电动力学问题 ——12

电动力学问题

1.说说为什么在非稳情况下要引入位移电流？

答：在非稳情况下，一般有0J ∇⋅≠，那么根据电荷守恒定律，0B J μ∇⨯=则不成立。由于电荷守恒定律是精确的普通规律，而0B J μ∇⨯=仅是根据稳恒情况下的实验定律导出的特殊规律，所以为了将0B J μ∇⨯=修改为服从普遍电荷守恒定律的要求，从而引入位移电流。

2.试叙述麦克斯韦方程组的重要作用。

答：麦克斯韦方程组是对电磁场基本规律作出的总结性，统一性的简明而完美的描述。它揭示了电磁场内部作用和运动，预告了电磁波的存在。指出光波是一种电磁波，同时揭示了电磁场可以独立于电荷之外而存在。

3.为什么在两介质分界面上，我们要用边值关系来描述界面两侧的场强与界面上电荷电流的关系？

答：在介质的分界面上，由于一般出现面电荷电流的分布，使得界面两侧的场量发生跃变，微分式的麦克斯韦方程组不在适用，因此在介质分界面上，我们要用边值关系来描述界面两侧场强与界面上电荷电流的关系。

4.试推导电荷守恒定律的积分形式并叙述其物理意义。

答：令ω为场的能量密度，S 为能流密度，f 表示场对电荷作用力密度，则场对电荷系统所做的功率为：

v f f vdv ⋅

内场能量增加率为：

v d

f dv dt

ω 通过界面S 流入V 内的能量为：

s s d σ-⋅⎰

则能量守恒定律的积分形式为：

s s d σ-⋅⎰=v f f vdv ⋅+

v d

f dv dt

ω 物理意义：单位时间通过界面S 流入V 内的能量等于场对V 内电荷作功的功率与V 内电磁场能量增加率之和。

5.静电场的基本问题是什么？

答：包括以下几方面： ① 泊松方程：2

ρϕε

∇=-

② 边值关系：12//s s ϕϕ= 222

1n n

ϕϕ

εεσ∂∂-=-∂∂ 或21n n D D σ-=- ③ 边界条件：电势/s ϕ

或电势的法线方向偏导数

/s n

ϕ

∂∂ 6.写出磁失势的定义式，并由此推导出磁失势所满足的泊松方程。

答：定义式：B A =∇⨯ ①

在线性均匀介质内部有：

B H μ= ② 又 H J ∇⨯= ③ 将①②带入③得：

()A J μ∇⨯∇⨯=

∴2

()A A J μ∇∇⋅-∇=

取A 满足规范性条件0A ∇⋅=，则有：

2A J μ∇=-，此即为所满足的泊松方程。

7.写出磁标势所满足的定义式，由此推导出磁标势所满足的泊松方程并说明静电势与磁标势的区别。

答：定义式：m H ρ=-∇ ① 区别如下：

对①式两边取散度： ①静电势在电场中，磁标势在磁场中。

2m m H ρρ∇⋅=-∇⋅∇=-∇ ②电场强度E 等于电势的负梯即 又 0

m

H ρμ∇⋅=

而磁场强度等于磁标势的负梯度，即 则0

m

m ρϕμ∇=-

此为磁标势所满足的泊松方程。 ③静电势是矢量，磁标势是标量。

E ϕ=∇m

H ϕ=-∇

8.试从麦克斯韦方程组出发，导出亥姆霍兹方程，并写出时谐电磁波的一般表达式。

答：麦克斯韦方程组为：（没有电荷电流分布的自由空间或均匀的绝缘介质情况）

B

E t

∂∇⨯=-

∂ ①

又：对于一定频率的电磁波有：

(,)()i t E x t E x e ω-=

(,)()i t B x t B x e ω-=

又：对于线性均匀介质有：

D E ε= B H μ= ③

将①代入②并结合③得：

E i H ωμ∇⨯= H i E ωμ∇⨯=-

0E ∇⨯= 0B ∇⨯=

取④中第一式的旋度并利用第二式得：

2()E E ωμε∇⨯∇⨯=

推出：220E E ωμε∇+=（其中22

()()E E E E ∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇=-∇）

令K E ωμ=即亥姆霍兹方程：2

2

0E K E ∇+= 时谐电磁波的一般表达式即：

(,)()i t E x t E x e ω-= (,)()i t B x t B x e ω-=

9．写出平面电磁波的特征。

答：（1）电磁波是横波，E 和B 都与传播方向垂直。 （2）E 和B 互相垂直，E B ⨯沿波矢K 方向。

D H t

∂∇⨯=-

∂0

D ∇⨯=②

④

（3）E 和B 同向，振幅比为V 。

10.证明：在介质分界面上，入射波，反射波及折射波满足下列关系：

==ωωω'''

x x x k k k '''== 0y y y k k k '''===

并由此写出反射，折射定律。

答：由于是同一列波进行的传播，则其反射波，折射波的频率都相同，即==ωωω''' 令入射波，反射波，折射波的电场强度分别为E ，E '，E ''，波失分别为k ，k '，k ''，则其平面波表示分别为：

()0i k x t E E e ω⋅-=

()0i k x t E E e ω'

⋅-''= ①

()0i k x t E E e ω''⋅-''''=

由边界条件得：()n n e E E e E '''⨯+=⨯

将①式带入得：00

()ik x

ik x ik x n n e E e E e e E e ⋅⋅⋅'''⨯+=⨯ ②

②式对整个界面都成立，选界面为平面Z=0，则上式应对Z=0和任意x,y 成立，因此，三个

指数因子必须在此平面上完全相等。故：

k x k x k x '''⋅=⋅=⋅

由于x 和y 是任意的，它们的系数也应各自相等，有：

x x x k k k '''== y y y k k k '''== ③

如右图所示，取波失在xz 平面，则

0y k =，∴0y y k k '''==

即反射波失，入射波失，折射波失都 在同一平面上。

如右图，以θ，θ'，θ''分别表示入射角，反射角和折射角，则有：

sin x k k θ=

sin x k k θ'''= ④

sin x k k θ''''''=

设1v ，2v 为电磁波在两种介质中的相速度，则有：