结构力学第4章 力法计算简化.
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3. 力法计算的简化
无弯矩状态的判别
前提条件：结点荷载； 不计轴向变形。 刚结点变成铰结点后，体系仍然几何不变的情况
刚结点变成铰结点后，体系几何可变。但是，添 加链杆的不变体系在给定荷载下无内力的情况
利用上述结论，结合对称结构的对称性，可使 手算分析得到简化。
一、 对称性 (Symmetry) 的利用
MP
结论：对称结构在正对称荷载作用下，其内力 和位移都是正对称的；在反对称荷载作用下， 其内力和位移都是反对称的。
例，求图示结构的弯矩图。EI=常数。
解：根据以上分析，力法方程为：
11 X1＋1P＝0
＝144
11
EI
1
＝1800
P
EI
X 1＝－12.5 M＝M1 X1＋M
FP 2
FP 2
FP
2
（3）取半结构计算：
FP
FP
FP 2
FP
对称轴
（c）
FP FP
（d）
FP
问题：偶数跨对称刚架如何处理？
FP
FP
FP
FP
FP
FP FP
FP
FP FP
FP FQC FQC
FP
进
一
步
说
明
例1：求作图示圆环的弯矩图。 （a) FP
EI=常数。
解： 取结构的1/4分析
(b)
FP 2
1
FP
R(
sin
2
)
例 2. 试用对称性对结构进行简化。EI为常数。
方法 1 FP
FP /2 FP/2
FP
FP /2
FP /2
FP /2
FP /2
I/2 I/2
FP /2 FP /2
I/2
FP /2
FP /2
无弯矩， 不需求解
FP /4 FP /4
I/2
FP /4
FP /4
FP /2
I/2
FP /4 FP /2 FP /4
FP /4 FP /2 FP /4 FP /4 FP /2 FP /4
FP /4 FP /4
FP /4
I/2
FP /4
FP /4
又看到您了！ FP /4 FP /4
FP /4
I/2
I/2
二、 使单位弯矩图限于局部
ij ji 0 i 1,, n 2
P
例： FP
FP
由于 0 ，问题无法化简 12
（2）未知力分组和荷载分组
FP
X1 Y1 Y2 , X2 Y1 Y2 , 12 0
力法典型方程成为：
Y 11 1 Y 22 2
1P 2P
0 0
对称结构承受一般非对称荷载时，可将荷载分组，如：
FP
11 13
, 22 , 33 31 0 ,
0
,
12 0 23 32
0
典型方程简化为：
11 X1 12 X 2 1P 0 21 X1 22 X 2 2P 0 33 X 3 3P 0
j 3,, n j i 2
三、 合理地安排铰的位置
ij ji 0
写力法解超静定拱
的读书摘记
链 位 移 法
对称结构按跨数可分为
返 回
FP
FP
正对称与反 对称荷载：
正对称部分
反对称部分
FP
FP
如果作用于结构的荷载是对称的，则有
FP
FP
FP FP
3p 0
X
3
0
M
M1X1
M2X2
MP
如果作用于结构的荷载是反对称的，则有
FP
FP
FP FP
1p 2p 0
X
Βιβλιοθήκη Baidu
1
X2
0
M
M3X3
FP
2
FP
单位弯矩（图）和荷载弯矩（图）为：
FP R
FP 2
FP R
FP
FP R
FP
M1 1
MP
FP R 2
sin
若只考虑弯矩对位移的影响，有：
11
M12ds EI
R
2EI
,
1 P
M1M Pds EI
FP R2 2EI
,
X1
FP R
弯矩为：
M
M1 X1
MP
支承不对称
2EI1
对称结构
几何对称 支承对称 刚度对称
刚度不对称
非对称结构
注意：结构的几何形状、支承情况以及杆件的刚 度三者之一有任何一个不满足对称条件时，就不 能称超静定结构是对称结构。
对称结构的求解： （1）选取对称的基本结构
力法典型方程为：
11 X1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X1 22 X 2 23 X 3 2P 0 31 X1 32 X 2 33 X 3 3P 0
FP /2 FP /4
FP /4
FP /4
I/2
FP /4
FP /4
FP /4
I/2
FP /4
FP /4
FP /4
FP/4
I/2
FP /4
FP /4
I/2
方法 2
无弯矩， 不需求解
FP /4 FP /2 FP /4
FP
FP /4 FP /2 FP /4
FP /2
FP /2 FP /4
FP /2 FP /4
无弯矩状态的判别
前提条件：结点荷载； 不计轴向变形。 刚结点变成铰结点后，体系仍然几何不变的情况
刚结点变成铰结点后，体系几何可变。但是，添 加链杆的不变体系在给定荷载下无内力的情况
利用上述结论，结合对称结构的对称性，可使 手算分析得到简化。
一、 对称性 (Symmetry) 的利用
MP
结论：对称结构在正对称荷载作用下，其内力 和位移都是正对称的；在反对称荷载作用下， 其内力和位移都是反对称的。
例，求图示结构的弯矩图。EI=常数。
解：根据以上分析，力法方程为：
11 X1＋1P＝0
＝144
11
EI
1
＝1800
P
EI
X 1＝－12.5 M＝M1 X1＋M
FP 2
FP 2
FP
2
（3）取半结构计算：
FP
FP
FP 2
FP
对称轴
（c）
FP FP
（d）
FP
问题：偶数跨对称刚架如何处理？
FP
FP
FP
FP
FP
FP FP
FP
FP FP
FP FQC FQC
FP
进
一
步
说
明
例1：求作图示圆环的弯矩图。 （a) FP
EI=常数。
解： 取结构的1/4分析
(b)
FP 2
1
FP
R(
sin
2
)
例 2. 试用对称性对结构进行简化。EI为常数。
方法 1 FP
FP /2 FP/2
FP
FP /2
FP /2
FP /2
FP /2
I/2 I/2
FP /2 FP /2
I/2
FP /2
FP /2
无弯矩， 不需求解
FP /4 FP /4
I/2
FP /4
FP /4
FP /2
I/2
FP /4 FP /2 FP /4
FP /4 FP /2 FP /4 FP /4 FP /2 FP /4
FP /4 FP /4
FP /4
I/2
FP /4
FP /4
又看到您了！ FP /4 FP /4
FP /4
I/2
I/2
二、 使单位弯矩图限于局部
ij ji 0 i 1,, n 2
P
例： FP
FP
由于 0 ，问题无法化简 12
（2）未知力分组和荷载分组
FP
X1 Y1 Y2 , X2 Y1 Y2 , 12 0
力法典型方程成为：
Y 11 1 Y 22 2
1P 2P
0 0
对称结构承受一般非对称荷载时，可将荷载分组，如：
FP
11 13
, 22 , 33 31 0 ,
0
,
12 0 23 32
0
典型方程简化为：
11 X1 12 X 2 1P 0 21 X1 22 X 2 2P 0 33 X 3 3P 0
j 3,, n j i 2
三、 合理地安排铰的位置
ij ji 0
写力法解超静定拱
的读书摘记
链 位 移 法
对称结构按跨数可分为
返 回
FP
FP
正对称与反 对称荷载：
正对称部分
反对称部分
FP
FP
如果作用于结构的荷载是对称的，则有
FP
FP
FP FP
3p 0
X
3
0
M
M1X1
M2X2
MP
如果作用于结构的荷载是反对称的，则有
FP
FP
FP FP
1p 2p 0
X
Βιβλιοθήκη Baidu
1
X2
0
M
M3X3
FP
2
FP
单位弯矩（图）和荷载弯矩（图）为：
FP R
FP 2
FP R
FP
FP R
FP
M1 1
MP
FP R 2
sin
若只考虑弯矩对位移的影响，有：
11
M12ds EI
R
2EI
,
1 P
M1M Pds EI
FP R2 2EI
,
X1
FP R
弯矩为：
M
M1 X1
MP
支承不对称
2EI1
对称结构
几何对称 支承对称 刚度对称
刚度不对称
非对称结构
注意：结构的几何形状、支承情况以及杆件的刚 度三者之一有任何一个不满足对称条件时，就不 能称超静定结构是对称结构。
对称结构的求解： （1）选取对称的基本结构
力法典型方程为：
11 X1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X1 22 X 2 23 X 3 2P 0 31 X1 32 X 2 33 X 3 3P 0
FP /2 FP /4
FP /4
FP /4
I/2
FP /4
FP /4
FP /4
I/2
FP /4
FP /4
FP /4
FP/4
I/2
FP /4
FP /4
I/2
方法 2
无弯矩， 不需求解
FP /4 FP /2 FP /4
FP
FP /4 FP /2 FP /4
FP /2
FP /2 FP /4
FP /2 FP /4