三角函数和三角形

作业三角函数和三角形
1．在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 没有公共点，则三角形1PBB 面积的最小值为（ ） A ．1
B ．
12
C ．
22
D ．
24
2．已知,0,22m R ππ
αβπ-≤≤≤≤∈,如果有3
3
sin 0,cos 02m m πααββ⎛⎫++=-++= ⎪⎝⎭
,则cos()αβ+的值为
（ ） A ．1-
B ．0
C ．0.5
D ．1
3．在锐角三角形ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若2a =，且()()cos sin 2sin 22
A B C C π
π⎛⎫
-+-=- ⎪⎝
⎭
，则c 的取值范围为（ ）
A ．25,25⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
B ．2,23⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．2523,53⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
D ．223,33⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
4．已知对任意的()),0(0,x ∈-∞+∞,[]1,1y ∈-,不等式22
2168210x xy y a x x
+
----≥恒成立,则实数a 的取值范围为_________.
5．函数()(21)sin(21)f x x x =-+-的图像的一个对称中心的坐标是________.(只需要写出一个对称中心的坐标) 6．在ABC 中，若sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，则角A 的值为________，当sin 22sin 2B C +取得最大值时，tan 2B 的值为________.
7．如图，在四边形ABCD 中，AD BD ⊥,AC 平分BAD ∠,23BC =，
36BD =+,BCD ∆的面积为3(23)
S +=
，ABC ∠为锐角.
（Ⅰ）求CD ；（Ⅰ）求ABC ∠ .
参考答案
1．D 由题意E ,F ,G 分别是棱AB ,BC ,1CC 的中点,补全截面EFG 为EFGHQR ,如下图所示: 因为直线1D P 与平面EFG 没有公共点
所以1D P ∥平面EFG ,即1D P ∥平面EFGHQR ,平面EFG ∥平面EFGHQR 此时P 位于底面对角线AC 上,且当P 与底面中心O 重合时,BP 取得最小值 此时三角形1PBB 的面积最小111122
12224
PBB S OB BB ∆=
⨯⨯=⨯⨯=
故选:D 2．B 构造函数()3
sin f x x x =+，在2
2
x π
π
-
≤≤
上为奇函数且单调递增0,2
2
2
π
π
π
βπβ≤≤∴-
≤
-≤
变换3
3
sin ,sin 22m m ππααββ⎛⎫⎛⎫
+=--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即(),22f f ππαβαβ⎛⎫=-∴=- ⎪⎝⎭，即2παβ+=，
cos()0αβ+=
3．C 由题()sin sin 2sin 2A B C C +-=得()()sin sin 4sin cos B C B C C C ++-=⋅
2sin cos 4sin cos B C C C ⇒⋅=⋅,因为锐角三角形ABC ,故cos 0C ≠,所以sin 2sin B C =,即2b c =.
再考虑临界条件,当A 为直角时,222225
45a b c c c ==+=⇒=
当B 为直角时,222223
43a b c c c =-⇒=⇒=
故2523c ∈⎝⎭
，.故选：C 4．(,82]-∞- 设cos ,[0,]y θθπ=∈，21cos |sin |44
xy y x x x
θθ∴-+ 2216cos sin 4()x x x x
θθθϕ=+=++，22221616a x x x x ∴≤+-+2216
22t x x =+
222(1)1t t t -=--，当22t =时，22t t -取得最小值842-，842a ≤-a 的取值范围是(,82]-∞-.
5．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
(或任何一个形如1,,22k k k Z ππ⎛⎫
+∈
⎪⎝⎭的点) 设(),a b 为()f x 的图像的对称中心，则()()2f a x f a x b -++=对任意的x ∈R 恒成立， 所以()()()()21sin 2121sin 212a x a x a x a x b --+--++-++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 整理得到()422sin 21cos22a a x b -+-=对任意的x ∈R 恒成立，
故21,21a k k Z b a π-=⎧∈⎨=-⎩，即1,22k a k Z b k ππ⎧
=+⎪∈⎨⎪=⎩
，所求的对称中心为：1,,22k k k Z ππ⎛⎫
+∈
⎪⎝⎭， 故答案为：1
,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
(或任何一个形如1,,22k k k Z ππ⎛⎫
+∈
⎪⎝⎭
的点).
6．
4
π. 1
2-. 因为sin (sin cos )sin 0A B B C +-=即sin sin sin cos sin A B A B C +=
由诱导公式可知()sin sin sin cos sin A B A B A B +=+
根据正弦的和角公式展开可得sin sin sin cos sin cos sin cos A B A B A B B A +=+ 在三角形中sin 0B ≠ 所以sin cos A A =即tan 1A = 而0A π<<所以4
A π
=
当4
A π
=
时,34C A B B ππ=--=
- 由诱导公式,化简sin 22sin 2B C +=sin 22sin 234B B π⎛⎫
+
⎪⎝⎭
- 3=sin 222sin 2B B π-⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
=2sin 22cos B B -结合由辅助角公式可得
()22,tan s 2in 22cos B B B ϕϕ--==当22
B π
ϕ-=
时取得最大值,因而22
B π
ϕ=-
所以tan 222B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭由同角三角函数关系式及诱导公式,化简可得sin 22tan 222cos 22B B B πππ⎛
⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-=
= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝
⎭ 即
cos 22sin 2B B -=同取倒数可得1tan 22B -=所以1
tan 22B =-故答案为: 4π;12
-
7．(I)3. (II) 45ABC ∠=︒ . 试题解析:(I)在ABC ∆
中，3
1sin 2
2
S BD BC BCD =
=⋅⋅∠.
因为3BC BD ==+，所以1
sin 2
CBD ∠=
.因为ABC ∠为锐角，所以30CBD ∠=︒. 在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅⋅∠
(
(
2
2
323=+-⋅ 9= 所以CD 的长为3.
(II)在BCD ∆中，由正弦定理得
sin sin BC CD BDC CBD =∠∠
3sin30=
︒
，解得sin BDC ∠= BC BD < ,BDC ∴∠ 也为锐角
.cos BDC ∴∠=
. 在ACD ∆ 中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC CAD =∠∠
即
3cos sin AC BDC CAD =∠∠ Ⅰ 在ABC ∆ 中，由正弦定理得sin sin AC BC
ABC BAC
=∠∠
即
sin AC ABC =
∠ Ⅰ AC 平分BAD ∠ ，∴ CAD BAC ∠=∠
由ⅠⅠ
得
sin cos ABC BDC ∠=∠
，解得sin 2
ABC ∠= ，因为ABC ∠为锐角，所以45ABC ∠=︒ .。