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用非线性电路研究混沌现象

长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动有一个完美确定的解析解。直到1963年美国气象学家LORENZ 在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。如今，非线性科学已成为21世纪科学研究的一个重要方向。非线性科学的研究对了解生物、物理、化学、气象等学科都有重要意义。混沌作为非线性科学中的主要研究对象之一，在许多领域都得到了证实和应用。混沌作为一门新学科，填补着自然界决定论和概论的鸿沟。混沌是对经典决定论的否定，但本身有它特有的规律。研究混沌的目的是要揭示貌似随机的现象背后所隐藏的规律。

本实验通过建立一个非线性电路，该电路包括有源非线性负阻、LC 振荡器和RC 移相器三部分；采用物理实验方法研究LC 振荡器产生的正弦波与经过RC 移相器移相的正弦波合成的相图(李萨如图)，观测非线性电中倍周期分岔产生混沌的全过程。同时了解混沌现象的一些基本特征。

[实验目的]

1． 通过对非线性电路的分析，了解产生混沌现象的基本条件；

2． 通过调整蔡氏电路的参数，学习用示波器观察倍周期分岔走向混沌的过程；

3． 用示波器观察非线性电路的I-U 特性曲线。

[实验原理]

混沌产生的必要条件是系统具有非线性因素。图1是讨论非线性电路系统的一种简单而又经典的电路——蔡氏电路。电路中共有5个基本电路元件：4个线性元件L ，C1，C2，R0和一个非线性电阻R ，其中R 的伏安特性如图2。电路中电感L 和电容C2并联构成一个LC 振荡电路，可变电阻R 0和电容器C 1串联构成移相电路，将振荡器产生的正弦信号移相输出，非线性负阻元件R 和R0共同作用是使振荡周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。

由蔡氏电路图1可得到蔡氏电路的状态方程组为: ⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧−=+−⋅=⋅−−⋅=2211211121)(1)()(10201C L L C C C C C C C C U dt di L i U U R dt dU C U U g U U R dt dU C (1) 式中: Uc1, Uc2 和iL 分别是电容C 1, C 2 两端的电压和流过电感L 的电流, g (Uc 1 ) 是描述非线性电阻R 的i - v 特性的折线(图2)多项式为

))((2

1)(1111E U E U Gb Ga GbU U g C C C C −−+−+= 式中: Ga ,Gb 分别表示特性内、外折线段的斜率; E 为转折点电压。设:

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧========L C R C C G R b G R a C R t E R i z E y E x b a L 2201200200C C ,,,,U ,U 21βατ (2) 则可将蔡氏电路的状态方程组改写为蔡氏电路无量纲方程组:

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧−=+−=−−=y d dz z y x d dy x f x y d dx βττατ))

(( (3) 式中)11)((2

1)(−−+−+=x x b a bx x f 是一个三段折线线性方程, a 和b 为斜率。 由于f(x)是非线性函数，三元非线性方程组(3）没有解析解．可用计算机编程进行数值计算，当取适当电路参数时，可在显示屏上观察到模拟实验的混沌现象。

除了计算机数值模拟方法之外，更直接的方法是用示波器来观察混沌现象。本实验采用的实验电路如图3所示。电路中，LC 并联构成振荡电路，R 0的作用是分相，使A ，B 两处输入示波器的信号产生位相差，可得到x ，y 两个信号的合成图形。双运放TL082的前级和后级正、负反馈同时存在，正反馈的强弱与比值R 3 /R 0，R 6/R 0有关，负反馈的强弱与比值R 2/R 1，R 5 /R 4有关．当正反馈大于负反馈时，振荡电路才能维持振荡。若调节R 0，正反馈强度发生变化，改变振荡情况，出现周期振荡，倍周期性分岔和混沌现象。从C ，D 两点看，TL082与六个电阻等效于一个非线性电阻，它的伏安特性大致如图3.7-2所示。

[实验仪器]

电源，实验用9孔插件方板，数字万用表，线性电阻，电容、电感和可调电位器，示波器．元件参数如下：

L = 1000N ，C 1 = 10 nF, C 2 = 100 nF , R 1 = 2 k Ω, R 2 = R 3 = 10 k Ω，R 4 = 1 k Ω，

R 5 = R 6 = 100 Ω， R 0是由1K Ω,与220Ω,的两个多圈电位器串联组成，可以进行粗调和细调

【实验内容】

1．倍周期现象、单吸引子和双吸引子的观察、记录和描述

按图3连接电路，将电容C 1，C 2上的电压输入到示波器的CH1，CH2通道上，在示波器上观测图5所示的相图（李萨如图）。先把R 0调到最小，示波器屏上可观察到一条直线，调节R 0，直线变成椭圆，到某一位置，图形缩成一点．增大示波器的倍率，反向微调R 0，可见曲线作倍周期变化，曲线由一周期增为二周期，由二周期倍增至四周，……，直至一系列难以计数的无首尾的环状曲线，这是一个单涡旋吸引子集．再细微调节R 0，单吸引子突然变成了双吸引子，只见环状曲线在两个向外涡旋的吸引子之间不断填充与跳跃，这就是混沌研究文献中所描述的“蝴蝶”图像，也是一种奇怪吸引子，它的特点是整体上的稳定性和局域上的不稳定性同时存在。观察并记录不同倍周期时U c 1－Uc 2相图和相应的R 0值．

图5 蔡氏电路U c1-U c2相图

2．观察有源非线性电阻的伏安特性并画出伏安特性图

按图6 接线, 图中R 是图3 所示C、D 看进去的等效非线性电阻，

信号源Vs 为三角波, 其输出峰峰值为15V，频率为30HZ 。为测量电

流i, 在电路中串联了一个100Ω的取样电阻Rt, 其电压v2=-100i。

让v1,v2分别接入数字示波器的CH1、CH2通道，示波器工作于X-Y

模式。在坐标纸上作出观察到的非线性电阻伏安特性曲线

[思考题]

1．用计算机迭代求解方程211n n kx x −=+，k 的取值范围为（0－2），迭代求解的方法是，对一

个k 值，任意设定x0 ，由上述方程可得到x1 ，由x1可得到x2，如此求解下去．你会发现对某些k 值，可得到一个稳定的解，即一倍周期，某些k 值，解在两个数值间跳跃，即二倍周

期，还会有四倍周期、八倍周期……直至无穷周期到混沌．尝试画出k —x 图，

并分析．(x 可取迭代500次以后的值)

2. 分析讨论你所观察的混沌现象有哪些特征，并列举一些你所了解的混沌现象，以及发生混沌

现象的途径。