活用乘法公式巧解题
乘法公式的灵活运用
1乘法公式的灵活运用一、复习：(a+b)（a —b)=a 2—b 2（a+b ）2=a 2+2ab+b 2（a-b)2=a 2—2ab+b 2（a+b ）（a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a —b)（a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化,(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ,求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992—2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
例说乘法公式的活学活用
（ ） ６ ＝ （ 一 ６ 。 ２ ｂ ３ ｎ ＋ ： ｎ ＝ ）＋ ａ ； （ ） ｎ ６ （ 一 ６ ４ ｂ ４ （ ＋ ）～ 口 ）一 ａ．
一
丢㈣ ） （
一
—
【 ４ 已知（ 一． 。 ５ （ ＋ 。 ７求 ｘ 例 】 ｚ ｙ － ，ｚ ）－ ， ｙ的值． ）
【 ２ 计算 （＋１ （。 ）２＋１ （。 ） 例 】 ２ ） ２＋１ （ ） ２＋１．
分析 ： 因为 （—１ ＝ １ 所 以 ， ２ ）： ， ： 前面 配上 因式 （ —１ ２ ） 既不改变原式 的值又能连续运用平方差公式． 解： 原式一（ —１ （ ＋１ （ ）２ ＋１ （ ） ２ ）２ ） ２＋１ （ ） ２＋１
一
（ ｚ— ） 一 （ ＋ ） － ４ ｙ ｚ － ｘ
公式为基础 ， 能从 中看 到某 一公式 的“ 影子 ”这 时， ， 一
一 ５ 一 ４× ３ ＝ １． ３
般 的做法是把题 目进行适 当变形后套用公 式． 【 ０ 】 计算 （ 侈 １ ＋ ｚ ）（。 ）（ — ｚ ＋ ）．
［ｚ －ｙ） ＋ ） 用 掌握 了课 本 上 的几 个 公式 后 ， 注意 对公 式 进 行推
一（ －ｙ）
＝ － ２ ｘ Ｙ ＋ ．
广， 这样既深化了所 学知识 ， 又能为解 题带来很大 方便．
常见的推广公式有 ：
一
—
解 ：’ｚ ｙ ｚ ’（ ＋． 一（ — ）＝４ ｙ ． ） ｘ ，
且（ ｚ— ） 一 ５ （ ＋ ） ７ 。 ，ｚ 一 ，
２‘
（ 任编辑 责
金
铃）
８ ２ 中学教学参考 （ 上旬）２ １． ０ ０ ２总第 ４ ０期
Ｉ
(完整版)乘法公式的灵活运用
1乘法公式的灵活运用一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
乘法公式 题型及拓展
乘法公式一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，?x ?y ???y ?x ??x 2?y 2② 符号变化，??x ?y ???x ?y ????x ?2?y 2? x 2?y 2③ 指数变化，?x 2?y 2??x 2?y 2??x 4?y 4④ 系数变化，?2a ?b ??2a ?b ??4a 2?b 2⑤ 换式变化，?xy ??z ?m ???xy ??z ?m ????xy ?2??z ?m ?2?x 2y 2??z ?m ??z ?m ??x 2y 2??z 2?zm ?zm ?m 2??x 2y 2?z 2?2zm ?m 2⑥ 增项变化，?x ?y ?z ??x ?y ?z ???x ?y ?2?z 2??x ?y ??x ?y ??z 2?x 2?xy ?xy ?y 2?z 2?x 2?2xy ?y 2?z 2⑦ 连用公式变化，?x ?y ??x ?y ??x 2?y 2???x 2?y 2??x 2?y 2??x 4?y 4⑧ 逆用公式变化，?x ?y ?z ?2??x ?y ?z ?2???x ?y ?z ???x ?y ?z ????x ?y ?z ???x ?y ?z ???2x ??2y ?2z ???4xy ?4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
乘法公式灵活运用
乘法公式灵活运用乘法公式是数学中常用的一种计算方法，用于求解两个或多个数的乘积。
灵活运用乘法公式可以简化计算，提高解题效率。
本文将从实际问题出发，分析乘法公式的灵活运用方法，以及对应的数学技巧，帮助读者更好地掌握乘法公式的应用。
乘法公式的基本形式是：a×b=c，其中a和b是乘数，c是积。
乘法公式可以用于求解各类数学问题，包括乘法的基本性质、因数分解、最大公约数、公倍数等。
在乘法的基本性质中，乘法公式可以被运用于计算两个数相乘的结果。
例如计算12×35，我们可以使用乘法公式，将12拆解为10+2，35拆解为30+5，然后进行分配律运算：(10+2)×(30+5)=(10×30)+(10×5)+(2×30)+(2×5)=300+50+60+10=420。
这样，我们可以通过分解乘数，将原本复杂的乘法运算简化为几个简单的加法和乘法运算。
乘法公式还可以用于因数分解。
因数分解是将一个数分解为多个乘数的乘积，通过应用乘法公式，可以将这个过程简化。
例如对于数45，我们可以将它分解为3×15，然后继续对15进行因数分解，得到3×5×3、这样，45就可以表示为它的全部因数的乘积。
因数分解在数论、代数等领域有着重要的应用，通过乘法公式，我们可以更轻松地完成这个过程。
乘法公式在解决实际问题时，还可以通过一些数学技巧来进一步灵活运用。
例如在乘法运算中，可以通过重新排序进行简化。
如果要计算3×7×5，我们可以将其按需重新排列，得到5×7×3，然后再进行乘法运算：5×7=35，35×3=105、这样，我们可以通过重新排列乘积的顺序，在保持乘数不变的前提下，使得计算更加简单。
此外，乘法公式还可以和其他数学知识相结合，进一步拓展乘法的应用。
例如在代数中，乘法公式可以用于计算多项式的展开式。
【例题讲解】活用乘法公式进行简便运算例完整版课件
再见
活用乘法公式进行简便运算
用平方差公式简算： (a＋b)(a－b)＝a2－b2 例 计算： 2020×1980 = 3999600 （ a ＋ b ）（ a － b ）＝a2－b2
（ 2000 ＋ 20 ）（ 2000 － 20 ）＝ 20002－202
用完全平方公式简算： a2±2ab＋b2 ＝(a±b)2 例 计算： 20202﹣2×2020×2019＋20192 =1
a2 － 2 a b ＋ b2 ＝ （ a － b ）2
20202－ 2 ×2020×2019 ＋20192 ＝ （2020－2019）2 利用乘法公式进行巧算，关键是要熟悉平方差与完全平方式的结构特点，计算中注意观察 算式的特点．
例 用简便方法计算 （1）20202＋1100²0﹣202××1200×220020
例 用简便方法计算 （1）20202＋100﹣20×2020
(2-1) （2）（2＋1）（22＋1）（24＋1）…（232＋1）
分析 添加因式（2−1）
多次运用平方差公式进行计算
解 由平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2 的结构特点：可将式子前添加因式（2－1） 则原式＝（2−1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）（232＋1）， ＝（22−1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）（232＋1） ＝（24−1）（，24＋1）（28＋1）（216＋1）（232＋1）， ＝（28−1）（28＋1）（216＋1）（232＋1）， ＝（216−1）（216＋1）（232＋1）， ＝（232−1）（232＋1）＝264−1． 本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的应用，解题时注意观察算式的特点，必要时可 以添加因式凑乘法公式，尤其出现连乘的算式时，需要连续多次运用平方差公4＋1）…（232＋1）
专训1 活用乘法公式进行计算的六种技巧 公开课一等奖课件
技巧 1 巧用乘法公式的变形求式子的值
1．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4.求a2＋b2和ab 的值．
解： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝7，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝4，
所以a2＋b2＝ 1 ×(7＋4)＝ 1 ×11＝ 11 ，
ab＝
1
2
×(7－4)＝
1
2
×3＝
3
.
2
4
4
4
同类变式
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
×(98－97)＋…＋(2＋1)×(2－1) ＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1
＝ 100 （100＋1） 2
＝5 050.
技巧 3 巧用乘法公式解决整除问题
4．对任意正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－ (3－n)(3＋n)是不是10的倍数？为什么？
解： 对任意正整数n，整式(3n＋1)•(3n－1)－(3－n)
2．已知x＋
1 ＝3，求x4＋ x
1 x4
的值．
解：
因为x＋
1 x
＝3，所以（x＋
1 x
）2＝9，
活用乘法公式
∥ ４－ ＋＋１ ２ （＋１ ＋ ２ —＝ ） － 一
咒 。 戈
２ （ ２－ － ： Ｘ－２１ ＇ － ｔ
。
一２）－２ （ ２ ：【 ＋ ）－ ２ 一 ２ ］ ｚ
例 ４ 已知 一 ＋１ ， ＝０ 求 ＋ １的值．
分析 ： ２ ＋１ Ｘ一 ＝Ｏ是一个一元二次方程 ，
的．
分析 ： ０ １０×９ ＝ （ ９ ８ ９ ＋１ （ ９ ） ９ —１ ， ） 恰好 然 后使 用公 式计算 ，从而 达 到化难 为 易 的 目 可用平方差公式计算 ．
解 ：９ 。 ０ ９一１０×９ －９ （ ９ １ （ ９ ８ ９一 ９ ＋ ） ９ —
１） ９一 （ ９一 １） ． ＝９ ９ ＝１
９２ ｂ＋４ ａ－ ６— ４；
分析： 本题前面 的连乘 中后一个 因式恰好 是前一个 因式里 两个数 的平方 和 ， 针对 这一特
（） ３ 原式＝［ 一３ ） ＋３ ） ＝（ 一 （ ｙ （ ，】 ，２
＋８ ｙ； １４
６ 点， 只要在连乘 因式前面添上 因式 （ —１ ， ２ ） 即 ９ ）＝ １ ｘ一７
１） ２ 一 ．
＝
＝
解 ：（ ） １ 原式 ＝ （ 一３） ＋３） Ｘ＋９ （ （２ ）
（ 一９）（ ＋９） 。 ＝ 一８ ； １
（ ） 式 ＝［ａ￣（ －２ 】 口 （ 一２ ］ ２原 ３ － ｂ ）【 一 ｂ ） － ３
（ ０ 一 （ ３） ｂ一２） ＿ ａ 一 （ ４ ｍ９ ２ ｂ － ｂ＋４）＝
原 式 通过 变 形 后 再 运用 乘 法
公式进行计算 ． 其变形 如下 ： 第
１ 小题 利用乘法交换 律 ，两次
使用平 方差公 式计算 ； ２小 第
用乘法公式巧妙计算
用乘法公式巧妙计算乘法公式是数学中的基本公式之一，它用于计算两个数的乘积。
乘法公式还可以通过巧妙的变形和运算，用来解决一些复杂的问题。
在本文中，我将介绍一些常见的乘法公式应用和巧妙计算方法，为你提供一些灵感和启示。
1.乘法分配律：乘法分配律是数学中最常用的乘法公式之一、它表明，两个数的积与其中一个数分别乘以另一个数再相加的结果相等。
即：a*(b+c)=a*b+a*c。
这个公式在计算中可以大大简化问题，因为我们可以先将一些因子与多个数相乘，然后再将结果相加，而不需要一个一个相乘再相加。
2. 平方公式：平方公式用于计算一个数的平方。
即：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2、这个公式可以用来计算一个数的平方和，或者将一个数的立方拆分成多个平方的和。
3. 乘方公式：乘方公式用于计算一个数的乘方。
例如，(a+b)^3 =a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3、这个公式可以用来计算一个数的立方和，或者将一个数的四次方、五次方等拆分成多个平方的和。
4.九九乘法口诀：九九乘法口诀是学习乘法的基础，它通过记忆九九乘法表的形式，帮助我们快速计算两个数的乘积。
例如，2乘以3等于6，3乘以4等于12等等。
通过熟练掌握九九乘法口诀，可以在计算中快速推算乘积。
5.快速乘法法则：快速乘法法则是一种通过巧妙的变形和运算，高效地计算乘积的方法。
例如，计算17乘以15，可以将15拆分成10和5，然后将10乘以17，在将5乘以17，最后将两个数的乘积相加。
这种方法可以在一定程度上减少手工计算的复杂度。
通过灵活运用这些乘法公式和巧妙计算方法，可以大大简化乘法计算的过程，并提高计算效率。
在以后的学习和工作中，你可以根据具体的问题和需求，选择合适的公式和方法，以便更加高效地进行乘法计算。
不断练习和应用这些方法，你会发现数学计算的乐趣，同时也提高自己的数学能力。
乘法公式灵活应用专题
《乘法公式的复习》专题班级 姓名贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒。
【平方差公式： (a+b)(a-b)=a 2-b 2】【完全平方公式： (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 】如下几个比较有用的派生公式：()()()()()()()12223244222222222222....a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b ab+-=+-+=+++-=++--= (a +b +c )2 =[(a +b )+c ]2 =(a +b )2+2(a +b )⋅c +c 2 =a 2+2ab +b 2+2ac +2bc +c 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac即(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac乘方运算（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同单项式乘以单项式乘法公式1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
3：计算19992-2000×19984：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。
5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？7．计算（1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2)8．解下列各式（1）已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2的值。
（2）已知(a +b )2=7，(a -b )2=4，求a 2+b 2，ab 的值。
（3）已知a (a -1)-(a 2-b )=2，求222a b ab +-的值。
9．计算 （1）(x 2-x +1)2 （2）(3m +n -p )210. 计算：()()53532222x y x y +- 计算：()()32513251x y z x y z +-+-+--计算：()()57857822a b c a b c +---+ 计算：()()x y z x y z +-++2611. 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
知识应用：活用乘法公式
知识应用：活用乘法公式乘法公式在解题中的应用非常广泛，运用乘法公式解题不仅要熟悉公式的结构特征，而且能灵活使用它们，才能获得简捷合理的解法．现介绍几种方法，供同学们参考．一、对号a、b，正确运用例1 计算(-2+3x)(-2-3x)．分析：两个因式中的-2完全相同，而3x与-3x互为相反数，因而可运用平方差公式计算，-2是公式中的a，3x是公式中的b．解：原式=(-2)2-(3x)2=4-9x2．二、适当变形，灵活运用例2 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．分析：两个因式中2x和5完全相同，而y和z的符号分别相反，故可适当分组，再用平方差公式计算．解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕·〔(2x+5)-(y-z)〕=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2．三、分析情况，合理选用例3 计算(2a+1)(2a-1)(4a2-2a+1)(4a2+2a+1)．分析：前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，但若先利用乘法交换律与结合律巧妙结合，就可以用立方和、立方差公式简算．解：原式=〔(2a+1)(4a2-2a+1)〕〔(2a-1)(4a2+2a+1)〕=(8a3+1)(8a3-1)=64a6-1四、创造条件，巧妙应用例4 计算(5a+3b-2c)(5a-3b+6c)．分析：从表面上看本题不能使用乘法公式．但注意到两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，又因-2c=2c-4c,6c=2c+4c，故可先拆项，后仿例2计算．解：原式=(5a+3b+2c-4c)(5a-3b+2c+4c)=〔(5a+2c)+(3b-4c)〕·〔(5a+2c)-(3b-4c)〕=(5a+2c)2-(3b-4c)2=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2=25a2-9b2-12c2+20ac+24bc．五、避繁就简，逆向运用例5 计算(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2分析：若先平方展开后再计算，比较复杂，但把(x+y)看作a，(x-y)看作b，可逆用完全平方公式，迅速得出结果．解：原式=〔(x+y)-(x-y)〕2=4y2．六、明确联系，综合运用乘法公式的主要变式有：①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；②(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；③(a+b)2-(a-b)2=4ab；④a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．例6 已知：a+b=5，ab=2，求：(a-b)2的值．解：由完全平方公式得(a+b)2-(a-b)2=4ab，则(a-b)2=(a+b)2-4ab．∵a+b=5，ab=2∴(a-b)2=52-4×2=17。
灵活应用乘法公式巧妙解题
乘法 公 式 的灵 活 运 用．
一
、
分 清 平方 差 公 式 中 的ａ ｂ 对 号入 座 、。
－
例 １计 算 （ｙ ｘ）一２Ｘ ： ３ 一 （ ２ ３） ｙ
把 具有 特 殊 形 式 的多 项 式 相 乘 的式 子 及 其 结 果 写 成 公 式 的形式 ． 就是 “ 法 公 式 ”它 可 按 多 项 式 乘 以 多项 式 的 法 则 进 乘 ． 行推导． “ 法公式” 乘 主要 指 ：
解 ：３＿ （ｙ ２
Ｊ
２
ｘ
） 一＿ｙ
＿ （ ［ 一
：
＋ｙ ［ 了 ｘ －ｙ ３］（ ２ ３］ 一 ）
这 两 个 基 本 公 式 应 用 十 分 广 泛 ， 巧 性 也 比较 强 ． 确 灵 技 正 活 地 应 用 乘 法 公 式 ， 以使 运算 简 便 ， 半 功 倍 ， 而 提 高 学 可 事 从
： Ｘ
—
９
２ ５
例２ 计 算 （— ＋— ）ａ ｂ ｃ ｄ ： ａ ｂ ｃ ｄ （— —＋ ） 分 析 ： 两 个 括 号 内 相 同 项 归 纳 为 一 类 作 为 ａ 把 只 有 符 把 ， 号 相 反 的项 归 纳 为 一 类 作 为ｂ 再 用 平 方 差公 式计 算 ． ， 解 ： 式 ＝ （— ） （— ） ［ａ ｂ 一 ｃ ｄ ］ 原 ［ａ ｂ ＋ ｃ ｄ ］（— ） （— ）
：
广 泛 内涵 及 其 变形 ． 公式 中 的ａｂ 以 表示 具 体 的数 ， 可 以表 、可 也 示 单 项 式 或 多 项 式 ， 要 符 合 某 个 公 式 的 结 构 特 征 。 可 以运 只 就 用 这 个 公 式 ．在 进 行 整 式 乘 法 运 算 时若 能仔 细 观 察 乘 式 的结 构 特 征 ． 据 它 的特 征 选 择 合 适 的 方 法 ， 仅 能使 问题 化 繁 为 根 不 简 ， 有助于培养学生的创新思维和探索精神 ． 面举例说 明 还 下 之 间 有 怎样 的联 系 ？ ”是 不 是体 现 了 由量 变到 质 变 的过 程 ？ ” “ 在这里 ， 师冷静 思考 ， 妙捕捉多媒 体的亮点资 源 ， 教 巧 并 灵 活 地 调 整 教 学 方 法 ， 智 生 成 新 的 教 学 策 略 ， 教 学 顺 利 展 机 使
如何灵活运用乘法公式
如何灵活运用乘法公式同学们学习过乘法公式以后，基本上能够记住它们的特点，能够直接运用它们了。
但是，有些问题并不能直接运用公式，而需要创造条件，使之符合乘法公式的特点，然后才能运用公式，下面就来介绍几种常用的方法。
一、分组、结合法例1. 计算：()()z y x z y x -+++。
分析：本题看做多项式乘多项式来解比较烦琐，但如果适当分组，就能运用平方差公式了，把每个括号中的前两项当成一组就行了。
解：原式()[]()[]()22222z y xy 2x z y x z y x z y x -++=-+=-+++=。
例2. 计算：()()d c b a d c b a ++-+-+。
分析：本题每个括号里面有4项，看上去不好直接运用公式，但把它们进行分组、结合，就可以用平方差公式了。
解：原式=()()[]()()[]()()222222c bc 2bd ad 2a c b d a c b d a c b d a -+-++=--+=--+-++二、拆项、添项法例3. 计算：()()()()1171717176842+++++。
分析：本题直接计算比较烦琐，但如果利用拆项的方法把6拆成71-，就可以用平方差公式了。
解：原式=()()()()()11717171717842+++++-()()()()1171717178422++++-= ()()()1171717844+++-= ()()1171788++-==11716+-167=。
例4. 已知多项式()()()()()11x 1x 1x 1x 1x 16842++++++，求当2x =时多项式的值。
分析：把2x =代入后可仿例1解，也可以在多项式()()()()()1x 1x 1x 1x 1x 16842+++++前面添上一项1x -，再除以这项，这样就可以用平方差公式求解。
解：原式()()()()()()11x 1x ...11x 1x 1x 1x 1x 1x 1x 3216842+--==+-+++++-=，当2x =时，原式322=。
人教版八年级数学上册专题训练(七) 乘法公式的灵活应用
3．已知a－b＝3，ab＝2，求： (1) (a＋b)2； (2)a2－6ab＋b2的值． 解：(1)将a－b＝3两边平方得：(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝9，把ab＝2 代入得：a2＋b2＝13，则(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋4＝17 (2)a2－6ab＋b2＝a2＋b2－6ab＝13－12＝1
专题训练(七) 乘法公式的灵活应用
类型一 变形乘法公式求式子的值 1．(2016·雅安)已知 a＋b＝8，a2b2＝4，则a2＋2 b2－ab＝_2__8_或__3_6_.
2．已知(a＋b)2＝25，(a－b)2＝9，求ab与a2＋b2的值． 解：∵(a＋b)2＝25，(a－b)2＝9，∴a2＋2ab＋b2＝25①，a2－2ab ＋b2＝9②，∴①＋②得：2a2＋2b2＝34，∴a2＋b2＝17，①－②得： 4ab＝16，∴ab＝4
4．已知 x－1x＝3，(x－1x)2＝x2＋x12－2，∴x2＋x12＝(x－1x)2＋2 ＝32＋2＝11.x4＋x14＝(x2＋x12)2－2＝112－2＝119
类型二 巧用乘法公式简便计算 5．计算：(1)9982； 原式＝(1 000－－2)2＝1 0002－2×1 000×2＋22＝996 004 (2)2 0162－2 014×2 018； 原式＝2 0162－(2 016－2)×(2 016＋2)＝2 0162－(2 0162－22)＝4
(3)(x＋2y)2－(x－2y)2－(x＋2y)(x－2y)－4y2，其中 x＝－2，
y＝12. 解：原式＝－x2＋8xy.当 x＝－2，y＝12时，原式＝－(－2)2
＋8×(－2)×12＝－12
类型四 巧用乘法公式解决整除问题 7．已知n为整数，试说明(n＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除． 解：(n＋7)2－(n－3)2＝(n＋7＋n－3)(n＋7－n＋3)＝20(n＋2)， ∴(n＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除
活用乘法公式解题的技巧九法
～
＝
二 、 方 后 运 用 公 式 配
－
．
．
， 中至少有一个大 于 ０ 故 选 Ｂ ， 、 ， ．
．
例 ２ 多项式 ５ 一 ｘ ４ ：＋１ｘ ０ ９的最 小值 ｘ ４ｙ＋ ｙ ２ ＋２ １
＋ 。＋ 。． 。． 。＋ 。＋ 。． ．＋ 。． ．． 。＋ 。． 。＋
四、 复运用公式 反
。． ．．
＝
Ｂ ［ ｂ ）一（ ｃ ］ 口 （ —ｎ ０一 ） ＝０ ．ｂ＋ ：２ ， ，． ｃ ａ 故 ・
一
２ 号） ａ ＋
＝
（ ２ １ ＋（ ２ ＋１ ＋（ ２ ＋１ 叮一 ． ０ 一 ａ＋ ） ｂ 一 ｂ ） ｃ 一 ｃ ）＋ ｒ ３ （ 一１。 ｂ ） ） ＋（ 一１ ＋（ 一１ ｃ ） ＋订一 ≥叮一 ＞ ． ３ Ｔ ３ ０
＝
又 血 ＋ｂ ｐ ＝ ＋ｑ ，． ａ ． ２ ｂ＝２ ｑ ・ ｐ．
・ ． ．
ａ。
一
２ ｂ＋ｂ ａ 。＝ｐ 。一２ ｑ＋ｑ ， 即 ｐ 。
［ 。一 ０ ８ ） ｂ一 ０ ８ ） （ ２０ ｂ 一（ ２０ ａ ］ ［０ ９ 。一 ） ２０ （ ｂ
一
例 ａ、 实 ， ｛ ２ 号， ｂ ２ ３设 ， 为 数 ｇ ｂ Ｙ ｃ ｂ ｃ ２ ＋ ＝一 ＋ —
詈，ｃ ２ 詈，ｘ， ，少 一 值 ） ｚ ａ 则 ， 中至 有 个 （ ． ＝一 ＋ ｙ ｚ
Ａ 小于 ０ ． Ｃ 不小于 ０ ． Ｂ 大于 ０ ． Ｄ． 大 于 ０ 不
＝ ，
・ ．
‘
（ ｘ＋ ） ＞０ （ 一 ｙ ｉ０ ． 原 式 ３２ １． ２ ３ ／ ， ２ ） ＞ ，． ＿ ００
当 且 仅 当 （ ＋３ ＝ ， 一２ ） ０ 即 ＝ 一 ３ ２ ） ０（ ｙ 。： ，
北师版七下数学第一章《整式的乘除》乘法公式应用大全
北师版七下数学第一章《整式的乘除》乘法公式应用大全活用乘法公式乘法公式在解题中的应用非常广泛，运用乘法公式解题不仅要熟悉公式的结构特征，而且能灵活使用它们，才能获得简捷合理的解法．现介绍几种方法，供同学们参考．一、对号a、b，正确运用例1计算(-2+3x)(-2-3x)．分析：两个因式中的-2完全相同，而3x与-3x互为相反数，因而可运用平方差公式计算，-2是公式中的a，3x是公式中的b．解：原式=(-2)2-(3x)2=4-9x2．二、适当变形，灵活运用例2计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．分析：两个因式中2x和5完全相同，而y和z的符号分别相反，故可适当分组，再用平方差公式计算．解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕·〔(2x+5)-(y-z)〕= (2x+5)2-(y-z)2= 4x2+20x+25-y2+2yz-z2．三、分析情况，合理选用例3计算(2a+1)(2a-1)(4a2-2a+1)(4a2+2a+1)．分析：前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，但若先利用乘法交换律与结合律巧妙结合，就可以用立方和、立方差公式简算．解：原式=〔(2a+1)(4a2-2a+1)〕〔(2a-1)(4a2+2a+1)〕= (8a3+1)(8a3-1)=64a6-1四、创造条件，巧妙应用例4计算(5a+3b-2c)(5a-3b+6c)．分析：从表面上看本题不能使用乘法公式．但注意到两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，又因-2c=2c-4c,6c=2c+4c，故可先拆项，后仿例2计算．解：原式=(5a+3b+2c-4c)(5a-3b+2c+4c)=〔(5a+2c)+(3b-4c)〕·〔(5a+2c)-(3b-4c)〕=(5a+2c)2-(3b-4c)2=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2=25a2-9b2-12c2+20ac+24bc．五、避繁就简，逆向运用例5计算(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2分析：若先平方展开后再计算，比较复杂，但把(x+y)看作a，(x-y)看作b，可逆用完全平方公式，迅速得出结果．解：原式=〔(x+y)-(x-y)〕2=4y2．六、明确联系，综合运用乘法公式的主要变式有：①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；②(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；③(a+b)2-(a-b)2=4ab；④a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．例6已知：a+b=5，ab=2，求：(a-b)2的值．解：由完全平方公式得(a+b)2-(a-b)2=4ab，则(a-b)2=(a+b)2-4ab．∵a+b=5，ab=2∴(a-b)2=52-4×2=17．逆用乘法公式解题1 平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b22 完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b23 立方和（差）公式它们是整式运算的重点，又是整个代数计算的基础，所以，同学们不仅要会正向运用，还要熟练地逆向运用．1．逆用平方差公式解原式故选(D)解对分母逆用平方差公式，得分母=(100319912-1)+(199319932-1)=19931992×19931990+19931994×19931992 =19931992×[(19931992-2)+(19931992+2)] =2×199319922例3 计算19902-19892+19882-19872+…+22-1解原式=(19902-19892)+(19882-19872)+…+(22-1)=(1990+1989)+(1988+1987)+…+(2+1)=1990+1989+1988+1987+…+2+1=19810452．逆用完全平方公式例4计算1.23452+0.76552+2.469×0.7655解原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=22=4例5已知a=123456789，b=123456785，c=123456783，则a2+b2+c2-ab-b c-c a 的值是_______．解逆用完全平方公式得3．逆用立方和（差）公式例6 已知a+b=2，那么a3+6ab+b3=______解原式=a3+b3+6ab=(a+b)(a2-ab+b2)+6ab=2(a2-ab+b2)+6ab=2a2+4ab+b2=2(a+b)2=2×22=8解设a=11111，则4．逆用多个公式例8若a=19952+19952·19962+19962求证：a是一个完全平方数．证明a=19952+19952×19962+19962=19952×19962+19952-1+19962+1=19952×19962+1996×1994+19962+1=19952×19962+1996(1994+1996)+1=(1995×1996)2+2·1995·1996+1=(1995×1996+1)2∴a是一个完全平方数例9已知724-1可被40至50之间的两个整数整除，这两个数是[ ] A．41,48 B．45,47C．43,48 D．41,47解724-1=(712+1)(76+1)(73+1)(73-1)=(712+1)(76+1)(7+1)(72-7+1)(7-1)(72+7+1)=(712+1)(76+1)×8×43×6×57=(712+1)(76+1)×43×48×57故应选(C)活用乘法公式的“八先”运用乘法公式可使乘法运算简捷，但有些多项式相乘不能直接运用公式计算，这时若能先适当变形，使之便于运用公式，则往往可化难为易、避繁就简．一、先结合后用公式例1 计算(a-b+c-d)(a+b-c-d)．分析：两因式中的a，-d分别相同，而b，c分别相反，因而可把第一、四项结合为一组，第二、三项结合为另一组，再用平方差公式计算．解：原式=[(a-d)-(b-c)][(a-d)+(b-c)]=(a-d)2 -(b-c)2=a2 -2ad+d2 -b2 +2bc-c2．二、先活用运算律后用公式分析：本题虽可利用平方差公式计算，但若能利用乘法交换律与结合律适当变形，改用立方和与立方差公式计算较简便．三、先逆用法则后用公式例3 计算(x-y)2 (x+y)2 (x2 +y2 )2．分析：若顺向先平方展开再相乘将不胜其繁，倒不如逆用积的乘方法则(abc)2 =a2b2c2，再利用平方差公式计算较简捷．解：原式=[(x-y)(x+y)(x2 +y2 )]2=[(x2 -y2 )(x2 +y2 )]2=(x4 -y4 )2=x8-2x4x4 +y8．四、先拆项后用公式例4 计算(2x+5y-3)(-2x+5y+5)．分析：初看两个因式不符合平方差公式的结构特征，难以运用公式求解，但若把“-3”拆为“-4+1”，把“5”拆为“4+1”，则运用公式的前景依稀可见．解：原式=(2x+5y-4+1)(-2x+5y+4+1)=[(5y+1)+(2x-4)][(5y+1)-(2x-4)]=(5y+1)2 -(2x-4)2=25y2 +10y-4x2 +16x-15．五、先增添因式后用公式例5 计算(22 +2+1)(26+23 +1)(218+29+1)．分析：若直接相乘将繁杂冗长，注意到各因式具有立方差公式中第二个因式的结构特征，因而先增添因式(2-1)，再用公式简捷运算．解：原式=(2-1)(22 +2+1)(26+23 +1)(218+29+1)=(23 -1)(26+23 +1)(218+29+1)=(29-1)(218+29+1)=22 7-1．六、先换元后用公式例6 计算(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)．分析：注意到1+4=2+3这个特征，因而可先换元然后运用公式计算．解：原式=(x+1)(x+4)](x+2)(x+3)]=(x2 +5x+4)(x2 +5x+6)设a=x2 +5x+5，则原式=(a-1)(a+1)=a2 -1=(x2 +5x+5)2 -1=x4 +10x3 +35x2 +50x+24．说明：本解法用到了公式(a+b+c)2 =a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc．七、先变换所求式后用公式例7 a=1998x+1997，b=1998x+1998，c=1998x+1999，那么a2 +b2 +c2 -ab-bc-ca 的值是______．分析：注意到所求式的2培具有完全平方公式的特征，因而先变换所求式然后应用公式计算．解：由已知，得a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，则八、先添项后用公式例8 若(z-x)2 -4(x-y)(y-z)=0，则x+z-2y+1999=_______．分析：注意到已知式中4(x-y)(y-z)具有完全平方公式中2ab的形式，因而在(z-x)2中添项“-y+y”，把它变形为[(z-y)+(y-x)]2，然后运用公式计算．解：∵(z-x)2 -4(x-y)(y-z)=[(z-y)+(y-z)]2 -4(z-y)(y-x)=(z-y)2 -2(z-y)(y-x)+(y-x)2=[(z-y)-(y-x)]2 =(x+z-2y)2 =0，∴x+z-2y=0．∴x+z-2y+1999=0+1999=1999．。
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活用乘法公式巧解题
乘法公式是整式乘法的重要内容之一，是解题的重要依据，包括平方差公式
()()22b a b a b a -=-+以及完全平方公式()2222b ab a b a +±=±.学好乘法公式,不仅为今后的学习打下坚实的基础,同时也能提高解题的速度和正确率.学习乘法公式的关键在于理解公式的结构特征，善于正向运用、逆向运用、变形运用，把握公式的内在联系.
一、正向应用
例1. 计算：2
(3)(3)(9)a a a +-+ 分析：
2(3)(3)(9)a a a +-+的前两项相结合可用平方差公式计算,其结果与2(9)a +相乘又可再用一次平方差公式.
解：222(3)(3)(9)(9)(9)a a a a a +-+=-+481a =-.
例2.试求2432(21)(21)(21)(21)1+++++的个位数字.
分析：经观察原式不符合公式的结构特征，不能运用公式进行计算，如果在原式的前面加一个因式(21)-，原式变形为：2432(21)(21)(21)(21)
(21)1-+++++，便可连续使用平方差公式.
解：2432(21)(21)(21)
(21)1+++++ =2432(21)(21)(21)(21)
(21)1-+++++ =22432(21)(21)(21)
(21)1-++++ =
=64(21)1-+=642=416(2)=1616
因此个位数字是6.
点评：解决这类题目时，先看式子的结构特征，如果不具备公式的特点就需要进行构造，在同一题目中，可以连续多次使用公式.
二、逆向应用
公式的逆向应用就是从左到右使用公式解决有关问题.
例3.计算：96
21-可以被60至70之间的哪两个整数整除?
分析：逆用两数的和乘以这两数的差的公式，将原式进行分解质因数.
解：9621-=4824848
(2)1(21)(21)-=-+
=482424(21)(21)(21)++-
=48241212(21)(21)(21)(21)+++-
=48241266(21)(21)(21)(21)(21)++++-
=482412(21)(21)(21)6563+++⨯⨯,
所以这两个整数为65和63.
例4.已知222214a b a b ab +++=,求a 、b 的值.
分析：222214a b a b ab +++=不符合公式的结构特征，不能直接运用公式求值.一般情况下，当一个等式中含有两个未知数，且未知数的最高次数是2时，要构造完全平方式，逆用完全平方公式，利用完全平方式的非负性解决问题.
解：因为222214a b a b ab +++=，所以2222140a b a b ab +++-=，
所以22222120a b ab a ab b -++-+=，
所以22(1)()0ab a b -+-=， 所以100ab a b -=⎧⎨-=⎩，所以11a b =⎧⎨=⎩
或11a b =-⎧⎨=-⎩. 点评：解决这类题目的关键是逆用公式，注意非负数的性质的应用.
三、变形应用
例5.已知12a a +
=，则221a a
+＝_______. 分析：将12a a +=两边平方，运用完全平方公式，可求出221a a +的值；还可将222()2a b a ab b +=++变形为222()2a b a b ab +=+-，利用变形公式求解.
解：解法一：∵12a a +
=,∴21()4a a +=,∴221124a a a a
+⋅⋅+=. ∴22124a a ++=，∴2212a a
+=. 解法二：221a a +=2211()2222a a a a +-⨯⨯=-=.
例6.已知2ab =，5a b +=，求下列各式的值:(1)22a b +；(2)2
()a b -. 分析：（1）由完全平方公式222()2a b a ab b +=++变形得：()ab b a b a 22
22-+=+.（2）由完全平方公式与平方差公式相结合得：22
()()4a b a b ab -=+-.
解：（1）()ab b a b a 2222-+=+=252225421-⨯=-=. （2）22
()()4a b a b ab -=+-=254225817-⨯=-=.
点评：解决这类题常用的方法：（1）运用公式将所求的代数式作适当变形，使其变为能用已知条件的形式；（2）将已知条件作恒等变形，使其变为待求的代数式的形式；（3）注意完全平方公式的变式的应用：2222()2()2a b a b ab a b ab +=+-=-+.。