复变函数--习题课

0
z0 z 0
x0 x
当 z 沿正虚轴 z iy 趋于0时，有
lim
f (z)
f (0)
lim
1
1 e y2
z0
z0
y0 yi
lim f (z) f (0) , 故 f (z) 在原点不可导.
z0
z0
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例5 研究 f (z) z Re z 的可导性.
解 设 z0 x0 iy0 为 z 平面上任意一定点,
(4) ch2 z sh2 z 1;
(5) sin(iz) i sh z, cos(iz) ch z.
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4）对数函数 满足方程ew z (z 0)的函数 w f (z)
称为对数函数, 记为 w Ln z. 因此 w Ln z ln z i Arg z
ln z i arg z 2ki (k 0,1, 2,). 其中ln z ln z i arg z( arg z )称为对数函 数Ln z的主值(支),所以
线性部分.则 f (z0 ) z 称为函数 w f (z)在点 z0 的微分, 记作 dw f (z0 ) z.
f (z)dz.
7
如果函数在z0 的微分存在, 则称函数 f (z) 在 z0 可微.
如果函数 f (z)在区域 D内处处可微, 则称 f (z)在区域 D内可微. 可导与微分的关系 函数 w f (z)在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
(2) tan z 是以为周期的周期函数: tan(z ) tan z.
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(3)
tan
z
在解析区域有(tan
z)
1 cos2
z
.
其它复变三角函数的定义
余切函数 cot z cos z , sin z
正割函数 secz 1 , cos z
余割函数 csc z 1 . sin z
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3)双曲函数 定义 shz
一、重点与难点
重点：1. 解析函数的概念；
2. 函数解析性的判别
难点：1. 解析函数的概念；
2. 初等函数中的多值函数及主值的概念
2
二、内容提要
可导与微分的关系
微分
复变函数
导数
初等解 析函数
解析函数
定析可 理的导
判与
指三双对
性质
定解
数角曲数幂 函函函函函
解析函数
数数数数数
的判定方法
3
1. 复变函数的导数与微分
f
(z) z
f (z0 ) z0
iy3 iy03 i( y y0 )
3 y02
(当y y0 )
故除非x0 y0 0,否则f (z)的导数不存在.
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例1 证明函数f (z) x3 y3i仅在原点有导数.
证 法2 u( x, y) x3, ux 3x2, uy 0;
v( x, y) y3, vx 0, vy 3y2;
再证其他处的导数不存在.
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f (z) f (z0 ) x3 iy3 x03 iy03
z z0
( x iy) ( x0 iy0 )
若z沿路径 y y0 , 则
f (z) f (z0 ) z z0
x3 x03 x x0
3x02
(当x x0 )
若z沿路径 x x0 , 则
Ln z ln z 2ki (k 0,1,2,).
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对于每一个固定的k, 可确定一个单值函数, 称为Ln z 的一个分支.
性质 (1) Ln z是一个无穷多值的函数;
(2) 设z1 0, z2 0,则
Ln z1z2 Ln z1 Ln z2 ,
Ln z1 z2
Ln z1 Ln z2;
(2) (z ) z1.
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三、典型例题
例1 证明函数f (z) x3 y3i仅在原点有导数.
证 法1 lim f (z) f (0) lim x3 y3i
z0
z
( x, y)0 x iy
lim ( x2 xyi y2 ) 0 ( x, y )0
故 f (z) 在z 0处的导数为0.
由C R条件 u v , u v x y y x
故除非x0 y0 0,否则f (z)的导数不存在.
故 f (z) 在z 0处的导数为0.
再证其他处的导数不存在.
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例2 函数 f (z) ( x2 y2 x) i(2xy y2 ) 在何处 可导，何处解析.
解 u( x, y) x2 y2 x, ux 2x 1, uy 2 y;
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2)三角函数
定义 性质
sin z eiz eiz ,称为正弦函数. 2i
cos z eiz eiz ,称为余弦函数. 2
(1) sin z 是奇函数,cos z 是偶函数.
sin(z) sin z, cos(z) cos z.
(2) 正弦函数和余弦函数都以 2π 为周期.
sin(z 2) sin z, cos(z 2) cos z.
1）导数的定义
设函数w f (z)定义于区域D, z0为D中的一 点,点z0 z不出D的范围,如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
z0
z
存在,那么就称f (z)在z0可导.这个极限值称为f (z) 在z0的导数,记作
f (z0 )
dw dz zz0
lim
z0
f (z0
z) z
解 设 f (z) (ay3 bx2 y) i( x3 cxy2 ) u iv
故
u ay3 bx2 y, v x3 cxy2
u 2bxy, v 2cxy, v 3 x2 cy2 , u 3ay2 bx2 ,
x
y
x
y
由于 f (z) 解析，所以 u v , u v x y y x
(3) 在平面上除去原点和负实轴外,ln z处
处解析,且
(ln z) 1 . z
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5)幂函数
定义 设是任意复数, 对于z 0, 用下列等式定义
z 的幂函数: w z e Ln z (z 0).
当 是正实数时, 补充规定 z 0 时, z 0.
性质 (1) 一般说来, z是一个无穷多值函数. 当Ln z 取主值ln z时, z e ln z称为幂函数z 的主值;
f (z0 ) .
4
定义 如果函数f (z)在区域D内处处可导,我们就 称在区域内D可导. 2)可导与连续
函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 3)求导公式与法则 (1) (c) 0, 其中c为复常数. (2) (zn ) nzn1, 其中n为正整数. (3) [ f (z) g(z)] f (z) g(z).
(3) eiz cos z i sin z.
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(4)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数 (sin z) cos z, (cos z) sin z.
(5) sin2 z cos2 z 1,但sin z,cos z不是有界函数. 定义 tan z sin z 称为正切函数.
cos z 性质 (1) tan z 是奇函数 : tan( z) tan( z).
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3)可导与解析的判定 柯西－黎曼条件(C R条件)
定 理1 设 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 定 义在 区 域D 内, 则 f (z) 在 D内 一点z x yi 可 导的 充要 条 件是: u( x, y) 与 v( x, y) 在 点( x, y) 可 微,并 且在 该 点满 足柯 西 － 黎 曼方程
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4)解析函数的判定方法
(a) 如果能用求导公式与求导法则证实复变函 数 f (z) 的导数在区域 D内处处存在,则可根据 解析函数的定义断定 f (z) 在 D内是解析的. (b) 如果复变函数 f (z) u iv 中 u,v 在 D内 的各一阶偏导数都存在、连续(因而 u,v可微) 并满足 C R 方程, 那末根据解析函数的充要 条件可以断定 f (z) 在 D内解析.
u v , u v . x y y x
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若函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在点 z x yi 处 可导,则其导数公式:
f (z) u i v u i u x x x y
v i u v i v . y y y x
定理2 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义 域 D内解析的充要条件是: u( x, y)与 v( x, y) 在 D内可微, 并且满足柯西－黎曼方程.
ez
ez
, 称为双曲正弦函数.
2
chz ez ez ,称为双曲余弦函数. 2
性质 (1) sh z 是奇函数 : sh( z) sh z;
ch z 是偶函数 : ch(z) ch z;
(2) sh z, ch z都是以2i为周期的周期函数;
(3) sh z, ch z在z平面上处处解析,且 (sh z) ch z, (ch z) sh z;
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2. 解析函数
1)定义 如果函数 f (z) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可
导, 那末称 f (z) 在 z0 解析.
如果函数 f (z)在区域 D内每一点解析, 则称 f (z)在区域 D内解析. 或称 f (z)是 区域 D内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数).
如果函数 f (z) 在 z0 不解析, 那末称 z0 为 f (z) 的奇点.
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2)性质 (a) 在区域 D内解析的两个函数 f (z) 与 g(z)的 和、差、积、商(除去分母为零的点)在 D内解析. (b) 设函数 h g(z) 在 z 平面上的区域 D内解析, 函数 w f (h) 在 h 平面上的区域G 内解析. 如果 对 D内的每一个点z ,函数 g(z)的对应值h 都属 于 G , 那末复合函数w f [g(z)]在 D内解析. (c) 所有多项式在复平面内处处解析. (d ) 任何一个有理分式函数P(z) Q(z) 在不含分母 为零的点的区域内解析, 使分母为零的点是它的奇 点.
两个互为反函数的单值函数, 且(w) 0
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4)复变函数的微分
设函数 w f (z)在 z0 可导, 则
w f (z0 z) f (z0 ) f (z0 ) z (z)z, 式中 lim (z) 0, (z)z 是 z 的高阶无穷
z0
小, f (z0 ) z 是函数 w f (z)的改变量 w 的
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3.初等解析函数
1)指数函数 定义 设z x iy. 称ez e x (cos y i sin y)为z的指数函数.
性质 (a)对任意复数z, ez ex 0, 则 ez 0; (b) ez在z平面上处处解析,而且(ez ) ez; (c) ez1ez2 ez1z2 ; (d ) ez是以2i为周期的周期函数.
5
(4) f (z)g(z) f (z)g(z) f (z)g(z).
(5)
f (z) g(z)
f
(
z
)
g(
z) g2(
f z)
(
z
)
g(
z
)
.
(g(z) 0)
(6) { f [g(z)]} f (w)g(z). 其中w g(z)
(7) f (z) 1 , 其中 w f (z)与z (w)是 ( w )
f ( z) f ( z0 ) 1 Re( z z0 )
z z0
z z0
当点 z 沿直线 z x iy0 ( x )趋于z0 时,有
f (z) f (z0 ) 1 x x0 2
z z0
x x0
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例5 研究 f (z) z Re z 的可导性.
当点 z 沿直线 z x0 iy ( y )趋于z0 时,有
即 2bxy 2cxy b c,
3ay2 bx2 3x2 cy2 3a c,b 3 故 a 1, b 3, c 3.
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例4
讨论函数
f
(z)
e
1 z2
,
z
0
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在原点的可导性.
0 , z 0
解 函数沿 z x 趋于0时,
f (0) lim
f (z)
f
(0)
lim
1
e
1 x2
v( x, y) 2xy y2, vx 2 y ,vy 2x 2 y;
当且仅当 y 1时， 2
ux vy ,
uy vx .
故 f (z) 仅在直线 y 1 上可导.
2
由解析函数的定义知, f (z) 在直线 y 1 上处处
2
不解析, 故 f (z) 在复平面上处处不解析.
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例3 设 ay3 bx2 y i( x3 cxy2 ) 为解析函数，求 a,b,c 的值.