中考数学专题复习二次函数的综合题及详细答案

x
2
y=
23 3
x+
23 3
3
，解得
x=-2
y=2
3
x=1 或 y=0 ，
∴ A（-2， 2 3 ），B（1,0）；
（2）如图 1，过 A 作 AD⊥y 轴于点 D，
在 y 2 3 x2 4 3 x 2 3 中，令 y=0 可求得 x= -3 或 x=1，
3
3
∴ C（-3,0），且 A（-2， 2 3 ），
（3）E（-1，- 4 3 ）、F（0， 2 3 ）或 E（-1， - 4 3 ），F（-4， 10 3 ）
3
3
3
3
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的 a 即可；（2）过 A 作 AD⊥y 轴于点
D，则可知 AN=AC，结合 A 点坐标，则可求出 ON 的长，可求出 N 点的坐标；（3）分别讨
（3）当点 E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点 F，使
得以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 E、F 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】（1） y= 2 3 x+ 2 3 ；（-2， 2 3 ）；（1,0）；
3
3
（2）N 点的坐标为（0， 2 3-3 ），（0， 2 3+3 ）；
3．如图，已知 A（﹣2，0），B（4，0），抛物线 y=ax2+bx﹣1 过 A、B 两点，并与过 A 点
的直线 y=﹣ 1 x﹣1 交于点 C． 2
（1）求抛物线解析式及对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使四边形 ACPO 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点 M 为 y 轴右侧抛物线上一点，过点 M 作直线 AC 的垂线，垂足为 N．问：是否存 在这样的点 N，使以点 M、N、C 为顶点的三角形与△ AOC 相似，若存在，求出点 N 的坐 标，若不存在，请说明理由．
9a 3b 3 0
{
，
a b3 0
a 1 解得：{
b2
∴ 抛物线的解析式：y=-x2+2x+3； (2) 如图 1，
∵ P 点的横坐标为 t 且 PQ 垂直于 x 轴 ∴ P 点的坐标为(t，－t+3)， Q 点的坐标为(t，－t2+2t+3). ∴ PQ=|(－t+3)－(－t2+2t+3)|="|" t2－3t |
∴ △ ACK≌ △ EFH，
∴ FH=CK=1，HE=AK= 2 3 ，
∵ 抛物线的对称轴为 x=-1， ∴ F 点的横坐标为 0 或-2， ∵ 点 F 在直线 AB 上，
∴ 当 F 点的横坐标为 0 时，则 F（0， 2 3 ），此时点 E 在直线 AB 下方， 3
∴ E 到 y 轴的距离为 EH-OF= 2 3 - 2 3 = 4 3 ，即 E 的纵坐标为- 4 3 ，
∴ x= -4，y= 2 3 -t，
2 3 -t=- 2 3 ×（-4）+ 2 3 ，解得 t= - 4 3 ，
3
3
3
∴ E（-1， - 4 3 ），F（-4， 10 3 ）；
3
3
综上可知存在满足条件的点 F，此时 E（-1，- 4 3 ）、（0， 2 3 ）或 E（-1，
3
3
- 4 3 ），F（-4， 10 3 ）
3
3
【点睛】 本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本 题的关键，属于压轴题
2．如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线 y=﹣x+n 与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点，抛物线 y=ax2+bx+3(a≠0)过 C、B 两点，交 x 轴于另一点 A，连接 AC，且 tan∠ CAO=3． (1)求抛物线的解析式； (2)若点 P 是射线 CB 上一点，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 H，交抛物线于 Q，设 P 点横坐 标为 t，线段 PQ 的长为 d，求出 d 与 t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量 t 的取值 范围； (3)在(2)的条件下，当点 P 在线段 BC 上时，设 PH=e，已知 d，e 是以 y 为未知数的一元二
33
3
∴ E（-1，- 4 3 ）； 3
当 F 点的横坐标为-2 时，则 F 与 A 重合，不合题意，舍去； ②当 AC 为平行四边形的对角线时，
∵ C（-3,0），且 A（-2， 2 3 ）， ∴ 线段 AC 的中点坐标为（-2.5， 3 ），
设 E（-1，t），F（x，y），
则 x-1=2×（-2.5），y+t= 2 3 ，
d t2 3t(0 t 3)
∴{
；
d t2 3t(t 3)
∵ d，e 是 y2－(m+3)y+ 1 (5m2－2m+13)=0（m 为常数）的两个实数根， 4
∴ △ ≥0，即△ =(m+3)2－4× 1 (5m2－2m+13)≥0 4
整理得：△ = －4(m－1)2≥0，∵ －4(m－1)2≤0， ∴ △ =0，m=1， ∴ PQ 与 PH 是 y2－4y+4=0 的两个实数根，解得 y1=y2=2 ∴ PQ=PH=2，∴ －t+3=2，∴ t="1," ∴ 此时 Q 是抛物线的顶点， 延长 MP 至 L，使 LP=MP，连接 LQ、LH，如图 2，
论当 AC 为平行四边形的边时，当 AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的 E、F 坐
标即可
【详解】
（1）∵ y 2 3 x2 4 3 x 2 3 ，a= 2 3 ，则抛物线的“衍生直线”的解析式为
3
3
3
y= 2 3 x+ 2 3 ；
3
3
联立两解析式求交点
y
23 3
x2
43 3
次方程：y2－(m+3)y+ 1 (5m2－2m+13)="0" (m 为常数)的两个实数根，点 M 在抛物线上，连 4
接 MQ、MH、PM，且．MP 平分∠ QMH，求出 t 值及点 M 的坐标．
d t2 3t(0 t 3)
【答案】(1)
y=-x2+2x+3；(2) { d
t2
3t(t
3)
ຫໍສະໝຸດ Baidu可以求出结论．
【详解】
（1）当 x=0，则 y=-x+n=0+n=n，y=ax2+bx+3=3，
∴ OC=3=n．
当 y=0， ∴ -x+3=0，x=3=OB， ∴ B（3，0）．
在△ AOC 中，∠ AOC＝90°，tan∠ CAO= OC 3 3， OA OA
∴ OA=1， ∴ A（-1，0）． 将 A（-1，0），B（3，0）代入 y=ax2+bx+3， 得
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标系中，我们定义直线 y=ax-a 为抛物线 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，
a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在 y 轴上的三角形为其“衍生
三角形”．已知抛物线 y 2 3 x2 4 3 x 2 3 与其“衍生直线”交于 A、B 两点（点 A
∴ 取点 C（0，-1）关于直线 x=1 的对称点 C′（2，-1），连 C′O 与直线 x=1 的交点即为 P
点．
设过点 C′、O 直线解析式为：y=kx
∴ k=- 1 2
∴ y=- 1 x 2
则 P 点坐标为（1，- 1 ） 2
（3）当△ AOC∽ △ MNC 时， 如图，延长 MN 交 y 轴于点 D，过点 N 作 NE⊥y 轴于点 E
论；
（2）分两种情况讨论，当点 P 在线段 CB 上时，和如图 3 点 P 在射线 BN 上时，就有 P 点 的坐标为（t，-t+3），Q 点的坐标为（t，-t2+2t+3），就可以得出 d 与 t 之间的函数关系式
而得出结论；
（3）根据根的判别式就可以求出 m 的值，就可以求出方程的解而求得 PQ 和 PH 的值，延 长 MP 至 L，使 LP=MP，连接 LQ、LH，如图 2，延长 MP 至 L，使 LP=MP，连接 LQ、LH， 就可以得出四边形 LQMH 是平行四边形，进而得出四边形 LQMH 是菱形，由菱形的性质就
4．如图，菱形 ABCD 的边长为 20cm，∠ ABC＝120°，对角线 AC，BD 相交于点 O，动点 P 从点 A 出发，以 4cm/s 的速度，沿 A→B 的路线向点 B 运动；过点 P 作 PQ∥ BD，与 AC 相 交于点 Q，设运动时间为 t 秒，0＜t＜5．
（1）设四边形 PQCB 的面积为 S，求 S 与 t 的关系式； （2）若点 Q 关于 O 的对称点为 M，过点 P 且垂直于 AB 的直线 l 交菱形 ABCD 的边 AD （或 CD）于点 N，当 t 为何值时，点 P、M、N 在一直线上？ （3）直线 PN 与 AC 相交于 H 点，连接 PM，NM，是否存在某一时刻 t，使得直线 PN 平分 四边形 APMN 的面积？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
∴ N 点的坐标为（0， 2 3-3 ），（0， 2 3+3 ）；
（3）①当 AC 为平行四边形的边时，如图 2 ，过 F 作对称轴的垂线 FH，过 A 作 AK⊥x 轴 于点 K，则有 AC∥ EF 且 AC=EF， ∴ ∠ ACK=∠ EFH， 在△ ACK 和△ EFH 中
ACK=EFH AKC=EHF AC=EF
入抛物线解析式即可．
详解：（1）把 A（-2，0），B（4，0）代入抛物线 y=ax2+bx-1，得
0＝4a 2b 1 0＝16a 4b 1
解得
a＝
1 8
b＝
1 4
∴ 抛物线解析式为：y= 1 x2− 1 x−1 84
∴
抛物线对称轴为直线
x=-
b 2a
1 4
2 1
＝1
8
（2）存在
使四边形 ACPO 的周长最小，只需 PC+PO 最小
∴ AC= （-2+3）2 +（2 3）2 = 13
由翻折的性质可知 AN=AC= 13 ，
∵ △ AMN 为该抛物线的“衍生三角形”， ∴ N 在 y 轴上，且 AD=2， 在 Rt△ AND 中，由勾股定理可得
DN= AN2-AD2 = 13-4=3，
∵ OD= 2 3 ，
∴ ON= 2 3-3 或 ON= 2 3+3 ，
；（3）t=1，(1+ 2 ，2)和(1－ 2 ，
2). 【解析】
【分析】
（1）当 x=0 时代入抛物线 y=ax2+bx+3（a≠0）就可以求出 y=3 而得出 C 的坐标，就可以得 出直线的解析式，就可以求出 B 的坐标，在直角三角形 AOC 中，由三角形函数值就可以求
出 OA 的值，得出 A 的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结
【答案】（1）抛物线解析式为：y= 1 x2 1 x 1，抛物线对称轴为直线 x=1；（2）存在 P 84
点坐标为（1，﹣ 1 ）；（3）N 点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1） 2
【解析】 分析：（1）由待定系数法求解即可； （2）将四边形周长最小转化为 PC+PO 最小即可； （3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点 N 坐标，表示点 M 坐标代
∴ 点 D 坐标为（0，- 5 a−1） 2
∵ N 为 DM 中点
∴ 点 M 坐标为（2a， 3 a−1） 2
把 M 代入 y= 1 x2− 1 x−1，解得 84
a=4 则 N 点坐标为（4，-3） 当△ AOC∽ △ CNM 时，∠ CAO=∠ NCM ∴ CM∥ AB 则点 C 关于直线 x=1 的对称点 C′即为点 N 由（2）N（2，-1） ∴ N 点坐标为（4，-3）或（2，-1） 点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三 角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．
∵ LP=MP，PQ=PH，∴ 四边形 LQMH 是平行四边形， ∴ LH∥ QM，∴ ∠ 1=∠ 3，∵ ∠ 1=∠ 2，∴ ∠ 2=∠ 3， ∴ LH=MH，∴ 平行四边形 LQMH 是菱形， ∴ PM⊥QH，∴ 点 M 的纵坐标与 P 点纵坐标相同，都是 2，
∴ 在 y=－x2+2x+3 令 y=2，得 x2－2x－1=0，∴ x1=1+ 2 ，x2=1－ 2 综上：t 值为 1，M 点坐标为(1+ 2 ，2)和(1－ 2 ，2).
3
3
在点 B 的左侧），与 x 轴负半轴交于点 C．
（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为
，点 A 的坐标为
，点 B 的坐
标为
；
（2）如图，点 M 为线段 CB 上一动点，将△ ACM 以 AM 所在直线为对称轴翻折，点 C 的
对称点为 N，若△ AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点 N 的坐标；
∵ ∠ ACO=∠ NCD，∠ AOC=∠ CND=90° ∴ ∠ CDN=∠ CAO 由相似，∠ CAO=∠ CMN
∴ ∠ CDN=∠ CMN ∵ MN⊥AC ∴ M、D 关于 AN 对称，则 N 为 DM 中点
设点 N 坐标为（a，- 1 a-1） 2
由△ EDN∽ △ OAC ∴ ED=2a