关于二次型理论的若干应用

（ ｘ） ｄｘ） ２≤
ｂ２
∫φ（ ｘ） ｄｘ·
ｂ２
∫ψ（ ｘ） ｄｘ等 号 仅 当
φ（ ｘ）
（或
ψ（ ｘ）
）≡
ａ
ａ
ψ（ ｘ） φ（ ｘ）
常数时成立。
ｂ
２
证 明 ： 取ｆ（ｔ）＝ ∫［ ｔφ（ ｘ） ＋ψ（ ｘ） ］ ｄｘ， 则ｆ（ｔ）对 任 意 ｔ都 是 非 负
ａ
２ｂ ２
ｂ
的。即ｆ（ｔ）是半正定二次型。由ｆ（ｔ）＝ｔ ∫φ（ ｘ） ｄｘ＋２ｔ ∫φ（ ｘ） ψ（ ｘ）
２
２２
配方， 得 ２ｘ１－ （ ｙ１＋１） － ｚ１＝０
!ｘ２＝ｘ１ #
作平移变换 "ｙ２＝ｙ１＋１ # $ｚ２＝ｚ１
２ ２２
得出 ２ｘ２－ ｙ２－ ｚ２＝０
这就是原曲面方程的标准方程， 它表示一个顶点在原点、
旋 转 轴 为 ｘ轴 的 圆 锥 面 。
三 、利 用 二 次 型 的 正 定 性 求 多 元 函 数 的 极 值
（ ２．１）
Ｔ
Ｔ
Ｔ
令Ａ ＝Ａ＝［ ａｉｊ］ ３×３，ｕ＝［ ｘ，ｙ，ｚ］ ，ｂ＝［ ｂ１，ｂ２，ｂ３］ ，则 方 程 （ ２．１） 可 写
Ｔ
Ｔ
成
ｕ Ａｕ＋ｂ ｕ＋ｃ＝０
（２பைடு நூலகம்２）
Ｔ
因 为 Ａ是 实 对 称 阵 ， 所 以 存 在 正 交 阵 Ｑ， 使 得 Ｑ ＡＱ＝ｄｉａｇ
（ λ１， λ２， λ３） ， 其中λ１、λ２和λ３为实对称阵Ａ的特征值。作正交变换
ｆ１，
ｆ２，
Λ，
ｆｎ）
，
０
ｆ（ Ｘ） 在Ｘ 点的黑塞矩阵为
(ｆ１１ ｆ１２ Λ ｆ１ｎ+
０
Ｈ（Ｘ ）＝（
ｆｉｊ）
ｎ×ｎ＝)))ｆＭ２１
ｆ２２ Ｍ
Λ Ｏ
ｆ２ｎ Ｍ
, ,,。
*ｆｎ１ ｆｎ２ Λ ｆｎｎ-
由于ｆ具有二阶连续偏导数， ｆｉｊ＝ｆｊｉ，所以Ｈ是一个实对称矩阵。
０
于 是 有 ｆ（ Ｘ） － ｆ（ Ｘ ） ＝ｇｒａｄｆ｜
二次型是线性代数的基本内容， 其用途十分广泛， 下面我
们 介 绍 它 在 证 明 不 等 式 、化 二 次 曲 面 方 程 为 标 准 型 、求 多 元 函
数极值三个方面的应用。
一 、利 用 二 次 型 的 正 定 性 证 明 不 等 式
ｂ
例 １ 设 ａ＜ｂ，φ（ ｘ） 与 ψ（ ｘ） 在 ［ ａ，ｂ］ 上 连 续 ， 证 明 （ ∫φ（ ｘ） ψ ａ
［
ｆｉ×（ｘｉ－
０
ｘｉ ）］
＋
１ ２！
ｎ ｉ＝１
ｎ
［ ｆｉｊ×（ｘｉ
ｊ＝１
０
０２
－ ｘｉ ）］ ＋ｏ（‖Ｘ－ Ｘ ‖ ），
２
其中，
ｆｉ＝
"ｆ（Ｘ） "ｘｉ
｜０
Ｘ＝Ｘ
，
ｆｉｊ＝
" ｆ（Ｘ） "ｘｉ"ｘｊ
｜０
Ｘ＝Ｘ
。
０２
０
０２
ｏ（‖Ｘ－ Ｘ ‖ ）表示当Ｘ→Ｘ 时，比‖Ｘ－ Ｘ ‖ 高阶的无穷小量。
设
梯度ｇｒａｄｆ｜ ０＝（ Ｘ＝Ｘ
１
０Ｔ
０
０
（ Ｘ－ Ｘ ） Ｈ（ Ｘ ） （ Ｘ－ Ｘ ） 。
２
０
由 此 可 以 看 出ｆ（ Ｘ ） 是 否 是 函 数ｆ（ Ｘ） 的 极 值 ， 取 决 于 二 次
０Ｔ
０
（Ｘ－ Ｘ ） Ｈ（Ｘ－ Ｘ ）是否为正定或负定。
０Ｔ
０
０
当 二 次 型（Ｘ－ Ｘ ） Ｈ（Ｘ ）（Ｘ－ Ｘ ）正 定 时 即Ｈ（ Ｘ０） 为 正 定 矩 阵
８０
总之， 在数学新课程改革中， 教师应改变传统的教学模 式 ， 重 视 学 生 的 主 体 性 ， 倡 导 学 生 自 主 学 习 、合 作 学 习 、探 究 学习， 引导学生主动参与到整个学习过程中去。在课堂教学 中 ， 以 “活 动 ”为 主 ， 不 “锁 住 ”学 生 ； 以 “发 现 ”为 主 ， 不 “代 替 ” 学 生 ； 以 “鼓 励 ”为 主 ， 不 “钳 制 ”学 生 ， 让 学 生 “先 看 、先 想 、先 说 、先 练 ”。
ｂ
２
时有ｆ（Ｃ）＝ ∫［ Ｃφ（ ｘ） ＋ψ（ ｘ） ］ ｄｘ＝０。 又 由 于φ（ ｘ） 与ψ（ ｘ） 在 ［ ａ，ｂ］
上连续，
ａ
及［
Ｃφ（
ｘ）
＋ψ（
ｘ）
］
２
≥０， 则 有 Ｃφ（
ｘ）
＋ψ（
ｘ）
≡０。 故
φ（
ｘ）
ψ（ ｘ）
（ 或 ψ（ ｘ） ） ≡常数。 φ（ ｘ）
这里的证明， 首先建立一个半正定二次型， 使它的判别式
ΘＡ的 顺 序 主 子 式 大 于 或 等 于 零
∴Ａ是 半 正 定 的
∴二 次 型 ｆ是 半 正 定 的
ｎ
ｎ
∑ ∑ ２
２
∴ｆ≥０，即ｎ Ｘｉ ≥（ Ｘｉ）
ｉ＝１
ｉ＝１
这 里 的 证 明 ， 首 先 把 不 等 式 变 为≥０的 形 式 ， 不 等 式 的 左
边为二次型， 令ｆ等于不等式的 左 边 ， 判 断 其 矩 阵 为 半 正 定 的 ，
０
０（ Ｘ－ Ｘ ） ＋
１
０Ｔ
０
（ Ｘ－ Ｘ ） Ｈ（ Ｘ ）
Ｘ－ Ｘ
２
０
０２
０
（ Ｘ－ Ｘ ） ＋ｏ（‖Ｘ－ Ｘ ‖ ），由 此 式 可 知 ， 当ｇｒａｄｆ｜ ０＝０即 Ｘ＝Ｘ 是
Ｘ－ Ｘ
０
０
ｆ（ Ｘ） 的 驻 点 时 ， 且 Ｘ－ Ｘ ≠０，‖Ｘ－ Ｘ ‖充 分 小 时 ， 上 式 可 化
０
为ｆ（ Ｘ） － ｆ（ Ｘ ） ≈
０ ００
０Ｔ
设ｎ元 实 函 数ｆ（ Ｘ） ＝ｆ（ ｘ１， ｘ２， Λ， ｘｎ） 在 点Ｘ ＝（ｘ１， ｘ２， Λ， ｘｎ） 的
某 个 邻 域 内 有 一 阶 、二 阶 连 续 偏 导 数 ， 则ｆ（Ｘ）在Ｘ０处 的 泰 勒 展 开 式［２］ 为
∑ ∑∑ ｎ
０
ｆ（Ｘ）＝ｆ（ｘ１， ｘ２， Λ， ｘｎ）＝ｆ（Ｘ ）＋ ｉ＝１
○ 数学教学与研究 ２００７年第３６期 考试周刊
关于二次型理论的若干应用
吴纯
（ 武汉商业服务学院， 湖北 武汉 ４３００５８）
摘 要： 二次型是线性代数的基本内容， 本文介绍了它 在 微 积 分 、空 间 解 析 几 何 方 面 的 几 个 应 用 。
关键词： 二次型理论 二次型的正定性 二次曲面方程 多元函数极值
解： 令 "ｆ ＝２ｘ＋２＝０， "ｆ ＝２ｙ－ ２＝０， "ｆ ＝４ｚ＋４＝０，
"ｘ
"ｙ
"ｚ
所以驻点为（ － １， １， － １） ， ｆ（ ｘ， ｙ， ｚ） 在驻点的各二阶偏导数为
一 、高 中 数 学 与 初 中 数 学 特 点 的 变 化
１． 数学语言在抽象程度上突变 不 少 学 生 反 映 ， 集 合 、映 射 等 概 念 难 以 理 解 ， 觉 得 离 生 活 很远。确实， 初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学 主 要 是 以 形 象 、通 俗 的 语 言 方 式 进 行 表 达 。而 高 一 数 学 一 下 子 就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的 函 数 语 言 、空 间 立 体 几 何 等 。 ２． 思维方法向理性层次跃迁 高一学生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思 维方法与初中阶段大不相同。初中阶段， 很多教师为学生将各 种题建立了统一的思维模式， 如解分式方程分几步， 因式分解 先 看 什 么 、再 看 什 么 ， 即 使 是 思 维 非 常 灵 活 的 平 面 几 何 问 题 ， 也对线段相等、角相等， 分别确定了各自的思维套路。因此， 初 中学习中习惯于这种机械的便于操作的定势方式。而高中数 学在思维形式上产生了很大的变化， 正如上节所述， 数学语言 的抽象化对思维能力提出了高要求。当然， 能力的发展是渐进 的， 不是一朝一夕的事， 这种能力要求的突变使很多高一新生
例３ 将二次曲面方程 ２ｘｙ＋２ｘｚ＋２ｙｚ－ , ２ ｘ＋, ２ ｙ－ １＝０
化为标准方程， 并指出它是什么曲面。
- . ０ １ １
Ｔ
Ｔ
解： 令 Ａ＝ １ ０ １ ， ｂ＝［ － , ２ ， , ２ ， ０］ ， ｕ＝［ ｘ，ｙ，ｚ］
１１０
Ｔ
Ｔ
则原方程可写成 ｕ Ａｕ＋ｂ ｕ－ １＝０
（２．４）
求 出 Ａ的 特 征 值 及 对 应 的 标 准 正 交 特 征 向 量 分 别 为
Ｔ
λ１＝２， ｑ１＝［ １，１，１］ ／ , ３
Ｔ
Ｔ
λ２＝－ １（二重）， ｑ２＝［ １，－ １，０］ ／ , ２ ， ｑ３＝［ １，１，－ ２］ ／ , ６
令Ｑ＝［ ｑ１，ｑ２，ｑ３］ ，
Ｔ
Ｔ
则有Ｑ ＡＱ＝ｄｉａｇ（２，－ １，－ １）， ｂ Ｑ＝［ ０，－ ２，０］ ，
Ｔ
作正交变换ｕ＝Ｑｖ，其中ｖ＝［ ｘ１，ｙ１，ｚ１］ ，则（２．４）式变为
即可证明所要证明的不等式。
二 、化 二 次 曲 面 的 方 程 为 标 准 方 程
可利用二次型和正交变换将二次曲面的方程化为标准方
程， 从而判别二次方程是什么曲面。
２
２
２
设 三 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式 为 ａ１１ｘ ＋ａ２２ｙ ＋ａ３３ｚ ＋２ａ１２ｘｙ＋
２ａ１３ｘｚ＋２ａ２３ｙｚ＋ｂ１ｘ＋ｂ２ｙ＋ｂ３ｚ＋ｃ＝０
关键词： 数学语言 思维 辅助练习 学习状态 学习 习惯 循序渐进