最小二乘法原理及算例优秀课件
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第3章4节最小二乘法(课堂PPT)
§4 曲线拟合的最小二乘法
1 最小二乘法及其计算
在函数的最佳平方逼近中 f (x) C如[a果, b],
f (x)
只在一组离散点集 {xi , i 0,1,上给, m定}，这就是科 学实验中经常见到的实验数据 {(xi , yi ),i 0的,1, , m} 曲线拟合.
1
问题为利用 yi f (xi ),i 求0出,1一,个, m函,数 y S * (x) 与所给数据{(xi , yi ),i 0,拟1,合. , m}
7
Ga d ,
其中 a (a0 , a1, , an )T , d (d0 , d1, , dn )T ,
(0 ,0 ) (0 ,1)
G
(1
,
0
)
(1 , 1 )
(0 ,n )
(1
,
n
)
.
n (n ,0 ) (n ,1) (n ,n )
(k , j )a j dk (k 0,1, , n).
6
若记
m
( j ,k ) ( xi ) j ( xi )k ( xi ), i0 m
( f ,k ) (xi ) f (xi )k (xi ) dk i0 (k 0,1, , n).
上式可改写为
n
(k , j )a j dk
j 0
(k 0,1, , n).
这个方程称为法方程，可写成矩阵形式
要使j法0 方程有唯一解， 就要求矩阵 非奇G异，
而 0 (x),1(x),在 ,n上(x线) 性[无a,关b]不能推出
矩阵 G非奇异，必须加上另外的条件.
8
例如
（0 x) sin x,（1 x) sin 2x,显然（0 x)，（1 x)线性无关。 取X {x0,...,x4} {0, ,2 ,3 ,4}, （0 x j ) （1 x j ) 0; j 0,...,4
1 最小二乘法及其计算
在函数的最佳平方逼近中 f (x) C如[a果, b],
f (x)
只在一组离散点集 {xi , i 0,1,上给, m定}，这就是科 学实验中经常见到的实验数据 {(xi , yi ),i 0的,1, , m} 曲线拟合.
1
问题为利用 yi f (xi ),i 求0出,1一,个, m函,数 y S * (x) 与所给数据{(xi , yi ),i 0,拟1,合. , m}
7
Ga d ,
其中 a (a0 , a1, , an )T , d (d0 , d1, , dn )T ,
(0 ,0 ) (0 ,1)
G
(1
,
0
)
(1 , 1 )
(0 ,n )
(1
,
n
)
.
n (n ,0 ) (n ,1) (n ,n )
(k , j )a j dk (k 0,1, , n).
6
若记
m
( j ,k ) ( xi ) j ( xi )k ( xi ), i0 m
( f ,k ) (xi ) f (xi )k (xi ) dk i0 (k 0,1, , n).
上式可改写为
n
(k , j )a j dk
j 0
(k 0,1, , n).
这个方程称为法方程，可写成矩阵形式
要使j法0 方程有唯一解， 就要求矩阵 非奇G异，
而 0 (x),1(x),在 ,n上(x线) 性[无a,关b]不能推出
矩阵 G非奇异，必须加上另外的条件.
8
例如
（0 x) sin x,（1 x) sin 2x,显然（0 x)，（1 x)线性无关。 取X {x0,...,x4} {0, ,2 ,3 ,4}, （0 x j ) （1 x j ) 0; j 0,...,4
最小二乘法PPT课件
4
模型2（幂函数模型）
线性模型并未得到广泛的接受，要改进结果，能够 想到的自然首先是幂函数模型，即令L=kBa，对此式 取对数，得 到lnL=lnk+a lnB。将原始数据也取对数， 问题即转化了线性模型，可用最小二乘法求出参数。 几十年前英国和爱尔兰采用的比较举重成绩优劣 的 Austin公式：L′=L/B3/4就是用这一方法求得的。
67.5
135
146.1(5) 144.8(5) 144.7(6) 145.8(5)
75
145
145.0(6) 145.0(3) 145.0(5) 145.0(6)
42.5
162.5 151.3(1) 152.2(1) 153.5(1) 152.1(1)
体重 抓举成绩 (公斤) (公斤)
Austin( 幂函数)
经典公式
O’ Carroll
Vorobyev
52
105
138.2(7) 134.0(8) 139.7(8) 138.8(7)
56
117.5 146.3(4) 142.8(6) 145.7(4) 146.6(4)
60
125
147.8(3) 145.0(3) 146.2(3) 147.7(3)
和挺举。52 表中给出了1到09 1977年底为14止1 九个
重量级的56世界纪录。120.5
151
60
130
161.5
显然，运动67员.5 体重越大，他1能41举.5 起的重量也越1大80，但举重
成绩和运动75员体重到底是怎1样57关.5 系的，不同量1级95运动员的 成绩又如何比较优劣呢？运动成绩是包括生理条件、心理 因素等等众82多.5 相关因素共同1作70用的结果，要建20立7.精5 确的模
模型2（幂函数模型）
线性模型并未得到广泛的接受，要改进结果，能够 想到的自然首先是幂函数模型，即令L=kBa，对此式 取对数，得 到lnL=lnk+a lnB。将原始数据也取对数， 问题即转化了线性模型，可用最小二乘法求出参数。 几十年前英国和爱尔兰采用的比较举重成绩优劣 的 Austin公式：L′=L/B3/4就是用这一方法求得的。
67.5
135
146.1(5) 144.8(5) 144.7(6) 145.8(5)
75
145
145.0(6) 145.0(3) 145.0(5) 145.0(6)
42.5
162.5 151.3(1) 152.2(1) 153.5(1) 152.1(1)
体重 抓举成绩 (公斤) (公斤)
Austin( 幂函数)
经典公式
O’ Carroll
Vorobyev
52
105
138.2(7) 134.0(8) 139.7(8) 138.8(7)
56
117.5 146.3(4) 142.8(6) 145.7(4) 146.6(4)
60
125
147.8(3) 145.0(3) 146.2(3) 147.7(3)
和挺举。52 表中给出了1到09 1977年底为14止1 九个
重量级的56世界纪录。120.5
151
60
130
161.5
显然，运动67员.5 体重越大，他1能41举.5 起的重量也越1大80，但举重
成绩和运动75员体重到底是怎1样57关.5 系的，不同量1级95运动员的 成绩又如何比较优劣呢？运动成绩是包括生理条件、心理 因素等等众82多.5 相关因素共同1作70用的结果，要建20立7.精5 确的模
最小二乘法简介PPT课件
为消除异方差的影响，使各项的地位相 同，观测值的权数取观测值误差项方差 的倒数，即 ωi=1/σi2
在实际问题中，σi2通常是未知的，当自 变量水平以系统的形式变化时，取 ωi=1/xi2
-
15
5.3 WLS模型
加权后的最小二乘估计模型为:
n
s （i yi a bxi）2 i 1
令 s 0, s 0 a b
n
n
n
xi
y
－
i
xi
yi
i1
i1
i1
n
n
i1
x
2 i
－
n
i1
xi
2
-
a
＝
1 n
n
y
－
i
i1
b n
n
xi
i1
8
2、多元性拟合
设变量y与n个变量x1,x2,…,xn(n≥1)内在联系是
线性的，即有y=a0+∑ajxj(j=1,...,n)。
m
n
s （yi a0 a j xij）2
i 1
j 1
令 s 0, s 0 a0 a j
s
a
0
m
2
yi
i1
a0
n
a
j xij
j 1
0
s a1
2
m
i1
yi
a0
n
j 1
a
j
x ij
x
i1
0
s
a
n
m
2
yi
a0
n
a
j xij
x
i
n
i1
j 1
0
- a0,a1,,am的值9
在实际问题中，σi2通常是未知的，当自 变量水平以系统的形式变化时，取 ωi=1/xi2
-
15
5.3 WLS模型
加权后的最小二乘估计模型为:
n
s （i yi a bxi）2 i 1
令 s 0, s 0 a b
n
n
n
xi
y
－
i
xi
yi
i1
i1
i1
n
n
i1
x
2 i
－
n
i1
xi
2
-
a
＝
1 n
n
y
－
i
i1
b n
n
xi
i1
8
2、多元性拟合
设变量y与n个变量x1,x2,…,xn(n≥1)内在联系是
线性的，即有y=a0+∑ajxj(j=1,...,n)。
m
n
s （yi a0 a j xij）2
i 1
j 1
令 s 0, s 0 a0 a j
s
a
0
m
2
yi
i1
a0
n
a
j xij
j 1
0
s a1
2
m
i1
yi
a0
n
j 1
a
j
x ij
x
i1
0
s
a
n
m
2
yi
a0
n
a
j xij
x
i
n
i1
j 1
0
- a0,a1,,am的值9
最小二乘估计课件(43张)
栏目导航
30
2．已知变量 x，y 有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程．
栏目导航
[解] (1)散点图如下图所示．
31
栏目导航
(2) x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝1＋3＋4 4＋5＝143，
4
i∑＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， i∑＝41x2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b＝393－0－4×4×52×521243＝1130，
(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直 线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．
栏目导航
25
[思路探究] (1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关 关系，并作出拟合直线；
(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可．
栏目导航
26
[解] (1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散 点图，如下图．
32
栏目导航
a＝143－1130×52＝0， 故所求回归直线方程为 y＝1130x.
33
栏目导航
34
1．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进 行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之
间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
栏目导航
8
2．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 y
＝bx＋a 必过( )
x
30
2．已知变量 x，y 有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程．
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[解] (1)散点图如下图所示．
31
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(2) x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝1＋3＋4 4＋5＝143，
4
i∑＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， i∑＝41x2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b＝393－0－4×4×52×521243＝1130，
(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直 线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．
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25
[思路探究] (1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关 关系，并作出拟合直线；
(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可．
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26
[解] (1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散 点图，如下图．
32
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a＝143－1130×52＝0， 故所求回归直线方程为 y＝1130x.
33
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34
1．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进 行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之
间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
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8
2．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 y
＝bx＋a 必过( )
x
最小二乘法原理及算例PPT学习教案
强度 kg/mm2
5.5 5.0 5.5 6.4 6.0 5.3 6.5 7.0 8.5 8.0 8.1 8.1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
第3页/共33页
从上图中可以看出强度与拉伸倍数大致成线形关系， 可用一条直线来表示两者之间的关系。
解：设 y*=a+bxi ，令δ=yi-y*i=yi-a-bxi，根据最
（ 0 ，0 ）=5，（1， 1）=1.875，（ 2 ，2）=1.3828 （0 ，1）=（ 1 ，0）=2.5,（0 ，2）=（ 2 ，0）=1.875 （1 ，2）=（ 2 ，1）=1.5625 （y ， 0）=8.7680，（y，1）=5.4514，（ y，2）=4.4215
第21页/共33页
( x) a0 a1 x a2 x2 ... an xn
则以同样原理,的相应法方程组(共有m组数据且m n)
m
xi
xi
x2 i
... ...
xn i
a0
x n1
i
a1
y i
xi
y i
... ... ... ... ... ...
xn i
xn1 i
...
x2 i
主页
第24页/共33页
解:取 M=Span（1，x，x2 ） 其三个基函数为 j （x）=x j j=0, 1, 2 拟和函数 是基函数的线性组合:
（x）=c0+c1x+c2 x2 取0=1==4=1 ,由公式
5
5
（ j，k）= xi j+k， （y， k）= y i x i k ，
最小二乘参数辨识方法及原理PPT学习课件
Gauss（1777-1855）
m
使 w(k ) | z(k ) y最(k小) |2 k 1
1、问题的提出
1795年，高斯提出的最小二乘的基本原理是
未知量的最可能值是使各项实际观测值和计 算值之间差的平方乘以其精确度的数值以后的和 为最小。
z(k) y(k) v(k)
Gauss（1777-1855）
Z m H m Vm
2.2 一般最小二乘法原理及算法
最小二乘的思想就是寻找一个 的估计值ˆ ，使得各次测量 的 Z i (i 1, m) 与由估计ˆ 确定的量测估计 Zˆi Hiˆ 之差的平方
和最小，即
J (ˆ) (Zm Hmˆ)T (Zm Hmˆ) min
J
ˆ
2H
T m
(Z
m
H mˆ)
i1
2.2 一般最小二乘法原理及算法
u(k )
y(k )
G(k )
v(k ) z(k )
图 3.4 SISO 系统的“灰箱”结构
G(z)
y(z) u(z)
b1z 1 b2 z 2 1 a1z 1 a2 z 2
bn z n an z
n
n
n
y(k ) ai y(k i) biu(k i)
i 1
0 0
J a J b
a b bˆ
aˆ
N
2 (Ri a bti )
i 1 N
2 (Ri a bti )ti
i 1
0 0
Naˆ
N
bˆ
N i 1
ti
N
N i 1
Ri
N
aˆ
i 1
ti
bˆ
t
2 i
i 1
最小二乘法PPT课件
教学内容 最小二乘法
教学目的:1.通过实例使学生体会变量间的相关 性 2.根据散点图对线性相关关系进行直 线拟合，从而对整体进行估计 教学重点:1、相关关系的判断
2、画散点图
3、用最小二乘法求回归直线方程
教学器材：多媒体电脑
复习：
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相关关系的判断
2、线性相关：寻找一条直线。
y
O
X
求最小值－－－－最小二乘法
（1）列表
2 3 4
5
2.2 3.8 5.5
6.5
4 9
4.4
11.4 22
32.5
16
25
6
合计
20
7.0
25
36
90
42
112.3
（2）x = 10
, y = 12.38
自学： P65
探究： P67
例1
例2
作业：P79
复习题一
4、 7
步骤：1、列表求出 2、代入公式求 a 、b 3、写出线性回归方程
例1、假设关于某设备的使用年限x和所支出
的维修费用y（万元）有如下统计资料：
x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0
(1) 求回归直线方程；（2）估计使用10年 时，维修费用约是多少？ 解：根据散点图知 x 与 y 成线性相关关系
教学目的:1.通过实例使学生体会变量间的相关 性 2.根据散点图对线性相关关系进行直 线拟合，从而对整体进行估计 教学重点:1、相关关系的判断
2、画散点图
3、用最小二乘法求回归直线方程
教学器材：多媒体电脑
复习：
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相关关系的判断
2、线性相关：寻找一条直线。
y
O
X
求最小值－－－－最小二乘法
（1）列表
2 3 4
5
2.2 3.8 5.5
6.5
4 9
4.4
11.4 22
32.5
16
25
6
合计
20
7.0
25
36
90
42
112.3
（2）x = 10
, y = 12.38
自学： P65
探究： P67
例1
例2
作业：P79
复习题一
4、 7
步骤：1、列表求出 2、代入公式求 a 、b 3、写出线性回归方程
例1、假设关于某设备的使用年限x和所支出
的维修费用y（万元）有如下统计资料：
x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0
(1) 求回归直线方程；（2）估计使用10年 时，维修费用约是多少？ 解：根据散点图知 x 与 y 成线性相关关系
最小二乘法PPT课件
第2页/共74页
一、问题背景
• 在多数估计和曲线拟合的问题中，不论是 参数估计还是曲线拟合，都要求确定某些(或 一个)未知量，使得所确定的未知量能最好地 适应所测得的一组观测值，即对观测值提供 一个好的拟合。
• 解决这类问题最常用的方法就是最小二乘 法。
• 在一些情况下，即使函数值不是随机变量， 最小二乘法也可使用。
数
，aˆ1
，…，
aˆ2
。这样aˆk求出的参数叫参数的最小二乘估计。
第6页/共74页
正规方程
=最小
• 根据数学分析中求函数极值的条件：
共得k个方程，称正规方程，求此联立方程的解可得出诸参数估计值
(j＝1，2，…，k)。 aˆ 等精度观测的情况，若诸观测值yi是不等精度的观测，即它们服从不 同的方差σi2的正态分布N(0，1)，那么也不难证明，在这种情况下，最小二乘 法可改为：
正规方程(5—19)组，还可表示成如下形式
表示成矩阵形式为
第23页/共74页
线性参数正规方程的矩阵形式
又因
（5-21）
有 即 若令 则正规方程又可写成 若矩阵C是满秩的，则有
（5-22）
（5-22） （5-23）
第24页/共74页
的数学期望Xˆ
因 可见 Xˆ 是X的无偏估计。
式中Y、X为列向量(n ×1阶矩阵和t×l阶矩阵)
例5．3
• 试求例5．1中铜棒长度的测量精度。
已知残余误差方程为 将ti，li，值代人上式，可得残余误差为
第43页/共74页
（二）不等精度测量数据的精度估计
不等精度测量数据的精度估计与等精度测量数据的精度估计相似，只是公 式中的残余误差平方和变为加权的残余误差平方和，测量数据的单位权方差 的无偏估计为
一、问题背景
• 在多数估计和曲线拟合的问题中，不论是 参数估计还是曲线拟合，都要求确定某些(或 一个)未知量，使得所确定的未知量能最好地 适应所测得的一组观测值，即对观测值提供 一个好的拟合。
• 解决这类问题最常用的方法就是最小二乘 法。
• 在一些情况下，即使函数值不是随机变量， 最小二乘法也可使用。
数
，aˆ1
，…，
aˆ2
。这样aˆk求出的参数叫参数的最小二乘估计。
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正规方程
=最小
• 根据数学分析中求函数极值的条件：
共得k个方程，称正规方程，求此联立方程的解可得出诸参数估计值
(j＝1，2，…，k)。 aˆ 等精度观测的情况，若诸观测值yi是不等精度的观测，即它们服从不 同的方差σi2的正态分布N(0，1)，那么也不难证明，在这种情况下，最小二乘 法可改为：
正规方程(5—19)组，还可表示成如下形式
表示成矩阵形式为
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线性参数正规方程的矩阵形式
又因
（5-21）
有 即 若令 则正规方程又可写成 若矩阵C是满秩的，则有
（5-22）
（5-22） （5-23）
第24页/共74页
的数学期望Xˆ
因 可见 Xˆ 是X的无偏估计。
式中Y、X为列向量(n ×1阶矩阵和t×l阶矩阵)
例5．3
• 试求例5．1中铜棒长度的测量精度。
已知残余误差方程为 将ti，li，值代人上式，可得残余误差为
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（二）不等精度测量数据的精度估计
不等精度测量数据的精度估计与等精度测量数据的精度估计相似，只是公 式中的残余误差平方和变为加权的残余误差平方和，测量数据的单位权方差 的无偏估计为
D9_10最小二乘法 高等数学(同济大学)课件
0123456 7 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8
27.125
26.518
25.911
25.303
26.821
26.214 25.607
25.000
yi
f (ti )
－0.125 －0.018 －0.021
0.189 0.086
－0.003 0.093 －0.200
*第十节 最小二乘法
第九章
问题的提出: 已知一组实验数据
求它们的近似函数关系 y＝f (x) .
需要解决两个问题:
1. 确定近似函数的类型
y
• 根据数据点的分布规律
• 根据问题的实际背景
o
x
2. 确定近似函数的标准
•实验数据有误差, 不能要求 yi f (xi )
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大致在一条直线上, 故可设经验公式为
y axb
列表计算:
o
t
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i ti 00 77
28
ti2
yi
yiti
0 27.0 0
49 24.8 137.6
140 208.5 717.0
得法方程组 140a 28b 717 28a 8b 208.5
解得 a 0.3036, b 27.125, 故所求经验公式为 y f (t) 0.3036t 27.125
例1. 为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀
具的厚度, 得实验数据如下:
0 1 2 3 4 5 67
0 1 2 3 4 567 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8
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小二乘原理，即使误差的平方和达到最小，也就是令
•
Q=n∑δi2
•
i=1
为最小 ，即求使
y x) ••
• ••
(a,b)=
24
24
2 ( ab
2
i
i
i
i1
i1
有最小值的a和b的值。
• 计算出它的正规方程得
24a12.57b11.13 12.57a82.69b173.610
• 解得： a=0.15 , b=0.859 直线方程为：y*=0.15+0.859x
1. 作为曲线拟合的一种常 见情况 , 拟合函数常为代数多项 式: ,
即拟合函数 :
( x ) a 0 a1 x a 2 x2 ... a n xn
则以同样原理 ,的相应法方程组 (共有 m组数据且 m n)
m
xi
xi
x2 i
... ...
xn i
a0
x
n i
1
a
1
y xi
i1
i1
最小,此即称为最小二乘原理
•最小二乘法的求法
设近似方程为
: ( 共有 m 组数据且 m n)
a a a y *
(x)
( x ) ...
(x)
0
0
1
1
n
n
a a a y y ( , ,...,
0
1
m
*
) (
n
i
) 2 min
i
i1
对函数
m
No 求偏导数并令其为零 n
, 可得 : 0
aj
2(
a k
x( )
k
i
y ) i
x( )
j
i
0
Image i1
k0
a x x y x 得
:
2
m
n
i1 k 0
k
()
k
i
m
( )
j
i
i1
i
(
j
i
)
0
若引入记号
m
x x : ,
() ()
j
k
i1
j
i
k
i
m
x y , f
()
j
i1
9
4.0
10
4.0
11
4.5
12
4.6
强度 kg/mm2
1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5 3.0 2.7 4.0 3.5 4.2 3.5
编号
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
拉伸倍数
5.0 5.2 6.0 6.3 6.5 7.1 8.0 8.0 8.9 9.0 9.5 10.0
解 1 .确 定 V = ( I ) 的 形 式 。将 数 据 点 描 绘 在 坐 标 上（ 如
下 图 ）， 可 以 看 出 这 些 点 在 一 条 直 线 的 附 近 ， 故 用 线
形拟合数据，即
V a0 a1I 2.建 立 方 程 组 。
二 线性最小问题的存在与唯一
• 在科学实验中，很多情况数据间存在线性或可转化为 线性的关系。线性最小二乘是最基本也是最重要的一 种。
a n 0
a n
1 ...
a n n
,f
0
,f
1
...
,
n
f
可知
a 当 ( x ), ( x ),... ( x ) 线性无关时 存, 在唯一解
0
1
n
i ( i 0 ,1,..., n )
n
a i i ( x )就是所求的拟合函数
i0
•最小二乘法的几种特例
最小二乘法原理及算例
实例讲解
• 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直 接关系，下表是实际测定的24个纤维样 品的强度与相应拉伸倍数的记录。
• 提示：将拉伸倍数作为x, 强度作为y,在座 标纸上标出各点，可以发现什么?
数据表格
编号 拉伸倍数
1
1.9
2
2.0
3
2.1
4
2.5
5
2.7
6
2.7
7
3.5
8
3.5
• 1 线性最小二乘问题与线性最小二乘求解 设 Ax=b
•
其中 AR mn，bR m，x R n
当mn 时，上方程超定方程组
• 令 r =b-Ax ， 一般，超定方程无通常意义下解，
j
i
i
n
a 则有 :
, , f
k
j
k0
k j
可得矩阵
( j 0 ,1,..., n )
, , ...
0 0
0
1
, , ...
1
0
...
n , 0
1
1
...
...
, ...
n
1
, 0
, 1 ...
, n
即 m
xi
xxi2iab00
y
i
xi yi
解得a0 , b0即可
例题
下面举个例子以说明用最小二乘法解题的步骤。
例 电 流 通 过 2Ω 电 阻 ， 用 伏 安 法 侧 得 的 电 压 电 流 如
表
I(A ) 1 2 4 V (V ) 1.8 3.7 8.2 用最小二乘法处理数据。
6 8 10 12.0 15.8 20.2
强度 kg/mm2
5.5 5.0 5.5 6.4 6.0 5.3 6.5 7.0 8.5 8.0 8.1 8.1
9 8 7 6 5
4 3 2 1 0
0
2
4
6
8
10
12
• 从上图中可以看出强度与拉伸倍数大致成线形关系， 可用一条直线来表示两者之间的关系。
• 解：设 y*=a+bxi ，令δ=yi-y*i=yi-a-bxi，根据最
一 问题的提出
插值法是使用插值多项式来逼近未知或复杂函数的，它 要求插值函 数与被插函数在插值节点上函数值相同 ，而在其他点上没有要求。在非 插值节点上有时函数值会相差很大 。若要求在被插函数的定义区间上， 所选近似函数都能与被插函数有较好的近似，就是最佳逼近问题。 最佳逼近是在函数空间 M中选 P(x) 满足
mfa (x)x p (x)m in(*)
a x b
但由于绝对值函数不宜进行分析运算,常将上式化为
a b(x)(f(x ) p (x )2d ) xmin
来讨论 ，于是最佳逼近问题变为最佳平方逼近问题 ,而离散的最佳平方逼 进问题就是常说的曲线拟合
m i(f(xi)p(xi)2 )min
i0
它们都可用最小二乘法求解。
主页
•曲线拟合的最小二乘法
• 最小二乘原理
当由实验提供了大量数据时,不能要求拟合函数 ( x)
在数据点(
xi
,
y) i
处的偏差,即
i (xi)yi (i=1,2,…,m)
严格为零,但为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋
势 ,需对偏差有所要求.通常要求偏差平方和
m
m
| 2 i|(
(xi)yi)2
i
y
i
... ... ... ... ... ...
i
xn1 i
...
x
2n i
a
n
xn i
y i
由此可得到相应的系数 a i (i 0,1,..., n )
即可求得拟合函数 ( x )
2. 特别的当n 1时,这就是用途最广的线拟性合.
对于拟合函数 y a0 b0 x
•
Q=n∑δi2
•
i=1
为最小 ，即求使
y x) ••
• ••
(a,b)=
24
24
2 ( ab
2
i
i
i
i1
i1
有最小值的a和b的值。
• 计算出它的正规方程得
24a12.57b11.13 12.57a82.69b173.610
• 解得： a=0.15 , b=0.859 直线方程为：y*=0.15+0.859x
1. 作为曲线拟合的一种常 见情况 , 拟合函数常为代数多项 式: ,
即拟合函数 :
( x ) a 0 a1 x a 2 x2 ... a n xn
则以同样原理 ,的相应法方程组 (共有 m组数据且 m n)
m
xi
xi
x2 i
... ...
xn i
a0
x
n i
1
a
1
y xi
i1
i1
最小,此即称为最小二乘原理
•最小二乘法的求法
设近似方程为
: ( 共有 m 组数据且 m n)
a a a y *
(x)
( x ) ...
(x)
0
0
1
1
n
n
a a a y y ( , ,...,
0
1
m
*
) (
n
i
) 2 min
i
i1
对函数
m
No 求偏导数并令其为零 n
, 可得 : 0
aj
2(
a k
x( )
k
i
y ) i
x( )
j
i
0
Image i1
k0
a x x y x 得
:
2
m
n
i1 k 0
k
()
k
i
m
( )
j
i
i1
i
(
j
i
)
0
若引入记号
m
x x : ,
() ()
j
k
i1
j
i
k
i
m
x y , f
()
j
i1
9
4.0
10
4.0
11
4.5
12
4.6
强度 kg/mm2
1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5 3.0 2.7 4.0 3.5 4.2 3.5
编号
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
拉伸倍数
5.0 5.2 6.0 6.3 6.5 7.1 8.0 8.0 8.9 9.0 9.5 10.0
解 1 .确 定 V = ( I ) 的 形 式 。将 数 据 点 描 绘 在 坐 标 上（ 如
下 图 ）， 可 以 看 出 这 些 点 在 一 条 直 线 的 附 近 ， 故 用 线
形拟合数据，即
V a0 a1I 2.建 立 方 程 组 。
二 线性最小问题的存在与唯一
• 在科学实验中，很多情况数据间存在线性或可转化为 线性的关系。线性最小二乘是最基本也是最重要的一 种。
a n 0
a n
1 ...
a n n
,f
0
,f
1
...
,
n
f
可知
a 当 ( x ), ( x ),... ( x ) 线性无关时 存, 在唯一解
0
1
n
i ( i 0 ,1,..., n )
n
a i i ( x )就是所求的拟合函数
i0
•最小二乘法的几种特例
最小二乘法原理及算例
实例讲解
• 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直 接关系，下表是实际测定的24个纤维样 品的强度与相应拉伸倍数的记录。
• 提示：将拉伸倍数作为x, 强度作为y,在座 标纸上标出各点，可以发现什么?
数据表格
编号 拉伸倍数
1
1.9
2
2.0
3
2.1
4
2.5
5
2.7
6
2.7
7
3.5
8
3.5
• 1 线性最小二乘问题与线性最小二乘求解 设 Ax=b
•
其中 AR mn，bR m，x R n
当mn 时，上方程超定方程组
• 令 r =b-Ax ， 一般，超定方程无通常意义下解，
j
i
i
n
a 则有 :
, , f
k
j
k0
k j
可得矩阵
( j 0 ,1,..., n )
, , ...
0 0
0
1
, , ...
1
0
...
n , 0
1
1
...
...
, ...
n
1
, 0
, 1 ...
, n
即 m
xi
xxi2iab00
y
i
xi yi
解得a0 , b0即可
例题
下面举个例子以说明用最小二乘法解题的步骤。
例 电 流 通 过 2Ω 电 阻 ， 用 伏 安 法 侧 得 的 电 压 电 流 如
表
I(A ) 1 2 4 V (V ) 1.8 3.7 8.2 用最小二乘法处理数据。
6 8 10 12.0 15.8 20.2
强度 kg/mm2
5.5 5.0 5.5 6.4 6.0 5.3 6.5 7.0 8.5 8.0 8.1 8.1
9 8 7 6 5
4 3 2 1 0
0
2
4
6
8
10
12
• 从上图中可以看出强度与拉伸倍数大致成线形关系， 可用一条直线来表示两者之间的关系。
• 解：设 y*=a+bxi ，令δ=yi-y*i=yi-a-bxi，根据最
一 问题的提出
插值法是使用插值多项式来逼近未知或复杂函数的，它 要求插值函 数与被插函数在插值节点上函数值相同 ，而在其他点上没有要求。在非 插值节点上有时函数值会相差很大 。若要求在被插函数的定义区间上， 所选近似函数都能与被插函数有较好的近似，就是最佳逼近问题。 最佳逼近是在函数空间 M中选 P(x) 满足
mfa (x)x p (x)m in(*)
a x b
但由于绝对值函数不宜进行分析运算,常将上式化为
a b(x)(f(x ) p (x )2d ) xmin
来讨论 ，于是最佳逼近问题变为最佳平方逼近问题 ,而离散的最佳平方逼 进问题就是常说的曲线拟合
m i(f(xi)p(xi)2 )min
i0
它们都可用最小二乘法求解。
主页
•曲线拟合的最小二乘法
• 最小二乘原理
当由实验提供了大量数据时,不能要求拟合函数 ( x)
在数据点(
xi
,
y) i
处的偏差,即
i (xi)yi (i=1,2,…,m)
严格为零,但为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋
势 ,需对偏差有所要求.通常要求偏差平方和
m
m
| 2 i|(
(xi)yi)2
i
y
i
... ... ... ... ... ...
i
xn1 i
...
x
2n i
a
n
xn i
y i
由此可得到相应的系数 a i (i 0,1,..., n )
即可求得拟合函数 ( x )
2. 特别的当n 1时,这就是用途最广的线拟性合.
对于拟合函数 y a0 b0 x