黄金分割法-进退法-原理及流程图

1黄金分割法的优化问题
（1）黄金分割法基本思路：
黄金分割法适用于[a，b]区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。

因此，这种方法的适应面非常广。

黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a，b]内适当插入两点a1，a2，并计算其函数值。

a1，a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。

然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。

（2）黄金分割法的基本原理
一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。

一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。

该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。

黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点α*的一种方法。

它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数[6]，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。

其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间[7]。

具体步骤是：在区间[a,b]内取点：a1 ，a2 把[a,b]分为三段。

如果f(a1)>f(a2)，令
a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a)；如果f(a1)<f(a2) ，令b=a2，
a2=a1,a1=b-r*(b-a),如果｜(b-a)/b｜和｜(y1-y2)/y2｜都大于收
敛精度ε重新开始。

因为[a,b]为单峰区间，这样每次可将搜索区间缩小0.618倍或0.382倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，将使搜索区[a,b]逐步缩小，直到满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解。

黄金分割法原理如图１所示，
（3）程序流程如下：
4 实验所编程序框图
#include 《math.h》
#include 《stdio.h》
#define f(x) x*x+2*x
double calc(double *a,double *b,double e,int *n) { double x1,x2,s;
if(fabs(*b-*a)<=e)
s=f((*b+*a)/2);
else
{ x1=*b-0.618*(*b-*a);
x2=*a+0.618*(*b-*a);
if(f(x1)>f(x2))
*a=x1;
else
*b=x2;
*n=*n+1;
s=calc(a,b,e,n);
}
return s;
}
main()
{ double s,a,b,e;
int n=0;
scanf("%lf %lf %lf",&a,&b,&e); s=calc(&a,&b,e,&n);
printf("a=%lf,b=%lf,s=%lf,n=%d\n",a,b,s,n); }
5 程序运行结果如下图：
2进退法
（1）算法原理
进退法是用来确定搜索区间（包含极小值点的区间）的算法，其理论依据是：()f x 为单谷函数（只有一个极值点），且[,]a b 为其极小值点的一个搜索区间，对于任意
12,[,]x x a b ∈，如果()()12f x f x <，则2[,]a x 为极小值的搜索区间，如果()()12f x f x >，
则1[,]x b 为极小值的搜索区间。

因此，在给定初始点0x ，及初始搜索步长h 的情况下，首先以初始步长向前搜索一步，计算()0f x h +。

（1） 如果()()00f x f x h <+
则可知搜索区间为0[,]x x h +%，其中x %待求，为确定x %，后退一步计算0()f x h λ-，λ
为缩小系数，且01λ<<，直接找到合适的*λ，使得()*
00()f x h f x λ->，从而确定搜
索区间*
00[,]x h x h λ-+。

（2） 如果()()00f x f x h >+
则可知搜索区间为0[,]x x %，其中x %待求，为确定x %，前进一步计算0()f x h λ+，λ为
放大系数，且1λ>，知道找到合适的*λ，使得()*
00()f x h f x h λ+<+，从而确定搜索
区间*
00[,]x x h λ+。

进退法求极值
基本思想：
对f (x )任选一个初始点x 1及初始步长h 0， 通过比较这两点函数值的大小，确定第三点位置，比较这三点的函数值大小，确定是否为 “高—低—高” 形态。

算法原理
1.试探搜索：
选定初始点x 1, x 2= x 1+ h 0，计算 y 1＝f(x 1)， y 2＝f(x 2) （a ）如y 1>y 2,转2向右前进； （b ）如y 1<y 2, 转3向左后退；
图8.1
2.前进搜索
加大步长 h ＝2 h ，产生新点x 3= x 2+ 2h 0 ；
（a ）如y 2<y 3，则函数在[x 1，x 3]内必有极小点，令a= x 1，b= x 3搜索区间为[a ，b] ；
(b)如y 2>y 3，
令x 1=x 2 ，y 1=y 2 ； x 2=x 3 ，y 2=y 3 ； h=2h
重新构造新点x 3=x 2+h ，并比较y 2、y 3的大小，直到y 2<y 3。

图8.2
3.后退搜索
令 h ＝-h 0 ，令x 3=x 1 ，y 3=y 1 ；x 1=x 2 ，y 1=y 2 ；x 2=x 3 ，y 2=y 3 ；h=2h ； 产生新点x 3= x 2+ h ；
（a ）如y 2<y 3，则函数在[x 1，x 3]内必有极小点，令a= x 3，b= x 1，搜索区间
为[a ，b] （b ）如y 2>y 3，
令x 1=x 2 ，y 1=y 2 ； x 2=x 3 ，y 2=y 3 ；h=2h
重新构造新点x 3=x 2+h ，并比较y 2、y 3的大小，直到y 2<y 3。

令a= x 1，b= x 3，搜索区间为[a ，b] ；
图8.3
（2）算法步骤
用进退法求一维无约束问题min (),f x x R ∈的搜索区间（包含极小值点的区间）的基本算法步骤如下：
（1） 给定初始点(0)
x
，初始步长0h ，令0h h =，(1)
(0)x
x =，0k =；
（2） 令(4)(1)x x h =+，置1k k =+；
（3） 若()()
(4)(1)f x f x <，则转步骤（4），否则转步骤（5）； （4） 令(2)
(1)(1)(4),x
x x x ==，()()(2)(1)f x f x =，()()(1)(4)f x f x =，令2h h =，
转步骤（2）；
（5） 若1k =，则转步骤（6）否则转步骤（7）；
（6） 令h h =-，(2)(4)x x =，()()
(2)(4)f x f x =，转步骤（2）； （7） 令(3)
(2)(2)(1)(1)(4),,x
x x x x x ===，停止计算，极小值点包含于区间
(1)(3)(3)(1)[,][,]x x x x 或
（3）算法的MATLAB 实现
在MATLAB 中编程实现的进退函数为：min JT 功能：用进退法求解一维函数的极值区间。

调用格式：[min ,max ]min (,0,0,)x x JT f x h eps = 其中，f ：目标函数； 0x ：初始点； 0h ：初始步长； eps ：精度；
min x ：目标函数取包含极值的区间左端点； max x ：目标函数取包含极值的区间又端点。

进退法的MATLAB 程序代码如下： function [minx,maxx]=minJT(f,x0,h0,eps) %目标函数:f; %初始点:x0; %初始步长:h0; %精度:eps;
%目标函数取包含极值的区间左端点:minx; %目标函数取包含极值的区间又端点:maxx; format long; if nargin==3 eps=1.0e-6; end x1=x0; k=0; h=h0; while 1
x4=x1+h; %试探步
k=k+1;
f4=subs(f,findsym(f),x4);
f1=subs(f,findsym(f),x1);
if f4<f1
x2=x1;
x1=x4;
f2=f1;
f1=f4;
h=2*h; %加大步长
else
if k==1
h=-h; %反向搜索
x2=x4;
f2=f4;
else
x3=x2;
x2=x1;
x1=x4;
break;
end
end
end
minx=min(x1,x3);
maxx=x1+x3-minx;
format short;
流程图如下：。