判断函数增减性

判断函数增减性

组合函数

增+增得增 减+减得减 增-减得增 减-增得减

复合函数

定义

一般地，对于两个函数()u f y =和()x g u =，当函数()x g u =的值域Rg (∅≠Rg )是()u f y =的定义域Df 的子集时，通过变量u ,y 可以表示成x 的函数()[]x g f y =，那么称这个函数为函数()u f y =和()x g u =的复合函数，其中x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量。

生成条件 ∅≠⊂Rg Df Rg ,

定义域

若函数()u f y =的定义域是Df ,()x g u =的定义域是Dg,则复合函数()[]x g f y =的定义域()Dg Df Dy ⋂= ,即取两个函数定义域的交集。

备注：

分段函数的定义域是各段函数定义域的并集。

周期性

设函数()u f y =的最小正周期为1T ,()x g u =的最小正周期为2T ,则复合函数()[]x g f y =的最小正周期为21*T T ,任一周期可表示为()+∈R

k T T k 21**。

增减性

根据()u f y =，()x g u =的单调性决定。

即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”

推导：

令()x g t =，则()t f y = ()x g 是增函数，x 越大，()x g 越大，即t 越大

若()t f 是增函数，则()t f 越大，即y 越大 （同增）

若()t f 是减函数，则()t f 越小，即y 越小 （异减）

判断复合函数的单调性的步骤如下：

(1)求复合函数定义域；

(2)将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指数、对数函数）；

(3)判断每个常见函数的单调性；

(4)将复合函数的定义域分段（每个常见函数在每段定义域上具有单调性）；

(5)根据“通增异减”求出复合函数的单调性。

例如：

讨论函数3428.0+-=x x y 的单调性。

解：函数定义域为R

令342+-=x x u 则u

y 8.0=

指数函数u y 8.0=在定义域R 上是减函数 二次函数342

+-=x x u 在(]2，∞-上是减函数，[)∞+，2上是增函数 因此，函数3428.0+-=x x

y 在(]2，

∞-上是增函数，[)∞+，2上是减函数

求导 复合函数()[]x g f y =的导数和函数()u f y =和()x g u =的导数间的关系为 '⋅'='x u x u y y