元素与集合关系的判断-高中数学知识点讲解

元素与集合关系的判断

1．元素与集合关系的判断

【知识点的认识】

1、元素与集合的关系：

一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c 表示，集合一般用大写字母A，B，C 表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A 或a∉A．

2、集合中元素的特征：

（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．

（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．

（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．

【命题方向】

题型一：验证元素是否是集合的元素

典例 1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：

（1）3∈A；

（2）偶数 4k﹣2（k∈Z）不属于A．

分析：（1）根据集合中元素的特性，判断 3 是否满足即可；

（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为 4 的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．

解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；

（2）设 4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使 4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，

1、当m，n 同奇或同偶时，m﹣n，m+n 均为偶数，

∴（m﹣n）（m+n）为 4 的倍数，与 4k﹣2 不是 4 的倍数矛盾．

2、当m，n 一奇，一偶时，m﹣n，m+n 均为奇数，

∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与 4k﹣2 是偶数矛盾．

综上 4k﹣2∉A．

点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．

题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．

典例 2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若 3∈A，求实数a 的值．

分析：通过 3 是集合A 的元素，直接利用a+2 与 2a2+a＝3，求出a 的值，验证集合A 中元素不重复即可．解答：解：因为 3∈A，所以a+2＝3 或 2a2+a＝3…（2 分）

当a+2＝3 时，a＝1，…（5 分）

此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7 分）

当 2a2+a＝3 时，a＝1（舍去）或푎=―3

2

，…（10 分）

由푎=―31

，得퐴={2，3}，成立…（12 分）2

故푎=―3

2⋯（14 分）

点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．

【解题方法点拨】

集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．