(完整版)平面向量的数乘及其几何意义
平面向量数乘的定义及运算法则
平面向量数乘的定义及运算法则一、平面向量数乘的定义a平面向量数乘是指将一个实数与一个向量相乘的运算。
给定一个向量，记实数为k，则该数乘运算表示为k。
二、数乘运算的几何意义a1.若k>0，则k的几何意义是将向量的长度放大k倍，并且与的方向相同。
a2.若k<0，则k的几何意义是将向量的长度放大|k|倍，并且与的方向相反。
a3.若k=0，则k的几何意义是零向量，即长度为零的向量。
三、数乘运算的性质a1.结合律：对于任意实数k1、k2和向量，有k1(k2)=(k1k2)。
a2.分配律：对于任意实数k和向量、**b**，有k(+**b**)=k+k**b**。
a3.分配律：对于任意实数k1、k2和向量，有(k1+k2)=k1+k2。
a4.数乘1的性质：对于任意向量，有1=。
a5.数乘0的性质：对于任意向量，有0=**0**。
四、实例分析现在我们通过一个实例来理解平面向量数乘的定义及运算法则。
例1：已知向量**a**=(2,3)，计算3**a**和-2**a**。
解：根据定义，我们有：a-3=3(2,3)=(6,9)a--2=-2(2,3)=(-4,-6)a所以，3=(6,9)，-2=(-4,-6)。
a根据几何意义，3的长度是向量长度的3倍，并且与方向相同；-2的长度是向量长度的2倍，并且与方向相反。
五、总结平面向量数乘的定义及运算法则为：-数乘运算是将一个实数与一个向量相乘的运算。
-数乘运算的几何意义是改变向量的长度和方向。
-数乘运算满足结合律、分配律，数乘1的性质和数乘0的性质。
-通过实例分析可以更好地理解平面向量数乘的概念和运算法则。
在向量的数乘运算中，需要注意实数与向量的顺序以及符号的正确性，以确保结果的准确性。
掌握平面向量数乘的定义及运算法则，能够在解决相关问题时得到正确的结果，并应用到更复杂的向量运算中。
(完整版)平面向量的加减法运算和数乘运算
注意：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a r 与b r 不共线时，a r +b r 的方向不同向，且|a r +b r |<|a r |+|b r |;（3）当a r 与b r 同向时，则a r +b r 、a r 、b r 同向，且|a r +b r |=|a r |+|b r |；当a r 与b r 反向时，若|a r |>|b r |,则a r +b r 的方向与a r 相同，且|a r +b r |=|a r |-|b r |，若|a r |<|b r |,则a r +b r 的方向与b r 相同，且|a r +b r |=|b r |-|a r |.2、向量加法的交换律：a r +b r =b r +a r3．向量加法的结合律：(a r +b r ) +c r =a r + (b r +c r )证：知识点二 向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法：“相反向量”的定义： 记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a r ) = a r任一向量与它的相反向量的和是零向量a r + (-a r ) =0r如果a r 、b r 互为相反向量，则a r = -b r , b r = -a r , a r + b r = 0r向量减法的定义：向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r 的差，即：a r - b r = a r + (-b r )2．用加法的逆运算定义向量的减法：3．求作差向量：已知向量a r 、b r ，求作向量∵(a r -b r ) + b r = a r + (-b r ) + b r = a r +0r = a r减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA u u u r = a r , OB uuu r = b r , 则BA u u u r = a r - b r即a r - b r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r 的终点向量知识点三 向量的数乘运算 1、定义：实数λ与向量a ρ的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，其长度与方向规定如下：（1）|λa ρ|=|λ||a ρ| （2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=02、运算定律 结合律：λ(μa ρ)=第一分配律：(λ+μ)a ρ= 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=3、向量共线定理。
向量数乘运算及其几何意义课件
向量数乘运算及其几何意义
1．向量的数乘
定义
长度 λ>0
方 λ＝0
向 λ<0
一般地，实数λ与向量a的积是一个向__量__， 这种运算叫做向量的数乘，记作λa |λa|＝|λ|a λa的方向与a的方向_相__同___ λa＝0 λa的方向与a的方向_相__反__
[破疑点]①实数与向量可以进行数乘运算，其结果是一个
命题方向 向量的线性表示 [例 2] 已知O→A＝3e1，O→B＝3e2，C、D 是 AB 的三等分 点，求O→C、O→D. [分析] 依据向量加法、减法的定义和数乘向量的几何意 义，将待求向量逐步向已知条件过渡．
[解析] O→C＝O→A＋A→C＝O→A＋13A→B ＝O→A＋13(O→B－O→A)＝23O→A＋13O→B ＝23×3e1＋13×3e2＝2e1＋e2， O→D＝O→A＋A→D＝O→A＋23A→B ＝O→A＋23(O→B－O→A)＝13O→A＋23O→B＝e1＋2e2.
向量，不是实数；但实数与向量不能进行加运算，如λ＋a，λ－a是错误的．
②对任意非零向量a，则向量
a |a|
是与向量a同向的单位向
量．
③λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大
或缩小|λ|倍．
命题方向 向量线性运算的运算律
[例 1] 计算：(1)3(6a＋b)－9(a＋13b)； (2)12[(3a＋2b)－(a＋12b)]－212a＋38b； (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. [分析] 综合运用实数与向量的运算律解题．
[解析] 证明：(1)∵A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b， C→D＝3(a－b) ∴B→D＝B→C＋C→D＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5A→B. ∴A→B、B→D共线， 又∵它们有公共点 B，∴A、B、D 三点共线．
优质课平面向量数乘运算及其几何意义
当 0 时， ar 的方r向与 a 的方向相反.
练习: 当 0 时，a0.
1、如图，点C是线段AB的中点，则
u A u C u r 12 u A u B u r,u B u C u r 12 u A u B u r .
A
C
B
r
r
2、计算： 3(2a)= 6 a
rr r 2a+4a= 6 a
向量的数乘运算运算律：
r r r r r r
( 2 ) 如 果 向 量 b 与 a ( a 0 ) 共 线 ， 那 么 b a 是 否 成 立 ?
定理 （共线向量基本定理）
rr r r 向 量 a (a 0 )与 b 共 线 ， 当 且 仅 当 有
唯 一 一 个 实 数 ， 使 b r a r. A、B、C三
练习(1 )：a r判 断r2 下e r,列b rr各2 小e r题;中的向量是点否置共之关线间系?什呢么？位 u u u r ar bru u u rr r
rr r r
(ab)ab.
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 rr
对于任意向量r a、b，以及r 任意实数r 、1、2，恒r 有 （ 1 a 2 b ） = 1 a 2 b
rr
如果去掉(a 0) 这个条件呢？
探究： rr r r r r ( 1 ) 如 果 b a ( a 0 ) , 向 量 a 与 b 是 否 共 线 ?
r
又因为有公共点A 所以，A、B、C三点共线.
br Oa
u u u r u u u ru u u r u u u r 变式练习：如图，已知 A D 3 A B ,D E 3 B C ,
证明:A、C、E三点共线.
E
C
平面向量数乘运算及其几何意义
1.向量加法三角形法则:
特点:首尾顺次连，起点 指终点
C
ab b
A
a
B
2.向量加法平行四边形法则:
特点:起点相同,对角为和Baຫໍສະໝຸດ babC b
O
a
A
3.向量减法三角形法则:
特点：平移同起点，方向指被减
a
B
b
BAab
b
O
a
A
作一作，看成果 已知非零向量 a ,作出aaa ,你能发现什么？ a
2) b 可以是零向量吗?
练一练: 书本P90,练习4
例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
试判断AC与AE是否共线。
E
C
解： A EA D DE A
B
3AB3BC
3A BBC
D
3AC
∴ AC 与 AE 共线．
例3.如图，已知任意两个向量 a、b ，试作OAab,
O B a 2 b ,O C a 3 b .你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
a
b
3b
B
2b
A
b a
O
总结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
A,B,C三点共线
已 知 两 个 非 零 向 量 e1和 e2不 共 线 ， 如 果 AB2e13e2， BC6e123e2， CD4e18e2， 求 证 :A、 B、 D三 点 共 线 .
设e1 , e 2是两个不共线的向量， A B 2 e 1 k e 2 ,C B e 1 3 e 2 , CD2e1e2，若A、B、D三点共线，求k的值.
A,B,C三点共线
向量数乘运算及其几何意义(上课优秀课件)
速度与加速度的实例
总结词
速度和加速度是描述物体运动状态的向量，向量数乘运算有助于理解它们的几何意义。
详细描述
在物理学中，速度和加速度是描述物体运动状态的向量。通过向量数乘运算，可以方便地表示出速度 和加速度在不同方向上的分量，以及它们之间的变化关系。例如，在匀变速直线运动中，加速度的大 小和方向可以通过向量数乘运算来表示。
题目二
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (1, - 1,2)$，$overset{longrightarrow}{b} = (3,0, - 1)$，求 $lambdaoverset{longrightarrow}{a} + muoverset{longrightarrow}{b}$的模。
04
向量数乘运算的实例
力的合成与分解实例
总结词
力的合成与分解是向量数乘运算在实际问题中的重要应用。
详细描述
在物理学中，力的合成与分解是常见的操作。通过向量数乘运算，可以方便地表示出合力与分力之间的关系，以 及它们在不同方向上的分量。例如，当有两个力同时作用于一个物体时，可以通过向量数乘运算来计算它们的合 成效果。
THANK YOU
感谢聆听
也是通过向量数乘运算来建立的。
05
向量数乘运算的练习题及答案
向量数乘运算的练习题
题目一
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (1,2,3)$，$overset{longrightarrow}{b} = ( - 2, - 4, - 6)$，求 $lambdaoverset{longrightarrow}{a} + muoverset{longrightarrow}{b}$的坐标。
高中数学 2.22.2.2向量数乘运算及其几何意义课件 新人
栏 目
链
B、D 三点共线．
接
跟踪 训练
分析：欲证 A、B、D 三点共线，只需证A→D与A→B共线即可．
证明：∵A→D＝A→B＋B→C＋C→D
＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2
栏
＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6A→B，
目 链
接
∴向量A→D与A→B共线．
又向量A→D与A→B有共同的起点 A，
因为 A、B、D 三点共线．
栏
目
∴存在实数 λ，使得A→B＝λB→D，
链 接
即 2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，解得 k＝－8.
点评：待定系数法是解决两向量平行的重要工具，
适用于两个向量平行的判定中实数的确定．
跟踪 训练
2．已知任意两个非零向量 e1、e2 不共线，如果A→B
＝2e1＋3e2，B→C＝6e1＋23e2，C→D＝4e1－8e2，求证：A、
解析：∵a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，
栏 目
∴a＋b＝(e1＋2e2)＋(3e1－2e2)＝4e1，
链 接
a－b＝(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝－2e1＋4e2，
3a－2b＝3(e1＋2e2)－2(3e1－2e2)＝－3e1＋10e2.
题型2 向量的共线问题
例2 设 e1，e2 是两个不共线向量，已知A→B＝2e1＋ke2，C→B＝
e1＋3e2，C→D＝2e1－e2，若三点 A，B，D 共线，求 k.
栏
目
分析：由C→B＝e1＋3e2，C→D＝2e1－e2，求得B→D＝C→D
链 接
－C→B＝e1－4e2.因为 A、B、D 三点共线．所以A→B与B→D存
高中数学2.13向量数乘运算及其几何意义优秀课件
重点难点 个个击破
解析答案
练一练:1. 课本P90,ex.5（见下一页） 2.思考：
思考：非零向量 , 作出a a a和 a
(a) (a) (a) , 你能说明它们的几何意义吗？
a
aa a
OA
B
C 记作 3a
OC OA AB BC a a a
a a a
记作 -3a
NM Q
P
PN PQ QM MN （ a）（ a）（ a）
一.向量数乘的定义
一般地，我们规定实数λ与向量 a 的积是一
练一练: 课本P90,ex.4
类型二 向量的表示 例 2 (1)如图，在△ABC 中，D，E 为边 AB 的两个三 等分点，C→A＝3a，C→B＝2b，求C→D，C→E. 解 ∵C→A＝3a，C→B＝2b， ∴A→B＝C→B－C→A＝2b－3a， 又D，E为边AB的两个三等分点， 所以A→D＝13A→B＝23b－a， 所以C→D＝C→A＋A→D＝3a＋23b－a＝2a＋23b， C→E＝C→A＋A→E＝3a＋23A→B ＝3a＋23(2b－3a)＝a＋43b.
2.λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|
倍.向量
a |a|
表示与向量a同向的单位向量.
3.共线向量定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为
向量共线问题.
返回
本课结束
更多精彩内容请登录：
2.以下各式计算正确的有( C ) ①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b； ③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b. 个个个个
高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义知识巧解
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义疱工巧解牛知识•巧学一、向量的数乘1.向量的数乘一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa .它的长度与方向规定如下：(1)|λa |=|λ||a |；(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λa =0.实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广，λa 是一个向量，其长度|λa |=|λ||a |，其方向与λ的符号有关，应注意0a =0而不是实数0.2.向量的数乘的几何意义由实数与向量积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩.当|λ|＞1时，表示向量a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长了|λ|倍；当|λ|＜1时，表示向量a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短了|λ|倍.图2-2-343.向量数乘的运算律设λ、μ为实数，那么(1)λ(μa )=(λμ)a ；(2)(λ+μ)a =λa +μa ；(3)λ(a +b )=λa +λb .学法一得 实数与向量的积的运算律与中学代数运算中实数乘法的运算律很相似.证明这些运算律成立的关键是证明等式两边的向量的模相等，且方向相同.证明：(1)如果λ=0，μ=0，a =0中至少有一个成立，则(1)式显然成立.如果λ≠0，μ≠0，且a ≠0，有|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a |，|(λμ)a |=|λμ||a |=|λ||μ||a |.∴|λ(μa )|=|(λμ)a |.(2)如果λ=0，μ=0，a =0中至少有一个成立，则(2)式显然成立.如果λ≠0，μ≠0且a ≠0，可分如下两种情况：当λ、μ同号时，则λa 和μa 同向，所以|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |，|λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |，即有|(λ+μ)a |=|λa +μa |.(3)当a =0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1时，(3)式显然成立.当a ≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时，分如下两种情况：当λ＞0且λ≠1时，在平面内任取一点O ，作=a ，=b ，1OA =λa ，11B A =λb ，如图2-2-35所示，则=a +b ，1OB =λa +λb .图2-2-35 由作法知∥11B A ，有∠OAB=∠OA 1B 1，|11B A |=λ||， ||||111AB OA =λ.∴△OAB∽△OA 1B 1||1OB =λ，∠AOB=∠A 1OB 1.因此，O 、B 、B 1在同一条直线上，|1OB |=|λ|，1OB 与λ的方向也相同. ∴λ(a +b )=λa +λb .当λ＜0时，由图2-2-36可类似证明λ(a +b )=λa +λb .图2-2-36∴(3)式成立.误区警示 分类讨论的思想在数学中既是一个重要的策略思想，也是一个重要的思想方法.很多数学问题不仅在涉及的知识范围上带有综合性，而且就问题本身来说，也受到多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上着手解决，这时，就从“分割”入手，把“整体”划分为若干个“局部”，转而去解决局部问题，最后达到整体上的解决.这是具有哲学意义的思想方法.分类讨论思想，就是科学合理地划分类别，通过各个击破，再求整体解决(即先化整为零，再聚零为整)的策略思想.类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求，探索划分的数量界限是分类讨论的关键.二、两向量共线如果向量b 与非零向量a 共线，那么有且只有一个实数λ，使得b =λa .(1)向量的平行(共线)与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况.(2)定理的实质是向量相等，即存在唯一实数λ使b =λa (a ≠0)，应从向量的大小和方向两个方面理解，借助于数量λ沟通了两个向量b 与a 的联系.学法一得 定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法，要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数λ使两向量相等.把向量平行的问题转化为寻求实数λ使向量相等的问题.典题•热题知识点一 向量的加法、减法及数乘例1设a 、b 为向量，计算下列各式.(1)-31×3a ； (2)2(a -b )-(a +21b )； (3)(2m-n)a -m b -(m-n)(a -b )(m 、n 为实数).思路分析：利用向量的加法、向量的减法及数乘向量运算的法则及运算律计算.解：(1)原式=(-31×3)a =-a ； (2)原式=2a -2b -a -21b =(2a -a )-(2b +21b )=a -25b . (3)原式=2m a -n a -m b -m(a -b )+n(a -b )=2m a -n a -m b -m a +m b +n a -n b=m a -n b .知识点二 用向量共线判断三点共线例2 求实数λ，使得λa +b 与2a +λb 共线.思路分析：求未知数的值，可考虑通过挖掘题目的条件，布列含有未知数的方程求解. 解：∵λa +b 与2a +λb 共线，∴存在一个实数，不妨设为m ，使得(λa +b )=m(2a +λb ),即(λ-2m)a +(1-m λ)b =0.∴⎩⎨⎧=-=-.01,02λλm m 解得λ=±2.例3 如图2-2-37所示，在平行四边形ABCD 中，=a ，=b ，M 是AB 的中点，点N 是BD 上一点，|BN|=31|BD|.求证：M 、N 、C 三点共线.图2-2-37解：∵=a ，AB =b ，∴=-AB =a -b . ∴+==21b +31=21b +31(a -b )=31a +61b =61 (2a +b ). 又∵+==21b +a =21(2a +b )， ∴MN MC 3=.又MC 与MN 有共同起点，∴M、N 、C 三点共线.方法归纳 几何中证明三点共线，可先在三点中选择起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数λ使两向量相等，把向量共线问题转化为寻求实数λ使向量相等的问题.向量共线即向量平行，它与直线(线段)共线不同.知识点三 用向量法解决几何问题例4 求证：三角形两边中点的连线平行于第三边并且等于第三边的一半.图2-2-38如图2-2-38，已知△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点.求证：DE ∥BC,且DE=21BC. 证明：因为D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，故AD =21AB ,AE =21.DE =AE -AD =21 (-)=21, 而D 、E 不重合，所以DE ∥BC,且DE=21BC. 例5 如图2-2-39,在OACB 中，BD=31BC ，OD 与BA 相交于点E ，求证：BE=41BA.图2-2-39证明：用向量法证明.设E′是线段BA 上的一点，且BE′=41BA ，只要证点E 、E′重合即可. 设=a ，=b ，则=31a ，=b +31a . ∵E O E B '='-b ，E '=a -E O '，3E B '=E '， ∴E O '=41(a +3b )=43(b +31a ). ∴E O '=43.∴O、E′、D 三点共线.∴BE=41BA. 问题•探究思想方法探究问题 向量的运算(运算律)与几何图形的性质有紧密的联系，向量的运算(运算律)可以用图形简明地表示，而图形的一些性质又可以反映到向量的运算(运算律)上来.在课本中哪些地方能反映二者的紧密联系？向量作为研究几何问题的工具，有什么特殊的优越性？用向量解决问题有什么明确的步骤吗？探究过程：在课本中有若干例子说明了向量与图形的密切联系，如平行四边形是表示向量加法、减法的几何模型，加法及其交换律a +b =b +a 可以表示平行四边形中的对边平行以及三角形全等，这说明，以向量为工具，可以把几何图形、几何变换、向量运算及运算律统一起来.再如平面几何中的共线和平行关系，用向量与实数的乘法来描述.而向量数乘的分配律：k(a+b)=k a+k b可以表示三角形相似.向量数量积可以证明垂直问题.向量作为研究几何问题的工具，开创了研究几何问题的新方法.由于欧氏几何只依据基本的逻辑原理，而不便用其他工具，只从基本公理出发，通过演绎推理建立几何关系，因此，它给出的几何论证严谨且幽雅，能够给人们极大的美感和享受，但没有一般规律可循，且存在较大的思考难度，往往对人的智力提出极大的挑战.寻求几何研究的工具，以更好地把握图形的性质和规律，推进几何研究的发展成为数学家们的一个理想.自从建立向量运算(运算律)与几何图形之间的关系后，将图形的研究推进到了有效运算的水平，从而实现了综合几何到向量几何的转折.向量运算(运算律)把向量与几何、代数有机地联系在一起.探究结论：用向量方法解决几何问题的基本过程是：首先把一个几何量代数化，即把位移这个基本的几何量加以抽象而得到向量的概念；然后运用欧氏空间特有的平移、全等、相似与勾股定理等基本性质引进向量的加(减)法、向量数乘与数量积这三种运算，并把欧氏几何的直观性与向量的运算(运算律)有机地结合起来，使得直观的几何问题代数化，抽象的运算及运算律直观化，这样就使数与形有机地结合起来.运算和运算律是向量的灵魂，是联结数与形的纽带，它建立了运算(运算律)与几何图形之间的对应关系，使我们能够通过运算来研究几何.误区陷阱探究问题“已知非零向量a、b、c满足a+b+c=0，表示a、b、c的有向线段一定构成三角形”这个命题是否正确？探究思路：乍一看题目，好像能构成一个三角形，但应注意三角形三边不共线.而题目中所给的三个向量并不一定是不共线的向量，若不注意这一点,则极易得出“命题正确”的错误结论.因此要处理这个问题应从两方面来考虑：三个向量共线与不共线.图2-2-40，当a、b不共线时，如右图，在平面内取一点O，作=a，=b，由向量的加法可知=a+b，又由已知a+b+c=0，则有c=-(a+b)=-=BO，取BO=c则表示a、b、c的有向线段能构成三角形.当a、b共线时，显然不能构成三角形.故非零向量a、b、c满足a+b+c=0，表示a、b、c的有向线段不一定构成三角形.故“已知非零向量a、b、c满足a+b+c=0，表示a、b、c的有向线段一定构成三角形”这个命题不正确.探究结论：这个命题不正确.。
平面向量向量数乘运算及其几何意义
要点二
数乘运算的数乘分配律
$(\lambda_1\lambda_2)\overset{\longrightarrow}{ a} = \lambda_1(\lambda_2\overset{\longrightarrow}{a} )$。
坐标表示
• 平面向量数乘运算的坐标表示：设 $\overset{\longrightarrow}{a} = (x, y)$，$\lambda$ 为实数，则 $\lambda\overset{\longrightarrow}{a} = (\lambda x, \lambda y)$夹角是指两个向量之间 的夹角，可以用字母表示。
向量的夹角范围是$[0,\pi]$， 其中$0$表示两个向量同向， $\pi$表示两个向量反向。
向量的夹角可以通过向量的点 积计算得到。
03
平面向量数乘的几何应用
平行四边形的性质
平行四边形的对边平行且相等
当两个向量平行时，它们的长度相等且方向相同。
向量的方向
平面向量数乘的结果不仅可以改变向量的长度，还可以改变向量的方向，因此可以用来描述几何图形 的旋转和变形。
与三角函数的联系
三角恒等式
平面向量数乘的结果可以用来表示三角 函数中的恒等式，如 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb等。
VS
向量的夹角
平面向量数乘的结果还可以用来计算两个 向量的夹角，进而用来描述两个向量之间 的角度关系。
• 平面向量数乘运算在坐标表示下的性质：在二维直角坐标系中，如果 $\overset{\longrightarrow}{a} = (x, y)$，$\lambda > 0$，则 $\lambda\overset{\longrightarrow}{a} = (\lambda x, \lambda y)$，其方向与 $\overset{\longrightarrow}{a}$ 相同；如果 $\lambda < 0$，则 $\lambda\overset{\longrightarrow}{a} = (\lambda x, \lambda y)$，其方向与 $\overset{\longrightarrow}{a}$ 相反。
高中数学必修四 第二章平面向量 2.2.3向量数乘运算及其几何意义
������������
=
1 2
������������
C.
������������
=
1 2
������������ D.
������������
=
������������
解析:如图,
������������
=
−2������������ ,
������������
=
1 2
������������ ,
(2)判定定理的结论是 a∥b,则当������������ =a, ������������ =b 时,有 O,A,B 三 点共线,即用共线向量定理可以证明三点共线.即三点共线问题通常 转化为向量共线问题.
(3)判定定理的结论是 a∥b,当 a 和 b 所在的直线分别是直线 m 和 n 时,则有直线 m,n 平行或重合.即用共线向量定理可以证明两条 直线平行.
1234
3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa. 归纳总结1.向量共线的条件:当向量a=0时,a与任一向量b共线;当 向量a≠0时,对于向量b,如果有一个实数λ,使b=λa,则由实数与向量 的积的定义知b与a共线. 反之,已知向量b与a(a≠0)共线且向量b的长度是向量a长度的λ倍, 即|b|=λ|a|,则当b与a同方向时b=λa,当b与a反方向时b=-λa. 2.若 b=λa(a≠0),则|λ|= ||������������||. 3.如果非零向量a与b不共线,且λa=μb,那么λ=μ=0.
=
3 5
������������
,
则������������
等于
()
A.
2 3
������������
向量数乘运算及其几何意义 课件
B→D＝B→C＋C→D＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝ 5(e1＋e2)＝5(λ＋1)e2， 则B→D＝5A→B， 所以A→B，B→D共线，且有公共点 B. 故 A、B、D 三点共线．
பைடு நூலகம்
归纳升华 1．本题充分利用了向量共线定理，即 b 与 a(a≠0) 共线⇔b＝λ a，因此用它既可以证明点共线或线共线问题， 也可以根据共线求参数的值． 2．向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知 向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．
(2)13(a＋2b)＋14(3a－2b)－12(a－b)＝ 13＋34－12a＋23－12＋12b＝ 172a＋23b.
(3)1312（2a＋8b）－（4a－2b）＝13(a＋4b－4a＋2b) ＝13(－3a＋6b)＝－a＋2b.
归纳升华 1．向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数 运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形 手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类 项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
由于 e1 与 e2 不共线，
k－λ＝0，
只能有
所以 k＝±1.
λk－1＝0，
[迁移探究] (变换条件)在本例中，若将非零不共线 向量 e1，e2 改为共线向量 e1，e2，在(1)题中其他条件不变， 试判断 A、B、D 三点是否共线．
解：若 e1、e2 是共线向量，则存在一个实数 λ，使得
果是一个向量，后者结果是一个数．
2．向量共线的条件 向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ， 使 b＝λ_a． 3．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对 于任意向量 a，b 及任意实数 λ，μ1，μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b) ＝λμ1a±λμ2b．
(完整)2.2.3平面向量数乘运算及其几何意义
1.向量加法三角形法则: 特点:尾首相接,首尾相连
C ab b
A a B
2.向量加法平行四边形法则:
特点:起点相同,连终点
B aC
b
a
b
b
O a A
3.向量减法三角形法则:
特ar点br：共起点，连O 终br点ar，B指向A 被减Bu向uAur量
ur uur
uuur ur uur uuur ur uur
C设uuDuer1, e22是eur1两个euur2 不，共若线A、的B向、量D，三A点B共线2e，1 求kek2的,C值B . e1 3e2,
小结
1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量， 但实数与向量不能相加、相减.实数除 以向量没有意义，向量除以非零实数就 是数乘向量.
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立?
成立
向量共线定理：
rr r r
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,
rr
使b a.
rr
r rr r
即a与b共线
b a (a 0)
思考:1)
r a
为什么要是非零向量?
r 2) b 可以是零向量吗?
练一练: 书本P90,练习4
r a
r b
作一作，看成果
已知非零向量
ar,作出
r a
r a
r a
,你能发现什么？
r
a
rrr
r a a a
O
A
B
CLeabharlann 3arr 3a与 a 方向相同
rr 即 3a 3 a
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• (2)几何角度
• 对于向量的长度而言，
• ①当|λ|＞1时，有|λa|＞|a|，这意味着表示向量a的有向线段在 原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长到|a|的|λ|倍；
• ②当0＜|λ|＜1时，有|λa|＜|a|，这意味着表示向量a的有向线 段在原方向(0＜λ＜1)或反方向(－1＜λ＜0)上缩短到|a|的|λ| 倍．
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
向量的加法(三角形法则)
如图,已知向量 a 和向量 b ,作向量a b .
a
b
o
a
A
ab
b
B
向量的加法(平行四边形法则)
如图,已知向量 a 和向量 b ,作向量a b .
a
b
ob
B
a
A
C
向量的减法(三角形法则)
如图,已知向量 a 和向量 b ,作向量a b .
(3) 原式 2a 3b c 3a 2b c
a 5b 2c .
3、把下列各小题中的向 量b表示为实数与向量 a的积
(1)a 3e,b 6e;
(2)a 8e,b 14e; (3)a 2 e,b 1 e;
33
e a 8
e 3a 2
(4)a 3 e,b 2 e;
4
3
e 4a 3
b 2a b7a
4 b1a
2 b 8a
9
思考
a与a有何关系？(a
0)
结 论： 那如么果ab， b是a, 共线向量.
2020/8/14
思考 共线反向过量来，那，么如b果a与a？b是
结那论么：如b 果aa，. b是共线向量，
2020/8/14
共线向量基本定理：
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当
由图知，PN PQ QM MN (a) (a) (a)，记为： 3a
即 PN 3a .显然 3a 的方向与a 的方向相反，| 3a | 3 | a | .
问题：通过上述的具体实例总结出更具一般性
的向量数乘的定义 定义： 一般地，实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，
它的长度与方向规定如下：
在物理中位移与速度的关系：s = vt， 力与加速度的关系：f = ma.
其中位移、速度，力、加速度都是向量， 而时间、质量都是数量．
判一判(判断下列说法的正误) (1)实数λ与向量a的和λ＋a与差λ－a是向量．( ) 提示：× 实数与向量不能作加减运算． (2)对于非零向量a，向量－3a与向量3a方向相反．( ) 提示：√ －3a与3a方向相反． (3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍．(
实数与向量的积的运算律：思考：2(a b)与2a 2b的联系
ab
2(a b)
ab
2b
2(a b) 2a 2b
2a
(a b) a b
根据实数与向量的积的定义，可得运算律：
设 、 为实数，则
(1) (a) ()a ； (结合律)
(2) ( )a a a ；(第一分配律 )
) 提示：√ |－6a|＝6|a|＝2×|3a|.
实数与向量的积的运算律：思考：（3 2a）与6a之间的联系
a 2a
3( 2a )
6a 3(2a) 6a
(a) ()a
实数与向量的积的运算律：思考：(2 3)a与2a 3a的联系
5a
a
2a
3a
(2 3)a 2a 3a
( )a a a
(1) | a | | || a |；
(2) 当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同； 当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反； 当 0 时，a 0 .
问题：你能说明它数乘意义吗？
• 1．从两个角度看数乘向量
• (1)代数角度
• λ是实数，a是向量，它们的积仍是向量；另外，λa＝0的条 件是λ＝0或a＝0.
E C
解： AE AD DE
3AB 3BC
A B
D
变式二：求证：BC // DE
3( AB BC) 3AC ， AC 与AE 共线
DE 3BC
BC 与DE 共线且BC与DE不在同一直线上 BC // DE
定理的应用:
(1)有关向量共线问题:
(2)证明三点共线的问题:
AB BC(BC 0) A、B、C三点共线
(3) (a b) a b . (第二分配律)
向量的加、减、数乘运算统称为向量 的线性运算。
例 5 计算：
(1) (3) 4a；(2) 3(a b) 2(a b) a；
(3) (2a 3b c) (3a 2b c) .
解：(1) (3) 4a (3 4)a 12a；
(2) 原式 3a 3b 2a 2b a 5b；
(3)证明两直线平行的问题:
AB CD AB // CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB
//
直线CD
例6: 已知任意两非零向量a、b，
试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
有唯一一个实数 ，使得 b a
思考:1) a 为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?
课本P90 4
4、判断下列各小题中向量a与b是否共线：
(1)a 2e,b 2e; (2)a e1 e2,b 2e1 2e2;
解：a b
a与b共线。
解：b 2a
a与b共线。
例如图，已知 AD 3AB，DE 3BC . 试判断 AC 与AE 是否共线.
a
b
o
bB
a ab
A
练习：已知非零向量 a ，作出：a a a 和 (a) (a) (a) .
a
aa aห้องสมุดไป่ตู้
O
A
B
C
a a a
N
M
Q
P
想一想：相同的向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？
由图知，OC OA AB BC a a a，记为：3a 即 OC 3a .
显然 3a 的方向与a 的方向相同，3| 3aa的| 长3度| a是| . a 的长度的3 倍，
E 解： AE AD DE
C
A B
3AB 3BC 3( AB BC)
3AC ，
变式一：
D AC 与AE 共线
如图，已知 AD 3AB ，DE 3BC . 试判断 A、C、E三点的位置关系。.
AC 与AE 共线且有公共点A. A、C、E三点共线
例 如图，已知 AD 3AB，DE 3BC . 试判断 AC 与AE 是否共线.