中点常用的辅助线做法
数学中构造辅助线的方法
数学中构造辅助线的方法
在数学中，构造辅助线是一种常用的解题方法，可以帮助我们更好地理解和解决各种几何问题。
以下是一些常用的构造辅助线的方法：
1.中点、中线段、延长线：如果条件中给出了中点或中线段，可以通过构造延长线来构造辅助线。
例如，过中点作已知线段或直线的平行线，或者过中点作已知线段的垂直平分线等。
2.角平分线、垂直、中线：如果条件中给出了角平分线、垂直或中线，可以通过构造相应的辅助线。
例如，过角平分线上的点作角平分线的垂线，或者过中点作已知直线的垂直平分线等。
3.直角三角形斜边上的中点：如果条件中给出了直角三角形斜边上的中点，可以通过构造辅助线将直角三角形转化为等腰三角形。
例如，过斜边中点作直角边的平行线，或者过斜边中点作斜边的垂线等。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线：如果条件中给出了等腰三角形底边上的垂直平分线，可以通过构造辅助线将等腰三角形转化为直角三角形。
例如，过垂直平分线上的点作底边的平行线，或者过垂直平分线上的点作顶角的角平分线等。
5.等边三角形的高、角平分线、中线：如果条件中给出了等边三角形的高、角平分线或中线，可以通过构造辅助线将等边三角形转化为直角三角形。
例如，过高上的点作底的垂直平分线，或者过角平分线上的点作底边的平行线等。
这些方法都是一些常见的构造辅助线的技巧，对于不同的几何问题，需要灵活运用不同的方法来构造辅助线和解决问题。
数学作辅助线的方法
作辅助线的方法一：中点、中位线,延线,平行线.如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线作辅助线,使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到应用某个定理或造成全等的目的.二：垂线、分角线,翻转全等连.如遇条件中,有垂线或角的平分线,可以把图形按轴对称的方法,并借助其他条件,而旋转180度,得到全等形,,这时辅助线的做法就会应运而生.其对称轴往往是垂线或角的平分线.三：边边若相等,旋转做实验.如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然后把图形旋转一定的角度,就可以得到全等形,这时辅助线的做法仍会应运而生.其对称中心,因题而异,有时没有中心.故可分“有心”和“无心”旋转两种.四:造角、平、相似,和、差、积、商见.如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,欲证线段或角的和差积商,往往与相似形有关.在制造两个三角形相似时,一般地,有两种方法：第一,造一个辅助角等于已知角；第二,是把三角形中的某一线段进行平移.故作歌诀：“造角、平、相似,和差积商见.”（托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交,连心公共弦.如果条件中出现两圆相交,那么辅助线往往是连心线或公共弦.六：两圆相切、离,连心,公切线.如条件中出现两圆相切（外切,内切）,或相离（内含、外离）,那么,辅助线往往是连心线或内外公切线.七：切线连直径,直角与半圆.如果条件中出现圆的切线,那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反,条件中是圆的直径,半径,那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线.即切线与直径互为辅助线.如果条件中有直角三角形,那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆,或半圆；相反,条件中有半圆,那么在直径上找圆周角——直角为辅助线.即直角与半圆互为辅助线.八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦.如遇弧,则弧上的弦是辅助线；如遇弦,则弦心距为辅助线.如遇平行线,则平行线间的距离相等,距离为辅助线；反之,亦成立.如遇平行弦,则平行线间的距离相等,所夹的弦亦相等,距离和所夹的弦都可视为辅助线,反之,亦成立.有时,圆周角,弦切角,圆心角,圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线.九：面积找底高,多边变三边.如遇求面积,（在条件和结论中出现线段的平方、乘积,仍可视为求面积）,往往作底或高为辅助线,而两三角形的等底或等高是思考的关键.如遇多边形,想法割补成三角形；反之,亦成立.另外,我国明清数学家用面积证明勾股定理,其辅助线的做法,即“割补”有二百多种,大多数为“面积找底高,多边变三边”。
初中数学—中点辅助线做法(自编)
中考数学专题之中点辅助线做法在河南省中考中，与中点辅助线做法相关的题目考察是较多.经常出在填空题，四边形证明和类比探究。
且分值占比较重，是初中阶段必须攻克的问题之一。
中考中，对于中点辅助线做法考察常有四种：①倍长中线（类倍长）②三线合一③斜边中线④中位线对于不同题目，需要根据题干特点选择适合的辅助线做法。
有中线，做倍长，这是在全等三角形中常遇到的；等腰三角形中经常遇到三线合一的性质；直角三角形中如果出现斜边中点，常连接斜边中线，从而产生等腰三角形和一半特征；多中点问题构造中位线，一般在四边形和类比探究证明中出现，需要结合逆相似或轨迹解决问题。
在九年级学习圆的知识之后，看到弦的中点，考虑的是垂径定理，其实可算作等腰三角形三线合一的性质，所以不再单独介绍。
接下来，我们来逐个说明这四种辅助线做法。
1.倍长中线—利用中点构造全等2.特殊三角形的中点（三线合一与斜边中线）3.多中点类型（中位线）文档讲解视频已在本小店上传，请及时查看。
E DCBAEDC BADCB ADCBAEDC B AGFEDCBA典型例题1.如图，在△ABC 中，AB=9，AC =6，D 为边BC 的中点，求AD 的取值范围.2.如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：∠AEF =∠EAF ．3.如图已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF =2AD .DCBAF EDCBA FEDCBA4.如图，△ABC 中，BD =DC =AC ，E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.5.如图，在直角梯形ABCD 中，E 为AB 边的中点，若AD =2，BC =4，∠DEC =90°，则CD 的长为_______.6.已知△ABC ，AB =AC ，E 、F 分别为AB 和AC 延长线上的点，且BE =CF ，EF 交BC 于G ．求证：EG =GF ．EDCB AED CBAE F GCBA7.如图，在ABC ∆中，AD 是高线，CE 是中线，CD CE = DF CE ⊥于点F ，求证：F 是CE 的中点.8.如图，在平行四边形ABCD 中，BC =2AB ，CE AB ⊥于点E ，F 为AD 的中点，若54AEF ∠=︒，则B ∠为多少度？9.如图，M 是ABC ∆的边BC 的中点，AN 平分BAC ∠，BN AN ⊥于点N ，若AB =10，BC =15，MN =3，则ABC ∆的周长为多少？FEDCBAFE DCBA NMCBA10.已知ABC ∆中，2B C ∠=∠，M 是BC 的中点，AD BC ⊥于D ，求证：12DM AB =11.如图，AB ∥CD ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，若AB =5，CD =3，则EF 多长？12.如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ，BC 的延长线分别与EF 的延长线交于点H ，点G ，求证：AHE BGE ∠=∠.CBFE D CB AGH FEDCB A13.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且AC =BD ，求证：OM =ON .14.如图，在ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且BD =CE ，M ，N 分别是BE ，CD 的中点，过MN 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，求证：AP =AQ .NMF EDCBANMQ PED C BA15.如图以ABC ∆的AB ，AC 边为斜边向外做Rt ABD ∆和Rt ACE ∆，其中ADB ∠和AEC ∠为直角，并且满足ABD ACE ∠=∠，点M 是BC 的中点，连接DM ，ME .求证：DM ME =.【河南中考】16．如图1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点． （1）观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明把ADE ∆绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN ∆的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若4AD =，10AB =，请直接写出PMN ∆面积的最大值．MEDCBA。
初中数学辅助线常用做法
1.三角形问题添加辅助线方法方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。
含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。
它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。
辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰。
（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高（6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。
（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。
（9）作中位线当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。
与中点有关的引辅助线方法
与中点有关的引辅助线方法中点是平面几何中一个重要的概念，它与图形的对称性、平行性、垂直性等性质有着密切的关系。
为了帮助解决与中点有关的问题，我们可以使用引辅助线的方法。
下面我将介绍一些与中点有关的引辅助线方法。
1.引中点辅助线法这是最基本的与中点有关的引辅助线方法。
当我们需要求线段的中点时，可以通过引一条过该线段两端点的直线，然后取该直线上的中点即可。
这样，我们就引出了一个与中点有关的辅助线。
2.引垂直平分线法当我们需要将一个线段平分时，可以通过引一条垂直于该线段的直线，并让该直线与线段的中点相交。
这样，该垂直直线就成为了该线段的垂直平分线。
3.引中垂线法当我们需要求一个线段的中垂线时，可以通过引一条垂直于该线段的直线，并让该直线的中点与该线段的中点相连。
这样，我们就得到了一个与中点有关的辅助线，也就是该线段的中垂线。
4.引平行线法当我们需要构造一个与条直线平行的直线时，可以通过引一条经过该直线上一点的平行线，并让该平行线上的距离与该点到该直线的距离相等。
这样，我们就得到了一个与中点有关的辅助线，也就是与原直线平行的直线。
5.引垂直线法当我们需要构造一个与条直线垂直的直线时，可以通过引一条经过该直线上一点的垂直线，并让该垂直线与原直线相交。
这样，我们就得到了一个与中点有关的辅助线，也就是与原直线垂直的直线。
以上就是与中点有关的几种常用引辅助线方法。
利用这些方法，我们可以更方便地解决与中点有关的问题。
当我们遇到与中点有关的几何问题时，可以根据具体情况选择合适的引辅助线方法，并运用相关的定理和性质进行推导和证明。
通过加深对中点的理解和运用，我们能够更好地掌握几何知识，提高解题的能力。
2025年中考数学二轮复习几何模型突破课件：模型1中点辅助线作法
A．6
B．5.5
C．6.5
D．5
【解析】连接BE.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.∵AD＝12，E为
1
AD 的 中 点 ， ∴ AE ＝ AD ＝ 6. ∵ AB ＝ 8 ， ∴ 在 Rt△ABE 中 ， BE ＝
2
2 ＋ 2 ＝10.∵G，H分别为EF，BF的中点，∴GH是△BEF的中位
1
1
BD.∵BD⊥AC，AE＝BD，∴EF⊥AC，EF＝ AE，∴∠CFE＝∠AFE
2
2
＝90°，∠EAF＝30°，∴∠AEF＝60°.又∵∠C＝55°，∴∠CEF＝
35°，∴∠AEB＝180°－∠AEF－∠CEF＝85°.故选D.
2.如图，菱形ABCD的对角线BD的长为8，E，F分别是AD，CD边的中
点，连接EF.若EF＝3，则菱形ABCD的面积是( A )
A．24
B．20
C．12
D．6
【解析】连接AC.∵E，F分别是AD，CD边上的中点，即EF是△ACD的中
1
1
位线，∴AC＝2EF＝6，∴S菱形ABCD＝ AC·BD＝ ×6×8＝24.故选A.
2
2
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，E为AD的中点，F为CD边上
AD，∠B＝∠DCB，∠A＝∠ACD
模型
总结
当遇等腰三角形底边上的中点
当遇直角三角形斜边上的
时，考虑作底边上的中线，利用 中点时，考虑作斜边上的
“三线合一”解题
中线
例2
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为边AC的中
点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，连接EF.若AE＝4，
中点常见的辅助线
（五）条件中无中点时，完善图形得中位线：
如图，△ABC边长分别为AB=14，BC=16，AC=26，P为∠A的平分线AD 上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，则PM的值是_______．
练习：
在△ABC中，∠B=2∠A，CD⊥AB于D，E为AB的中点,求证：DE=
1 BC 2
（三）添加三角形的第三边，构建中位线：
如图，已知E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点，G、H为AC 边上的两个三等分点，连EG、FH，且延长后交于点D， 求证：四边形ABCD是平行四边形
（四）添加三角形的另一边并取中点，构建中位线： 在四边形ABCD中，E、F、M分别是AB、CD、BD的中点，AD=BC． 求证：∠EFM=∠FEM．
A
B
E
D
C
3、等腰三角形：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、 底边上的中线互相重合（三线合一）。
3、如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，M为BD中点， N为AC中点，求证：MN⊥AC．
C D A N M B
四、两个或多个中点常见的辅助线： 当图中有多个中点时，同时还要考虑中位线，
中点常见的辅助线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
与中点有关的辅助线
1、三角形的中线：延长中线至一倍，构建全等三角形 2、直角三角形：斜边上的中线等于斜边的一半 3、等腰三角形：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、 底边上的中线互相重合（三线合一）。 4、三角形的中位线：平行于第三边，并且等于第 三边的一半。
1、三角形的中线：延长中线至一倍，构建全等三角形
1、在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=2， AC=4，则AD的取值范围是________．
A
B
全等三角形常用辅助线做法
五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点．下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD．证明：在AC上截取AF=AE，连接OF．∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60°在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC∴△DOC≌△FOC，CF=CD∴AC=AF+CF=AE+CD．截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例2：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。
求证：CD=AD+BC。
思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。
2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。
解答过程：证明：在CD上截取CF=BC，如图乙∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。
例谈中点问题的几种辅助线的作法
二、 作平行线 。 构造全等三角形 已知 三角形一边 的中点 ， 我们 可以经 过其 中一 个顶 点作对边 的平行线 ， 构造“ 型 图， ” 从而可 以得 到全等三角形 。 Ａ Ｄ 例 ２ 已知 ： 图 ２ Ａ Ｃ 如 ， Ｂ
＝
又 Ｅ 是△Ｂ Ｃ的 中位线 ， Ｍ Ａ Ｅ Ｍ∥Ａ 即 Ｅ Ｃ， ＭＢ＝ Ｃ 。
・ ． ． ‘ ． ‘
Ｍ Ｄ＝ Ｂ Ｄ一 Ｅ Ｄ＝ Ｂ一÷ Ｂ＝ Ｅ Ｅ Ｍ
二
忸 ＝９＊ Ａ ＋ Ｂ ＝ Ｃ ， ０， Ｄ Ｃ Ｄ
Ｃ，
’ ． ．
为佃 的中点 ， 求证 ： Ｄ Ｃ＝ Ｅ
９ 。
仍 ＝ Ｍ ＥＤ ，
证明 ： 长 Ｄ 交 Ｃ 延 Ｅ， Ｂ的延 长线 于点 Ｆ 。
Ｕ
思路方法
３ ７
例 谈 中点 问题 的几 种 辅 助 线 的作 法
■ 娄
在研究几何图形时 ， 若有涉及 中点的问题 ， 我们 常需要添加一些适 当的辅助线来解 答 问题 ， 果能 如 够把这一类问题的一般 方法作 出全面 的归纳 ， 那将 对我们思考问题是很有益处的。 作等腰 三角形底边上的 中线 在等腰三角形中 ， 作它底边上的中线 ， 我们可利 用等腰三角形“ 三线合一” 的性质来解答 问题 。 例 １ 已知 ： 图 １点 Ｄ、 如 ， Ｅ
‘
．
．
的中点问题 ， 了构造 全 等 （ 除 即作 Ｂ Ｍ∥ Ｃ ， Ａ Ｆ交 Ｄ 的延 长线 于点 ） ， 外 也可 以过 中点 Ｄ作平 行线 ， 构
造中位线 。 证明 ： Ｄ 作 Ｇ∥ｃ 交 Ｂ Ｆ， Ｆ于 ｃ，
则 Ａ Ｅ Ｅ： Ｄ＝Ａ 彤 。 Ｆ：
又 ＢＤ＝Ａ ． Ｂ ０，‘ Ｄ：Ａ ． Ｇ。
初中数学常用辅助线大全
初中数学常用辅助线大全初中数学中，辅助线是解决几何问题的重要工具。
通过添加适当的辅助线，可以转化问题，使其更容易解决。
以下是初中数学中常用的辅助线做法：1. 中点连接线：如果一条线段被另一条线段平分，则可以作出中点连接线。
中点连接线将原图形分为面积相等、形状相同的两部分。
2. 平行线：通过作平行线，可以将复杂的几何图形转化为简单的、易于处理的图形。
平行线有助于证明角度相等、线段相等和全等三角形。
3. 延长线：在需要证明某一直线或线段等于另一条直线或线段时，可以通过延长线的方式将问题简化。
4. 垂线：在证明角相等、三角形全等或线段长度等问题时，经常需要作垂线。
垂足将线段分为两段相等的部分，有助于证明和计算。
5. 角平分线：角平分线将角分为两个相等的部分，有助于证明角度相等和线段长度相等。
6. 构造法：在某些情况下，需要通过构造新的图形来解决问题。
例如，构造一个与原图形相似的三角形或平行四边形。
7. 截长补短法：当需要证明某一直线或线段等于两条其他直线或线段的和时，可以通过截长或补短的方式来证明。
8. 辅助圆：在证明与圆相关的问题时，有时需要作辅助圆。
通过辅助圆，可以将问题转化为与圆相关的定理和性质。
除了以上常用方法外，还有一些特殊图形的辅助线做法。
例如，在等腰三角形中，可以通过作底边上的高或中线来证明性质；在直角三角形中，可以通过作斜边上的中线来证明性质。
为了更好地掌握辅助线的做法，学生需要多做练习题，积累经验并熟悉各种题型。
同时，要注意总结和归纳，发现不同问题之间的联系和规律，以便能够更快地找到解决问题的方法。
另外，值得注意的是，辅助线并不是随意添加的，需要遵循一定的逻辑和推理。
添加的辅助线必须与原图形有清晰的关系，不能凭空创造。
同时，要注意证明过程中每一步的逻辑严密性，确保证明过程是正确的。
综上所述，初中数学中的辅助线做法是解决几何问题的关键。
通过熟练掌握各种辅助线的做法，学生可以更好地解决复杂的几何问题，提高数学成绩。
几何证明题辅助线的技巧和方法
几何证明题辅助线的技巧和方法
在解决几何证明题时，辅助线是一种常用且有效的工具。
它可以帮助我们发现
隐藏的几何关系，简化证明过程，并提供新的角度来解决问题。
以下是几种常见的辅助线技巧和方法，可用于解决几何证明题。
1. 平行线辅助线法：当题目涉及到平行线时，我们可以通过引入一条平行线作
为辅助线，从而构建出平行线之间的相似三角形或平行四边形。
这样，我们可以得出相应的角度和边的关系，进而证明几何问题。
2. 三角形中线辅助线法：三角形的中线是连接一个顶点与对应中点的线段。
通
过引入三角形中线作为辅助线，我们可以将原问题转化为直角三角形的性质或平行线的性质。
这种方法常常用于证明三角形的等边、等腰等性质。
3. 垂直线辅助线法：当题目涉及到垂直线时，我们可以通过引入一条垂直线作
为辅助线，从而构建出垂直角、直角三角形或平行四边形。
通过利用垂直线的性质，我们可以得到角度、边长等关系，进而解决问题。
4. 内切圆辅助线法：对于一个给定的三角形，可以通过引入其内切圆作为辅助线，来简化证明过程。
内切圆与三角形的的边相切于三个点，这些点可以提供有用的几何关系，如正方形的性质、垂直线的性质等。
5. 类似三角形辅助线法：当计算角度或证明形状相似时，引入类似三角形作为
辅助线可以大大简化证明过程。
通过找到两个或多个类似的三角形，我们可以得到两个三角形的边长比例，并据此解决问题。
总之，辅助线是几何证明中的有效工具，它们可以帮助我们发现关键的几何关系，简化证明过程，并提供新的角度来解决问题。
通过灵活运用各种辅助线技巧和方法，我们可以更加轻松地解决各种几何证明题。
浙教版八年级下专题七 与中点有关的辅助线作法
教材P101例题)例 已知：如图1，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．图1求证：四边形EFGH 是平行四边形．教材母题答图证明：如答图所示，连结AC . ∵EF 是△ABC 的中位线，∴EF ＝12AC (三角形的中位线等于第三边的一半)． 同理，HG ＝12AC .∴EF ＝HG .同理可得EH ＝FG .所以四边形EFGH 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．【思想方法】 (1)连结对角线，把四边形转化为三角形体现了转化思想． (2)遇到中点找中点，这种方法常用于解决三角形和四边形的有关问题，主要是连结两个中点作中位线．因此，在三角形中，已知三角形两边中点，连结两个中点，即可构造三角形的中位线．(3)遇到中点作中线，这种方法常用于解决直角三角形或等腰三角形的有关问题，主要是运用直角三角形斜边上的中线或等腰三角形底边上的中线的性质．因此，遇到直角三角形斜边上的中点或等腰三角形底边上的中点，应联想到作中线．如图2，AB＝CD，E，F分别为BC，AD的中点，射线BA，EF 交于点G，射线CD，EF交于点H，图2求证：∠BGE＝∠CHE.【解析】连结AC，并取其中点P，构造△PEF，证明PE＝PF，再利用中位线的性质即可得证．证明：连结AC，取AC的中点P，连结PE，PF.∵E为BC的中点，∴PE∥AB，PE＝12AB，同理PF∥CD，PF＝12CD.∵AB＝CD，∴PE＝PF，∠PEF＝∠PFE，由PE∥AB，得∠BGE＝∠PEF，由PF∥CD，得∠CHE＝∠PFE，所以∠BGE＝∠CHE.如图3，△ABC中，∠B＝2∠C，AD为高，E为BC的中点，求证：DE＝12AB.图3【解析】在△ABC中，出现了Rt△ADC和Rt△ADB这两个直角三角形；又因为E为BC的中点，即题目中有中点与直角三角形的条件．按照“遇到中点找中点”的方法，可取Rt△ADC斜边AC的中点F(或AB的中点)，连结EF，即得△ABC的中位线；再依据“遇到中点作中线”的方法，连结DF，即得到Rt△ADC斜边AC上的中线，然后只要证明ED＝EF＝12AB即可．变形2答图证明：取AC的中点F，连结EF，DF.∵E，F分别为BC，AC的中点，∴EF∥AB，EF＝12AB.∵AD是高，∴△ADC是直角三角形．又∵F为斜边AC的中点，∴DF＝12AC＝FC.∴∠1＝∠C.由EF∥AB，得∠3＝∠B＝2∠C＝2∠1.又∵∠3＝∠1＋∠2，∴∠1＝∠2.∴DE＝EF＝12AB.。
初中数学常见辅助线的做法
初中数学常见辅助线的做法一、中点模型的构造1.已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：(1)倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形.如图1、图2所示.(2)三角形中位线定理.2.已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线.3.已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一二4.有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如：直角三角形中斜边中点, 等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加.二、角平分线模型的构造与角平分线有关的常用辅助线作法,即角平分线的四大基本模型.已知。
是4MON平分线上一点，(1)若以_L 0M于点4 ,如图1,可以过户点作PB1ON于点&则与二以.可记为“图中有角平分线, 可向两边作垂线”.(2)若点4是射线0M上任意一点，如图2,可以在ON上截取(用=0/1 ,连接/7人构造△()*?三△ /%.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现二⑶若翼妆舔踹嚼鼠3耳以黠部交0N于点从周造A4 0H基尊健三角形/是底边4加勺中点.可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看二(4)若过P点作PQ//0N交0M于点0,如图4,可以构造△P0Q是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现二三、轴对称模型的构造下面给出几种常见考虑要用或作轴对称的基本图形.(1 )线段或角度存在2倍关系的,可考虑对称.(2)有互余、互补关系的图形，可考虑对称.(3)角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称.(4)路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解.所以最短路径问题，需考虑轴对称.几何最值问题的儿种题型及解题作图方法如下表所示.四、圆中辅助线构造在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此, 灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对.提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
三角形中点常用辅助线添加方法
三角形中点常用辅助线添加方法一.倍长中线法例1.如图①，在△ABC 中，AB=10， AC=6, AD 是BC 边上的中线，求AD 的取值范围. 解:如图②，延长AD,使得ED=AD,连接BE在△BDE 和△CDA 中:BD=CD,∠BDE=∠CDA, ED=AD∴△BDE ≌△CDA∴BE=AC=6∴AB -BE < KAE< <AB+BE∴ 10-6<AE<10+6又 ∵AD=21AE ∴2<AD<8二.倍长类中线法例2.如图①，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点,且BE=AC,延长BE 交AC 于点F.求证: AF=EF.证明:如图②，延长DE 至点G ，使得DE=DG,连接CG在△BDE 和△CDG 中:BD=CD,∠BDE=∠CDG, DE=DG∴ △BDE ≌△CDG (SAS)∴∠BED=∠DGC, BE=CG又∵ BE=AC∴ AC=GC∴∠EAC=∠DGC,又∵∠BED=AEF∴∠AEF= ∠FAE∴AF=EF例3:如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的角平分线，M 为BC 的中点，AD//ME. 求证: BE=CF=3 证明:延长FM 至点G,使得FM=MG,连接BG在△BMG 和△CMF 中: BM=CM ，∠BMG=∠CMF, FM=GM∴△BMG ≌△CMF(SAS)∴∠G= ∠CFM ，BG=CF又∵AD//EM,∴∠BAD=∠E,∠DAF=∠EFA又∵∠BAD=∠DAF,∴∠E=∠EFA ∴ AE=AF又∵∠AFE=∠CFM ∴∠E=∠CFM ∴∠G=∠E∴ BE=BG=CF,∴AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+BE=BE+BE =2BE∴BE=CF=21(AB+AC)三.直角三角形斜边上的中线例4:如图，已知△ABC 中，BD 和CE 均为高线，点M 是BC 的中点，点N 是DE 的中点. 求证: MN ⊥DE.证明:连接EM 、DM∵点M 是BC 的中点∴在Rt △BEC 中，EM=21 BC, 在Rt △BDC 中，DM=21 BC ∴ EM=DM,又∵ EN=ND, ∴MN ⊥DE (三线合一 )四.构造三角形中位线例5:如图①，在四边形ABCD 中，E.F 分别是BC. AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA, CD 的延长线交于点M ，N,则∠BMF=∠CNE,求证: AB=CD.证明:如图②.连接BD,取DB 的中点G,连接EG.FG.∴点E 是BC 中点，∵ EG 是△BCD 的中位线∴ EG//CD, EG=21 CD, 同理，点F 是AD 的中点，∴FG// AB, FG=21AB, ∴∠BMF=∠GFE,∴∠CNE=∠GEF.又∵∠BMF= ∠CNE,∴∠GFE=∠GEF.∴ EG=FG. ∴ AB=CD.例6:如图①，△ABC 中， 点F 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，连接FE 并延长，交BA 的延长线于点G.若AB=DC=10,∠FEC=60° ,求EF 的长度解:连接BD,取DB 的中点H ，连接EH, FH.∵点E 是AD 的中点，H 是BD 的中点∴ EH 是△ABD 的中位线 ∴ EH=21 AB 同理FH 是△BCD 的中位线∴FH=21 CD 又∵ AB=CD, ∴ EH=FH ∴∠HEF=∠HFE又∵ FH 是△BCD 的中位线∴ FH// CD ∴∠HFE=∠FEC=60° ，∴△EFH 是等边三角形. ∴EF=EH=21 AB=21 X10=5课后巩固练习15题1.如图，四边形ABCD 中，∠DAB=90°，∠DCB=90°，E. F 分别是BD, AC 的中点，AC=8, BD=10， 求EF 的长.2.如图，已知D 为BC 中点，点A 在DE 上，且AB=CE,求证:∠BAD= ∠CED.3.如图，△ABC 中上，AC>AB,M 为BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，若CF ⊥AD 交AD 的延长线于F. 求证: MF=21(AC -AB).4.在梯形ABCD 中，AD//BC, AB=AD+BC, E 为CD 的中点，求证: AE ⊥BE.5.如图，在△ABC 中，∠A=90°,D 是BC 的中点，DE ⊥DF.求证: BE 2 +CF 2 =EF 2.6.如图，在正方形ABCD 中，F 是AB 的中点，连接CF,作DE ⊥CF 于点M ，交BC 于点E.求证: AM=AD.7.如图，在四边形ABCD 中，AB=CD, E.F 分别是BC. CD 的中点，BA. CD 的延长线分别交EF 的延长线于点G. H.求证:∠BGE= ∠CHE.8.已知，△ABD 和△ACE 都是直角三角形，点C 在AB .上，且∠ABD=∠ACE=90°，连接DE,设M 为DE 的中点，连接MB, MC.求证: MB=MC.9.如图，在△ABC 中，N 是AC 上的一点，D 是BC 的中点，DM ⊥DN ，如果BM 2 +CN 2 =DM 2 +DN 2.求证: AD 2=41(AB 2 +AC 2 )10.如图，在△ABC 中，AB=AC=5, BC=6, M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N,求MN 的长度。
利用中线作辅助线的一个方法
ＡＥＤＣ中 ， Ｄ＝ＣＤ， ＡＤＢ＝ ＥＤＣ，ＡＤ＝ＥＤ，所 以 △ＡＤ—
日 ＡＥＤＣ．于 是ＥＣ＝ＡＢ＝５．在 ＡＡＥＣ中 ＣＥ—ＣＡ＜ＡＥ＜ＣＥ＋
ＣＡ，即５—３＜２ＡＤ＜５＋３，所 以Ｉ＜ＡＤ＜４．
２．延 长 ＡＤ 到 Ｅ，使 得 ＤＥ＝ＡＤ，连 结 ＢＥ．易 证 △Ａ ＣＤ △职 Ｄ，因 此
Ｚ＿ＣＡＤ＝／＿＿Ｅ（全等 三 角形 对 应角 相等 ），ＡＣ＝ＢＥ（全 等 三 角形 对 应边 相等 ）．
又 ／ＢＡＤ＝ ＣＡＤ（己知），所 以／Ｅ＝ Ｄ，因此ＢＥ＝ＡＢ，￣［ＪＡＢ＝ＡＣ．
Ｃ
Ｂ
、 、
Ｃ Ｄ
Ｅ
第 １题
、：Ｅ
第 ２题
３．已知ＲｔＡＡＢＣ ｒ￣， ＡＣＢ＝９０。， 是ＡＢ的中点 ，求证 ：ＣＭ＝￣ ＡＢ．证
数 一１，它 的相关 函数 为
ｆ－ｘ＋１ ＜０）。
＾…
Ｉ 一１ ≥０）．
（１）点 （一５，８）在 一 次 函数 ＝戳一３的相 关 函
数 的图像 上 ，求 ａ的值 ．
（２）己知 二次 函数ｙ＝ ‘＋ 一 ．
二
①当点Ｂ（ｍ，要）在这个函数的相关函数
ｚ，ｇ
｝
…
△ＢＣＡ 中 ，ＤＡ＝Ｃ ， Ｃ＝／＿ＢＣＡ，ＡＣ＝ＣＡ，所 以 ＡＤＡＣ ＡＢＣＡ，Ａ ＝
ＭＤ＝ＡＭ，Ｍ～Ｄ；Ａ Ｍ ，连 结∞ ，Ｃ Ｄ ．
在 ａＡＭＢ和 △ Ｃ中，因为ＭＡ＝彻 ，ＬＡＭＢ＝
ＤＭＣ，ＢＭ＝ＣＭ．瓯＼
ＡＡＭＢ￣ △ＤＭＣ（ＳＡＳ）， 因 此 ＡＢ＝ＣＤ， ３＝ Ｄ．
同 理 ，
＝Ｃ Ｄ ， ４＝ Ｄ ．
因为ＡＢ＝Ａ Ｂ ， 所 以 ＣＤ＝Ｃ Ｄ ，
全等三角形六种常用辅助线的添加方法和技巧
全等三角形六种常用辅助线的添加方法和技巧下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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三角形中位线中的常见辅助线
三角形中位线中的常见辅助线知识梳理知识点一中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线等腰三角形底边的中线三线合一底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半,则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线方法一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段,都可以考虑倍长中线,倍长中线的目的可以旋转等长度的线段,从而达到将条件进行转化的目的;方法二：构造中位线解读：凡是出现中点,或多个中点,都可以考虑取另一边中点,或延长三角形一边,从而达到构造三角形中位线的目的;方法三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形,或共顶点等线段,就需要考虑构造三线合一,从而找到突破口其他位置的也要能看出方法四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形,或直角,则考虑连接斜边中线段,第一可以出现三条等线段,第二可以出现两个等腰三角形,从而转化线段关系;其他位置的也要能看出常见考点构造三角形中位线考点说明：①凡是出现中点,或多个中点,都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点;②延长三角形一边,从而达到构造三角形中位线的目的;“题中有中点,莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线,莫忘加倍延”,这两个是常用几何思想,但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用．典型例题【例1】 已知：AD 是ABC △的中线,AE 是ABD △的中线,且AB BD =,求证：2AC AE =． 举一反三1. 如右下图,在ABC ∆中,若2B C ∠=∠,AD BC ⊥,E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．2. 在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,12AC BC =,以BC 为底作等腰直角BCD ∆,E 是CD 的中点,求证：AE EB ⊥且AE BE =．【例2】 已知四边形ABCD 的对角线AC BD =,E 、F 分别是AD 、BC 的中点,连结EF 分别交AC 、BD 于M 、N ,求证：AMN BNM =∠∠．举一反三1. 已知四边形ABCD 中,AC BD <,E F 、分别是AD BC 、的中点,EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ,AC 和BD 交于G 点．求证：GMN GNM ∠>∠．2. 已知：在ABC ∆中,BC AC >,动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转,且AD BC =,连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线,直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ． 1如图1,当点D 旋转到BC 的延长线上时,点N 恰好与点F 重合,取AC 的中点H ,连结HE 、HF ,求证： AMF BNE ∠=∠2当点D 旋转到图2中的位置时,AMF ∠与BNE ∠有何数量关系请证明．【例3】 如图,在五边形ABCDE 中,90ABC AED ∠=∠=︒,BAC EAD ∠=∠,F 为CD 的中点．求证：BF EF =．举一反三1.如图所示,在三角形ABC 中,D 为AB 的中点,分别延长CA 、CB 到点E 、F,使DE=DF ．过E 、 F 分别作直线CA 、CB 的垂线,相交于点P,设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证： 1DEM FDN ∆∆≌；2PAE PBF ∠=∠．3. 已知：在ABC ∆中,分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ,和CAN ,P 是边BC 的中点．求证：PM PN =4. 如图所示,已知ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形,且90ABD ACE ∠=∠=︒,连接DE ,设M 为DE 的中点．1求证MB MC =．2设BAD CAE ∠=∠,固定Rt ABD ∆,让Rt ACE ∆移至图示位置,此时MB MC =是否成立请证明你的结论．5. 在△ABC 中,AB=AC,分别以AB 和AC 为斜边,向△ABC 的外侧作等腰直角三角形,M 是BC 边中点中点,连接MD 和ME1如图1所示,若AB=AC,则MD 和ME 的数量关系是EDDBC2如图2所示,若AB≠AC 其他条件不变,则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系请给出证明过程；3在任意△ABC 中,仍分别以AB 和AC 为斜边,向△ABC 的内侧作等腰直角三角形,M 是BC 的中点,连接MD 和ME,请在图3中补全图形,并直接判断△MED 的形状．图1 图2 图3【例4】 以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆,90BAD CAE ∠=∠=︒.连接DE ,M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．1如图① 当ABC ∆为直角三角形时,AM 与DE 的位置关系是________；线段AM 与DE 的数量关系是________；2将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒090θ<<后,如图②所示,1问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由．举一反三1. 1如图1,BD 、CE 分别是ABC △的外角平分线,过点A 作AD BD AE CE ⊥⊥、,垂足分别为D E 、,连接DE ．求证：()12DE BC DE AB BC AC =++，∥2如图2,BD CE 、分别是ABC △的内角平分线,其他条件不变； 3如图3,BD 为ABC △的内角平分线,CE 为ABC △的外角平分线,其他条件不变;则在图2、图3两种情况下,DE BC 、还平行吗它与ABC △三边又有怎样的数量关系请你写出猜测,并给与证明．2. 已知ABC ∆中,90ACB ∠=︒,AB 边上的高线CH 与ABC ∆的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：EF AB ∥．【例5】 等腰梯形ABCD 中,AB CD ∥,AC BD =,AC 与BD 交于点O ,60AOB ∠=︒,P 、Q 、R分别是OA 、BC 、OD 的中点,求证：PQR ∆是正三角形．举一反三1. AD 是ABC ∆的中线,F 是AD 的中点,BF 的延长线交AC 于E ．求证：13AE AC =． 【例6】 如左下图,在梯形ABCD 中,AB CD ∥,E 、F 分别是AC 、BD 中点．求证：EF AB ∥,且()12EF AB CD =-． 举一反三2. 在课外小组活动时,小慧拿来一道题原问题和小东,小明交流原问题：如图1,已知ABC ∆,90ACB ∠=︒,45ABC ∠=︒,分别以AB BC ，为边向外作ABD ∆和BCE ∆,且DA DB =,EB EC =,90ADB BEC ∠=∠=︒,连接DE 交AB 于点F ,探究线段DF 与EF 的数量关系;小慧同学的思路是：过点D 作DG AB ⊥于G ,构造全等三角形,通过推理使问题得解 小东同学说：我做过一道类似的题目,不同的是,30ABC ∠=︒,60ADB BEC ∠=∠=︒图1F E D CB A小明同学经过合情推理,提出一个猜想,我们可以把问题推广到一般情况;请你参考小慧同学的思路,探究并解决这三位同学提出的问题：1写出原问题中DF 与EF 的数量关系2如图2,若30ABC ∠=︒,60ADB BED ∠=∠=︒,原问题中的其他条件不变,你在1中得到的结论是否发生变化请写出你的猜想并加以证明；3如图3,若2,ADB BEC ABC ∠=∠=∠原问题中的其他条件不变,你在1中得到的结论是否发生变化请写出你的猜想并加以证明;真题演练1. 已知：AOB △中,2AB OB ==,COD △中,3CD OC ==,ABO DCO =∠∠. 连接AD BC 、、,点M 、 N 、P 分别为AO 、DO 、BC 的中点.1如图1,若A 、O 、C 三点在同一直线上,且60ABO =∠,则PMN △的形状是________________,此时AD BC=________； 2如图2,若A 、O 、C 三点在同一直线上,且2ABO α=∠,证明PMN △∽BAO △,并计算ADBC 的值用含α的式子表示；3在图2中,固定AOB △,将COD △绕点O 旋转,直接写出PM 的最大值.图1 图22.如图,D是△ABC中AB边的中点,△BCE和△ACF都是等边三角形,M、N分别是CE、CF 的中点.1求证：△DMN是等边三角形；2连接EF,Q是EF中点,CP⊥EF于点P. 求证：DP＝DQ.同学们,如果你觉得解决本题有困难,可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点,因此考虑构造三角形的中位线,添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等,可通过证明三角形全等,如何构造出相应的三角形呢她考虑将△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置,由此猜想到了所需构造的三角形的位置.3.在△ABC中,D为BC边的中点,在三角形内部取一点P,使得∠ABP=∠ACP．过点P作PE ⊥AB于点E,PF⊥AC于点F．1如图1,当AB=AC时,判断的DE与DF的数量关系,直接写出你的结论；2如图2,当AB AC,其它条件不变时,1中的结论是否发生改变请说明理由．图1 图24.探究问题：已知AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线,且AD、BE交于点O.1△ABC为等边三角形,如图1,则AO︰OD=__________；2当小明做完1问后继续探究发现,若△ABC 为一般三角形如图2,⑴中的结论仍成立,请你给予证明.3运用上述探究的结果,解决下列问题：如图3,在△ABC 中,点E 是边AC 的中点,AD 平分∠BAC , AD ⊥BE 于点F ,若AD =BE =4. 求：△ABC 的周长.图1 图2 图3 5. 如图1,在四边形ABCD 中,AB CD =,E F 、分别是BC AD 、的中点,连结EF 并延长,分别与 BA CD 、的延长线交于点M N 、,则BME CNE ∠=∠不需证明．温馨提示：在图1中,连结BD ,取BD 的中点H ,连结HE HF 、,根据三角形中位线定理,证明HE HF =,从而12∠=∠,再利用平行线性质,可证得BME CNE ∠=∠．问题一：如图2,在四边形ADBC 中,AB 与CD 相交于点O ,AB CD =,E F 、分别是BC AD 、的中点,连结EF ,分别交DC AB 、于点M N 、,判断OMN △的形状,请直接写出结论．问题二：如图3,在ABC △中,AC AB >,D 点在AC 上,AB CD =,E F 、分别是BC AD 、的中点,连结EF 并延长,与BA 的延长线交于点G ,若60EFC ∠=°,连结GD ,判断AGD △的形状并证明．图1 图2 图330ABO DCO ∠=∠=︒6. 我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质： 重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2:1．请你用此性质解决下面的问题.已知：如图,点O 为等腰直角三角形ABC 的重心,90CAB ∠=︒,直线m 过点O ,过A B C 、、三点分别作直线m 的垂线,垂足分别为点D E F 、、.1当直线m 与BC 平行时如图1,请你猜想线段BE CF 、和AD 三者之间的数量关系并证明； 2当直线m 绕点O 旋转到与BC 不平行时,分别探究在图2、图3这两种情况下,上述结论是否还成立若成立,请给予证明；若不成立,线段AD BE CF 、、三者之间又有怎样的数量关系请写出你的结论,不需证明．7. 以平面上一点O 为直角顶点,分别画出两个直角三角形,记作AOB 和COD ,其中1点E 、F 、M 分别是AC 、CD 、DB 的中点,连接FM 、EM ．2 ①如图1,当点D 、C 分别在AO 、BO 的延长线上时,FM EM =_______； ②如图2,将图1中的AOB 绕点O 沿顺时针方向旋转α角060α<<,其他条件不变,判断FM EM 的值是否发生变化,并对你的结论进行证明；3如图3,若BO = ,点N 在线段OD 上,且2NO = ．点P 是线段AB 上的一个动点,在将AOB 绕点O 旋转的过程中,线段PN 长度的最小值为_______,最大值为_______．。
等腰三角形中做辅助线的八种常用方法
等腰三角形中做辅助线的八种常用方法以等腰三角形中做辅助线的八种常用方法为标题，写一篇文章。
一、连接底边中点和顶点的直线在等腰三角形中，连接底边中点和顶点的直线是最常见的辅助线之一。
通过连接底边中点和顶点的直线，可以将等腰三角形分为两个等边三角形，从而为解决问题提供了更多可能性。
二、平分底角另一种常见的辅助线是平分底角。
通过连接底边两个顶点与底角的平分线，可以将等腰三角形分成两个相等的小三角形，从而使得问题的解决更加简单明了。
三、平分顶角平分顶角也是一种常用的辅助线方法。
通过连接顶点与底边中点的直线，可以将等腰三角形分为两个相等的小三角形，从而使得问题的解决更加方便。
四、连接底边两个顶点与三角形顶点的直线通过连接底边两个顶点与三角形顶点的直线，可以形成一个内切等边三角形。
这个内切等边三角形可以为解决问题提供更多线索。
五、连接底边两个顶点与顶角平分线的交点通过连接底边两个顶点与顶角平分线的交点，可以形成一个四边形。
这个四边形可以为解决问题提供更多线索。
六、连接底边两个顶点与底边中点的连线通过连接底边两个顶点与底边中点的连线，可以形成一个等腰梯形。
这个等腰梯形可以为解决问题提供更多线索。
七、连接底边两个顶点与对边中点的连线通过连接底边两个顶点与对边中点的连线，可以形成一个平行四边形。
这个平行四边形可以为解决问题提供更多线索。
八、连接对边中点的连线通过连接对边中点的连线，可以形成一个等腰三角形的中线。
这个中线可以为解决问题提供更多线索。
在解决等腰三角形相关问题时，可以灵活运用以上八种常用的辅助线方法。
通过合理选择辅助线，可以使问题的解决更加简单明了。
当然，在运用辅助线的过程中，需要注意辅助线与等腰三角形的关系，确保辅助线的引入能够帮助解决问题，而不会导致问题的复杂化。
总结起来，通过连接底边中点和顶点的直线、平分底角、平分顶角、连接底边两个顶点与三角形顶点的直线、连接底边两个顶点与顶角平分线的交点、连接底边两个顶点与底边中点的连线、连接底边两个顶点与对边中点的连线以及连接对边中点的连线这八种常用的辅助线方法，我们可以更加灵活地解决等腰三角形相关问题。
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认真体会， 融会贯通， 灵活运用
练习：
四边形ABCD的对角线AC=BD，M、N 分别是AD、BC的中点，MN与AC、BD 交于F、G，AC、BD交于E，求证：
EF=EG C
D E N
M
F
G
A
P
B
EF= 2 BE
B
AD = BE
E D FC
三、已知中线，常倍长中线
例3. 如图，△ABC中，AD是BC边
上的中线，E是AD上的一点，BE的 A 延长线交AC于F，且AF＝EF。
求证：BE＝AC
F E
AC = BH BE = BH AC = BE
B
C
D
H
四、条件中含有等腰三角形底边上的
中点时，常作出底边的中线，利用三
例1. 已知：如图，△ABC中，
BD和CE是高，M为BC的中点，
P为DE的中点。
求证：PM⊥DE。
E
1 ME=MD= 2 BC
PM⊥DE
B
A
P
D
M
C
二、已知三角形一边的中点，构造三 角形中位线
例2. 已知：如图，△ABC中，AD
A
是高，BE是中线，且∠EBC＝30°。求证：AΒιβλιοθήκη ＝BEEF= 1 AD 21
中点常用的辅助线作法
初中 数学
泰安市岱岳区徂徕一中 梁孝斌
常用方法有四种：
一、已知直角三角形斜边上的中点时，常作斜 边上的中线
二、已知三角形一边的中点，构造三角形中位 线 三、已知中线，常倍长中线
四、条件中含有等腰三角形底边上的中点时， 常作出底边的中线，利用三线合一
一、已知直角三角形斜边上的中点时， 常作斜边上的中线
线合一
例：已知AB′=AB，E为BB′的中点，
EC⊥AB′, ED ⊥AB.
A
求证:CE=ED
三线合一，AE是中线，也
是
角平分线
CE = ED
C
D
B'
E
B
常用方法有四种：
一、已知直角三角形斜边上的中点时，常作斜 边上的中线
二、已知三角形一边的中点，构造三角形中位 线 三、已知中线，常倍长中线
四、条件中含有等腰三角形底边上的中点时， 常作出底边的中线，利用三线合一