高中物理竞赛辅导讲义-微积分初步

微积分初步

一、微积分的基本概念 1、极限

极限指无限趋近于一个固定的数值 两个常见的极限公式

0sin lim

1x x

x

→=

*1lim 11x

x x →∞

⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

2、导数

当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数。

0'lim

x dy y

y dx x

∆→∆=

=∆ 导数含义，简单来说就是y 随x 变化的变化率。 导数的几何意义是该点切线的斜率。 3、原函数和导函数

对原函数上每点都求出导数，作为新函数的函数值，这个新的函数就是导函数。

00()()

'()lim

lim

x x y y x x y x y x x x

∆→∆→∆+∆-==∆∆ 4、微分和积分

由原函数求导函数：微分

由导函数求原函数：积分 微分和积分互为逆运算。

例1、根据导函数的定义，推导下列函数的导函数

（1）2y x = （2） (0)n

y x n =≠ （3）sin y x =

二、微分

1、基本的求导公式

（1）()'0 ()C C =为常数 （2）()

1' (0)n n x nx n -=≠ （3）()

'x x e e = *（4）()

'ln x x a a a = （5）()1ln 'x x =

*（6）()1log 'ln a x x a

=

（7）()sin 'cos x x = （8）()cos 'sin x x =- （9）()21tan 'cos x x =

（10）()2

1

cot 'sin x x

= **（11）()

arcsin 'x = **（12）()arccos 'x =

**（13）()21arctan '1x x =

+ **（14）()2

1

arccot '1x x =-+ 2、函数四则运算的求导法则

设u =u (x )，v =v (x ) （1）()'''u v u v ±=± （2）()'''uv u v uv =+ （3）2

''

'u u v uv v v -⎛⎫=

⎪⎝⎭

例2、求y=tan x 的导数

3、复合函数求导

对于函数y =f (x )，可以用复合函数的观点看成y =f [g (x)]，即y=f (u )，u =g (x )

'dy dy du

y dx du dx

=

=

即：'''u x y y u =

例3、求28

(12)y x =+的导数

例4、求ln tan y x =的导数

三、积分

1、基本的不定积分公式

下列各式中C 为积分常数

（1） ()kdx kx C k =+⎰为常数 （2）1

(1)1

n n

x x dx C n n +=

+≠-+⎰

（3）x

x

e dx e C =+⎰ *（4）ln x

x

a a dx C a

=+⎰

（5）1

ln dx x C x =+⎰ （6）sin cos xdx x C =-+⎰

（7）cos sin xdx x C =+⎰ *（8）21

tan cos dx x C x

=+⎰

**（9）

2

1

arctan 1dx x C x =++⎰ **（10

）arcsin x C =+⎰ 2、简单的定积分求法（即牛顿—莱布尼茨公式）

物理竞赛中最基本的微积分公式

牛顿—莱布尼茨公式：若f (x )是F (x )在区间[a, b ]上的导函数, 则

()()()b

a

f x dx F b F a =-⎰

而根据导函数f (x )求原函数F (x )的过程，其实就是不定积分的过程。 3、换元积分法

(1)第一类换元积分（凑微法） 例5、求22cos x x dx ⎰

** (2)第二类换元积分法

技巧性较强，没有一定的通法，高中阶段很少用到。

**例6

、

6

5

52

2361

616(1)1t x t dx t dt

t dt t t dt t t t ====-+-++⎰

⎰⎰即

物理例题：

例7、已知地球的半径为R ，质量为M 。将质量为m 的质点从地面移动到无穷远处，此过程中，万有引力做了多少功？

例8、求半径为R ，质量均匀的半圆形薄板的重心位置

例9、求常见几何体的转动惯量。各物体质量均为m ，杆长均为L ，半径均为r (1)均匀杆绕中点转动 (2)均匀杆绕一端转动 (3)均匀圆盘绕中心转动 *(4)均匀球绕中轴转动

5.2附 微积分阅读材料

**一、求极限的罗必塔法则

() ()()()()0lim ()0x a x x a x f x F x f x F x →→∞→→∞∞

∞如果当或时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，

那么极限可能存在、也可能不存在。通常把这种极限称为或型未定

式。