高等数学下册课件PPT。重大的内部教材哦
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当x→0,y→0时的极限不存在，所以点(0,0)是 该函数的一个间断点.
函数
1 z sin x2 y2 1
在圆周 x2 y2 1上没有定义，所以该圆周上各 点都是间断点，是一条曲线.
性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区 域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和 最小值.
在D上至少有一点 P1 及一点 P2 ，使得 f (P1)为最 大值而f (P2 ) 为最小值，即对于一切P∈D，有
P
于E的点，也有不属于E的点，
E 图 8-1
则称P为E的边界点（图8-2）. 设D是开集.如果对于D内的
任何两点，都可用折线连结起
上一页 下一页 返 回
P E 图 8-2
来,而且该折线上的点都属于D, 则称开集D是连通的.
连通的开集称为区域或开区域. 开区域连同它的边界一起,称 为闭区域.
3.n维空间
也就是
U (P0, ) {(x, y) (x x0 )2 ( y y0 )2 }
下一页 返 回
2.区域 设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个
点.如果存在点P的某一邻域U (P) 使U (P) E， 则称P为E的内点(图8-1).
如果点集E的点都是内点，则 称E为开集.
如果点P的任一邻域内既有属
可表示为
z Ax By o()
上一页 下一页 返 回
其中A、B不依赖于Δx、Δy而仅与x,y有关，
(x)2 (y)2 ，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)
可微分，而 Ax By 称为函数z=f(x,y)在点
(x,y)全微分，记作dz,即
dz Ax By
(2)
如果函数在区域D内各点处都可微分，那么称 这函数在D内可微分.
《高等数学下教学资料》课件
二重积分的计算方法
总结词
二重积分的计算方法和步骤
详细描述
二重积分的计算方法包括直角坐标系法和极坐标系法。在直角坐标系中，将二重积分转化为累次积分 ，通过逐次积分来计算。在极坐标系中，将二重积分转化为极坐标形式，利用极坐标的性质简化计算 。
三重积分的概念与计算
总结词
三重积分的概念、性质和计算方法
详细描述
三重积分是定积分在三维空间中的扩展，用于计算三维物体的体积和更复杂几何形状的量。它具有连续性、可加 性和可交换性等性质。三重积分的计算方法包括直角坐标系法、柱面坐标系法和球面坐标系法，根据不同的几何 形状选择合适的坐标系进行计算。
04
曲线积分与曲面积分
曲线积分的概念与性质
曲线积分定义
曲线积分是计算函数在曲线上的积分值，其定义为函数在曲线上的 每一点处的值与该点处切线的角度的正弦或余弦值的乘积的积分。
数项级数是无穷多个数按照一定的顺序排列 的序列，其和为有限或无限。
数项级数的性质
数项级数具有可加性、可减性、可乘性和可 除性等基本性质。
数项级数的收敛与发散
数项级数收敛时，其和为有限；发散时，其 和为无限。
数项级数的极限
数项级数的极限是数列的极限的推广，其性 质与数列的极限类似。
函数项级数的概念与性质
线的方向和斜率的关键。
全微分的概念
表示函数在某点处所有方向上的变化 量的总和，是偏导数的线性组合。
全微分的应用
用于近似计算函数在某点处的值，以 及判断函数在某点处的连续性和可微
性。
多元函数的极值
极值的定义
函数在某点的值大于或小于其邻 近点的值，是研究函数最优化的 关键概念。
极值的判定条件
包括一阶条件和二阶条件，用于 判断函数在某点处是否取得极值 以及极值的类型。
高等数学下教学课件：7-1
7.1 多元函数的概念
7.1.1 平面点集的有关概念
1. 邻域
设 P0 ( x0 , y0 )是 xoy平面上的一个点， 是某
一正数，与点 P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点 P( x, y)
的全体，称为点 P0的 邻域，记为U(P0 , )，
U (P0 , ) P | PP0 |
第7章 多元函数的微分学及其应用
7.1 多元函数的概念 7.2 偏导数与全微分 7.3 多元复合函数求导法 7.4 隐函数求导法 7.5 多元函数微分学的几何应用 7.6 方向导数与梯度 7.7 多元复合函数的极值及其求法
7.1 多元函数的概念
7.1.1 平面点集的有关概念 7.1.2 多元函数的概念 7.1.3 多元函数的极限 7.1.4 多元函数的连续性
(5) 连通集 设 D 是平面点集．如果
•P
对 于 D 内 任 何 两 点 ， 都 可 用 折线 连 结 起
来 ， 且 该 折 线 上 的 点 都属 于 D， 则 称 开 E 集D 是连通的．
• •
(6) 区域 连通的开集称为区域或开区域． y
例如，{( x, y) | 1 x 2 y 2 4}.
(3) 开集 如果点集 E 的点都是内点，
则称 E 为开集.
• P1
• P2
例如，E1 {(x, y)1 x 2 y2 4}
即为开集．
E
(4) 边界点 如果点 P 的任一个邻域内既有属 于 E的点，也有不属于E 的点（点P 本身可以属 于 E ，也可以不属于E），则称P 为 E 的边界点． E 的边界点的全体称为E 的边界．记为E.
y2
所求定义域为
D {( x, y) | 2 x 2 y 2 4, x y 2 }.
《同济版高数下》PPT课件
L
a
f ( x, y, z)dS f [x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy
Dxy
(dS面元素(曲))
R( x, y, z)dxdy f [x, y, z( x, y)]dxdy
Dxy
(dxdy面元素(投影))
其中 L Pdx Qdy L(P cos Q cos )ds
第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算
注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式
添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
2
2
例 求柱面 x3 y3 1在球面 x2 y2 z2 1内
的侧面积.
2019/5/6
习题课
第十一章
线面积分的计算
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
一、主要内容
（一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步
（一）曲线积分与曲面积分
对弧长的 曲线积分
对面积的 曲面积分
曲
曲
线
联计
联计 面
积
系算
系算 积
分
分
对坐标的 曲线积分
对坐标的 曲面积分
曲线积分
对弧长的曲线积分
其中 L为由点(a,0)到点(0,0)的上半圆周 x2 y2 ax, y 0.
2019/5/6
24
例 计算
L
xdy 4x2
yyd2x，其中L是以
1,
0
为
为中心，R为半径 R 1的圆，逆时针方向
数学下册全册ppt课件
02
CATALOGUE
第二章：微积分学
导数与微分
01
02
03
04
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的 切线斜率，是函数局部变化率
的一种度量。
导数的计算
通过极限定义，利用已知函数 的导数公式和复合函数求导法 则，可以求得函数的导数。
微分概念
微分是函数在某一点处的小增 量，可以理解为函数值的近似
值。
特征值与特征向量的性质
特征值和特征向量具有一些重要的性 质，如线性无关性、相似变换不变性 等。
线性变换与矩阵
线性变换的定义与性质
线性变换是一种保持向量加法和数乘 不变的映射，具有一些重要的性质， 如线性变换的矩阵表示等。
线性变换的应用
在几何学、物理、工程等领域中，线 性变换被广泛应用于描述和解决实际 问题。
常用的解法有高斯消元法 、LU分解法、迭代法等。
线性方程组的应用
在科学、工程、经济等领 域中，线性方程组被广泛 应用于解决实际问题。
向量与矩阵
向量的定义与性质
向量是一个具有大小和方 向的几何对象，具有加法 、数乘和向量的模等基本 性质。
矩阵的定义与性质
矩阵是一个由数字组成的 矩形阵列，具有加法、数 乘、乘法等基本性质。
统计量与样本分布
统计量是用于描述样本特征的量，样本分布描述了样本点在样本空 间中的分布情况。
参数估计
参数估计是数理统计中的一种方法，通过样本数据来估计总体参数 。
参数估计与假设检验
点估计与区间估计
01
点估计是直接用一个数值来估计参数，区间估计是给出参数的
一个可能取值范围。
假设检验的基本思想
02
假设检验是通过样本数据来检验对总体参数的假设是否成立。
高等数学下9_课件2.ppt
Wi P(i ,i ) xi Q(i ,i ) yi .
n
W Wi
近似值
i 1
n
[P(i ,i ) xi Q(i ,i ) yi ].
i 1
n
取极限
W
lim
0
[P(i ,i ) xi
i 1
Q(i ,i ) yi ].
精确值
2.第二型曲线积分的定义 定义9.2 设C为xOy面内从点A到点B的一条有向光 滑曲线弧，函数 P(x,y)、Q(x,y) 在C上有界。在C上沿
n
Q(
x,
y,
z)dy
lim
0
i 1
Q(i
,i
,
i
)
yi
.
n
R( x,
y,
z)dz
lim
0
i 1
R(i ,i ,
i
)zi .
依次为:
P( x, y, z) 在曲线弧 上对坐标 x 的曲线积分，
Q( x, y, z) 在曲线弧 上对坐标 y 的曲线积分，
R( x, y, z)在曲线弧 上对坐标 z 的曲线积分.
0
2π(πb2 a2 ).
z
⑵ C2 的参数方程为 x a, y 0, z t,0 ≤ t ≤ 2πb. • B(a,0,2πb)
D(a,0, πb)
2πb
W 0 (a t)dt
2πb(a πb).
C2 O
C1
•
x A(a,0,0)
y
9.2.2 第二型曲线积分计算
2.沿有向闭曲线的积分 ●对平面闭曲线 C，其上任一点都可看作既是起点， 又是终点.约定逆时针方向（图 9.5（a））称为 C 的正向， 顺时针方向（图 9.5（b））称为 C 的负向.
高等数学下册第十章课件.ppt
则
(2) 若D为Y -型区域
则
说明:
即先对y后对x积分
即先对x后对y积分
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(4) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
(3) 若积分区域既是X-型区域又是Y -型区域
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
记作
第五节 三重积分（一）
利用直角坐标计算三重积分
方法1 投影法 (“先一后二” )
如图，
第五节 三重积分（一）
划分：
记作
第五节 三重积分（一）
化为三次积分
区域
方法2 截面法 (“先二后一”)
第五节 三重积分（一）
记作
于是
注：方法一和方法二的可看作由上下两个曲面所围成.即平行于z轴且穿过内部的直线与的边界曲面相交不多于两点.
直角坐标系
柱面坐标系
球面坐标系
说明:
三重积分类似于二重积分也可以利用对称性计算.
变量可分离.
围成 ;
第六节 三重积分（二）
例 求
解 原式
第六节 三重积分（二）
几种的图形
第六节 三重积分（二）
三重积分的应用 1.物体的质心
设物体占有空间域 ,
有连续密度函数
则
设空间有n个质点,
其质量分别
例 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1 将D看作X-型区域, 则
解法2 将D看作Y-型区域, 则
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 计算
其中D 是抛物线
(2) 若D为Y -型区域
则
说明:
即先对y后对x积分
即先对x后对y积分
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(4) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
(3) 若积分区域既是X-型区域又是Y -型区域
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
记作
第五节 三重积分（一）
利用直角坐标计算三重积分
方法1 投影法 (“先一后二” )
如图，
第五节 三重积分（一）
划分：
记作
第五节 三重积分（一）
化为三次积分
区域
方法2 截面法 (“先二后一”)
第五节 三重积分（一）
记作
于是
注：方法一和方法二的可看作由上下两个曲面所围成.即平行于z轴且穿过内部的直线与的边界曲面相交不多于两点.
直角坐标系
柱面坐标系
球面坐标系
说明:
三重积分类似于二重积分也可以利用对称性计算.
变量可分离.
围成 ;
第六节 三重积分（二）
例 求
解 原式
第六节 三重积分（二）
几种的图形
第六节 三重积分（二）
三重积分的应用 1.物体的质心
设物体占有空间域 ,
有连续密度函数
则
设空间有n个质点,
其质量分别
例 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1 将D看作X-型区域, 则
解法2 将D看作Y-型区域, 则
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 计算
其中D 是抛物线
重大社2024《高等数学》教学课件第三章 1、2、3节
令f′(x)=0，得驻点x1=1，x2=3
x
( ，1)
1
(1，3)
3
(3, )
f x
＋
0
－
0
＋
f x
↗
4
↘
0
↗
知，f(1)=4为函数f(x)的极大值。
f(3)=0为f(x)的极小值。
第二节 函数的极值
解法2
因为该函数的定义域为（-∞，+∞），
f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)
（4）列表讨论：
x
(, 0)
(0, )
f x
0
－0＋ຫໍສະໝຸດ f x↘-5
↗
所以，当
x 0时， y极小值 = 5
例2 求
1 3
f ( x) x 4 x 4 的极值.
3
解（1）函数的定义域为 ,
（2）求导数 f ( x) x 4
2
（3）令 f ( x) 0，得驻点 x1 2, x2 2 （将定义域分成三个区间）
y 2x 3
y 2 0
引入2
导数与单调性的关系
1
y x 1
2
1
y 0
2
3.1
函数单调性的判别法
3.1.1单调性的判定定理
定
设函数 f ( x) 在 (a, b) 内可导，
理 (1)如果在 (a, b) 内， f ( x) 0 则函数 f ( x)在 (a, b)内单调增加，
于是，当
即，当
x0
x0
时，有
时，有
f ( x) f (0) 0
sin x x
x
( ，1)
1
(1，3)
3
(3, )
f x
＋
0
－
0
＋
f x
↗
4
↘
0
↗
知，f(1)=4为函数f(x)的极大值。
f(3)=0为f(x)的极小值。
第二节 函数的极值
解法2
因为该函数的定义域为（-∞，+∞），
f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)
（4）列表讨论：
x
(, 0)
(0, )
f x
0
－0＋ຫໍສະໝຸດ f x↘-5
↗
所以，当
x 0时， y极小值 = 5
例2 求
1 3
f ( x) x 4 x 4 的极值.
3
解（1）函数的定义域为 ,
（2）求导数 f ( x) x 4
2
（3）令 f ( x) 0，得驻点 x1 2, x2 2 （将定义域分成三个区间）
y 2x 3
y 2 0
引入2
导数与单调性的关系
1
y x 1
2
1
y 0
2
3.1
函数单调性的判别法
3.1.1单调性的判定定理
定
设函数 f ( x) 在 (a, b) 内可导，
理 (1)如果在 (a, b) 内， f ( x) 0 则函数 f ( x)在 (a, b)内单调增加，
于是，当
即，当
x0
x0
时，有
时，有
f ( x) f (0) 0
sin x x
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
大一高数下知识点总结ppt
大一高数下知识点总结ppt一、前言大一高数下学期是一门重要的数学基础课程，涵盖了较为复杂的数学知识和技巧。
为了帮助同学们更好地掌握和理解这门课程，本文将通过PPT的形式，对大一高数下知识点进行总结和梳理，以期提供一个清晰的学习框架。
二、函数与极限1. 函数与映射- 函数的定义和性质- 常见函数的种类及其图像2. 极限与连续- 极限的概念和性质- 极限运算法则- 连续函数的定义和判定方法三、导数与微分1. 导数的定义- 导数的几何意义- 导数的计算方法2. 导数的应用- 函数的极值与最值- 函数的单调性分析3. 高阶导数和微分- 高阶导数的定义和计算 - 微分的概念和应用四、不定积分与定积分1. 不定积分- 基本积分表及其应用 - 积分法与换元积分法2. 定积分- 定积分的定义和性质- 牛顿-莱布尼茨公式的应用3. 微积分基本定理- 函数的原函数与定积分- 第一、第二类换元积分法五、常微分方程1. 基本概念- 常微分方程的定义和分类 - 隐式解和显式解2. 一阶常微分方程- 可分离变量方程- 齐次方程和一阶线性方程3. 高阶常微分方程- 常系数线性齐次方程- 非齐次方程的特解与通解六、级数1. 级数的基本概念- 数列与数列的和的关系 - 级数的收敛与发散判定2. 常见级数- 几何级数与等比级数- 幂级数和泰勒级数七、空间解析几何1. 空间直线和平面- 直线的方程及其位置关系 - 平面的方程及其位置关系2. 空间曲线和曲面- 曲线的参数方程及其性质- 曲面的方程及其分类八、三重积分与曲线积分1. 三重积分- 三重积分的概念和计算方法- 三重积分的应用2. 曲线积分- 第一类曲线积分和第二类曲线积分 - 曲线积分的计算和应用九、多元函数微分学1. 多元函数的极限- 多元函数的极限定义和性质- 多元函数的连续与间断点2. 偏导数与全微分- 偏导数的定义与计算- 多元函数的全微分3. 多元函数的极值与最值- 多元函数的极值判定条件- 多元函数的最值计算十、向量代数与空间解析几何1. 向量的基本概念- 向量的定义和运算规则- 向量的数量积和向量积2. 空间中直线和平面的表示- 直线的参数方程和标准方程- 平面的点法式方程和一般方程3. 空间向量的应用- 向量的共线与垂直判定- 向量在物理和几何问题中的应用十一、泰勒展开与多元函数的极值1. 泰勒展开与带余项- 泰勒级数与泰勒多项式- 带余项的泰勒展开公式2. 多元函数的极值与最值- 多元函数的偏导数求极值- 使用梯度判定多元函数的极值结语以上就是本PPT对大一高数下知识点的总结，希望同学们通过学习和掌握这些知识，能够在高等数学的学习中更加得心应手，获得优异的成绩。
《高等数学(下册)》课件 高等数学 第7章
n
un
1 lim
n n
0
，所以该级数收敛。
（2）该级数也为交错级数。因为
lim
n
un
lim
n
n 2n 1
1 2
0
，所以
该级数发散。
三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛
如果数项级数的项可正可负，那么称为任意项级数。对于任 意项级数，有绝对收敛与条件收敛。
定理4 设 un 为任意项级数，如果级数 | un | 收敛，则级数 un
定义1 设 un (x) (n 1，2 ， ) 是定义在区间I上的函数，级数
un (x) u1(x) u2 (x) un (x)
n 1
称为区间
I
上的函数项级数。对于区间
I
内确定的点
x0， n 1
un
( x0
)
即是数项级数。若
n 1
un
(x0 )
收敛，那么
x0
就称为级数
n 1
un (x)
当级数 un 收敛时，其和与部分和的差，即 S Sn ，称为级数 n 1
的余项，记为 rn ，则
rn S Sn un1 un2
例2
讨论级数
1 1 2
11 23 34
1 n(n 1)
的敛散性。
解
级数一般项
un
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
，所以级数的部分和为
Sn
1 1 2
1 23
1 34
n 1
n 1
n 1
收敛。
证明
令n
1 2
(|
un
|
un ) ，n
1，2 ，
，则级数 n 为正项级数。
un
1 lim
n n
0
，所以该级数收敛。
（2）该级数也为交错级数。因为
lim
n
un
lim
n
n 2n 1
1 2
0
，所以
该级数发散。
三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛
如果数项级数的项可正可负，那么称为任意项级数。对于任 意项级数，有绝对收敛与条件收敛。
定理4 设 un 为任意项级数，如果级数 | un | 收敛，则级数 un
定义1 设 un (x) (n 1，2 ， ) 是定义在区间I上的函数，级数
un (x) u1(x) u2 (x) un (x)
n 1
称为区间
I
上的函数项级数。对于区间
I
内确定的点
x0， n 1
un
( x0
)
即是数项级数。若
n 1
un
(x0 )
收敛，那么
x0
就称为级数
n 1
un (x)
当级数 un 收敛时，其和与部分和的差，即 S Sn ，称为级数 n 1
的余项，记为 rn ，则
rn S Sn un1 un2
例2
讨论级数
1 1 2
11 23 34
1 n(n 1)
的敛散性。
解
级数一般项
un
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
，所以级数的部分和为
Sn
1 1 2
1 23
1 34
n 1
n 1
n 1
收敛。
证明
令n
1 2
(|
un
|
un ) ，n
1，2 ，
，则级数 n 为正项级数。
高等数学(下)教学课件-d8-1
YSoAuNthGeZrnHOMUedicUaNl IUVnEivReSrsIiTtyY
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“ ” 已知 b＝ a , 则 b＝0 a , b 同向 a , b 反向
a∥b
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试用a 与b 表示 MA, MB, MC , MD.
类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .
与三坐标轴的夹角 , ,
为其方向角.
方向角的余弦称为其方向余弦.
cos
x r
x x2 y2 z2
YSoAuNthGeZrnHOMUedicUaNl IUVnEivReSrsIiTtyY
z
r
o
y
x
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cos
x r
cos
s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3
s
a2 a1
YSoAuNthGeZrnHOMUedicUaNl IUVnEivReSrsIiTtyY
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2. 向量的减法
三角不等式
a
YSoAuNthGeZrnHOMUedicUaNl IUVnEivReSrsIiTtyY
y r
cos
z r
x x2 y2 z2
y x2 y2 z2
z x2 y2 z2
方向余弦的性质:
z
r
o
y
x
YSoAuNthGeZrnHOMUedicUaNl IUVnEivReSrsIiTtyY
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例7. 已知两点
和
计算向量
的模 、方向余弦和方向角 .
高等数学下册第九章课件.ppt
f x, y A
(2) lim lim f (x, y) xx0 y y0 lim lim f (x, y) y y0 xx0 一般地，A1 A2
(x, y) (x0, y0 ) (x, y) (x0, y0 )
f A1
f A2
第一节 多元函数
例
设
f
(x,
y)
xy
x2 x2
y2 y2
称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数
当 n = 3 时, 有三元函数
第一节 多元函数
多元函数的极限
定义 设 n 元函数 f (P), P D R n , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一
切 P D U (P0, ), 都有
解 函数 xy 的定义域为 D x, y xy 0 , 0,0 为 xy 1 1
D 的聚点.由积的极限运算法则,得
lim
xy
xy( xy 1 1) lim
( x, y)(0,0) xy 1 1 ( x, y)(0,0)
xy
lim ( xy 1 1) 2 . ( x, y)(0,0)
f (x)
A
0,
0,当0
x xo
时，有
f (x)－A ＜
f (xo -0) f (xo 0) A
f (x) A (lim 0) xxo
ank x0 (ank x0 ) f (ank ) A
lim
xx0
f
(x)
A ()0 U (x0, ),
f
(x)
()0
x x0 P0 P ，因此，
f (x, y) f (x0 , y0 ) cos x cos x0
(2) lim lim f (x, y) xx0 y y0 lim lim f (x, y) y y0 xx0 一般地，A1 A2
(x, y) (x0, y0 ) (x, y) (x0, y0 )
f A1
f A2
第一节 多元函数
例
设
f
(x,
y)
xy
x2 x2
y2 y2
称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数
当 n = 3 时, 有三元函数
第一节 多元函数
多元函数的极限
定义 设 n 元函数 f (P), P D R n , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一
切 P D U (P0, ), 都有
解 函数 xy 的定义域为 D x, y xy 0 , 0,0 为 xy 1 1
D 的聚点.由积的极限运算法则,得
lim
xy
xy( xy 1 1) lim
( x, y)(0,0) xy 1 1 ( x, y)(0,0)
xy
lim ( xy 1 1) 2 . ( x, y)(0,0)
f (x)
A
0,
0,当0
x xo
时，有
f (x)－A ＜
f (xo -0) f (xo 0) A
f (x) A (lim 0) xxo
ank x0 (ank x0 ) f (ank ) A
lim
xx0
f
(x)
A ()0 U (x0, ),
f
(x)
()0
x x0 P0 P ，因此，
f (x, y) f (x0 , y0 ) cos x cos x0
高等数学下8_课件3.ppt
围成的矩形域，即
D : 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 2 .
V
:
0≤
x
≤1, 0 ≤
y
≤
2,
y 4
≤
z
≤6-
x2
y2
.
从而
1
2
6x2 y2
V ห้องสมุดไป่ตู้ dV 0 dx0 dyy
dz
V
4
1
2
6x2 y2
V dV 0 dx0 dyy
dz
V
4
1
2
dx
0
0
z dy 6x2 y2 y
4
y
r
sin
sin
,
z r cos .
8.3.2 三重积分的计算
z
如图，
dr
d
球面坐标系中的体积元素
r sin
r sind
r
rd
dv r2 sindrdd ,
d
o
y
f ( x, y, z)dxdydz
x
d
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos ) r2 sindrdd .
F(x, y)d
D
D
o
z2 ( x, y )
f
a
( x, y, z)dz
d .
D
z1 ( x , y ) b
(x, y)
x
y y1( x)
y
y y2( x)
D : y1(x) ≤ y ≤ y2 (x), a ≤ x ≤ b, 得
f (x, y, z)dv
b
dx
y2 ( x)dy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz.
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定义2 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域） P 内有定义，0 ( x0 , y0 ) 是D的内点或边界点如果 对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得 对于适合不等式
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0 PP 0
( x x0 )2 ( y y0 )2
的一切点P(x,y)∈D，都有 f ( x, y ) A
x x0 y y0
, zx
x x0 y y0
或f x ( x0, y0 )
例如，极限(1)可以表示为
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) lim (2) x 0 x
类似地,函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 对y的偏导 数定义为
也称为因变量,数集
{z z f ( x, y),( x, y) D}
称为该函数的值域. 把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集 D.则可类似的定义n元函数 u f ( x1, x2 ,, xn ) .当 n=1时，n元函数就是一元函数.当n≥2时n元函 数统称为多元函数.
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z f ( x x, y y) f ( x, y)
高数课件
重庆大学数理学院
教师
吴新生
第八章
多元函数微分法及其应用
开 始
退出
第一节 多元函数的基本概念
第二节 偏导数
第三节 全微分
第六节 微分法在几何上的应用
第四节 多元复合函数的求导法则
第七节 方向导数与梯度
第五节 隐函数的求导公式
第八节 多元函数的极值及其求法
总习题
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第一节
多元函数的基本概念
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二、多元函数概念
例题
定义1 设D是平面上的一个点集.如果对于 每个点P=(x,y)∈D,变量z按照一定法则总有确 定的值和它对应,则称z是变量x、y的二元函数 (或点P的函数),记为
z f ( x, y)或z f ( P)
点集D称为该函数的定义域,x、y称为自变量,z
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x x0 y y0
则称函数f(x,y)在点 P0 ( x0 , y0 )连续. 若函数f(x,y)在点 P0 ( x0 , y0 )不连续，则称 P0 为 函数f(x,y)的间短点. xy 函数 , x2 y 2 0 x2 y 2 f ( x, y ) 0, x 2 y 2 =0
2 2
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z 2 z z 2 z f xx ( x, y), f xy ( x, y) x x x 2 y x xy
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二元函数z=f(x,y)在点( x0 , y0 ) 的偏导数有下 述几何意义. 设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))为曲面z=f(x,y)上的一点, 过 M 0作平面 y y0 ，截此曲面得一曲线，此曲 线在平面 y y0 上的方程为z f ( x, y0 ),则导数
z
x
x0
x
T
z f ( x0 , y)
M0
z f ( x, y0 )
Ty
y0
O
y
图
8-6
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二、高阶偏导数
设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数
z z f x ( x, y ), f y ( x, y ) x y 那么在D内 f x ( x, y)、f y ( x, y)都是x,y的函数.如
三、多元函数的极限
二元函数 z f ( x, y)当 x x0 , y y0 ,即 P( x, y) P ( x0 , y0 ) 时的极限. 0 这里 P P 表示点 P 以任何方式趋于 P ，也就 0 0 是点 P 与点 P 间的距离趋于零，即 0
P P0
( x x0 )2 ( y y0 )2 0
d f ( x , y0 ) ，即偏导数 f x ( x0 , y0 ) ,就是 x x0 dx
这曲线在点 M 0 处的切线 M 0Tx 对x轴的斜率(见 图8-6).同样偏导数 f y ( x0 , y0 ) 的几何意义是曲 面被平面 x x0 所截得的曲线在点 M 0处的切线 M 0Tx 对y轴的斜率.
2
如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏
2
z z 导数 及 在D内连续，那么在该区域内 y x x y
这两个二阶混合偏导数必相等.
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z 2 z z 2 z f xx ( x, y), f xy ( x, y) x x x 2 y x xy
一.区域
二.多元函数概念
三.多元函数的极限
四.多元函数的连续性
习题
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第一节
一、区域
多元函数的基本概念
1.邻域 设 P0 ( x0 , y0 ) 是xOy平面上的一个点，δ是某一 正数.与点 P0 ( x0 , y0 ) 距离小于δ的点 P( x, y) 的全体 称为 P0 的邻域，记为U ( P0 , )，即
U ( P0 , ) {P PP0 }
也就是
U ( P0 , ) {( x, y) ( x x0 )2 ( y y0 )2 }
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2.区域 设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个 点.如果存在点P的某一邻域 U ( P ) 使U ( P) E， 则称P为E的内点(图8-1). 如果点集E的点都是内点，则 称E为开集. 如果点P的任一邻域内既有属 P 于E的点，也有不属于E的点， E 则称P为E的边界点（图8-2）. 设D是开集.如果对于D内的 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起
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任意二点 P , P2 ，只要当 P P2 时，都有 1 1
f ( P ) f (P ) 1 2
成立. 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 由多元初等函数的连续性，如果要求它在点 P0 处的极限，而该点又在此函数的定义区域内， 则极限值就是函数在该点函数值，即
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为该点的第i个坐标,n维空间记为 n . n维空间中两点 P( x1, x2 ,, xn ) 及 Q( y1, y2 ,, yn ) 间 的距离规定为
PQ ( y1 x1 ) 2 ( y2 x2 ) 2 ( yn xn ) 2
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z f , , z x或f x ( x, y ) x x
类似的，可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的 偏导函数，记作
z f , , z y或f y ( x, y ) y y
时只要把暂x时看作常量对y求导数.
例题
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f f 求 x 时只要把y暂时看作常量对x求导数；求y
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z 2 z z 2 z f yx ( x, y), 2 f yy ( x, y) x y yx y y y
其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数.同 样可得三阶、四阶、·以及n阶偏导数.二阶及二 · · 阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 例题 定理
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f (P ) f (P) f (P ) 2 1
性质2(介值定理) 在有界闭区域D上的多元 函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它 在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。 如果μ是函数在D上的最小值m和最大值M之间 的一个数，则在D上至少有一点Q，使得f(Q)=μ. *性质3(一致连续性定理) 在有界闭区域上 的多元连续函数必定在D上一致连续. 若f(P)在有界闭区域D上连续，那么对于任意 给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于D上的
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P E
来,而且该折线上的点都属于D, 则称开集D是连通的. 连通的开集称为区域或开区域. 开区域连同它的边界一起,称 为闭区域.
图 8-2
3.n维空间 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组 ( x1 , x2 ,, xn ) 的全体为n维空间,而每个有序n元数 组 ( x1, x2 ,, xn ) 称为n维空间中的一个点,数 xi 称
y 成立，则称常A为函数f(x,y)当 x x0 ， y0 时的极限，记作
f ( x, y ) A 或 这里 P P . 0
Hale Waihona Puke x x0lim f ( x, y ) A
( 0)
例题
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四、多元函数的连续性
定义3 设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D P 内有定义，0 ( x0 , y0 ) 是D的内点或边界点且 P0 D. 如果 lim f ( x, y ) f ( x0 , y0 )
果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数 z=f(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的 不同下列四个二阶偏导数：
z z z z x x2 f xx ( x, y), x xy f xy ( x, y) x y
上面两式的左端分别叫做二元函数对x和对y的 偏增量，而右端分别叫做二元函数对x和对y的 偏微分. 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有定 义，并设 P( x x, y y) 为这邻域内的任意一
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点，则称这两点的函数值之差 f ( x x, y y) f ( x, y) 为函数在点P对应于自变量增量Δx、Δy的全增 量，记作Δz，即
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f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) lim x 0 y