四川省岳池一中数学(人教A)选修2-2学案 数系的扩充与复数的概念
人教版高中数学选修2-2 数的扩充和复数的概念 导学案
人教A 版高中数学选修2-2 第三章 数系的扩充与复数的引入3.1.1 数系的扩充和复数的概念学习目标：1. 通过实例,了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的用.2. 理解复数的基本概念.3. 了解复数的代数表示方法,理解复数相等的充要条件.重点：理解、掌握复数的基本概念和复数相等的充要条件.难点：复数的分类，复数、实数、虚数、纯虚数的关系，实数、虚数、纯虚数的判断.学习过程：【导】预习课本102页，思考并解决以下问题.问题1：课本102页思考.问题2：（1）引入虚数单位“i ”后，方程“012=+x ”的解是什么？（2）()-=22i i 1- . （3）课本是如何把实数系扩充到复数系的？【学】预习课本103页解决以下问题.1.我们把集合{}R b a bi a C ∈+=,中的数，即形如 ()R b a bi a ∈+, 的数叫做复数，其中i 叫做虚数 单位.全体复数所成的集合叫做 复数集 ，用大写字母 C 表示.2.复数通常用小写字母 z 表示，即()R b a bi a z ∈+=,，这一表示形式叫做复数的代数形式。
不做 说明时复数bi a z +=中的b a ,都为实数。
其中实部为 a ，虚部为 b .3.在复数集{}R b a bi a C ∈+=,中任取两个数bi a +，di c +（R d c b a ∈,,,）,规定： bi a +与di c +相等的充要条件是 c a = 且 d b = .4.思考：复数集C 和实数集R 之间有什么关系？（实数集是复数集的真子集，即 。
）5.对于复数bi a +，当且仅当 0=b 时，它是实数；当且仅当 0=a 且0=b 时，它是实数0； 当 0≠b 时，叫做虚数；当 0=a 且 0≠b 时，叫做纯虚数.【议】复数bi a z +=可以分类如下： （1）()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=时为纯虚数当且仅当虚数实数000复数z a b b （2）用韦恩图可表示为：（详见课本103页）【展、评】小组交流展示、展台展示，点评结果.【用】例1. 实数取什么值时，复数()i m m z 11-++=是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.【解析】（1）01=-m 即1=m 时为实数.（2）01≠-m 即1≠m 时为虚数.（3）01=+m 且01≠-m ，即1-=m 时为纯虚数.【议、练】（1）两个复数能否比较大小？为什么？【解析】当且仅当两个复数都为实数时可以比较大小，否则都不可以比较大小.（2）i )31(+的实部是 0 ，虚部是 31+ .（3）若a 为实数，则复数()i a a )1(12-++表示实数时a 1± .（4）计算：①4321i i i i ++++；②2019321i i i i +++++ .（5）课本104页“练习”1、2、3题.【结】整理总结本课时所学知识，小组讨论解决重、难点知识.。
2020-2021学年人教A版数学选修2-2学案：3.1.1 数系的扩充和复数的概念含解析
3．1数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念内 容 标 准学 科 素 养1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程；2.理解在数系的扩充中的实数集扩展到复数集出现的一些基本概念；3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.严格数学定义 适当转化化归 提升数学运算 [基础认识]知识点一复数的概念及代数表示 预习教材P 102－103，思考并完成以下问题为解决方程x 2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？提示：设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i ＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数．知识梳理 (1)复数①定义：把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i.(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式．(2)复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母C 表示． 知识点二两个复数相等的充要条件知识梳理在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .知识点三复数的分类知识梳理 (1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：思考：虚数为什么不能比较大小？提示：引入虚数单位i后，规定i2＝－1，但i与0的大小关系不能确定．理由如下：若i＞0，则2i＞i，两边同乘i，得2i2＞i2，即－2＞－1，与实数系中数的大小规定相矛盾；若i＜0，则－2＜－1⇒－2i＞－i⇒－2i·i＜－i·i⇒2＜1，与实数系中数的大小规定也是矛盾的．故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分．[自我检测]1．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝()A．－1 B．1C．±1 D．不存在解析：(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0，所以a＝±1.答案：C2．已知2－a i＝b＋3i(a，b∈R)(i为虚数单位)，则a＋b＝()A．5 B．6C．1 D．－1解析：由题意得b＝2，a＝－3，所以a＋b＝－1.答案：D3．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是________．解析：a2＞2a＋3，解得a＞3或a＜－1.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)授课提示：对应学生用书第50页探究一复数的概念[例1](1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3(2)若a∈R，i为虚数单位，则“a＝1”是“复数(a－1)(a＋2)＋(a＋3)i为纯虚数”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分又不必要条件[解析](1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题．(2)当a ＝1时，复数(a －1)(a ＋2)＋(a ＋3)i ＝4i 为纯虚数，当复数(a －1)(a ＋2)＋(a ＋3)i 为纯虚数时，a ＝1或a ＝－2，所以选C.[答案] (1)B (2)C方法技巧(1)复数的代数形式：若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实数，b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b .(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分． (3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．跟踪探究 1.写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数：4,2－3i ，－12＋43i,5＋2i,6i.解析：4,2－3i ，－12＋43i,5＋2i,6i 的实部分别是4,2，－12，5,0；虚部分别是0，－3，43，2，6.其中4是实数；2－3i ，－12＋43i,5＋2i,6i 是虚数，其中6i 是纯虚数．探究二复数的分类[例2]当m 为何实数时，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数．[解析] (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≠0，m 2－2m －15≠0即m ≠5且m ≠－3时，z 是虚数． (2)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2－2m －15≠0，即m ＝3或m ＝－2时，z 是纯虚数．延伸探究1.本例中条件不变，当m 为何值时，z 为实数？解析：当⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≠0，m 2－2m －15＝0，即m ＝5时，z 是实数．2．本例中条件不变，若z ＞0，求m 的值.解析：因为z ＞0，所以z 为实数， 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＞0，m 2－2m －15＝0，解得m ＝5.方法技巧解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部． (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．(3)下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ①z 为实数⇔b ＝0； ②z 为虚数⇔b ≠0； ③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.跟踪探究2.记I 为虚数集，设a ，b ∈R ，x ，y ∈I ，则下列类比所得的结论正确的是( ) A ．由a ·b ∈R ，类比得x ·y ∈IB ．由(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，类比得(x ＋y )2＝x 2＋2xy ＋y 2C ．由a 2≥0，类比得x 2≥0D ．由a ＋b ＞0⇒a ＞－b ，类比得x ＋y ＞0⇒x ＞－y解析：A ：取x ＝y ＝i ，可知A 错误；B ：正确；C ：取x ＝i ，可知C 错误；D ：错误，虚数是不能比较大小的．答案：B 探究三复数相等[例3]已知集合P ＝{5，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，Q ＝{4i,5}，若P ∩Q ＝P ∪Q ，求实数m 的值．[解析]由题意知P ＝Q ，所以(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m＝2.方法技巧(1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不成立．(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．跟踪探究3.(1)若(x ＋y )＋y i ＝(x ＋1)i ，求实数x ，y 的值； (2)已知a 2＋(m ＋2i)a ＋2＋m i ＝0(m ∈R )成立，求实数a 的值； (3)若关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值．解析：(1)由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＝x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝12.(2)因为a ，m ∈R ，所以由a 2＋am ＋2＋(2a ＋m )i ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋am ＋2＝0，2a ＋m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，m ＝－22或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，m ＝22，所以a ＝±2.(3)设方程的实根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a2m －1＝(10－m －2m 2)i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或－715.授课提示：对应学生用书第51页[课后小结](1)对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况．(2)两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断．[素养培优]忽略复数的概念比较大小致误易错案例：已知复数x 2－1＋(y ＋1)i 大于复数2x ＋3＋(y 2－1)i ，试求实数x ，y 的取值范围． 易错分析：虚数不能比较大小，因此，若已知两个复数大小，则两复数必须是实数，忽略这一点很容易混淆概念致误．考查数学概念、数学运算等核心素养．自我纠正：因为x 2－1＋(y ＋1)i ＞2x ＋3＋(y 2－1)i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝0，y 2－1＝0，且x 2－1＞2x ＋3，解得y ＝－1且x ＜1－5或x ＞1＋5，即实数x ，y的取值范围是x ＜1－5或x ＞1＋5，y ＝－1.。
人教A版数学高二选修2-2学案 数系的扩充和复数的概念
3．1.1 数系的扩充和复数的概念预习课本P102～103，思考并完成下列问题(1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？(2)复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？[新知初探]1．复数的有关概念我们把集合C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．全体复数所成的集合C 叫做复数集．复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式． 对于复数z ＝a ＋b i ，以后不作特殊说明都有a ，b ∈R ，其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部．[点睛] 复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，其中0＝0＋0i. (2)复数的虚部是实数b 而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等在复数集C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .3．复数的分类对于复数a ＋b i ，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：复数z ⎩⎨⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).[点睛] 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a 为实数，则z ＝a 一定不是虚数．( )(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( ) A ．1，3 B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3 D ．0，(1＋3)i答案：C3．复数z ＝(m 2－1)＋(m －1)i(m ∈R)是纯虚数，则有( ) A ．m ＝±1 B ．m ＝－1 C ．m ＝1 D ．m ≠1答案：B复数的概念及分类[典例] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x满足⎩⎪⎨⎪⎧x2－x－6x＋3＝0，x2－2x－15≠0，x＋3≠0，即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋b i(a，b∈R)时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z＝a＋b i(a，b∈R)，则①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a ＝0，b≠0.④z＝0⇔a＝0，且b＝0.[活学活用]当m为何值时，复数z＝m2(1＋i)－m(3＋i)－6i，m∈R，是实数？是虚数？是纯虚数？解：∵z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i，∴(1)当m满足m2－m－6＝0，即m＝－2或m＝3时，z为实数．(2)当m满足m2－m－6≠0，即m≠－2且m≠3时，z为虚数．(3)当m满足⎩⎪⎨⎪⎧m2－3m＝0，m2－m－6≠0，即m＝0时，z为纯虚数.复数相等[典例]m的值为________，方程的实根x为________．[解析]设a是原方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i，所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0， 所以a ＝－12且⎝⎛⎭⎫－122－12＋3m ＝0， 所以m ＝112.[答案]112 －12[一题多变]1．[变条件]若将本例中的方程改为：x 2＋mx ＋2x i ＝－1－m i 如何求解？解：设实根为x 0，代入方程，由复数相等定义，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋mx 0＝－1，2x 0＝－m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，m ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，m ＝2，因此，当m ＝－2时，原方程的实根为x ＝1，当m ＝2时，原方程的实根为x ＝－1. 2．[变条件]若将本例中的方程改为：3x 2－m2x －1＝(10－x －2x 2)i ，如何求解？解：设方程实根为x 0，则原方程可变为3x 20－m 2x 0－1＝(10－x 0－2x 20)i ，由复数相等定义，得：⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－m 2x 0－1＝0，10－x 0－2x 20＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，m ＝11或⎩⎨⎧x 0＝－52，m ＝－715，因此，当m ＝11时，原方程的实根为x ＝2； 当m ＝－715时，原方程的实根为x ＝－52.复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．层级一 学业水平达标1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2iD.2＋2i解析：选A 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A. 2．4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4D ．0或－4解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.3．下列命题中：①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3；④若实数a 与a i 对应，则实数集与复数集一一对应．正确的命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A ①取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故①错； ②③错；对于④，a ＝0时，a i ＝0，④错，故选A.4．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R)为实数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ＜0且a ＝－b C ．a ＞0且a ≠bD ．a ≤0解析：选D 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，故a ≤0. 5．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( ) A.π4B.π4或54πC ．2k π＋π4(k ∈Z)D ．k π＋π4(k ∈Z)解析：选D 由复数相等定义得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4(k ∈Z)，故选D.6．下列命题中：①若a ∈R ，则a i 为纯虚数；②若a ，b ∈R ，且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；③两个虚数不能比较大小；④x ＋y i 的实部、虚部分别为x ，y .其中正确命题的序号是________．解析：①当a ＝0时，0i ＝0，故①不正确；②虚数不能比较大小，故②不正确；③正确；④x ＋y i 中未标注x ，y ∈R ，故若x ，y 为复数，则x ＋y i 的实部、虚部未必是x ，y .答案：③7．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞1则实数m 的值为______．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2－1＞1，解得m ＝2.答案：28．已知z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________.解析：由复数相等的充要条件有⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－3m －1＝－3，n 2－m －6＝－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝±2. 答案：2 ±29．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋log 2(3－m )i ，m ∈R ，如果z 是纯虚数，求m 的值．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3＞0，3－m ＞0，log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(3－m )≠0，解得m ＝－1.10．求适合等式(2x －1)＋i ＝y ＋(y －3)i 的x ，y 的值．其中x ∈R ，y 是纯虚数． 解：设y ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，代入等式得(2x －1)＋i ＝b i ＋(b i －3)i ， 即(2x －1)＋i ＝－b ＋(b －3)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－b ，1＝b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，b ＝4.即x ＝－32，y ＝4i.层级二 应试能力达标1．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R)不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1D ．a ≠2解析：选C 若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i 不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故应选C.2．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的值为( )A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6解析：选B 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，∴m ＝－1.3．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R)有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i解析：选B 由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1.∴z ＝3－i ，故应选B.4．若复数z 1＝sin 2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(θ∈R)，z 1＝z 2，则θ等于( ) A ．k π(k ∈Z) B ．2k π＋π3(k ∈Z)C ．2k π±π6(k ∈Z)D ．2k π＋π6(k ∈Z)解析：选D 由复数相等的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ.∴cos θ＝32，sin θ＝12.∴θ＝π6＋2kπ，k∈Z，故选D.5．已知z1＝(－4a＋1)＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R.若z1＞z2，则a的取值集合为________．解析：∵z1＞z2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a2＋3a＝0，a2＋a＝0，－4a＋1＞2a，∴a＝0，故所求a的取值集合为{0}．答案：{0}6．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则x＝________，y＝________.解析：(x－i)i＝x i＋1＝y＋2i，则x＝2，且y＝1.答案：2 17．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪acbd＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x＋2y－yi1，求实数x，y的值．解：由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪acbd＝ad－bc，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x＋2y－yi1＝3x＋2y＋y i，故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋y i.因为x，y为实数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝3x＋2y，x＋3＝y，得⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y＝0，x＋3＝y，得x＝－1，y＝2.8．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N⊆M，求实数a，b的值．解：依题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①或8＝(a2－1)＋(b＋2)i.②由①，得a＝－3，b＝±2，由②，得a＝±3，b＝－2.综上，a＝－3，b＝2，或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2.。
人教版数学高二A版选修2-2学案 第三章 数系的扩充与复数的引入 章末复习
章末复习 学习目标 1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＋d ＝0(a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．(5)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i ←―――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←―――――→一一对应平面向量OZ →.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．1．复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × )2．原点是实轴与虚轴的交点．( √ )3．方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( × )类型一 复数的概念例1 已知复数z ＝a 2－a －6＋a 2＋2a －15a 2－4i ，分别求出满足下列条件的实数a 的值： (1)z 是实数；(2)z 是虚数；(3)z 是0.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数解 由a 2－a －6＝0，解得a ＝－2或a ＝3.由a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.由a 2－4≠0，解得a ≠±2.(1)由a 2＋2a －15＝0且a 2－4≠0，得a ＝－5或a ＝3，∴当a ＝－5或a ＝3时，z 为实数．(2)由a 2＋2a －15≠0且a 2－4≠0，得a ≠－5且a ≠3且a ≠±2，∴当a ≠－5且a ≠3且a ≠±2时，z 是虚数．(3)由a 2－a －6＝0且a 2＋2a －15＝0，得a ＝3，∴当a ＝3时，z ＝0.引申探究例1中条件不变，若z 为纯虚数，是否存在这样的实数a ，若存在，求出a ，若不存在，请说明理由．解 由a 2－a －6＝0且a 2＋2a －15≠0，且a 2－4≠0，得a 无解，∴不存在实数a ，使z 为纯虚数．反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．跟踪训练1 复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时：(1)z ∈R ；(2)z 为虚数． 考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数解 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，log 2(x －3)＝0，x －3>0， 解得x ＝4，所以当x ＝4时，z ∈R .(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x －3>0，log 2(x －3)≠0，x －3>0，解得x >3＋212且x ≠4. 所以当x >3＋212且x ≠4时，z 为虚数． 类型二 复数的四则运算例2 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 018＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i； (2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模． 考点 复数四则运算的综合运用题点 复数的混合运算解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 009＋(4－8i ＋8i －4)(4－8i ＋4－8i )11－7i＝i ＋(－i)1 009＋0＝0. (2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ，∴z ＋1的模为 2. 反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．(2)虚数单位i 的周期性①i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)；②i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．跟踪训练2 (1)已知z 1＋i ＝2＋i ，则复数z 等于( ) A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 B解析 ∵z1＋i＝2＋i ，∴z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i. (2)已知z 是复数，z －3i 为实数，z －5i 2－i为纯虚数(i 为虚数单位)． ①求复数z ；②求z 1－i的模． 考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解解 ①设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴由z －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，可得b ＝3.又∵a －2i 2－i＝2a ＋2＋(a －4)i 5为纯虚数， ∴a ＝－1，即z ＝－1＋3i.②z 1－i ＝－1＋3i 1－i ＝(－1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＝－2＋i ， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1－i ＝|－2＋i|＝(－2)2＋12＝ 5. 类型三 数形结合思想的应用例3 已知复平面内点A ，B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设AB →对应的复数为z .(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值． 考点 分类讨论思想与数形结合思想在复数中的应用题点 数形结合思想的应用解 (1)由题意得z ＝z 2－z 1＝－cos 2θ－sin 2θ＋(cos 2θ－1)i ＝－1＋(－2sin 2θ)i.(2)由(1)知，点P 的坐标为(－1，－2sin 2θ)．由点P 在直线y ＝12x 上，得－2sin 2θ＝－12， ∴sin 2θ＝14，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0， 因此sin θ＝12，∴θ＝π6或θ＝5π6. 反思与感悟 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论．跟踪训练3 在复平面内，设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数2z＋z 2对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系答案 A解析 ∵2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i)2 ＝21＋i ＋2i ＝(1－i)＋2i ＝1＋i ， ∴复数2z＋z 2对应点的坐标为(1,1)，故在第一象限．1．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( ) A ．1 B.2 C. 3D ．2考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 B解析 由已知得x ＋x i ＝1＋y i ，根据两复数相等的条件可得x ＝y ＝1，所以|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 2.2．若z ＝1＋2i ，则4i z z －1等于( ) A ．1B ．－1C ．iD ．－i 考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算答案 C解析 4i z z －1＝4i 12＋22－1＝i. 3．复数z ＝2＋a i 1＋i(a ∈R )在复平面内对应的点在虚轴上，则a 等于( ) A ．2B ．－1C ．1D ．－2考点 乘除法的运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 D解析 z ＝2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(2＋a )＋(a －2)i 2在复平面内对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a 2，a －22且在虚轴上，所以2＋a ＝0，即a ＝－2.4．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若 z ·z i ＋2＝2z ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解答案 A解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，所以z ·z i ＋2＝2z ，即2＋(a 2＋b 2)i ＝2a ＋2b i ，根据复数相等的充要条件得2＝2a ，a 2＋b 2＝2b ，解得a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i.5．若复数z 满足|z |－z ＝101－2i，则z ＝________. 考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解答案 3＋4i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z ＝a －b i ，∵|z |－z ＝101－2i，∴|z |－z ＝2＋4i ， 则a 2＋b 2－a ＋b i ＝2＋4i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－a ＝2，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4，∴z ＝3＋4i.1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化．2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题.一、选择题1．i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈SD.2i∈S 考点 虚数单位i 及其性质题点 虚数单位i 的运算性质答案 B 2．已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m ＋i ＝1＋n i ，则m ＋n i m －n i等于( ) A ．－1B ．1C ．－iD ．i 考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则答案 D解析 由m ＋i ＝1＋n i(m ，n ∈R )，得m ＝1且n ＝1.则m ＋n i m －n i ＝1＋i 1－i＝(1＋i )22＝i. 3．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a 等于( ) A. 3B ．2 C. 2D ．1 考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 A解析 ∵a ＋i i＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝1＋a 2＝2， 解得a ＝3或a ＝－3(舍)．4．已知z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，i 为虚数单位，且两复数的乘积z 1z 2的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为( )A ．－43B.43 C ．－34D.34考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 D解析 因为z 1z 2＝(1＋2i)[m ＋(m －1)i ]＝[m －2(m －1)]＋[2m ＋(m －1)]i＝(2－m )＋(3m －1)i ，所以2－m ＝3m －1，即m ＝34. 经检验，m ＝34能使2－m ＝3m －1>0， 所以m ＝34满足题意． 5．已知复数z ＝4＋b i 1－i(b ∈R )的实部为－1，i 为虚数单位，则复数z －b 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系答案 C解析 z ＝4＋b i 1－i ＝(4＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝(4－b )＋(4＋b )i 2＝4－b 2＋4＋b 2i ， 又复数z ＝4＋b i 1－i(b ∈R )的实部为－1， 则4－b 2＝－1，即b ＝6.∴z ＝－1＋5i ， 则z ＝－1－5i.复数z －b ＝－1－5i －6＝－7－5i ，在复平面上对应的点的坐标为(－7，－5)，位于第三象限．故选C.6．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是( )A ．z 对应的点在第一象限B．z一定不为纯虚数C.z对应的点在实轴的下方D．z一定为实数考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案C解析∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，∴z对应的点在实轴的上方．又∵z与z对应的点关于实轴对称，∴C正确．7．复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为() A．2＋i B．2－iC．5＋i D．5－i考点共轭复数的定义与应用题点利用定义求共轭复数答案D解析由(z－3)(2－i)＝5，得z－3＝52－i＝2＋i，∴z＝5＋i，∴z＝5－i.二、填空题8．若复数z＝a＋i(a∈R)与它的共轭复数z所对应的向量互相垂直，则a＝________.考点共轭复数的定义与应用题点与共轭复数有关的综合应用答案±1解析z＝a－i，因为复数z与它的共轭复数z所对应的向量互相垂直，所以a2＝1，所以a ＝±1.9．i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案1解析因为(1＋i)z＝2，所以z＝21＋i＝1－i，所以其实部为1.10．在复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i(i 为虚数单位)所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________．考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 (3,4)解析 ∵z ＝m 2－4m ＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3<m <4. 11．如图，在复平面内，点A 对应的复数为z 1，若z 2z 1＝i(i 为虚数单位)，则z 2＝________.考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系答案 －2－i 解析 由题图可知，z 1＝－1＋2i ，由z 2z 1＝i ，得z 2＝z 1i ＝(－1＋2i)i ＝－2－i. 三、解答题12．已知复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)，z 2＝3＋(1－a )i (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)．(1)若z 1＝z 2，求实数a ，b 的值；(2)若b ＝1，a ＝0，求⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋z 21－2i . 考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算解 (1)复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)＝2－b ＋(2b ＋1)i ，z 2＝3＋(1－a )i ，由z 1＝z 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b ＝3，2b ＋1＝1－a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，所以a ＝2，b ＝－1.(2)若b ＝1，a ＝0，则z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋z 21－2i ＝|1＋3i ＋3－i||1－2i|＝42＋221＋(－2)2＝2. 13．已知复数z 1满足z 1(1－i)＝2(i 为虚数单位)，若复数z 2满足z 1＋z 2是纯虚数，z 1·z 2是实数，求复数z 2.考点 复数四则运算的综合运用题点 与混合运算有关的未知数求解解 ∵z 1(1－i)＝2，∴z 1＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵z 1＋z 2＝1＋a ＋(b ＋1)i 是纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋b ≠0， ∴a ＝－1，b ≠－1. ∴z 1·z 2＝(1＋i)(－1＋b i)＝(－1－b )＋(b －1)i ，又z 1·z 2是实数，则b －1＝0，∴b ＝1，∴z 2＝－1＋i.四、探究与拓展14．若a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部，b 是复数z 2＝1＋i 2－i 的实部，则ab ＝________. 考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 －25解析 z 1＝(1－i)(3＋i)＝4－2i ，由a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部，得a ＝－2.z 2＝1＋i 2－i ＝(1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝1＋3i 5＝15＋35i ， 由b 是复数z 2＝1＋i 2－i的实部，得b ＝15. 则ab ＝－2×15＝－25. 15．求虚数z ，使z ＋9z∈R ，且|z －3|＝3. 考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z ＋9z ＝a ＋b i ＋9a ＋b i ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋9a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －9b a 2＋b 2i. 由z ＋9z ∈R ，得b －9b a 2＋b 2＝0， 又b ≠0，故a 2＋b 2＝9.①又由|z －3|＝3，得(a －3)2＋b 2＝3.② 由①②，得⎩⎨⎧ a ＝32，b ＝±332，即z ＝32＋332i 或z ＝32－332i .。
人教版选修2-2数系的扩充和复数的概念教案
数系的扩充和复数的概念
[教学目标]
1. 理解数系的扩充过程并明白引进复数单位的必要性
2.理解在数系扩充中的实数集拓展到复数集出现的一些概念
3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充分必要条件[教学重难点]
重点：复数的概念
难点：复数的相等与分类
[学法]教师引导小组合作交流，自主学习归纳
[教具]PPT、黑板、课本、导学案
反思：简易的问题的开篇，让学生立刻感到良好的学习气氛，已经激情，融情于景，根据历史发展的一般规律通过问题的形式探究数系扩充过程，激发学生的求知欲，将课堂还给学生，学生才是课堂的主人，教师引导小组活动合作交流，最大限度调动学生的主动性和积极性，让学生学会参与，乐于参与.。
高中数学人教A版选修2-2数系的扩充和复数的概念课件
负整数
分数
无理数
实际 计数的
刻画相反 测量中的
度量的
需要 需要
意义的数 等分问题
需要
数学
x 1 0
2x 1
x2 2
需要
？
x2 1
引入
引入
引入
自然数集N 整数集Z 有理数集Q 实数集R
负整数
分数
无理数
实际 计数的
刻画相反 测量中的
度量的
需要 需要
意义的数 等分问题
需要
数学
x 1 0
2x 1
x2 2
类比有理数系扩充到实数系的过程和方法，以及实 数系中的新数的情势，如1 3，2 3，1+2 3 等．
例：1+i ，
问题3 类比有理数系扩充到实数系的过程和方法，实数 系经过扩充后，包含了哪些新数？
类比有理数系扩充到实数系的过程和方法，以及实 数系中的新数的情势，如1 3，2 3，1+2 3 等．
例：1+i ，3i
（1）3 2i ； （4）0.2i ；
（2）1 3i ； 2
需要
？
x2 1
N ZQ R
问题2 梳理从自然数系逐步扩充到实数系的过程，数系 的每一次扩充，加法和乘法运算满足的“性质”有一致 性吗？你能梳理数系扩充的“规则”吗？
数系扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法 运算，与本来数集中规定的加法和乘法运算协调一 致：加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法 满足分配律．
虚数单位 i
N ZQ R C
例 指出下列复数的实部与虚部，并判断哪些是实数，
哪些是虚数，哪些是纯虚数．
（1）3 2i ； （4）0.2i ；
人教新课标版数学高二人教A选修2-2教案 数系的扩充与复数的概念
2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与 的关系）：
（1） （2）
（3） （4）
3.人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。
讨论：若给方程 一个解 ，则这个解 要满足什么条件？ 是否在实数集中？
实数 与 相乘、相加的结果应如何？
二、讲授新课：
1.教学复数的概念：
①定义复数：形如 的数叫做复数，通常记为 （复数的代数形式），其中 叫虚数单位， 叫实部， 叫虚部，数集 叫做复数集。
出示例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
规定： ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。
②讨论：复数的代数形式中规定 ， 取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？
3.1.1
主备人
课型
新授课
验收结果：
合格/需完善
时间
年月日
分管领导
课时
1
第周第课时总第课时
教学目标：理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。
重点:复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。
难点:复数及其相关概念的理解.
教学过程
教师活动
学生活动
一、复习准备：
1.提问：N、Z、Q、R分别代表什么？它们的如何发展得来的？
2．判断①两复数，若虚部都是3，则实部大的那个复数较大。
②复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数。
3若 ，则 的值是？
4．已知 是虚数单位，复数 ，当 取何实数时， 是：
（1）实数（2）虚数（3）纯虚数（4）零
作业： 2、3题。
1．生思考后回答：
人教版A版高中数学选修2-2：3.1.1 数系的扩充和复数的概念(2)
y
2
∴ x 1, y 2
YOUR SITE HERE 巩固提高1.当m为何实数时，复数
Z m2 m 2 (m2 1)i
是（1）实数? （2）虚数? （3）纯虚数?
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2.已知 (2x 1) i y (3 y)i ，其中 x, y R，
求 x, y的值。
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课堂小结
1.虚数单位i的引入；
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2.复数有关概念：
复数的代数形式:z a bi (a R,b R)
复数的实部 、虚部 z a bi (a R,b R)
虚数、纯虚数
实部
虚部
复数相等
a bi
c di
a c b d
（3）
当mm
1 1
0 0
即m 1时，复数z 是纯虚数．
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教师精讲
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例2.如果 (x 2y) i 5 (x y)i ，求 x, y的值.
解: 由复数相等的定义，得
x 2y 5 x y 1
解得
x 1
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(5)实数集R是复数集合C的 真子集 ，即 R C 。
合作交流
1.分别指出下列复数的实部和虚部：
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3 2i, 2 i, 3i 5, 3 , 5i, i2, 0. 2
2.复数 a bi (a,b R)是如何分类的?
复数a+bi
实数b 虚数b
0
0（当
a
0
时为纯虚数）
人教版高二数学选修2-2：3.1.1数系的扩充和复数的概念学案(学生用)全面版
数系的扩大和复数的观点【学习目标】1．理解复数的相关观点以及符号表示；2．认识复数的代数表示方法及几何意义；3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件.【要点难点】要点：复数的相关观点以及符号表示.难点：认识复数的代数表示方法及几何意义，复数的分类及复数相等的充要条件．【使用说明与学法指导】1. 课前用 20 分钟预习课本P102- 104内容 . 并达成书籍上练、习题及导教案上的问题导学.2.独立思虑，仔细限时达成，规范书写. 课上小组合作研究，答疑解惑 .【问题导学】1．怎样引入数i？2．复数的观点？3.相等复数？注意：两个复数中如有一个是虚数，则它们不可以比较大小.【合作研究】问题 1：请说出复数(1)-3+2 i , (2)-5 i , (3)- 3 - 5 i的实部和虚部.问题 2：a分别取什么值时，复数za 6a22a 15 i是（1）实数；（ 2）虚数；（ 3）实数a2a3纯虚数 .问题 3：设z1m22m 3 m24m 3 im R ，z2 5 3i，当m 取何值时，（ 1）z1z2；（2） z10 .【深入提升】1. 已知 M= 1,(m22m)(m2 m 2)i ，P=1,1,4i ，若 M P P ，务实数 m 的值 .2.实数 m 为什么值时，复数z lg(m 2 2 m 1)(m23m2)i是:(1)实数 ?(2)虚数 ?(3)纯虚数?3.若复数zx 1 i lg( x 2 2 x)(x R) 是虚数，则实数x 的取值范围是（）x32A., 1 1,B.2,0 C.2, 11,0D.-2,33, 11,0224.已知复数z a 2 a 6a 2 3a 10 i aR 知足 zi ＞ 0 或 zi ＜0，求的 a 值 .a 3【学习评论】●自我评论 你达成本节导教案的状况为（ ） .A. 很好B. 较好C.一般 D.较差●当堂检测A 组（你必定行） ：1. 实数 m 取什么数值时，复数z m 1 (m 1)i 是实数（）A ．0B ．1C ． 2D ． 32. 假如复数 a bi 与 c di 的和是纯虚数，则有（）A ． b d 0 且 a c 0B ． b d 0 且 a c 0C ． a d 0 且 b d 0D ． b c 0 且 b d3. 假如 za 2a2(a 2 3a 2)i 为实数 , 那么实数 a 的值为（）A ．1或 2B． 1或2C ．1或 2D ． 1或 2 B 组（你深信你能行） ：4. 21)23x 2)i 是纯虚数，则实数x 的值是 .若 ( x (x5. 若 ( x y) ( y 1)i (2 x 3y) (2 y 1)i ，则实数 x = ； y =.C 组（我对你很有吸引力哟） ：6. 已知 i 是虚数单位，复数 z m 2 (1 i) m(23i ) 4(2i ) ，当 m 取何实数时， z 是：（ 1）实数；（ 2） 虚数；（ 3）纯虚数；（4）零.【小结与反省】你曾落的泪，最都会成阳光，照亮脚下的路。
四川省岳池县第一中学高中数学第三章数系的扩充与复数的引入复习导学案理(无答案)新人教版选修1_2
第三章 数系的扩充与复数的引入（复习）.72复习1：复数集C 、实数集R 、有理数集Q 、整数集Z 和自然数集N 之间的关系为：复习2：已知1510z i=+，234z i=-，12111zz z=+，求z .二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：复数这一章的知识结构问题：数系是如何扩充的？本章知识结构是什么？新知：试试：若122,34z a i z i=+=-，且12z z 为纯虚数，求实数a 的值.变式：（1）12z z 对应的点在复平面的下方（不包括实轴），求a 的取值范围.（2）12z z 对应的点在直线0x y +=，求实数a 的值.反思：若复数(,)a b i a b R +∈是实数，则 是虚数，则 ；是纯虚数，则 ；其模为 ；其共轭复数为 .若(,,,)a b i c d i a b c d R +=+∈，则 .※ 典型例题 例1 已知m R∈，复数2(2)(23)1m m zmm im +=++--，当m 为何值时，（1）z R ∈？（2）z 是纯虚数？（3）z 对应的点位于复平面第二象限？（4）z 对应的点在直线30x y ++=上？变式：已知11m n ii=-+，其中,m n 是实数，i 是虚数单位，则mni+=小结：掌握复数分类是解此题的关键.在计算时，切不可忘记复数(,)a b i a b R +∈为纯虚数的一个必要条件是0b ≠，计算中分母不为0也不可忽视.例2 设存在复数z 同时满足下列条件：（1）在复平面内对应的点位于第二象限；（2）28()z z iz a i a R +=+∈；试求z 的取值范围变式：已知复数z 满足||28z z i +=+，求复数z小结：复数问题实数化是解决复数问题的主要方法，其转化的依据主要就是复数相等的充要条件.基本思路是：设出复数的代数形式(,)z a b i a b R =+∈，由复数相等得到两个实数等式所组成的方程组，从而可以确定两个独立的基本量.例3 在复平面内（1）复数22(24)(22)z a a aa i=-+--+，（2）满足|1||1|4zz ++-=的复数z ，对应的点的轨迹分别是什么？※ 动手试试 练1. 已知复数26(2)2(1)1m zi mi i=+----，当实数m 取什么值时，复数是（1）零；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.练2. 若2222lo g (32)lo g (21)1x x i x x --+++>，则实数的值（或范围）是 .三、总结提升 ※ 学习小结复数问题实数化是解决复数问题最基本的也是最重要的思想方法，其转化的依据主要就是复数相等的充要条件.基本思路是：设出复数的代数形式(,)z a b i a b R =+∈，由复数相等可以得到两个实数等式所组成的方程组，从而可以确定两个独立的基本量.根据复数相等一般可解决如下问题：（1）解复数方程；（2）方程有解时系数的值；（3）求轨迹问题.※ 知识拓展※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设134z i =-，223z i =-+，则12z z +在复平面内对应的点（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 2(1)i i -⋅等于（ ）A ．22i -B ．22i +C ．2-D ．2 3. 复数21(1)i +的值是（ ）A ．2iB ．2i -C ．2D ．2- 4.复数21i+的实部是 ，虚部是5. (158)(12)i i +--的值是1. 已知(12)43i z i+=+，求z 及z z.2. 设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且211z -≤≤（1）求1||z 的值以及1z 的实部的取值范围； （2）若1111z z ω-=+，求证ω为纯虚数.。
高中数学 3.1 1数系的扩充和复数的概念教案 新人教A版选修2-2
【教学目标】1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；2．理解复数的有关概念以及符号表示；3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念；4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．【教学重点】引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定以及复数的有关概念．【教学难点】复数概念的理解．【教学过程】1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）自然数 整数 有理数 无理数 实数2．提出问题我们知道，对于实系数一元二次方程012=+x ，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？3．组织讨论，研究问题我们说，实系数一元二次方程012=+x 没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1．4．引入新数i ，并给出它的两条性质根据前面讨论结果，我们引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定：（1）12-=i ； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ±）．5．提出复数的概念根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a +这样，数的范围又扩充了，出现了形如 ),(R b a bi a ∈+的数，我们把它们叫做复数．全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，显然有： N*N Z Q R C ．【巩固练习】下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？ 例1.实数m 分别取什么值时，复数z ＝m+1＋(m-1)i 是 (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 分析：因为m∈R，所以m+1，m-1都是实数，由复数z ＝a ＋bi 是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数m 的值．.1,010131,0121011为纯虚数时，即）当（为虚数；时，即）当（为实数；时，，即）当解（z m m m z m m z m m -=⎩⎨⎧≠-=+≠≠-==-6．提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是由此容易得出：例2 已知i y y i x )3()12(--=+-,其中，x,y ∈R ，求x 与y ．分析：因为x ，y∈R，所以由两个复数相等的定义，可列出关于x ，y 的方程组，解这个方程组，可求出x ，y 的值． 4,25)3(112==⎩⎨⎧--==-y x y y x 解得解：由复数相等可知练习：.),(023)21(2的值求实数已知m R m i mi x i x ∈=--++ 6cos 6sin,,0,2,7212ππi i i i --+）纯虚数）虚数；（是（为何值时，复数当且练习：已知复数21,)()1(2z m R m i m i m z ∈+-+=【课堂游戏】【想一想】两个复数是否可以比较大小.【归纳总结】一、数系的扩充；二、复数有关的概念：1、复数的代数形式；2、复数的实部、虚部。
人教版数学高二A版选修2-2学案 数系的扩充和复数的概念
3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数系的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.1.复数的有关概念（1）复数①定义：形如a ＋b i （a ，b ∈R ）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1Ｗ. ②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），这一表示形式叫做复数的代数形式.a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部.（2）复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集. ②表示：通常用大写字母C 表示. 2.复数的分类（1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0）虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系3.复数相等的充要条件设a 、b 、c 、d 都是实数，则a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ，a ＋b i ＝0⇔a ＝b ＝0Ｗ.1.数系扩充的脉络自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系. 2.对实部和虚部的理解复数m ＋n i 的实部、虚部不一定是m 、n ，只有当m ∈R ，n ∈R 时，m 、n 才是该复数的实部、虚部.3.对复数相等的理解（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）的形式，即分离实部和虚部.（2）只有当a ＝c 且b ＝d 的时候才有a ＋b i ＝c ＋d i ，a ＝c 和b ＝d 有一个不成立时，就有a ＋b i ≠c ＋d i.（3）由a ＋b i ＝0，a ，b ∈R ，可得a ＝0且b ＝0.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数.（ ） （2）复数z 1＝3i ，z 2＝2i ，则z 1＞z 2.（ ） （3）复数z ＝b i 是纯虚数.（ ）（4）实数集与复数集的交集是实数集.（ ） 答案：（1）× （2）× （3）× （4）√若全集C ＝{复数}，Q ＝{有理数}，P ＝{虚数}，则（∁CQ ）∪（∁C P ）是（ ） A.C B.无理数集 C.Q D.R解析：选A.在全集C 中，有理数集Q 的补集是虚数集P 和无理数集；虚数集P 的补集是实数集，所以（∁CQ ）∪（∁C P ）是全集C .以3i －2的虚部为实部，以－3＋2i 的实部为虚部的复数是（ ） A.3－3i B.3＋i C.－2＋2i D.2＋2i 答案：A若（x －2y ）i ＝2x ＋1＋3i ，则实数x ，y 的值分别为 Ｗ.答案：－12，－74探究点1 复数的概念 下列命题：①若a ∈R ，则（a ＋1）i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若（x 2－4）＋（x 2＋3x ＋2）i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（ ） A.① B.② C.③ D.④【解析】 对于复数a ＋b i （a ，b ∈R ），当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数.对于①，若a ＝－1，则（a ＋1）i 不是纯虚数，即①错误.两个虚数不能比较大小，则②错误.对于③，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时（x 2－4）＋（x 2＋3x ＋2）i ＝0，不是纯虚数，则③错误.显然，④正确.故选D. 【答案】 D（1）一个数的平方为非负数在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在哪个数集上.（2）对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为a ＋b i 的形式，更要注意这里a ，b 均为实数时，才能确定复数的实、虚部.1.对于复数a ＋b i （a ，b ∈R ），下列说法正确的是（ ）A.若a ＝0，则a ＋b i 为纯虚数B.若a ＋（b －1）i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－2C.若b ＝0，则a ＋b i 为实数D.i 的平方等于1解析：选C.对于A ，当a ＝0时，a ＋b i 也可能为实数； 对于B ，若a ＋（b －1）i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－1； 对于D ，i 的平方为－1.故选C.2.若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为（ ）A.1B.1或－4C.－4D.0或－4解析：选C.易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.探究点2 复数的分类[学生用书P65]已知m ∈R ，复数z ＝m （m ＋2）m －1＋（m 2＋2m －3）i ，当m 为何值时，（1）z 为实数？（2）z 为虚数？（3）z 为纯虚数？ 【解】 （1）要使z 为实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m （m ＋2）m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.（2）要使z 为虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m （m ＋2）m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.（3）要使z 为纯虚数，m 需满足m （m ＋2）m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或－2.解决复数分类问题的方法与步骤（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i （a ，b ∈R ）的形式，以确定实部和虚部.（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可.（3）下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， ①z 为实数⇔b ＝0； ②z 为虚数⇔b ≠0；③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.1.若复数（a 2－3a ＋2）＋（a －1）i 是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A.1 B.2 C.1或2 D.－1 解析：选B.根据复数的分类知，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a ≠1， 即a ＝2.2.当实数m 为何值时，复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是 （1）纯虚数；（2）实数.解：（1）复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －7）＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4.（2）复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m ＝－3.探究点3 复数相等（1）若（x ＋y ）＋y i ＝（x ＋1）i ，求实数x ，y 的值；（2）已知a 2＋（m ＋2i ）a ＋2＋m i ＝0（m ∈R ）成立，求实数a 的值；（3）若关于x 的方程3x 2－a2x －1＝（10－x －2x 2）i 有实根，求实数a 的值.【解】 （1）由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＝x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝12.（2）因为a ，m ∈R ，所以由a 2＋am ＋2＋（2a ＋m ）i ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋am ＋2＝0，2a ＋m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝－22或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，m ＝22， 所以a ＝±2.（3）设方程的实根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a2m －1＝（10－m －2m 2）i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或－715.复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数.解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解.[注意] 在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不能成立.1.复数z 1＝（2m ＋7）＋（m 2－2）i ，z 2＝（m 2－8）＋（4m ＋3）i ，m∈R ，若z 1＝z 2，则m ＝ .解析：因为m ∈R ，z 1＝z 2，所以（2m ＋7）＋（m 2－2）i ＝（m 2－8）＋（4m ＋3）i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋7＝m 2－8，m 2－2＝4m ＋3，解得m ＝5.答案：52.已知A ＝{1，2，a 2－3a －1＋（a 2－5a －6）i}，B ＝{－1，3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值.解：由题意知，a 2－3a －1＋（a 2－5a －6）i ＝3（a ∈R ），所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a－1＝3，a2－5a－6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a＝4或a＝－1，a＝6或a＝－1，所以a＝－1. ——————————————————————————————————————1.在2＋7，27i，8＋5i，（1－3）i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：选C.27i，（1－3）i是纯虚数，2＋7，0.618是实数，8＋5i是虚数.2.若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，则实数m的值为（）A.－1B.2C.1D.－1或2解析：选D.因为复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.3.若复数z＝（m＋1）＋（m2－9）i＜0，则实数m的值等于Ｗ.解析：因为z＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m2－9＝0，m＋1＜0，解得m＝－3.答案：－34.已知x2－x－6x＋1＝（x2－2x－3）i（x∈R），求x的值.解：因为x∈R，所以x2－x－6x＋1∈R，由复数相等的条件得：⎩⎪⎨⎪⎧x2－x－6x＋1＝0，x2－2x－3＝0，解得x＝3.知识结构深化拓展虚数为什么不能比较大小？引入虚数单位i后，规定i2＝－1，但i与0的大小关系不能确定.理由如下：若i＞0，则2i＞i，两边同乘i，得2i2＞i2，即－2＞－1，与实数系中数的大小规定相矛盾；若i＜0则－2＜－1⇒－2i＞－i ⇒－2i·i＜－i·i⇒2＜1，与实数系中数的大小规定也是矛盾的.故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分.[A 基础达标]1.以－3＋i 的虚部为实部，以3i ＋i 2的实部为虚部的复数是（ ） A.1－i B.1＋i C.－3＋3i D.3＋3i解析：选A.－3＋i 的虚部为1，3i ＋i 2＝－1＋3i ，其实部为－1，故所求复数为1－i. 2.在复平面内，复数z ＝（a 2－2a ）＋（a 2－a －2）i 是纯虚数，则（ ） A.a ＝0或a ＝2 B.a ＝0 C.a ≠1且a ≠2 D.a ≠1或a ≠2 解析：选B.因为复数z ＝（a 2－2a ）＋（a 2－a －2）i 是纯虚数，所以a 2－2a ＝0且a 2－a －2≠0，所以a ＝0.3.若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝（ ） A.－2＋i B.2＋i C.1－2i D.1＋2i解析：选B.由i 2＝－1，得x i －i 2＝1＋x i ，则由题意得1＋x i ＝y ＋2i ，根据复数相等的充要条件得x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i.4.复数z ＝a 2－b 2＋（a ＋|a |）i （a ，b ∈R ）为实数的充要条件是（ ） A.|a |＝|b |B.a <0且a ＝－bC.a >0且a ≠bD.a ≤0解析：选D.复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，即|a |＝－a ，得a ≤0，故应选D. 5.下列命题：①若z ＝a ＋b i ，则仅当a ＝0，b ≠0时z 为纯虚数；②若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0；③若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系. 其中正确命题的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3解析：选A.在①中未对z ＝a ＋b i 中a ，b 的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z 1＝1，z 2＝i ，则z 21＋z 22＝1－1＝0，但z 1≠z 2≠0，故②错误；在③中忽视0·i ＝0，故③也是错误的.故选A.6.如果x －1＋y i 与i －3x 为相等复数，x 、y 为实数，则x ＝ ，y ＝ Ｗ.解析：由复数相等可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1.答案：1417.已知复数z ＝m 2（1＋i ）－m （m ＋i ）（m ∈R ），若z 是实数，则m 的值为 Ｗ.解析：z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝（m 2－m ）i ，所以m 2－m ＝0，所以m ＝0或1. 答案：0或18.若复数z ＝（sin θ＋cos θ＋1）＋（sin θ－cos θ）i 是纯虚数，则sin 2 017θ＋ cos 2 017θ＝ .解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＋1＝0，①sin θ－cos θ≠0，由①得sin θ＋cos θ＝－1，又sin 2θ＋cos 2θ＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－1，cos θ＝0.所以sin 2 017θ＋cos 2 017θ＝（－1）2 017＋02 017＝－1. 答案：－19.已知复数z ＝（m 2＋5m ＋6）＋（m 2－2m －15）i. （1）若复数z 是实数，求实数m 的值；（2）若复数z 是虚数，求实数m 的取值范围； （3）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值； （4）若复数z 是0，求实数m 的值.解：（1）当m 2－2m －15＝0时，复数z 为实数， 所以m ＝5或－3.（2）当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数. 所以m ≠5且m ≠－3.所以实数m 的取值范围为{m |m ≠5且m ≠－3}.（3）当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是纯虚数，所以m ＝－2.（4）当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15＝0m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是0，所以m ＝－3.10.已知关于x ，y 的方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x ＋32＋2（y ＋1）i ＝y ＋4x i （2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i有实数解，求实数a ，b 的值.解：设（x 0，y 0）是方程组的实数解，由已知及复数相等的意义，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋32＝y 0①2（y 0＋1）＝4x 0②，2x 0＋ay 0＝9③－（4x 0－y 0＋b ）＝－8④由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝52，y 0＝4代入③④得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2.所以实数a ，b 的值分别为1，2.[B 能力提升]11.“复数4－a 2＋（1－a ＋a 2）i （a ∈R ）是纯虚数”是“a ＝－2”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B.因为1－a ＋a 2＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，所以若复数4－a 2＋（1－a ＋a 2）i （a ∈R ）是纯虚数，则4－a 2＝0，即a ＝±2；当a ＝－2时，4－a 2＋（1－a ＋a 2）i ＝7i 为纯虚数，故选B.12.使不等式m 2－（m 2－3m ）i ＜（m 2－4m ＋3）i ＋10成立的实数m 的取值集合是 .解析：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0m 2－4m ＋3＝0，m 2＜10解得m ＝3，所以所求的实数m 的取值集合是{3}.答案：{3}13.已知关于x 的方程x 2＋（2－3i ）x ＋5m i ＋i ＝0有实数根，求纯虚数m . 解：由于m 是纯虚数. 设m ＝b i （b ∈R ，且b ≠0）.设方程的实数根为a ，则代入原方程整理得（a 2＋2a －5b ）＋（1－3a ）i ＝0. 因为a ，b ∈R ，所以由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －5b ＝01－3a ＝0，解得b ＝745，所以纯虚数m ＝745i.14.（选做题）已知复数z 1＝－a 2＋2a ＋a i ，z 2＝2xy ＋（x －y ）i ，其中a ，x ，y ∈R ，且z 1＝z 2，求3x ＋y 的取值范围.解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋2a ＝2xya ＝x －y ，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即（x－1）2＋（y ＋1）2＝2.法一：令t ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋t .分析知圆心（1，－1）到直线3x ＋y －t ＝0的距离d ＝|2－t |10≤2，解得2－25≤t ≤2＋25，即3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25].法二：令⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos αy ＋1＝2sin α，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α＋1y ＝2sin α－1（α∈R ）， 所以3x ＋y ＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin （α＋φ）＋2（其中tan φ＝3），于是3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25].。
人教版高中数学选修2-2学案：3.1.1数系的扩充和复数的概念
3.1.1数系的扩充和复数的概念【学习目标】1.了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数单位i;2.了解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律;3.了解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部）理解并掌握复数相等的有关概念．【新知自学】知识回顾：1.数系的扩充历程：(1)在自然数集内引入负数,扩充到___________;(2)在整数集内引入分数,扩充到_____________;(3)在有理数集内引入无理数,扩充到_________．2.在实数集内方程x2＋1＝0的解的问题该如何解决？数集扩到实数集R以后，像x2＝－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1．由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位，并由此产生了复数．新知梳理：1.虚数单位i:（1）它的平方等于_________，即i2＝－1；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有______________仍然成立．2.复数的定义：形如a＋b i（a，b∈R）的数叫复数，a叫复数的_______，b叫复数的_______．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示．3.复数a＋b i（a，b∈R）的分类：（1）当_______________时，复数a＋b i（a，b∈R）为实数；（2）当_______________时，复数a＋b i（a，b∈R）为0；（3）当_______________时，复数a＋b i（a，b∈R）为虚数；（4）当_______________时，复数a＋b i（a，b∈R）为纯虚数.4.复数集与其他数集之间的关系：____________．5.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a＋b i＝c＋d i⇔a＝c，b＝d．对点练习：1.写出复数4，2－3i，0，1423-+i，5＋2i，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？2.下列说法中正确的是( )A. 方程012=+x 没有根B. 纯虚数和虚数构成实数集合C. 实数集合由虚数与复数构成D. 实数是复数 3.已52-i 的虚部为实部，以225i i +的实部为虚部的新复数是（ ） A.i 22- B.i +2 C.i 55+- D.i 55+4. 如果 (x +y )+ (y -1)i = (2x +3y ) + (2y +1)i ，求实数x , y 的值.【合作探究】 典例精析：m 取什么数值时，复数z ＝m (m －1)＋(m －1)i 是：（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？变式练习：实数m取什么数值时，复数z＝m2＋m－2＋(m2－1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？例2.已知(x＋y)＋(x－2y)i＝(2x－5)＋(3x＋y)i，其中x，y∈R，求x与y．变式练习：若(2x2－3x－2)＋(x2－5x+6)i＝0，求x的值．规律总结：1.对于复数z= a＋b i，只有在a，b∈R时，a，b才能分别是复数的实部和虚部，并注意虚部是b，而非bi；2.只有两个实数才可以比较大小，对于两个虚数，或者一个虚数一个实数都不能比较大小；3.在两复数相等以及复数的分类中，要首先明确实部和虚部.【课堂小结】【当堂达标】1.设集合C=｛复数｝，A=｛实数｝，B=｛纯虚数｝，若全集S=C，则下列结论正确的是( )A.A ∪B =CB.S C A =BC.A ∩S C B =∅D.B ∪S C B =C2.若i x x x )23()1(22+++-是纯虚数，则实数x 的值为（ ）A .1 B.-1 C. -2 D.1或-13.若实数y x ,满足,2)()(=-++i y x y x 求xy 的值.4.复数,)2()72(21i m m z -++=)()34()8(22R m i m m z ∈++-=，当21z z =时，求m 的值.【课时作业】1.复数i z 21+-=的实部是 ，虚部是 ，模为 .2．已知复数i k k k k z )65(322+-+-=),(R k ∈且0<z ，则=k .3.已知集合M =｛1，2，(m 2－3m －1)+(m 2－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝.M ∩P =｛3｝，则实数m 的值为 ( )A.－1B.－1或4C.6D.6或－14．若复数i x x x z )2(log32212-+--=是虚部为正数的纯虚数，求实数x 的值.5．若i y i x i 91)103()2(-=-++-，求实数y x ,的值.6.已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =21+4i .7.如果1)3()(log221->--+i m m n m ，求自然数m ，n 的值.。
人教版高中选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入教学设计
人教版高中选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入教学设计教学目标1.了解实数系中的全序性、稠密性等性质，掌握有理数集、无理数集的基本概念及其运算；2.通过数系的扩充引入复数，掌握复数的定义、性质及四则运算；3.学会应用复数解决实际问题，理解复数概念在物理、工程等领域的重要性。
教学内容及教学步骤教学内容1.数系的扩充–实数集的基本概念–有理数集和无理数集的运算–实数集中的全序性、稠密性2.复数的引入–复数的定义–复数的加减法–复数的乘法–复数的除法–复数的共轭–复数的模及其性质–复数的辐角及其性质3.复数的应用–两个复数的等式与不等式–解二次方程–用复数解决物理、工程等实际问题教学步骤1. 导入•介绍数系的扩充概念，通过实际生活中的例子，让学生意识到数学思想存在于日常生活中，并引出本节课的主要内容——数系的扩充和复数的引入。
2. 讲解实数集•通过具体实际生活中的例子，引出实数集的定义，教师向学生明确有理数集和无理数集的概念以及其基本性质。
3. 讲解复数的引入•介绍复数的定义和基本性质，通过实际生活中的例子进行说明，使学生明白复数是怎么来的，具有什么样的意义。
4. 讲解复数的运算•详细讲解复数的加减、乘除及模与辐角的性质，并通过例题加强巩固。
5. 复数应用•通过实际的案例，讲解复数在物理、工程等领域的应用，让学生更加深入地理解并意识到复数的重要性。
6. 总结•对本节课的主要内容进行概括性讲解，帮助学生加深对数系扩充和复数引入的理解，并向学生明确下一步的学习目标。
教学反思本节教学难度较大，需要学生具有一定的数学基础，并且对抽象的概念有一定的理解。
因此，在教学过程中，应重点强化概念的理解和例题的演示，同时在教学前期，为学生做好概念的铺垫，以便在后续的教学中更好地理解和掌握相关知识。
在教学过程中，需要讲师灵活运用多种方法，如课堂讲解、案例分析、数学实验、小组讨论等，以便提高学生的参与程度和知识掌握程度。
最后，在教学过程中，应结合实际应用，将抽象的数学知识与实际生活联系起来，让学生明白这些概念和知识的实际意义和用途。
人教A版选修2-2 数系的扩充和复数的概念 学案
数系的扩充和复数的概念[学习目标] 1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.知识点一复数的引入在实数范围内，方程x2＋1＝0无解.为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即使i·i＝－1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋b i(a，b∈R)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a ＋b i(a，b∈R)这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C＝{a ＋b i|a，b∈R}，称i为虚数单位.思考(1)分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4－25.(2)虚数单位i有哪些性质？答案(1)在有理数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5).在实数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)＝(x2＋5)(x＋5)(x－5).在复数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)＝(x2＋5)(x＋5)(x－5)＝(x＋5i)(x－5i)(x＋5)(x－5).(2)虚数单位i有如下几个性质：①i的平方等于－1，即i2＝－1；②实数与i可进行四则运算，并且原有的加法、乘法运算律仍然成立；③i的乘方：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*).知识点二复数的概念、分类1.复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈R ，i 叫做虚数单位.a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部.(2)复数的表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i.(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C 表示. 2.复数的分类及包含关系 (1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎨⎧纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0(2)集合表示：思考 (1)两个复数一定能比较大小吗？ (2)复数a ＋b i 的实部是a ，虚部是b 吗？答案 (1)不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小. (2)不一定，对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，实部才是a ，虚部才是b . 知识点三 复数相等 复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .即它们的实部与虚部分别对应相等.思考 (1)若复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ).z ＝0，则a ＋b 的值为多少？(2)若复数z1，z 2为z 1＝3＋a i(a ∈R )，z 2＝b ＋i(b ∈R )，且z 1＝z 2，则a ＋b 的值为多少？ 答案 (1)0；(2)4.题型一 复数的概念例1 写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数.反思与感悟 复数a ＋b i(a ，b ∈R )中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部. 跟踪训练1 下列命题中，正确命题的个数是( ) ①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ； ③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0. A.0 B.1 C.2 D.3 答案 A解析 ①由于x ，y ∈C ，所以x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0成立，所以③是假命题.故选A. 题型二 复数的分类例2 设z ＝12log (m －1)＋ilog 2(5－m )(m ∈R ).(1)若z 是虚数，求m 的取值范围； (2)若z 是纯虚数，求m 的值.解 (1)因为z 是虚数，故其虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎨⎧m －1＞0，5－m ＞0，5－m ≠1，解得1＜m ＜5，且m ≠4.(2)因为z 是纯虚数，故其实部12log (m －1)＝0，虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎨⎧m －1＝1，5－m ＞0，5－m ≠1，解得m ＝2.反思与感悟 将复数化成代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，根据复数的分类：当b ＝0时，z 为实数；当b ≠0时，z 为虚数；特别地，当b ≠0，a ＝0时，z 为纯虚数，由此解决有关复数分类的参数求解问题.跟踪训练2 实数k 为何值时，复数z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零.解 由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i. (1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，即k ＝6或k ＝－1. (2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.(3)当⎩⎨⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，解得k ＝4.(4)当⎩⎨⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1.题型三 两个复数相等例3 (1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x ，y 的值.(2)关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值.解 (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎨⎧ x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为 3m 2－a2m －1＝(10－m －2m 2)i ， ∴⎩⎨⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数.跟踪训练3 已知复数z ＝3x －1－x ＋(x 2－4x ＋3)i ＞0，求实数x 的值. 解 ∵z ＞0，∴z ∈R ，∴x 2－4x ＋3＝0， 解得x ＝1或x ＝3.∵z ＞0，∴3x －1－x ＞0，且x 2－4x ＋3＝0.对于不等式3x －1－x ＞0，x ＝1满足，x ＝3不满足，故x ＝1.1.若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( ) A.{－1} B.{1} C.{1，－1} D.∅ 答案 C解析 因为i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，所以A ＝{i ，－1，－i,1}，又B ＝{1，－1}，故A ∩B ＝{1，－1}.2.已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是( ) A.2，1 B.2，5 C.±2，5 D.±2，1 答案 C解析 令⎩⎨⎧a 2＝2，－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.3.下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( ) A.±1 B.±i C.±2i D.±2i答案 C4.已知M ＝{2，m 2－2m ＋(m 2＋m －2)i}，N ＝{－1,2,4i}，若M ∪N ＝N ，则实数m 的值为 .答案 1或2解析 ∵M ∪N ＝N ，∴M ⊆N ，∴m 2－2m ＋(m 2＋m －2)i ＝－1或m 2－2m ＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0或⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4， 解得m ＝1或m ＝2.故实数m 的值是1或2.5.设i 为虚数单位，若关于x 的方程x 2－(2＋i)x ＋1＋m i ＝0(m ∈R )有一实根为n ，则m ＝ .答案 1解析 关于x 的方程x 2－(2＋i)x ＋1＋m i ＝0(m ∈R )有一实根为n ，可得n 2－(2＋i)n ＋1＋m i ＝0.所以⎩⎨⎧n 2－2n ＋1＝0，m －n ＝0.所以m ＝n ＝1.1.复数的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是解决问题的基础，明确其实部、虚部.2.根据复数为实数、虚数、纯虚数，复数相等的充要条件，可将问题实数化.一、选择题1.设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A.－i B.i C.－1 D.1 答案 A解析 ∵i 2＝－1，∴－i 2＝i ·(－i)＝1，∴z ＝－i.2.设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a －b i 为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件答案 B解析 若复数a －b i 为纯虚数，则a ＝0且b ≠0，故ab ＝0.而由ab ＝0不一定能得到复数a －b i 是纯虚数，故“ab ＝0”是“复数a －b i 为纯虚数”的必要不充分条件. 3.以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( ) A.2－2i B.－5＋5i C.2＋i D.5＋5i答案 A解析 设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知：复数－5＋2i 的虚部为2；复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A. 4.若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( ) A.12 B.2 C.0 D.1答案 D解析 由复数相等的充要条件知，⎩⎨⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1， ∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1.5.如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A.1 B.0 C.－1 D.－1或1答案 B解析 由题意知⎩⎨⎧m m ＋1＝0，m 2－1≠0，∴m ＝0.6.若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A.2k π－π4(k ∈Z )B.2k π＋π4(k ∈Z )C.2k π±π4(k ∈Z )D.k 2π＋π4(k ∈Z )答案 B解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π4θ≠2k π±3π4(k ∈Z )，∴θ＝2k π＋π4，k ∈Z .二、填空题7.若实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy 的值是 . 答案 1解析 因为实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，所以x ＋x i ＋y －y i ＝2，可得⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，所以x ＝y ＝1，所以xy ＝1. 8.若复数m －3＋(m 2－9)i ≥0，则实数m 的值为 . 答案 3解析 依题意知⎩⎨⎧ m －3≥0，m 2－9＝0，解得⎩⎨⎧m ≥3，m ＝－3或3，即m ＝3.9.已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，若z 1＞z 2，则a 的取值集合为 . 答案 {0}解析由z 1＞z 2，得⎩⎨⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，解得a ＝0，故a 的取值集合为{0}.10.在给出的下列几个命题中，正确命题的个数为 . ①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④－1没有平方根. 答案 1解析 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i ，故④错. 三、解答题11.当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋m －6)i ＋m 2－7m ＋12m ＋3是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解 (1)由⎩⎨⎧m 2＋m －6＝0，m ＋3≠0，得m ＝2.∴当m ＝2时，z 是实数.(2)由⎩⎨⎧ m 2＋m －6≠0，m ＋3≠0，得⎩⎨⎧m ≠2且m ≠－3，m ≠－3，即m ≠2且m ≠－3.∴当m ≠2且m ≠－3时，z 是虚数.(3)由⎩⎨⎧m 2＋m －6≠0，m ＋3≠0，m 2－7m ＋12＝0，得⎩⎨⎧m ≠2且m ≠－3，m ≠－3，m ＝3或m ＝4，即m ＝3或m ＝4.∴当m ＝3或m ＝4时，z 是纯虚数.12.已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i ，λ，m ∈R ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，z 1＝z 2，求λ的取值范围.解 由z 1＝z 2，λ，m ∈R ，可得⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ. 整理，得λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916.∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴sin θ∈[0,1]，∴λ∈[－916，1].13.已知关于m 的一元二次方程m 2＋m ＋2m i －12xy ＋(x ＋y )i ＝0(x ，y ∈R ).当方程有实根时，试确定点(x ，y )所形成的轨迹. 解 不妨设方程的实根为m ， 则m 2＋m ＋2m i ＝12xy －(x ＋y )i.∵x ，y ，m ∈R ，∴⎩⎨⎧m 2＋m ＝12xy ， ①2m ＝－x ＋y . ②由②，得m ＝－x ＋y2.代入①，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22－x ＋y 2＝12xy ，∴(x －1)2＋(y －1)2＝2，∴点(x ，y )的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝2，其轨迹是以(1,1)为圆心，2为半径的圆.。
人教版高中选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入课程设计
人教版高中选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入课程设计一、教学目标1.了解数系的扩充及其背景知识；2.理解复数的概念、运算及表示形式；3.掌握复数在平面直角坐标系中的几何意义；4.能够用复数解决实际问题。
二、教学内容1. 数系的扩充1.实数集；2.有理数集；3.无理数集；4.数系的扩充。
2. 复数的引入1.复数的概念；2.复数的表示形式；3.复数的运算；4.复数在平面直角坐标系中的几何意义。
三、教学重点1.复数的概念；2.复数的运算；3.复数在平面直角坐标系中的几何意义。
1.数系的扩充；2.复数的几何意义。
五、教学方法1.解释法；2.举例法；3.演示法。
六、教学过程1. 导入新课教师通过讲解实数、有理数、无理数等的概念，引出数系的扩充的概念。
2. 数系的扩充1.教师讲解实数、有理数、无理数的概念及其相互关系；2.教师讲解数系扩充的背景及其意义。
3. 复数的引入1.教师引出复数的概念；2.教师给出复数的标准形式：a+bi，讲解其各个元素的意义；3.教师讲解复数的加法、减法、乘法、除法运算法则。
4. 复数的几何意义1.教师引导学生在平面直角坐标系中画出复数的几何图形；2.教师给出解决实际问题的例子，让学生应用复数解决问题。
5. 练习与巩固教师设计一些练习题，让学生巩固所学知识。
1.课件；2.教材。
八、教学评价1.学生在课堂上能否积极地参与互动；2.学生在课后作业中是否掌握了所学知识。
九、教学反思本节课的教学重点是复数的概念、运算及几何意义等内容，在课堂上我通过解释法、举例法、演示法等多种方法来讲解这些内容，让学生更加深入地了解了复数这一概念。
同时，我还通过设计练习题来巩固学生的所学知识。
总的来说，我觉得本节课的教学效果还不错。
四川省岳池县第一中学高中数学《3.1.1 数系的扩充与复
§3.1.1数系的扩充与复数的概念学习目标 ：1．了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．学习重点：复数代数形式的表示方法，理解复数相等．学习难点：复数代数形式的表示方法，理解复数相等．课前预习案教材助读：阅读教材的内容，思考并完成下列问题：1．复数的有关概念(1)复数①定义：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈______，i 叫做__________．a 叫做复数的______，b 叫做复数的______．②表示方法：复数通常用字母____表示，即________．(2)复数集①定义：__________所构成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母____表示．2．复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R)⎩⎨⎧ 实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔__________.课内探究案一、新课导学：探究点一 复数的概念问题1：为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？问题2：如何理解虚数单位i?问题3：什么叫复数？怎样表示一个复数？问题4：什么叫虚数？什么叫纯虚数？探究点二 两个复数相等问题1：两个复数能否比较大小？问题2：两个复数相等的充要条件是什么？二、合作探究例 1 ：请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.例2 ：当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m ＋(m 2－2m )i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．例3：已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .三、当堂检测1. 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－2的虚数； (2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数； (4)实部为－2的纯虚数．2．实数m 为何值时，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i 是 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．3．已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R)，求x 的值．四、课后反思课后训练案1. 已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )A．2，1 B．2，5 C．±2，5 D．±2，12. 下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )A．±1 B．±i C．±2i D．±2i3. 如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )A．1 B．0 C．－1 D．－1或14. 下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a∈R)是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i；⑥i是方程x4－1＝0的一个根；⑦2i是一个无理数．其中正确命题的个数为( ) A．3个B．4个 C．5个D．6个。
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§3.1.1数系的扩充与复数的概念
学习目标 ：
1．了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.
2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.
3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
学习重点：复数代数形式的表示方法，理解复数相等．
学习难点：复数代数形式的表示方法，理解复数相等．
课前预习案
教材助读：
阅读教材的内容，思考并完成下列问题：
1．复数的有关概念
(1)复数
①定义：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈______，i 叫做__________．a 叫做复数的______，b 叫做复数的______．
②表示方法：复数通常用字母____表示，即________．
(2)复数集
①定义：__________所构成的集合叫做复数集．
②表示：通常用大写字母____表示．
2．复数的分类及包含关系
(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R)⎩⎨⎧ 实数b ＝0虚数
b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0
(2)集合表示：
3．复数相等的充要条件
设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔__________.
一、新课导学：
探究点一 复数的概念
问题1：为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
问题2：如何理解虚数单位i?
问题3：什么叫复数？怎样表示一个复数？
问题4：什么叫虚数？什么叫纯虚数？
探究点二 两个复数相等
问题1：两个复数能否比较大小？
问题2：两个复数相等的充要条件是什么？
二、合作探究
例 1 ：请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．
①2＋3i ；②－3＋12
i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.
例2 ：当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m
＋(m 2－2m )i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
例3：已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .
三、当堂检测 1. 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．
(1)实部为－2的虚数； (2)虚部为－2的虚数；
(3)虚部为－2的纯虚数； (4)实部为－2的纯虚数．
2．实数m 为何值时，复数z ＝m m ＋2m －1
＋(m 2＋2m －3)i 是 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
3．已知x 2－x －6x ＋1
＝(x 2－2x －3)i(x ∈R)，求x 的值．
四、课后反思
课后训练案
1. 已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是 ( )
A ．2，1
B ．2，5
C ．±2，5
D ．±2，1
2. 下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是
( ) A ．±1
B ．±i
C ．±2i
D ．±2i
3. 如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．－1或1 4. 下列几个命题：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－a i(a ∈R)是一个复数；
④虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦2i是一个无理数．
其中正确命题的个数为() A．3个B．4个C．5个D．6个。