第二类曲线积分ppt

A B
B A
性质3：
若
AB
AC
CB ，则
F ( M ) d r F ( M ) d r F ( M ) d r
第二节
第十章
第二类曲线积分
一、向量场 二、第二类曲线积分的
概念与性质
三、第二类曲线积分的 计算
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一、向量场
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定义：设 D R2，R2上的向量场是一个函数，这个函数将 D r
中的每个点( x, y)映射到一个二维向量F ( x, y)。 定义：设 E R3，R3上的向量场是一个函数，这个函数将 E
设 L是一条从点 A到点 B的定向光滑（或分段
光滑）曲线，向量函数F (M )在 L上有定义。用分点
A A0 , A1, An B将 L按从 A到 B的方向任意分
成uAuiu1unAuri个小rr弧i ，段(i，记1,2每,个n小)，弧在段每的个弧小长弧为上任si
，并记 取一点
M
i
，做数量积： F(Mi )
已知常力 F 沿直线所作的功
W F A.B 求变力沿曲线所作的功，利用
“分割, 近似, 求和, 取极限”
(i ,i , i )•
L Mi1
M2
A M1
B
Mi Mn1
分割 A M 0 ,M 1 , ,M n 1 ,M n B .
近似
W i F ( i , i ,i ) M i 1 M i ,
G(
M
)的各个分量函数在
AB 上连续或分段连续
性质1： 性质2：
A B F k 1 ( F M ( M k ) 1 d ) A r B F k 2 ( G M ( M ) F ) d ( r M d r ) k 2 d r A B G ( M ) d r
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梯度场和保守场
定义：一个数量函数的梯度是一个向量场，称为梯度场。
二元函数 f ( x, y)的梯度为
rr
gradf
f xi
f
y
j
@f
rrr
三元函数 f ( x, y, z)的梯度为
gradf
f xi
f
y
j
fzk
@f
r
定义：一个向量场F 称为保守场，如果它是某个数量函数的
二、对坐标的曲线积分
定向曲线与切向量： 定向曲线：带有确定走向的一条曲线。 规定：定向曲线上各点处的切向量的方向总与曲线的
走向一致。
x x(t)
设定向曲线 L 的参数方程为： y y(t ) t : a b
z z(t)
表示 L 的起点对应 t a，终点对应 t b。
则 L 的切向量为： { x(t) , y(t) , z(t) }
r
梯度，即存在一个函数 f ，使得F f ，此时 f 称为
r
F 的势函数。
注意：不是所有的向量场都是保守场，但这种向量场在物理
中确实频繁出现。 比如，力场，速度场都是保守场，但磁场不是保守场。 如何判断一个向量场是否是保守场，将在下一节讨论。
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例：求出 f (x, y) x2 y y3的梯度场，并在 f 的等高线上画
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求和:
n
(i ,i , i )•
W F (i, i, i)M i 1M i
i 1
L Mi1
M2
取极限:
A M1
B
Mi Mn1
n
W l i0i m 1F (i,i,
i)M i 1 M i
向量形式
F ( i , i , i ) P ( i , i , i ) i Q ( i , i , i ) j R ( i , i , i ) k
ri ，( i
1,2,
n)，
求和：
n
F(
M
i
)
ri
，令
i 1
miaxsi 0，若
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此和式的极限存在（不依赖于曲线的分法和点
Mi 的取
法），则称此极限值为向量函数 F (M )沿曲线 L从 A到
B的第二类曲线积分（也称对坐标的曲线积分），记作
lim
出梯度场，观察它们之间的关系。
解:
r
r
f ( x , y ) 2 x y i ( x 2 3 y 2 ) j
从右图可以看出，梯度向量和 等高线正交。
梯度向量在等高线密的地方 长，在等高线稀的地方短。
这是因为，梯度向量的长度等于 f 的方向导数的值，等高线越密的地 方，意味着高度变化越快。
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其中：当 a b时，取正号；a b时，取负号。
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例：求变力 F 沿曲线 L 所作的功。 解: 设曲 L :A 线 B ,变力
F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k
0
n i 1
F(
M
i
)
ri
F(M
)
dr
LHale Waihona Puke Baidu
其中有向曲线 L 称为积分曲线。
上式也称为第二类曲线积分的向量形式。 第二类曲线积分也称为向量场的线积分。
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说明：
（1）变力沿定向曲线所做的功：W
L
F(
M
)
dr
（2）若 L是封闭曲线，则沿 L的指定方向的第二类
曲线积分记为
L
F(
M
)
dr
。
定理（第二类曲线积分存在的充分条件）：
设有向曲线 AB 分段光滑，向量函数F(M )，的各
个分量函数在
AB 上连续或分段连续，则
F(
M
)沿曲线
AB 从点 A到点 B的第二类曲线积分存在。
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基本性质
以下设有向曲线 AB 分段光滑，向量函数F(M )，
r 中的每个点( x, y, z)映射到一个三维向量F ( x, y, z)。
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画向量场 y r rr F2i j
o
r rr Fxiyj
y
o
rr y Fxi
x
o
x
r r ry Fyixj
x
o
x
-
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r rr Fyixj
rr Fzk
M i 1 M i ( x i ) i ( y i ) j ( z i ) k ,则
n
W l 0 i i 1 [ m P (i,i,i) x i Q (i,i,i) y i R (i,i,i) z i]
坐标形式
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对坐标的曲线积分的定义：