1x 0，kx 0＝1＝ln x 0．∴x 0＝e ，k ＝1e．结合图象知：当k ≤0或k ＝1e 时，方程ln x ＝kx 有一解．当0＜k ＜1e 时，方程ln x ＝kx 有两解．当k ＞1e 时，方程ln x ＝kx 无解．当堂检测 1．【答案】A【解析】∵f (x )＝πsin 2x x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝x cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －x sin x ． ∴πππππ'=cos sin =22222f ⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．【答案】D【解析】对①，y ＝ln 2是常数函数，y ′＝0，故①错误；对②，221==y x x -，y ′＝－2x －3＝32x -，∴y ′|x ＝3＝227-，故②正确； 对③，易知其正确； 对④，12=log y x ，11'==1ln2ln 2y x x -，故④正确． 3．【答案】A【解析】根据导数的几何意义可得，k ＝y ′|x ＝0＝e 0＝1． 4．【答案】－2e x (sin x ＋cos x )【解析】y ′＝－2[(e x )′·sin x ＋e x ·(sin x )′]＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )． 5．【答案】8 【解析】s ′＝21't t -⎛⎫⎪⎝⎭＋(2t 2)′ ＝2421t t t t --(-)＋4t ＝32t t-＋4t ． ∴t ＝2时的瞬时速度为s ′|t ＝2＝228-＋8＝8．。
高中数学2-2 第一章1.2.2《导数公式及运算法则》【教案】
1。
2。
2。
基本初等函数的导数公式及导数的运算学习目标：1。
能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数；2.会使用导数公式表求函数的导数；重点：会使用导数公式表求函数的导数,会使用导数公式表求简单复合函数的导数难点:会使用导数公式表求函数的导数会使用导数公式表求简单复合函数的导数基础检测（独学）2y x在x=3处的导数为预习提纲:（2）推论：[]'()cf x =探究案:(群学、展示）—------投影展示★例1 根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数．（1）2y x =(2)2xy = （3）3xy = （4)3logy x =例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+ （2)sin y x x =⋅;（3）2(251)xy xx e=-+⋅ （4）4xxy =；课堂小结:（群学或对学)1、基本初等函数的导数公式2、导数运算法◇课堂检测◇:(独学、展示)10分钟—————--投影展示1．(x－5)′＝（）A．－错误!x－6 B.错误!x－4C．－5x－6D．－5x4 2．函数y＝3x（x2＋2)的导数是( )A．3x2＋6 B．6x2C．9x2＋6 D．6x2＋63. 课本85页练习2，习题3.2——-4，5（创新题）★★★已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是（）A。
错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!。
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(学、教案)
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(学、教案)D§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课前预习学案一． 预习目标1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二． 预习内容1．基本初等函数的导数公式表 2.导数的运算法则函数 导数 y c =*()()n y f x x n Q ==∈sin y x=cos y x=()x y f x a == ()x y f x e == ()log a f x x=()ln f x x=导数运算法则复习五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y x=的导数公式填写下表（二）。
【提出问题，展示目标】我们知道,函数*()()ny f x x n Q ==∈的导数为'1n y nx -=，以后看见这种函数就可以直接按公式去做，而不必用导数的定义了。
那么其它基本初等函数的导数怎么呢？又如何解决两个函数加。
减。
乘。
除的导数呢？这一节我们就来解决这个问题。
（三）、【合作探究】 1．（1）分四组对比记忆基本初等函数的导数公式表函数 导数 y c = y x =2y x =1y x = y x = *()()ny f x x n Q ==∈函数导数 y c ='0y =*()()n y f x x n Q ==∈'1n y nx -= sin y x= 'cos y x= cos y x= 'sin y x=- ()x y f x a =='ln (0)x y a a a =⋅>（2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数．（1）2y x =与2xy =（2）3xy =与3log y x =2.（1）记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点导数运算法则1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于： ）提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.（2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y xx =-+()x y f x e == 'xy e =()log a f x x='1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a==>≠且()ln f x x='1()f x x=（2）sin y x x =⋅； （3）2(251)xy xx e =-+⋅；（4）4x x y =； 【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． （四）．典例精讲例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)tp t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？分析：商品的价格上涨的速度就是： 解： 变式训练1：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%分析：净化费用的瞬时变化率就是： 解：比较上述运算结果，你有什么发现？三．反思总结：（1）分四组写出基本初等函数的导数公式表： （2）导数的运算法则：四．当堂检测1求下列函数的导数（1）2log y x = （2）2xy e =（3）32234y x x =-- （4）3cos 4sin y x x =-2.求下列函数的导数 （1）ln y x x = （2）ln xy x= 课后练习与提高1．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为：A ()2(1)f x x =-B 2()2(1)f x x =- C 2()(1)3(1)f x x x =-+- D ()1f x x =-2．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a =A18B14C 12D 1 3.设函数1()n y x n N +*=∈在点（1,1）处的切线与x 轴的交点横坐标为nx ，则12nx x x ••⋅⋅⋅•=A l nB l 1n +C 1nn + D 14.曲线21xy xe x =++在点（0,1）处的切线方程为-------------------5.在平面直角坐标系中，点P 在曲线3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线在点P 处的切线的斜率为2，则P 点的坐标为------------ 6.已知函数32()f x x bx ax d =+++的图像过点P （0,2），且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=，求函数的解析式。
高中1.2.2导数的运算法则(一)学案新人教版选修2
1.2.2 导数的运算法则（一）姓名： 学号：【学习目标】记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则，理解导数运算法则是把一个复杂函数求导数转化为两个或多个简单函数的求导问题；能通过运算法则求出导数后解决实际问题.【运算法则】（1）[]'±)()(x g x f = ；推广：[]'+++)()()(21n x f x f x f = ；（2）[]'⋅)()(x g x f = ；[]=')(x cf （c R ∈）； （3）'⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(x g x f = . ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(1x f .【例证题】例1 求下列函数的导数（1）x x x y -+=23sin （2）)23)(12(++=x x y （3）x y tan =（4）x e y x ln =（5）1+=x x y例2 求下列函数的导数（1）x x x y cos 32+= （2）21lg x x y -= （3）x x x x y 13223++-= （4）)2)(cos 1(2x e x x y ++=例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为).10080(1005284)(<<-=x xx c 求净化到下列纯度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）%90；（2）%98.例4 已知函数.ln x x y =（1） 求这个函数的导数；（2）这个函数在点1=x 处的切线方程.【作业】1、下列四组函数中导数相等的是（ ）x x f x f A ==)(1)(.与 x x f x x f B cos )(sin )(.-==与x x f x x f C sin )(cos 1)(.-=-=与 32)(21)(.22+-=-=x x f x x f D 与2、下列运算中正确的是（ ）)()().(22'+'='++x b x a c bx ax A )(2)(sin )2.(sin 22''-'='-x x x x B 222)()(sin )sin .(xx x x x C '-'=' x x x x x x D cos )(cos cos )(sin )sin .(cos '+'='⋅ 3、设,sin 2x e y x -=则y '等于（ ）x e A x cos 2.- x e B x sin 2.- x e C x sin 2. )cos (sin 2.x x e D x +-4、对任意的x ，有,1)1(,4)(3-=='f x x f 则此函数解析式可以为（ ）4)(.x x f A = 2)(.4-=x x f B 1)(.4+=x x f C 4)(.x x f D -=5、函数1323+-=x x y 在点()1,1-处的切线方程为（ ）43.-=x y A 23.+-=x y B 34.+-=x y C 54.-=x y D答案：1—5 、 、 、 、6、函数4532)(23+-+=x x x x f 的导数=')(x f ， =-')3(f .7、已知函数,2813)(2x x x f +-=且,4)(0='x f 则=0x .8、过原点作曲线x e y =的切线，则切点坐标为 ， 切线的斜率为 .9、求曲线xx y sin =在点)0,(πM 处的切线的方程.10、求下列函数的导数（1）x y x 2log 2+= （2）)(Q n e x y x n ∈= （3）2-+=x x y（4）)53)(32(2x x x y +-+= （5）x x y cos 13-=11、氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气，那么t 天后，氡气的剩余量为.834.0500)(t t A ⨯= （注：182.0834.0ln -≈， 28.0834.07≈）（1）氡气的散发速度是多少？（2）)7(A '的值是什么（精确到1.0）？它表示什么意义？。
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1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) 内容要求 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.知识点1 导数运算法则 法则语言叙述 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝ f ′（x ）g （x ）－f （x ）·g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方思考 若f (x )＝x 2·sin x ，则f ′(x )＝(x 2)′·(sin x )′＝2x ·cos x 是否正确？ 提示 不正确.f ′(x )＝(x 2)′·sin x ＋x 2·(sin x )′＝2x ·sin x ＋x 2·cos x .知识点2 复合函数的求导法则复合函数的概念一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x )) 复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积 【预习评价】思考 复合函数y ＝f (g (x ))，用中间变量y ＝f (u )，u ＝g (x )代换后求导的顺序是什么？ 提示 根据复合函数的求导法则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，求导的顺序是从外向内逐层求导．题型一利用导数的运算法则求函数的导数【例1】求下列函数的导数：(1)y＝(x2＋1)(x－1)；(2)y＝3x－lg x.解(1)方法一y′＝(x2＋1)′(x－1)＋(x2＋1)(x－1)′＝2x(x－1)＋x2＋1＝3x2－2x＋1.方法二∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′＝3x2－2x＋1.(2)(3x－lg x)′＝(3x)′－(lg x)′＝3x ln 3－1x ln 10.规律方法本题是基本初等函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数.【训练1】求下列函数的导数：(1)y＝x3－x2－x＋3；(2)y＝2x2＋3x3；(3)y＝1－sin x1＋cos x；(4)y＝1＋x1－x＋1－x1＋x.解(1)y′＝(x3－x2－x＋3)′＝(x3)′－(x2)′－x′＋3′＝3x2－2x－1.(2)方法一因为y＝2x－2＋3x－3，所以y′＝(2x－2＋3x－3)′＝(2x－2)′＋(3x－3)′＝－4x －3－9x －4＝－4x 3－9x 4.方法二 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋3x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 3′ ＝2′·x 2－2·（x 2）′x 4＋3′·x 3－3·（x 3）′x 6＝－4x 3－9x 4.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－sin x 1＋cos x ′ ＝（1－sin x ）′（1＋cos x ）－（1－sin x ）（1＋cos x ）′（1＋cos x ）2 ＝－cos x －cos 2x ＋sin x －sin 2x （1＋cos x ）2 ＝－1－cos x ＋sin x （1＋cos x ）2. (4)因为y ＝1＋x1－x ＋1－x 1＋x ＝（1＋x ）21－x ＋（1－x ）21－x＝2（1＋x ）1－x ＝41－x－2， 所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝4′（1－x ）－4（1－x ）′（1－x ）2＝4（1－x ）2. 题型二 导数的应用【例2】 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程.解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2.故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0).①∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x30－2x0，②又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式，得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0).解得x0＝1或x0＝－12.∴P点坐标为(1，－1)或(－12，78)，故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y－78＝－54(x＋12)，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.规律方法(1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解.【训练2】若函数f(x)＝e xx在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，求c的值.解因为f(x)＝e xx，所以f(c)＝e cc，又因为f′(x)＝e x·x－e xx2＝e x（x－1）x2，所以f′(c)＝e c（c－1）c2.依题意，知f(c)＋f′(c)＝0，所以e cc ＋e c（c－1）c2＝0，所以2c－1＝0，解得c＝12.课堂达标1.函数y＝(x＋1)(x－1)的导数等于()A.1B.－12xC.12x D.－14x解析 因为y ＝(x ＋1)(x －1)＝x －1，所以y ′＝x ′－1′＝1.答案 A2.函数y ＝cos x 1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x （1－x ）2B.x sin x －sin x －cos x （1－x ）2C.cos x －sin x ＋x sin x （1－x ）2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x 解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝（－sin x ）（1－x ）－cos x ·（－1）（1－x ）2＝cos x －sin x ＋x sin x （1－x ）2. 答案 C3.曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A.y ＝2x ＋1B.y ＝2x －1C.y ＝－2x －3D.y ＝－2x ＋2 解析 ∵y ′＝x ′（x ＋2）－x （x ＋2）′（x ＋2）2＝2（x ＋2）2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2（－1＋2）2＝2， ∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.答案 A4.直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.解析 设切点为(x 0，y 0)，(x 0＞0)，∵ y ′＝1x ，∴12＝1x 0， ∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b ，∴b ＝ln 2－1. 答案 ln 2－15.曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0，1)处的切线方程为________.解析 y ′＝e x ＋x e x ＋2，k ＝y ′|x ＝0＝e 0＋0＋2＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －0)，即3x －y ＋1＝0.答案 3x －y ＋1＝0课堂小结求函数的导数要准确把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.基础过关1.曲线f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角为( )A.π6B.3π4C.π4D.π3解析 因为f ′(x )＝x 2－2x ，k ＝f ′(1)＝－1，所以在x ＝1处的切线的倾斜角为3π4.答案 B2.函数y ＝x 2x ＋3的导数是( ) A.x 2＋6x （x ＋3）2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x （x ＋3）2D.3x 2＋6x （x ＋3）2 解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝（x 2）′（x ＋3）－x 2（x ＋3）′（x ＋3）2 ＝2x （x ＋3）－x 2（x ＋3）2＝x 2＋6x （x ＋3）2.答案 A3.已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A.－1B.－2C.2D.0解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，因为f ′(1)＝2，所以4a ＋2b ＝2，所以f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2.答案 B4.已知f (x )＝x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝________. 解析 因为f ′(x )＝2x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13， 解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝23. 答案 235．已知曲线y ＝e －x ：①若曲线在点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则P 点坐标是________； ②若曲线在点P 处的切线垂直于直线e x －y ＋1＝0，则P 点坐标是________． 解析 ①设点P (x 0，y 0)，因为y ′＝－e －x ，所以曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝－e －x 0，又因为切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e －x 0＝－2，解得x 0＝－ln 2，代入y ＝e －x 得y 0＝2，所以点P (－ln 2，2)．②设点P (x 0，y 0)，则y ′＝－e －x ，又曲线在点P 处的切线垂直于直线e x －y ＋1＝0，所以－e －x 0＝－1e，解得x 0＝1， 此时y 0＝1e ，即P ⎝⎛⎭⎫1，1e .答案 ①(－ln 2，2) ②⎝⎛⎭⎫1，1e 6.求下列函数的导数：(1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)；(2)y ＝ln(2x ＋1)；(3)y ＝x －sin x 2cos x 2.解 (1)方法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.方法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3，∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9.(2)y ′＝12x ＋1·(2x ＋1)′＝22x ＋1. (3)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x . 7.已知抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7经过点(1，1)，且在点(1，1)处的切线方程为4x －y －3＝0，求a ，b 的值.解 由抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7经过点(1，1)，得1＝a ＋b －7，即a ＋b －8＝0.因为f ′(x )＝2ax ＋b ，且抛物线在点(1，1)处的切线方程为4x －y －3＝0，所以f ′(1)＝4，即2a ＋b －4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，2a ＋b －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝12.能力提升8.已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时P 点的坐标为( )A.(－2，－8)B.(－1，－1)或(1，1)C.(2，8)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1，1).答案 B9.曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A.－12B.12C.－22D.22 解析 y ′＝cos x （sin x ＋cos x ）－sin x （cos x －sin x ）（sin x ＋cos x ）2＝1（sin x ＋cos x ）2， 故y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12. 答案 B10.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________.解析 y ′＝－4e x （e x ＋1）2＝－4e xe 2x ＋2e x ＋1， 设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t ＋2. ∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1，0)，α∈[3π4，π). 答案 [3π4，π)11.设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝____________. 解析 令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2.答案 212.设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R ，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程.解 因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又因为f ′(1)＝2a ，所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b .又因为f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.所以f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2a ＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0. 创新突破13.设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.解 (1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3， 故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)， 即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0). 令x ＝0得y ＝－6x 0， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0). 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。