3.6综合与实践：一次方程组与CT技术例题与讲解

3.6 综合与实践 一次方程组与CT 技术

1．三元一次方程组

(1)由三个一次方程组成的含三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组． 如⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝3，y ＝1，z ＝－1，

⎩⎪⎨⎪

⎧

4x ＋3y ＋2z ＝7，6x －4y －z ＝6，2x －y ＋z ＝1

都是三元一次方程组．

(2)判断一个方程组是不是三元一次方程组就看它是否满足以下两个条件：一是看整个

方程组里含有的未知数是不是三个；二是看含有未知数的项的次数是不是1.

【例1】 下列方程组不是三元一次方程组的是( )．

A.⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ＝1，2y ＋z ＝－2，3y ＝6

B.⎩⎪⎨⎪

⎧ x 2

－4＝0，y ＋1＝x ，xy －z ＝－3

C.⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝2，2y ＝－3，x －z ＝1

D.⎩⎪⎨⎪

⎧

y －x ＝－1，x ＋z ＝3，2y －z ＝0

解析：由题意知，含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．

A 中满足三元一次方程组的定义，故A 选项正确；

B 中x 2－4＝0，未知量x 的次数为2次， 所以不是三元一次方程，故B 选项错误；

C 中满足三元一次方程组的定义，故C 选项正确；

D 中满足三元一次方程组的定义，故D 选项正确． 答案：B

2．三元一次方程组的解法

(1)解三元一次方程组的基本思路：化三“元”为二“元”，再化二“元”为一“元”，即利用代入法和加减法消“元”逐步求解．

(2)解三元一次方程组的基本步骤：

①把三个方程分成两组，分别组成两个方程组．一般地，把系数最小的方程作为公共方程，分别与其余两个方程组成两个方程组．

②分别消去两个方程组中的同一个未知数，得到两个二元一次方程．一般消去两个方程组中系数小的未知数，特别注意，两个方程组必须消去同一个未知数．

③把两个二元一次方程联立组成二元一次方程组，并解方程组，求出二元一次方程组的解．

④把二元一次方程组的解代入三元一次方程组中的某个方程，求出另一个未知数的值． ⑤写出三元一次方程组的解．

【例2】 解方程组⎩⎪⎨⎪

⎧ 3x ＋2y ＋z ＝13，x ＋y ＋2z ＝7，

2x ＋3y －z ＝12.

①②③

分析：比较此三元一次方程组的三个方程都含三元，三个方程中未知数z 的系数最简单，

考虑用加减法消z ，消z 的方案有以下几种：方案：①＋③；②＋③×2；①×2－②.这里选择最简单的两种方案①＋③和②＋③×2，消同一个未知数z ，就可以得到关于x ，y 的二元

一次方程组．

解：①＋③，得5x ＋5y ＝25，④ ②＋③×2，得5x ＋7y ＝31，⑤

④与⑤组成⎩

⎪⎨⎪⎧

5x ＋5y ＝25，

5x ＋7y ＝31，

解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2，

y ＝3.

把⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2，

y ＝3代入①，得z ＝1. 所以⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝2，y ＝3，

z ＝1.

3．列三元一次方程组解应用题的一般步骤

(1)审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系． (2)设：设未知数(一般求什么，就设什么为x ，y ，z )． (3)找：找出能够表示应用题全部意义的三个等量关系．

(4)列：根据这三个等量关系列出需要的代数式，进而列出三个方程，组成方程组． (5)解：解所列方程组，得方程组的解．

(6)验：检验所求未知数的值是否符合题意，是否符合实际． (7)答：写出答案(包括单位名称)．

谈重点 用三元一次方程组解应用题的步骤

(1)“审”和“找”两步在草稿上进行，书面格式中主要写“设”、“列”、“解”和“答”四个步骤．(2)解应用题时，切勿漏写“答”，“设”和“答”要写清单位名称．

【例3】 某企业为了激励员工参与技术革新，设计了技术革新奖，这个奖项分设一、二、三等，按获奖等级颁发一定数额的奖金，每年评选一次，下表是近三年技术革新获奖人奖金总

1分析： 解：设一、二、三等奖的奖金额分别为x 万元、y 万元和z 万元，

可得⎩⎪⎨⎪

⎧ 10x ＋20y ＋30z ＝41，12x ＋20y ＋28z ＝42，

14x ＋25y ＋40z ＝54，

解这个方程组得⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝1，y ＝0.8，

z ＝0.5.

答：技术革新一、二、三等奖的奖金额分别是1万元、0.8万元和0.5万元． 4.构造三元一次方程组解决问题 (1)求不定方程

不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制(如要求是有理数、

整数或正整数等等)的方程或方程组．

任何一个三元一次方程都有无数组解，但是其整数解有有限个．

一般的应用三元一次方程解决实际问题时所列出的三元一次方程的解应当有有限个． 因为对于实际问题，必须保证其解有意义，一般从某一个未知数的符合条件的最小值开始试，然后依次增大，分别求出另一个未知数的对应值，从而确定问题的答案．

(2)方程组的解的应用 常见的考查方式是，已知二元一次方程组的解满足第三个二元一次方程或已知两个未知数的某种关系，求方程中的待定系数的值．通常是把方程组的解代入原方程，即可通过变形求出未知系数的值．

【例4－1】 有一份选择题试卷共六道小题．其得分标准是：一道小题答对得8分，答错得0分，不答得2分．某同学共得了20分，则他( )．

A ．至多答对一道小题

B ．至少答对三道小题

C ．至少有三道小题没答

D ．答错两道小题 解析：设答对x 题，答错的有y 题，不答的有z 题．

依题意得⎩

⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋z ＝6，

8x ＋2z ＝20，

①②

且满足0≤x ≤6,0≤y ≤6,0≤z ≤6，都为整数．

当x ＝0时，z ＝10，不合题意舍去；当x ＝1时，z ＝3，y ＝6，不合题意舍去；当x ＝2时，z ＝2，y ＝2.故选D.

答案：D

【例4－2】 如果方程组⎩

⎪⎨⎪

⎧

3x ＋7y ＝10，ax ＋(a －1)y ＝5的解中的x 与y 的值相等，那么a 的值是

( )．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，解出a 的数值，根据题意得

⎩⎪⎨⎪

⎧ 3x ＋7y ＝10，ax ＋(a －1)y ＝5，x ＝y ，

①②③

把③代入①得3y ＋7y ＝10，解得y ＝1，x ＝1，代入②得a ＋(a －1)＝5，解得a ＝3.故选

C.

答案：

C

5．利用三元一次方程组解数字问题

(1)多位数字表示问题

两位数＝十位数字×10＋个位数字．

三位数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字．

如：一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，所以这个两位数是b 个10和a 个1的和，那么这个数可表示为10b ＋a ；如果交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可表示为10a ＋b .

(2)数位变换后多位数的表示

两位数x 放在两位数y 的左边，组成一个四位数，这时，x 的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，因此这个四位数里含有x 个100，而两位数y 在四位数中数位没有变化，因此这个四位数中还含有y 个1.因此用x ，y 表示这个四位数为100x ＋y .同理，如果将x 放在y 的右边，得到一个新的四位数为100y ＋x .

(3)一个两位数，个位上的数字是m ，十位上的数字是n ，如果在它们之间添上零，十位上的n 便成了百位上的数．因此这个三位数是由n 个100,0个10，m 个1组成的，用代数式表示这个三位数即为100n ＋m .