几何证明举例-等腰三角形
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B
D
C
根据以上证明,我们还可以得到什么结论?
等腰三角形底边上的中线平分顶角并且 垂直于底边。
即得到∠BAD=∠CAD和AD⊥BC
通过证明我们发现 : 等腰三角形的两个底角相等 是真命题。可以作为证明其他命题的依据。
等腰三角形的性质定理1: 文字语言: 等腰三角形的两个底角相等。 图形语言: 几何语言: A ∵ AC=AB
B
D
根据以上证明,我们还可以得到什么结论?
结论1:等腰三角形顶角的平分线平分底 边并且垂直于底边。 即得到AD⊥BC和BD=CD
A
已知:△ABC中,AB=AC 求证:∠B= ∠C
证明:作BC边上的中线 AD ∴ BD = CD (中线定义) ∵在 △BAD与 △CAD中 AB = AC (已知) BD = CD (已证) AD = AD (公共边) ∴ △BAD≌△CAD( SSS ) ∴ ∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)
A 已知:如图,在△ABC中, ∠B=∠C. 求证:AB=AC. 证明:作AD⊥BC,垂足为D, 则∠ADB=∠ADC=90°(辅助线作法) 在△ABD和△ACD中, ∠B=∠C (已知), ∠ADB=∠ADC=90°(已证), B
D ∟
AD=AD (公共边), C ∴△ABD≌△ACD (AAS) ∴AB=AC (全等三角形的对应边相等)
性质定理2:等腰三角形的顶角平分线﹑底边上的 中线﹑底边上的高互相重合(简称“三线合一”).
A
1
2
A
1
2
A
1
2
图⑴ ∟
D
图⑵ ∥
C B
图⑶
B
∥
∥
D
∥
C
B
∥
几何语言 ⑴∵AB=AC, ⑵∵AB=AC, BD=CD, ∠1=∠2, ∴AD⊥BC, ∴AD⊥BC ∠1=∠2. BD=CD.
⑶∵AB=AC, AD⊥BC ∴BD=CD, ∠1=∠2.
等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形的两个角相等,那么这两 个角所对的边也相等。(简称等角对等边)
几何语言:
A 图形语言:
∵ ∠B=∠C ( 已知 ) ∴ AC=AB ( 等角对等边)
B
C
例题解析 例1.已知:如图: ∠EAC是△ABC的外角, AD平分∠EAC,且 AD∥BC. 求证: AB =AC.
AD是EAC的角平分线 ( 已知 ) 证明: EAD DAC (角平分线定义) AD // BC ( 已知 ) EAD B (两直线平行,同位角相等) DAC C (两直线平行,内错角相等) B C ( 等量代换 ) AB AC ( 等角对等边 )
B
D
C
合作与探究
证明:等腰三角形的两个底角相等
已知:如图,在△ABC中,AB=AC.
求证:∠B=∠C.
怎么想
还需条件:∠ BAD= ∠CAD
A
已有条件: AB=AC, AD= AD 只需证△ABD≌ △ACD 要证∠B=∠C.
怎 么 写
B
D
C
A
已知:△ABC中,AB=AC 求证: ∠B= ∠C
证明:过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D ∴ ∠BAD = ∠CAD (角平分线定义) 在△BAD与△CAD中 AB = AC (已知) ∵ ∠BAD = ∠CAD (已证) C AD = AD (公共边) ∴ △BAD≌△CAD(SAS) ∴ ∠ B = ∠ C (全等三角形对应角相等)
你能把这个逆命题的条件适当减少,使它仍然是真命题吗?
逆命题减少一个等于600角后,仍然是真命题. 等边三角形判定定理:如果一个三角形的两 个内角都等于600 ,那么这个三角形是等边三 角形。
练 习
1.如图,D是ABC内的一点,且 DB DC, BD平分ABC,CD平分ACB。 求证:AB AC
。
4.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角 °,35 ° 为35 ____ ___ 。
自主探究
☞
1.我们已经学习过等腰三角形,我们来回忆一下
下列几个问题: (1)什么叫做等腰三角形? 有两条边相等的三角形
(2)等腰三角形有哪些性质?
边: 两腰相等 角:两底角相等(简称等边对等角)。 三线合一: 顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 互相重合。
☞ 复习引入
1.如图,在△ABC中, (1)如果AB=AC,可得: ∠B=∠C B C (2)如果∠B=∠C,可得: AB=AC 2.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm, 则它的周长是
10 cm 或 11 cm
A
;
3.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm, 则它的周长是
19 cm
2.上述性质你是怎么得到的? 3.这些性质都是真命题吗?你能否用从基本事实 轴对称的性质 出发,对它们进行证明?
合作与探究
证明:等腰三角形的两个底角相等 (等边对等角)
已知:如图,在△ABC中,AB=AC. 求证:∠B=∠C
A
1 2
分析:常见辅助线做法
(1)作顶角的平分线 (2)作底边上的中线;
(3)作底边上的高;
A E
D
B
C
例2.求证:等边三角形的每个内角都等于 60° . A 已知:如图, ABC中,AB BC CA。
求证:A B C 60
在ABC中 证明:
( 已知 AB BC B C A (等要三角形的两个底角相等 ) 同理, BC CA, A B ) C
A B C ( 等式的性质 ) 又 A B C 180 (三角形的内角和定理) C C C 180 ( 等量代换 ) C 60 A B C 60 ( 等式的性质 )
交流与探索
思考:等边三角形的每个内角都等于600的逆命题是什 么?这个逆命题是真命题吗? 逆命题是真命题: 如果一个三角形的每个内角都等于600 ,那么这个三 角形是等边三角形。
( 已知 ) ∴ ∠B=∠C ( 等边对等角 )
B
C
交流与发现
通过证明我们不仅发现等要三角形的 两底角相等成立,而且还得到如下结 论也是成立的成立的。
等腰三角形的顶角平分线﹑底边上的中线﹑底边 上的高互相重合(简称“三线合一”).
这个结论是真命题,我们把它作为证明其他命题的 依据,并且把它叫做等腰三角形的性质定理!
证明中常用的一种思考方法:从需要证明的结论出发,逆推
出要使结论成立所需要的条件,再把这样的“条件”看作“结 论”,一步一步逆推,直至归结为已知条件。
等腰三角形的判定方法有下列几
种: ①定义,②判定定理 。
等腰三角形的判定定理与性质定理的区别 是 条件和结论刚好相反。 。
运用等腰三角形的判定定理时,应注 意 在同一个三角形中 。
∟
D
∟
∥
C
交流与发现
写出“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题, 如何证明这个逆命题是正确的? 要求:(1)写出它的逆命题:______。
(2)画出图形,写出已知、求证,并进行证明。
如果一个三角形的两个角相等, 那么这两个 角所对的边也相等.
(简称“等角对等边”).
如果一个三角形的两个角相等,那么这两 个角所对的边也相等。(简称等角对等边)
D B C A
小
结 判 定
名 称
图
形wk.baidu.com
概 念
性质与边角关系
1.两腰相等.
1.两边相等。
等 腰 三 角 形
A
有两边 相等的 三角形 是等腰 三角形。
C
2.等边对等角,
2.等角对等边,
3. 三线合一。
B
4.是轴对称图形.
小
结
在等腰三角形中,顶角平分线、底边上的中线、底边上的高
是常用的辅助线,通过添画辅助线,把一个等腰三角形分成一 对全等三角形。 等腰三角形的性质定理是一个三角形中由两边相等证明两角 相等的依据;等腰三角形的判定定理,是一个由两角相等证明 两边相等的依据。 等边三角形的性质定理:等边三角形的每个内角都等于600.