2020高考全国二卷数学试题分析解析解读
2020年高考数学试题解析(全国2卷)
D． 11001
【思路分析】分别为 4 个选项中 k 1 ，2，3，4 进行讨论，若有一个不满足条件，就排除；由题意可得周
期都是 5，每个答案中都给了一个周期的排列，若需要下个周期的排列，继续写出，如 C 答案中的排列为
10001 10001 10001
【解析】：对于 A 选项：序列 11010 11010
1 2
a 2b
ab
8，
c2 a2 b2 2ab 16 ，当且仅当 a b 2 2 时取等号，
C 的焦距的最小值为 2 4 8 ，
故选： B ．
【总结与归纳】本题考查了双曲线的方程和基本不等式，以及渐近线方程，属于基础题．
9．设函数 f (x) ln | 2x 1| ln | 2x 1| ，则 f (x)( )
【总结与归纳】本题考查球的内接体问题，求解球的半径，以及三角形的外接圆的半径是解题的关键．
11．若 2x 2y 3x 3y ，则 (
)
A． ln( y x 1) 0 B． ln( y x 1) 0 C． ln | x y | 0
D． ln | x y | 0
【思路分析】由 2x 2y 3x 3y ，可得 2x 3x 2y 3y ，令 f (x) 2x 3x ，则 f (x) 在 R 上单调递增，
故要求的圆的方程为 (x 5)2 ( y 5)2 25 或 (x 1)2 ( y 1)2 1 ．
故所求圆的圆心为 (5,5) 或 (1,1) ；
故圆心到直线 2x y 3 0 的距离 d | 2 5 5 3 | 2 5 或 d | 2 1 1 3 | 2 5 ；
22 12
积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要志愿者 ( )
2020高考数学试卷分析(全国2卷)
2020高考数学试卷分析(全国2卷)2020年高考数学试卷分析（全国2卷）整体感受：1.今年的文理科相同题目数量达到了历史之最，全卷共有22道试题（含2道选做大题），文理一字不差的题目达到了10道。
此外，解析几何与立体几何题干和第1问均一字不差，7道大题仅三角与函数导数差异较大。
这给我们带来了什么启示呢？相信各位读者都会有自己的体会。
2.在19年的基础上，今年进一步加强了阅读理解能力的考查，全卷文字总数也进一步增加，理科试卷全卷文字总数超过了2000字。
3.试题内容贴近生活，倡导学生多维度涉猎知识提高能力。
无论是取材于“新冠肺炎”和沙漠治理的统计题目、以天坛为背景的数列题目、以乐理为背景的数列推理题、垃圾分类的分配题目都体现了五育要求，引导学生全面发展，同时强化阅读理解能力和抽象概括能力，体现了数学的工具性与应用性。
4.命题灵感和依据来自于教材内容。
无论是立体几何、坐标系与参数方程还是解析几何等等，都可以在教材中找到原型。
5.今年的试题中，有些前几年的真题被进行了换情景或者适当变形。
比如，今年理科14题与17年2卷理科第6题几乎完全相同，答案也相同，仅在呈现方式上发生了变化，均考查的是经典的“将N+1个元素分配到N个对象”的分配问题。
今年理科11题也是文科12题的改编，命题思想与考查的点几乎完全相同。
类似的题目还有很多。
6.问题量加大。
虽然总体题目个数没有变化，但今年理科试题大题的设问个数达到了教育部已命制的21套试题设问个数之最。
7.考查的是主干知识与核心思想能力，打破定势思维，强调学生综合运用知识解决问题的能力。
8.强调知识的积累与知识面，难度梯度设计合理，充分体现了高考的选拔人才功能。
比如文理16题，源于教材，但考到了平时较少涉及的公理内容的考查，同时逻辑用语中对“或、且、非”命题符号属于教材中旁注内容，理科21题涉及到了三角、函数、导数、不等式等知识的综合分析运用能力。
9.解析几何文理完全同题，同时更深入考查考生对解析几何本质的理解，扣教材扣考纲，避免所谓“套路”的定势思维。
2020高考全国二卷数学试题分析解析解读
2020高考全国二卷数学试题分析解析解读2020年1月，教育部发布《中国高考评价体系》，明确“一核”、“四层”、“四翼”的高考评价体系，即高考要体现“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能，考查“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”四层内容考查要求，考查“基础性、综合性、应用性、创新性”的四翼要求。
2020年全国Ⅱ卷高考文理科数学试题，依托高考评价体系，充分落实了“一核”“四层”“四翼”的要求，在试题整体结构稳定的基础上，有适度创新，突出数学学科特色，突出学科素养导向，有时代特色，注重能力考查，着重考查学生的思维能力，综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力。
试题主要呈现以下特点：一、试题稳中有变，大题结构动态调整2020年的高考数学保持题型、考点、难度的相对稳定，但是为了对接新高考，以学科素养立意命题，增加了阅读量、信息量，学生明显表现出不适应，感觉难度增大。
尤其是在题的顺序上打破常规，文理科的第3、4题新颖试题过早出现，出乎学生意料，耽误了一定的答题时间，在感觉和信心上受挫。
若学生能及时调整答题策略，后面的选择填空题都很常规，多数学生都能轻松解决。
此试卷对学生和教师的提醒是，困难的试题可能会在试卷的任何地方出现，不能再坚持难题一定在后面的观念了。
全国Ⅱ卷的理科和文科试题，对主观题的结构布局及考查难度也都进行了动态调整，文理科的解答题顺序均为：17题解三角形、18题概率统计，19题圆锥曲线，20题立体几何，21题函数导数；22、23题为二选一。
其中第一道大题第17题考查解三角形的相关知识，替换了2019年的立体几何大题的位置；而立体几何大题后移至第20题，仍然考查平行、垂直关系，直线和平面所成的角及体积的计算，但灵活性加大；解析几何大题前移至第19题的位置，难度有所降低。
大题结构的调整主要考查学生灵活应变的能力和主动调整适应的能力。
对重点内容的考查，在整体符合考试大纲的前提下，各部分内容和难度进行动态设计，这种设计有助于学生全面学习和掌握重点知识和重点内容，同时破解应试教育，指导高中教学。
2020高考全国二卷理科数学试题分析解析解读
2020高考全国二卷理科数学试题分析解析解读2020年高考数学试题重点考查了数学学科主干的内容，聚焦关键能力和数学素养的考查，注重数学应用价值和创新意识培养，以及数学建模。
试题体现了考主干知识、考基本能力、考核心素养，重视思维、关注应用、鼓励创新的指导思想，很好的体现了高考评价体系“一核、四层、四翼”的内涵和要求。
相较于2018年、2019年的试题，2020年理科数学试题总体结构变化很大，难度也明显加大，题目文字阅读量增多。
主观题在内容布局和考查难度上进行了较大的改变，解析几何解答题位置提前到19题，难度下降，放弃了直线和曲线位置关系的考察。
今年试题突显了数学学科素养的导向，注重基本能力的考查，全面覆盖了基础知识，增强了综合性及应用性，以社会生活中真实情境作为问题的载体，贴近实际，联系社会生活，在数学教育和评价中真正的落实了“立德树人”的根本任务。
2020年高考数学Ⅱ卷试题聚焦主干知识，突出核心素养，注重对高中基础内容的全面考查。
集合、三角、概率、数列、解析几何、立体几何、函数、平面向量、排列组合、复数等内容在选择题和填空题中得到了有效的考查。
试卷强调对主干内容的重点考查，体现了全面性、基础性和综合性的考查要求。
在解答题中重点考查了解三角形、概率统计、圆锥曲线、立体几何、函数与导数等主干内容。
其中解答题18题考察了相关系数，为了实现平稳过渡，对于相关系数的考察并不难。
试卷联系生活实际，建立数学模型，突显了数学应用价值和创新意识培养的重要性。
填空压轴题为复合命题真值判断和立体几何结合问题，这也是首次把简易逻辑放到压轴题位置。
总体来说，2020年高考数学试题体现了考核主干知识、基本能力和核心素养，注重思维、应用和创新的指导思想，符合高考评价体系“一核、四层、四翼”的内涵和要求。
2020年数学高考试题设计了真实的问题情境，与实际紧密联系，具有鲜明的时代特色。
例如，高考理科Ⅱ卷客观题的第（3）题以新冠肺炎疫情为问题背景，以志愿服务为问题情境设计题目，旨在宣传引领舆论导向，服务发展大局，传播正能量，对高中生进行爱国主义教育。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)(解析版)
q 2 a1 1
，
所以 an
a1qn1
2n1, Sn
a1(1 qn ) 1 q
1 2n 1 2
2n
1，
因此
Sn an
2n 1 2n1
2
21n
.
故选：B.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前 n 项和公式的应用，考查了数
学运算能力. 7.执行右面的程序框图，若输入的 k=0，a=0，则输出的 k 为（ ）
( ) ( ) 所以函数
f
x
x3
1 x3
在
0, +¥
上单调递增，在 -¥ , 0 上单调递增．
故选：A． 【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
11.已知△ABC 是面积为 9 3 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上.若球 O 的表面积为 16π，则 O 到
4
平面 ABC 的距离为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的 k 值，模拟程序的运行过程，分析
循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.
【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的 k 值
模拟程序的运行过程
k 0, a 0 第 1 次循环， a 2 0 1 1 , k 0 1 1， 2 10 为否 第 2 次循环， a 211 3 , k 11 2 ， 3 10 为否 第 3 次循环， a 23 1 7 , k 2 1 3 ， 7 10 为否 第 4 次循环， a 2 7 1 15 , k 3 1 4 ，15 10 为是
2020年高考理数全国卷2 试题详解
此时 2 的终边落在第三、四象限及 y 轴的非正半轴上，∴ sin 2 0 ，故选 D.
方法二、当
6
时， cos 2
cos
3
0 ，选项
B
错误；
当
3
时，
cos
2
cos
2 3
0
，选项
A
错误；
由 在第四象限可得： sin 0, cos 0 ，则 sin 2 2sin cos 0 ，选项
2020 年高考数学全国卷 2
理数
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合U 2,1,0,1, 2,3, A 1,0,1, B 1, 2 则 ðU (A B) （ ）
A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3}
S27
27(9
9 27) 2
3402
.故选
C
5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2x y 3 0 的距离为（ ）
A. 5 5
B. 2 5 5
C. 3 5 5
【答案】B
【解析】由于圆上的点 2,1 在第一象限，
D. 4 5 5
若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
900 4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上
层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 9 块扇面形
石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第一环比上 一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环
2020年高考全国2卷理科数学带答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．12i 12i +=-A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+2．已知集合22{(,)|3,,A x y x y x y =+≤∈∈Z Z}，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．43．函数2e e ()x xf x x--=的图象大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3，则其渐近线方程为A ．2y x =±B ．3y x =±C ．22y x =±D ．32y x =±6．在ABC △中，5cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB = A ．42B ．30C ．29D ．257．为计算11111123499100S =-+-++-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112 B ．114 C ．115 D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角1011(50)f ++B ．0 12222x y Ca b+：在的直线上， 13141516．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．三、解答题：共70分。
2020年高考全国2卷文科数学试题解析
高考全国2卷文科数学试题解析1.A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据公式，可直接计算得详解：，故选D.拓展：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略中的负号导致出错.2. 已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据集合可直接求解.详解：,,故选C拓展：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.3. 函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.拓展：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．4. 已知向量，满足，，则A. 4B. 3C. 2D. 0【答案】B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.拓展：向量加减乘：5. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.详解：设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为，故选D.拓展：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.6. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.拓展：已知双曲线方程求渐近线方程：.7. 在中，，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.拓展：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.8. 为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.详解：由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入，选B.拓展：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9. 在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.详解：在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以则.故选C.拓展：求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角.（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.10. 若在是减函数，则的最大值是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值详解：因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.拓展：函数的性质：(1). (2)周期 (3)由求对称轴， (4)由求增区间;由求减区间.11. 已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选D.拓展：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.12. 已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A. B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.拓展：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020全国2卷高考数学试题解析
2020全国2卷高考数学试题解析
1．已知集合{2U =-，1-，0，1，2，3}，{1A =-，0，1}，{1B =，2}，则()=B A C U
A.2{-，}3 B ．2{-，2，}3
C ．2{-，1-，0，3}
D ．2{-，1-，0，2，}3
【思路分析】先求出B A ，再根据补集得出结论．
【解析】：集合{2U =-，1-，0，1，2，3}，{1A =-，0，1}，{1B =，2}，
则{}2,1,0,1-=B A ，则(){}3,2-=B A C U .故选：A ．
【总结与归纳】本题主要考查集合的交并补运算，属于基础题．
2．若α为第四象限角，则( )
A ．cos20α>
B ．cos20α<
C ．sin20α>
D ．sin20α<
【思路分析】先求出2α是第三或第四象限角或为y 轴负半轴上的角，即可判断．
【解析】：α为第四象限角，则222k k π
παπ-+<<，k Z ∈，则424k k ππαπ-+<<，
2α∴是第三或第四象限角或为y 轴负半轴上的角，sin20α∴<，故选：D ．
【总结与归纳】本题考查了角的符号特点，考查了转化能力，属于基础题．
3．在情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，。
2020年高考全国II卷理科数学试题(含解析)
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题1.已知集合{2,1,0,1,2,3}U =--，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U C A B ⋃=（ ） A.{2,3}- B.{2,2,3}-C.{2,1,0,3}--D.{2,1,0,2,3}--【答案】A 【解析】∵{1,0,1,2}AB =-，∴ (){2,3}UC A B ⋃=-.2.若α为第四象限角，则（ ） A.cos20α> B.cos20α<C.sin 20α>D.sin 20α<【答案】D 【解析】∵22()2k k k Z ππαπ-+<<∈，∴424()k k k Z ππαπ-+<<∈，∴2α是第三象限角或第四象限角，∴sin 20α<.3.在新冠肺炎疫情期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。
已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A.10名 B.18名 C.24名 D.32名 【答案】B【解析】因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为160050012001850+-=名.4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇形面形石板（不含天心石）（ ） A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C【解析】设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差9d =，19a =，由等差数列性质知n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列，且2322()()n n n n S S S S n d ---=，则29729n =，得9n =，则三层共有扇形面石板为3271272627934022n S S a ⨯==+⨯=块. 5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A.【答案】B【解析】设圆心为(,)a a ，则半径为a ，圆过点(2,1)，则222(2)(1)a a a -+-=，解得1a =或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是5d =. 6.数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=,若155121022k k k a a a ++++++=-,则k =（ ）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】取1m =，则11n n a a a +=，又12a =，所以12n na a +=，所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则2nn a =，所以11011115512102(12)222212k k k k k k a a a ++++++-+++==-=--，得4k =.7.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）A.EB.FC.GD.H【答案】A【解析】该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A.8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1x yC a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】B【解析】双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODE S ab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当a b ==号成立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f x （ ）A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】函数()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，则()f x 为奇函数，故排除A 、C ；当11(,)22x ∈-时，()ln(21)ln(12)f x x x =+--，根据函数单调性的性质可判断()f x 在11(,)22-上单调递增，故排除B ；当1(,)2x ∈-∞-时，212()ln(21)ln(12)lnln(1)2121x f x x x x x +=----==+--，根据复合函数单调性可判断()f x 在1(,)2-∞-上单调递减，故D 正确.10.已知ABC ∆的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）B.32C.1【答案】C【解析】设ABC ∆的外接圆圆心为1O ，记1OO d =，圆1O 的半径为r ，球O 半径为R ，等边三角形ABC ∆的边长为a ，则2ABC S ∆==，可得3a =，于是r ==，由题知球O 的表面积为16π，则2R =，由222R r d =+易得1d =，即O 到平面ABC 的距离为1.11.若2233x y x y ---<-，则（ ） A.ln(1)0y x -+> B.ln(1)0y x -+< C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -<【答案】A【解析】2323x x y y---<-，设()23x x f x -=-，则()2ln 23ln30x xf x -'=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增，因为()()f x f y <，所以x y <，则11y x -+>，ln(1)0y x -+>，选A.12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12......n a a a 满足{}10,1(1,2,...)a i ∈=，且存在正整数m ,使得(1,2,...)i m i a a i +==成立，则称其为01-周期序列，并称满足(1,2,...)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m的01-序列12......n a a a ，11()(1,2,...,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的01-序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ） A. 11010... B.11011... C. 10001... D.11001... 【答案】C【解析】对于A 选项：511111(1)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，5211121(2)(01010)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于B 选项，5111131(1)(10011)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于C 选项，511111(1)(00001)555i i i C a a +===++++=∑，52111(2)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，53111(3)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，541111(4)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，满足；对于D 选项，5111121(1)(10001)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；故选C 。
2020全国2卷高考数学试题(试卷版+解析版)
2020全国2卷高考数学试题(试卷版+解析版)1.已知集合 $A=\{-1.1\}$，$B=\{1.2\}$，$C=\{-2.-1.1.2.3\}$，则 $(A\cup B)\cup C$ 等于哪个集合。
A。
$\{-2.3\}$B。
$\{-2.2.3\}$C。
$\{-2.-1.3\}$D。
$\{-2.-1.1.2.3\}$2.若 $\alpha$ 为第四象限角，则 $\cos2\alpha$ 的大小关系是。
A。
$\cos2\alpha>0$B。
$\cos2\alpha<0$C。
$\sin2\alpha>0$D。
$\sin2\alpha<0$3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200 份订单的配货。
由于订单量大幅增加，导致订单积压。
为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。
已知该超市某日积压 500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05.志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货。
为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要多少名志愿者。
A。
10 名B。
18 名C。
24 名D。
32 名4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层。
上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块。
下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块。
已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）多少块。
A。
3699 块B。
3474 块C。
3402 块D。
3339 块5.若过点 $(2,1)$ 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线$2x-y-3=0$ 的距离为多少。
A。
$\frac{5}{\sqrt{5}}$B。
$\frac{25}{\sqrt{5}}$C。
$\frac{35}{\sqrt{5}}$D。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理(全国卷2,含解析)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试课标II理科数学【命题特点】2020年高考全国新课标II数学卷，试卷结构在保持稳定的前提下，进行了微调，一是取消试卷中的第Ⅰ卷与第II卷，把解答题分为必考题与选考题两部分，二是根据中学教学实际把选考题中的三选一调整为二选一。
试卷坚持对基础知识、基本方法与基本技能的考查, 注重数学在生活中的应用。
同时在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，与2020年相比难度稳中有降略。
具体来说还有以下几个特点：1.知识点分布保持稳定小知识点集合，复数，程序框图，线性规划，向量问题，三视图保持一道小题的占比，大知识点三角数列三小一大，概率统计一大一小，立体几何两小一大，圆锥曲线两小一大，函数导数三小一大(或两小一大)。
2.注重对数学文化与数学应用的考查教育部2020年新修订的《考试大纲（数学）》中增加了数学文化的考查要求。
2020高考数学全国卷II理科第3题以《算法统宗》中的数学问题为进行背景，理科19题、文科18题以以养殖水产为题材，贴近生活。
3.注重基础，体现核心素养2020年高考数学试卷整体上保持一定比例的基础题，试卷注重通性通法在解题中的运用，另外抽象、推理和建模是数学的基本思想，也是数学研究的重要方法，试卷对此都有涉及。
【命题趋势】1.函数知识：函数性质的综合应用、以导数知识为背景的函数问题是高考命题热点，函数性质重点是奇偶性、单调性及图象的应用，导数重点考查其在研究函数中的应用，注重分类讨论及化归思想的应用。
2. 立体几何知识：立体几何一般有两道小题一道大题，小题中三视图是必考问题，常与几何的面积与体积结合在一起考查，解答题一般分2进行考查。
3．解析几何知识：解析几何试题一般有3道，圆、椭圆、双曲线、抛物线一般都会涉及，双曲线一般作为客观题进行考查，多为容易题，解答题一般以椭圆与抛物线为载体进行考查，运算量较大，不过近几年高考适当控制了运算量，难度有所降低。
2020年7月高考普通高等学校招生全国统一考试数学全国卷II及权威答案解析..
2020年7月普通高等学校招生全国统一考试数学全国卷II及权威答案解析（甘肃省）§。
2。
年普通高等学枚招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共*小题j每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。
1.已知集合5*023},mg,首・的,则印坤）・3）A.3B.W3}C.M・L0,3}D.{-2,-1,023}”皿*>皿*4・回5/.伸}2-若°为第四象限角,则⑴A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0:.她瑟3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困盅许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600®的概率为O.OS,。
志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订里及当日订单的配货的钦率不小于0.95,则至少需要志愿者（B）A.10名B. 18名C. 24名D. 32名4.北京天坛的圈丘坛为古代祭天的场所.分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石皈（祢为天&石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，［砂卜每环依次增加9块。
下一层的第一怀比上一后的晶后一环多9%向外每环依次堵加9块6已知爵启环数相同，且下㊂比中度多729块，则三层共有扇面形石板〈不含天心石）（）A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块5.若过点（2」）的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2工-）-3=0的通离为35&学C.龙5D.¥6.数列（妇中，q=2, 0_=久冬）若a,.,+ti.2+-.+a.lo=2^-25,则虹A.2B.3C.4D.57.右图是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为在俯视图中对应的点为则该端点在侧祝圈中对应的点为A.EB. FC. GD. H8.设。
高考文科数学(2卷)：答案详细解析(最新)
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（II 卷）答案详解一、选择题1.（集合）已知集合A ={}3,x x x Z <∈，B ={}1,x x x Z >∈，则A B =A.∅B.{}3,2,2,3-- C.{}2,0,2- D.{}2,2-【解析】∵{}2,1,0,1,2A x =--，∴{2,2}A B =- .【答案】D2.（复数）41i -=（）A.－4 B.4C.－4iD.4i【解析】[]224221(1)244i i i i ⎡⎤=-=-=-⎣⎦-=（）.【答案】A3.（概率统计）如图，将钢琴上的12个键依次记为1a ,2a ,…,12a .设112i j k ≤<<≤.若3k j -=且4j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A.5B.8C.10D.15【解析】原位大三和弦：1,5,8i j k ===；2,6,9i j k ===；3,7,10i j k ===；4,8,11i j k ===；5,9,12i j k ===；共5个.原位小三和弦：1,4,8i j k ===；2,5,9i j k ===；3,6,10i j k ===；4,7,11i j k ===；5,8,12i j k ===；共5个.总计10个.【答案】C4.（概率统计）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05。
志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名【解析】该超市某日积压500份订单未配货，次日新订单不超过1600份的概率为0.95，共2100份，其中1200份不需要志愿者，志愿者只需负责900份，故需要900÷50＝18名志愿者.【答案】B5.（平面向量）已知单位向量a ,b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是A.2a b+ B.2a b+ C.2a b- D.2a b -【解析】解法一（待定系数法）：设()ma nb b +⊥，则有21()02ma nb b ma b nb m n +⋅=⋅+=+=，即2m n =-，故选D.解法二：2o(2)2211cos6010a b b a b b -⋅=⋅-=⨯⨯⨯-= ，故选D.特殊法：如图A5所示，画单位圆，作出四个选项的向量，只有2a b -与b 垂直.图A5【答案】D6.（数列）记n S 为等比数列{n a }的前n 项和.若5a －3a =12,6a －4a =24，则nnS a =A ．21n -B ．122n-- C.122n --D ．121n --【解析】设{}n a 的公比为q ，∵6453()1224a a a a q q -=-==，∴2q =，∵22253311(1)(1)1212a a a q a q q a -=-=-==，∴11a =，∴111111(1)2111=22222n n n n n n n n a q S q a a q -------==-=-.【答案】B7.（算法框图）执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为A.2B.3C.4D.5【解析】①输入00k a ==，，得211a a =+=，11k k =+=，10a >否，继续；②输入11k a ==，，得213a a =+=，12k k =+=，10a >否，继续；③输入23k a ==，，得217a a =+=，13k k =+=，10a >否，继续；④输入37k a ==，，得2115a a =+=，14k k =+=，10a >是，程序退出循环，此时4k =.【答案】C8.（解析几何）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A．5B.5C.5D.5【解析】如图A8所示，设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，∵圆过点（2,1）且与两坐标轴都相切，∴222(2)(1)a b r a b r ==⎧⎨-+-=⎩，解得1a b r ===或5a b r ===，即圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线230x y --=5或=5.图A8【答案】B9．（解析几何）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C ：22221x y a b-=（a >0,b >0）的两条渐近线分别交于D ,E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．32【解析】如图A9所示，双曲线C ：22221x y a b-=（a >0,b >0）的渐近线为b y x a =±，由题意可知，(,)D a b ，(,)E a b -，∴1282ODE S a b ab ∆=⋅==，∴焦距2248c ==≥⨯=，当且仅当a =等号成立.故C 的焦距的最小值为8.图A9【答案】B10.（函数）设函数331()f x x x =-，则()f x A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【解析】∵333311()()()()f x x x f x x x-=--=-+=--，∴()f x 是奇函数，243()3f x x x'=+，当x >0，()0f x '>，∴()f x 在(0,+∞)单调递减.【答案】A11.（立体几何）已知△ABC 是面积为4的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A B ．32C ．1D ．32【解析】由题意可知244ABC S AB ∆==，∴3AB =，如图A11所示，设球O 的半径为R ，则24π16πR =，∴2R =，设O 在△ABC 上的射影为O 1，则O 1是△ABC 的外接圆的圆心，故1232O A =⨯=，∴O 到平面ABC 的距离11OO ==.图A11【答案】C12.（函数）若2233x y x y ---<-，则A.ln(1)0y x -+> B.ln(1)0y x -+<C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -<【解析】2233xyxy---<-可化为2323xxyy---<-，设1()2323xxxxf x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由指数函数的性质易知()f x 在R 上单调递增，∵2323x x y y ---<-，∴x y <，∴0y x ->，∴11y x -+>，∴In(1)0y x -+>.【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年新高考数学全国卷2(海南)(附答案与解析)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷（海南）数 学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.设集合{}2,3,5,7A =，{}1,2,3,5,8B =，则A B =（ ）A .{}1,3,5,7B .{}2,3C .{}2,3,5D .{}1,2,3,5,7,8 2.()()12i 2i ++=（ ）A .45i +B .5iC .5i -D .23i + 3.在ABC △中，D 是AB 边上的中点，则CB =（ ）A .2CD CA +B .2CD CA -C .2CD CA -D .2CD CA +4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面。
在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A .20︒B .40︒C .50︒D .90︒5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）A .62%B .56%C .46%D .42%6.要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）A .2种B .3种C .6种D .8种 7.已知函数()()2lg 45f x x x =--在(),a +∞上单调递增，则a 的取值范围是 （ ） A .()2,+∞B .[)2,+∞C .()5,+∞D .[)5,+∞ 8.若定义在R 的奇函数()f x 在(),0-∞单调递减，且()20f =，则满足()10xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A .[][)1,13,-+∞B .[][]3,10,1--C .[][)1,01,-+∞D .[][]1,01,3-二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分） 9.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（ ）A .这11天复工指数和复产指数均逐日增加B .这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量C .第3天至第11天复工复产指数均超过80%D .第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无------------------效----------------10.已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A .若0m n ＞＞，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B .若0m n =＞，则CC .若0mn ＜，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D .若0m =，0n ＞，则C 是两条直线11.下图是函数()y sin x ωϕ=+的部分图像，则()sin x ωϕ+=（ ）A .πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B .πsin 23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C .πcos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D .5πcos 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭12.已知0a ＞，0b ＞，且1a b +=，则（ ）A .2212a b +≥B .12a b-＞C .22log log 2a b +-≥D 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知正方体1111ABCD AB C D -的棱长为2，M 、N 分别为1BB 、AB 的中点，则三棱锥1A NMD -的体积为 .14.斜率为的直线过抛物线2:4C y x =的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB = .15.将数列{}21n -与{}32n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和为 .16.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，35tan ODC =∠，BH DG ∥，12 cm EF =， 2 cm DE =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为 2cm.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.在①ac =②sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC △，它的内角A ，B ，C 的对边分别为啊a ，b ，c ，且sin 3sin AB ，π6C =， ？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求()1122311n n n a a a a a a -+-+⋯+-.19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99％的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？ 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，20.如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD .设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，QB =PB 与平面QCD 所成角的正弦值.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞过点()2,3M ，点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12. （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求AMN △的面积的最大值.22.已知函数()1e ln ln x f x a x a -=-+.（1）当e a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若()1f x ≥，求a 的取值范围.-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷（海南）数学答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】根据集合交集的运算可直接得到结果． 因为{}2,3,5,7A =，{}1,2,3,5,8B =， 所以{}2,3,5A B =．故选：C【考点】集合交集的运算 2.【答案】B【解析】直接计算出答案即可．()()212i 2i 2i 4i 2i 5i ++=+++=故选：B【考点】复数的计算 3.【答案】C 【解析】根据向量的加减法运算法则算出即可．()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-=故选：C【考点】向量的加减法 4.【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知m CD ∥、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥．由于40AOC =︒∠，m CD ∥，所以40OAG AOC ==︒∠∠， 由于90OAG GAE BAE GAE +=+=︒∠∠∠∠，所以40BAE OAG ==︒∠∠，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE =︒∠． 故选：B【提示】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点、A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角．【考点】中国古代数学文化，球体有关计算 5.【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ，然后根据积事件的概率公式()()()()P A B P A P B P A B =+-+可得结果．记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ，则()P A 0.6=，()P B 0.82=，()P A B 0.96+=， 所以()()()()P A B P A P B P A B 0.60.820.960.46=+-+=+-=，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%． 故选：C【考点】积事件的概率公式 6.【答案】C【解析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可．第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C =种分法， 第二步，将2组学生安排到2个村，有222A =种安排方法， 所以，不同的安排方法共有326⨯=种． 故选：C 7.【答案】D【解析】首先求出()f x 的定义域，然后求出()()2lg 45f x x x =--的单调递增区间即可．由2450x x --＞得5x ＞或1x -＜， 所以()f x 的定义域为()(),15,-∞-+∞，因为245y x x =--在()5,+∞上单调递增，所以()()2lg 45f x x x =--在()5,+∞上单调递增，所以5a ≥． 故选：D 8.【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =， 所以()f x 在()0,+∞上也是单调递减，且()20f -=，()00f =， 所以当()(),20,2x ∈-∞-时，()0f x ＞，当()()2,02,x ∈-+∞时，()0f x ＜，所以由()10xf x -≥可得：021012x x x ⎧⎨---⎩＜≤≤或≥或001212x x x ⎧⎨---⎩＞≤≤或≤或0x =，解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足()10xf x -≥的x 的取值范围是[][]1,01,3-．故选：D【提示】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果．【考点】利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式 二、选择题 9.【答案】CD【解析】注意到折线图中有递减部分，可判定A 错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B 错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确．由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A 错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B 错误； 由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C 正确． 由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D 正确； 【考点】折线图表示的函数的认知与理解 10.【答案】ACD【解析】结合选项进行逐项分析求解，0m n ＞＞时表示椭圆，0m n =＞时表示圆，0mn ＜时表示双曲线，0m =，0n ＞时表示两条直线．对于A ，若0m n ＞＞，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n ＞＞，所以11m n＜，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确； 对于B ，若0m n =＞，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn ＜，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得y =，故C 正确；对于D ，若0m =，0n ＞，则221mx ny +=可化为21y n=，y =C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确． 故选：ACD【考点】曲线方程的特征 11.【答案】BC【解析】首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果．由函数图像可知：2πππ2362T =-=，则2π2π2πT ω===，所以不选A, 当2ππ5π36212x +==时，1y =-()5π3π22π122k k ϕ⨯+=+∈Z ∴， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ， 即函数的解析式为：2ππππsin 2π2πsin 2cos 2sin 236263y x k x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而π5πcos 2cos 266x x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：BC 12.【答案】ABD 【解析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解．对于A ，()22222211112221222a b a a a a a +=+-=-+⎛⎫- ⎪⎝=+⎭≥，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=--＞，所以11222a b --=＞，故B 正确； 对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+===- ⎪⎝⎭≤， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D，因为2112a b =+++=，12a b ==时，等号成立，故D 正确． 故选：ABD【考点】不等式的性质 三、填空题 13.【答案】13【解析】利用11A NMD D AMN V V --=计算即可．因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 、N 分别为1BB 、AB 的中点 所以11111112323A NMD D AMN V V --==⨯⨯⨯⨯=故答案为：13 14.【答案】163【解析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果．∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为()1,0F ，又∵直线AB 过焦点F，∴直线AB的方程为：)1y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得113x =，23x =，所以12116333AB x =-=-= 解法二：10036640=-=△＞ 设()11,A x y ，()22,B x y 则12103x x +=，过A ，B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为C ，D 如图所示．12121611+2=3AB AF BF AC BD x x x x =+=+=+++=+故答案为：163． 【考点】抛物线焦点弦长 15.【答案】232n n -【解析】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果．因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{}n a 的前n 项和为()2116322n n n n n -+=-，故答案为：232n n -． 【考点】有关数列的问题16.【答案】54π2+ 【解析】利用3tan 5ODC =∠求出圆弧AB 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB 的面积，求出直角OAH △的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得．设OB OA r ==，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =，因为5AP =，所以45AGP ︒∠=，因为BH DG ∥，所以45AHO ︒=∠，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OAAG ⊥， 即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD△中，52OQ r =-，72DQ r =-， 因为3tan5OQ ODC DQ ==∠，所以2125=，解得r =等腰直角OAH △的面积为1142S =⨯=； 扇形AOB 的面积(2213π3π24S =⨯⨯=，所以阴影部分的面积为1215ππ422S S +-=+. 故答案为：5π42+．【考点】三角函数在实际中应用 四、解答题17.【答案】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ，b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tan A 的值，得到角A ，B ，C 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解. 解法一：由sin 3sin AB可得：ab不妨设a =，()0b m m =>，则：2222222cos 32c a b ab C m m m m =+-=+-⨯=，即c m =．选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯=1m ∴=，此时1c m ==. 选择条件②的解析：据此可得：222222231cos22b c am m m A bc m +-+-===-，则：sin A =sin 3c A m ==，则：cm ==选择条件③的解析： 可得1cmb m==，c b =， 与条件c 矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵sin A B =,π6C =，()πB A C =-+∴()πsin6A A C A ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()31sin 3cos 2A A C AA ++，∴sinA =,∴tanA =∴23Aπ=,∴6B C π==, 若选①，ac =,∵a ==,∴2=∴1c =； 若选②，sin 3c A =,3=,c =; 若选③，与条件c 矛盾．18.【答案】（1）设等比数列{}n a 的公比为()1q q ＞，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎪⎨==⎪⎩， 整理可得：22520q q -+=，1q ＞，2,q =，12a =数列的通项公式为：1222n nn a -==．（2）由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故：()1122311n n n a a a a a a -+-+⋯+-()1357921222212n n -+=-+-+⋯+-()()()322322128215512nn n +⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----. 19.【答案】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=； （（3）根据22⨯列联表中的数据可得()()()()()()2221006410161036007.4844 6.63580207426481n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯＞， 因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关．【考点】古典概型的概率公式20.【答案】（1）证明：在正方形ABCD 中，AD BC ∥， 因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以//AD 平面PBC ，又因为AD ⊄平面P AD ，平面PAD 平面PBC l =，所以//AD l ，因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，所以AD DC ⊥，l DC ∴⊥， 且PD ⊥平面ABCD ，所以AD PD ⊥，l PD ∴⊥ 因CD PD D =所以l ⊥平面PDC ；（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为1PD AD ==，则有()0,0,0D ，()0,1,0C ，()1,0,0A ，()0,0,1P ，()1,1,0B 设(),0,1Q m ，则有()0,1,0,DC =，(),0,1DQ m =，()1,1,1PB =-，因为QB =1m ==设平面QCD 的法向量为(),,n x y z =， 则00DC n DQ n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00y x z =⎧⎨+=⎩，令1x =，则1z =-，所以平面QCD 的一个法向量为()1,0,1n =-，则2cos ,1n PB n PB n PB⋅<>====根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于6cos ,n PB <>= 所以直线PB 与平面QCD 【考点】立体几何21.【答案】（1）由题意可知直线AM 的方程为：()1322y x -=-，即24x y -=-． 当0y =时，解得4x =-，所以4a =，椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞过点()2,3M ，可得249116b +=，解得212b =.所以C 的方程：2211612x y +=.（2）设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时AMN △的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y+=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m =-⨯-=△，即264m =，解得8m=±，与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24x y -=-，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得：d =，由两点之间距离公式可得AM =所以AMN △的面积的最大值：1182⨯=.22.【答案】【解析】（1）()e ln 1x f x x =-+，()1e xf x x'∴=-，()1e 1k f '∴==-.()1e 1f =+，∴切点坐标为()1,1e +，∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()()e 1e 11y x --=--,即()e 12y x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为()0,22,0e 1-⎛⎫⎪-⎝⎭， ∴所求三角形面积为1222=2e 1e 1-⨯⨯--; （2）解法一：()1e ln ln x f x a x a -=-+,()11e xf x a x-'∴=-，且0a ＞. 设()()g x f x =',则()121e 0x g x a x -'=+＞， ∴()g x 在()0,+∞上单调递增，即()f x '在()0,+∞上单调递增， 当1a =时，()01f '=,∴()()min 11f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a ＞时，11a ＜ ，11e 1a -∴＜，()()1111e 110a f f a a a -⎛⎫⎛⎫''∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜, ∴存在唯一00x ＞，使得()01001e0x f x a x -'=-=，且当()00,x x ∈时()0f x '＜，当()0,x x ∈+∞时()0f x '＞，0101e x a x -∴=，00ln 1ln a x x ∴+-=-，因此()()0100min e ln ln x f x f x a x a -==-+001ln 1ln 2ln 12ln 11a x a a a x =++-+-+=+≥＞， ∴()1f x ＞，∴()1f x ≥恒成立；当01a ＜＜时，()1ln 1f a a a =+＜＜，∴()11f ＜，()1f x ≥不是恒成立． 综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞．解法二：()1ln 1e ln ln eln ln 1x a x f x a x a x a -+-=-+=-+≥等价于 ln 1ln e ln 1ln e ln a x x a x x x x +-++-+=+≥,令()e xg x x =+,上述不等式等价于()()ln 1ln g a x g x +-≥,显然()g x 为单调增函数，∴又等价于ln 1ln a x x +-≥，即ln ln 1a x x -+≥， 令()ln 1h x x x =-+,则()111xh x x x-=-=' 在()0,1上()0h x '＞，()h x 单调递增；在()1,+∞上()0h x '＜，()h x 单调递减，∴()()max 10h x h ==，ln 0a ≥，即1a ≥，∴a 的取值范围是[)1,+∞.【考点】导数几何意义，利用导数研究不等式恒成立问题。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)(有详细解析)
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={−2,−1,0,1,2,3}，A={−1,0,1},B={1,2},则C U(A⋃B)=()A. {−2,3}B. {−2,2,3}C. {−2,−1,0,3}D. {−2,−1,0,2,3}2.若α为第四象限角，则()A. cos2α>0B. cos2α<0C. sin2α>0D. sin2α<03.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者()A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为()A. √55B. 2√55C. 3√55D. 4√556.数列{a n}中，a1=2，a m+n=a m a n，若a k+1+a k+2+⋯+a k+10=215−25，则k=()A. 2B. 3C. 4D. 57.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()A. EB. FC. GD. H8.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D、E两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A. 4B. 8C. 16D. 329.设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)()A. 是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B. 是奇函数，且在(−12,12)单调递减C. 是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D. 是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减10.已知▵ABC是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为16π，则球O到平面ABC的距离为()A. √3B. 32C. 1 D. √3211.若2x−2y<3−x−3−y，则()A. ln(y−x+1)>0B. ln(y−x+1)<0C. ln|x−y|>0D. ln|x−y|<012.0−1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列a1a2…a n…满足a i∈(0,1)(i=1,2,…)，且存在正整数m，使得a i+m=a i(i=1,2,…)成立，则称其为0−1周期序列，并称满足a i+m=a i(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0−1序列a1a2…a n…，C(k)=1m ∑a i a i+k(k=1,2,…,m−1)mi=1是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0−1序列中，满足C(k)≤15(k=1,2,3,4)的序列是()A. 11010…B. 11011…C. 10001…D. 11001…二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量a,b的夹角为45°，ka−b与a垂直，则k=_______．14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．15. 设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=2,z 1+z 2=√3+i ，则|z 1−z 2|=______． 16. 设有下列四个命题：P 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． P 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． P 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． P 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ． 则下述命题中所有真命题的序号是________．①p 1∧p 4 ②p 1∧p 2 ③¬p 2∨p 3 ④¬p 3∨¬p 4 三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17. ▵ABC 中，sin 2A −sin 2B −sin 2C =sinBsinC ．(1)求A ；(2)若BC =3，求▵ABC 周长的最大值．18. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ,y i )(i =1,2,…,20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得∑x i =6020i=1，∑y i =120020i=1，∑(x i −x )2=8020i=1，∑(y i −y )2=900020i=1，∑(x i −x )(y i −y )=8020i=10．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i,y i)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，√2≈1.414．19.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与的C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|．(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．20.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC 于F．(1)证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO//平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．21.已知函数f(x)=sin2xsin2x．(1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性；(2)证明：|f(x)|≤3√38；(3)设n∈N∗，证明：sin2xsin22xsin24x⋯sin22n x≤3n4n．22.已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：{x=4cos 2θy=4sin2θ(θ为参数)，C2：{x=t+1ty=t−1t(t为参数)．(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−a2|+|x−2a+1|．(1)当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．答案和解析1.A解：∵A∪B={−1,0,1,2}，∴∁U(A∪B)={−2,3}.2.D+2kπ<α<2kπ,∴−π+4kπ<2α<4kπ,解：∵−π2∴2α是第三象限或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上，∴sin2α<0.3.B解：因为公司可以完成配货1200份订单，=18名.则至少需要志愿者为1600+500−1200504.C解：设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差d=9，a1=9，由等差数列性质知S n,S2n−S n,S3n−S2n成等差数列，且(S3n−S2n)−(S2n−S n)=n2d，则9n2=729，得n=9，×9=3402块.则三层共有扇形面石板为S3n=S27=27a1+27×2625.B解：设圆心为(a,a)，则半径为a，圆过点(2,1)，则(2−a)2+(1−a)2=a2，解得a=1或a=5，.所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是d=2√556.C解：取m=1，则a n+1=a1a n，=2，又a1=2，所以a n+1a n所以{a n}是等比数列，则a n=2n，所以，得k=4.7.A解：该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A．8.B解：双曲线C 的两条渐近线分别为y =±ba x ，由于直线x =a 与双曲线的两条渐近线分别交于D 、E 两点， 则易得到|DE|=2b ，则S △ODE =ab =8，c 2=a 2+b 2⩾2ab =16 ，即c ⩾4， 所以焦距2c ⩾8．9. D解：由已知，函数定义域为(−∞,−12)∪(−12,12)∪(12,+∞)，关于原点对称， 函数f(−x)=ln |−2x +1|−ln |−2x −1|=ln |2x −1|−ln |2x +1|=−f(x)， 则f(x)为奇函数，当x ∈(−12,12)时，f(x)=ln (2x +1)−ln (1−2x)=ln 2x+11−2x=ln (1+41x−2)，单调递增； 当x ∈(−∞,−12)时，f(x)=ln(−2x −1)−ln(1−2x)=ln 2x+12x−1=ln(1+22x−1)，单调递减．10. C解：设△ABC 的外接圆圆心为O 1，设OO 1=d ，圆O 1的半径为r ，球O 的半径为R ， △ABC 的边长为a ，则S △ABC =√34a 2=9√34，可得a =3，于是r =√3=√3， 由题意知，球O 的表面积为16π， 则R =2，由R 2=r 2+d 2，求得d =1， 即O 到平面ABC 的距离为1．11.A解：2x−3−x<2y−3−y，设f(x)=2x−3−x，则f′(x)=2x ln2+3−x ln3>0，所以函数f(x)在R上单调递增，因为f(x)<f(y)，所以x<y，则y−x+1>1，ln(y−x+1)>0．12.C解：对于A选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+0)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+1+0+1+0)=25>15，不满足，排除；对于B选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+1+1)=35>15，不满足，排除；对于C选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(0+0+0+0+1)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+0+0+0+0)=0，C(3)=15∑a i5i=1a i+3=15(0+0+0+0+0)=0，C(4)=15∑a i5i=1a i+4=15(1+0+0+0+0)=15，满足；对于D选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+1)=25>15，不满足，排除；13.√22解：由单位向量a⃗,b⃗ 的夹角为45∘，k a⃗−b⃗ 与a⃗垂直，所以(k a⃗−b⃗ )⋅a⃗=k−√22=0，则k=√22．14.36解：由题意，先将4名同学分成三组，一组两人，其余两组各一人，再将3组分到3个小区，可得不同的安排方法有：C42A33=36．15.2√3解：在复平面内，用向量方法求解，原问题即等价于平面向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=|b⃗ |=2，a⃗+b⃗ =(√3,1)，求|a⃗−b⃗ |，由(a⃗+b⃗ )2+(a⃗−b⃗ )2=2|a⃗|2+2|b⃗ |2，可得4+(a⃗−b⃗ )2=16，故|a⃗−b⃗ |=2√3．16.①③④解：对于p1：可设l1与l2，所得平面为α.若l3与l1相交，则交点A必在平面α内.同理l2与l3的交点B在平面α内，故直线AB在平面α内，即l3在平面α内，故p1为真命题．对于p2:过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数个平面，故p2为假命题．对于p3:空间中两条直线的位置关系有平行，相交，异面，故p3为假命题．对于p4:若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故m⊥l，故p4为真命题．综上可知，p1∧p4为真命题，¬p2∨p3为真命题，¬p3∨¬p4为真命题．17.解：(1)在▵ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC，由正弦定理得，a2−b2−c2=bc，即b2+c2−a2=−bc，由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc =−12，因为0<A<π，所以A=2π3．(2)由(1)知，A=2π3，因为BC=3，即a=3，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA，所以9=b2+c2+bc=(b+c)2−bc，由基本不等式可得bc≤(b+c)24，所以9=(b+c)2−bc≥34(b+c)2,所以b+c≤2√3(当且仅当b=c=√3时取得等号)，所以▵ABC周长的最大值为3+2√3．18.解：(1)由题可知，每个样区这种野生动物数量的平均数为120020=60，所以该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000(2)根据公式得r=i −x)(y i−y)ni=1√∑(x i−x)∑(y i−y)i=1i=1=80×9000=32≈0.94(3)为了提高样本的代表性，选用分层抽样法更加合理，因为分层抽样可以按照规定的比例从不同的地块间随机抽样，其代表性较好，抽样误差更小。
2020年全国统一高考数学试卷2(新课标Ⅲ)(解析版) (1)
2020年全国统一考试数学一、选择题：（本题共10小题，每小题6分，共60分）1.已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B 【解析】 【分析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.【详解】由题意，{5,7,11}A B ⋂=，故A B 中元素的个数为3.故选：B【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.若()11+=-z i i ，则z =（ ） A. 1–i B. 1+iC. –iD. i【答案】D 【解析】 【分析】先利用除法运算求得z ，再利用共轭复数的概念得到z 即可.【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.3.设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（ ） A. 0.01 B. 0.1C. 1D. 10【答案】C 【解析】 【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.【详解】因为数据(1,2,,)i ax b i n +=，的方差是数据(1,2,,)i x i n =，的方差的2a 倍，所以所求数据方差为2100.01=1⨯ 故选：C【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63C. 66D. 69【答案】C 【解析】 【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 5.已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A.12B.C.23D.【答案】B 【解析】 【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.详解】由题意可得：1sin sin cos 122θθθ++=，则：3sin 12θθ+=1cos 2θθ+=从而有：3sin coscos sin663ππθθ+=， 即3sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.6.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆C. 抛物线D. 直线【答案】A 【解析】 【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.【详解】设()20AB a a =>，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：()(),0,,0A a B a -，设(),C x y ，可得：()(),,,AC x a y BC x a y →→=+=-，从而：()()2AC BC x a x a y →→⋅=+-+，结合题意可得：()()21x a x a y +-+=， 整理可得：2221x y a +=+，即点C 的轨迹是以AB 21a +为半径的圆. 故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A. 1,04⎛⎫⎪⎝⎭B. 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C. (1,0)D. (2,0)【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4DOx EOx π∠=∠=，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 8.点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（ ）A. 1B.C.D. 2【答案】B 【解析】 【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即可求得结果.【详解】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -， 当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =故选：B.【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A. 6+42B. 4+42C. 6+23D. 4+23【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积. 【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△ 根据勾股定理可得：22AB AD DB ===∴ADB △是边长为22根据三角形面积公式可得：2113sin 60(22)23222ADB S AB AD =⋅⋅︒=⋅=△∴该几何体的表面积是：2362332=⨯++故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.10.设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（ ） A. a c b << B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】分别将a ,b 改写为331log 23a =，351log 33b =，再利用单调性比较即可. 【详解】因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==，所以a c b <<. 故选：A .【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.11.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩， ，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7 【解析】 【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图 因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ， 所以max 31227z =⨯+⨯=. 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.12.设双曲线C ：22221x y a b-= (a >0，b >0)的一条渐近线为y 2x ，则C 的离心率为_________．3 【解析】 【分析】 根据已知可得2ba=,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =2213c b e a a==+=3【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题.13.设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a =_________．【答案】1 【解析】 【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a 的方程，解方程即可确定实数a 的值【详解】由函数的解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aee a =+， 整理可得：2210a a -+=，解得：1a =. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题. 14.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 【答案】2π 【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于223122AM =-=1222222S =⨯⨯=△ABC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()1332222r =⨯++⨯= 解得：22r，其体积：34233V r π==.. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第15~19题为必考题，每个试题考生都必须作答.第20、21题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.15.设等比数列{a n }满足124a a +=，318a a -=． （1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ． 【答案】（1）13-=n n a ；（2）6m =. 【解析】 【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式； （2）由（1）求出3{log }n a 的通项公式，利用等差数列求和公式求得n S ，根据已知列出关于m 的等量关系式，求得结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ， 根据题意，有1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩， 所以13-=n n a ；（2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=， 整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =，【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.16.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，.【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析. 【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论. 【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：人次400≤人次400>空气质量不好 33 37空气质量好 228()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.17.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥；（2）点1C 在平面AEF 内．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质得AC BD ⊥，根据长方体性质得1AC BB ⊥,进而可证AC ⊥平面11BB D D ,即得结果； （2）只需证明1//EC AF 即可，在1CC 上取点M 使得12CM MC =,再通过平行四边形性质进行证明即可.【详解】（1）因为长方体1111ABCD A B C D -,所以1BB ⊥平面ABCD ∴1AC BB ⊥,因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC -=,所以四边形ABCD 为正方形AC BD ∴⊥ 因为11,BB BD B BB BD =⊂、平面11BB D D ,因此AC ⊥平面11BB D D ,因为EF ⊂平面11BB D D ,所以AC EF ⊥；（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC =,所以11,//,ED MC ED MC = 所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC ∴因为//,=,MF DA MF DA 所以M F A D 、、、四点共面，所以四边形MFAD 为平行四边形，1//,//DM AF EC AF ∴∴，所以1E C A F 、、、四点共面，因此1C 在平面AEF 内【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题. 18.已知函数32()f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围． 【答案】（1）详见解析；(2)4(0,)27. 【解析】 【分析】（1）'2()3f x x k =-，对k 分0k ≤和0k >两种情况讨论即可；（2）()f x 有三个零点，由（1）知0k >，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解不等式组得到k 的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可.【详解】（1）由题，'2()3f x x k =-，当0k ≤时，'()0f x ≥恒成立，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0k >时，令'()0f x =，得x ='()0f x <，得x << 令'()0f x >，得x <x >()f x在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增. （2）由（1）知，()f x 有三个零点，则0k >，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即22203203k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得4027k <<， 当4027k <<>20f k =>， 所以()f x在上有唯一一个零点，同理1k --<32(1)(1)0f k k k --=--+<，所以()f x 在(1,k --上有唯一一个零点，又()f x 在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点， 综上可知k 的取值范围为4(0,)27. 【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.19.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】 【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m +=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案； （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【详解】（1）222:1(05)25x y C m m +=<< ∴5a =，b m =，根据离心率4c e a ====， 解得54m =或54m =-(舍)，∴C的方程为：22214255x y⎛⎫⎪⎝⎭+=，即221612525xy+=；（2）不妨设P,Q在x轴上方点P在C上，点Q在直线6x=上，且||||BP BQ=，BP BQ⊥，过点P作x轴垂线，交点为M，设6x=与x轴交点为N根据题意画出图形，如图||||BP BQ=，BP BQ⊥，90PMB QNB∠=∠=︒，又90PBM QBN∠+∠=︒，90BQN QBN∠+∠=︒，∴PBM BQN∠=∠，根据三角形全等条件“AAS”，可得：PMB BNQ≅△△，221612525x y+=，∴(5,0)B，∴651PM BN==-=，设P点为(,)P Px y，可得P点纵坐标为1Py=，将其代入221612525x y+=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：22231111055125211d ⨯-⨯+===+， 根据两点间距离公式可得：()()22652055AQ =++-=，∴APQ 面积为：1555252⨯=；②当P 点为(3,1)-时， 故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：()2283111405185185811d ⨯--⨯+===+， 根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ =++-=∴APQ 面积为：1518522185=， 综上所述，APQ 面积为：52. 【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第20、21题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]20.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t⎧=--⎨=-+⎩，(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点. （1）求|AB |：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程. 【答案】（1）4102）3cos sin 120ρθρθ-+= 【解析】【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A . 令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]21.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.。
高考理科数学(2卷)：答案详细解析(最新)
故 O1A
2 3
33 2
3 ，∴ O 到平面 ABC 的距离 OO1
R2 O1A2 1.
图 A10
【答案】C
11. （函数，同文 12）若 2x 2 y 3 x 3 y ，则
A. ln( y x 1) 0
B. ln( y x 1) 0
C. ln | x y | 0
D. ln | x y | 0
和
a5 a1
1(k
1)
，因此可推出 C(1)
C (4)
1 5
，
C(2) C(3) 0 ，故 C 选项符合题意.
解法三（答案验证法）：
按照题设的定义 C(k)
1 m
m i 1
aiaik (k
1, 2,...m 1) ，逐个验证答案，使用
排除法，即可得到正确选项. 如 A 选项，C(2) 1 (0 1 0 1 0)= 2 1 ，
A. 2,3
B. 2, 2, 3 C. 2, 1, 0,3 D. 2, 1, 0, 2, 3
【解析】∵ A B {1,0,1, 2}，∴ CU A B 2,3 .
【答案】A
2. （三角函数）若 为第四象限角，则
A. cos 2 0
B. cos 2 0
C. sin 2 0
D. sin 2 0
C.是偶函数，且在 (, 1) 单调递增 2
B.是奇函数，且在 ( 1 , 1) 单调递减 22
D.是奇函数，且在 (, 1) 单调递减 2
【解析】∵ f (x) ln | 2x 1| ln | 2x 1| ln | 2x 1| ln | 2x 1| f (x) ，
∴ f (x) 是奇函数，
2020 年高考理科数学（全国 2 卷）答案详解及试题
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2020高考全国二卷数学试题分析解析解读
2020年1月，教育部发布《中国高考评价体系》，明确“一核”、“四层”、“四翼”的高考评价体系，即高考要体现“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能，考查“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”四层内容考查要求，考查“基础性、综合性、应用性、创新性”的四翼要求。
2020年全国Ⅱ卷高考文理科数学试题，依托高考评价体系，充分落实了“一核”“四层”“四翼”的要求，在试题整体结构稳定的基础上，有适度创新，突出数学学科特色，突出学科素养导向，有时代特色，注重能力考查，着重考查学生的思维能力，综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力。
试题主要呈现以下特点：
一、试题稳中有变，大题结构动态调整
2020年的高考数学保持题型、考点、难度的相对稳定，但是为了对接新高考，以学科素养立意命题，增加了阅读量、信息量，学生明显表现出不适应，感觉难度增大。
尤其是在题的顺序上打破常规，文理科的第3、4题新颖试题过早出现，出乎学生意料，耽误了一定的答题时间，在感觉和信心上受挫。
若学生能及时调整答题策略，后面的选择填空题都很常规，多数学生都能轻松解决。
此试卷对学生和教师的提醒是，困难的试题可能会在试卷的任何地方出现，不能再坚持难题一定在后面的观念了。
全国Ⅱ卷的理科和文科试题，
对主观题的结构布局及考查难度也都进行了动态调整，文理科的解答题顺序均为：17题解三角形、18题概率统计，19题圆锥曲线，20题立体几何，21题函数导数；22、23题为二选一。
其中第一道大题第17题考查解三角形的相关知识，替换了2019年的立体几何大题的位置；而立体几何大题后移至第20题，仍然考查平行、垂直关系，直线和平面所成的角及体积的计算，但灵活性加大；解析几何大题前移至第19题的位置，难度有所降低。
大题结构的调整主要考查学生灵活应变的能力和主动调整适应的能力。
对重点内容的考查，在整体符合考试大纲的前提下，各部分内容和难度进行动态设计，这种设计有助于学生全面学习和掌握重点知识和重点内容，同时破解应试教育，指导高中教学。
二、保持文理适当同题量，为新高考过渡做好铺垫
今年二卷数学文理科有8道完全相同的题目，其中5道选择题、3道大题（18题概率统计，19题解析几何，22、23二选一）；其它大题也考察了相同的知识点，只是难度不同（17题均为解三角形；20题立体几何图形和第一问完全相同，第二问体现了文理科考察方向上的不同；21题导数题则完全不同，更体现出文理科的难易差异）。
这样安排为今后高考不分文理，为综合改革提前做好过渡和铺垫，助力高考综合改革平稳实施。
三、对接课程标准，落实数学核心素养
整套试题依托高考评价体系，对接课程标准，加强关键能力考查，落实数学核心素养和立德树人的根本任务。
对试题进行适当创新，包括：①设置新背景，如理科12题，给出临时性定义，涉及二进制问题，与数列相结合，有创新。
②推出新题型，如文理科16题为立体几何背景下的组合多选题目，为新高考多选题过渡；再如文理科18题概率统计（共三问），第三问是开放性问题，题型新颖，给学生一定的自由发挥空间。
估计这种试题今后会不断出现。
四、重视阅读，加大数学阅读能力考查
试题中很多题目的阅读量比较大，如第3、4、18题等，学生必须具备快速阅读、准确提取信息的能力，才能做出正确判断。
2020年高考数学试卷页码增加了一页，阅读量、信息量都增大了。
个人认为在数学试卷中加大文字阅读量这种趋势会继续下去，这也是对语文课改的一种呼应。
五、加强应用题的考查，应用题难度增大
理科第4题是以北京天坛为背景的数列题，这也导致有些学生因为做起来困难而调侃说考试过后去天坛实地数一下石板的个数。
理科14题以学生到小区宣传垃圾分类的排列组合问题，关注社会热点，目的是让学生了解并参与宣传国家政策，参与社会实践，不能只读书而不关注身边发生的事。
文理科第18题以调查野生动物为背景，情境新颖，一题三问，第三问是开放性问题，主要体现创设问题情境，体
现文化育人。
文科第3小题以钢琴上的原位和弦为背景，创设合理情境，体现美育教育，同时考察学生的随机应变能力（逐一数出来即可）。
教师和家长要引导学生经常留意身边的事情，多观察，多思考，该数的数要数一数。
数学就在身边，数学试题已经生活化。
近几年数学试卷中已经涉及到了卫星、高铁、维纳斯、外卖、抗疫等。
六、关注社会热点和社会发展，贴近现实生活
将重大的社会生活事件有机融入试题，是高考命题的一大特点。
理科第3题（文科第4题）以新冠肺炎疫情防控为背景，引导学生结合自己参与抗疫的体验，运用所学的概率统计知识，去解决抗疫中的实际问题，增强学生的责任意识与社会担当，提高学生数学应用的能力。
文理第18题概率统计大题以沙漠治理中生态系统的改善为大背景，考查回归分析相关知识及解决问题的能力，贴近生活，情境真实，强调概率与统计的应用性，突出综合能力的考查，让学生会进行数据的分析及数据的处理，符合当今大数据的时代特点。
以上应用问题面向全体学生，不偏不怪，都是学生熟悉的问题，背景公平合理。
总之，今年高考数学试卷体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，很好地把握了稳定与创新、稳定与改革的关系，对协同推进高考综合改革、引导我们中学数学教学都将起到积极的作用。