推理与证明经典练习题讲解学习
第53讲 推理与证明(解析版)
简单已测：1994次正确率：87.2 %1.下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由⼀般到⼀般的推理；③演绎推理是由⼀般到特殊的推理；④类⽐推理是由特殊到⼀般的推理；⑤类⽐推理是由特殊到特殊的推理．A.①②③ B.②③④C.①③⑤ D.②④⑤考点：归纳推理的常⽤⽅法、类⽐推理的常⽤⽅法知识点：归纳推理、类⽐推理答案：C解析：所谓归纳推理，就是从个别性知识推出⼀般性结论的推理．故①对②错；⼜所谓演绎推理是由⼀般到特殊的推理．故③对；类⽐推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从⽽推出它们的其他属性也相同的推理．故④错⑤对．故选：．⼀般已测：2488次正确率：82.5 %2.图是“推理与证明”的知识结构图,如果要加⼊“归纳”,则应该放在（ ）A.“合情推理”的下位B.“演绎推理”的下位C.“直接证明”的下位D.“间接证明”的下位考点：归纳推理的常⽤⽅法、类⽐推理的常⽤⽅法知识点：归纳推理、类⽐推理答案：A解析：合情推理包括归纳推理与类⽐推理，因此答案为.C A简单已测：1990次正确率：95.2 %3.给出下列表述:①综合法是由因导果法；②综合法是顺推证法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推证法.其中正确的表述有( )A.个B.个C.个D.个考点：分析法的思考过程、特点及应⽤、综合法的思考过程、特点及应⽤知识点：综合法、分析法答案：C解析：结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确,分析法和综合法均为直接证明法,故④不正确．⼀般已测：3748次正确率：87.4 %4.观察下列各式：，则的末四位数字为（ ）A.B.C.D.考点：有理数指数幂的运算性质、归纳推理的常⽤⽅法知识点：有理数指数幂的运算法则、归纳推理答案：D 解析：，可以看出这些幂的最后位是以为周期变化的，，的末四位数字与的后四位数相同，是，故选D⼀般已测：1886次正确率：81.9 %5.观察下列各式：，， ，，，，则=（ ）A.B.C.23455=3125,5=15625,5=78125,⋯567520113125562506258125∵5=3125,5=15625,5=781255675=390625,5=1953125,5=9765625,5=48828125⋯89101144∵2011÷4=502⋯3∴52011578125a +b=1a +b =322a +b =433a +b =744a +b =1155…a +b 10102876123D.考点：根据数列的前⼏项写出数列的⼀个通项公式、归纳推理知识点：数列的概念、周期数列答案：C解析：观察可得各式的值构成数列，，，，，，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第⼗项．继续写出此数列为，，，，，，，，，，，第⼗项为，即故选.简单已测：4633次正确率：88.2 %6.下⾯⼏个推理过程是演绎推理的是( )．A.某同学第⼀次数学考试分，第⼆次考试分，由此预测其第三次考试分．B.根据圆的⾯积为，推测球的体积为．C.在数列中，根据，，计算出，，的值，然后猜想的通项公式．D.因为平⾏四边形的对⻆线互相平分，⽽菱形是平⾏四边形，所以菱形的对⻆线互相平分考点：类⽐推理的常⽤⽅法、演绎推理的基本⽅法知识点：归纳推理、类⽐推理答案：D解析：：由平⾯图的⾯积，推测空间体的体积，是由特殊特殊的推理，为类⽐推理；与都是从特殊⼀般的推理，均属于归纳推理；为三段论，是从⼀般特殊的推理，是演绎推理．故选．简单已测：1408次正确率：86.2 %7.因为指数函数(且)是增函数,⽽是指数函数,所以是增函数,以上推理错误的是（ ）A.⼤前提B.⼩前提C.推理形式D.以上都错考点：类⽐推理的常⽤⽅法、三段论的推理应⽤知识点：类⽐推理、“三段论”推理答案：A解析：当时,函数是⼀个增函数,当时,指数函数是⼀个减函数,是增函数这个⼤前提是错误的,从⽽导致结论错.故选:.199134711⋯13471118294776123⋯123a +b =123.1010C 656871S=πr 2V =πr 3{a }n a =11a =n +1a +1n an n∈N ∗a 2a 3a 4{a }n ∵B →A C →D →D y=a x a >0a ≠1y =( )21x y =( )21x ∵a >10<a <1∴y =a x A简单已测：120次正确率：86.4 %8.设的三边⻓分别为的⾯积为,内切圆半径为,则.类⽐这个结论可知:四⾯体的四个⾯的⾯积分别为内切球的半径为,四⾯体的体积为,则（ ）A.B.C.D.考点：类⽐推理的常⽤⽅法、类⽐推理知识点：类⽐推理、数学归纳法答案：C解析：由题意,的三边⻓分别为的⾯积为,内切圆半径为,则,利⽤等⾯积法得到此结论,类⽐推理到空间中,四⾯体的四个⾯的⾯积分别为内切球的半径为,四⾯体的体积为,利⽤等体积法可知,故.故选.⼀般已测：2772次正确率：78.5 %9.甲、⼄、丙、丁四位同学⼀起去问⽼师询问成语竞赛的成绩．⽼师说：你们四⼈中有位优秀，位良好，我现在给甲看⼄、丙的成绩，给⼄看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对⼤家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）A.⼄可以知道四⼈的成绩B.丁可以知道四⼈的成绩C.⼄、丁可以知道对⽅的成绩D.⼄、丁可以知道⾃⼰的成绩考点：进⾏简单的合情推理、进⾏简单的演绎推理知识点：合情推理、演绎推理答案：D解析：四⼈所知只有⾃⼰看到，⽼师所说及最后甲说话，甲不知⾃⼰的成绩⼄丙必有⼀优⼀良，（若为两优，甲会知道⾃⼰的成绩；若是两良，甲也会知道⾃⼰的成绩）⼄看到了丙的成绩，知⾃⼰的成绩丁看到甲、丁也为⼀优⼀良，丁知⾃⼰的成绩，故选：中等已测：1896次正确率：65.4 %10.已知正整数的次幂有如下分解规律：若的分解中最⼩的数为，则的值为．考点：等差数列五个基本量的计算、归纳推理的常⽤⽅法知识点：等差数列的前n 项和公式、归纳推理答案：解析：由题意，从到，正好⽤去从开始的连续奇数共△ABC a ,b ,c ,△ABC S r r =a +b +c 2S P−ABC S ,S ,S ,S 1234r P −ABC V r = S +S +S +S 1234V S +S +S +S 12342V S +S +S +S 12343V S +S+S +S 12344V △ABC a ,b ,c ,△ABC S r r= a +b +c 2S P −ABC S ,S ,S ,S 1234r P −ABC V V = (S +S +S +S )r 311234r = S +S +S +S 12343V C 22→→→Dm 31=1;2=3+5;3=7+9+11;4=13+15+17+19;3333...m (m ∈N )3+91m 1023m 33个，是从开始的第个奇数当时，从到，⽤去从3开始的连续奇数共个当时，从到，⽤去从开始的连续奇数共个．故．故答案为：⼀般已测：4025次正确率：73.6 %11.甲、⼄、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．⼈作出如下预测：甲说：我不是第三名；⼄说：我是第三名；丙说：我不是第⼀名．若甲、⼄、丙⼈的预测结果有且只有⼀个正确，由此判断获得第⼀名的是．考点：进⾏简单的演绎推理知识点：演绎推理答案：⼄解析：若甲正确，则⼄、丙均错误，故丙是第⼀名，⼄是第⼆名，甲是第三名，与“甲说：我不是第三名“正确相⽭盾，故甲错误，因此，甲为第三名；①于是⼄、丙中必有⼀⼈正确，⼀⼈错误．若丙错误（则⼄正确），即丙是第⼀名，⽽甲是第三名，故⼄是第⼆名，与⼄正确”我是第三名“⽭盾，故丙正确，即丙不是第⼀名，为第⼆名；②由①②得：获得第⼀名的是：⼄.故答案为：⼄.⼀般已测：779次正确率：87.9 %12.中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各⾃乘，并⽽开⽅除之”，⽤符号表⽰为（），我们把，，叫做勾股数．下列给出⼏组勾股数：，，；，，；，，；，，，以此类推，可猜测第组股数的三个数依次是．考点：归纳推理的常⽤⽅法、类⽐推理的常⽤⽅法知识点：归纳推理、类⽐推理答案：，，解析：先找出勾股数的规律：①以上各组数均满⾜；②最⼩的数（）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最⼩奇数的平⽅等于另两个连续整数的和，如，，，，由以上特点我们可第⑤组勾股数：，故答案为，，．⼀般已测：154次正确率：93.7 %13.由①正⽅形的对⻆线相等；②矩形的对⻆线相等；③正⽅形是矩形．写⼀个“三段论”形式的推理，则作为⼤前提、⼩前提和结论的依次为（写序号）．考点：三段论的推理应⽤知识点：“三段论”推理答案：②③①解析：⽤三段论的形式写出的演绎推理是：2+3+4+...+m =2m +2m −1()()91345m =92393=4429+29−1()()m =10231033 =542(10+2)(10−1)m=101033a +b =c 222a ,b ,c ∈N ∗a b c 3455121372425940415116061a +b =c 222a 3=9=4+525=25=12+1327=49=24+2529=81=40+41…211=121=60+612116061(1)(2)⼤前提②矩形的对⻆线相等⼩前提③正⽅形是矩形结论①正⽅形的对⻆线相等故答案为：②③①简单已测：896次正确率：96.4 %14.已知,,,,若(,均为正实数),则类⽐以上等式,可推测,的值,.考点：综合法与分析法、类⽐推理的常⽤⽅法知识点：类⽐推理、综合法答案：解析：由,,,可知：,则，所以,，则较难已测：249次正确率：55.7 %15.证明下列不等式:⽤综合法证明:若,,求证;⽤分析法证明:.考点：分析法的思考过程、特点及应⽤、综合法的思考过程、特点及应⽤知识点：综合法、分析法(1)答案：⻅解析解析：证明,,,.(2)答案：⻅解析解析：证明:要证成⽴,只需证，即证只需证，即证显然为真,故原式成⽴.⼀般已测：2063次正确率：77.4 %16.试⽐较下列各式的⼤⼩（不写过程）（1）与（2）与通过上式请你推测出与且的⼤⼩，并⽤分析法加以证明．考点：分析法的思考过程、特点及应⽤知识点：分析法=22+3232=33+8383=44+ 154154…=66+tata a t a t a +t=41=22+ 32 32=33+ 83 83=44+ 154154… =n(n ≥2)n + n −12nn −12n =66+ 356356a=6t =35a +t =41a >0b >0(a +b )( + )≥4a1b1 + >2 + 6725∵a >0b >0∴a +b ≥2ab ∴ + ≥2a 1b1 ab 1∴(a +b )( +)≥4a 1b 1 + >2 + 6725 +>2 +(67)2(25)213+2 >13+44210 >2 421042>401− 2 − 23 −23 −34 −n −1n −n n +1(n ≥2n ∈N )答案：（1）（2）证明⻅解析解析：猜想：且证明：要证：且 即证：整理得：平⽅整理得：平⽅并整理得：⽽此不等式⼀定成⽴，故猜想正确⼀般已测：2249次正确率：84.8 %17.已知，，是互不相等的实数，求证：由，，确定的三条抛物线⾄少有⼀条与轴有两个不同的交点考点：⽤反证法证明“⾄多”“⾄少”存在性问题知识点：反证法答案：⻅解析解析：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与有两个不同的交点（即任何⼀条抛物线与轴没有两个不同的交点），由，，得，，．同向不等式求和得，，，，，这与题设，，互不相等⽭盾，因此假设不成⽴，从⽽命题得证1−< − 223 −< −2334 − < −n −1n n n +1(n ≥2n ∈N )− < −n −1n n n +1(n ≥2n ∈N )( −)<( −)n −1n 2n n +12> +1n +n 2n −n 22n −1>2n −n 21>0a b c y=ax +2bx +c 2y =bx +2cx +a 2y =cx +2ax +b 2x x x y=ax +2bx +c 2y =bx +2cx +a 2y =cx +2ax +b 2Δ =(2b )−4ac ≤012Δ =(2c )−4ab ≤022Δ =(2a )−4bc ≤0324b +4c +4a −4ac −4ab −4bc ≤0222∴2a +2b +2c −2ac −2ab −2bc ≤0222∴(a −b )+(b −c )+(c −a )≤0222∴a =b =c a b c。
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深圳中学《推理与证明》精选习题及答案
一、选择题（题型注释） 1．（2014?陕西一模）设△ ABC的三边长分别为 a、b、 c，△ ABC的面积为 S，内切圆半
径为 r ，则
，类比这个结论可知：四面体 S﹣ABC的四个面的面积分别为 S1、
S2、 S3、 S4，内切球半径为 r ，四面体 S﹣ ABC的体积为 V，则 r= （ ） A．
b
0) ，△ ABC的顶
点 B 在椭圆上，顶点 A， C 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为
e ，则
sin A sin C 1
，现将该命题类比到双曲线中， △ ABC的顶点 B 在双曲线上， 顶点 A、
sin B
e
x2 y2 C 分别为双曲线的左、 右焦点， 设双曲线的方程为 a 2 b 2 1( a 0, b 0) ．双曲线的
值（大于 ||F 1F2|| ）的点的轨迹可以是（
）
4 ．设 a ， b R ，定义： M (a, b)
式子错误的是（ ）
a b |a b| ， m(a,b)
2
a b |a b|
，下列
2
A． M (a,b) m (a,b) a b
多练出技巧
B． m(| a b |,| a b |) | a | | b | C． M (| a b |,| a b |) | a | | b | D． m(M ( a, b), m( a, b)) m(a,b)
P 到 第 i 条 边 的 距 离 记 为 hi (i
1,2,3,4) ， 若 a1 1
a2 a3 23
a4 k ， 则 4
h1 2 h2 3 h3 4 h4 2S ．类比以上性质，体积为 k
高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理练习含解析新人教A版选修121104
高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理练习含解析新人教A版选修121104[A 基础达标]1．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )A．①④B．②④C．①③D．②③解析：选A.根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．2．对于推理：若a>b，则a2>b2，因为2>－2，则22>(－2)2，即4>4，下列说法正确的是( ) A．大前提错误B．小前提错误C．推理正确D．不是演绎推理解析：选A.当a，b同正时，a>b⇒a2>b2.即若a>b，则a2>b2不一定成立．因此推理过程中大前提错误．故选A.3．(2018·绵阳模拟)某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是( )A．2日和5日B．5日和6日C．6日和11日D．2日和11日解析：选C.1～12日期之和为78，三人各自值班的日期之和相等，故每人值班4天的日期之和是26，甲在1日和3日都有值班，故甲余下的两天只能是10日和12日；而乙在8日和9日都有值班，8＋9＝17，所以11日只能是丙去值班了．余下还有2日、4日、5日、6日、7日5天，显然，6日只可能是丙值班了．4．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)＜0.对任意正数a，b，若a＜b，则必有( )A．bf(a)＜af(b) B．af(b)＜bf(a)C．af(a)＜f(b) D．bf(b)＜f(a)解析：选B.构造函数F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)．由题设条件知F(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减．若a＜b，则F(a)＞F(b)，即af(a)＞bf(b)．又f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，所以bf (a )＞af (a )＞bf (b )＞af (b )．故选B.5．(2018·昆明模拟)“五一”期间，某公园举行免费游园活动，免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来，…，按照这种规律进行下去，到上午11时公园内的人数是( )A ．212－57 B ．211－47 C ．210－38D ．29－30解析：选B.6时30分进去的人数为2，设从6时30分起第i 个30分钟进去的人数为a i (i ＝1，2，…，n ，n ∈N *)，则a 1＝4－1，a 2＝8－2，a 3＝16－3，…，a n ＝2n ＋1－n ，则到上午11时公园内的人数为2＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋22＋23＋…＋210)－(1＋2＋…＋9)＝211－47，故选B.6．由“(a 2＋1)x >3，得x >3a 2＋1”的推理过程中，其大前提是____________． 解析：因为a 2＋1≥1>0， 所以由(a 2＋1)x >3，得x >3a 2＋1. 其前提依据为不等式的同向可乘性：不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不改变． 答案：不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不改变 7．有一段演绎推理： 大前提：整数是自然数； 小前提：－3是整数； 结论：－3是自然数．这个推理显然错误，则错误的原因是____________错误．(从“大前提”“小前提”“结论”中择一个填写)解析：自然数是非负整数，因此整数不一定是自然数，即大前提是错误的． 答案：大前提8．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当x ＞0时，f (x )是增函数；当x ＜0时，f (x )为减函数； ③f (x )的最小值是lg 2；④当－1＜x ＜0或x ＞1时，f (x )是增函数； ⑤f (x )无最大值，也无最小值． 其中所有正确结论的序号是________．解析：显然f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数时，其图象关于y 轴对称．当x ＞0时，f (x )＝lg x 2＋1x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x . 设g (x )＝x ＋1x，可知其在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x )在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．f (x )min ＝f (1)＝lg 2.因为f (x )为偶函数，所以f (x )在(－1，0)上是增函数． 答案：①③④9．已知A ，B ，C ，D 是空间中不共面的四点，M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心，求证：MN ∥平面ACD (写出每一个三段论的大前提、小前提、结论)．证明：如图，连接BM ，BN 并延长，分别交AD ，DC 于P ，Q 两点，连接PQ .因为三角形的重心是中线的交点，大前提 M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心，小前提 所以P ，Q 分别是AD ，DC 的中点．结论因为三角形的重心将中线分成长为2∶1的两部分，大前提M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心，BP ，BQ 分别是△ABD 和△BCD 的中线，小前提所以BM MP ＝BNNQ＝2.结论 平行线分线段成比例定理推论的逆定理，大前提 BM MP ＝BNNQ＝2， 小前提 所以MN ∥PQ .结论 直线与平面平行的判定定理，大前提 MN ⊄平面ACD ，PQ ⊂平面ACD ，MN ∥PQ ，小前提 所以MN ∥平面ACD .结论10．求证：在锐角三角形ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：因为在锐角三角形中，A ＋B ＞π2，所以A ＞π2－B ，所以0＜π2－B ＜A ＜π2.又因为在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内，正弦函数是单调递增函数，所以sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ， 即sin A ＞cos B ．同理可证sin B ＞cos C ，sin C ＞cos A .把以上三式两端分别相加得sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .[B 能力提升]12．(2018·漳州模拟)我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积公式”为S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222.若a 2sin C ＝4sin A ，(a ＋c )2＝12＋b 2，则用“三斜求积公式”求得△ABC 的面积为( )A. 3 B ．2 C ．3D. 6解析：选A.因为a 2sin C ＝4sin A ， 所以ac ＝4， 又(a ＋c )2＝12＋b 2， 所以a 2＋c 2－b 2＝4，则S △ABC ＝14×（16－4）＝ 3. 13．已知y ＝f (x )在(0，＋∞)上有意义，单调递增且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )． (1)求证：f (x 2)＝2f (x )； (2)求f (1)的值；(3)若f (x )＋f (x ＋3)≤2，求x 的取值范围． 解：(1)证明：因为f (xy )＝f (x )＋f (y )， 所以f (x 2)＝f (x ·x ) ＝f (x )＋f (x )＝2f (x )． (2)因为f (1)＝f (12)＝2f (1)， 所以f (1)＝0.(3)因为f (x )＋f (x ＋3)＝f (x (x ＋3)) ≤2＝2f (2)＝f (4)，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＋3＞0，x （x ＋3）≤4，解得0＜x ≤1.所以x 的取值范围为(0，1]．14．(选做题)已知平面α∥平面β，l ⊥α，l ∩α＝A (如图)，求证：l ⊥β.证明：如图，在平面β内任取一条直线b ，设平面γ是经过点A 与直线b 的平面，且γ∩α＝a .如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，大前提 α∥β，且α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，小前提 所以a ∥b .结论如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，大前提 a ⊂α，且l ⊥α，小前提 所以l ⊥a .结论如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条直线垂直，大前提a∥b，且l⊥a，小前提所以l⊥b. 结论如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直，大前提l⊥b，且直线b是平面β内的任意一条直线，小前提所以l⊥β. 结论。
推理与证明习题讲练 ppt课件
第28讲 推理与证明
第28讲 │ 主干知识整合
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第28讲 │ 教师备用习题
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高考数学压轴专题人教版备战高考《推理与证明》技巧及练习题含答案
新高中数学《推理与证明》专题解析一、选择题1．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】C【解析】【分析】分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.【详解】①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.综上所述，年纪最大的是丙故选：C.【点睛】本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.2．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i(i＝1，2，…，10)个人的水桶需T i分钟，假设T i各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少()A．从T i中最大的开始，按由大到小的顺序排队B．从T i中最小的开始，按由小到大的顺序排队C．从靠近T i平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D．任意顺序排队接水的总时间都不变【答案】B【解析】【分析】表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论【详解】事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T 分钟，小桶接满水需要t 分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m 分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T ）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t ）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t ）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了22m t T ++ 2m+2t+T 分钟，共节省了T t - T-t分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短． 故选B. 【点睛】一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法．3．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．A ．2nB ．22n n -+C ．2(1)(2)(3)n n n n ----D ．325104n n n -+-【答案】B 【解析】 【分析】分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可. 【详解】由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-. 累加可得()()()21222224 (2222)2n n n n f n n -+-=++++-=-++=.故选：B 【点睛】本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.4．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2n B ．n nC ．2nD ．222n -【答案】B 【解析】 【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=； 当分母的指数为2时，分子为224=； 当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n ax n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．5．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ） A ．147 B ．294C ．882D ．1764【答案】A 【解析】 【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值. 【详解】 依题意列表如下：上列乘6 上列乘5 上列乘2 16 30 60 123153013 2 10 2014 32 1521515 6561216 15 10所以6603020151210147S =+++++=.故选：A 【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.6．将从1开始的连续奇数排成如图所示的塔形数表，表中位于第i 行，第j 列的数记为ij a ，例如329a =，4215a =，5423a =，若2019ij a =，则i j -=（ ）A ．71B ．72C ．20D ．19【答案】D 【解析】 【分析】先确定奇数2019为第1010个奇数，根据规律可得从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，可确定2019位于第45行，进而确定2019所在的列，【详解】奇数2019为第1010个奇数，由题意按照蛇形排列，从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，则从第1行到第44行末共有990个奇数，从第1行到第45行末共有1035个奇数， 则2019位于第45行，而第45行时从右往左递增，且共有45个奇数， 故2019位于第45行，从右往左第20列， 则45i =，26j =，故19i j -=. 故选：D. 【点睛】本题考查了归纳推理的应用，考查了逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.7．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 【答案】B 【解析】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.8．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】分别假设甲、乙、丙、丁是罪犯，依次分析四人的供词，由两人说的是真话，两人说的是假话，能判断出结果． 【详解】①假设盗窃者是甲，则甲说了假话，乙说了真话，丙说了假话，丁说了真话，合乎题意； ②假设盗窃者是乙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；③假设盗窃者是丙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；④假设盗窃者是丁，则甲说了真话，乙说了真话，丙说了真话，丁说了假话，不合乎题意. 综上所述，盗窃者是甲. 故选：A. 【点睛】本题考查罪犯的判断，考查合情推理等基础知识，考查分类讨论思想的应用，是中等题．9．二维空间中圆的一维测度(周长)2lr π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）A ．42r πB ．43r πC ．44r πD ．46r π【答案】A 【解析】分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度， 结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：=====“穿墙术”，则n =（ ） A ．35 B ．48C ．63D ．80【答案】C 【解析】n=⨯+=即可.通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出78763【详解】因为======，==n=.所以===63故选：C.【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．11．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）A．甲走桃花峪登山线路B．乙走红门盘道徒步线路C．丙走桃花峪登山线路D．甲走天烛峰登山线路【答案】D【解析】【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路故选：D本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.12．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373152{3{94{5171119L ，，,仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】B 【解析】由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数，设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ，则由题意可得：3273422a a -=-==⨯，43137623a a -=-==⨯，…，12(1)m m a a m --=-，将以上2m -个式子叠加可得2(422)(2)(1)(2)2m m m a a m m +---==+-∴22(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+∴当9m =时，73m a =，即73是39的“分裂数”中第一个数 故选B13．用数学归纳法证明不等式11112321n n +++⋅⋅⋅+<-（2n ≥且*n N ∈）时，在证明从n k =到1n k =+时，左边增加的项数是（ ）A ．2kB ．21k -C ．12k -D ．k【答案】A 【解析】 【分析】根据题意由n k =递推到1n k =+时，由1n k =+时的不等式左边11111111232122121k k k k +=+++⋯++++⋯+-+-与n k =时不等式的左边比较即可求解.【详解】用数学归纳法证明不等式11112321n n +++⋅⋅⋅+<-的过程中， 假设n k =时不等式成立，则左边11112321k =+++⋅⋅⋅+-，那么当1n k =+时，左边11111111232122121k k k k +=+++⋯++++⋯+-+-， ∴由n k =递推到1n k =+时，不等式左边增加了：111122121k k k +++⋯++-， 共()121212k k k +--+=项.故选：A 【点睛】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题.14．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班 D ．15班、14班、7班【答案】C 【解析】 【分析】分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级． 【详解】假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班， 则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班； 假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意． 综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班． 故选：C ． 【点睛】本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．一场考试之后，甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是（ ） A ．甲同学三个科目都达到优秀B ．乙同学只有一个科目达到优秀C ．丙同学只有一个科目达到优秀D ．三位同学都达到优秀的科目是数学【答案】C 【解析】 【分析】根据题意推断出乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，甲至少有一科优秀，从而得出答案. 【详解】甲说有一个科目每个人都达到优秀，说明甲乙丙三个人每个人优秀的科目至少是一科，乙说英语没有达到优秀，说明他至多有两科达到优秀，而丙优秀的科目不如乙多，说明只能是乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，故B 错误，C 正确；至于甲有几个科目优秀，以及三人都优秀的科目到底是语文还是数学，都无法确定 故选：C 【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.16．三角形的面积为1()2S a b c r =++⋅，其中,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）A ．13V abc = B ．13V Sh = C ．1()3V ab bc ca h =++，（h 为四面体的高） D ．()123413V S S S S r =+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径） 【答案】D 【解析】 【分析】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据体积公式得到答案. 【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，将O 与四顶点连起来， 可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，∴V 13=（S 1+S 2+S 3+S 4）r . 故选：D ． 【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.17．下列表述正确的是（ ）①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；A ．②④B ．①③C ．①④D ．①②【答案】D【解析】分析：根据题意，结合合情推理、演绎推理的定义，依次分析4个命题，综合即可得答案.详解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，所以正确； 对于②，演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，所以正确； 对于③，类比推理是由特殊到特殊的推理，所以错误；对于④，分析法、综合法是常见的直接证明法，所以错误；则正确的是①②，故选D.点睛：该题考查的是有关推理的问题，对归纳推理、演绎推理和类比推理的定义要明确，以及清楚哪些方法是直接证明方法，哪些方法是间接证明方法，就可以得结果.18．用数学归纳法证明“1112n n ++++…111()24n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( ) A ．12(1)k + B ．112122k k +++ C ．11121221k k k +-+++ D ．1111212212k k k k +--++++ 【答案】C【解析】【分析】分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项。
高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法精讲精练(含答案解析)
2．3数学归纳法考点学习目标核心素养数学归纳法的原理了解数学归纳法的原理数学抽象数学归纳法的应用能用数学归纳法证明一些简单的数学命题逻辑推理问题导学预习教材P92～P95，并思考下列问题：1．数学归纳法的概念是什么？2．数学归纳法的证题有几步？数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．■名师点拨(1)数学归纳法的两个步骤分别是数学归纳法的两个必要条件，二者缺一不可．步骤①是命题论证的基础，步骤②是判断命题的正确性能否递推下去的保证，这两个步骤缺一不可．如果缺少步骤②，无法对当n取n0以后的数时的结论是否正确作出判断；如果缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤②就没有意义了．(2)步骤②中，证明“当n＝k＋1时命题成立”的过程中，必须利用归纳假设，即必须用上“假设当n＝k时命题成立”这一条件．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ) (2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√用数学归纳法证明“凸n 边形的内角和等于(n －2)π”时，归纳奠基中n 0的取值应为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.根据凸n 边形至少有3条边，知n ≥3，故n 0的取值应为3.用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *且n >1)第一步要证明的不等式是____________，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左端增加了____________项．解析：当n ＝2时，1＋12＋13<2.当n ＝k 时到第2k －1项， 而当n ＝k ＋1时到第2k ＋1－1项，所以2k ＋1－1－(2k －1)＝2k ＋1－2k ＝2·2k －2k ＝2k . 答案：1＋12＋13<2 2k用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明：对任何正整数n ，13＋115＋135＋163＋…＋14n 2－1＝n2n ＋1成立．【证明】 ①当n ＝1时，左边＝13，右边＝12×1＋1＝13，故左边＝右边，等式成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立， 即13＋115＋135＋163＋…＋14k 2－1＝k2k ＋1. 那么当n ＝k ＋1时，利用归纳假设有： 13＋115＋135＋163＋…＋14k 2－1＋14（k ＋1）2－1＝k2k＋1＋14（k＋1）2－1＝k2k＋1＋1（2k＋2）2－1＝k2k＋1＋1（2k＋1）（2k＋3）＝k（2k＋3）＋1（2k＋1）（2k＋3）＝2k2＋3k＋1（2k＋1）（2k＋3）＝（2k＋1）（k＋1）（2k＋1）（2k＋3）＝k＋12（k＋1）＋1.故当n＝k＋1时，等式也成立．由①和②知，等式对任何正整数n都成立．用数学归纳法证明等式的方法用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，其中n∈N*.证明：(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)可知等式对任何n∈N*都成立．用数学归纳法证明不等式求证：2＋12·4＋14·…·2n ＋12n >n ＋1，n ∈N *.【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，左边>右边，所以不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k>k ＋1. 则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32（k ＋1）>k ＋1·2k ＋32（k ＋1）＝2k ＋32k ＋1.要证当n ＝k ＋1时，不等式成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥（k ＋1）（k ＋2）.由基本不等式，得2k ＋32＝（k ＋1）＋（k ＋2）2≥（k ＋1）（k ＋2），所以2k ＋32k ＋1≥k ＋2，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，原不等式均成立．用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2＜1－1n (n ≥2，n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝2时， 左式＝122＝14，右式＝1－12＝12.因为14＜12，所以不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时， 不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2＜1－1k ， 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1（k ＋1）2＜1－1k ＋1（k ＋1）2＝1－（k ＋1）2－k k （k ＋1）2＝1－k 2＋k ＋1k （k ＋1）2＜1－k （k ＋1）k （k ＋1）2＝1－1k ＋1， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．归纳——猜想——证明已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n1－4a 2n(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． 【解】 (1)由点P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1， 所以b 2＝b 11－4a 21＝13，a 2＝a 1·b 2＝13， 所以点P 2的坐标为⎝⎛⎭⎫13，13， 故直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1，命题成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立，则当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a 2k(2a k＋1)＝b k1－2a k ＝1－2a k 1－2a k ＝1， 故当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①和②知，对任何n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1成立，即点P n 在直线l 上．“归纳—猜想—证明”的一般步骤已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1.(1)写出a 1，a 2，a 3，推测a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得结论．解：(1)由S n ＋a n ＝2n ＋1，得a 1＝32，a 2＝74，a 3＝158，推测a n ＝2n ＋1－12n ＝2－12n (n ∈N *)．(2)证明：a n ＝2－12n (n ∈N *)．①当n ＝1时，a 1＝2－121＝32，结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即a k ＝2－12k ，那么当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1，因为a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k ＋1－a k ，所以2a k ＋1＝a k ＋2，所以2a k ＋1＝4－12k ，所以a k ＋1＝2－12k ＋1，所以当n ＝k ＋1时结论成立．由①②知对于任意正整数n ，结论都成立.规范解答数学归纳法的应用(本题满分12分)给出四个等式： 1＝1，1－4＝－(1＋2)， 1－4＋9＝1＋2＋3，1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)， …(1)写出第5，6个等式，并猜测第n (n ∈N *)个等式； (2)用数学归纳法证明你猜测的等式．【解】 (1)第5个等式：1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5，(1分) 第6个等式：1－4＋9－16＋25－36＝－(1＋2＋3＋4＋5＋6)，(2分) 第n 个等式为：12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1n 2 ＝（－1）n －1（1＋2＋3＋…＋n ）. (4分)正确猜测此结论,是本题的基础．)(2)证明：①当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0×1＝1，左边＝右边，等式成立．(6分)②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2 ＝(－1)k －1(1＋2＋3＋…＋k ) ＝(－1)k －1·k （k ＋1）2.(7分)则当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2 ＝(－1)k －1·k （k ＋1）2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k (k ＋1)⎣⎡⎦⎤（k ＋1）－k2 ＝（－1）k （k ＋1）[（k ＋1）＋1]2＝（－1）k （1＋2＋3＋…＋k ＋1）. (10分)由n ＝k 到n ＝k ＋,1是本题的难点．)所以当n ＝k ＋1时，等式也成立，（11分） 根据①②可知，对∀n ∈N *等式均成立．(12分)(1)应用数学归纳法时，可按口诀“递推基础不可少，归纳假设要用到，突出形式明依据，总结定论莫忘掉”来检查要点．(2)在数学归纳法应用中，要明确当n ＝k ＋1时，等式两边的式子与n ＝k 时等式两边的式子的联系，增加的项为(－1)k (k ＋1)2.这样才可以正确求解．1．用数学归纳法证明：⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2，n ∈N *)． 证明：①当n ＝2时， 左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，所以左边＝右边．所以当n ＝2时，等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立， 即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k ， 当n ＝k ＋1时，那么⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎡⎦⎤1－1（k ＋1）2 ＝k ＋12k ⎣⎡⎦⎤1－1（k ＋1）2 ＝k ＋12k ·k （k ＋2）（k ＋1）2＝k ＋22（k ＋1） ＝（k ＋1）＋12（k ＋1），即当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据①②可知，等式对任意n ≥2，n ∈N *都成立． 2．已知数列{a n }满足a 1＝16，前n 项和S n ＝n （n ＋1）2a n .(1)求a 2，a 3，a 4的值；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1)因为a 1＝16，前n 项和S n ＝n （n ＋1）2a n ，所以令n ＝2，得a 1＋a 2＝3a 2，所以a 2＝12a 1＝112.令n ＝3，得a 1＋a 2＋a 3＝6a 3，所以a 3＝120.令n ＝4，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10a 4，所以a 4＝130.(2)猜想a n ＝1（n ＋1）（n ＋2），下面用数学归纳法给出证明．①当n ＝1时，左边：a 1＝16＝1（1＋1）（1＋2）＝右边，结论成立；②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，结论成立， 即a k ＝1（k ＋1）（k ＋2），则当n ＝k ＋1时，S k ＝k （k ＋1）2·a k ＝k2（k ＋2），S k ＋1＝（k ＋1）（k ＋2）2·a k ＋1，即S k ＋a k ＋1＝（k ＋1）（k ＋2）2·a k ＋1，所以k2（k ＋2）＋a k ＋1＝（k ＋1）（k ＋2）2·a k ＋1，所以k （k ＋3）2·a k ＋1＝k2（k ＋2），所以a k ＋1＝1（k ＋2）（k ＋3），所以当n ＝k ＋1时结论成立．由①②可知，对一切n ∈N *都有a n ＝1（n ＋1）（n ＋2）成立．[A 基础达标]1．下面四个判断中，正确的是( )A ．式子1＋k ＋k 2＋…＋k n (n ∈N *)，当n ＝1时，原式＝1B ．式子1＋k ＋k 2＋…＋k n －1(n ∈N *)，当n ＝1时，原式＝1＋k C ．式子1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，当n ＝1时，原式＝11＋12＋13D ．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4解析：选C.A.当n ＝1时，原式＝1＋k ，错误；B.当n ＝1时，原式＝1，错误；C.当n ＝1时，原式＝11＋12＋13，正确；D.f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1，错误．故选C.2．用数学归纳法证明n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2(n ∈N *)时，若记f (n )＝n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)，则f (k ＋1)－f (k )等于( )A ．3k －1B ．3k ＋1C ．8kD ．9k解析：选C.因为f (k )＝k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)，f (k ＋1)＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(3k －1)＋3k ＋(3k ＋1)，则f (k ＋1)－f (k )＝3k －1＋3k ＋3k ＋1－k ＝8k .3．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(k ∈N *) B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(k ∈N *) C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(k ∈N *) D ．假设n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k ∈N *)解析：选B.n ∈N *且为奇数，由假设n ＝2k －1(k ∈N *)时成立推证出n ＝2k ＋1(k ∈N *)时也成立，就完成了归纳递推．4．用数学归纳法证明不等式12＋13＋…＋12n ≤n 时，从n ＝k 到n ＝k ＋1不等式左边增添的项数是( )A ．kB ．2k －1C ．2kD ．2k ＋1解析：选C.当n ＝k 时，不等式左边为12＋13＋14＋…＋12k ，共有2k －1项；当n ＝k ＋1时，不等式左边为12＋13＋14＋…＋12k ＋1，共有2k ＋1－1项，所以增添的项数为2k ＋1－2k ＝2k .5．对于不等式 n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ＜k ＋1.那么当n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝k 2＋3k ＋2＜（k 2＋3k ＋2）＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．根据(1)和(2)，可知对于任何n ∈N *，不等式均成立． 则上述证法( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的证明过程不正确解析：选D.此同学从n ＝k 到n ＝k ＋1的证明过程中没有应用归纳假设．6．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取________．解析：验证法，当n ＝1时，2＝2；当n ＝2时，22＝4<22＋1＝5；当n ＝3时，23＝8<32＋1＝10；当n ＝4时，24＝16<42＋1＝17；当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26；当n ＝6时，26＝64>62＋1＝37.答案：57．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1（n ＋1）2＞12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是________．解析：观察不等式左边的分母可知，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边多出了1（k ＋2）2这一项．答案：122＋132＋…＋1（k ＋1）2＋1（k ＋2）2＞12－1k ＋38．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________． 解析：因为f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，所以f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，即f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.答案：f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)29．已知数列{a n }中，a 1＝5，S n －1＝a n (n ≥2且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4并由此猜想a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．解：(1)a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝20.猜想a n ＝5×2n －2(n ≥2，n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5成立．②假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时猜想成立，即a k ＝5×2k －2，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2＝5＋5（1－2k －1）1－2＝5×2k －1. 故当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②可知，对n ≥2且n ∈N *，都有a n ＝5×2n －2.于是数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，5×2n －2，n ≥2且n ∈N *. [B 能力提升]10．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形对角线的条数f (n ＋1)为( )A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2解析：选C.增加一个顶点，就增加n ＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f (n ＋1)＝f (n )＋1＋n ＋1－3＝f (n )＋n －1.故应选C.11．用数学归纳法证明“5n －2n 能被3整除(n ∈N *)”的第二步中，n ＝k ＋1时，为了使用归纳假设，应将5k ＋1－2k＋1变形为( )A ．5(5k －2k )＋3×2kB ．(5k －2k )＋4×5k －2kC ．3(5k －2k )D ．2(5k －2k )－3×5k解析：选A.假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即5k －2k 能被3整除．当n ＝k ＋1时，5k ＋1－2k ＋1＝5×5k －2×2k ＝5(5k －2k )＋5×2k －2×2k ＝5(5k －2k )＋3×2k ，故选A. 12．求证：当n ≥1(n ∈N *)时，(1＋2＋…＋n )·⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n ≥n 2. 证明：(1)当n ＝1时，左边＝右边，命题成立；当n ＝2时，左边＝(1＋2)⎝⎛⎭⎫1＋12＝92>22＝右边，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，命题成立，即(1＋2＋…＋k )⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1k ≥k 2， 则当n ＝k ＋1时，有左边＝[(1＋2＋…＋k )＋(k ＋1)]·[(1＋12＋…＋1k )＋1k ＋1]＝(1＋2＋…＋k )·⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1k ＋(1＋2＋…＋k )·1k ＋1＋(k ＋1)·⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1k ＋1≥k 2＋k （k ＋1）2·1k ＋1＋1＋(k ＋1)·⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1k ＝k 2＋k 2＋1＋(k ＋1)·⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1k . 因为当k ≥2时，1＋12＋…＋1k ≥1＋12＝32， 所以左边≥k 2＋k 2＋1＋(k ＋1)×32＝k 2＋2k ＋1＋32>(k ＋1)2＝右边． 所以当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，当n ≥1时，原命题成立．13．(选做题)已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，且当x ∈⎣⎡⎦⎤14，12时，f (x )≥18. (1)求a 的值；(2)设0<a 1<12，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *，证明：a n <1n ＋1. 解：(1)由题意，知f (x )＝ax －32x 2＝－32⎝⎛⎭⎫x －a 32＋a 26. 因为f (x )max ≤16，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 3＝a 26≤16，所以a 2≤1. 又当x ∈⎣⎡⎦⎤14，12时，f (x )≥18， 所以⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫12≥18f ⎝⎛⎭⎫14≥18，即⎩⎨⎧a 2－38≥18a 4－332≥18，解得a ≥1. 又因为a 2≤1，所以a ＝1.(2)证明：由(1)知，f (x )＝x －32x 2. 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，0<a 1<12，显然结论成立． 因为当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，0<f (x )≤16， 所以0<a 2＝f (a 1)≤16<13. 故当n ＝2时，原不等式也成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式0<a k <1k ＋1成立． 因为f (x )＝x －32x 2的对称轴为直线x ＝13， 所以当x ∈⎝⎛⎦⎤0，13时，f (x )为增函数． 由0<a k <1k ＋1≤13，得0<f (a k )<f ⎝⎛⎭⎫1k ＋1. 于是0<a k ＋1＝f (a k )<1k ＋1－32·1（k ＋1）2＋1k ＋2－1k ＋2＝1k ＋2－k ＋42（k ＋1）2（k ＋2）<1k ＋2. 所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②，知对任意n ∈N *，不等式a n <1n ＋1都成立．。
高一 推理证明复数算法知识点+例题+练习 含答案
1．合情推理(1)归纳推理①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( × ) (4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √ )(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n ＝n (n ∈N *)．( × ) (6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( × )1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝________. 答案 123解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a 10＋b 10＝123.2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是________． ①使用了归纳推理； ②使用了类比推理；③使用了“三段论”，但推理形式错误； ④使用了“三段论”，但小前提错误． 答案 ③解析 由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．3．(2014·福建)已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2，②b ＝2，③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c ＝________. 答案 201解析 因为三个关系中只有一个正确，分三种情况讨论：若①正确，则②③不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧a ≠2，b ≠2，c ＝0，由于集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，所以解得a ＝b ＝1，c ＝0，或a ＝1，b ＝c ＝0，或b ＝1，a ＝c ＝0，与互异性矛盾；若②正确，则①③不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，a ＝2，c ＝0，与互异性矛盾；若③正确，则①②不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧ c ≠0，a ＝2，b ≠2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0，c ＝1，符合题意，所以100a ＋10b ＋c ＝201.4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________． 答案 1∶8解析 ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8.5．(教材改编)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则b 1b 2b 3b 4…b n ＝________________. 答案 b 1b 2b 3b 4…b 17－n (n <17，n ∈N *)题型一 归纳推理命题点1 与数字有关的等式的推理 例1 (2015·陕西)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为____________________________________________． 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .命题点2 与不等式有关的推理例2 已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________. 答案 n n解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n . 命题点3 与数列有关的推理例3 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 答案 1 000 解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.命题点4 与图形变化有关的推理例4 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．(1)n 级分形图中共有________条线段； (2)n 级分形图中所有线段长度之和为________． 答案 (1)3×2n －3 (2)9－9×⎝⎛⎭⎫23n解析 (1)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图中有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝(3×2n －3) (n ∈N *)．(2)∵分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，∴n 级分形图中第n 级的所有线段的长度和为b n ＝3×⎝⎛⎭⎫23n －1(n ∈N *)，∴n 级分形图中所有线段长度之和为S n ＝3×⎝⎛⎭⎫230＋3×⎝⎛⎭⎫231＋…＋3×⎝⎛⎭⎫23n －1＝3×1－⎝⎛⎭⎫23n1－23＝9－9×⎝⎛⎭⎫23n . 思维升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． (3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(1)观察下图，可推断出“x ”处应该填的数字是________．(2)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为________． 答案 (1)183 (2)8解析 (1)由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，∴“x ”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.(2)由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6＋6(n －1)2×(n －1)＝3n 2－3n ＋1，由题意得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故共有8层．题型二 类比推理例5 已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －ma n －m .类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________. 答案 n －m d nc m解析 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －1，am ＋n ＝nb －man －m， 所以类比得b m ＋n ＝n －m d nc m.思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d ＝1.题型三 演绎推理例6 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为________． ①大前提错误； ②小前提错误； ③推理形式错误； ④非以上错误．答案 ③解析 因为大前提的形式“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误．10．高考中的合情推理问题典例 (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：①b 2 014是数列{a n }的第________项； ②b 2k －1＝________.(用k 表示)(2)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是________． ①A ＝N *，B ＝N ；②A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}； ③A ＝{x |0<x <1}，B ＝R ； ④A ＝Z ，B ＝Q .解析 (1)①a n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，b 1＝4×52＝a 4，b 2＝5×62＝a 5，b 3＝9×(2×5)2＝a 9，b 4＝(2×5)×112＝a 10，b 5＝14×(3×5)2＝a 14，b 6＝(3×5)×162＝a 15，…b 2 014＝⎝⎛⎭⎫2 0142×5⎝⎛⎭⎫2 0142×5＋12＝a 5 035.②由①知b 2k －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×5－1⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×52＝5k (5k －1)2.(2)对于①，取f (x )＝x －1，x ∈N *，所以A ＝N *，B ＝N 是“保序同构”的，故①是；对于②，取f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1，x ＋1，－1<x ≤0，x 2＋1，0<x ≤3，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}是“保序同构”的，故②是；对于③，取f (x )＝tan(πx －π2)(0<x <1)，所以A ＝{x |0<x <1}，B ＝R 是“保序同构”的，故③是．④不符合，不是保序同构． 答案 (1)①5 035 ②5k (5k －1)2(2)④温馨提醒 (1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．[方法与技巧]1．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行． [失误与防范]1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明． 2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．下列推理是归纳推理的是________．①A ，B 为定点，动点P 满足P A ＋PB ＝2a >AB ，则P 点的轨迹为椭圆； ②由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式； ③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πab ； ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇． 答案 ②解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以②是归纳推理． 2．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理________． ①结论正确； ②大前提不正确； ③小前提不正确； ④全不正确．答案 ③解析 f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．3．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为f (n )＝__________. 答案 n 2＋n ＋22解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域．4．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.其中正确结论的个数是________．答案 1解析 (a ＋b )n ≠a n ＋b n (n ≠1，a ·b ≠0)，故①错误．sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立．如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝34， 故②错误．由向量的运算公式知③正确．5．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n)也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为__________．①d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n n②d n ＝c 1·c 2·…·c n n ③d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n n n ④d n ＝n c 1·c 2·…·c n答案 ④解析 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ， ∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列； 若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·(1)2n n q -， ∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q12n -，即{d n }为等比数列．6．观察下列不等式：1＋122<32， 1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个不等式为________________________．答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<116解析 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．故第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 7．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0y b 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________________．答案 x 0x a 2－y 0y b 2＝1 解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2的切线方程分别是x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b 2＝1， 这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0y b 2＝1上， 故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0y b 2＝1. 8．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论：______________________.答案 10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30解析 由等比数列的性质可知b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20，∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30. 9．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33， 同理可得：f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1，121211()()3333x x f x f x +=+++ 1212121212(33)(33)3323(33)(33)33(33)3x x x x x x x x x x ++++++==+++++ 12121212332333233.33(33)233(3323)x x x x x x x x ++++===++⨯++ 10．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC2，那么在四面体A —BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解 如图所示，由射影定理得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，四面体A —BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. 证明：如图，连结BE 并延长交CD 于F ，连结AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝D ，AC ⊂平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，∴AB ⊥平面ACD .∵AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P —ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________. 答案 127解析 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127. 12．已知①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论．则这个结论是________．(填序号)答案 ①解析 根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等．13．如图(1)若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比1122OM N OM N S S ∆∆＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.如图(2)，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为__________________．答案 111222111222O PQ R O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅ 解析 考查类比推理问题，由图看出三棱锥P 1－OR 1Q 1及三棱锥P 2－OR 2Q 2的底面面积之比为OQ 1OQ 2·OR 1OR 2，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为OP 1OP 2，故体积之比为 111222111222.O PQ R O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅ 14．已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律．解 (1)由于a 1＝5，d ＝2，所以S n ＝5n ＋n (n －1)2×2＝n (n ＋4)． (2)因为T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]＝4n 2＋n ，所以T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39，T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21，S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45.由此可知S 1＝T 1，当n ≥2且n ∈N *时，S n <T n .归纳猜想：当n ＝1时，S n ＝T n ；当n ≥2，n ∈N *时，S n <T n .15．已知函数f (x )＝－a a x ＋a(a >0，且a ≠1)． (1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称； (2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．(1)证明 函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )，它关于点(12，－12)对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．由已知y ＝－a a x ＋a， 则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a x a x ＋a， f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－a a a x＋a ＝－a ·a xa ＋a ·a x ＝－a x a x ＋a， ∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称． (2)解 由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )，即f (x )＋f (1－x )＝－1.∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1.则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.。
数学逻辑练习题进行数学逻辑的推理与证明
数学逻辑练习题进行数学逻辑的推理与证明数学逻辑是数学的一个重要分支，它研究的是数学命题的合理性、推理的方法和结论的正确性。
通过数学逻辑的推理和证明，我们可以深入理解和应用数学知识，提高自己的思维能力和解决问题的能力。
在学习数学逻辑时，经常会遇到各种练习题，这些题目旨在让我们锻炼逻辑思维和分析问题的能力。
下面我将通过几个数学逻辑练习题，进行推理和证明的演示，帮助大家更好地理解数学逻辑推理的过程。
1. 题目一：证明直角三角形的斜边最长。
解析：假设有一个直角三角形ABC，其中∠ABC=90°。
我们需要证明斜边AC最长。
首先，根据勾股定理得知直角三角形中的两个直角边的平方和等于斜边的平方，即AC² = AB² + BC²。
我们知道，平方值大于零，所以AB²和BC²都大于等于零。
假设AB² > 0 且 BC² > 0，则有 AC² > 0。
由于AC²> 0，那么AC也大于零，即AC > 0。
再次根据勾股定理，如果一个直角三角形的两个直角边都大于零，则斜边最长。
因此，我们可以得出结论：直角三角形的斜边最长。
2. 题目二：证明若a、b为正整数，且a² + b²为偶数，则a和b必须同时为偶数或者同时为奇数。
解析：根据题目的条件，a² + b²为偶数。
我们要证明当a、b为正整数时，a和b必须同时为偶数或者同时为奇数。
首先，我们观察到一个规律：任意正整数 n 的平方模4的余数只可能是0或1。
证明如下：当 n 为偶数时，n=2k (k为正整数)，则 n² = (2k)² = 4k²，余数为0。
当 n 为奇数时，n=2k+1 (k为正整数)，则 n² = (2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 4(k² + k) + 1，余数为1。
高中数学《推理与证明》练习题(附答案解析)
高中数学《推理与证明》练习题（附答案解析）一、单选题1．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋（ ） A ．2π B ．πC ．32π D ．2π2．用数学归纳法证明()11111231n n n n ++++>∈+++N ，在验证1n =时，左边的代数式为（ ） A ．111234++ B ．1123+C ．12D ．13．两个正方体1M 、2M ，棱长分别a 、b ，则对于正方体1M 、2M 有：棱长的比为a:b ，表面积的比为22:a b ，体积比为33:a b ．我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”，下列给出的几何体中是“相似体”的是（ ） A ．两个球B ．两个长方体C ．两个圆柱D ．两个圆锥4．用数学归纳法证明1115 (1236)n n n +++≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．11113132331k k k k ++-++++ C ．131k + D ．133k + 5．现有下列四个命题： 甲：直线l 经过点(0,1)-； 乙：直线l 经过点(1,0)； 丙：直线l 经过点(1,1)-； 丁：直线l 的倾斜角为锐角.如果只有一个假命题，则假命题是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．用数学归纳法证明242123()2n n n n N *+++++=∈，则当1n k =+时，等式左边应该在n k =的基础上加上（ ） A ．21k +B ．2(1)k +C ．2(2)k +D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++7．已知数列{}n a 中，11a =，()*111nn na a n a +=+∈+N ，用数学归纳法证明：1n n a a +<，在验证1n =成立时，不等式右边计算所得结果是（ ）A ．12B ．1C ．32D ．28．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为()f k ，则()1f k +与()f k 的关系是（ ） A ．()()11f k f k k +=++ B ．()()11f k f k k +=+- C ．()()1f k f k k +=+D ．()()12f k f k k +=++9．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 （ ） A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙10．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数列中第2 020个数是（ ） A ．3976 B ．3974 C ．3978D ．3973二、填空题11．用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++（n 为正整数）时，第一步应验证的等式是______．12．用数学归纳法证明命题“1+1123++…+1222n n +>(n ∈N +，且n ≥2)”时，第一步要证明的结论是________.13．用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为_______．14．已知等差数列{}()*n a n N ∈中，若10100a =，则等式()121220192019,*n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈恒成立；运用类比思想方法，可知在等比数列{}()*n b n N ∈中，若1001b =，则与此相应的等式_________________恒成立.三、解答题15．(1)请用文字语言叙述异面直线的判定定理；(2)把（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式，并用反证法证明．16．把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为___________.17．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？ （1）求证：当N*n ∈时，1=+n n ．证明：假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1k k =+． 则当1n k =+时，左边1(11)k k =+=++=右边． 所以当1n k =+时，等式也成立．由此得出，对任何N*n ∈，等式1=+n n 都成立． （2）用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=． 证明，∈当1n =时，左边=11S a =，右边1a =，等式成立． ∈假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1()2k k k a a S +=．则当1n k =+时， 11231k k k S a a a x a a ++=+++++， 11121k k k k S a a a a a ++-=+++++．上面两式相加并除以2，可得 111(1)()2k k k a a S ++++=，即当1n k =+时，等式也成立．由∈∈可知，等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=18．一本旧教材上有一个关于正整数n 的恒等式22211223(1)(1)12n n n n ⨯+⨯+++=+？ 其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n 的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．参考答案与解析：1．B【分析】根据题意相当于增加了一个三角形，从而得出选项. 【详解】由凸k 边形变为凸k ＋1边形时， 增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 故选：B 2．A【分析】将1n =代入计算可得结果. 【详解】解：1111231n n n ++++++代入1n =为：111234++. 故选：A 3．A【分析】分别使用表面积公式、体积公式计算后即可发现结论. 【详解】设两个球的半径分别为R ，r ． 这两个球的半径比为：:R r ， 表面积比为：22224:4:R r R r ππ=， 体积比为：333344::33R r R r ππ=， 所以，两个球是相似体． 故选：A ． 4．B【分析】比较n k =、1n k =+时不等式左边代数式的差异后可得需添加的项，从而得到正确的选项. 【详解】当n k =时，所假设的不等式为1115 (1236)k k k +++≥++， 当1n k =+时，要证明的不等式为1111115 (2233132336)k k k k k k ++++++≥+++++， 故需添加的项为：11113132331k k k k ++-++++， 故选：B.【点睛】本题考查数学归纳法，应用数学归纳法时，要注意归纳证明的结论和归纳假设之间的联系，必要时和式的开端和结尾处需多写几项，便于寻找差异.本题属于基础题. 5．C【分析】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -，计算AB k 和BC k ，可判断三点共线，可知假命题是甲､乙､丙中的一个，再由斜率即可求解.【详解】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -则10101AB k --==-，101112BC k -==---，因为AB BC k k ≠，所以,,A B C 三点不共线，所以假命题必是甲､乙､丙中的一个，丁是真命题，即直线l 的斜率大于0， 而0AB k >，0BC k <，0AC k <，故丙是假命题. 故选：C. 6．D【分析】由n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++可得答案.【详解】当n =k 时，等式左端2123k =++++，当n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++，增加了项222(1)(2)(1)k k k ++++++．故选：D ． 7．C【分析】将1n =代入即可得结果. 【详解】当1n =时，不等式右边为1211311122a a a =+=+=+． 故选：C. 8．C【分析】考虑当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ，由于直线l 与前面n 条直线任何两条不平行，任何三条不共点，所以要多出k 个交点，从而得出结果. 【详解】当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ， 则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为()f k ， 因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)； 又因为任何三条直线不过同一点， 所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其它的()f k 个交点也两两不相同， 从而1n k =+时交点的个数是()()1f k k f k +=+， 故选：C 9．A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 10．A【分析】根据题意分析出第n 次取n 个数，前n 次共取(1)2n n +个数，且第n 次取的最后一个数为n 2，然后算出前63次共取了2016个数，从而能得到数列中第2 020个数是3976.【详解】由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n 次共取了(1)1232n n n ++++⋯+=个数，且第n 次取的最后一个数为n 2， 当63n =时，()6363120162⨯+=， 即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为2633969=， 即第2 016个数为3 969，所以当n ＝64时，依次取3 970，3 972，3 974，3 976，…，所以第2 020个数是3 976. 故选：A. 11．11122-= 【分析】根据数学归纳法的一般步骤，令1n =即可得出结论. 【详解】依题意，当1n =时， 1112121-=⨯⨯， 即11122-=， 故答案为：11122-=.12．1112212342++++> 【解析】根据数学归纳法的步骤可知第一步要证明2n =时的不等式成立.【详解】因为n ≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+111222342+++>. 故答案为：1112212342++++> 13．a ，b ，c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键. 【详解】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”的否定是：“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为“a ，b ，c 中至少有两个偶数”， 故答案为：a ，b ，c 中至少有两个偶数. 14．()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈【解析】根据等差数列的性质有12019101020n n a a a +-+==，等比数列的性质有21199100=1n n b b b +-=，类比即可得到结论.【详解】已知等差数列{}()*n a n N ∈中，12122019n n a a a a a a -+++=+++ 1122019n n n a a a a a +-++=++++,12201820190n n n a a a a ++-∴++++=.10100a =,由等差数列的性质得， 1201922018101020n n n n a a a a a +-+-+=+===.等比数列{}()*n b n N ∈，且1001b =，有等比数列的性质得，211992198100===1n n n n b b b b b +-+-=.所以类比等式()*121220192019,n n a n a a a a a n N -+++=+++<∈，可得()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈. 故答案为：()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，得出结论,属于中档题.15．(1)见解析； (2)见解析.【分析】（1）将判定定理用文字表述即可；（2）根据（1）中的前提和结论可得定理的形式，利用反证法可证该结论.【详解】（1）异面直线的判定定理：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不过该点直线是异面直线. （2）（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式如下： ,,,P Q l Q l ααα∉∈⊂∉，求证：,PQ l 为异面直线.证明：若,PQ l 不为异面直线，则,PQ l 共面于β，故,,Q l ββ∈⊂ 而Q l ∉，故,αβ为同一平面，而P β∈，故P α∈， 这与P α∉矛盾，故,PQ l 为异面直线.16．正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 【分析】将边类比为面，从而得出正确结论.【详解】把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为“正四面体内一点到四个面的距离之和为定值”. 故答案为：正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 17．（1）有错误，理由见解析；（2）有错误，理由详见解析.【分析】根据数学归纳法分为两步，∈证明当1n =时，结论成立，∈假设当n k =时，结论成立，当1n k =+时，应用归纳假设，证明1n k =+时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处. 【详解】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明1n =时等式成立；（2）有错误，错误在于证明1n k =+时，没有应用n k =时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程. 18．222211223(1)(1)(31110)12n n n n n n ⨯+⨯+++=+++，证明见解析 【分析】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++即可求得f （1），f （2），f （3）；假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立，由f （1），f （2），f （3）的值可求得a ，b ，c ；再用数学归纳法证明即可．【详解】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++， f ∴（1）2124=⋅=，f （2）22122322=⋅+⋅=， f （3）22212233470⋅+⋅+⋅=； 假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立， 则f （1）12()412a b c ⨯=++=， 24a b c ∴++=∈，同理，由f （2）22=得4244a b c ++=∈， 由f （3）70=得9370a b c ++=∈ 联立∈∈∈，解得3a =，11b =，10c =．2(1)()(31110)12n n f n n n +∴=++． 证明：1︒当1n =时，显然成立；2︒假设n k =时，2(1)(1)(2)(35)()(31110)1212k k k k k k f k k k ++++=++=， 则1n k =+时，2(1)()(1)[(1)1]f k f k k k +=++++2(1)(2)(35)(1)[(1)1]12k k k k k k +++=++++2(1)(2)(31724)12k k k k ++=++ (1)(2)(3)(38)12k k k k ++++=(1)[(1)1][(2)1][3(1)5]12k k k k +++++++=，即1n k =+时，结论也成立．综合1︒，2︒知，存在常数3a =，11b =，10c =使得2(1)()(31110)12n n f n n n +=++对一切自然数n 都成立。
高考数学压轴专题最新备战高考《推理与证明》经典测试题附答案解析
高考数学《推理与证明》练习题一、选择题1．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．5050【答案】C 【解析】 【分析】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，即得解. 【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和，又n 阶幻方有n 行（或n 列），因此，2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，于是12399100(10)50510f +++⋅⋅⋅++==．故选：C 【点睛】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.2．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃． A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁． 【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾， 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意， 所以是丁打碎了玻璃； 故选：D 【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．3．观察下图：12343456745678910LL则第 行的各数之和等于22017（ ） A ．2017 B ．1009C ．1010D ．1011【答案】B 【解析】 【分析】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可 【详解】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数 且这21n -个数成公差为1的等差数列 所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=，得1009n = 故选：B 【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.4．设a ，b ，c 都大于0，则三个数1a b +，1b c +，1c a+的值（ ） A ．至少有一个不小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．至多有一个不小于2 D ．至多有一个不大于2【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，即可得出答案【详解】因为a ，b ，c 都大于0 1111111112226a b c a b c a b c b c a a b c a b c+++++=+++++≥⋅+⋅+⋅= 当且仅当1a b c ===时取得最小值若12a b +<，12b c+<，12c a +<则1116a b c b c a+++++<，与前面矛盾所以三个数1a b +，1b c +，1c a+的值至少有一个不小于2 故选：A 【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，掌握基本不等式是解题的关键.5．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=，其中0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（ ） A ．228617430x x ++= B ．4227841630x x x +++= C ．2174328610x x ++= D ．43163842710x x x +++=【答案】C 【解析】 【分析】根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果. 【详解】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743， 由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2174328610x x ++=.故选：C. 【点睛】本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.6．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2n B ．n nC ．2nD ．222n -【答案】B 【解析】 【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=； 当分母的指数为2时，分子为224=； 当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n ax n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．7．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了 【答案】C 【解析】 【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.8．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ） A ．大于2 B ．小于2C ．不小于2D ．不大于2【答案】B 【解析】 【分析】把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号． 【详解】解：2a b c ++=Q ，2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++ (2)(2)(2)b b a a c c =-+-+-222222b b a a c c =-+-+-()()2222a b c a b c =-+++++ ()2224a b c =-+++，2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，即()2220a b c -++<，2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2． 故选：B ． 【点睛】本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．9．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可 【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题10．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）A．物理化学等级都是B的学生至多有12人B．物理化学等级都是B的学生至少有5人C．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至多有18人D．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至少有1人【答案】D【解析】【分析】根据题意分别计算出物理等级为A，化学等级为B的学生人数以及物理等级为B，化学等级为A的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项.【详解】-+-=人根据题意可知，36名学生减去5名全A和一科为A另一科为B的学生105858（其中物理A化学B的有5人，物理B化学A的有3人），表格变为：对于A选项，物理化学等级都是B的学生至多有13人，A选项错误；对于B选项，当物理C和D，化学都是B时，或化学C和D，物理都是B时，物理、化--=（人），B选项错误；学都是B的人数最少，至少为13724对于C选项，在表格中，除去物理化学都是B的学生，剩下的都是一科为B且最高等级为B的学生，因为都是B的学生最少4人，所以一科为B且最高等级为B的学生最多为1391419++-=（人），C选项错误；对于D选项，物理化学都是B的最多13人，所以两科只有一科等级为B且最高等级为B -=（人），D选项正确.的学生最少14131故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.11．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；乙预测说：我不会获奖，丙获奖丙预测说：甲和丁中有一人获奖；丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（） A ．甲和丁 B ．乙和丁 C ．乙和丙 D ．甲和丙 【答案】B 【解析】 【分析】从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断 【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁 答案选B 【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证12．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．60010【答案】A 【解析】 【分析】结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg 230021010=≈.故选：A 【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题13．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223344552,33,4,55338815152424====888n n=“穿墙术”，则n =（ ） A ．35 B ．48C ．63D ．80【答案】C 【解析】 【分析】通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出78763n =⨯+=即可. 【详解】 因为22222233121==⨯+33333388232==⨯⨯+ 444441515343==⨯⨯+，5555552424454==⨯⨯+ 所以8888888878763n n ==⨯=⨯+63n =. 故选：C. 【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．14．三角形面积为()12S a b c r =++，a ，b ，c 为三角形三边长，r 为三角形内切圆半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为（ ） A ．13V abc =B ．13V Sh = C ．()13V ab bc ac h =++⋅（h 为四面体的高） D ．()123413V s s s s r =+++⋅（其中1s ，2s ，3s ，4s 分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ） 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面与空间的类比推理，由点类比直线，由直线类比平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比四面体的体积计算方法，即可求解． 【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ， 根据三角形的面积的求解方法：利用分割法，将O 与四个顶点连起来，可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和， 即()123413V s s s s r =+++⋅，故选D ． 【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中解答中类比推理是将已知的一类数学对象的性质类比到另一类数学对象上去，通常一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质取推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题，本题属于基础题．15．观察下列一组数据11a = 235a =+ 37911a =++ 413151719a =+++…则20a 从左到右第一个数是（ ） A ．379 B ．383C ．381D ．377【答案】C 【解析】 【分析】先计算前19行数字的个数，进而可得20a 从左到右第一个数． 【详解】由题意可知，n a 可表示为n 个连续的奇数相加，从1a 到19a 共有()119191902+⨯=个奇数， 所以20a 从左到右第一个数是第191个奇数，第n 个奇数为21n -，所以第191个奇数为21911381⨯-=．故选：C.【点睛】本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．16．分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示)，按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（ ）A ．53B ．63C ．73D ．83【答案】C【解析】【分析】 根据题意分别求出第1,2,3次操作后，图形中的小正三角形的个数，然后可归纳出一般结论，得到答案.【详解】如图，根据题意第1次操作后，图形中有3个小正三角.第2次操作后，图形中有3×3=23个小正三角.第3次操作后，图形中有9×3=33个小正三角.…………………………所以第7次操作后，图形中有73 个小正三角.故选：C【点睛】本题考查归纳推理，属于中档题.17．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( )A．7班、14班、15班B．14班、7班、15班C．14班、15班、7班D．15班、14班、7班【答案】C【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级．【详解】假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班；假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班．故选：C．【点睛】本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．三角形的面积为1()2S a b c r=++⋅，其中,,a b c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（）A．13V abc =B．13V Sh =C．1()3V ab bc ca h=++，（h为四面体的高）D ．()123413V S S S S r =+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）【答案】D【解析】【分析】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据体积公式得到答案.【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，将O 与四顶点连起来， 可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和， ∴V 13=（S 1+S 2+S 3+S 4）r . 故选：D ．【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.19．设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1c z x =+，则a 、b 、c 三数（ ） A ．都小于2B ．至少有一个不大于2C ．都大于2D ．至少有一个不小于2【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式计算出6a b c ++≥，于此可得出结论.【详解】 由基本不等式得111111a b c x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6≥=， 当且仅当1x y z ===时，等号成立，因此，若a 、b 、c 三数都小于2，则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾，即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2，故选D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．设x ，y ，z ＞0，则三个数,,y y z z x x x z x y z y+++ （ ）A．都大于2 B．至少有一个大于2 C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2【答案】C【解析】【分析】【详解】假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又yx＋yz＋zx＋zy＋xz＋xy＝(yx＋xy)＋(yz＋zy)＋(zx＋xz)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.。
高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 归纳推理练习(含解析)新人教A版选修22
2.1.1 归纳推理一、选择题：1. 关于归纳推理，下列说法正确的是( )A ．归纳推理是一般到一般的推理B ．归纳推理是一般到个别的推理C ．归纳推理的结论一定是正确的D ．归纳推理的结论是或然性的【答案】D【解析】归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定．故应选D.2．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，得P 的轨迹为椭圆B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πab D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【答案】B【解析】由归纳推理的定义知B 是归纳推理，故应选B.3．数列{a n }：2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( )A ．28B ．33C ．32D ．27【答案】C【解析】因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜测x －20＝3×4,47－x ＝3×5，推知x ＝32.故应选C.4．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，则猜想a n 是( )A ．2n －1＋1B ．2n －2C ．2n －2－12D ．2n ＋1－4 【答案】A【解析】 ∵a 1＝0＝21－2，∴a 2＝2a 1＋2＝2＝22－2， a 3＝2a 2＋2＝4＋2＝6＝23－2，a 4＝2a 3＋2＝12＋2＝14＝24－2，……猜想a n ＝2n －2.故应选A.5．某人为了观看2012年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( )A ．a (1＋p )7 B ．a (1＋p )8 C.a p [(1＋p )7－(1＋p )] D.a p [(1＋p )8－(1＋p )] 【答案】D【解析】到2006年5月10日存款及利息为a (1＋p )．到2007年5月10日存款及利息为a (1＋p )(1＋p )＋a (1＋p )＝a [(1＋p )2＋(1＋p )]到2008年5月10日存款及利息为a [(1＋p )2＋(1＋p )](1＋p )＋a (1＋p )＝a [(1＋p )3＋(1＋p )2＋(1＋p )]……所以到2012年5月10日存款及利息为 a [(1＋p )7＋(1＋p )6＋…＋(1＋p )]＝a (1＋p )[1－(1＋p )7]1－(1＋p )＝a p [(1＋p )8－(1＋p )]．故应选D.6．(2010·山东文，10)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )【答案】D【解析】本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )，选D ，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查．二、填空题7．观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n 个图形中，火柴杆有________根．【答案】13,3n ＋1【解析】第一个图形有4根，第2个图形有7根，第3个图形有10根，第4个图形有13根……猜想第n 个图形有3n ＋1根．8．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得一般规律是__________________．【答案】n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2【解析】第1式有1个数，第2式有3个数相加，第3式有5个数相加，故猜想第n个式子有2n－1个数相加，且第n个式子的第一个加数为n，每数增加1，共有2n－1个数相加，故第n个式子为：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋{n＋[(2n－1)－1]}＝(2n－1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.9．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S 与n的关系式为________．【答案】S＝4(n－1)(n≥2)【解析】每条边上有2个圆圈时共有S＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S＝12个．可见每条边上增加一个点，则S增加4，∴S与n的关系为S＝4(n－1)(n≥2)．10．(2009·浙江理，15)观察下列等式：C15＋C55＝23－2，C19＋C59＋C99＝27＋23，C113＋C513＋C913＋C1313＝211－25，C117＋C517＋C917＋C1317＋C1717＝215＋27，……由以上等式推测到一个一般的结论：＝__________________.对于n∈N*，C14n＋1＋C54n＋1＋C94n＋1＋…＋C4n＋14n＋1【答案】24n－1＋(－1)n22n－1【解析】本小题主要考查归纳推理的能力等式右端第一项指数3,7,11,15，…构成的数列通项公式为a n＝4n－1，第二项指数1,3,5,7，…的通项公式b n＝2n－1，两项中间等号正、负相间出现，∴右端＝24n－1＋(－1)n22n－1.。
高考数学一轮总复习数学推理与证明题经典题目
高考数学一轮总复习数学推理与证明题经典题目数学推理与证明题是高考数学中的一种重要题型，对学生的逻辑思维和推理能力提出了较高的要求。
在高考中，这类题目常常考查学生的分析和推理能力，对于学生而言，掌握一定的解题技巧和方法是非常重要的。
本文将为大家介绍一些经典的高考数学推理与证明题，帮助大家加深对这一题型的理解和应对能力。
一、数列推导与证明题数列是高考数学中经常出现的题型，其推导与证明题目主要考查学生的数学归纳法和推理能力。
下面我们来看一个经典的数列推导与证明题。
例题1: 已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+1/n，证明该数列单调递增。
解析: 首先我们将证明该数列是递增的，即an+1≥an。
当n=1时，根据题目条件有a2=a1+1/1=3/1=3，显然3≥2，满足条件。
假设当n=k时，an+1≥an成立，即ak+1≥ak。
当n=k+1时，根据题目条件有a(k+1)+1=a(k+1)+1/(k+1)=ak+1+1/(k+1)。
由假设条件可得a(k+1)+1≥ak+1+1/(k+1)≥ak+1。
综上所述，根据数学归纳法，可证明该数列是递增的。
通过这个例子，我们可以看到数学归纳法在数列推导与证明题中的重要性。
在解这类题目时，我们要善于利用归纳法的思想，合理运用数学推理的方法。
二、平面几何推理与证明题平面几何推理与证明题是高考数学中的又一个重要考点，其解题过程需要注意严谨的逻辑推理和几何图形的分析。
下面我们来看一个经典的平面几何推理与证明题。
例题2: 在平面直角坐标系xOy中，点A(a，0)，B(b，0)与C(0，c)所构成的三角形ABC为正三角形，证明ab=3c²。
解析: 首先我们知道如果三角形ABC为正三角形，则其三个内角均为60°。
利用点A、B和C的坐标可以得到三条边的长度分别为√((a-b)²+c²)，|a-b|和√(a²+b²)。
高考数学压轴专题人教版备战高考《推理与证明》技巧及练习题附答案解析
【高中数学】高中数学《推理与证明》期末考知识点一、选择题1．某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召，积极实施国家课程校本化.每个学生除学习文化课程外，还可以根据自己的兴趣爱好来选修一门校本课程作为自己的特长课程来学习.该校学生小刚选完课后，本班的其他三位同学根据小刚的兴趣爱好对小刚的选课做出了自己的判断：甲说：小刚选的不是书法，选的是篮球；乙说：小刚选的不是篮球，选的是排球；丙说：小刚选的不是篮球，选的也不是国画.已知三人中有一个人说的全对，有一人说对了一半，另一个人说的全不对，由此推断小刚的选择的（ ） A ．可能是国画 B ．可能是书法C ．可能是排球D ．一定是篮球【答案】B 【解析】 【分析】依次假定小刚的选择，逐一验证得到答案. 【详解】若小刚选择的是国画，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足，排除； 若小刚选择的是书法，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足； 若小刚选择的是排球，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足，排除； 若小刚选择的是篮球，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足； 故小刚可能选择的是书法和篮球. 故选：B . 【点睛】本题考查了推理分析，意在考查学生的逻辑推理能力.2．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*,i j N ∈且j i ≤），则()21,20a =（ ）A ．20932⨯B ．21032⨯C ．21132⨯D ．21232⨯【答案】C 【解析】 【分析】由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解. 【详解】由题可知,第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则前20行共有()1+2020=2102⨯个数,即第21行倒数第1个数为211a,所以()21121221,2032a a ==⨯,故选:C 【点睛】本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用.3．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ）A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人 【答案】C 【解析】“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人，故选C.4．将从1开始的连续奇数排成如图所示的塔形数表，表中位于第i 行，第j 列的数记为ij a ，例如329a =，4215a =，5423a =，若2019ij a =，则i j -=（ ）A ．71B ．72C ．20D ．19【答案】D 【解析】 【分析】先确定奇数2019为第1010个奇数，根据规律可得从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，可确定2019位于第45行，进而确定2019所在的列，即可得解.奇数2019为第1010个奇数，由题意按照蛇形排列，从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，则从第1行到第44行末共有990个奇数，从第1行到第45行末共有1035个奇数， 则2019位于第45行，而第45行时从右往左递增，且共有45个奇数， 故2019位于第45行，从右往左第20列， 则45i =，26j =，故19i j -=. 故选：D. 【点睛】本题考查了归纳推理的应用，考查了逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.5．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】 【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的， 丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的； 假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的， 乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立， 所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.6．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 【答案】B分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.7．比利时数学家Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（ ）A 3B ．23C 65D 5【答案】D 【解析】 【分析】如图，作出圆柱的轴截面，由于AOB OCD ∠=∠,所以sin sin AOB OCD ∠=∠，而由已知可求出,,OB AB OD 的长，从而可得3a OC ==，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得2b =，由此可求出离心率. 【详解】对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A ，1A ，延长1AA 与圆柱面相交于C ，1C ，过点O 作OD DC ⊥，垂足为D .在直角三角形ABO 中，2AB =，102232BO -⨯==， 所以2sin 3AB AOB BO ∠==，又因为22sin sin 3r AOB OCD OC OC ∠=∠===， 所以3a OC ==.由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即24b =，则可求得22945c a b =--=，所以5c e a ==， 故选：D. 【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题.8．设x ，y ，z ＞0，则三个数,,y y z z x xx z x y z y+++ （ ） A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋xz ＋x y ＝(y x＋x y )＋(yz ＋z y )＋(z x ＋x z)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.9．若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n++⋯+=也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( ) A ．12nn c c c d n++⋯+=B ．12nn c c c d n⋅⋅⋯⋅=C ．12n n nnnn c c c d n++⋯+=D ．12n n n d c c c =⋅⋅⋯⋅ 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论． 【详解】解：Q 数列{}n a 是等差数列，则()12112n n na a a a d n -++⋯++=，∴数列12112n n a a a n b a d n ++⋯+-==+也为等差数列Q 正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ，则()112121111n n nn n c c c c c q c q c q--⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋯==⋅∴112121111n n n n n n d c c c c c q c q c q--=⋅⋅⋯⋅=⋅⋅⋯⋅=∴12n n n d c c c =⋅⋅⋯⋅是等比数列故选：D ． 【点睛】本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．10．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f =，…，可推出(10)f =（ ）A ．271B ．272C ．273D ．274【答案】A 【解析】 【分析】观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；… 根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数． 【详解】由图可知，()11f =，()212667f =+⨯-=， ()()312362619f =++⨯-⨯=， ()()212362619f =++⨯-⨯=， ()()4123463637f =+++⨯-⨯=，…()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=故选A. 【点睛】此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-11．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ）A ．甲走桃花峪登山线路B ．乙走红门盘道徒步线路C ．丙走桃花峪登山线路D ．甲走天烛峰登山线路【答案】D 【解析】 【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可. 【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确. 综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路 故选：D 【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.12．新课程改革后，某校的甲、乙、丙三位同学都选了A 、B 、C 三门课中的两门，且任何两位同学选修的课程有且仅有一门相同.其中甲、乙共同选修的课不是B ，乙、丙共同选修的课不是A ，B 和C 两门课程有一个丙没有选，则甲选修的两门课程是（ ） A ．A 和B B ．B 和CC ．A 和CD ．无法判断【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知丙一定选了A 课程，结合题意进行推理，可得出甲所选修的两门课程，由此可得出结论. 【详解】B 和C 两门课程有一个丙没有选，所以丙肯定选了A ，乙、丙共同选修的课不是A ，则乙选择了B 、C 两门课程，由于甲、乙共同选修的课不是B ，则甲、乙共同选修的是C ，但甲不能选择B 课程. 因此，甲选修是A 、C 两门课程. 故选：C. 【点睛】本题考查简单的合情推理问题，考查推理能力，属于中等题.13．三角形面积为()12S a b c r =++，a ，b ，c 为三角形三边长，r 为三角形内切圆半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为（ ） A ．13V abc = B ．13V Sh = C ．()13V ab bc ac h =++⋅（h 为四面体的高） D ．()123413V s s s s r =+++⋅（其中1s ，2s ，3s ，4s 分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ） 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面与空间的类比推理，由点类比直线，由直线类比平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比四面体的体积计算方法，即可求解． 【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ， 根据三角形的面积的求解方法：利用分割法，将O 与四个顶点连起来，可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和， 即()123413V s s s s r =+++⋅，故选D ． 【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中解答中类比推理是将已知的一类数学对象的性质类比到另一类数学对象上去，通常一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质取推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题，本题属于基础题．14．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373152{3{94{5171119L ，，,仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】B 【解析】由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数，设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ，则由题意可得：3273422a a -=-==⨯，43137623a a -=-==⨯，…，12(1)m m a a m --=-，将以上2m -个式子叠加可得2(422)(2)(1)(2)2m m m a a m m +---==+-∴22(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+∴当9m =时，73m a =，即73是39的“分裂数”中第一个数 故选B15．分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示)，按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（ ）A ．53B ．63C ．73D ．83【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别求出第1,2,3次操作后，图形中的小正三角形的个数，然后可归纳出一般结论，得到答案. 【详解】如图，根据题意第1次操作后，图形中有3个小正三角. 第2次操作后，图形中有3×3=23个小正三角. 第3次操作后，图形中有9×3=33个小正三角. …………………………所以第7次操作后，图形中有73 个小正三角.故选：C 【点睛】本题考查归纳推理，属于中档题.16．三角形的三个顶点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，则该三角形的重心（三边中线交点）的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫⎪⎝⎭.类比这个结论，连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为111(,,)x y z ，222(,,)x y z ，333(,,)x y z ，444(,,)x y z ，则该四面体的重心的坐标为（ ）A ．()123412341234,,x x x x y y y y z z z z +++++++++B ．123412341234,,222x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫⎪⎝⎭C ．123413341234,,333x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．123412341234,,444x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意，三角形的重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形扩展到四面体，得到四面体的重心的坐标是四个顶点的算术平均数，从而得到答案. 【详解】根据题意，三角形重心的坐标是三个顶点的坐标的算术平均数， 从平面扩展到空间，从三角形推广到四面体， 就是四面体重心的坐标是四个顶点的算术平均数， 故选D. 【点睛】该题考查的是类比推理，由平面图形的性质类比猜想得出空间几何体的性质，一般思路是：点到线，线到面，或是二维到三维，属于简单题目.17．用数学归纳法证明()111111111234212122n N n n n n n *-+-+-=+++∈-++L L ，则从k 到1k +时左边添加的项是（ ）A ．121k + B ．112224k k -++ C ．122k -+D ．112122k k -++ 【答案】D 【解析】 【分析】根据式子的结构特征，求出当n k =时，等式的左边，再求出1n k =+ 时，等式的左边，比较可得所求． 【详解】当n k =时，等式的左边为111111234212k k-+-+⋯+--， 当1n k =+ 时，等式的左边为111111112342122122k k k k -+-+⋯+-+--++， 故从“n k =到1n k =+”，左边所要添加的项是112122k k -++． 故选：D ．【点睛】本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化．18．三角形的面积为1()2S a b c r =++⋅，其中,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）A ．13V abc = B ．13V Sh = C ．1()3V ab bc ca h =++，（h 为四面体的高） D ．()123413V S S S S r =+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径） 【答案】D 【解析】 【分析】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据体积公式得到答案. 【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，将O 与四顶点连起来， 可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，∴V 13=（S 1+S 2+S 3+S 4）r . 故选：D ． 【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.19．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇数列{}n a 中，k a =（ ）A ．n -B ．n -C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示， 四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示， 所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以11=nn a qa -， 所以1111=k nn k a a a a--⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n na a ----⋅111=n k k n n a a ---⋅.故选：C. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.20．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．5050【答案】C 【解析】 【分析】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，即得解. 【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和， 又n 阶幻方有n 行（或n 列），因此，2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，于是12399100(10)50510f+++⋅⋅⋅++==．故选：C【点睛】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.。
(典型题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(答案解析)
一、选择题1．类比推理是一种重要的推理方法.已知1l ，2l ，3l 是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于1l ，2l ，3l 正确的结论类比到空间中仍然正确的是（ ）①若13//l l ，23//l l ，则12l l //；②若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //；③若1l 与2l 相交，则3l 必与其中一条相交；④若12l l //，则3l 与1l ，2l 相交所成的同位角相等 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④2．下列推理过程不是演绎推理的是（ ）①一切奇数都不能被2整除，2019是奇数，2019不能被2整除； ②由“正方形面积为边长的平方”得到结论:正方体的体积为棱长的立方； ③在数列{}n a 中，()111,312n n a a a n -==-≥，由此归纳出{}n a 的通项公式； ④由“三角形内角和为180︒”得到结论:直角三角形内角和为180︒. A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④3．学校艺术节对同一类的A 、B 、C 、D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖” 乙说：“B 作品获得一等奖” 丙说：“A 、D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（ ） A ．C 作品B ．D 作品C ．B 作品D ．A 作品4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有2415a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于3b ，5b ，2b ，6b 的一个不等关系正确的是（ ） A ．3526b b b b > B ．5623b b b b > C ．3526b b b b +<+D ．5623b b b b +<+5．如图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形.在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成数列{}n a 的前4项，则{}n a 的通项公式可以为（ ）A ．21n a n =-B ．21nn a =- C ．3nn a =D ．13-=n n a6．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人B ．猜想数列111,,122334⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质7．0=，则0x y ==，假设为( )A ．,x y 都不为0B ．,x y 不都为0C ．,x y 都不为0，且x y ≠D ．,x y 至少有一个为08．观察下列各式：2749=，37343=，472401=，…，则10097的末两位数字为（ ）A ．49B ．43C ．07D ．019．定义两个运算：1212a b a lgb ⊗=+，132a b lga b -⊕=+．若925M =⊗，127N =，则(M N += ) A ．6B ．7C ．8D ．910．小明在期中考后,想急迫地核对答案,于是他来到数学组办公室,寻找出卷的老师．此时办公室正好有四位老师,他们发现小明不认识他们中的任何一位,于是他们每人说了一句话: 甲说:“我这学期还没出过考试卷呢！” 乙说：“丁出的这次考卷！” 丙说:“是乙出的试卷！” 丁说:“出卷的不是我！”他们告诉小明,只有一位老师说了假话,而且出卷老师就在其中,那么请问到底是谁出的期中试卷（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁11．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段。
专题28 推理与证明(解析版)
专题28 推理与证明 命题规律内 容 典 型 １以断臂维纳斯为素材考查合情推理 2019年高考全国I 卷文数 ２以天体的星等与亮度为背景考查演绎推理 2019年高考北京卷文数 ３ 以金石文化为背景考查归纳推理与演绎推理 2019年高考全国II 卷文数 命题规律一 以断臂维纳斯为素材考查合情推理【解决之道】此类问题的解决之道为，通过适当的估算、合适的推理即可得出结论.【三年高考】1.【2019年高考全国I 卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是（ ）A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm 【答案】B 【解析】方法一：如下图所示.依题意可知：AC AB CD BC ==， ① 腿长为105 cm 得，即>105CD ，164.892AC CD =>，64.89105169.89 AD AC CD=+>+=，所以AD>169.89.②头顶至脖子下端长度为26 cm，即AB<26，42.07BC=<，=+<68.07AC AB BC，110.152CD=<，+<68.07+110.15=178.22AC CD，所以<178.22AD.综上，169.89<<178.22AD.故选B.方法二：设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则2626105xx y+==+42.07cm, 5.15cmx y≈≈．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故选B．命题规律二以天体的星等与亮度为背景考查演绎推理【解决之道】此类问题解决之道为，认证阅读题目，理清问题涉及的理论知识，利用理论知识和演绎推理形式进行合理推理即可得出结论.1.【2019年高考北京卷文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A ． 1010.1B ． 10.1C ． lg10.1D ． 10–10.1 【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-,()10.111212222lg ( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==，故选A ． 命题规律三 以金石文化为背景考查归纳推理与演绎推理【解决之道】要解决此类问题，首先认真阅读材料，仔细观察归纳规律，即可归纳出结论，其次，理清问题涉及的理论知识，利用理论知识和演绎推理形式进行合理推理即可推出正确结论.【三年高考】1.【2019年高考全国II 卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）【答案】261【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则AB BE x ==，延长CB 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE △为等腰直角三角形，,21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+==，1x ∴==，1．。
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推理与证明经典练习题收集于网络，如有侵权请联系管理员删除高二数学《推理与证明》练习题一、选择题1．在等差数列{}n a 中，有4857a a a a +=+，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，有（ ）A ．4857b b b b +=+B ．4857b b b b ⋅=⋅C ．4578b b b b ⋅=⋅D ．4758b b b b ⋅=⋅2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n a n S a 21,1== *N n ∈，试归纳猜想出n S 的表达式为（ ）A 、12+n nB 、112+-n nC 、112++n nD 、22+n n3．设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x =⋅⋅⋅'1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则2015()f x =（ ） A.sin x B.－sin x C.cos x D.－cos x4．平面内有n 个点（没有任何三点共线），连接两点所成的线段的条数为 （ ）A.()112n n +B.()112n n - C.()1n n + D.()1n n - 5．已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+，*x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为 （ ） A ．4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+6．观察数列的特点1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点中, 其中第100项是( )A ．10B ．13C ．14D ．1007．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a Ø平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 8. 分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的（ ）A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．必要条件或充分条件9. 2+7与3+6的大小关系是( )A.2+7≥3+6B.2+7≤3+6C.2+7>3+6D.2+7<3+ 6 10．[2014·山东卷] 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )收集于网络，如有侵权请联系管理员删除A. 方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B. 方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C. 方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D. 方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根11．若f （n ）=1+1213121++⋅⋅⋅++n （n ∈N*），则当n =1时，f （n ）为 （A ）1（B ）31 （C ）1+3121+ （D ）非以上答案12.用数学归纳法证明111111111()234212122n N n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+∈-++,则从k 到k ＋1时,左边应添加的项为 （ ）(A)121+k (B) 421221+-+k k (C) －221+k (D) 121+k －221+k13 用数学归纳法证明*1111(,1)2321n n n N n +++⋅⋅⋅+<∈>-时，第一步应验证不等式（ ）A. 2211<+B. 231211<++C. 331211<++D. 34131211<+++14. 用数学归纳法证明))(12(312)()3)(2)(1(*N n n n n n n n n ∈-⋅⋅⋅=++++Λ时，从n=k 到n=k+1，左端需要增加的代数式为（ ）A. 12+kB. )12(2+kC. 112++k kD. 132++k k15. 若命题)(n p 对n=k 成立，则它对2+=k n 也成立，又已知命题)2(p 成立，则下列结论正确的是（ ）A. )(n p 对所有自然数n 都成立B. )(n p 对所有正偶数n 成立C. )(n p 对所有正奇数n 都成立D. )(n p 对所有大于1的自然数n 成立收集于网络，如有侵权请联系管理员删除16．某个命题与自然数n 有关，如果当n =k （k ∈N *）时，该命题成立，那么可推得当n =k +1时命题也成立．现在已知当n =5时，该命题不成立，那么可推得（A ）当n =6时该命题不成立； （B ）当n =6时该命题成立 （C ）当n =4时该命题不成立 （D ）当n =4时该命题成立17．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）Ａ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=°Ｂ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质Ｃ．三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(2)180n -· Ｄ．在数列{}n a 中，11a =，1111(2)2n n n a a n a --⎛⎫=+⎪⎝⎭≥，由此归纳出{}n a 的通项公式18. 使不等式221n n >+对任意n k ≥的自然数都成立的最小k 值为（ ） （A ）2（B ）3 （C ）4（D ）519．设+111,,,,,x y z R a x b y c z y z x∈=+=+=+，则,,a b c 三数（ ） A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2 C ．至少有一个不小于2 D ．都小于220．若把正整数按下图所示的规律排序，则从2002到2004年的箭头方向依次为（ ）A .B .D .C .123456789101112…二、填空题21．已知x>0，由不等式1x x+，24x x +=2422x x x++≥收集于网络，如有侵权请联系管理员删除…，启发我们可以得出推广结论：n ax x+≥n+1 (n ∈N *)，则a=_________ ______．22．如果>,a b 满足的条件是 .23． 已知ABC ∆的三边长为c b a ,,，内切圆半径为r （用的面积表示ABC S ABC ∆∆），则ABC S ∆)(21c b a r ++=；类比这一结论有：若三棱锥BCD A -的内切球半径 为R ，则三棱锥体积=-BCD A V 24．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理数根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数” 时，则做假设是 ；25．若数列{a n }，(n ∈N *)是等差数列,则有数列b n =na a a n+⋯++21(n ∈N *)也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{C n }是等比数列,且C n ＞0(n ∈N *),则有d n =______________ (n ∈N *)也是等比数列.26．在平面几何里，有勾股定理：“设ABC ∆的两边AB 、AC 互相垂直，则222BC AC AB =+。
”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则 ” 27．观察下列等式1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为 。
28．设*111()()122f n n N n n n=++⋅⋅⋅+∈++，那么)()1(n f n f -+等于29．用数学归纳法证明:*1111(,1)2321n n n N n +++⋅⋅⋅+<∈>-时, ,第一步验证不等式 成立；在证明过程的第二步从n=k 到n=k+1成立时,左边增加的项数是 .30． 观察分析下表中的数据：收集于网络，如有侵权请联系管理员删除猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是________． 三、解答题31、设,(0,)a b ∈+∞，且a b ≠，求证：3322a b a b ab +>+.32、证明：2161n -+能被7整除。
33．设1212(1)2,()0(),()()()f f n n N f n n f n f n +=>∈+=⋅且，试猜出()f n 的解析式，并证明你的猜想。
34．已知数列1111,,,,,,122334(1)n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯+先计算前几项之和123,,,S S S 在推测前n 项之和n S 的表达式，并给出证明。
35.已知,,a b c 是互不相等的实数，求证：由22y ax bx c =++，22y bx cx a =++和22y cx ax b =++确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点。
推理与证明练习题答题纸一、选择题二、填空题21、 22、23、 24、25、 26、27、 28、29、 30、三、解答题31、32、收集于网络，如有侵权请联系管理员删除33、34、35、收集于网络，如有侵权请联系管理员删除。