《不等式的基本性质》课件ppt
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《不等式的基本性质》ppt课件
x< -3
题 组 训 练 一
：
1、已知x>y,下列各式成立吗？
(1)x-6<y-6
(3) -2x<-2y
(2) 3x<3y (4) 2x+1>2y+1
2、设 a<b ,用“<”或“>”号填空 （1）a+1__b+1
(2) a-3__b-3 (4) -a__-b
（3）3a__3b
（5）
2a 3 __ 2b 3
归 纳
不等式基本性质1
不等式的两边都加上（或减去）同 一个整式，不等号的方向不变.
等式基本性质2：等式的两边都 乘以（或除以）同一个不为0的 数，等式仍然成立.
用刚才的方法研究:不 等式有没有这样的性 质？
不等式应Hale Waihona Puke 有什么样 类似的性质?探 究
3 < 7
3×2 < 7×2 3×0.5 < 7×0.5
不等式的基本性质
你还记得： 等式的基本性质吗？
等式基本性质1：等式的两边都加 整式 上（或减去）同一个整式，等式仍 然成立
可能是正数也可能是负数
想一想：
加减正数
3+2＿7+2 3-5__ 7-5 3+a__ 7+a
3＜ 7
加减负数
3+(-2)__ 7+(-2) 3-(-5)__ 7- ( -5) 3-a__ 7-a
巩固知识
典型例题
例 5 已知 a b 0 ， c d 0 ，求证 ac bd ．
证明 因为 a b, c 0 ， 由不等式的性质 3 知， ac bc ， 同理由于 c d , b 0 ，故 bc bd . 因此，由不等式的性质 1 知
不等式的基本性质ppt
即 x ＞5
（2）根据不等式的性质3，两边都除以－2得：
3 x ＜ 2
4、下列各题是否正确?请说明理由
(1)如果a＞b,那么ac＞bc
(2)如果ac2＞bc2,那么a＞b (3)如果a＞b,那么a-b＞0 (4)如果ax＞b且a≠0,那么x＞b/a
例题4：已知a>0，试比较2a与a的大 小. 解：在数轴上分别表示2a和a 的点（a>0），如图. a a 2a 0 a 2a位于a的右边，∴2a>a.
(1)由 x＞y 得 ax＞ay 的条件是（ B） A.a ≥0 B.a ＞ 0 C.a＜ 0 D.a≤0 (2)由 a<b 得 am＞bm 的条件是（ ） B A.m＞0 B.m＜0 C.m≠0 D.m是任意有理 数
四则运算还有一个除法，那么在不等式的 两边同时除以某一个数时（除数不为0）， 情况会怎样呢？
等式的性质1：等式的两边都加上（或减去） 数或者同一个整式，等式仍然成立. 等式的性质2：等式的两边都乘以同一数或 者（除以同一个不为0的数），等式仍然成 立.
不等式与等式只有一字之差，那么它们的性 质是否也有相似之处呢？
例题1.已知语文老师的年龄比英语老 师小;在这一情景中有怎样的不等式呢? 10年前谁的年龄大呢? 5年后呢?x年后 呢？ 解：假设语文,英语两位老师的年龄 分别为a, b. （1）a＜b （2）10年前，语文老师a-10岁，英语a10岁，根据现实。得：a-10<b-10
例如： ∵ 1<3 基本性质3:当不等式的两边同 ∴ 1/2<3/2 时除以一个正数时，不等号的 方向不变；当不等式的两边同 1/4<3/4 时除以一个负数时，不等号的 -1/4>-3/4方向改变.
不等式的基本性质 完整版课件
(1)设加入前产品A、 B的进口税分别为a美元，b美元，则表 示加入前产品A、 B的进口税的大小关系式为__a_>_2_b___； (2) 则加入后产品A、 B的进口税分别为_0_._8_5_a__,__0_.8_5_b__；
(3)你认为加入后产品A的进口税仍超过产品B的进口税的1倍 以上吗?
∵ a>2b,
（依据：_不__等__式__的_基__本__性__质__3___）.
c2
选择恰当的不等号填空，并说明理由： 1、若a＞-b，则a+b＿＞0. 2、 -a ＜ b, 则a ＿＞ -b. 3 、 -a＞-b，则2-a＿＞2-b. 4、a＞0，且(1-b)a＜0，则b＿＞1. 5、已知a＜b, b＜2a-1,则a_＜__2a-1.
等式
不等式
基本性质1 传递性
基本性质2
若a=b，b=c，则a=c 如果a=b，那么
若a＜b, b＜c, 则a＜c 如果a＞b,那么
基本性质3
a+c=b+c，a-c=b-c
如果a=b，且c≠o， 那么ac=bc，
ab =
cc
a+c＞b+c，a-c＞b-c
如那果么aa＞c＞bb,且c ,c＞a ＞0, b . cc
例1 已知a<0，试比较2a与a的大小.
作差法 数形结合法
不等式基本性质2 不等式基本性质3
例 已知a<0 ，试比较2a与a的大小. 作差法:
∵2a－a=a ＜0， ∴2a＜a.
例 已知a<0 ，试比较2a与a的大小.
数形结合:
如图,在数轴上分别表示2a和a的点(a＜0). 2a位于a的左边，所以2a＜a.
∣a∣ ∣a∣
2a a 0
(3)你认为加入后产品A的进口税仍超过产品B的进口税的1倍 以上吗?
∵ a>2b,
（依据：_不__等__式__的_基__本__性__质__3___）.
c2
选择恰当的不等号填空，并说明理由： 1、若a＞-b，则a+b＿＞0. 2、 -a ＜ b, 则a ＿＞ -b. 3 、 -a＞-b，则2-a＿＞2-b. 4、a＞0，且(1-b)a＜0，则b＿＞1. 5、已知a＜b, b＜2a-1,则a_＜__2a-1.
等式
不等式
基本性质1 传递性
基本性质2
若a=b，b=c，则a=c 如果a=b，那么
若a＜b, b＜c, 则a＜c 如果a＞b,那么
基本性质3
a+c=b+c，a-c=b-c
如果a=b，且c≠o， 那么ac=bc，
ab =
cc
a+c＞b+c，a-c＞b-c
如那果么aa＞c＞bb,且c ,c＞a ＞0, b . cc
例1 已知a<0，试比较2a与a的大小.
作差法 数形结合法
不等式基本性质2 不等式基本性质3
例 已知a<0 ，试比较2a与a的大小. 作差法:
∵2a－a=a ＜0， ∴2a＜a.
例 已知a<0 ，试比较2a与a的大小.
数形结合:
如图,在数轴上分别表示2a和a的点(a＜0). 2a位于a的左边，所以2a＜a.
∣a∣ ∣a∣
2a a 0
1.1.1 不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
返回
1 1 4．已知a，b，x，y都是正数，且a>b，x>y， x y 求证： > . x＋a y＋b 证明：因为a，b，x，y都是正数，
1 1 x y 且a>b.x>y，所以a>b， a b 所以x<y. a b 故x＋1<y＋1， x＋a y＋b x y 即 x < y .所以 > . x＋a y＋b
返回
2．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些 基本性质： (1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即 a＞
b⇔b＜a . (2)如果a＞b，b＞c，那么 a＞c .即a＞b，b＞c⇒ a＞c .
(3)如果a＞b，那么a＋c> b＋c . (4)如果a＞b，c>0，那么ac > bc；如果a>b，c<0，那么 ac < bc.
n n
n
a>
n
b (n＝2k＋
返回
返回
[例 1]
1 1 4 已知 x，y 均为正数，设 m＝ ＋ ，n＝ ，试比 x y x＋y
较 m 和 n 的大小．
[思路点拨]
变形 转化为因式 与0比较 两式作差 ――→ ―――→ 乘积形式
判断正负，得出大小
返回
[解]
x＋y 1 1 4 4 m－n＝ x ＋ y － ＝ xy － ＝ x＋y x＋y
返回
(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相 加，但不可以 相减 ；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两 个不等式同向且两边为 正值 时，可以相乘，但不可以 相除 ． (3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为 正值 ， 并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽 条件，a>b⇒a >b (n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒ 1，k∈N＋)．
不等式的基本性质PPT课件(北师大版)
在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0）， 所得结果仍是等式．
符号表示： 若 a b ，则 a c = b c ， a = b（c 0）．
cc
回顾与思考☞
不等式与等式仅一字之差，那么不等式是否有 与等式类似的性质呢？这就是今天我们要共同 探讨的问题——不等式的基本性质.
2.2 不等式的基本性质
分层评价，当堂达标 ☞
3．将下列不等式化成“x ＞a”或“x ＜a”的情势．
（ 1）3x－1＞27；
（2）
-
x
＞5
3
（3）5x ＜ 4x－6．
分层评价，当堂达标 ☞
B组： 1.（2013浙江）若实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示， 则下列不等式成立的是（ ）. A．ac＞bc B．ab＞cb C．a+c＞b+c D．a+b＞c+b
思考：通过本题目中的这些事例，结合等式的基本
性质2，猜想不等式还有哪些性质？
不等式的基本性质2：
不等式的两边都乘或（除以）同一个正数，
不等号的方向不变.
不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘或（除以）同一个负数，
不等号的方向改变.
字母表示： 若a＞b，c＞0，则
a c＞b c ， a ＞ b
cc
．
创设情境，探究新知 ☞
思考：通过本题目中的这些事例，结合等式的基本性 质1，猜想不等式有哪些性质？
不等式的基本性质1： 不等式的两边都加或（减）同一个整式，不等号 的方向不变． 用字母表示： 若a＞b，则a＋c ＞b＋c(或a－c ＞b－c）； 如果a ＜ b呢？
创设情境，探究新知 ☞
探究二 ：
A组：
1.（2013四川乐山）若a＞b，则下列不等式变形错误的是（ ）.
符号表示： 若 a b ，则 a c = b c ， a = b（c 0）．
cc
回顾与思考☞
不等式与等式仅一字之差，那么不等式是否有 与等式类似的性质呢？这就是今天我们要共同 探讨的问题——不等式的基本性质.
2.2 不等式的基本性质
分层评价，当堂达标 ☞
3．将下列不等式化成“x ＞a”或“x ＜a”的情势．
（ 1）3x－1＞27；
（2）
-
x
＞5
3
（3）5x ＜ 4x－6．
分层评价，当堂达标 ☞
B组： 1.（2013浙江）若实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示， 则下列不等式成立的是（ ）. A．ac＞bc B．ab＞cb C．a+c＞b+c D．a+b＞c+b
思考：通过本题目中的这些事例，结合等式的基本
性质2，猜想不等式还有哪些性质？
不等式的基本性质2：
不等式的两边都乘或（除以）同一个正数，
不等号的方向不变.
不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘或（除以）同一个负数，
不等号的方向改变.
字母表示： 若a＞b，c＞0，则
a c＞b c ， a ＞ b
cc
．
创设情境，探究新知 ☞
思考：通过本题目中的这些事例，结合等式的基本性 质1，猜想不等式有哪些性质？
不等式的基本性质1： 不等式的两边都加或（减）同一个整式，不等号 的方向不变． 用字母表示： 若a＞b，则a＋c ＞b＋c(或a－c ＞b－c）； 如果a ＜ b呢？
创设情境，探究新知 ☞
探究二 ：
A组：
1.（2013四川乐山）若a＞b，则下列不等式变形错误的是（ ）.
1.1.1 不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
返回ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6a2 2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为 ，B 点对应的 9＋a4 实数为 1， 试判别 A 点在 B 点的左边， 还是在 B 点的右边？
－a2－32 6a2 解：因为 ≤0， 4－1＝ 4 9＋a 9＋a 6a2 所以 ≤1. 9＋a4 当且仅当 a＝± 3时取“＝”， 所以当 a≠± 3时，A 点在 B 点左边，当 a＝± 3时，A 点 与 B 点重合．
返回
∴(a－c)(b－d)>0. eb－a＋c－d e e ∵e<0，∴ >0.即 > . a－cb－d a－c b－d
c<d<0⇒－c>－d>0 ⇒ 法二： a>b>0
1 1 a－c>b－d>0⇒ < a－c b－d⇒ e ＞ e . a－c b－d e<0
“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．
返回
1．已知a，b∈R，比较a4＋b4与a3b＋ab3的大小．
解：因为(a4＋b4)－(a3b＋ab3) ＝a3(a－b)＋b3(b－a) ＝(a－b)(a3－b3) ＝(a－b)2(a2＋ab＋b2) b 3 ＝(a－b)2[(a＋ )2＋ b2]≥0 2 4 (当且仅当a＝b时，取“＝”号) 所以a4＋b4≥a3b＋ab3.
返回
2．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些 基本性质： (1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即 a＞
b⇔b＜a . (2)如果a＞b，b＞c，那么 a＞c .即a＞b，b＞c⇒ a＞c .
(3)如果a＞b，那么a＋c> b＋c . (4)如果a＞b，c>0，那么ac > bc；如果a>b，c<0，那么 ac < bc.
6a2 2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为 ，B 点对应的 9＋a4 实数为 1， 试判别 A 点在 B 点的左边， 还是在 B 点的右边？
－a2－32 6a2 解：因为 ≤0， 4－1＝ 4 9＋a 9＋a 6a2 所以 ≤1. 9＋a4 当且仅当 a＝± 3时取“＝”， 所以当 a≠± 3时，A 点在 B 点左边，当 a＝± 3时，A 点 与 B 点重合．
返回
∴(a－c)(b－d)>0. eb－a＋c－d e e ∵e<0，∴ >0.即 > . a－cb－d a－c b－d
c<d<0⇒－c>－d>0 ⇒ 法二： a>b>0
1 1 a－c>b－d>0⇒ < a－c b－d⇒ e ＞ e . a－c b－d e<0
“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．
返回
1．已知a，b∈R，比较a4＋b4与a3b＋ab3的大小．
解：因为(a4＋b4)－(a3b＋ab3) ＝a3(a－b)＋b3(b－a) ＝(a－b)(a3－b3) ＝(a－b)2(a2＋ab＋b2) b 3 ＝(a－b)2[(a＋ )2＋ b2]≥0 2 4 (当且仅当a＝b时，取“＝”号) 所以a4＋b4≥a3b＋ab3.
返回
2．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些 基本性质： (1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即 a＞
b⇔b＜a . (2)如果a＞b，b＞c，那么 a＞c .即a＞b，b＞c⇒ a＞c .
(3)如果a＞b，那么a＋c> b＋c . (4)如果a＞b，c>0，那么ac > bc；如果a>b，c<0，那么 ac < bc.
不等式的基本性质ppt
＞ ⑷ -2÷（-4）____6÷（-4）
不等式(1)-(4)分别由不等式“7＞4”做 了怎样的变形？结果不等号的方向不变 还是改变？
知识形成
不等式的基本性质
(1)不等式的两边都加上（或减去） 同一个数或同一个整式，不等号的 方向不变. (2) 不等式的两边都乘以（或除以） 同一个正数，不等号的方向不变. (3) 不等式的两边都乘以（或除以） 同一个负数，不等号的方向改变.
知识形成
不等式的基本性质
文字表示 符号表示 (1)不等式的两边都加上（或减去）同一个 若a<b,则a+c < b+c 数或同一个整式，不等号的方向不变. （或a-c < b-c) (2) 不等式的两边都乘以（或除以）同一个 若a<b , 且c>0, 正数，不等号的方向不变. a b ) 则ac <bc(或 < c c (3) 不等式的两边都乘以（或除以）同一个 若a<b , 且c<0, a 负数，不等号的方向改变. 则ac bc(或 c
>
>
b c )
知识形成
等式的基本性质
不等式的基本性质
注意
1. 不等 式、等 式性质 的异同 点.
(1)不等式的两边都加上（或减去） (1) 等式的两边都加上（或 减去）同一个数或同一 同一个数或同一个整式，不等号的 方向不变. 个整式，所得的结果仍 是等式. 若a=b,则a+c=b+c(或a-c=b-c) 若a<b,则a+c<b+c （或a-c<b-c) （2）等式的两边都乘以（或 除以）同一个数（除数不 能为零），所得的结果仍 (2) 不等式的两边都乘以（或除以） 同一个正数，不等号的方向不变. 若a<b且c>0, 则ac<bc(或a
不等式的基本性质PPT课件
事实上，如果a>b， c>0，因为ac-bc=c(ab)>0，所以ac>bc.
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
基本不等式ppt课件
a+b
当且仅当a
2
= b时，等号成立.
思考：如图，是圆的直径，点是上一点， = ，
D
= .过点作垂直于的弦，连接，.
a+b
ab
2
半径 = _______________，则
= _______________
与大小关系怎么样？
a+b
≥
(1)当积xy等于定值P时，
≥
2
证明：∵ x，y都是正数， ∴
1 2
时，积有最大值 .
4
xy.
p， ∴ x + y ≥ 2 p，
积定和最小
当且仅当x = y时，上式等号成立.
于是，当x = y时，和x + y有最小值2 p.
(2)当和x + y等于定值S时， xy ≤
S
，∴xy
2
当且仅当x = y，上式等号成立.
2
2
∴x +
4
]
2−x
4
，得x
2−x
4
的最大值为−2.
x−2
+ 2 ≤ −2 (2 − x)(
4
)
2−x
+ 2 = −2，
= 0或x = 4(舍去)，即x = 0时等号成立.
练习巩固
练习2：已知0 < < 1,求 1 − 的最大值.
解：∵0 < < 1，∴ 1 − x > 0
∴ 1 − ≤
∴x +
4
x+4
− 4 ≥ 2 (x + 4) ∙
4
，即x
x+4
4
的最小值为0.
7.不等式的基本性质PPT课件(沪科版)
知识总结
不等式的基 不等式的两边都乘以(或除以)同 本性质3 一个负数，不等号的方向改变．
变号
不等式的基 本性质4
不等式的基 本性质5
如果a＞b，那么b＜a 如果a＞b，b＞c，那么a>c
变号
注意传递 性
方法规律总结： 不等式的基本性质与等式的基本性质的区分和联系． 区分：等式两边都乘(或除以)同一个负数时，等式仍然
性质5 如果a＞b， b＞c那么a＞c. 例如，由∠A＞∠B，∠B＞30°，可得∠A＞30°.
(来自《教材》)
例4•〈绵阳〉设“▲”“●”“■”分别表示三种不同的 物体，现用天平称两次，情况如图所示，那 么▲，●，■这三种物体按质量从大到小排列 应为( ) C
•A．■，●，▲
B．▲，■，●
•C．■，▲，●
cc
(来自《教材》)
知2－讲
例2 已知实数a、b ，若a＞b ，则下列结论正确
的是( D )
A．a－5＜b－5
a
C．3
＜
b 3
B．2＋a＜2＋b D．3a＞3b
知2－讲
导引：不等式的两边同时加上或减去一个数，不等号 的方向不变，不等式的两边同时除以或乘以一 个正数，不等号的方向也不变，所以A、B、C 错误，选D.
• 这样，对于不等式a＞b，两边同乘以－3， 会得到什么结果呢？
知3－导
×(－1)
×3
a＞b a×(－1)＜b×(－1) a×(－3)＜b×(－3).
×(－3)
3. 如果a＞b，c＜0，那么ac与bc有怎样的大小关系？
(来自《教材》)
归纳
知3－导
性质3 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负 数，不等号的方向改变.即 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc，a ＜ b .
《不等式的基本性质》PPT课件 (共23张PPT)
先×(-3),再+2
先再
1.已知x>y,比较2-3x与2-3y的大 前 定
小. 先×(-3),再+2
后不 比等
×(a-3)
较号
2.已知m<<n,且(a-3)m> >(a-3)n,求a的范
围.
×(a-3)
解: 由题意可得:a-3<0(不等式的基本性质3)
∴a<3(不等式的基本性质2)
例1：已知x>y，试比较－2x和－2y的大小，并 说明理由
一个不为0的数，所得结果仍是等式
如果a=b，那么ac=bc，a÷c＝b÷c（c≠0）
探索与发现
观察:用“<”或“>”填空,并找一找其中的规律.
(1)6>4 6+2__＞__4+2
6－2__＞__4－2
(2) –1<3 -1+2__<__3+2 -1－3_<___3－3
发现:当不等式两边加上或减去同一个 数时,不等号的方向___不__变___
变式1:比较a－2x和a－2y的大小
变式2:比较 a 2x 和 a 2 y 的大小
3
3
变式3: 若x>y,且(a－3)x＜(a－3)y,求a的取值范围。
变式4：若x>y,比较(a-3)x与(a-3)y的大小？
例2：由 5 >2可得（ 5）2 >2 5 ，
不等式两边同时乘了
，
你能由 5 >2，推出 5 <2Байду номын сангаас5吗？
×(-3)
(6)若m>>-3,则-3m < 9;
×(-3)
(7)若a≥b,则2a ≥ 2b; (8)若-a＜b,则a >-b.
不等式的基本性质课件ppt
11.2不等式的基本性质
由a+2=b+2, 能得到a=b？由a-2=b-2, 能得到a=b？由2a=2b, 能得到a=b？
由0.5a=0.5b, 能得到a=b？
等式基本性质1：等式的两边
都加上（或减去）同一个整式，等式仍旧成立
等式基本性质2：
等式的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，等式仍旧
成立
不等式是否具有类似的性质呢？由 3 <7
想 3 +5
7+5想 3 -5 7-5
总结规律？
<<
不等式基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
若a b 则a+c ____ b+c
a -c ____
b -
c ＜＜＜ 净水器
做书上第96页填空你发现了什么？
讨论总结
不等式基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
＜＞若a b 且c 0则ac ____ bc ＜
＞若a b 且c 0则ac ____ bc
＜＜
无论绳长L 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即 42l 16
2l ＞你能用不等式基本性质解释这一结论吗？
例：将下列不等式化成X a 或x a 的形式＞
＜(2) -2x 3
＞(1) x
-5 -1＞(3) 7x 6x -6＜
第97页
随堂练习：
作业：第97页习题11.2
1，2。
不等式的基本性质(共16张PPT)
复习回顾
（1）什么叫做不等式？
例如： 5x12 x5
6
4
（2）等式有哪些性质？你能分别用文字语言和符号语言
表示吗？
问题：研究等式性质的基本思路是什么？
运算的 不变性
探究1 不等式的性质1
为了研究不等式的性质，我们可以先从一些数字的运算
开始.用“＜”或“＞”完成下列两组填空.
① 5＞3 5+2 3+2 , 5+(-2)
（1）x-5<11 ； （2）3x+3>2x+7 .
巧记口诀（拍掌读口诀） 加减都用性质1，不等号方向不改变 乘除正数性质2，不等号方向还不变 乘除负数性质3，不等号方向必改变
运用新知：
例1： 设a>b,用“<”或”>”填空,并说明依据不等式的哪条性质:
(1) a +12 b +12
(2) b -10 a -10
(3) 3a
3b
(5)-3.5b+1 -3.5a+1
不等式性质2： 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方 向不变.
数学语言： 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc，a/c＞b/c .
问题3：类似等式性质的符号语言表示，你能把不等式的性质2用符号语言表示吗？
针对练习：
（1）在不等式-8＜0的两边都除以-8得-8÷（-8） （2）在不等式-3＞-4的两边都乘以-3可得 （3）在不等式a＞b的两边都乘以-1可得
-2 ×（-3）____ 3 ×（-3） -2 ÷（-3）_____ 3 ÷（-3）
课堂检测： 加减都用性质1，不等号方向不改变
(1)不等式的性质是什么?不等式性质与等式性质的联系与区别是
不等式的基本性质 课件
不等式的基本性质
1、不等式的概念: 同向不等式； 异向不等式; 同解不等式．
2、比较两个实数大小的主要方法: (1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论； (2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小——下 结论． 大多用于比较幂指式的大小．
类比等式的基本性质，不等式有哪些基本 性质呢？
a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b.
上述结论是用类比的方法得到的，它们一定是 正确的吗？你能够给出它们的证明吗？
以性质（3）为例给出证明：
（3）a b a c b（c 可加性）;
证明：（1）先证明：a b ac bc
a b a-b 0
ab .
dc
证明：1 1 c d c d 0 1 1 0
d c dc
dc
1 1 0又a b 0 a b 0
dc
dc
故 a,c<d<0,e<0,求证：
a
e
c
b
e
d
证明： a b 0,c d 0a c b d
则 1 1 bacd 0 a c b d (a c)(b d )
不等式的基本性质
（1）a b b a(对称性）; （2）a b,b c a （ c 传递性）; （3）abacb（ c 可加性）;
单向性 双向性
ab,cd acbd; （4）ab,c0acbc;ab,c0acbc;
ab0,cd 0acbd;
（5）ab0,nN,n1an bn;
（6）a b 0,nN ,n 1 n a n b.
例 4．“已知－π2≤α≤π2，－π2≤β≤π2”，求α＋2 β，α－2 β的取
值范围．
解：∵－π2≤α≤π2， －π2≤β≤π2， ∴－π≤α＋β≤π.∴－π2≤α＋2 β≤π2. 又∵－π2≤α≤π2，－π2≤－β≤π2， ∴－π≤α－β≤π.∴－π2≤α－2 β≤π2. ∴α＋2 β、α－2 β的取值范围均为[－π2，π2]．
1、不等式的概念: 同向不等式； 异向不等式; 同解不等式．
2、比较两个实数大小的主要方法: (1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论； (2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小——下 结论． 大多用于比较幂指式的大小．
类比等式的基本性质，不等式有哪些基本 性质呢？
a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b.
上述结论是用类比的方法得到的，它们一定是 正确的吗？你能够给出它们的证明吗？
以性质（3）为例给出证明：
（3）a b a c b（c 可加性）;
证明：（1）先证明：a b ac bc
a b a-b 0
ab .
dc
证明：1 1 c d c d 0 1 1 0
d c dc
dc
1 1 0又a b 0 a b 0
dc
dc
故 a,c<d<0,e<0,求证：
a
e
c
b
e
d
证明： a b 0,c d 0a c b d
则 1 1 bacd 0 a c b d (a c)(b d )
不等式的基本性质
（1）a b b a(对称性）; （2）a b,b c a （ c 传递性）; （3）abacb（ c 可加性）;
单向性 双向性
ab,cd acbd; （4）ab,c0acbc;ab,c0acbc;
ab0,cd 0acbd;
（5）ab0,nN,n1an bn;
（6）a b 0,nN ,n 1 n a n b.
例 4．“已知－π2≤α≤π2，－π2≤β≤π2”，求α＋2 β，α－2 β的取
值范围．
解：∵－π2≤α≤π2， －π2≤β≤π2， ∴－π≤α＋β≤π.∴－π2≤α＋2 β≤π2. 又∵－π2≤α≤π2，－π2≤－β≤π2， ∴－π≤α－β≤π.∴－π2≤α－2 β≤π2. ∴α＋2 β、α－2 β的取值范围均为[－π2，π2]．
1.1.1 不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
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2．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些 基本性质： (1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即 a＞
b⇔b＜a . (2)如果a＞b，b＞c，那么 a＞c .即a＞b，b＞c⇒ a＞c .
(3)如果a＞b，那么a＋c> b＋c . (4)如果a＞b，c>0，那么ac > bc；如果a>b，c<0，那么 ac < bc.
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(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相 加，但不可以 相减 ；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两 个不等式同向且两边为 正值 时，可以相乘，但不可以 相除 ． (3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为 正值 ， 并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽 条件，a>b⇒a >b (n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒ 1，k∈N＋)．
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1．不等式的基本性质
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1．实数大小的比较
(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的 左右位置关系来规定实数的 大小 ．在数轴上，右边的数总 比左边的数 大 ． (2)如果a－b＞0，则 a＞b ；如果a－b＝0，则 a＝b ；
如果a－b＜0，则 a＜b .
(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的 差a －b的符号 ；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们 的值的大小，而这又归结为判断它们的 差的符号 ．
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[例 2]
已知 a>b>0，c<d<0，e<0.
e e 求证： > . a－c b－d
2．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些 基本性质： (1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即 a＞
b⇔b＜a . (2)如果a＞b，b＞c，那么 a＞c .即a＞b，b＞c⇒ a＞c .
(3)如果a＞b，那么a＋c> b＋c . (4)如果a＞b，c>0，那么ac > bc；如果a>b，c<0，那么 ac < bc.
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(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相 加，但不可以 相减 ；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两 个不等式同向且两边为 正值 时，可以相乘，但不可以 相除 ． (3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为 正值 ， 并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽 条件，a>b⇒a >b (n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒ 1，k∈N＋)．
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1．不等式的基本性质
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1．实数大小的比较
(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的 左右位置关系来规定实数的 大小 ．在数轴上，右边的数总 比左边的数 大 ． (2)如果a－b＞0，则 a＞b ；如果a－b＝0，则 a＝b ；
如果a－b＜0，则 a＜b .
(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的 差a －b的符号 ；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们 的值的大小，而这又归结为判断它们的 差的符号 ．
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[例 2]
已知 a>b>0，c<d<0，e<0.
e e 求证： > . a－c b－d
不等式的基本性质PPT课件
知识小结
不等式的基本性质1 不等式两边加(或减)同一 个数,不等号的方向不变. 不等式的基本性质2 不等式两边乘(或除以)同 一个正数,不等号的方向不变. 不等式的基本性质3 不等式两边乘(或除以)同 一个负数,不等号的方向改变.
1.若m>n,下列不等式不一定成立的是( D )
A.m+可知,不等式的两边都加上 2,不等号的方向不变,所以x-2+2<3+2,即x<5. (2)由不等式的基本性质1可知,不等式的两边都减去5x, 不等号的方向不变,所以6x-5x>5x-1-5x,即x>-1. (3)由不等式的基本性质2可知,不等式的两边都除以-4, 不等号的方向改变,所以x<-1.
(2)如果c>0,那么对于a+c和b+c的大小,你有什么猜想? (a+c>b+c.)
(3)在不等式a>b的两边都减去同一个数或同一个整式,你认为应 该有什么结论? (a-M>b-M(M为数或整式).
3.不等式的基本性质1
不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一 个整式,不等号的方向不变.即:不等式的基本 性质1 如果a>b,那么a±c>b±c.
七年级数学·下 新课标[冀教]
第十章 一元一次不等式和一元 一次不等式组
学习新知
检测反馈
问题思考
学习新知
设“▲”“●”“■”分别表示三种不同的物体, 现用天平称两次,情况如图所示,那么▲,●,■这三种 物体按质量从大到小排列顺序是怎样的?
分析:设▲,●,■的质量分别为a,b,c,根据图形,可得 c>a,a=2b,故可得c>a>b.
4.不等式的基本性质2和3. (1)不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.即: 不等式的基本性质2 如果a>b,且c>0,那么ac>bc.
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a b 如果a ＞b，c > 0 ,那么 ac>bc(或 ) 就是说 c c
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号 的方向不变。
不等式基本性质3：
如果a>b，c<0 那么ac<bc(或 )就是说不等式 的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 改变。 不等式的对称性：
a b c c
如果a>b，那么b<a
不等式传递性：
如果a>b，b>c,那么a>c
小结： ①在利用不等式的基本性质进行变形时，当 不等式的两边都乘以(或除以)同一个字母， 字母代表什么数是问题的关键，这决定了是 用不等式基本性质2还是基本性质3，也就是 不等号是否要改变方向的问题； ②运用不等式基本性质3时，要变两个号，一 个性质符号，另一个是不等号．
（1）-3<0; （2）4x+3y>0 （3）x=3;（4） X2+xy+y2 （5）x≠5; （6）X+2>y+5;
不等式的性质 2
等式具有那些性质？
不等式是否具有这些的性质？
由a+2=b+2, 你能得到a=b吗？ 由a-2=b-2, 你能得到a=b吗？ 由0.5a=0.5b, 你能得到a=b吗？
a a 正 (2) ∵ , ∴a是____数 2 3
(3) ∵ ax < a 且 x > 1 , 负 ∴a是____数
1、已知 a < - 1 ,则下列不等式中错误的是 （ B ） A、4a < - 4 B、- 4a < 4 C、a + 2 < 1 D、2 – a > 3
2、已知x < y，下列哪些不等式成立？ （1） x – 3 < y – 3 （2）- 5 x < - 5 y
由 -2a= -2b, 你能得到a=b吗？
由a=b,你能得到b=a吗？
由a=b,b=c,你能得到a=c吗？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立 如果a=b,那么a±c=b±c 等式基本性质2： 等式的两边都乘以（或除以）同一个不 为0的数，等式仍旧成立 a b （c≠0）， 如果a=b,那么ac=bc或 c c
作业：习题7.1第2、3题
等式基本性质3（对称性）
如果a<b，那么b<a。
等式基本性质4（传递性）
如果a=b,b=c那么a=c
不等式是否具有类似的性质呢？ 如果 7 ＞ 3 那么 7+5 ____ 3+ 5 , ＞ 如果-1< 3,
＞ 7 -5____3-5
< 那么-1+2____3+2, -1- 4____3 - 4 < 你能总结一下规律吗？
例2：判断下列各题的推导是否正确？为什么(学生 口答) (1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7； (2)因为a+8＞4，所以a＞-4； (3)因为4a＞4b，所以a＞b； (4)因为-1＞-2，所以-a-1＞-a-2； (5)因为3＞2，所以3a＞2a． 答： (1)正确，根据不等式基本性质3． (2)正确，根据不等式基本性质1． (3)正确，根据不等式基本性质2． ． (4)正确，根据不等式基本性质1． (5)不对，应分情况逐一讨论． 当a＞0时，3a＞2a．(不等式基本性质2) 当 a=0时，3a=2a． 当a＜0时，3a＜2a．(不等式基本性质3)
不等式基本性质3：不等式的两边都 负数 乘以（或除以）同一个____，不等 改变 号的方向____。 a b ac<bc (或 c c 如果________,那么______________ ) a>b，c<0
已知x>5,那么5<x吗? 由8<x,x<y,可以得到8<y吗?
思考:不等式具有对称性和传递性 吗?
（3） - 3 x +2 < - 3 y + 2
3、已知a>b,若a<0,则a2
（4）- 3 x + 2 > - 3y + 2
<
ab;若a>0,则a2
>
ab.
4、下列各式分别在什么条件下成立? (1) a > - a (2) a2 > a
今天学的是不等式的五个基本性质：
不等式的基本性质1：
如果a ＞b，那么a±c＞b±c.就是说，不等式两边都 加上 (或减去）同一个数(或式子),不等号方向不变。 不等式基本性质2：
b>a 如果_____, b+c>a+c 那么_______ (或________) b-c＞a-c
如果a>b,
那么a±c>b±c
不等式基本性质1：不等式的 两边都加上（或减去）同一 _________________ 个整式，不等号的方向不变。
a>b 如果____,那么_________. a±c>b±c
不等式还有什么类似的性质呢？ 已知 7 ＞ 3 那么 7×5 ____ 3× 5 , ＞ 7÷5 ____ 3÷ 5 , ＞ 7 ÷ (-5)____3÷ (-5) <
7 ×(-5)____3×(-5), <
已知-1< 3, 那么-1×2____3×2, <
-1÷2____3÷2, <
-1×(- 4)____3×( - 4), -1÷ (- 4)____3÷ ( - 4) ＞ ＞ 你能再总结一下规律吗？
针对练习 针对练习
(1)如果x-5>4，那么两边都 可得到x>9 加上5 2 < 17
(2)如果在-7<8的两边都加上9可得到
(3)如果在5>-2的两边都加上a+2可得到 a+7 > a
(4)如果在-3>-4的两边都乘以7可得到 -21>-28
(5)如果在8>0的两边都乘以8可得到 64 > 0 (6)如果在 可得到
如果_________, a>b且c>0
ac>bc 那么_______ (或
a b c c
)
不等式基本性质2：不等式的两边都 正数 乘以（或除以）同一个____，不等号 的方向____。 不变
a b a>b，c>0 ac>bc (或 c c 如果________,那么______________ )
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号 的方向不变。
不等式基本性质3：
如果a>b，c<0 那么ac<bc(或 )就是说不等式 的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 改变。 不等式的对称性： 如果a>b，那么b<a 不等式传递性： 如果a>b，b>c,那么a>c
a b c c
例1：设a＞b，用“＜”或“＞”填空 并口答是根据哪一条不等式基本性质。
＞ （1） a - 3____b - 3； ＞ （2）a÷3____b÷3 （3） 0.1a____0.1b; ＞ (4) -4a____-4b ＜ (5) 2a+3____2b+3; ＞ ＞ (6) (m2+1) a ____ (m2+1)b (m为常数)
X 7 >2+ X 2
的两边都乘以14
2x>28+7x
针对练习
1、若m>n，判断下列不等式是否正确：
（1）m-7<n-7
（2）3m<3n （3）-5m>-5n m n （4） 9 9 （5） m+5≥n+5
(
（ （ ( (
)
） ） ) )
填空:
正 (1) ∵ 2a < 3a , ∴a是____数
不等式的对称性:
如果a>b,那么b<a
不等式的同向传递性:
如果a>b,b>c,那么a>c
今天学的是不等式的五个基本性质：
不等式的基本性质1：
如果a ＞b，那么a±c＞b±c.就是说，不等式两边都 加上 (或减去）同一个数(或同一整式),不等号方向不 变。
不等式基本性质2：
a b 如果a ＞b，c > 0 ,那么 ac>bc(或 ) 就是说 c c
（1） 2x 与3的和不大于-6； 2x+3≤6
（2）
x
的5倍与1的差小于
x的3倍；5x-1<3x
（3）a与b的差是负数。
a-b<0
不等式的定义
用不等号（＞、≥、＜、≤或≠）表示不等 关系的式子叫做不等式
注：不大于，即小于或等于，用“≤”表示； 不小于，即大于或等于，用“≥”表示。
判断下列式子是不是不等式：
数学七年级下：13.2 《不等式的基本性质》 课件ppt
1 不等关系
不相等 处处可见
在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理， 并且根据这一原理设计出了一些简单机械， 并把它们用到了生活实践当中．
由此可见，“不相等”处处可见。 从今天起，我们开始学习一类新的数学知识：不等式．
问题1：雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面 温度的4.5倍还要高。设太阳表面温度为t℃，那么t应 该满足怎样的关系式？ 4t<28000 问题2：一种药品每片为0.25g，说明书上写着：“每日 用量0.75~2.25g，分3次服用”。设某人一次服用 x 片， x 那么 应满足怎样的关系？ 0.75≤0.75x≤2.25 问题3：用适当的符号表示下列关系：