信号与系统 §6.3 逆z变换
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信号与系统 第六章 Z变换
3z 例： 2(k)+ 3(k) ←→ 2 + z 1
，z>1
6.2
z变换的性质
二、移位（移序）特性
单边、双边差别大！
双边z变换的移位： 若 f(k) ←→ F(z) , <z<，且对整数m>0，则 f(km) ←→ zmF(z), <z< 证明：Z[f(k+m)]=
其收敛域一般为F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。 例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z). 解： f(k)= kε(k)= ε(k)* ε(k-1)
1 z z z z z 1z 1 ( z 1 )2
6.2
z变换的性质
五、序列乘k（z域微分）
若 f(k) ←→F(z) , <z< 则 d kf ( k ) z F ( z ) , <z< d z 例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z). 解：
0 .5 z ze
j
j ze
0 .5 z
6.2
z变换的性质
四、卷积定理
若 f1(k) ←→F1(z) 1<z<1, f2(k) ←→ F2(z) 2<z<2 则 f1(k)*f2(k) ←→ F1(z)F2(z)
对单边z变换，要求 f1(k)、 f2(k)为因果 序列
解
z z F ( z ) F ( z ) F ( z ) y f z bz a
|b |
可见，其收敛域为a<z<b |a | o （显然要求a<b，否则无共 R e[ z ] 同收敛域) 序列的收敛域大致有一下几种情况： （1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面； （2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域； （3）对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域； （4）对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；
，z>1
6.2
z变换的性质
二、移位（移序）特性
单边、双边差别大！
双边z变换的移位： 若 f(k) ←→ F(z) , <z<，且对整数m>0，则 f(km) ←→ zmF(z), <z< 证明：Z[f(k+m)]=
其收敛域一般为F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。 例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z). 解： f(k)= kε(k)= ε(k)* ε(k-1)
1 z z z z z 1z 1 ( z 1 )2
6.2
z变换的性质
五、序列乘k（z域微分）
若 f(k) ←→F(z) , <z< 则 d kf ( k ) z F ( z ) , <z< d z 例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z). 解：
0 .5 z ze
j
j ze
0 .5 z
6.2
z变换的性质
四、卷积定理
若 f1(k) ←→F1(z) 1<z<1, f2(k) ←→ F2(z) 2<z<2 则 f1(k)*f2(k) ←→ F1(z)F2(z)
对单边z变换，要求 f1(k)、 f2(k)为因果 序列
解
z z F ( z ) F ( z ) F ( z ) y f z bz a
|b |
可见，其收敛域为a<z<b |a | o （显然要求a<b，否则无共 R e[ z ] 同收敛域) 序列的收敛域大致有一下几种情况： （1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面； （2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域； （3）对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域； （4）对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；
Z反变换
1 z 1 z 2 z 3 ) 4 16 64
进而得：x(n)
1
15
1
15
(4) n2 (1)n 4
, ,
n 1 n0
Z变换的基本性质和定理
1.线性
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx 则有： Z[ y(n)] Y (z), Ry z Ry
Z[ax(n) by(n)] aX (z) bY (z), max( Rx , Ry ) z min( Rx , Ry )
6. 翻褶序列
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx ，则
Z[x(n)] X (1) ; 1 z 1
z
Rx
Rx
证明： Z[x(n)] x(n)zn x(n)zn
n
n
x(n)(z1)n
n
X
(
1 z
)
，Rx
z 1
Rx ，
即 1 z 1
Rx
Rx
7. 初值定理
对于因果序列x(n)，则x(0) lim X (z)。 z
.. .
1+ —14 Z-1 +11—6 Z-2 + 6—14 Z -3...
Z- —1 ) Z 4 Z- —14
—14 —14 - —116 Z-1
—116 Z-1 —116 Z-1- —614 Z-2
—614 Z -2 —614 Z-2 - —215—6 Z-3
—215—6 Z-3
...
得X (z) 1 ( z 5 z 4 z 3 z 2 4z 15 64 16 4
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx ，则
Z[x*(n)] X *(z*) ，Rx z Rx ; 其中，x* (n)为x(n)的共轭序列。
离散时间信号与系统的复频域分析——z变换ppt
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6.6.1 数字滤波器的概念
与模拟滤波器相对应，在离散系统中 广泛应用数字滤波器。它的作用是利用离 散时间系统的特性对输入信号波形或频谱 加工处理。或者说，把输入的数字信号通 过一定的运算关系变成所需要的输出数字 信号。
数字滤波器一般可以用两种方法来实 现：一种方法是用数字硬件装配成一台专 门的设备，这种设备称为数字信号处理机； 另一种方法就是将所需要的运算编制成程 序利用计算机软件来实现。
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第6章 离散时间信号与系统的复 频域分析——z变换
6.1 z 变 换 的 定 义 6.2 常 用 序 列 的 z 变 换 6.3 z 变 换 的 性 质 6.4 逆 z 变 换 6.5 离散系统的z域分析 6.6 数 字 滤 波 器 6.7 用MATLAB进行z域分析
信号与系统Z变换
X1(z) (n m)zn zm n
z 0
X 2 (z) (n m)zn zm n
z
(3) x(n)=u(n)
X (z) u(n)zn
z
n
z 1
|z|>1
信号与系统（信息工程）
(4) x(n)= -u(-n-1)
X (z) [u(n 1)]zn
z
n
z 1
(5) x(n) anu(n)(a为实数.虚数.复数).
dz
由于n2x(n)=n［nx(n)］，得
Z[n2 x(n)]
z d
dz
z
d dz
X
( z )
信号与系统（信息工程）
例：已知x(n)=nu(n),求其Z变换及其收敛域。
解 ：u(n)的Z变换
U(z)
1 1 z1
,
z
1
由z域微分特性可知，
x(n) nu(n) X (z) z d U (z) dz
则
ZT
ax1(n) bx2 (n) aX1(z) bX 2 (z)
max
R , R x11
x21
z
min
R , R x12
x22
信号与系统（信息工程）
例 ：已知x(n)= u(n) – 3nu(-n-1)，求x(n)的双边Z变换X(z)及 其收敛域。
ZT
u(n)
z
|z|>1
z 1
n n1
显然其收敛域为0≤|z|＜∞，是包括零点的半开域，即除z=∞ 外都收敛。
(3)n1＞0,n2＞0时，有
n2
X (z) x(n)zn
n n1
显然其收敛域为0＜|z|≤∞，是包括z=∞的半开域，即除z=0 外都收敛。
信号与系统第六章(3) 逆Z变换
根据给定的F(z)及收敛域，不难求得F1(z)和F2(z),并分 别求得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)。根据线性性 质，将二者相加就得到F(z)所对应的原序列f(k)。
本节重点研究因果序列的象函数的逆z变换。
一、幂级数展开法
例6.3-1 已知象函数
z2) z2 z 2
1 ,0}
16 8 4 2
k 1
（3) F (z)的收敛域为 1 z 2故 f (为k)双边序列。
将 F(展z) 开为部分分式，有：
12
F(z)
z2
zz 3 3 , 1 z 2
(z 1)(z 2) z 1 z 2
因果序列象函数 反因果序列象函数
F1 ( z )
za
就可以求得展开式的原函数。
例6.3-3 已知象函数
z2 F(z)
(z 1)(z 2)
其收敛域分别为（1）z （2 2） z（ 13）1 z 2
分别求其原函数。 解 由象函数可见，其极点为 z1 1, 。z2 2 其展开式为
F(z)
z2
z
K1 K2
f2(k)
f1(k) (2k
3k ) (k 1) [2 ( 1 )k ] (k)
2
（2）F ( z )有共轭单极点
如果F (z) 有一对共轭单极点z1,2 c jd , 则可将 F (z) 展开为
z
F (z) Fa (z) Fb (z) K1 K2 Fb (z)
B(z)
z zA(z) z(zn am1zn1 a1z a0 ) ,m n 1
F (z) k1 k2 z-z1 z z2
本节重点研究因果序列的象函数的逆z变换。
一、幂级数展开法
例6.3-1 已知象函数
z2) z2 z 2
1 ,0}
16 8 4 2
k 1
（3) F (z)的收敛域为 1 z 2故 f (为k)双边序列。
将 F(展z) 开为部分分式，有：
12
F(z)
z2
zz 3 3 , 1 z 2
(z 1)(z 2) z 1 z 2
因果序列象函数 反因果序列象函数
F1 ( z )
za
就可以求得展开式的原函数。
例6.3-3 已知象函数
z2 F(z)
(z 1)(z 2)
其收敛域分别为（1）z （2 2） z（ 13）1 z 2
分别求其原函数。 解 由象函数可见，其极点为 z1 1, 。z2 2 其展开式为
F(z)
z2
z
K1 K2
f2(k)
f1(k) (2k
3k ) (k 1) [2 ( 1 )k ] (k)
2
（2）F ( z )有共轭单极点
如果F (z) 有一对共轭单极点z1,2 c jd , 则可将 F (z) 展开为
z
F (z) Fa (z) Fb (z) K1 K2 Fb (z)
B(z)
z zA(z) z(zn am1zn1 a1z a0 ) ,m n 1
F (z) k1 k2 z-z1 z z2
信号与系统 6.3 逆Z变换
第 7 页
思路：将F(z)展开为上式的形式，其系数即为f(k)
板书简单例题
第
二、部分分式展开法
B( z ) bm z m bm 1 z m 1 b1 z b0 F (z) A( z ) z n a n1 z n 1 a1 z a0
3 页
将 F ( z ) 展开为部分分式，然后再乘以Z；其方法与第五章中
§6.3 逆Z变换
一、幂级数展开法 二、部分分式展开法
西安邮电学院电子与信息工程系
一、幂级数展开法
F (z)
k
第 2 页
f (k )z k
2 1 2
f (2)z f (1)z f (0) f (1)z f (2)z
Z的幂级数 Z-1的幂级数
F(s)展开方法相同。
A(z)为F(z)的分母多项式，A(z)=0的n个根zi 为F(z)的极点。 根据极点的类型，F ( z ) 的展开有几种情况：
z
z
1）单极点 2）共轭单极点
3）重极点
第
1）F（z）有单极点
若F(z)的极点都是互不相同的实根，则： n Kn Ki F (z) K1 K2 z z z1 z z2 z z n i 1 z z i
(若A( z )实系数，则K 2 K 1 ) 将F(z)的极点和系数写成指数形式，则：
K 1 K e j K 2 K e j z1, 2 c jd e j K e j z K e j z Fa ( z ) j z e z e j 若 z ， f a ( k ) 2 K k cos( k ) ( k ) 若 z ， f a ( k ) 2 K k cos( k ) ( k 1)
Z变换及逆变换与-稳定性
数字信号处理课程设计课程名称数字信号处理题目名称Z变换与逆变换与稳定性专业班级电子信息（12）学生XX学号指导教师二○××年××月××日Z变换-反变换求系统响应与稳定性判断引言 (1)数字信号处理 (2)MATLAB (2)GUI (2)课题相关 (2)设计要求 (1)理论知识 (1)离散时间系统 (2)Z变换 (2)数字信号处理 (2)离散时间系统的频域分析 (2)系统函数 (6)因果性和稳定在Z域的描述 (6)系统函数的零极点位置 (6)MATLAB仿真 (1)M脚本涉与函数 (2)GUI控件介绍 (2)常用控件 (6)控件的公共属性 (6)程序实现 (1)稳定系统I (5)稳定系统II (5)非稳定系统 (5)致谢 (1)参考文献 (4)附录 (1)1 引言1.1 数字信号处理数字信号处理就是用数值计算的方式对信号进行加工的理论和技术，它的英文原名叫digital signal processing，简称DSP。
另外DSP也是digital signal processor的简称，即数字信号处理器，它是集成专用计算机的一种芯片，只有一枚硬币那么大。
有时人们也将DSP看作是一门应用技术，称为DSP技术与应用。
数字信号处理是将信号以数字方式表示并处理的理论和技术。
数字信号处理与模拟信号处理是信号处理的子集。
数字信号处理的目的是对真实世界的连续模拟信号进行测量或滤波。
因此在进行数字信号处理之前需要将信号从模拟域转换到数字域，这通常通过模数转换器实现。
而数字信号处理的输出经常也要变换到模拟域，这是通过数模转换器实现的。
1.2 MATLABMATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以与数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。
MATLAB是matrix&laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）。
信号分析第六章逆z变换
X a ( z) X b ( z) X ( z) 如果z p1是X ( z )的m重极点, z z z A1( m1) A1m A11 A12 X ( z) 1 Aj m m 1 2 z z p1 j 2 z p j ( z p1 ) ( z p1 ) ( z p1 ) A1( m1) z A1m z A11 z A12 z z X ( z) Aj m m 1 2 z p1 j 2 z p j ( z p1 ) ( z p1 ) ( z p1 )
n=m-1
1 d i 1 X ( z) A1i ( z p1 ) m (i 1)! d z i 1 z z p 1
n=1
n=o单极点
z
z k (k 1)( k 2) (k n 1) k n p1 (k ) n 1 n! ( z p1 )
z z
z a k (k ) 因果 za z a k (k 1) 反因果 za
X
例
z2 已知X ( z ) ， ROC : z 2, 求x k 。 ( z 1)( z 2)
第 9 页
X z 除以z
X z 将 展开为部分分式 z
X (z) z z ( z 1)( z 2) X z A B z z 1 z 2
第
11 页
H ( z)
K11 e z ( z e )
j 2
j1
j
K11 e
j1
z )
( z e
j 2
K12 e z z e
j1
j
j 2
K12 e
j 2
第三节逆Z变换
1 j2 1 j2 1 1 e Z e Z Z Z 2 2 2 2 所以：F ( Z ) 2 2 Z j 2 Z j2 ( Z j 2) ( Z j 2)
k 1) 即： f (k ) f1 (k ) f 2 (k ) f (k ) (k ) f (k ) ( f (k ) F ( Z ) Z [ f1 (k ) f 2 (k )] f (k ) Z k 双边序列： k 因果序列： f (k ) F ( Z ) Z [ f (k )] f (k ) Z 反因果序列： f (k ) F ( Z ) Z [ f (k )] f (k ) Z
式中各系数为：ki ( Z Z i ) Z Zi Z kn Z k1Z ...... 两边同时乘以Z得：F (Z ) k0 Z Z1 Z Zn 利用常用序列的Z变换：
1 (k ) Z , Z a a k (k ) Z a Z , Z a a k k 1 Z a
k 1 1 1 k 0
0 2 2 2 k
k
注：已知象函数求出原函数不仅要注意F(Z)的形式还要注意其收 敛域。
一、幂级数展开法
：
步骤为：先由F(Z)的收敛域确定原序列的形式（因果反因果或双 边），然后再利用长除法将F(Z)展为幂级数，取其系数即可得到 Z2 f(k). Z 2, Z 1,1 Z 2 F (Z ) , ( Z 1)(Z 2) 例1：已知 求收敛域为 的Z 变换。 解:(1)F(Z)的收敛域为︱ z︱>2时,该序列为因果序列，利用长除 Z 1 法展为 的幂级数时F(Z)为降幂级数。
具体作法如下： Z2 Z 2 Z2
f (k ) 1,1,3,5......
信号与系统 Z变换
jIm[z]
•当n1<0，绝对可和不成立 的最小z值|z1|=R2，则X(z) 收敛域为|z|<R2 •当n1>0时，剔除z=0点， 收敛域为0<|z|<R2
0
Z1
Re[z]
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
例：求左边序列x(n)= -bnu(-n-1)(b＜1)的Z变换。 解：由信号的Z变换的定义可知
n
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
单边Z变换
当0≤n≤∞时，得单边Z变换
X ( z ) x ( n) z
n 0
n
2、从离散时间序列直接定义
设x(n)为离散序列，x(n)={x(0)，x(1)，…， x(n) ，…}，则 x(n)的单边Z变换定义为：
X ( z ) Z xn x0z 0 x1z 1 x2z 2 ... x(n) z n
zb
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
j Im[ ] z
╳
b Re[z]
z b
收敛域零、极点分布
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
当n→±∞，序列x(n)均不为零时，称x(n)为双边序列， 它可以看作是一个左边序列和一个右边序列之和。对此 序列进行Z变换得到
X ( z ) Z xn
a n z n (az 1 )n
n 0 n 0
2 1 az 1 (az 1)
j Im[ ] z
a Re[z]
1 z X ( z) 1 1 az za
(z a)
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
x(n) n n1 x(n) n n1 0
•当n1<0，绝对可和不成立 的最小z值|z1|=R2，则X(z) 收敛域为|z|<R2 •当n1>0时，剔除z=0点， 收敛域为0<|z|<R2
0
Z1
Re[z]
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
例：求左边序列x(n)= -bnu(-n-1)(b＜1)的Z变换。 解：由信号的Z变换的定义可知
n
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
单边Z变换
当0≤n≤∞时，得单边Z变换
X ( z ) x ( n) z
n 0
n
2、从离散时间序列直接定义
设x(n)为离散序列，x(n)={x(0)，x(1)，…， x(n) ，…}，则 x(n)的单边Z变换定义为：
X ( z ) Z xn x0z 0 x1z 1 x2z 2 ... x(n) z n
zb
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
j Im[ ] z
╳
b Re[z]
z b
收敛域零、极点分布
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
当n→±∞，序列x(n)均不为零时，称x(n)为双边序列， 它可以看作是一个左边序列和一个右边序列之和。对此 序列进行Z变换得到
X ( z ) Z xn
a n z n (az 1 )n
n 0 n 0
2 1 az 1 (az 1)
j Im[ ] z
a Re[z]
1 z X ( z) 1 1 az za
(z a)
信号与系统（信息工程）
第六章 Z变换
x(n) n n1 x(n) n n1 0
信号与系统第六章Z变换
差分方程的稳定性分析
01
稳定性定义
02
稳定性判据
如果一个离散时间系统在输入信号的 作用下，其输出信号不会无限增长， 则称该系统是稳定的。
对于差分方程，可以通过判断其极点 位置和类型来分析系统的稳定性。如 果所有极点都位于复平面的左半部分 ，则系统是稳定的；否则，系统是不 稳定的。
03
稳定性分析的意义
反转性质在通信和控制系统设计中非常有用，因为它允 许我们通过改变信号的方向来改变系统的性能。
卷积性质
卷积性质描述了z变换的卷积特性。如 果两个信号在时间上相乘，那么它们 的z变换就是它们的卷积。
卷积性质在信号处理中非常重要，因 为它允许我们通过将两个信号相乘来 得到一个新的信号。
复共轭性质
复共轭性质描述了z变换的复共轭特性。如果一个信号是实数，那么其z变换就是其复共轭的离散化表 示。
信号与系统第六章z 变换
目录
CONTENTS
• 引言 • z变换的收敛域 • z变换的性质和应用 • z变换与离散时间系统 • z变换与差分方程 • z变换与信号处理
01
引言
背景介绍
ห้องสมุดไป่ตู้
信号与系统是通信、电子、控制等领 域的重要基础课程，其中第六章z变换 是信号与系统中的重要章节之一。
z变换是离散时间信号处理中的一种数 学工具，用于分析离散时间信号和系 统的性质和行为。
离散信号的z变换
离散信号的z变换是将离散时间序列通过z变 换转换为复数序列，用于分析离散时间系统 的特性。
系统的频率响应和极点零点分析
01
系统的频率响应
02
系统的极点和零点
03
系统稳定性分析
通过z变换分析系统的频率响应， 了解系统在不同频率下的性能表 现。
第六讲_数字信号处理-z逆变换
X(z) z 1 A1 (z-1) z z1 3z(z-1/3)
z 0
1
z 1
1
X(z) z 1 A2 (z-1/3) z z1/3 3z(z-1)
z 1
-2
x(n) A0 (n) A1 (d1 ) n A2 (d 2 ) n AN (d N ) n , n 0
z 1 2 z 2 3 z 3 4 z 4 z
所以 xn 0 , 1, 2 , 3, 4 ,
因为长除结果无常数项，则x0 0 。
例 2
z z X z 2 z 2z 1 1 2z z2
z 1
z 2z 2 3z 3 4z 4 1 2z z 2 z z 2z 2 z 3 2z 2 z 3 按升幂排列 2z 2 4z 3 2z 4 3z 3 2z 4 3z 3 6z 4 3z 5 别忘了n值为负， 4z 4 3z 5 排列顺序要颠倒！ 4z 4 8z 5 4z 6 5z 5 4z 6 所以 x n , 4, 3, 2, 1 n 1
1.8.4
逆z变换
•围线积分法——留数法
•幂级数展开法
•部分分式展开法
（三）部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
P( z ) a0 a1 z 1 a2 z 2 aM z M X ( z) Q( z ) 1 b1 z 1 b2 z 2 bN z N
d (M j) 1 M X ( z) Bj ( M j ) ( z zi ) ( M j )! dz Z A B C z zi 2
z 0
1
z 1
1
X(z) z 1 A2 (z-1/3) z z1/3 3z(z-1)
z 1
-2
x(n) A0 (n) A1 (d1 ) n A2 (d 2 ) n AN (d N ) n , n 0
z 1 2 z 2 3 z 3 4 z 4 z
所以 xn 0 , 1, 2 , 3, 4 ,
因为长除结果无常数项，则x0 0 。
例 2
z z X z 2 z 2z 1 1 2z z2
z 1
z 2z 2 3z 3 4z 4 1 2z z 2 z z 2z 2 z 3 2z 2 z 3 按升幂排列 2z 2 4z 3 2z 4 3z 3 2z 4 3z 3 6z 4 3z 5 别忘了n值为负， 4z 4 3z 5 排列顺序要颠倒！ 4z 4 8z 5 4z 6 5z 5 4z 6 所以 x n , 4, 3, 2, 1 n 1
1.8.4
逆z变换
•围线积分法——留数法
•幂级数展开法
•部分分式展开法
（三）部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
P( z ) a0 a1 z 1 a2 z 2 aM z M X ( z) Q( z ) 1 b1 z 1 b2 z 2 bN z N
d (M j) 1 M X ( z) Bj ( M j ) ( z zi ) ( M j )! dz Z A B C z zi 2
信号与系统-逆Z变换
在 z > R 的区域内收敛，因此C包围了X(z)的奇点。通常
X(z)zn-1是z的有理函数，其奇点都是孤立奇点（极点）。借 助留数定理，可将（8-26）式表示为围线C内所包含X(z)zn-1 的各极点留数之和，即
或简写为
∫ x(n) = 1 X (z)zn−1dz
2πj C
∑ [ ] = X (z)zn−1在 C内极点的留数
X(z) =
z2
(z − 1)( z − 0.5)
X ( z) = A1 + A2 z z − 0.5 z − 1
X(z) = 2z − z z − 1 z − 0.5
A1
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
0.5)⎥⎦⎤ z=0.5
=
−1
A2
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
1)⎥⎦⎤ z=1
=
2
x(n) = (2 − 0.5n )u(n)
这里 s = 2, j = 1,2
B1
=
1 ⎡d
(2
−
1)!
⎢ ⎣
d
z
(z − 1)2
1⎤
z
(z
−
1)2
⎥ ⎦
z=1
=
−1
B2
=
(z − 1)2
1
z(z − 1)2
z=1
=1
B3
=
z
1
z(z − 1)2
z=0
=1
37
信号与系统 生物医学工程学院 2011级
例
X(z) =
1 (z − 1)2
,
z
> 1,求x(n)。
X(z)zn-1是z的有理函数，其奇点都是孤立奇点（极点）。借 助留数定理，可将（8-26）式表示为围线C内所包含X(z)zn-1 的各极点留数之和，即
或简写为
∫ x(n) = 1 X (z)zn−1dz
2πj C
∑ [ ] = X (z)zn−1在 C内极点的留数
X(z) =
z2
(z − 1)( z − 0.5)
X ( z) = A1 + A2 z z − 0.5 z − 1
X(z) = 2z − z z − 1 z − 0.5
A1
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
0.5)⎥⎦⎤ z=0.5
=
−1
A2
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
1)⎥⎦⎤ z=1
=
2
x(n) = (2 − 0.5n )u(n)
这里 s = 2, j = 1,2
B1
=
1 ⎡d
(2
−
1)!
⎢ ⎣
d
z
(z − 1)2
1⎤
z
(z
−
1)2
⎥ ⎦
z=1
=
−1
B2
=
(z − 1)2
1
z(z − 1)2
z=1
=1
B3
=
z
1
z(z − 1)2
z=0
=1
37
信号与系统 生物医学工程学院 2011级
例
X(z) =
1 (z − 1)2
,
z
> 1,求x(n)。
信号与系统-第6章
z3 2z2 1
zz 1z 0.5
,
z 1, 求 f(n).
解:
Fz
z
z3 2z2 1
z2z 1z 0.5
A1 z2
A2 z
A3 z 1
z
A4 0.5
其中
A2
ddzz2
Fz
z
z0
3z2 4z z1z0.5 z3 2z2 1z0.5z1
z12z0.52
z0 6
所以
Fz
6
2 z
8z z 1
σ>0
r>1,θ任意
② s 平面上的实轴映射为 z 平面的正实轴.
jω
Im[z]
1
σ
Re[z]
ω=0, s=σ θ=0, r任意
8
6.2 z 变换的基本性质
1. 线性 a1 f1n a2 f2 n a1F1z a2F2 z
例6-5：求 cos0nUn和 sin0nUn的 z 变换.
解: 欧拉公式 由指数变换:
① z 变换函数在收敛域内是解析函数, 且无任何极点.
② 有限长序列 z 变换的ROC为整个平面, 可能不包括 0 或∞.
③ 因果序列 z 变换的ROC为极点半径圆外.
④ 非因果序列 z 变换的ROC为极点半1 径2圆内.
⑤ 双边序列 z 变换的ROC为极点半径圆环内.
6
3. 常用信号的 z 变换
24
例6-15：已知 yn2yn1 f n
(1) 求H(z) 和 h(n), 并说明因果性与稳定性;
(2) 求因果系统 f(n)=U(n+1)时的零状态响应.
n
n0
由等比级数, 当 az1 1, 即 z a 时才收敛.
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z (z a)3
2z (z a)3
▲
■
第9页
例：已知象函数 F(z) z3 z 2 ，z>1 的原函数。
(z 1)3
解: F(z) z 2 z K11 K12 K13
z (z 1)3 (z 1)3 (z 1)2 z 1
K11 (z 1)3
F(z) z
z1 2
K12
d dz
( z
，|z| > ，|z| <
可见，因果序列和反因果序列的象函数分别是z-1和z 的幂级数。其系数就是相应的序列值。
例：已知象函数
z2
z2
F(z)
(z 1)(z 2) z 2 z 2
其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。 （1） |z| > 2 (2) |z|< 1 (3) 1< |z| < 2
1) 3
F(z) z
z 1
3
K13
1 2
d2 d z2
(z
1) 3
F(z) z
z 1
1
F(z) 2z 3z z (z 1)3 (z 1)2 z 1
f(k)=[k(k-1)+3k+1](k)
▲
■
第 10 页
z e j
若z> , f(k)=2K1kcos(k+)(k) 若z< , f(k)= –2K1kcos(k+)(– k – 1)
▲
■
第8页
(3) F(z)有重极点
F(z)展开式中含
(z
z a)r
项(r>1)，则逆变换为
若z> ,对应原序列为 k(k 1).....(k r 2) ak r1 (k)
就可求得 的原函数。 F(z)
K0
n i1
Ki z z zi
za
▲
■
第5页
z2
例1：已知象函数
F(z) (z 1)(z 2)
其收敛域分别为：（1）z>2 (2) z<1 (3) 1<z<2
求其逆Z变换。
12
解： 部分分式展开为
F(z)
z
3 3
z (z 1)(z 2) z 1 z 2
z2/( –2 – z +z2)= 1 z 2 1 z3 3 z 4 5 z5
2 4 8 16
f
(k
)
,
5 16
,
3 8
,
1 4
,
1 2
,
0
k 1
▲
■
第3页
(3) F(z)的收敛域为1<z<2，其原序列f(k)为双边序列。 将F(z)展开为部分分式，有
1z 2z F(z) 3 3
F (z) z
可展开为：
F(z)
K0
n i1
Ki z z zi
F(z) z
K0 z
K1 z z1
....
Kn z zn
根据给定的收敛域，将上式划分为F1(z)(z>)和
F2(z)(z<)两部分，根据已知的变换对，如
(k)←→1
ak (k) z , | z || a |
za
ak (k 1) z , | z || a |
§6.3 逆z变换
求逆z变换的常用方法有：幂级数展开法、部分分式展 开法等。
一般而言，双边序列f(k)可分解为因果序列f1(k)和反 因果序列f2(k)两部分，即
f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k)(–k – 1) + f(k) (k)
相应地，其z变换也分两部分 F(z) = F2(z) + F1(z)， < |z| <
F(z) 1 z 2 z
3 z 1 3 z 2
(1)当z>2，故f(k)为因果序列 f (k) [1 (1)k 2 (2)k ] (k)
(2) 当z<1，故f(k)为反因果序列
3
3
(3)当1<z<2，
f (k) [ 1 (1)k 2 (2)k ] (k 1)
3
f (k) 1 (1)k (k) 2 (2)k (k 1)
z 1 z 2
第一项属于因果序列的项函数F1(z)，第二项属于反因
果序列的象函数F2(z)，
1
z
F1 (z)
3 z 1
，z >1
2z
F2 (z)
3 z
2
，z< 2
即将它们分别展开为z-1及z的幂级数，有
F1 (z)
1 3
1 3
z 1
1 3
z 2
1 3
z 3
F2 (z)
1 12
z3
1 6
z2
1 3
z
↑ f
(k)
,
1 12
,
1 6
,
1 3
,
1 3
,
1 3
,
1 3
,
1 3
,
k 0
难以写成闭合形式。
▲
■
第4页
二、部分分式展开（真分式）
F (z) B(z) bm z m bm1z m1 ..... b1z b0 A(z) z n an1z n1 ..... a1z a0
（1）F(z)均为单极点，且不为0
3
3
▲
■
第6页
例2：求象函数
z(z3 4z2 9 z 1)
F(z)
2z
(z 1)(z 1)(z 2)(z 3)
的逆z变换。 2
,1<z<2
解: F(z) z 2z z z
z 1 z 1 z 2 z 3 2
由收敛域可知，上式前两项的收敛域满足z>1，后两 项满足z<2。
(r 1)!
以z>为例： 当r=2时，为 kak-1(k)；当r=3时，为
1 k(k 1)a k2 (k)
2
可这样推导记忆： Z[ak(k)]= z
za
两边对a求导得 Z[kak-1(k)]=
z (z a)2
再对a求导得Z[k(k-1)ak-2(k)]=
故Z[0.5k(k-1)ak-2(k)]=
▲
■
第2页
解:
（1） 由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外，故f(k) 为因果序列。用长除法将F(z)展开为z-1的幂级数：
z2/(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + …
f(k)={1，1，3，5，…} ↑k=0
（2） 由于F(z)的收敛域为z<1，故f(k)为反因果序 列。用长除法将F(z)（按升幂排列）展开为z的幂级数:
已知象函数F(z)及其收敛域不难由F(z)求得F1(z)和 F2(z)，并分别求得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)，将 两者相加得原序列f(k)。
■
第1页
一、幂级数展开法
F1(z)= Z[f(k)(k)]=
f (k)zk
k 0
1
F2(z)=Z[f(k)(–k –1)]= f (k)z k k
f (k) (1)k (k) 2 (k) (2)k (k 1) (3)k (k 1)
2
▲
■
第7页
(2) F(z)有共轭单极点
如z1,2=cjd=ej, 则
F (z) K1 K1* z z c jd z c jd
令K1=K1ej
F(z)
K1 e j z
z e j
K1 e j z