二次函数所描述的关系案例分析
第二章 二次函数
第二章 二次函数单元1（1~3）二次函数所描述的关系，结识抛物线刹车距离与二次函数典型例题分析[例1]某商店经销一种销售成本为每千克40元的产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种产品的销售情况，请解答以下问题：（1） 当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润； （2） 设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的函数关系式（不必写出x 的取值范围）；（3） 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？[点拨]：我们知道，销售商品有一些基本数量关系，如：销售额=单价×销售件数，销售利润=销售收入—销售成本（销售成本包括产品本身的成本和销售过程中增加的成本，而在我们的学习研究中，一般不计算销售过程中增加的成本）等。
根据题意，以50元/千克时，月销售量为500千克（此时销售收入为50×500=25000元）为标准，单价每增加1元，月销售量就减少10千克，利用上面的基本数量关系，可以解决本题中的问题。
解：（1）月销售量为500—5×10=450（千克），月销售利润为（55—40）×（500—5×10）=6750（元）（2）y x =[500—10(50)x -]—40[500—10(50)x -]即210140040000y x x =-+-（3）2800010140040000x x =-+-解得60x =或80x =，当80x =时，月销售量为500—30×10=200。
此时成本为40×200=8000元，合题意。
当60x =时，月销售量为500—10×10=400。
此时成本为40×400=16000>10000，不合题意。
答：当销售价格为55元/千克时，月销售量为450千克，月销售利润为6750元；函数解析式为210140040000y x x =-+-；当销售成本不超过10000元，月销售利润达8000元时，销售价应定为80元/千克。
二次函数所描述的关系
二次函数所描述的关系引言二次函数是一种常见的数学函数形式，由形如y=ax2+bx+c的方程所描述。
其中a、b和c是实数常数，并且a eq0。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的曲线，它在数学、物理和工程等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的基本概念，探讨二次函数图像的性质，以及二次函数在现实世界中的应用。
二次函数的基本形式二次函数是一种以x的二次幂为最高次的多项式函数。
其基本形式是y=ax2+bx+c，其中a、b和c分别是函数的系数。
•当a>0时，二次函数的图像开口朝上，称为正向开口的二次函数。
•当a<0时，二次函数的图像开口朝下，称为负向开口的二次函数。
二次函数的图像通常是一条平滑的曲线，关于 $x = -\\frac{b}{2a}$ 对称。
二次函数图像的性质二次函数的图像具有一些重要的性质，包括顶点、对称轴、开口方向和零点等。
1.顶点：二次函数的顶点表示图像的最高点或最低点。
顶点坐标可以通过 $x = -\\frac{b}{2a}$ 计算得出，并且x的值表示对称轴的位置，y的值表示函数的最大值或最小值。
2.对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点和垂直于x轴的直线得出的。
对称轴的方程是 $x = -\\frac{b}{2a}$，它将图像分成两个对称的部分。
3.开口方向：二次函数的开口方向由系数a的符号决定。
当a>0时，图像开口朝上；当a<0时，图像开口朝下。
4.零点：二次函数的零点是函数曲线与x轴交点的横坐标值。
零点可以通过求解方程ax2+bx+c=0得到。
当方程有两个不同的实数解时，图像与x轴交于两个点；当方程有一个实数解时，图像与x轴相切；当方程无实数解时，图像与x轴没有交点。
二次函数的应用二次函数在现实世界中有着广泛的应用，以下是其中几个常见的应用领域：物理学二次函数的图像可以描述一些物体的运动轨迹。
例如，抛体运动的高度和时间之间的关系可以用二次函数来表示。
二次函数刹车距离与二次函数课
二次函数刹车距离与二次函数课件pptxx年xx月xx日contents •引言•二次函数概念及公式•刹车距离与二次函数关系分析•交通安全与二次函数关系探讨•实际应用案例-高速公路减速带设计•二次函数未来发展方向及挑战•结论目录01引言二次函数刹车距离研究车辆在刹车过程中所需的最短距离二次函数一种数学模型，描述一个变量与另外两个变量之间的变化关系主题简介目的通过分析二次函数来优化车辆刹车性能，减少刹车距离意义提高行车安全性，减少交通事故的风险目的与意义课程结构概述第一部分第二部分Array刹车距离的分析二次函数的定义及性质第三部分第四部分二次函数在优化刹车性能中的应用案例分析和应用02二次函数概念及公式二次函数是一种数学函数，表达式为y = ax^2 + bx + c (a≠0)。
它描述了一个曲线，通过给定的三个参数，可以表达一个曲线运动或描绘出一个几何形状。
二次函数定义y = ax^2 + bx + c二次函数公式标准形式y = a(x-h)^2 + k顶点式y = a(x-x1)(x-x2)两根式1二次函数图像及性质23二次函数的图像是一个抛物线，其形状由参数a、b、c决定。
根据a的符号，抛物线开口方向向上或向下。
b和c分别决定了抛物线的对称轴位置和顶点高度。
03刹车距离与二次函数关系分析刹车距离是指汽车在行驶过程中，从开始刹车到停止所需的距离。
刹车距离定义刹车距离（m）= 初速度（km/h）× 刹车时间（s）+ 1/2 × 加速度（m/s²）× 刹车时间（s）²计算公式刹车距离概念及计算公式二次函数表达式刹车距离与初速度、刹车时间和加速度成二次函数关系，可用如下二次函数表达式表示：y = ax² + bx + ca、b、c系数含义a代表加速度的平方，b代表加速度和初速度的乘积，c代表初速度。
二次函数对刹车距离的影响案例一某轿车以60km/h的初速度行驶，紧急刹车时加速度为-0.6m/s²，求刹车距离？案例二某高速列车以100km/h的初速度行驶，紧急刹车时加速度为-0.1m/s²，求刹车距离？实际应用案例分析04交通安全与二次函数关系探讨03维护社会稳定良好的交通安全状况有助于社会稳定和谐，减少社会矛盾和冲突。
第二章二次函数-二次函数的图象与系数的关系(教案)
- a决表图象与y轴的交点。
（2）二次函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向。
-顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，是图象的最高点或最低点。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的图象与系数的关系，包括开口方向、对称轴、顶点坐标和实数根等基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-对称轴x=-b/2a，是图象的对称中心。
-开口方向由a的正负决定。
（3）二次函数实数根的判定：通过判别式Δ=b^2-4ac来判断实数根的个数。
- Δ>0，有两个实数根；
- Δ=0，有一个实数根；
- Δ<0，无实数根。
2.教学难点
（1）理解系数a、b、c对二次函数图象的综合影响。
-难点举例：当a、b、c同时变化时，如何判断图象的开口方向、对称轴和顶点坐标的变化。
第二章二次函数-二次函数的图象与系数的关系（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第二章“二次函数”中的“二次函数的图象与系数的关系”。教学内容主要包括以下三个方面：
1.二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
2.二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标与系数的关系：
- a>0时，图象开口向上；a<0时，图象开口向下。
二次函数的应用案例总结
二次函数的应用案例总结二次函数是一种常见的数学函数形式，它的形式为：y = ax^2 + bx + c。
在现实生活中，二次函数可以用于解决各种问题，包括物理、经济、工程等领域。
本文将总结几个常见的二次函数应用案例，以展示二次函数的实际应用。
案例一：物体自由落体的高度模型假设一个物体从高处自由落体，忽略空气阻力，我们可以用二次函数来表示物体的高度与时间之间的关系。
设物体初始高度为H，加速度为g，时间为t。
根据物理定律，物体的高度可以表示为：h(t) = -0.5gt^2 + H。
这个二次函数模型可以帮助我们计算物体在任意时间点的高度，并可以用于预测物体何时落地。
案例二：销售收入和定价策略假设一个公司生产和销售某种产品，销售价格为p（单位：元），销售量为q（单位：件）。
二次函数可以用于建立销售收入与定价策略之间的模型。
设定售价的二次函数为：R(p) = -ap^2 + bp + c，其中a、b、c为常数。
我们可以通过分析二次函数的图像、求解极值等方法，确定最佳售价，以使得销售收入最大化。
案例三：桥梁设计中的弧线形状在桥梁设计中，常常需要确定桥梁的弧线形状，以使得车辆在桥上行驶时感到平稳。
二次函数可以用来描述桥梁的曲线形状。
设桥梁的弧线形状为y = ax^2 + bx，其中x表示桥梁长度的一半，y表示桥梁的高度。
通过调整参数a和b，可以得到不同形状的弧线，以满足设计要求。
案例四：市场需求和价格关系分析在经济学中，二次函数可以用于建立市场需求与价格之间的关系模型。
设市场需求量为D，价格为p。
根据经济理论，市场需求可以表示为：D(p) = ap^2 + bp + c，其中a、b、c为常数。
通过分析二次函数的图像、求解极值等方法，可以研究市场需求和价格之间的关系，得出不同价格下的市场需求量。
综上所述，二次函数在物理、经济、工程等领域中具有广泛的应用。
通过建立二次函数模型，我们可以更好地理解和解决各种实际问题。
二次函数课标细化解读
细化解读课程标准案例设计科目：数学年级：九年级教材版本：北师大版章（节）或单元：九年级下册第二章第二节课题：2.1 二次函数所描述的关系一、教学目标确定依据一：数学课程标准的有关内容：通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。
课程标准为本节制定的教学目标，目标用含糊的内隐心理活动词语，而不是可观察测量的外显行为动词，不够具体、明晰。
需对课程标准作进一步的细化、分解，以使不同的人在数学上得到不同的发展。
分析课程标准发现：（名词）核心知识是分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。
1、确定二次函数的表达式。
细化为：根据具体的问题情境，通过自主探究、合作交流，能找到常量、变量之间的关系，列出二次函数表达式。
达标率为80%。
2、体会二次函数的意义。
体会一词含糊，不够具体，可分解为说出、概述、判断等动词。
因此，可细化为：能根据所列函数表达式，通过观察、交流，能说出它们的共同特征，能概述出二次函数的意义。
能判断所给的函数表达式是否二次函数的。
达标率90%依据二：教学参考书要求：1、经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
2、能过表示简单变量之间的二次函数关系。
3、你能过利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题。
依据三：中招考试说明在每年的中招试题中常常二次函数解答题，并且是作为大题、难题出现，有明显的区分度。
所以它是中招的重要知识点。
依据四：教材内容二次函数使描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，也是某些单变量最优化的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。
二次函数还是一种非常基本的初等的函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、进而体会函数的思想奠定基础。
依据五：学生情况我校是农村初中，地处边远，学生程度参差不齐。
学生在八、九年级已经学一次函数、反比例函数。
导学法教学模式在我校已全面开展，学生能够通过自主探究、合作交流、教师引领等方式探索新知。
北师大版九年级数学下册2.1二次函数所描述的关系导学案
，c
m
时，是正比例函数. .
3.若 y (m2 1) xm
是二次函数，则 m=
4.下列函数关系中，可以看作二次函数 y=ax2＋bx＋c (a≠0)模型的是( ).
A． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系； B．我国人口年自然增长率为 1%，这样我国人口总数 随年份的变化关系； C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号 弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)； D．圆的周长与圆的半径之间的关系．
第 1 页 /共 5 页
，它的二次项系数为 一次项系数为 ，常数项为 .
,自我评价：小Fra bibliotek长评价：第 2 页 /共 5 页
合作探究一：
某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么 树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验 估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子，且增 加的橙子树最多不得超过 20 棵. (1)问题中的变量是 其中 是自变量， 和 . 是因变量.
2
．
m4
(m 2) x 3 . 当 m
为何值时，y 为二次函数？当 m 为何值时，y 为一次函 数？
课后作业：
课本第 39 页，习题 2.1，知识技能，1；问题解决，3.
教师评价： 补案：
第 5 页 /共 5 页
3、 (15 分)下列各式中，y 是 x 的二次函数的是(
A. xy=x2-1；B.x2+y-2=0；C. y2-ax=-2；D. x2-y2+1=0. 4、 (15 分)某商场将进价为 40 元的某种服装按 50 元售出
达标 检测：
时，每天可以售出 300 套．据市场调查发现，这种服装 每提高 1 元售价，销量就减少 5 套.则每天销售利润 y 与售价 x 的函数表达式为 5、 (40 分)已知函数 y (m 3) xm
二次函数课标细化解读
细化解读课程标准案例设计科目：数学年级：九年级教材版本：北师大版章（节）或单元：九年级下册第二章第二节课题：2.1 二次函数所描述的关系一、教学目标确定依据一：数学课程标准的有关内容：通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。
课程标准为本节制定的教学目标，目标用含糊的内隐心理活动词语，而不是可观察测量的外显行为动词，不够具体、明晰。
需对课程标准作进一步的细化、分解，以使不同的人在数学上得到不同的发展。
分析课程标准发现：（名词）核心知识是分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。
1、确定二次函数的表达式。
细化为：根据具体的问题情境，通过自主探究、合作交流，能找到常量、变量之间的关系，列出二次函数表达式。
达标率为80%。
2、体会二次函数的意义。
体会一词含糊，不够具体，可分解为说出、概述、判断等动词。
因此，可细化为：能根据所列函数表达式，通过观察、交流，能说出它们的共同特征，能概述出二次函数的意义。
能判断所给的函数表达式是否二次函数的。
达标率90%依据二：教学参考书要求：1、经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
2、能过表示简单变量之间的二次函数关系。
3、你能过利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题。
依据三：中招考试说明在每年的中招试题中常常二次函数解答题，并且是作为大题、难题出现，有明显的区分度。
所以它是中招的重要知识点。
依据四：教材内容二次函数使描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，也是某些单变量最优化的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。
二次函数还是一种非常基本的初等的函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、进而体会函数的思想奠定基础。
依据五：学生情况我校是农村初中，地处边远，学生程度参差不齐。
学生在八、九年级已经学一次函数、反比例函数。
导学法教学模式在我校已全面开展，学生能够通过自主探究、合作交流、教师引领等方式探索新知。
二次函数在经济学中的案例分析
二次函数在经济学中的案例分析在经济学中，二次函数被广泛应用于各种案例分析。
二次函数是一种特殊的代数函数，可用来描述许多经济现象的关系和变化趋势。
本文将通过几个实例，展示二次函数在经济学中的实际应用。
案例一：成本和产量的关系在生产经济中，成本和产量之间存在紧密的联系。
假设某企业的成本与产量的关系可以用二次函数表示。
成本函数的一般形式为C(x) = ax^2 + bx + c，其中a，b，c为常数，x表示产量。
通过对实际数据进行回归分析，可以得到最佳拟合的二次函数。
利用二次函数分析，可以确定边际成本的变化趋势。
二次函数的导数可以表示边际变化率，即成本随产量变化的速率。
通过对导数的分析，企业可以做出合理的决策，如确定最优产量水平以最大化利润。
案例二：价格弹性和需求关系价格弹性是经济学中的重要概念，用于衡量价格变化对需求的影响程度。
二次函数可用于描述价格弹性与需求之间的关系。
假设某商品的需求函数为Q(p) = ap^2 + bp + c，其中p表示价格。
通过对实际数据的回归分析，可以确定商品的需求曲线。
利用二次函数，可以计算出价格弹性。
价格弹性的值可以帮助企业预测市场需求的变化，从而做出灵活的定价策略。
案例三：投资回报率和风险关系在投资决策中，投资回报率和风险是两个重要的考虑因素。
二次函数可以帮助分析投资回报率与风险之间的关系。
假设某项投资的回报率与风险的关系可以用二次函数表示。
回报率函数的一般形式为R(x) = ax^2 + bx + c，其中x表示风险水平。
通过对历史数据进行回归分析，可以确定最佳拟合的二次函数。
利用二次函数分析，可以确定投资回报率随风险变化的趋势。
通过对函数的极值点进行分析，可以找到最佳风险水平，从而实现回报的最大化。
综上所述，二次函数在经济学中具有广泛的应用价值。
通过对二次函数的分析，可以更好地理解各种经济现象之间的关系，从而为决策提供科学依据。
不仅限于成本与产量、价格弹性与需求、投资回报率与风险这些案例，二次函数在经济学中的应用领域还非常广泛，包括市场预测、经济增长模型等等。
二次函数的应用
二次函数的应用二次函数是数学中一种常见的函数形式，其方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数在许多实际问题中都有广泛的应用，本文将介绍二次函数在几个不同领域的具体应用案例。
一、物理学领域中的应用1. 自由落体问题当物体在重力作用下自由落体时，其高度与时间之间的关系可以用二次函数来描述。
假设物体从初始高度h0下落，时间t与高度h之间的关系可以表示为：h = -gt^2 + h0其中g为重力加速度，取9.8m/s^2。
通过解二次方程可以求解物体落地的时间以及落地时的位置。
2. 弹射物体的运动考虑一个弹射物体，如抛射出的炮弹或投射物，其路径可以用一个抛物线来表示。
弹射物体的运动轨迹可以通过二次函数得到，可以利用二次函数的顶点坐标来确定最远射程或最高点。
二、经济学领域中的应用1. 成本和收入关系在经济学中，企业的成本和收入通常与产量相关。
通常情况下，成本和收入之间存在二次函数关系。
通过分析二次函数的图像，可以确定最大利润产量或最低成本产量。
2. 售价和需求关系在市场经济中，产品的售价通常与需求量相关。
通常情况下，售价和需求量之间存在二次函数关系。
通过分析二次函数的图像，可以找到最佳定价，以达到利润最大化。
三、工程学领域中的应用1. 抛物线拱桥在建筑和结构工程中，抛物线是通常用来设计拱桥的形状。
由于抛物线具有均匀承重特性，因此可以最大程度地减少桥墩的数量，提高桥梁的承载能力。
2. 抛物面反射器在光学和声学工程中，抛物面被广泛应用于反射器的设计。
由于抛物面具有焦点特性，因此可以实现光或声波的聚焦效果，提高反射效率。
四、生物学领域中的应用1. 生长模型植物和动物的生长通常可以使用二次函数模型来描述。
二次函数可以帮助分析生物在不同生长阶段的生长速率，并预测未来的生长趋势。
2. 群体增长生态学中，群体增长通常可以使用二次函数模型来描述。
例如，一种昆虫群体的数量随时间的变化可以通过二次函数来表示，通过分析二次函数的图像，可以预测种群数量的变化趋势。
二次函数的实际模型
二次函数的实际模型二次函数是数学中一类重要的函数形式，其形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不等于零。
二次函数在实际问题中的应用非常广泛，可以描述许多自然现象和工程实践。
本文将介绍二次函数的实际模型，并讨论其在不同领域的应用。
一、二次函数的基本形式二次函数的基本形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。
二次函数的图像为一个抛物线，其开口方向由a的正负决定。
当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
b决定了抛物线的对称轴位置，c则是y轴截距。
二、1. 物理学中的自由落体模型自由落体是物体在无空气阻力作用下下落的运动。
根据牛顿的第二定律，物体的运动满足F=ma，其中F为物体所受的合力，m为物体的质量，a为加速度。
在自由落体运动中，物体所受的合力为重力，可以表示为F=mg，其中g为重力加速度。
假设一个物体从高度h自由落下，我们可以建立二次函数模型来描述物体的高度和时间的关系。
考虑时间t为自变量，物体的高度h为因变量，我们可以得到二次函数的实际模型为h=-gt^2+vt+h0，其中v为物体的初始速度，h0为物体的初始高度。
2. 经济学中的成本函数模型在经济学中，每个企业都需要考虑生产过程中的成本。
成本函数可以用二次函数来近似描述。
假设一个企业的固定成本为c，变动成本为q^2，其中q为企业的产量。
则企业的总成本为C=c+q^2，可以用二次函数来表示。
二次函数模型可以帮助企业分析成本与产量之间的关系，从而找到最优的生产策略。
对成本函数进行求导，可以得到边际成本函数，帮助企业制定最优产量。
3. 生物学中的生长模型生物的生长过程中，通常会存在一个生长极限。
在一定条件下，生物的生长速率与其规模呈二次函数关系。
例如，人体的身高与年龄之间的关系可以用二次函数来描述。
假设一个个体的身高h和年龄t之间存在二次函数关系，可以表示为h=at^2+bt+c。
通过研究二次函数的系数，可以得到个体的生长速率、生长极限等信息。
二次函数所描述的关系
结束寄语
有信心的人,可以化渺小为 伟大,化平庸为神奇.
结束寄语
有信心的人,可以化渺小为 伟大,化平庸为神奇.
知识影响格局，格局决定命运！
知识影响格局，格局决定命运！ 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
有何特 点？
老师提示: (1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常 数,且a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次
项和常数项,但不能没有二次项.
在实践中感悟
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(1）y=3(x-1)²+1;
怎么 判断
(3) s=3-2t².
?
(5)y=(x+3)²-x². (6) v=10πr².
y(元)的表达式(不考虑利息税).
y=100(x+1)²=100x²+200x+100.
二次函数
y=-5x²+100x+60000,y=100x²+200x+100.
1.y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？
2.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常 数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
源于生活的数学
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现 准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么 树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据 经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是 因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙 子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
Y/个
你能根据表格中的数据作出猜想
吗？
人教版九年级上册数学教案：22.3二次函数的实际应用：利润问题
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数在利润问题中的基本概念。二次函数是描述变量间二次关系的数学表达式，它在商业决策中起着重要作用，尤其是在求解最优化问题时。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何通过建立二次函数模型来解决实际问题，以及它如何帮助我们找到最大利润的售价。
五、教学反思
今天我，整个教学过程让我有了以下几点思考。
首先，我发现同学们在建立二次函数模型时，对于一些关键信息的提取和处理还存在一定的困难。比如在确定二次项系数、一次项系数和常数项时，容易混淆。这让我意识到，在今后的教学中，需要更加注重培养学生提取信息、处理信息的能力。
在实践活动方面，我发现同学们在分组讨论和实验操作中，能够将所学知识应用到实际问题中，这让我感到很欣慰。但同时，我也注意到有些小组在操作过程中，对于一些细节问题处理得不够到位。为了提高同学们的实际操作能力，我计划在后续的教学中，增加一些针对性的练习和指导。
最后，今天的课堂总结环节，同学们能够较好地回顾所学内容，并提出自己的疑问。这表明大家在课堂上能够认真听讲，积极思考。但在回答问题时，有些同学的语言表达能力还有待提高。在今后的教学中，我会多关注这一点，并尝试通过一些课堂活动来提高同学们的表达能力。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数在利润问题中的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次函数解决实际问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
四、教学流程
解析二次函数在物理力学中的应用
解析二次函数在物理力学中的应用一、引言二次函数是数学中一个重要的概念，它在物理力学中有着广泛的应用。
通过对二次函数进行解析，可以帮助我们深入了解和描述许多自然现象和物理量之间的关系。
本文将以几个具体例子为基础，介绍二次函数在物理力学中的应用。
二、自由落体运动自由落体运动是研究重力作用下质点自由下落情况的经典案例。
而这种运动可以被建模为一个使用二次函数来表示坐标随时间变化关系的问题。
考虑抛体竖直上抛或者上竖直投射两类问题，在不考虑空气阻力等外因素影响时，重力加速度恒定，取向下为正方向，则可得到以下形式：y = v0t - 1/2gt^2其中y是高度（垂直方向位移），v0是初速度（初始化时朝垂直方向）,g是重力加速度（单位时间内速度增长率）。
此处就涉及到了一个二次函数表达式来描述抛体高度随时间变化而产生改变。
这个模型可以帮助我们计算出距离地面的高度、速度和时间之间的关系。
同时，通过计算二次函数的顶点，可以得到抛体达到最大高度所需的时间。
三、弹簧振子弹簧振子是另一个常见物理实验，在该实验中，一个质量与悬挂在其下的弹簧相连，并且在没有外力作用时会产生周期性运动。
弹簧振子可以被建模为简谐运动，在平衡位置附近发生往复运动。
而这种运动也可以使用二次函数来表示。
对于简谐振动而言，位移随时间变化满足以下形式：x = A * cos(ωt + φ)其中A是最大位移（即波幅），ω是角频率（决定了循环的快慢）,φ是初相位(constant phase)，t代表时间。
注意此处使用了余弦函数来描述物体随时间变化所处位置。
通过解析这个二次函数模型,我们不仅能够预测并计算出物体在任何给定时刻的位置和相关参数值(如速度和加速度等)，还能够优化实验设计以及评估系统稳定性等因素。
四、喷涌流量当我们需要描述一种粘稠流体从开口或者管道中射出时，可以使用喷涌流量的概念。
在物理力学中，我们经常遇到需要计算流体从孔洞中喷射的速度和高度等相关参数的问题。
二次函数关系式的三种形式
二次函数关系式的三种形式1.引言1.1 概述二次函数是数学中的重要概念，在许多领域都有广泛的应用。
它是一个拥有二次项的多项式函数，通常用一般形式表示为f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b和c分别代表函数的系数。
二次函数关系式可以通过三种形式来表示：标准形式、顶点形式和描点形式。
本文将对这三种形式进行详细介绍，包括定义和特点，并给出一些示例和应用。
在二次函数关系式的标准形式中，函数表达式会经过整理化简，常见形式为f(x) = ax^2 + bx + c。
标准形式的特点是系数a、b和c可以直接体现函数的性质，例如a决定了函数的开口方向，b决定了函数的对称轴以及接触或穿过x轴的情况，c则是函数在y轴上的截距。
标准形式的示例和应用可帮助读者更好地理解和应用二次函数关系式。
另一种常见的表达形式是二次函数关系式的顶点形式。
顶点形式的函数表达式为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)代表二次函数的顶点坐标。
顶点形式的特点是可以直观地描述二次函数的顶点位置及函数的凹凸性，方便进行图像的绘制和分析。
顶点形式的示例和应用将帮助读者更深入地理解二次函数的几何性质和图像特点。
此外，二次函数关系式还可以通过描点形式来表示。
描点形式的函数表达式为f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)，其中(x_1,y_1)和(x_2,y_2)分别为二次函数的两个描点坐标。
描点形式的特点是可以通过已知点的坐标，直接构造出二次函数的表达式，方便进行函数的推导和计算。
描点形式的示例和应用将帮助读者更好地理解和使用二次函数关系式。
总之，本文将详细介绍二次函数关系式的三种形式：标准形式、顶点形式和描点形式。
通过深入理解这三种形式的定义、特点和应用，读者将能够更好地掌握二次函数的性质和图像特点，进而在实际问题中灵活运用。
文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文将分为三个主要部分进行讨论。
首先，在引言部分，我们将简要概述本文的主题和目的，为读者提供一个整体了解的框架。
二次函数学案、练案(无答案)_北师大版
重、难点：二次函数y=ax2、y=ax2＋c的图象和性质
一、复习
1．填表
抛物线
图象
对称轴
顶点坐标
开口方向
位置
增减性
最值
2、函数若点（a，4）在y=x2的图象上，则a的值是．
3.如图，A、B分别为 上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=8，则点A的坐标为为
点B的坐标为.
3、公式中v的取值范围是什么？
做一做：请在同一坐标系内分别画出这两个函数的图像：
议一议：
1、 和 的图象有什么相同与不同？
相同点：
不同点：
2、如果行车速度是60km/h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？你是怎么知道的？
探究二：二次函数 图象性质
1、在同一坐标系作二次函数y＝2x2和y=-2x2的图象.(1)完成下表：
练案
1.抛物线y=x2-9的开口方向;对称轴是;顶点A的坐标是;若抛物线与x轴交于B﹑C两点,则△ABC的面积为.
2.抛物线y=-3x2+2可以看成是由抛物线y=-3x2-4向平移个单位得到的.
3.已知抛物线y=ax2-3经过点A(1,1),当y=9时,
x的值是.
4.抛物线y=－4x2－4，当x=时，y有最值，此时y=．
二、自主探究：
探究一：刹车距离与二次函数的关系
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v(km／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式s＝ v2确定，雨天行驶时，这一公式为s＝ v2．
想一想：1、刹车距离s与速度v之间的关系是二次函数吗?
2、与一上节课中学习的二次函数y＝x2和y＝-x2有什么不同吗?
二次函数在工程学中的案例分析
二次函数在工程学中的案例分析在工程学中，数学是一种不可或缺的工具。
而二次函数作为一种常见的数学模型，广泛应用于各种工程问题的分析和解决。
本文将通过几个具体的案例，探讨二次函数在工程学中的应用。
一、抛物线反射器设计在光学工程中，抛物线反射器是一种常见的光学元件，其形状可以用二次函数表示。
考虑到光线的入射角和反射角相等，可以利用抛物线的特性来实现光线的聚焦或者反射。
比如，在车辆的前大灯设计中，抛物线反射器可以将光线从光源处聚焦在道路上，提供足够的照明效果。
通过分析抛物线的焦点、顶点和对称轴等参数，可以确定抛物线的具体形状和尺寸，从而实现设计要求。
二、空气阻力模型在航空航天工程中，空气阻力是一个重要的考虑因素。
二次函数可以用来建立空气阻力与速度之间的关系模型。
根据伽利略提出的运动学理论，空气阻力与速度的平方成正比。
假设空气阻力可用F表示，速度可用v表示，则可以建立如下的二次函数模型：F = av^2 + bv + c。
其中，a、b和c是待定的系数，可以通过实验数据拟合得到。
这样的模型可以用于预测不同速度下的空气阻力大小，从而帮助设计飞机、导弹等飞行器的外形和结构。
三、材料力学分析在材料力学研究中，经常会涉及到弹性力学和塑性力学问题。
二次函数可以用来描述材料的应力-应变关系。
在弹性范围内，应力和应变之间呈线性关系，可以用一次函数表示。
而在超过弹性极限后，材料会发生塑性变形，形成塑性区域。
在该区域内，应力和应变之间不再呈线性关系，而是可以用二次函数来逼近。
通过对材料力学性质的二次函数分析，可以更准确地预测材料的变形和破坏情况，为工程设计提供依据。
四、电路设计中的反馈控制在电路设计中，反馈控制是一种常用的控制策略。
而反馈控制模型往往可以用二次函数表示。
例如，在放大器电路中，为了提高放大器的线性增益和稳定性，通常会采用负反馈控制。
负反馈控制的数学模型可以用二次函数表示，通过调节反馈电阻和输入电阻之间的比例关系，可以实现对放大器的精确控制。
2.1 二次函数所描述的关系教学案1
1【学习目标】1、经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验；2、能够表示简单变量之间的二次函数关系；3、能够利用尝试求值的方法解决实际问题。
【学习重点】表示简单变量之间的二次函数关系【学习难点】利用尝试求值的方法解决实际问题【学习过程】一、课前准备1、一次函数的表达式为 ，正比例函数的表达式为 ， 反比例函数表达式为 。
2、某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。
现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。
根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
请问种多少棵树才能达到30000个的总产量？你能解决这个问题吗？ （请列出方程，不用计算）二、自主学习活动一1、某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。
现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。
根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
（1）假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？（2）如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式。
2、设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。
如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y （元）的表达式（不考虑利息税）。
依题意，一年后的本息和是 ，此即为第二年的本金，则可得=y活动二1、一般地，形如 （ ）的函数叫做x 的二次函数。
其中，x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
2、下列函数中，y 是x 的二次函数的是( )A 、B 、C 、D 、 x y 1=2321x y +-=12－x y =2532+-=x x y2 3、设正方体的棱长为x ，表面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式y=4、设圆的半径为r ，面积为S ，则S 与r 之间的函数关系式S=三、课堂练习1、下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、2、正方形的边长是2cm ，假设边长增加x cm 时，正方形的面积增加ycm 2，则y 与x 的函数关系式为3、已知x x a y 2)1(2+-=是二次函数，那么a 的取值范围是______________4、已知函数42)2(－m x m y -=是y 关于x 的二次函数，则m 的值是5、某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件。
鲁教版(五四制)九年级数学二次函数y=a(xh)2+k的图象和性质优秀教学案例
此外，我还鼓励学生参与课堂讨论，分享彼此的学习心得和经验。通过小组合作学习，学生可以相互借鉴、相互启发，从而提高学习效果。在课堂结束时，我对学生的学习情况进行总结和评价，及时反馈学生的学习成果，提高学生的学习积极性。
3.讲解二次函数的性质：顶点式、对称性、单调性等，并结合实际例子进行解释。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性的问题，让学生在小组内进行讨论。如：“如何求解使得抛物线与x轴有两个不同交点的a、h、k的取值范围？”
2.引导学生运用数形结合思想，将实际问题转化为二次函数问题。如：“如何利用二次函数的性质解决篮球架安装问题？”
2.运用多媒体教学手段，展示二次函数的图像，使学生更直观地了解二次函数的性质。
3.设计具有针对性的练习题，让学生在实践中运用所学知识，提高解决问题的能力。
4.鼓励学生参与课堂讨论，分享彼此的学习心得和经验，提高学生的合作学习能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的内在动力。
2.组织学生进行自我评价和同伴评价，提高学生的自我认知能力。如，让学生评价自己在课堂上的表现，以及同伴在小组合作中的贡献。
3.教师对学生的学习情况进行总结和评价，给予学生反馈。如，教师应及时评价学生的学习成果，指出学生的优点和不足，鼓励学生继续努力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用生活实例导入：以篮球架的安装为例，提出问题：“如何安装篮球架才能使投篮更容易？”引导学生思考二次函数在实际生活中的应用。
二次函数与导数的关系
二次函数与导数的关系二次函数在数学中是一个非常重要的概念，它的图像通常呈现出一个开口朝上或者朝下的抛物线形状。
而导数则是描述函数变化率的工具，通过导数，我们可以更加深入地了解二次函数的性质和特点。
一、二次函数的定义与图像特点二次函数的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。
由于二次函数的二次项存在，它的图像总是呈现出一个抛物线的形状。
当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。
而b和c则影响抛物线的位置和平移。
二、二次函数的导数计算二次函数的导数可以通过求导公式来计算。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的导数f'(x) = 2ax + b。
导数的计算可以帮助我们了解函数在不同点的斜率和变化率。
三、导数与二次函数的关系1. 导数的符号：通过导数可以判断二次函数在不同区间的增减性。
当导数为正时，函数在该点附近递增；当导数为负时，函数在该点附近递减；当导数为零时，函数在该点附近取得极值。
2. 极值与拐点：由于导数可以反映函数的变化率，通过求导数的零点，我们可以找到二次函数的极值点和拐点。
当导数为零的点对应二次函数的顶点或者底点，即极值点；当导数发生变号的点对应二次函数的拐点。
3. 切线与法线：导数还可以帮助我们计算二次函数的切线和法线方程。
通过求导数得到的斜率，我们可以得到二次函数在某一点的切线斜率；而切线的方程则可以通过给定一点和切线斜率来确定。
同样地，法线的斜率可以通过切线斜率的相反数得到，从而确定法线的方程。
四、综合案例分析例如，考虑二次函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1。
根据导数公式，我们可以计算其导数为f'(x) = 4x + 3。
通过求导数的零点，我们可以得到导数为0的点为x = -3/4，这个点对应二次函数的极值点。
代入原函数，我们可以计算出极值点为(-3/4, -11/8)。
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2012-2013学年第二学期九年级数学案例分析1.二次函数所描述的关系浸潭镇第二初级中学陈硕华20XX年5月一、教学目标(一)知识与技能1．探索并归纳二次函数的定义．2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．(二)过程与方法1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系．3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．(三)情感态度与价值观1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．教学重点：二次函数的概念教学难点：经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程。
二、教学实录本节课设计了七个教学环节：课前准备、创设问题情境引入新课、想一想、做一做、归纳小结、课堂反馈、布置作业。
第一环节课前准备活动内容：引导学生复习函数的概念及已经学习过的几种函数：1.对“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗？我们学过那些关于函数的生活实际问题呢？2.函数的定义是怎样下的？3.让我们一起来回忆一下这些函数的一般形式。
活动目的：函数是对初中生来说是较抽象的概念，而且学生距离之前学习函数相关内容有较长时间间隔，这里有必要从学生已有的知识经验出发，学习新的内容，注重知识之间的联系，调动学生学习的积极性与主动性，也为接下来的学习作好铺垫。
实际教学效果：通过“温故”又可重新唤起学生对变量、自变量、因变量、函数等概念的理解，在回顾以前学习过的具体实例中能更好的帮助学生了解“函数”本质所在，而同学们比较熟悉的一次函数、反比例函数更能让他们回忆学习函数的过程。
第二环节 创设问题情境，引入新课活动内容：投影片：(§2．1A)某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？(2)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式． 函 数变量之间的关系一次函数y =k x +b (k ≠0)反比例函数 正比例函数y =k x (k ≠0)().k x=()0.k y k x =≠（4）大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y 是否是x 的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？请大家先独立思考，再互相交流后回答活动目的：此处提问时先由学生思考哪些是变量,等学生思考并回答后再提问哪些是自变量,哪些是因变量。
这样设计问题由简单到复杂，逐步推进，同时也可让学生初步体会到问题中所蕴涵着的函数关系。
探究橙子的数量与橙子树之间的关系、及用关系式表示这一关系的过程，为引出二次函数的概念作铺垫，使学生感受二次函数与生活的密切联系。
第（4）个问题让学生初次接触到本节课所要学习的新函数，为下面的学习作了一引子。
实际教学效果：学生在一个实际问题中第二次回忆起几种变量，及时对第一环节的“温故”进行反馈，而问题的设置由浅入深，学生在初三再学习函数有了好的开端，问题中的变化过程也恰好反映了函数本质所在，学生在不知不觉中也在复习函数的表示方法中的解析式法。
开放问题（４）在小组之间互相猜测、互相补充，通过判断对比也加深了对一次函数、反比例函数印象。
第三环节 想一想活动内容：如果你是果园的负责人，你最关心的问题是什么?（在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？）你能根据表格中的数据作出猜测吗？安排学生思考，可以是小组合作，也可以是自主学习的形式，然后组织交流。
在反映函数什变化过程中，教师用自己的手势向学生说明此函数的增减性，0－10时y 随x 的增大而增大，10－20时y 随x 的增大而减小，使学生形成对二次函数图象的初步印象活动目的：让学生作主，在生活情景中学习数学，带着兴趣学数学，体验每个人都学有用的数学。
用统计的方法得到关于最大产量的一种猜想，问题的最后解决留在以后。
从上面的活动中，使学生初步了解新函数的增减性的与众不同和新函数的重要应用(求最值)。
实际教学效果：学生经过前两个环节的学习，对新函数有了一定了解，事实上新函数的很多相关知识已经出现，学生知道它是确实有别于一次函数、反比例函数的新函数，Y/个 1413 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X/棵这种新函数也是从实际问题中出现的，而且新函数的增减性也有别于其它函数。
第四环节做一做活动内容：投影片：(§2．1B)银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．（本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存的时间付给的“报酬”，本息和就是本金和利息的和．利息＝本金×利率×期数(时间)．）设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．在这个关系式中，y是x的函数吗？活动目的：通过解决生活中数学问题，进一步熟悉用函数解析式反映变化过程，实际教学效果：学生对本金、利息、利率、本息和等到概念不是很熟悉，需要老师的指引，加之有了上面的学习，之后学生则能够较容易列出函数解析式。
第五环节归纳总结活动内容：从我们刚才推导出的式子y＝－5x2＋100x＋60000和y＝100x2＋200x＋100中，大家能否根据式子的形式，猜想出二次函数的定义及一般形式呢？一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function)．提问：1．上述概念中的a为什么不能是0？2．对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？3．由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键看什么？4．二次函数的解析式，与我们所学过的什么知识相类似？通过这个问题，使学生能把二次函数与一元二次方程初步搭上联系即可，为以后的教学做好铺垫．由这三个问题加深学生对二次函数意义的理解，也同时给出了二次函数的三个特例：y=ax 2+bx （a ≠0）；y=ax 2+c （a ≠0）；y=ax 2（a ≠0），使学生深刻理解：看一个函数是否是二次函数的关键是看二次项的系数是否为0．例1．下列函数中，哪些是二次函数？（1）y=3(x-1)²+1 (2)y=x+1/x(3)s=3-2t² (4) y=1/x²-x(5) v=Л r²例2、用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？活动目的：在以上两例的基础上，给出二次函数的定义，并举出以前所见到的一些二次函数关系式，通过练习加强对二次函数的理解。
实际教学效果：通过对比前面得到函数解析式以及一次函数的定义，学生能够得到二次函数的定义，开始对没有一次项或常数项的二次函数不能判断，对但通过例题练习，学生能较好地掌握二次函数定义。
注意：(1)关于x 的代数式一定是整式,a,b,c 为常数,且a ≠0.(2)等式的右边自变量的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.(3)二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数,a ≠0)还有以下几种特殊表示形式:①y=ax² --------- (a ≠0,b=0,c=0,).②y=ax²+c ------ (a ≠0,b=0,c ≠0).③y=ax²+bx ---- (a ≠0,b ≠0,c=0).第六环节 课堂反馈活动内容①.下列函数中,哪些是二次函数？(1）v=10πr² (3) s=3-2t² (5) y=(x+3)²-x² (6) y=3(x-1)²+1;.1).2(x x y +=.1).4(2x x y -=②.用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m ²)与矩形一边长a(m)之间的关系式是什么？它是什么函数？ ③.如果函数y= +kx+1是二次函数,则k 的值一定是______ ④.如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,则k 的值一定是______⑤圆的半径是4cm,假设半径增加xcm 时,圆的面积增加ycm².（1）写出y 与x 之间的函数关系表达式；（2）当圆的半径分别增加1cm, 2cm 时,圆的面积增加多少？活动目的：通过“随堂练习”和习题，学生进一步明确二次函数的概念和进一步体会二次函数所描述的关系。
实际教学效果：学生基本都能理解二次函数的概念，判断那些函数是二次函数，使学生感受二次函数与生活的密切联系。
第七环节 布置作业必做题： 课本P36-37习题2.1第1、2题；选做题： 课本P77B 组第2题。
三、分析1．给出表格让学生探索，等于让学生沿着教师的思维进行思考和探究，这样做限制了学生的思维，使学生失去了自己探索的空间，不能全身心地投入数学学习。
从本节的教后反馈来看，不借助上述的表格，放手让学生自主探索，学生完全能找到解决问题的办法。
通过探究的过程，既培养了学生的观察能力，也回顾了学生已有的知识，如取值的过程从5，10，15的这一取法，就是在八年级上册所学的估算的思想，分段取值，逐步逼近。
发现函数与方程的联系（如：令－5x 2+100x ＝0解得x 1＝0，x 2=20），发现变与不变的关系（如：发现60000是常量，进而去研究－5x 2+100x 的值的大小）。
学生自己探究过程所得出的结论不仅能很好地达到本节的教学目的，同时对下面几节的教学也起到了很好的铺垫作用。
第二天的教学就能很好地说明这点，在学习第二节课二次函数的图象时，学生能很快想起本节所描述的函数特征，使得函数的学习不再变得抽象难懂。
2． 在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。
教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。