四川省岳池一中数学(人教A)选修2-2学案 数系的扩充与复数的概念

§3.1.1数系的扩充与复数的概念

学习目标 ：

1．了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.

2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.

3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．

学习重点：复数代数形式的表示方法，理解复数相等．

学习难点：复数代数形式的表示方法，理解复数相等．

课前预习案

教材助读：

阅读教材的内容，思考并完成下列问题：

1．复数的有关概念

(1)复数

①定义：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈______，i 叫做__________．a 叫做复数的______，b 叫做复数的______．

②表示方法：复数通常用字母____表示，即________．

(2)复数集

①定义：__________所构成的集合叫做复数集．

②表示：通常用大写字母____表示．

2．复数的分类及包含关系

(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R)⎩⎨⎧ 实数b ＝0虚数

b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0

(2)集合表示：

3．复数相等的充要条件

设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔__________.

一、新课导学：

探究点一 复数的概念

问题1：为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？

问题2：如何理解虚数单位i?

问题3：什么叫复数？怎样表示一个复数？

问题4：什么叫虚数？什么叫纯虚数？

探究点二 两个复数相等

问题1：两个复数能否比较大小？

问题2：两个复数相等的充要条件是什么？

二、合作探究

例 1 ：请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．

①2＋3i ；②－3＋12

i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.

例2 ：当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m

＋(m 2－2m )i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

例3：已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .

三、当堂检测 1. 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．

(1)实部为－2的虚数； (2)虚部为－2的虚数；

(3)虚部为－2的纯虚数； (4)实部为－2的纯虚数．

2．实数m 为何值时，复数z ＝m m ＋2m －1

＋(m 2＋2m －3)i 是 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

3．已知x 2－x －6x ＋1

＝(x 2－2x －3)i(x ∈R)，求x 的值．

四、课后反思

课后训练案

1. 已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是 ( )

A ．2，1

B ．2，5

C ．±2，5

D ．±2，1

2. 下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是

( ) A ．±1

B ．±i

C ．±2i

D ．±2i

3. 如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( )

A ．1

B ．0

C ．－1

D ．－1或1 4. 下列几个命题：

①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；

②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；

③1－a i(a ∈R)是一个复数；

④虚数的平方不小于0；

⑤－1的平方根只有一个，即为－i；

⑥i是方程x4－1＝0的一个根；

⑦2i是一个无理数．

其中正确命题的个数为() A．3个B．4个C．5个D．6个