直线与圆锥曲线的综合问题

合集下载

直线与圆锥曲线的综合问题

直线与圆锥曲线的综合问题适用学科高中数学适用年级高二适用区域陕西西安课时时长（分钟）60分钟知识点范围问题对称问题定点、定值、最值等问题教学目标进一步理解圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质，体会“解析法”思想，会从代数与几何两个角度分析和解决曲线的最值问题，并会进行合理的选择.教学重点能利用解析法研究圆锥曲线中的范围问题、对称问题和最值问题．教学难点定点、定值、最值等问题的探究过程．教学过程一、复习预习圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.二、知识讲解考点1范围问题求范围和最值的方法：几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值．考点2对称问题要抓住对称包含的三个条件：(1)中点在对称轴上(2)两个对称点的连线与轴垂直(3)两点连线与曲线有两个交点(0>∆),通过该不等式求范围考点/易错点3定点、定值、最值等问题定点与定值问题的处理一般有两种方法：（1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关; （2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）．三、例题精析【例题1】【题干】已知椭圆1:22221=+by a x C （0>>b a ）与直线01=-+y x 相交于两点A 、B ．当椭圆的离心率e 满足2223≤≤e ，且0=⋅OB OA （O 为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围．【答案】[]6,5【解析】由⎩⎨⎧=-+=+01222222y x b a y a x b ，得()()012222222=-+-+b a x a x b a由()0122222>-+=∆b a b a ，得122>+b a此时222212b a a x x +=+，()2222211ba b a x x +-=由0=⋅OB OA ，得02121=+y y x x ，∴()0122121=++-x x x x即022222=-+b a b a ，故12222-=a a b由222222ab a ac e -==，得2222e a a b -= ∴221112ea -+= 由2223≤≤e 得23452≤≤a ，∴625≤≤a 所以椭圆长轴长的取值范围为[]6,5【例题2】【题干】已知椭圆132:22=+y x C ，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4:，椭圆C 上有不同两点关于这条直线对称. 【答案】522522<<-m 【解析】解法一：设存在两点()11,y x A 、()22,y x B 关于l 对称，中点为()00,y x C ，则AB 所在直线为b x y +-=41.与椭圆联立得：06282522=-+-b bx x ， ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⨯-=+==+=25242544122542210210b b b y y y b x x x∵C 在m x y +=4上, ∴m b b +⨯=42542524， 825m b =.又∵ ()062825422>-⨯-=∆b b ，故8252<b ，即8258252<⎪⎭⎫ ⎝⎛m ，解得：522522<<-m . 由上可知: 当 522522<<-m 时,椭圆C 上有不同两点关于直线m x y +=4对称. 解法二：设存在两点()11,y x A 、()22,y x B 关于l 对称，中点为()00,y x C ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+62362322222121y x y x ，得 ()()4123230021212121-=-=++-=--y x y y x x x x y y ， ∴ 006x y =联立m x y +=004，解的20mx =，m y 30=, ∵M 在椭圆内部，∴()1332222<+⎪⎭⎫ ⎝⎛m m 即522522<<-m 由上可知: 当522522<<-m 时,椭圆C 上有不同两点关于直线m x y +=4对称.【例题3】【题干】已知P 、Q 是椭圆124:22=+y x C 上的两个动点，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,1M 是椭圆上一定点，F 是其左焦点，且PF 、MF 、QF 成等差数列．求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；【解析】证明：设()11,y x P 、()22,y x Q ，由椭圆的标准方程为12422=+y x 知 ()()1212121212222222x x x y x PF +=-++=++=同理2222x OF +=，222+=MF ． ∵QF PF MF +=2，∴()212242222x x ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴221=+x x ①当21x x ≠时，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+424222222121y x y x ，得()()0222212221=-+-y y x x ，从而有2121212121y y x x x x y y ++-=-- 设线段PQ 的中点为()n N ,1，由nx x y y k PQ 212121-=--=，得线段PQ 的中垂线方程为()12-=-x n n y ∴()012=--y n x ，该直线恒过一定点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21A ．②当21x x =时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-26,1P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,1Q ，或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-26,1Q ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,1P 线段PQ 的中垂线是x 轴，也过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21A ，∴线段PQ 的中垂线恒过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21A ．四、课堂运用【基础】1.已知A 、B 、C 三点在曲线x y =上，其横坐标依次为1，m ,4(41<<m )，当ABC∆的面积最大时，m 等于( )A.3B.49 C.25 D.23 【答案】B【解析】由题意知()1,1A ，()m m B ,,()2,4C .直线AC 所在方程为023=+-y x ,点B 到该直线的距离为10|23|+-=m m d .|41)23(|21|23|2110|23|1021||212--=+-=+-⨯⨯=⋅=∆m m m m m d AB S ABC ∵()4,1∈m ,∴当23=m 时，ABC S ∆有最大值，此时49=m . 2.设R v u ∈,，且2≤u ,0>v ,则()22292⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-v u v u 的最小值为( )A.4B.2C.8D.22【答案】C【解析】考虑式子的几何意义，转化为求圆222=+y x 上的点与双曲线9=xy 上的点的距离的最小值.3.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使2π=∠OPA ,则椭圆离心率的范围是_________. 【答案】122<<e【解析】设椭圆方程为12222=+b y a x (0>>b a ),以OA 为直径的圆：022=+-y ax x ,两式联立消y 得022222=+--b ax x ab a .即0222=+-b ax x e ,该方程有一解2x ,一解为a ,由韦达定理x 2=a eax -=22,a x <<20，即12202<<⇒<-<e a a e a . 4.一辆卡车高3米，宽6.1米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为a 米，则能使卡车通过的a 的最小整数值是_________. 【答案】13【解析】由题意可设抛物线方程为ay x -=2,当2a x =时，4ay -=；当8.0=x 时，a y 64.0-=.由题意知364.04≥-aa ,即056.2122≥--a a .解得a 的最小整数为13.【巩固】1.已知抛物线12-=x y 上一定点()0,1-B 和两个动点P 、Q ，当P 在抛物线上运动时，PQ BP ⊥，则Q 点的横坐标的取值范围是_________.【答案】(][)+∞-∞-,13,【解析】设()1,2-t t P ，()1,2-s s Q∵PQ BP ⊥,∴1)1()1(11222-=----⋅+-ts t s t t , 即()0112=+--+s t s t∵R t ∈,∴必须有()()01412≥-+-=∆s s .即0322≥-+s s ,解得3-≤s 或1≥s .2.已知直线1-=kx y 与双曲线122=-y x 的左支交于A 、B 两点，若另一条直线l 经过点()0,2-P 及线段AB 的中点Q ，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围.【答案】22+>b 或2-<b【解析】设()11,y x A ,()22,y x B .由⎩⎨⎧=--=1122y x kx y ,得()022122=-+-kx x k , 又∵直线AB 与双曲线左支交于A 、B 两点，故有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--=<--=+>-+=∆≠-0120120)1(8)2(01221221222k x x k k x x k k k解得12-<<-k ，设()00,y x Q ，则221012k k x x x +-=+=，111200-=-=k kx y ． l 的斜率为22121112022200-+=+--=+-k k k k k x y ． ∴l 的方程为()22212+-+=x k k y ．令0=x ，则2222-+=k k b ，又()1,2--∈k ， ∴()22,1222--∈-+k k ，即22+>b 或2-<b3.已知抛物线x y C 4:2=.(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C 的焦点F 及准线l 分别重合，试求椭圆短轴端点B 与焦点F 连线中点P 的轨迹方程；(2)若()0,m M 是x 轴上的一定点，Q 是(1)所求轨迹上任一点，试问MQ 有无最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由.【答案】⑴12-=x y （1>x ）;⑵45m in-=m MQ【解析】由抛物线x y 42=,得焦点()0,1F ,准线1:-=x l .(1)设()y x P ,，则()y x B 2,12-,椭圆中心O ',则e BF O F =':,又设点B 到l 的距离为d ,则e d BF =:,∴d BF BF O F ::=',即()()()22222222-=+-x x y x ,化简得P 点轨迹方程为12-=x y （1>x ）.(2)设()y x Q ,,则()45211)(2222-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-=+-=m m x x m x y m x MQ （1>x ）(ⅰ)当121≤-m ,即23≤m 时，函数45212-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=m m x t 在()+∞,1上递增，故t 无最小值，亦即MQ 无最小值.(ⅱ)当121>-m ,即23>m 时，函数45212-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=m m x t 在21-=m x 处有最小值45-m ,∴45m in -=m MQ .【拔高】1.如图，ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且AB OD ⊥，Q 为线段OD 的中点，已知4=AB ，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持PB PA +的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；(2)过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设λ=DNDM，求λ的取值范围. 【答案】(1)1522=+y x ；(2)⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,31λ．【解析】(1)以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为原点，建立平面直角坐标系， ∵45212222=>=+=+=+AB QB QA PB PA . ∴曲线C 为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆.设其长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,则522=a ,∴5=a ,2=c ,1=b .∴曲线C 的方程为1522=+y x . (2)设直线l 的方程为2+=kx y ,代入1522=+y x ,得()015205122=+++kx x k . ()()0511542022>+⨯-=∆k k ,得532>k .由图可知λ==21x x DN DM由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+-=+22122151155120k x x k k x x将21x x λ=代入得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=λ+=λ+2222222225115)51(400)1(k x k k x 两式相除得)15(380)51(15400)1(2222k k k +=+=λλ+ ∵532>k ，35102<<k ，∴5205152<+<k ，即3165138042<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<k ∴()31614<+<λλ，∵0>=DN DMλ,∴解得331<<λ ①∵DNDMx x ==21λ，M 在D 、N 中间，∴1<λ②又∵当k 不存在时，显然31==DN DM λ (此时直线l 与y 轴重合). 综上⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,31λ课程小结解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域.(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.课后作业【基础】1.已知抛物线px y 22=上有一内接正AOB ∆，O 为坐标原点.求证：点A 、B 关于x 轴对称；xyOAB【解析】设()11,y x A ，()22,y x B ，∵OB OA =，∴22222121y x y x +=+，∴22212122px x px x +=+，即()()022121=++-p x x x x ，∵01>x ，02>x ，0>p ，∴21x x =，21y y -=，故点A 、B 关于x 轴对称2.若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M 交椭圆149:22=+y x C 于A 、B 两点，若A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程．【答案】02598=+-y x【解析】()1,2-M ，设()11,y x A ，()22,y x B ，则421-=+x x ，221=+y y又1492121=+y x ，1492222=+y x ，两式相减得：04922212221=-+-y y x x ，化简得()()()()09421212121=-++-+y y y y x x x x ，把421-=+x x ，221=+y y 代入得981212=--=x x y y k AB故所求的直线方程为()2211--=-x y ，即042=-+y x 所以直线l 的方程为：02598=+-y x .3.在抛物线x y 42=上恒有两点关于直线3+=kx y 对称，求k 的取值范围. 【答案】()0,1-【解析】（1）当0=k 时，曲线上不存在关于直线对称的两点．（2）当0≠k 时，设抛物线x y 42=上关于直线对称的两点()11,y x A ，()22,y x B ，AB 的中点为()00,y x M ，则直线AB 的斜率为k 1- ，可设直线b x ky AB +-=1: 代入x y 42=得0442=-+kb ky y016162>+=∆kb k （*） k y y 421-=+，kb y y 421-=⋅k y 20-=，()kb k kb y y k x x 24222121+=++-=+，kb k x +=202∵M 在直线3+=kx y 上，∴()3222++=-kb k k k ∴kk bk 3222---=，代入（*）得即()()01312<⋅+-+kk k k 又032>+-k k 恒成立，所以01<<-m ．综合（1）（2），k 的取值范围是()0,1-【巩固】1.已知P 是椭圆124:22=+y x C 的动点，点⎪⎭⎫⎝⎛0,21A 关于原点O 的对称点是B ，若PB 的最小值为23，求点P 的横坐标的取值范围．【答案】2-=x 或20≤≤x 【解析】由⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21A ，得⎪⎭⎫⎝⎛-0,21B ，设()y x P ,()47121222121222222++=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x y x PB ，∵23≥PB ，()49471212≥++x ，解得0≥x 或2-≤x 又22≤≤-x ∴2-=x 或20≤≤x2. 定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线x y =2上移动，记线段AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,45或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,45 【解析】设()11,y x A ，()22,y x B ，()00,y x M ，因AB 与x 轴不平行，故可设AB 的方程为a my x +=，将它代入x y =2得02=--a my y ， ∴m y y =+21，a y y -=21由92=AB 得()()912212=-+y y m 即()()[]941212212=-++y y y y m∴()()94122=++a m m ，∴()414922m m a -+= （*） ()221210my y y =+=，()()a m a y y m x x x +=++=+=22221221210，将（*）代入得()()4541234141149414922220=-≥-+++=++=m m m m x 当且仅当()4114922+=+m m 即22=m 时取等号，此时，41=a ，220±=y ，450=x 所以，点M 为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,45或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,45时，到y 轴的最短距离最小，最小值为45．3．已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点1F 1、2F 为顶点的三角形的周长为()124+．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点．(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121=⋅k k .【答案】(1)14422=-y x ；(2)见解析．【解析】(1)设椭圆的半焦距为c ，由题意知：22=a c ， ()12422+=+c a ，所以a ＝22，c ＝2，又222c b a +=，因此2=b .故椭圆的标准方程为14822=+y x . 由题意设等轴双曲线的标准方程为12222=-my m x （0>m ），因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以2=m ，因此双曲线的标准方程为14422=-y x . (2)证明：()00,y x P ，则2001+=x y k ，2002-=x y k . 因为点P 在双曲线422=-y x 上，所以42020=-y x .因此14222020000021=-=-⋅+=x yx y x y k k ，即121=k k .【拔高】1．已知椭圆C 过点⎪⎭⎫⎝⎛23,1M ，两个焦点为()0,1-A ，()0,1B ，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过点()0,1-A ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，求BPQ ∆的面积的最大值．【答案】(1)13422=+y x ；(2)3．【解析】(1)由题意，1=c ，可设椭圆方程为112222=++by b x . 因为M 在椭圆上，所以1491122=++bb ，解得32=b ，432-=b (舍去)．所以椭圆方程为13422=+y x . (2)设直线l 方程为1-=ky x ，()11,y x P ，()22,y x Q ，则()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+=+⇒=--+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=4394360963413412212212222k y y k k y y ky y k yx ky x 所以4311221222121++=-⋅=∆k k y y F F S BPQ. 令t k =+12，则1≥t ，所以tt S BPQ 1312+=∆，而tt 13+在[)+∞,1上单调递增，所以31312≤+=∆tt S BPQ ，当1=t 时取等号，即当0=k 时，BPQ ∆的面积最大值为3.。

直线和圆锥曲线的综合问题

第九节直线和圆锥曲线的综合问题[知识能否忆起]1．直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或1＋1k2|y 1－y 2|.典题导入[例1] (2012·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．由题悟法研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解．以题试法1．(2012·信阳模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]例2．(2013·长沙月考)直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，求△ABC 面积的最大值。

例3．(2012·郑州模拟)已知圆C 的圆心为C (m,0)，m ＜3，半径为5，圆C 与离心率e ＞12的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的其中一个公共点为A (3,1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点．(1)求圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(4,4)，试探究直线PF 1与圆C 能否相切？若能，设直线PF 1与椭圆E 相交于D ，B 两点，求△DBF 2的面积；若不能，请说明理由．。

直线与圆锥曲线综合问题的求解策略

例１已知ｍ＞１，直线Ｚ： —ｍｙ一
＇２
。＋），Ｙ２＜０ ” 是解答本题的关键．本题是求参数范围问
变量之间的等式关系（一般可化为函数关系），通过求解
题，这类问题的解题思路一般有２种：其一是寻找参数与某
于点Ｅ时，为Ａ中点，此时ｔ＝１；当点Ｆ位于点Ｃ时，Ｋ
ＳＡＡＯＣ￣－丁１・・ ÷ 。＝字。２，
从而
故选Ｄ．
为ＡＢ上距离Ａ点 ÷ 的点处，此时ｔ＝丁１．因此ｔ ∈ （＿芝１＿，１）．
２
，
（２０１０年浙江省数学高考理科试题）
分析（１）不难求得直线ｆ的方程为
ｘ一
分析（１）不难求得椭圆Ｃ的方程为＋ｙ２＝１．
二
矗一１＝０．Ｑ（，Ｙ２），Ｎ（一２，Ｙｏ），Ｚ的方程为
（２）设Ａ（ｌ，ｙ。），曰（２，Ｙ２），则
“
直线与圆锥曲线综合问题的求解策略主要有２种：线
参数法与点参数法．１．１线参数法。
所谓 “ 线参数法 ” ，是将条件或结论用坐标（直线与圆锥曲线的交点坐标）表示为１ ± ２，Ｘ１２（或Ｙ ± Ｙ２，ＹｌＹ２），通过直线方程与圆锥曲线方程联立，用韦达定理或求交点坐标等来求解的方法．其中将条件或结论用坐标表示是线参数法的关键．

直线与圆锥曲线的综合应用

直线和圆锥曲线经常考查的一些题型直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。

解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，（2）联立直线和曲线的方程组；（3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式（5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换（7）x,y ，k(斜率)的取值范围（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等1：已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)23,1(，且离心率21=e 。

（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点)0,81(G ，求k 的取值范围。

解：（Ⅰ）Q 离心率21=e ，2213144b a ∴=-=，即2243b a =（1）；又椭圆过点)23,1(，则221914a b +=，（1）式代入上式，解得24a =，23b =，椭圆方程为22143x y +=。

（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，弦MN 的中点A 00(,)x y由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：222(34)84120k x mkx m +++-=， Q 直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点，2222644(34)(412)0m k k m ∴∆=-+->，即2243m k <+ (1)由韦达定理得：21212228412,3434mk m x x x x k k -+=-=++，则2000222443,343434mk mk mx y kx m m k k k =-=+=-+=+++，直线AG 的斜率为：22232434413234348AGmm k K mk mk k k +==-----+，由直线AG 和直线MN 垂直可得：22413234m k mk k=----g ，即2348k m k +=-，代入（1）式，可得22234()438k k k +<+，即2120k >，则1010k k ><-。

第40讲圆锥曲线综合问题【理科】

第四十讲圆锥曲线综合问题复习目标：1、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2、掌握弦长与距离的求法。

一、基础知识回顾：1、直线与圆锥曲线的位置的判定由直线与圆锥曲线（含圆）的方程联立后，消去一个未知数（如y ），得到一个关于另一个未知数（如）的一元二次方程，则可根据判别式∆来讨论交点的个数：思考：（1）平行于抛物线轴的直线与抛物线交点的个数为多少？（2）平行于双曲线渐近线的直线与双曲线交点的个数为多少？2、斜率为k 的直线与圆锥曲线交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则弦长||AB =__________________。

3、如果在设直线方程时设计斜率，要注意分_________________、_______________两种情况进行讨论；为了避免讨论，过焦点(,0)F c 的直线，可设为________________。

4、圆锥曲线过焦点的弦成为焦点弦，求焦点弦的长度时，除用弦长公式外，还可用___________________________求弦长。

二、基础知识自测1、直线与抛物线有一公共点是直线与抛物线相切的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件2、已知双曲线2213y x -=，过点(2,1)P 作一直线交双曲线与,A B 两点，并使P 为AB 中点，则直线AB 的斜率为（）A 、3B 、4C 、5D 、63、以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的远的方程为（）A 、221090x y x +-+=B 、221090x y x +--=C 、221090x y x +++=D 、221090x y x +++= 4、已知椭圆2224x y +=，则以(1,1)为中点的弦的长度为（）A 、B 、C D5、直线:(l y k x =与曲线221(0)x y x -=>相交于,A B 两点，则直线l 的倾斜角范围是（）A 、[0,)πB 、3(,)(,)4224ππππC 、[0,)(,)22πππD 、3(,)44ππ6、直线1()y kx k R =+∈与焦点在x 轴上的椭圆2215x y t+=恒有公共点，则t 的取值范围是________________。

第八章第十节圆锥曲线的综合问题理 (1)

第八章第十节圆锥曲线的综合问题（理）题组一直线和圆锥曲线的位置关系问题1.若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为 ( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个解析：由直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点得4m 2＋n 2>2，m 2＋n 2<4，点(m ，n )表示的区域在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为2个．答案：B2．抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，点M (4,4)是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与l 相切的圆共有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个解析：由于圆经过焦点F 且与准线l 相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上，又因为圆经过抛物线上的点M ，所以圆心在线段FM 的垂直平分线上，即圆心是线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知有两个交点，因此一共有2个满足条件的圆．答案：C3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，则m 6＋m 4＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my －m ，消去x 得y 2－2mpy ＋2pm ＝0，∴y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pm ，(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4p 2m 2－8pm .又焦点⎝⎛⎭⎫p 2，0在x －my ＋m ＝0上，∴p ＝－2m ，∴|y 1－y 2|＝4m 4＋m 2，∴S △OAB ＝12×p 2|y 1－y 2|＝22，－m m 4＋m 2＝2，平方得m 6＋m 4＝2.答案：2题组二直线与圆锥曲线相交中的弦长问题4.(2009·全国卷2A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝ ( ) A.13 B.23 C.23 D.223解析：过A 、B 作拋物线准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1，由拋物线定义可知，|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，∵2|BF |＝|AF |，∴|AA 1|＝2|BB 1|，即B 为AC 的中点．从而y A ＝2y B ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ⇒消去x 得： y 2－8k y ＋16＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y A ＋y B ＝8k ，y A ·y B ＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3y B ＝8k ，2y 2B ＝16⇒消去y B 得k ＝223. 答案：D5．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2 解析：设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋3y ＝x ＋b ⇒x 2＋x ＋b －3＝0⇒x 1＋x 2＝－1，得AB 的中点M (－12，－12＋b )，又M (－12，－12＋b )在直线x ＋y ＝0上可求出b ＝1， ∴x 2＋x －2＝0，则|AB |＝1＋12(－1)2－4×(－2)＝3 2.答案：C6．(2008·全国卷Ⅱ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点．设|F A |>|FB |，则|F A |与|FB |的比值等于________．解析：F (1,0)，∴直线AB 的方程为y ＝x －1.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ⇒x 2－6x ＋1＝0⇒x ＝3±2 2. ∵|F A |>|FB |，由抛物线定义知A 点的横坐标为3＋22，B 点的横坐标为3－2 2. |F A ||FB |＝x A ＋1x B ＋1＝4＋224－22＝2＋22－2＝6＋422＝3＋2 2. 答案：3＋2 2 题组三最值与取值范围问题 7.(2009·银川模拟)已知对∀k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 5＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(0,1)B ．(0,5)C ．[1,5)∪(5，＋∞)D ．[1,5) 解析：直线恒过定点(0,1)，若直线与椭圆恒有公共点，只需点(0,1)在椭圆上或内部，∴1m≤1，又m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5.答案：C8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率e 的最大值为________．解析：设∠F 1PF 2＝θ，由⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4|PF 2|得⎩⎨⎧ |PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a ，∴cos θ＝17a 2－9c 28a 2＝178－98e 2. ∵cos θ∈[－1,1)，∴1＜e ≤53. 答案：53题组四综合问题9.(1)求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2)是否存在直线l ，使l 过点(0,2)，并与轨迹C 交于P ，Q 两点，且满足OP ·OQ ＝0？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)如图，设M 为动圆圆心，F (2，0)，过点M 作直线x ＝－2的垂线，垂足为N ，由题意知：|MF |＝|MN |，即动点M 到定点F 与到定直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中F (2,0)为焦点，x ＝－2为准线，所以动圆圆心轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)由题可设直线l 的方程为x ＝k (y －2)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k (y －2)y 2＝8x ，得y 2－8ky ＋16k ＝0， Δ＝(－8k )2－4×16k >0，解得k <0或k >1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8k ，y 1y 2＝16k ，由OP ·OQ ＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即k 2(y 1－2)(y 2－2)＋y 1y 2＝0，整理得：(k 2＋1)y 1y 2－2k 2(y 1＋y 2)＋4k 2＝0，代入得16k (k 2＋1)－2k 2·8k ＋4k 2＝0，即16k ＋4k 2＝0，解得k ＝－4或k ＝0(舍去)，所以直线l 存在，其方程为x ＋4y －8＝0.10．已知双曲线C ：x 21－λ－y 2λ＝1(0＜λ＜1)的右焦点为B ，过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点，试确定λ的范围，使OM ·ON ＝0，其中点O 为坐标原点．解：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由已知易求B (1,0)，当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为x ＝1，设M (1，y 0)，N (1，－y 0)(y 0＞0)，由OM ―→·ON ―→＝0，得y 0＝1，∴M (1,1)，N (1，－1)．又M (1,1)， N (1，－1)在双曲线上，∴11－λ－1λ＝1⇒λ2＋λ－1＝0⇒λ＝－1±52， ∵0＜λ＜1，∴λ＝5－12.当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 21－λ－y 2λ＝1，y ＝k (x －1)，得：[λ－(1－λ)k 2]x 2＋2(1－λ)k 2x －(1－λ)(k 2＋λ)＝0，由题意知：λ－(1－λ)k 2≠0，∴x 1＋x 2＝－2k 2(1－λ)λ－(1－λ)k 2，x 1x 2＝－(1－λ)(k 2＋λ)λ－(1－λ)k 2， ∴y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2λ2λ－(1－λ)k 2， ∵OM ·ON ＝0，且M 、N 在双曲线右支上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1x 2＋y 1y 2＝0x 1＋x 2＞0x 1x 2＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ k 2＝λ(1－λ)λ2＋λ－1k 2＞λ1－λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ(1－λ)λ2＋λ－1＞λ1－λλ2＋λ－1＞0⇒5－12＜λ＜23. 综上，知5－12≤λ＜23. 11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝63，a ＝3，∴b ＝1，∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝ 3.②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m . 由已知|m |1＋k 2＝32，得m 2＝34(k 2＋1)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1. ∴|AB |2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1 ＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6(k ≠0) ≤3＋122×3＋6＝4. 当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．当k ＝0时，|AB |＝ 3.综上所述，|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值：S max ＝12×|AB |max ×32＝32.。

高考数学二轮复习考点十六《直线与圆锥曲线综合问题》课件

考点十六直线与圆锥曲线综合问题
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，右焦点到一条渐近线的距离为 2，则此双曲线的焦距等于( ) A． 3 B．2 3 C．3 D．6
答案 B
|bc＋0| 解析由题意，得焦点 F(c，0)到渐近线 bx＋ay＝0 的距离为 d＝ a2＋b2 ＝bcc＝b＝ 2，又ac＝ 3，c2＝a2＋b2，解得 c＝ 3，所以该双曲线的焦距为 2c＝2 3，故选 B.
A．若 x1＋x2＝6，则|PQ|＝8 B．以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切 C．设 M(0，1)，则|PM|＋|PP1|≥ 2 D．过点 M(0，1)与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条答案 ABC
解析对于 A，因为 p＝2，所以 x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8，故 A 正确；对于 B，设 N 为 PQ 的中点，点 N 在 l 上的射影为 N1，点 Q 在 l 上的射影为 Q1，则由梯形性质可得|NN1|＝|PP1|＋2 |QQ1|＝|PF|＋2 |QF|＝|P2Q|，故 B 正确；对于 C，因为 F(1，0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝ 2，故 C 正确；对于 D，显然直线 x＝0，y＝1 与抛物线只有一个公共点，设过 M 斜率存在的直线的方程为 y＝kx＋1，联立yy＝ 2＝k4xx＋，1，可得 k2x2＋(2k－4)x＋1 ＝0，令 Δ＝0，则 k＝1，所以直线 y＝x＋1 与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故 D 错误．故选 ABC.
三、填空题 9．若直线 2x＋4y＋m＝0 经过抛物线 y＝2x2 的焦点，则 m＝________.

高三数学专题复习直线与圆锥曲线的综合问题教案高三全册数学教案_1

课堂同步练习：3．(2021·高考)直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．假设该抛物线上存在点C，使得∠ACB 为直角，那么a的取值范围为________．解析以AB为直径的圆的方程为x2＋(y－a)2＝a，由得y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0.即(y－a)[y－(a－1)]＝0，由解得a≥1.答案[1，＋∞)4．(2021·高考改编)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公一一共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公一一共点．假设四边形AF1BF2为矩形，那么C2的离心率是________．解析|F1F2|＝2.设双曲线的方程为－＝1.∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a.在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，那么(2－a)2＋(2＋a)2＝(2)2，∴a＝，∴离心率e＝＝＝.答案考点探究打破典型例题讲解，先让学生自己考虑，老师再给出思路，最后用多媒体展示解答过程，要求学生自己做题时要标准。

同时给出做这种题的思路指导，并且加以总结，指出要记住的，要注意的，易错点等。

3x2－4x＝0，即A(0，)，B，所以可得|AB|＝；将y＝x＋m代入＋＝1得：3x2＋4mx＋2m2－6＝0，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，那么|CD|＝＝，又因为Δ＝16m2－12(2m2－6)>0，即－3<m<3，所以当m＝0时，|CD|获得最大值4，∴四边形ABCD面积的最大值为|AB|·|CD|＝.。

2.4.2直线与圆锥曲线综合问题,课时作业高二上学期数学北师大版选择性必修第一册（含答案）

2.4.2直线与圆锥曲线综合问题,课时作业高二上学期数学北师大版选择性必修第一册（含答案）4.2直线与圆锥曲线的综合问题 1.已知椭圆x236+y29=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为() A.-12 B.12 C.-2 D.2 2.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为() A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 3.若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与直线y=3x无交点,则离心率e 的取值范围是() A.(1,2) B.(1,2] C.(1,5) D.(1,5] 4.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=() A.1 B.2 C.3 D.25.已知过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为.6.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为. 能力达标7.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=() A.1 B.2 C.3 D.28.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为52,过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A,B两点,且AB=BF,则直线AB的斜率为() A.-13或13 B.-16或16 C.2 D.16 9.已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(A在第一象限内),AF=3FB,过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G,则△ABG的面积为() A.839 B.1639 C.3239 D.6439 10.(2020浙江高三二模)已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,且满足AF2=2F2B,|F1B|=|AB|,则该椭圆的离心率是() A.12 B.33 C.32 D.53 11.(多选题)已知B1,B2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的下顶点和上顶点,点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点P关于y轴对称,则下列四个命题中正确的是() A.直线PB1与PB2的斜率之积为定值-a2b2 B.PB1·PB20 C.△PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22a D.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线12.设双曲线x29-y216=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△ABF的面积为. 13.在直角坐标系xOy中,已知点A(-2,2),B(2,2),直线AM,BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足:kAM-kBM=-2. (1)求点M的轨迹C的方程; (2)设直线l交曲线C于P,Q两点,若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2,证明:直线l过定点. 14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,且经过点32,-32. (1)求椭圆C的方程; (2)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求△OAB(O为原点)面积的最大值. 1.已知椭圆x236+y29=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为() A.-12 B.12 C.-2 D.2 答案 A 2.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为() A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 答案B 解析抛物线的焦点为Fp2,0, 所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=__p2, 即x=y+p2,代入y2=2px消去x, 得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0, 由根与系数的关系得y1+y22=p=2(y1,y2分别为点A,B的纵坐标), 所以抛物线的标准方程为y2=4x,准线方程为x=-1. 3.若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与直线y=3x无交点,则离心率e的取值范围是() A.(1,2) B.(1,2] C.(1,5) D.(1,5] 答案 B 4.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=() A.1 B.2 C.3 D.2 答案 B 5.已知过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为. 答案22 解析设A(x1,y1),B(x2,y2),x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,∴(x1__2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0, ∴y1-y2x1__2=-b2a2·x1+x2y1+y2. ∵y1-y2x1__2=-12,x1+x2=2,y1+y2=2, ∴-b2a2=-12. ∴a2=2b2. 又b2=a2-c2,∴a2=2(a2-c2),∴a2=2c2, ∴e=ca=22. 6.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为. 答案(1,5) 解析由过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,可得ba2. ∴e=ca=a2+b2a21+4=5,∵e1, ∴1e5, ∴此双曲线离心率的取值范围为(1,5). 能力达标7.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F 且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=() A.1 B.2 C.3 D.2 答案B 解析∵c2=a2-b2=16-4=12,∴c=23. ∴椭圆的右焦点F(23,0). ∴设过右焦点F且斜率为k(k0)的直线为my=__23,其中m=1k. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立my=__23,x216+y24=1,消去x得到(4+m2)y2+43my-4=0. ∴y1+y2=-43m4+m2,y1y2=-44+m2. ∵AF=3FB,∴-y1=3y2, 把以上三式联立消去y1,y2,得m2=12,∴1k2=12,即k2=2. 又k0,∴k=2. 8.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为52,过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A,B两点,且AB=BF,则直线AB的斜率为() A.-13或13 B.-16或16 C.2 D.16 答案B 9.已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(A在第一象限内),AF=3FB,过AB的中点且垂直于l的直线与x 轴交于点G,则△ABG的面积为() A.839 B.1639 C.3239 D.6439 答案C 解析设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AF=3FB, 所以y1=-3y2,设直线l的方程为x=my+1, 由y2=4x,x=my+1,消去x得y2-4my-4=0, ∴y1y2=-4, ∴y1=23,y2=-233,∴y1+y2=4m=433, ∴m=33,∴x1+x2=103,AB的中点坐标为53,233,过AB中点且垂直于直线l的直线方程为y-233=-33__53,令y=0,可得x=113,∴S△ABG=12×113-1×23+233=3239. 10.(2020浙江高三二模)已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,且满足AF2=2F2B,|F1B|=|AB|,则该椭圆的离心率是() A.12 B.33 C.32 D.53 答案B 11.(多选题)已知B1,B2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的下顶点和上顶点,点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点P关于y轴对称,则下列四个命题中正确的是() A.直线PB1与PB2的斜率之积为定值-a2b2 B.PB1·PB20 C.△PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22a D.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线答案BC 解析设P(x0,y0),x02a2+y02b2=1,则kPB1·kPB2=y0+bx0·y0-bx0=y02-b2x02=-b2a2,因此A不正确; ∵点P在圆x2+y2=b2外,∴x02+y02-b20, ∴PB1·PB2=(__0,-b-y0)·(__0,b-y0)=x02+y02-b20,B正确; 当点P在长轴的顶点上时,∠B1PB2最小且为锐角,设椭圆的右顶点为A,△PB1B2的外接圆半径为r,由正弦定理可得2r=2bsin∠B1PB2≤2bsin∠B1AB2=2bsin2∠OAB2=2b2aba2+b 2=a2+b2a. ∴r≤a2+b22a, ∴△PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22a,C正确; 直线PB1的方程为y+b=y0+bx0x,直线QB2的方程为y-b=y0-b__0x,两式相乘可得y2-b2=y02-b2__02x2, 化为y2b2__2a2=1,由于点P不与B1,B2重合,∴M的轨迹为双曲线的一部分,∴D不正确. 12.设双曲线x29-y216=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△ABF的面积为. 答案3215 13.在直角坐标系xOy 中,已知点A(-2,2),B(2,2),直线AM,BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足:kAM-kBM=-2. (1)求点M的轨迹C的方程; (2)设直线l交曲线C于P,Q两点,若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2,证明:直线l过定点. (1)解设M(x,y),又A(-2,2),B(2,2), 则kAM-kBM=y-2x+2-y-2__2=8-4yx2-4=-2, 可得x2=2y(x≠±2), 则M的轨迹C的方程为x2=2y(x≠±2). (2)证明设Pm,m22,Qn,n22,m≠±2,n≠±2, 又A(-2,2),可得kAP·kAQ=m22-2m+2·n22-2n+2=m-22·n-22=-2, 即有mn-2(m+n)=-12,即mn=2(m+n)-12, 直线l的斜率为kPQ=m22-n22m-n=m+n2, 可得直线l的方程为y-m22=m+n2(__m), 化为y=m+n2__mn2, 可得y-6=m+n2(__2), 可得直线l恒过定点(2,6). 14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,且经过点32,-32. (1)求椭圆C的方程; (2)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求△OAB(O 为原点)面积的最大值. 解(1)根据题意知:离心率e=63,可得ca=63,即c2a2=23,因为c2=a2-b2,所以a2-b2a2=23,整理得a2=3b2, 又由椭圆C经过点32,-32,代入可得(32)2a2+(-32)2b2=1,即34a2+34b2=1, 联立a2=3b2,34a2+34b2=1,解得a2=3,b2=1,所以椭圆C的方程为x23+y2=1. (2)由题意,易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+2, 联立y=kx+2,x23+y2=1,消去y得(1+3k2)x2+12kx+9=0, 因为直线AB 与椭圆C相交于A,B两点, 所以Δ=(12k)2-4×9(1+3k2)0,得k21, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-12k1+3k2,x1x2=91+3k2, 所以|AB|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2 =1+k2·(-12k1+3k2)2-4×91+3k2=61+k2·k2-11+3k2. 点O(0,0)到直线k__y+2=0的距离d=21+k2, 所以△OAB面积S△AOB=12|AB|·d=1261+k2·k2-11+3k2·21+k2=6k2-11+3k2. 令k2-1=t,则k2=t2+1(t0), 所以S△OAB=6t4+3t2=64t+3t≤624t×3t=32, 当且仅当4t=3t,即t2=43时,等号成立, 此时k2=73,△OAB的面积取得最大值32.。

2023届高三数学一轮复习专题直线与圆锥曲线的综合运用讲义 (解析版)

直线与圆锥曲线的综合运用一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0①直线与圆锥曲线相交；①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切；①Δ<0①直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、课前预习1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____．2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____．3.直线mx ＋ny ＝4与①O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是____个．4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为____．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)23,1(P ，离心率为12.(1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为32的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．三、典型例题题型一. 直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．题型二弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点F 到左准线l 的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程．变式如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．BAOxy lP C题型三定点问题例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．例5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．变式1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点1P (1,1)，2P (0,1)，)23,1(3 P ，)23,1(4P 中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．题型四定值问题例6 已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜率之和为定值.例7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.题型五最值、范围问题例8 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若椭圆C 上有A ，B 两点，满足OA ①OB (O 为坐标原点)，求①AOB 面积的取值范围．例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6。

北师版高中数学选择性必修第一册精品课件第2章圆锥曲线 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题

O为坐标原点.
(1)求弦长|AB|以及线段AB的中点坐标;
(2)判断 OA ⊥ OB 是否成立,并说明理由.
= -3,
2 + 8-24 = 0,
解联立 2
得 2
= -8,
+ 14 + 9 = 0,
1 + 2 = -8,
1 2 = -24,
∴
1 2 = 9,
1 + 2 = -14.
2

π
2
变式训练 2(1)过双曲线 x - =1 的左焦点 F1 作倾斜角为的直线,直线被双曲
3
6
线截得的弦为 AB,则|AB|的长为
(1)当 Δ>0,即
6
k> 3 或
(2)当 Δ=0,即
6
k= 3 或
(3)当 Δ<0,即-
k<-
6
时,直线与椭圆有两个公共点.
3
k=-
6
时,直线与椭圆只有一个公共点.
3
6
6
<k< 3 时,直线与椭圆没有公共点.
3
知识点2 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
1.斜率为k(k不为0)的直线与圆锥曲线交于点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长
x2+y2=1相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则
x2-x1的最小值为( A )
A.2 2
B.2
C.4
D.3 2
解析 ∵l 与圆 x +y =1 相切,∴原点(圆心)到直线的距离 d=
2
2
||
1+2
=1,
∴m2=1+k2.

直线与圆锥曲线综合性问题(含答案)

直线与圆锥曲线综合性问题（含答案）一.考点分析。

⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.直线方程是二元一次方程，圆锥曲线方程是二元二次方程，由它们组成的方程组，经过消元得到一个一元二次方程，直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是 A >0、A =0、△ < 0.⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率 k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为（1）1 AB 1= Jl+k' * 1 — 梵2 1= Jl + Q • +黑2）2或|AB|= Jl + p • Ivi -73!=+ * 丁（珀 + 兀）'-幻吐・上面的公式实质上是由两点间距离公式推导出来的（因为y i - y 2 =k （X i -X 2），运用韦达定理来进行计算注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算；2. 当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，二是点差法；3. 圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考：一是建立函数，用求值域的方法求范围二是建立不等式，通过解不等式求范围 .二.考试探究圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是高考命题的热点之一.高考对圆锥曲线的考查，总体上是以知识应用和问题探究为主，一般是给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何性质；或给出曲线满足的条件，判断（求）其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系，讨论与其有关的其他问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参变量的取值范围等）；或考查圆锥曲线与其他知识综合（如不等式、函数、向量、导数等）的问题等 1. （2006年北京卷，文科，19）2 2椭圆C:务+^y2 =1（a Ab A0）的两个焦点为F1,F2，点P 在椭圆Ca b标及直线方程，联立直线方程和椭圆方程后利用一元二次方程根与系数关系即可求出直线方程，也可以利用“点差法”求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程.A(X i ,y i ),B(X 2, y 2),则它的弦长，只是用了交点坐标设而不求的技巧而已当直线斜率不存在是，则AB=yi-y2.PF 1丄FF 』PF 彳4 PF 巳扌4C 的方程；（I ）求椭圆（n ）若直线I 过圆X +y +4x-2y=0的圆心M ，交椭圆C 于A 、B 两点，且 A 、B 对称，求直线〖解析〗（I ）由椭圆的定义及勾股定理求出a,b,c 的值即可，（n ）可以设出 A 、关于点M I 的方程.B 点的坐〖答案〗解法一：22) (I )因为点p 在椭圆C 上，所以2a = PF i + PF 2=6 , a=3. X y 已知曲线G ： — +丄=1(a Ab >0)所围成的封闭图形的面积为a b在 Rt△ PF1F2 中，F I F2 =JI PF 2 -PF , 2= 2 J 5,故椭圆的半焦距c= J 5，从而b2=a2 —c2=4.2所以椭圆C 的方程为x_92丄=1.4(n)设 A , B 的坐标分别为(x1,y1 )、(x2,y2).已知圆的方程为(x+2) 2+(y — 1)2=5,所以圆心M 的坐标为(一2 , 1). 从而可设直线l 的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆 C 的方程得(4+9k2) x2+(36k2+18k)x+36k2+36k — 27=0. 因为A , B 关于点M 对称.2所以 Xj^—18k +9k =224 + 9k 2 解得k98 所以直线l 的方程为y =-(x +2)+1, 9 (经检验，所求直线方程符合题意 ) 解法二： (I )同解法一.2 2=(n)已知圆的方程为(x+2 ) +(y — 1) 5,所以圆心 M 的坐标为(一2, 1). 设A , B 的坐标分别为(x1,y1 ) ,(x2,y2).由题意x1 H x2且即 8x-9y+25=0.由①一②得因为A 、代入③得所以直线 2X 12X 2(X 1 -X 2)(X 1 +x 2) +(y 1 -y 2)(y 1 +y 2)_0B 关于点M 对称，所以x1+ x2= — 4, y1+ y2=2,y 1 -y 2 = X 1 -X 2 -，即直线I 的斜率为8 ,9 98y — 1 = - (x+2 ),即 8x — 9y+25=0. 9所求直线方程符合题意 .)l 的方程为 (经检验2. ( 2008年山东卷，文科, W 5,曲线C i 的内切圆半径为迹.记C 2为以曲线C i 与坐标轴的交点为顶点的椭圆.3(I)求椭圆C 2的标准方程;(n)设AB 是过椭圆C 2中心的任意弦，I 是线段AB 的垂直平分线.M 是I 上异于椭圆中心的点.(1 )若MO =A OA ( O 为坐标原点)，当点A 在椭圆C 2上运动时,求点M 的轨迹方程;(2)若M 是I 与椭圆C 2的交点，求 △ AMB 的面积的最小值. 1解析〗(I)由三角形面积公式和点到直线的距离公式可得关于与坐标轴的交点为椭圆的顶点，显然C 2为焦点在X 轴的椭圆;(n) (1)设出AB 的方程y=kx(kHO), A(X A, g , M (x , y)，联立直线与椭圆得到方程组后，由M0 = A 0A(A 工0)可得M 的轨迹方程，注意k = 0或不存在时所得方程仍1 1 2然成立；(2)由直线I 的方程：y=-—X 和椭圆方程联立后表示出 S ^AMB =2AB []OM I由不等式放缩即可求出最小值 .2ab=475,〖答案〗(I)由题意得《 a b2/5又a A b A 0，解得a 2 = 5 , b 2 = 4 .J a 2+b232 2因此所求椭圆的标准方程为0+£ = 1. 5 4AB 所在的直线斜率存在且不为零，设 AB 所在直线方程为a, b 的方程组，曲线C i(n) ( 1)假设y =kx(k 工0), A(X A,Y A).r 2区+解方程组｛5 4l y = 田 2 20 2 20k2得X A = -- 2，y A = -------------- 2所以OA 2Y A20 丄20k220(1 +k2) = ------ +------ = ---------2 2 2设M(X, y)，由题意知MO = A OA仏丰0),当且仅当4 +5k 2=5 +4k 2时等号成立，即k = ±1时等号成立,40此时△ AMB 面积的最小值是 S A AMB =40.92后2=245.9所以MO2，即x 2+y2、2 20(1 +k 2)=扎 --------因为I 是AB 的垂直平分线, 所以直线 I 的方程为y1一匚X ，因此X 2 + y 2 =入2 r20 1 + V V y 丿 2~ 4+5L 笃 y、2 20(x 2 +y 2) =h -------- 2 ------- T~4y +5x2又 X 2 +y2H 0，所以 5x 2 +4y 2 =20 几2，故—+ 乂4 5又当k = 0或不存在时，上式仍然成立.2 2综上所述，M 的轨迹方程为 .七L = 'd (k 丰0、.45(2)当k 存在且k H0时，由(1 )得2X A20 = 2，4+5k 2y A 220k— 24 +"2 2z 丄=1, 由｛5 4解得 I 1 L 1x,220k 2X M _5 +4k 22y M20 5 +所以OA2 =xA 中2 y A 220(1+k 2)=2~ 4+5kAB 2=4 OA80(1+ k 2) 4 +5k 2，OM220(1 + k 2) = 2~ 5 + 4k解法一：由于S A AMBT AB 2臥2 280(1+k )汽 20(1 +k )400(1 +k 2)22 2400(1+= 22f 22昭「4 + 5k 2+5 +1600(1 +k 2)2 <40 f—2 2— I81(1 + k 2)2l 9 丿J沢亦沢4=275>坐. 当k不存在时，S A AMB2 9综上所述，△ AMB的面积的最小值为409解法二：因为1OA2+OM 220(1+k )4+5k2+ ——4+5k2+5+4k220(1+ k)= 20*)5 + 4k29"20OA1+ --OMOA|[|OM[，OA J OM I当且仅当4 +5k2 =5 +4k2时等号成立，即k = ±1时等号成立, 40 此时△ AMB面积的最小值是S AAMB =—.9当k =0，S SMB =丄咒2翕咒2 =275>402当k不存在时，S AAMB=丄咒=2亦294O>一•9 40综上所述，△ AMB的面积的最小值为上.93.(广东省实验中学 2008届高三第三次模拟考试，理科， 20)已知抛物线 x2= — y，直线L: (m+1)y+(3-m)x+m+1=0 (m € R且m^— 1)与抛物线交于 A，B两点•(1)当m=0时，试用x,y的不等式组表示由直线L和抛物线围成的封闭图形所在平面区域(包边界),并求该区域的面积•为直径的圆C上；并求(3)将抛物线x2= — y的图像按向量a = (4, 16)移动后得到函数y=f(x)的图像，若g(x) =6lnx+m,问是否存在实数 m,使得y=f (x)的图象与y=g (X)的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由•〖解析〗(1)所要表示的平面区域包括边界，要注意不等式取等号，由定积分即可求出相应的面积，计算时可以整体代入；(2)证明抛物线的顶点在以线段 AB为直径的圆C上，即证明0AQB=0，圆C的圆心的轨迹可由中点坐标公式利用“代入法”求得;(3)构造函数®(x) =g(x) - f(X)=x2 -8x +6In x + m，因为x^O，所以 y=f (x)的图象与y=g (X)的图象有且只有两个不同的交点问题就可以转化为函数W(x)有两个正零点的问题，要对®(x)的单调性进行讨论，从而求出使得®(x)由两个正零点的m的取值范围x€( 0,(1)当m=0时，直线L 的方程为：y+3x+1=0,故所求区域2对应的不等式组为[y +x 乞0；[y + 3x + 1 > 0 y = -X e 2得x 2-3x-仁 0*) y + 3x+1 = 0贝x 2为方程(* 的两解，即 X t + X 2 = 3,X 1X 2 = — 1,X 2 - X t = = J 13/.所求区域面积亠X2设A (X 1,y 1), B(X 2,y 2),不妨x^X 1,则由*S =「(-x 2+3x +1 dx(X 33x 2Y x / 1 r -—+ ——+X l |x ： = (X 2 -X 1 1 --収13 2 丿1V 3、_13J13+ X2 ) -X 1X 2】+3(X 1 +X2)+1]2 丿(2)令k=y^,则直线L 的方程为y = kxm +1L2由* y X 得：X 2+ kx -1=0,方程有解，且x 1, x 2为其两解, y = kx -1 贝 y X 1 + X 2 = —k, X 1X 2 = -1,-1,设A(X i ,y i ),B(X 2,y 2)/. OA ”OB = X 1X 2 + 丫』2 = X1X 2 +(X 1X 2 ) = —1 + 1 = 0.以AB 为直径的圆恒过抛物线顶点(0,0设以AB 为直径的圆的圆心坐标为(X, y),2 2milX 1 +X 2 k y 1 + y 2X 1 + X 2贝寸 X = ------ = 一一2(X 1 + X2 ) - 2X 1X 22 2 2 2 2 得y =-2x 2-1,即所求的圆心轨迹方程为y = -2x 2-1k 2—— 一1(3)依题意，f(x)=-x2+8x,令护(X)=g(x) -f(x) = x2-8x+6lnx + m.因为x> 0,要使函数f(X)与函数g (x)有且仅有2个不同的交点，则函数®(x) =x 2 -8x +61 nx +m 的图象与x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点平'6 ■■申(X) =2x -8 + -= 2空二g =2(x -1)(x -3)(x 〉0) x€( 1, (X)c0,®(x)是减函数 x€( 3,®'(x) >0,®(x)是增函数当 x=1 或 x=3 时，cp'(X)=0•••甲(x)极大值为申⑴=m-7;申(X)极小值为W(3) =m +6In3-15又因为当X70时，W(X)T 二当X T P时，申(X)T 邑所以要使W(x) =0有且仅有两个不同的正根，必须且只须『⑴"或r⑶=0即或^十6"3-15=0[◎(3) <0 [护(1)>0 t m+61 n3-15c0 [m-7A0•- m=7 或m =15 -61 n3.•••当m=7或m =15-61 n3.时，函数f (x)与g (x)的图象有且只有两个不同交点4. ( 2008年广东卷，文科，20)2 2设b，椭圆方程为二+占=1，抛物线方程为X2 =8( y- b).如图所示，过点2b2 b2F(0, b +2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F i .(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；(2 )设A, B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由标).〖解析〗(1)由已知可求出 G点的坐标，从而求出抛物线在点G的切线方程，进而求出F i点的坐标，由椭圆方程也可以求出F i点的坐标，从而求出b =1，得出椭圆方程和抛物线方程；(2)以NPAB为直角和以NPBA为直角的直角三角形显然各一个，NAPB为直角的直角三角形是否存在可以转化成PA 'PB = 0 对应的方程是否有解的问题，从而可以求出满足条件的个数.P,使得△ ABP (不必具体求出这些点的坐以P点的1 答案〗(1)由x2=8(y-b)得y=1x2+b ,81当y =b +2 得x = ±4，二G 点的坐标为(4,b +2) , y'= —x ,4过点G的切线方程为y-(b+2) =x-4即y=x + b-2，F i点的坐标为(b,0)，令y=0得x=2-b，二F i点的坐标为(2-b,0)，由椭圆方程得2二2—b =b即b=1，即椭圆和抛物线的方程分别为一+ y2=1和x2 =8(y-1)；2(2) •••过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 PA 以N PAB 为直角的RtAAB P 只有一个，同理二以N PBA 为直角的RUABP 只有一个。

(完整word版)圆锥曲线专题

圆锥曲线的综合问题直线和圆锥曲线问题解法的一般规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【一】．直线与圆锥曲线的位置关系(1）从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．（2）从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断． 1。

设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0,圆锥曲线方程f (x ，y )＝0.由Ax+0(,)0{By c f x y +==,消元。

如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. ①若a ＝0,当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时,直线l 与抛物线的对称轴平行或重合． ②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac 。

a ．Δ ＞ 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点;b ．Δ ＝ 0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．Δ ＜ 0时，直线和圆锥曲线没有公共点．2。

“点差法”的常见题型求中点弦方程、求（过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式Δ〉0是否成立．3．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题（1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1（x 1，y 1），P 2(x 2，y 2)，则所得弦长｜P 1P 2｜＝或|P 1P 2｜＝ .(2）当斜率k 不存在时,可求出交点坐标，直接运算（利用轴上两点间距离公式)．1＋k 2|x 1－x 2|1＋1k 2|y 1－y 2|4．圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆错误!＋错误!＝1中，以P(x0，y0）为中点的弦所在直线的斜率k＝－错误!;在双曲线错误!－错误!＝1中，以P（x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝错误!；在抛物线y2＝2px (p〉0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝错误!.题型一圆锥曲线中的范围、最值问题【例1】已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设错误!＝λ错误!.（1）若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；（2)若λ∈错误!，求｜PQ|的最大值．[思维启迪］（1)可利用向量共线证明直线MQ过F；(2)建立|PQ|和λ的关系,然后求最值．解析：（1)证明设P(x1，y1),Q（x2,y2），M（x1,－y1）．∵错误!＝λ错误!，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，∴y错误!＝λ2y错误!，y错误!＝4x1,y错误!＝4x2，x1＝λ2x2，∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1），λx2（λ－1)＝λ－1，∵λ≠1，∴x2＝错误!，x1＝λ,又F(1，0），∴错误!＝（1－x1，y1）＝(1－λ，λy2）＝λ错误!＝λ错误!，∴直线MQ经过抛物线C的焦点F。

繁昌一中直线与圆锥曲线综合问题专项训练

直线与圆锥曲线专项训练1若直线:l y kx m =+与椭圆C 221.43x y ∴+=相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），（1）以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；（2）若B AF 2∠为锐角，求m k 和满足的关系式。

2．设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF ⋅的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.3、过椭圆C ： 2215x y += 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交Y 轴于M 点，1MA AF λ= ，2MB BF λ=，求证：1210λλ+=-.4.过)0,1(P 的直线交的椭圆221.95x y +=于,C D 两点，在x 轴上是否存在定点E ，使得CED ∠总被x 轴平分，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．5.已知双曲线2213y x -=上存在关于直线:4l y kx =+的对称点，求实数k 的取值范围.6．若过点()2,0D 的直线l E 、F （E 在D 、F 之间），试求ODE ∆与ODF ∆面积之比的取值范围（O 为坐标原点）．7．已知椭圆14222=+y x两焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足121=⋅PF PF ，过P 作倾斜角互补的两条直线P A 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点.（1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值；8．若)0,1(),0,1(B A -是椭圆221(0)43x y y +=≠的两个焦点，线段CD 是椭圆过左焦点A 的弦，当52||2CB ≤< 时，求线段CD 的垂直平分线l 与x 轴交点的横坐标的取值范围．9. 是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆.14822=+y x 恒有两个交点A ，B ，且OB AB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，说明理由。

专题二：直线与圆锥曲线的综合问题

专题二直线与圆锥曲线的综合问题第一课时一.知识体系小结()()()222222222222222222cos 1(0)()sin 11(0)1(00)1(00)2(0)2(0213x a x y x a b y b a b y xy a b a bx y y x x a b y a b a b a b y px p y px p ϕϕϕ=⎧+=>>⇔⎨=⎩+=>>-=>>-=>>=>=->圆锥曲线的标准方程椭圆：焦点在轴上时参数方程，其中为参数；焦点在轴上时．双曲线：焦点在轴上：，；焦点在轴上：，．抛物线：开口向右时，，开口向左时，．22)2(0)2(0)x py p x py p =>=->，开口向上时，开口向下时．()()()()2222222222222222222222222211111(0)123142x y x y a b a b x y x ya b a b x y x ya b a bmx ny λλλλλλ+=+=---=-=---=-=≠+=常用曲线方程设法技巧共焦点的设法：与椭圆有公共焦点的椭圆方程为；与双曲线有公共焦点的双曲线方程为；与双曲线共渐近线的双曲线方程为；中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆、双曲线方程可设为；不清楚开口方向的抛．物线设法：焦22(0)(0)x y mx m y x my m =≠=≠点在轴上，；焦点在轴上，．3．解决直线与圆锥曲线问题的通法: (1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程； (3)应用韦达定理及判别式；(4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．1212|||| |.AB AB x x y y ==-==-(5)直线与圆锥曲线相交的弦长公式或 2220002220222000222020001()1()2(0)().b x x y P x y k a b a y b x x yP x y k a b a y py px p P x y k y +==--===>=圆锥曲线中点弦斜率公式在椭圆中，以，为中点的弦所在直线的斜率；在双曲线中，以，为中点的弦所在直线的斜率；在抛物线中，以，为中点的弦所在直线的斜率以上公式均可由点4．差法可得．()()()()(1)(1234)05.()n k m n k mOA OB AB OA OB AB PM PN P MN AP AQ BP BQ A B PQ λ==+++=+=+解析几何与向量综合的有关结论给出直线的方向向量，或，，等价于已知直线的斜率或给出与相交，等价于已知过的中点．给出，等价于已知是的中点．给出，．等价于已知，与的中点三点共线．u u()()106//50AB AC AB AC OC OA OB A B C MA MB MA MB AMB MA MB m AMB MA MB m λλαβαβαβ=+==+⋅=⊥∠⋅=<∠⋅=>给出以下情形之一：①；②存在实数，使；③若存在实数，，且，使，等价于已知，，三点共线．给出，等价于已知，即是直角；给出，等价于已知是钝角或反向共线；给出()70()AMB MA MBMP MP AMB MA MBλ∠+=∠，等价于已知是锐角或同向共线．给出，等价于已知是的角平分线．二.例题剖析1.概念性质22121221259||12||______1____.x y F F F A B F A F B AB +=+==已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点．若，则【例】解析:由椭圆的定义可知：|F 1A |+|F 2A |=2a =10，|F 1B |+|F 2B |=2a =10，所以|AB |=20-|F 2A |-|F 2B |=8.小结: 1．对椭圆、双曲线，已知曲线上的点与一个焦点的距离时，常作辅助线：连结它与另一个焦点，考虑使用定义解题．2．要熟悉焦点三角形的性质及研究方法()22121121123A 7B 5C 4D 3x y F F P PF y PF PF +=椭圆的焦点为，，在椭圆上，如果线段的中点在轴上，则是的．倍【变式训练1】．倍．倍．倍2221122227b PF x PF PF a PF PF ⊥=====解析：由题意，轴，则可计算出，因此是的倍．答案为A2.椭圆方程()()()221122122211(0)1,01.12()..2y x C a b A C a bC P C y x h h R C P C M N AP MN h +==+∈已知椭圆：＞＞的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为求椭圆的方程；设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点、当线段的中点与的中点的横坐标相等时，】求【的最小值例()22212 . .114112b a x b b ay +=⎧=⎧⎪⎨⎨=⋅⎪==⎩⎩由题意解析：椭圆方程为，得，从而因此，所求的()211222212222222214221()()()|22.4(2)40.4(1)4()()40.16[2(2)4]0.2x t M x y N x y P t t h C P y t MN y tx t h C x tx t h t x t t h x t h MN C t h t h =+'==-++-+-=+--+--=∆=-++-+设，，，，，，则抛物线在点处的切线斜率为，直线的方程为：将上式代入椭圆的方程中，得即①因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以①式中的＞②设212332().22(1)x x t t h MN x x t +-==+线段的中点的横坐标是，则244342221.(1)10.2(1)401 3.320,401.1111.1t PA x x x x t h t h h h h h h h t h t h h +==+++=∆=+-≥≥≤-≤-+-≥==-==-设线段的中点的横坐标是，则由题意，得，即③由③式中的，得，或当时，＜＜，则不等式②不成立，所以当时，代入方程③得，将，代入不等式②的，检验成最小立以，值为．所()()()221222112210,0,02()0x y a b e F c a bF c Q x FQ a P x y QF T F Q PT TF T +=>>-==已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，，是椭圆外且不在轴上的动点，满足，点，是线段与椭圆的交点，点是【变式训练2线段上的点，且满足，求点】的轨迹．()()()1122121112222222121211()(),022,2.24x y 24y 44.T x y Q x y F c PT TF FQ a T F Q x c x y y FQ a x c y x a a a c c ==+==++=-++==+不妨设，，，，如图所示，．且，得为的中点．因此有，则可得，因此有，化简因为又因为得解析：【例3】如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1+y 2的值及直线AB 的斜率．()()()22121212211222.1,2221 2.22(1)(1)111.()()4 1.2PA PB PA PB PA PB y px P p p y y PA k PB k k x k x x x PA PB k k A x y B x y y x x ==⨯=--=≠=≠--==-=-由已知条件，可设抛物线的方程为因为点在抛物线上，所以，解得故所求设直线的斜率为，直线的抛物线的方程是，其准线方程是斜率为，则，．因为与的斜率存在且倾斜角互补，所以由，，，均解析：在抛物线22112244y x y x ==上，得， ① ， ②12121122122121221222241(2) 4.111()144AB y y y y k x x x x y y y y y y y AB y --=-+=-++=--===-≠-+---所以，所以，所以由①②得，直线的斜率为．2y x O A B OA OB AOB =⊥抛物线上异于坐标原点的两个相异的动点，满足，问：的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，【变式训练3】请说明理由．()12112212121222222222211221122121212121212()()111.124(x y )(x y )(y )(y )[y y ]2241y y A x y B x y OA OB x x y y x x AOB S S OA OB S y y y y y y y y y y S y y ⊥=-=-====++=++=+++=++≥+=≥=解析：设，，，．因为，则有，所以，不妨设的面积为，则因此有，因此，当且仅当()()min 11,11,11.A B S =-=时取到最小值．即此时，，小结：抛物线焦点弦的性质：直线l 过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F ，交抛物线于A 、B 两点，则有： (1)通径的长为2p ； (2)焦点弦公式：|AB |=x 1+x 2+p ；(3)x 1x 2=p 2/4，y 1y 2=-p 2. (4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切．第二课时一．知识体系小结 ()()()()()()122212222211221212121(0)||[]||[]||||[].123456tan ()21F PFx y F F a b P B a bO OP b a PF a c a c PF PF b a F PF F BF S b F PF θθ+=>>∈∈-+⋅∈∠≤∠==∠椭圆中的最值，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，为短轴的一个端点，为坐标原点，则有：，．，．，．．焦点弦以通．径为最短．()()()12221222211221(00)12||.||.()ta 23nF PF x y F F a b P a bb O OP a PFc a S F PF θθ∆-=>>≥≥-==∠．双曲线中的最值，为双曲线，的左、右焦点，为双曲线上的任一点，为坐标原点，则有：．()()()()()22(0)||.234||2.()12|2|31pP y px p F PF AB AB p A m n PA PF b aa b=>≥≥+抛物线中的最值点为抛物线上的任一点，为焦点，则有：焦点弦以通径为最值，即，为一定点，则有最小值．双曲线的渐近线求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解因式可得．用法：①可得或的值；②利用渐近线方程设所求双曲线．．的方程．()()()3512直线与圆锥曲线的位置关系相离；相切；相交．特别地，①当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个公共点．②当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有．一个公共点．【注】：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线：f (x ，y )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0f (x ，y )＝0消元(x 或y )，若消去y 得a 1x 2＋b 1x＋c 1＝0.（1）若a 1＝0，此时圆锥曲线不是椭圆．当圆锥曲线为双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行或重合．（2）若a 1≠0，Δ＝b －4a 1c 1，则 ①Δ＞0时，直线与圆锥曲线，有交点； ②Δ＝0时，直线与圆锥曲线，有的公共点； ③Δ＜0时，直线与圆锥曲线，没有．二．例题剖析1.定值问题()()22 1421()12x y M M A B M AB AMB +=已知椭圆方程为，点，，过作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于、两点异于．求证直线的斜率为定值；求面积的【例】最大值．解析：定点、定值、最值问题是圆锥曲线的综合问题，它涉及到直线，圆锥曲线的定义、方程及位置关系，同时又与三角、函数、不等式、方程、平面向量、导数等代数知识紧密联系．解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和识图能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整．()22 (0)((14111.2A B A B AB A BA B MA MA MB MA k k MA y k x x MB y k x y y y x x k x x AB >-=-=-+=-====-=证明：由题可知直线的斜率存在，且与的斜率互为相反数，不妨设直线的斜率为，则直线的方程为：，直线的方程为，代入可分别求得，即直线的斜率为定值.2()2222221(0)124222000 2.22 2.||2A B A BxAB y x m m yx mx m m x x m x x m AB=+≠+=++-=∆><<+=-=-==设直线的方程为，代入得，，由，得而，所以222422max1||20241 1.AMBM AB d S AB d m m mm S==⋅=-+<< =±=点到直线的距离为则，又，当时，2.定点问题()()()1517(0).44122322F P F xP P C C y MC A B AMBA B AMB AB yππ∠=∠=已知点，，上半平面内的点到点和轴的距离之和为求动点的轨迹方程；设动点的轨迹方程为，曲线交轴于点，在曲线上是否存在两点，，使？若，是曲线上满足的两点，求【例证：直线与轴】交于一定点．()()()217()0.44(04)0,421(041)P x y y yP x y yp y>==--<≤=<≤解析：设点坐标为，，其中，化简得动点的轨迹方程为．这是一个以为顶点，，开口向下的抛物线的一部分其中．()()()() 2444(04)1,31,32.2MA y x MB y x x y y A BAMBπ-=-=-=--<≤-∠=考虑到抛物线的对称性，不妨设直线：，直线：，分别与联立，可得两个点的坐标为，，此时()()()()()2222214 4.4,444111(4)314()030,3 AM y kx BM y xky kx x kA k kx y y kB AB k ABk k ky k k x k x y AB yk=+=-+=+=-⎧⎧--⎨⎨=-(-)=-⎩⎩----=-+==设直线的方程为，直线的方程为由方程组，解得，即点坐标为．同理可得点坐标为，，则直线的斜率为，所以直线的方程为.令，得，从而直线与轴交于定点．()()221169411822A(0)B(0)C C.4,0D(0)1055x yA FAF B B BC C AC-=设为双曲线右支上一动点，为该双曲线的右焦点，连接交双曲线于，过作直线垂直于双曲线的右准线，垂足为，则直线必过定点．，【变式训练1，】．．，:41(01.)0A AB x 解析此题也可采用探索法，考虑特殊情况，即与轴垂直时，便可得出一个定点，故选，3.最值问题()()()2210,14111()()22212||3y x M l A B O P OP OA OB N l M P NP +==+设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于、两点，是坐标原点，点满足，点的坐标为，．当绕点旋转时，求【例：动点的轨迹方程；的最大值】与最小值．()()222112221221212221220,1 1.1()()(4)230142144.()()()8222444:1l M k l y kx y kx A x y B x y k x kx y x k x x x x y y k k OP OA OB k k y y k =+=+⎧⎪++-=⎨+=⎪⎩⎧+=-⎪++-⎪+=+==⎨++⎪+=⎪+⎩直线过点，当斜率存在时，设其斜率为，则的方程为记，，，，由，得，所以，，解析则． ()()222222222()40.0,040.111112.||()()1644221713().||6126611||.44P x y k x y y AB P x y y P x x NP x y x x NP x NP +-=+-=≤-≤≤=-+-=-++=-=设点的坐标为，，则，消去得当斜率不存在时，的中点为原点，也满足上述方程．所以点的轨迹方程为由点的轨迹方程知，即所以故当时，当时，取得最小值为 ()()()()20,2(02)2,0||0()120|2|M N Q P m PQ MP NP m R P m MP NP --⋅=∈=+已知定点、，、，动点满足．求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形【变式训练2状；当时，】求的取值范围．()()22222222222()(2)(2)(2)||(2)()4[(2)]4(1)(1)4440.1222,01(1P x y MP x y NP x y PQ x y PQ x y MP NP x y m x y x y m x m y mx m m x y m x =-=+=--=-+-⋅=+--+=+--+--++===≠-设，，则，，，，，，，所以，整理得，当时，方程为，表示过点平行于轴的直线；当时，方程化为解析：2222)()1122(0)11m y m m m m m +=----，表示以，为圆心，以为半径的圆．()[]2222042(3,32)|2|94|2|4022|2|824,m x y MP NP x y MP NP x x y MP NP y MP NP =+=+=-+=+=+=≤+-≤当时，方程化为，，所以，所以而的取值范围是所以．第三课时一．知识体系小结()1求轨迹方程的常用方法：轨迹法：①建系设动点．②列几何等式．③坐标代入得方程．④化简方程．⑤除去不合题意的1．点作答．(2)待定系数法：已知曲线的类型，先设方程再求参数．(3)代入法：当所求动点随已知曲线上动点的动而动时用此法，代入法的步骤：①设出两动点坐标(x ，y )，(x 0，y 0)．②结合已知找出x ，y 与x 0，y 0的关系，并用x ，y 表示x 0，y 0. ③将x 0，y 0代入它满足的曲线方程，得到x ，y 的关系式即为所求．(4)定义法：结合几种曲线的定义，明确所求曲线的类型，进而求得曲线的方程． 3．有关弦的中点问题 (1)通法． (2)“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率．点差法的步骤：①将两交点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的坐标代入曲线的方程； ②作差消去常数项得到关于x 1+x 2，x 1-x 2，y 1+y 2，y 1-y 2的关系式． ③求出AB 的斜率 4．取值范围问题(1)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a +c ，最小值为a -c ； (2)双曲线上的点到左焦点的最小距离为c -a ； (3)抛物线上的点到焦点的距离的最小值为p /2 .二．例题剖析1.参数范围问题()()()(01)0,1||()12||1G ABC A B x M MA MC GM AB R C k l C P Q AP AQ k λλ∆-==∈=已知点是的重心，，，，在轴上有一点，满足，．求点的轨迹方程；若斜率为的直线与点的轨迹交于【例】不同的两点、，且满足，试求的取值范围．()22222222()()()33(0)||3()(01)()1(0)33131(0)3x yC x y G ABC G GM AB R xGM AB M x C y x x M MA MC x x xx y y x λλ∆=∈=++=-++=+=≠≠设，，为的重心，则，．因为，所以，而点的轨迹方程为点在轴上，则，．由，得，整理．析得以解：所 ()()()22222222220||.013(13)63(1)0*(6)4(13)3(1)0130**2k l C P Q x AP AQ k l y kx m y k x kmx m l km k m k m ==≠=++=+++-=∆=-+⋅->+->①当时，与椭圆有两个不同的交点、，由椭圆的对称性知②当时，可设的方程为，代入，整理得，，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，即， 211221212221200000222263(1)()()13133()21313113||13-13AN km m P x y Q x y x x x x k k x x km mPQ N x y x y kx m k k mk AP AQ AN PQ k k k km k -+=-=+++==-=+=++++=⊥⋅=⋅=-+设，，，，则，，则中点，的坐标为，，又，所以，所以，()()()()2213**11,00,121,1k m k k k +=<∈--得，代入得，所以．综合①②得，的取值范围是．222Rt 103ABC BC BC BC P Q l AP AQ PQ λ=++在中，斜边为，以的中点为圆心，作半径为的圆，分别交于、两点，设，试问是否是定值？如果是定值，请【变式训练1】求出这个值．()()222222222222336241002100366836104.O PQ O PAQ APDQ AP AQPQAD AD AO AP AQAP AQ PQ =+=+==+=+++=+=如图所示，建立直角坐标系．因为圆的半径为，因此，利用圆心，可构造得平行四边形，根据解析平行四边形的边长关系得，，而，因此，所以：2.存在性问题()()(01)220 3.132(0)(0)2||2x B x y k k Q l l M N BM BN l --+=≠=已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，，且其右焦点到直线的距离为求椭圆的方程；是否存在斜率为【例】，且过定点，的直线，使与椭圆交于不同的两个点、，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．()()22222222222221122122121(0)1(,0)22323.23151(13)902349(133)()1x y a b b c a b c c a b c x l y kx y k x kx kM x y N x x y y x x MN P k +=>>=+===+==++=+++++=-==+设椭圆方程为，由已知得，设右焦点为，由题意得，解析：得，所以，得设直线的方程为，代入，得，设，，，，则，设的中椭圆方程点为为，22222293()||26263112526093122625663..312332BP k P BM BN B MN k k k k k k k k kk l l y x -=++++=-==∆>>-+>=±=±+则点的坐标为，，因为，所以点在线段的中垂线上，所以，化简得，又由得，，因为，所以故存在直线满足题意，的方程为()()()()()2201()212,00l y px p A B l x OAB O l P a a x x C ABC a =>>设直线与抛物线交于、两点，已知当直线经过抛物线焦点且与轴垂直时，的面积为为坐标【原点．求抛物线的方程；当直线经过点且与轴不垂直时，若在轴上存在点，使得为正三角形，变求的取式训练2】值范围．()()()22112200212022********1112.222()()(),0(0)22022OAB p pAB p O AB S p p p y x A x y B x y AB M x y C t l x my a y y x my a m y my a y m y x x m a ABC MC ==⨯⨯=====+⎧+=+≠--===⎨=⎩=+解析：由条件可得，又点到的距离为，，所以，因此抛物线的方程为设，，，，的中点为，，又设，直线：，由，所以，所以，所以，因为为正三角形，所以003211AB MC AB y MC AB x t m⊥=⊥=--，，由，得，()()222220012122222222222331.22314212113120006261(0)6t m a MC AB x t y x x y y m a t m m m a m m m m a a m m a a =++=(-)+=(-)+(-)(+-)+=(+)⋅(+)+=++=-≠><<所以又，得，化简得，因此可得，所以，因为，所以，所以，所以的取值范围为，．3.综合问题()()()2221211213 41.1(2011)2()C x y C x y M M C P C P C C A B M P AB l =+-=已知抛物线：，圆：的圆心为求点到抛物线的准线的距离；已知点是抛物线上一点异于原点，过点作圆的两条切线，交抛物线于，两点，若过，两点的直线 l 垂直于，求直线浙江卷【例】的方程．()()10,421414.41174M p y M ==-+=解析：因为，且，所以准线方程为，因此点到准线的距离为()()()()()()()2222112212122222222222244()()()41() 1.20,411142412AB PMPM AB m P m mA x xB x x k x x k m m mPM AB k k x x m mP C k P y m k x m k k m m km m k m m -=+==-⊥⨯=-+-=--=-=+=+-+--+设，，，，，，，，因为，则，所以设过点且与圆相切的直线的斜率为，则过的圆的切线方程为，由圆心到切线的距离为，得所以，()()2224140m k m --+-=，()()()()()()222212112222112222121212221222(4)01042()1444232()12(1)()115PM m m k k y m k x m x k x m m m m x k y m k x m x k x m m m x k x x k k m x x m mm k k m m m m m m m m m m k --+=-=----=-+=-=----=+=+=+-+-=--+--=---=-=-==所以，设切线，则，所以，设切线，则，所以，所以，代入，得，所以，所以，234 4.115y x m -==±+()()22122211222212121(0)(,0)(,0)||2.0||0.12x y a b F c F c a bQ FQ a P FQ T F Q PT TF TF T C T C M F MF S b F MF +=>>-=⋅=≠∆=∠已知椭圆的左、右焦点分别是、．是椭圆外的动点，满足点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足，求点的轨迹的方程；试问：在点的轨迹上，是否存在点，使的【变式训练3】面积？若存在，求的正切值；若不存在，说明理由．()222111222121()0||0||2||2||1||||21T x y PT TF TF PT TF FQ PF PQ a PF PF a PQ PF T QF OT OT F F Q OT QF a T ⋅=≠⊥=+=+==∆==设，，因为，，所以，又，而由椭圆定义，所以，则为线段的中点，连结，为的中位线，则，即点的解析：轨迹方程222.x y a +=为 ()2222000002022022100200()||.122|2|()()x y a b M M x y y c S c y bb y a a M S b cb b a M a MFc x y MF c x y c c ⎧+=⎪=⎨=⨯⨯=⎪⎩≤≥=<≥=---=--假设存在点满足题意，设，，则，得而，当时，存在点，使；当时，不存在点．当时，，，，，222222212001212212121212||||cos 1||||sin .tan 2.22.MF MF x c y a c b MF MF F MF b S MF MF F MF b F MF M F MF ⋅=-+=-=∠==∠=∠=∠，即，又所以即存在点满足题意，且的正切值为第四课时直线与圆锥曲线的位置关系训练题A 组（基本训练题）一选择题：（每题5分，合计40分）1．抛物线y x 42=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点，若621=+y y ，则21P P 的值为（C ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．102. 过点（2，4）作直线与抛物线x y 82=有且只有一个公共点，这样的直线有（ B ）Ａ．一条Ｂ．两条Ｃ．三条Ｄ．四条3. 平面内有一线段ＡＢ，其长为33，动点Ｐ满足3=-PB PA ，Ｏ为ＡＢ的中点，则OP 的最小值为（ A ）Ａ．23Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３ 4. 过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ B ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在5双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）AB ．CD ．36直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则m 的取值范围是（ A ）Ａ．[)()+∞,55,1 Ｂ．（０，５）Ｃ．[)+∞,1 Ｄ．（１，５）7.过点（1，0）且与双曲线x 2－y 2=1只有一个公共点的直线有（ C ）A ．1 条B ．2条C ．3 条D ．4条8．已知动点P （x ,y ）满足 5（x-1）2+(y-2)2=|3x+4y-11|，则P 点的轨迹是（ A ） A 、直线 B 、抛物线 C 、双曲线 D 、椭圆二．填空题：（每题5分，合计30分）9. 一动点到y 轴的距离比到点(2，0)的距离小2，这个动点的轨迹方程是_______. （答案：y 2=8x 或y=0（x<0））10. 经过双曲线1322=-y x 的右焦点F 2作倾斜角为︒30的弦AB ，则AB F 1∆的周长为 .( 答案： 333+ )11. 过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A B ，两点，O 为坐标原点，则OAB △的面积为．（答案：53）12. 直线y=x －3与抛物线y 2=4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积是．4813. 过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若=AB 4，则满足条件的直线l 有____条314. 设P 是抛物线y 2=2x 上的点，Q 是圆（x －5）2+y 2=1上的点，则|PQ|的最小值为 2 三．解答题：（每题15分，合计30分） 15. 已知点P 是⊙O ：229x y +=上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ,动点Q 满足23DQ DP =. （1）求动点Q 的轨迹方程；（2）已知点(1,1)E ，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点M 、N ，使1()2OE OM ON =+ (O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由.解：（1）设()00(,),,P x y Q x y ，依题意，则点D 的坐标为0(,0)D x ∴00(,),(0,)DQ x x y DP y =-=，又 23DQ DP =∴ 000002332x x x x y y y y -==⎧⎧⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩即， ∵ P 在⊙O 上，故22009x y +=∴ 22194x y += ， ∴ 点Q 的轨迹方程为22194x y +=（2）假设椭圆22194x y +=上存在两个不重合的两点()1122(,),,M x y N x y 满足1()2OE OM ON =+，则(1,1)E 是线段MN 的中点，且有12121212122212x x x x y y y y +⎧=⎪+=⎧⎪⎨⎨++=⎩⎪=⎪⎩即，又 ()1122(,),,M x y N x y 在椭圆22194x y +=上∴ 22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减，得 ()()()()12121212094x x x x y y y y -+-++=， ∴ 121249MN y y k x x -==--， ∴ 直线MN 的方程为 49130x y +-=. ∴ 椭圆上存在点M 、N 满足1()2OE OM ON =+，此时直线MN 的方程为 49130x y +-=16. 设1F 、2F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点.（1）设椭圆C 上点3(3,)2到两点1F 、2F 距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）设K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1KF 的中点B 的轨迹方程；（3）设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与椭圆相交于M ，N 两点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为PM k ，PN k ，试探究PM PN k K ⋅的值是否与点P 及直线L 有关，不必证明你的结论。

直线与圆锥曲线综合问题

直线与圆锥曲线的的综合问题（1）题型一。

直线与圆锥曲线的位置关系例1.直线l ：3x ＋y －6＝0与圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0位置关系为_______．例2.直线y=x+m 和椭圆4x 2＋y 2=1，当直线与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围。

例3.已知直线1:-=kx y L 与双曲线22:y x C -=4。

若直线L 与双曲线C 有一个公共点，求k 的范围；例4.过点(0,2)的直线l 与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点，求直线l 的方程。

题型二。

直线与圆锥曲线的相交的弦长问题例5.直线l ：3x ＋y －6＝0被圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0截得的弦长为_______．例6.直线x －y ＋1=0被椭圆11222=+y x 截得的弦长为.例7.过双曲线16322=-y x 的右焦点2F ，倾斜角为030的直线交双曲线于A 、B 两点，求AB 。

例8.直线l斜率为1且与抛物线y2=4x相交于A,B两点。

（1）直线l经过抛物线的焦点F，求AB。

（2）直线l经过点M（2，0），求AB。

题型三。

直线与圆锥曲线的相交的弦中点问题例9.已知P(－1,2)为圆x2＋y2＝8内一定点．直线l过点P且被圆所截得的弦中点P，求直线l方程_________________.例10.已知一直线与椭圆369422=+yx相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的直线方程例11.过点M(2,1)是否存在直线l交双曲线1222=-yx于P、Q两点，且M是线段PQ的中点。

例12.已知抛物线C：y2＝4x，设直线与抛物线两交点为A、B，且线段AB中点为M（2，1），则直线l 的方程为________________________.直线与圆锥曲线的的综合问题（2）题型四。

最值问题例1、已知椭圆192522=+y x 和直线:45400l x y -+=，试推断椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？例2.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(.(1)求双曲线C 的方程； (2)若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA (其中O 为原点)，求k 的取值范围.例3.（1）点A （2，3），F 为抛物线y 2=6x 焦点，P 为抛物线上动点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A.5B.4.5C.3.5D.不能确定变式：A （2，5）题型五.垂直问题例4.求m 为何值时，直线y ＝mx ＋2与圆x 2＋y 2＝2相交于P 、Q 两点，且满足OP ⊥OQ ？(O 为坐标原点)例5.直线y ＝x ＋b 与抛物线y 2＝4x 相交于P 、Q 两点，且满足OP ⊥OQ ？(O 为坐标原点)，求b.6.已知椭圆2222b y ax +=1(a ＞b ＞0)的离心率e=36，过点A （0，-b ）和B （a ，0）的直线与坐标原点距离为23.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E （-1，0），若直线y=kx+2(k ≠0)与椭圆相交于C 、D 两点，试判断是否存在k 值，使以CD 为直径的圆过定点E ？若存在求出这个k 值，若不存在说明理由.题型六.综合问题1．一动圆过定点)0,2(-A ，且与定圆12)2(22=+-y x 相切。

4.直线与圆锥曲线综合问题

直线与圆锥曲线综合问题一：位置关系判断与公共点个数问题1. 已知椭圆,19422=+y x 一组平行直线的斜率是.23 问：这组直线何时与椭圆相交、相切、相离.2. 已知双曲线,422=-y x 直线1-=kx y ，讨论满足下列条件的实数k 的取值范围.（1）直线l 与双曲线有两个公共点；（2）直线l 与双曲线有且只有一个公共点；（3）直线l 与双曲线没有公共点.3. 已知抛物线,2:2x y C -=过点()1,1P 斜率为k 的直线l .当k 分别取何值时，l 与C 有且只有一个公共点、有两个公共点、无公共点.1. 已知椭圆12222=+b y a x 离心率为23，且过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,3P （1）求椭圆的标准方程（2）已知斜率为1的直线l 过椭圆的右焦点与椭圆交于A ，B 两点，，求弦长|AB|.2. 已知斜率为2 的直线l 交双曲线12322=-y x 所得弦长为,6求直线l 的方程.特殊情况：抛物线焦点弦问题3. 直线12:+=x y l 与抛物线y x C 4:2=交于B A ,两点，求弦长AB .1.（2013新课标1）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为（）A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1 2. （2014江西）过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于．3. 已知椭圆193622=+y x 和点(),2,4P .直线l 经过点P 且与椭圆交于B A ,两点. （1）当直线l 的斜率为21时，求弦AB 的长；（2）当P 恰好为线段AB 的中点时，求直线l 的方程.4. 已知椭圆,19422=+y x 一组平行直线的斜率是.23当这组直线与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上.5. （2010新课标）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过P 的直线l 与E 相交于A ，B 两点, 若AB 的中点为(12,15)N --,则计算E 的标准方程.6.已知双曲线,1222=-y x 是否存在被点()1,1B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由.7. 过点()1,4Q 作抛物线x y 82=的弦,AB 恰被点Q 所平分，求AB 所在直线方程.四：与圆锥曲线有关的最值、定值问题1.（教材47页例7）已知椭圆192522=+y x ，直线04054:=+-y x l .椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小（大）？求出最小（大）距离时多少？2. 设抛物线,4:2x y C =F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 交于A,B 两点（1）若l 的斜率为2，求AB ；（2）求证：B O A O ⋅为定值.3. （2015陕西）如图，椭圆E （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点,P Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2．4.(2014新课标1) 已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，F是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点．（Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．。

直线与圆锥曲线的综合问题