带电粒子在重力场和磁场中运动问题的研究

带电粒子在匀强电场和匀强磁场中运动问题的研究

黄陂一中 姜付锦

对于带电粒子在匀强电场和匀强磁场中运动问题，如果按初速度可分为两大类：一是带电粒子由静止释放；二是带电粒子以某一初速度进入复合场。对于第二类又可分为三小类：（1）速度恰好为某一值时做匀速直线运动，（2）速度比临界速度大，（3）速度比临界速度小。如果按轨迹可分为两类：一是直线，二是摆线。

一、带电粒子由静止释放

1、建立模型

如图所示，一带电粒子质量为m ，

电量为q ，匀强电场E 和匀强 磁场B 正交，粒子由静止释放。 2、运动分析

设开始时粒子向左和向右各个一个初速度0v ，且0Bqv Eq =，则带电粒子的运动可分解为两个运动的合成。水平方向为速度为0v 的匀速直线运动，竖直方向为线速度为0v 的匀速圆周运动。其中轨迹的最大高度为222m mE H R B q ==

，最大速度为0

22m E

v v B

== 周期为2m

T qB

π=

3、运动轨迹

050100150200250300350400

20

15

10

5

Y X

二、定量研究

1．运动的微分方程

由带电粒子的受力分析图可知粒子在水平与竖直方向上的微分方程如下：

Bq x y m

Bq y g x

m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

，初始值为(0)(0)0(0)(0)0x y x y ==⎧⎨==⎩ 根据拉普拉斯变换可知

22[1]1/[](0)[](0)(0)[](0)[](0)(0)

L s L x sX x L x s X sx x L y sY y L y s Y sy y ==-=--=-=--，代入初始值得22[]/[][][][]L g g s L x sX L x s X L y sY L y s Y

=====

将上式代入得

2

2Bq s X sY m

g Bq s Y sX s m ⎧=⎪⎪⎨

⎪=-⎪⎩

上式的解为22222

221/()1[]

()mg m g Bq mg

X Bq Bq s Bq s m

m g s Y Bq Bq s s m ⎧=-⎪⎪+⎪⎨⎪=-⎪+⎪⎩

将上式查拉普拉斯反演表得

222

2

22sin()[1cos()]mg m g Bq

x t t Bq B q m m g Bq y t B q m ⎧=-⎪⎪

⎨⎪=-⎪⎩

将上式对时间求一阶导数得

[1cos()sin()x y mg Bq v t mq m mg Bq v t mq m ⎧=-⎪⎪

⎨

⎪=⎪⎩

当带电粒子运动到最低点时竖直速度0y v =，水平速度2x mg v Bq

=，竖直高度2222m g h B q =

2运动图象

利用MathCAD 结合带电粒子的运动参数方程可作出其运动轨迹图象与速度变化图象

0100200300400

20

10

Y X

5

10

15

20

25

30

35

10

10

20

V1i

V2i

t i

上图中对应的参数2

1,1,10/,1B T q C g m s m kg ====，,,1,2i i X Y v v 分别表示带电粒子的水平与竖直位移，水平与竖直速度，由其轨迹特点可知其轨迹为一条摆线。

三、带电粒子以某一初速度进入复合场（仅讨论水平初速度）

1、 当0Eq Bqv =时，带电粒子做匀速直线运动

2、 当0Eq Bqv >时，带电粒子的运动也可分解为两个运动的合成。其中水平速度为

0v v +，且有0()Bq v v Eq +=，水平方向上做匀速直线运动速度为

E

B

，竖直平面内做匀速圆周运动，其线速度为

0E

v B

-，其中轨迹的最大高度为02

22(

)m mv mE H R B q Bq ==-，最大速度为02m E

v v B

=-，周期为2m T qB π=， 轨迹如下图

050100150200250300350400

4

3

2

1

Y X

3、当0Eq Bqv <时，带电粒子的运动也可分解为两个运动的合成。其中水平速度为

0v v -，且有0()Bq v v Eq -=，水平方向上做匀速直线运动速度为

E

B

，竖直平面内做匀速圆周运动，其线速度为0E

v B

-

，其中轨迹的最大高度为0222()m mv mE H R Bq B q ==-，

最小速度为02

m E

v v B

=-，周期为2m T qB π=，轨迹如下图

050100150200

250300350400450

5

10

15

20

Y X

四、归纳总结

1、 带电粒子在复合场中的运动轨迹可能为直线，可能为摆线。

2、 当轨迹为摆线时，其运动周期为定值，带电粒子和磁场有关。

3、如果是重力场和匀强磁场，则可以用,mg

mg E q E q

==效效来替换文章中的匀强电场E 即可。