2015山东省大学生数学竞赛(专科)试卷2015总决赛答案

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山东省大学生数学竞赛（专科）总决赛试卷

（非数学类，2015）

一、填空题（每小题5分，共30分）

一、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在题中横线上。）

1. 已知1

)1(42

+=+x x x x f ，)(x f =___________. 2. 设8)2(lim =-+∞→x x a

x a x ，则a =___________. 3. 设方程x y e

xy cos 2=+确定y 为x 的函数，则dx

dy =_________________. 4. 曲线22)3()1(--=x x y 的拐点个数为__________个.

5. 求不定积分=___________.

2 02 d 6.

cos d ______.d x x t t x

=⎰

二、综合题（本题共6小题，共70分，请写出相应演算步骤。）

1. （15分）

1cos ,0()sin 0,

0(1)0(2)'().

x x f x x x x x f x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩=讨论函数在处的连续性和可导性；求出导函数

2. （12分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==f f ，1)21(=f ，试证：

（1）存在)1,21(∈η，使得ηη=)(f （2）对任意实数λ，必存在),0(ηξ∈，使得1])([)(=--'ξξλξf f

3. （13分）求dx x t t 1

0 ⎰-

4. （10分）求平面上的圆盘)0()(222b a a y b x <<≤+-绕y 轴旋转所得圆环体的体积.

5. （10分）选做题（考生在下面两道题中选择一道作答，答题时请标明题号，两题全答的只计算一题得分。）

2222222(1)r r r r r x y z ∂∂∂=++=∂∂∂已知成立.

（2）设函数)(x f y =满足条件⎩⎨⎧-='==+'+''4

)0(,2)0(044y y y y y ，求广义积分⎰∞+ 0 )(dx x y . 6. （10分）选做题（考生在下面两道题中选择一道作答，答题时请标明题号，两题全答的只计算一题得分。）

（1）一平面过M 1（1,1,1）和M 2（0,1，-1），且垂直于平面0=++z y x ，求其方程.

（2）已知级数Λ-+-=-∑∞=-3

2)1(3

211x x x n x n n n 求收敛半径及收敛域.