三角形中的边角转化教学
探索三角形全等的条件-角边角、角角边教学设计
《探索三角形全等的条件-角边角、角角边》教学设计一、教学内容及解析本课是北师大版七年级下册，第四章第二节第二课时的内容。
全等三角形是平面几何的基础性的核心内容，三角形全等条件的探究是个重要的课题。
本节课是在学习了三角形有关要素、全等三角形的概念、性质以及探索出边边边能判定三角形全等以后进行的。
本节课的知识具有承上启下的作用，是判定三角形全等的重要依据，也是为以后说明线段相等、两角相等提供方法。
在能力培养上，无论是动手操作能力、逻辑思维能力，还是分析概况问题、解决问题的能力，简单的推理能力。
也渗透了分类讨论思想、化一般为特殊、化未知为已知的思想。
因此，全等三角形的判定是今后几何证明的起点，在整个初中数学的学习中有至关重要的作用。
二、教学目标及解析：（1）知识与能力目标①让学生在自主探究的过程中得出“ASA”公理和推导出“AAS”定理，掌握“角边角、角角边”是判定三角形全等的方法。
②使学生会运用“ASA”公理和“AAS”定理解决实际问题。
③发展学生有条理的数学语言的表达能力。
（2）过程与方法目标：①通过通过学生动手操作、观察实验、探索交流、分析归纳等活动，经历探索新知的过程，体会获得数学结论的过程，积累数学活动的经验。
（3）情感、态度与价值观目标：①通过探究活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质以及发现问题的能力。
②通过实际生活中的有关全等三角形判定的应用，让学生体验数学来源于生活，服务于生活的辩证思想，感受数学美。
三、学生学情分析：七年级的学生观察、操作、猜想能力已经有了很大的发展，但是演绎推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱。
在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些简单探索活动，并进行了一些简单的逻辑推理过程，解决了一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验的基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历全等三角形判别条件的探索活动，具有了一定的问题分析能力及归纳演绎的能力，具备了一定的合作与交流的能力。
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系说课稿.4直角三角形公开课
3.使用多媒体工具展示生动的几何图形和动画，帮助学生直观理解直角三角形的边角关系。
4.给予学生成功的体验，通过设计难度适中的练习题，让学生在解决问题中获得成就感，增强学习信心。
5.鼓励学生提出问题和自己的想法，培养他们的探究精神和批判性思维。
4.最后介绍直角三角形的判定与证明方法，通过一系列例题，让学生掌握如何运用这些方法解决实际问题。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习或实践活动：
1.设计一些填空题和选择题，让学生独立完成，以检验他们对基本概念和定理的理解。
2.安排一些证明题，要求学生在小组内合作完成，培养他们的合作能力和逻辑推理能力。
（二）教学反思
在教学过程中，可能遇到的问题包括学生对直角三角形性质的误解、对勾股定理证明过程的困惑以及实际问题解决能力的不足。为应对这些问题，我将采取以下措施：及时澄清误解，通过实例和图示解释概念；分步骤讲解勾股定理的证明，强调每一步的逻辑；设计更多实际问题练习，培养学生的应用能力。课后，我将通过学生的课堂表现、作业完成情况和测验成绩来评估教学效果。具体的反思和改进措施包括：根据学生反馈调整教学方法和进度，针对学生的弱点提供额外的辅导，以及不断更新教学资源，以提高教学质量和学生的学习效果。
2.提供一个自我评价表，让学生根据自己在课堂上的表现和作业完成情况进行自我评价。
3.对学生的表现给予积极的反馈，针对他们的不足提出建设性的建议，帮助他们改进学习方法。
4.鼓励学生相互评价，通过同伴互助，共同提高。
（五）作业布置
课后作业的布置如下：
1.设计一些与直角三角形相关的练习题，包括基本概念的理解题、定理的证明题以及实际问题的应用题。
备战2024高考数学二轮复习讲义第二讲-转化思想在解三角形中的应用
第2讲转化思想在解三角形中的应用转化思想是高中生必备的灵活性思维方式，也是解决数学问题的有效途径之一，其要点在于将陌生的问题情形转化为熟悉的情形，将复杂、抽象的数学问题简单化、直观化，或从不同角度切入以分析问题，逐步探索出解决问题的有效方法。
解三角形作为高中数学教学的重要内容之一，对于学生数学思维品质有着较高要求，需要学生运用三角形相关知识，结合已有条件求出三角形的三个边或三个角，其中便涉及到对转化思想的运用，例如将题干内的抽象语言转化为直观的图形、“爪型”问题的相关求解、边角互化的应用及三角形内角转化在解三角形中都有广泛的重要应用，而本文会重点就转化思想在解三角形中的几类应用展开详细讲解。
【应用一】转化思想在解三角形边角互化中的应用形如我们在学习解三角形时，会学习正弦定理及其变化的相关应用，对于基础型的“对边对角”类型，我们可以利用正弦定理直接求解，但有时也会遇到形如“cos cos sin b C c B a A +=、cos sin 0a C C b c --=、222sin sin sin sin sin A C A C B ++=、()()2sin sin sin sin sin A B A B C +-=”等类型的等式来求对应角的问题，那么此时我们该如何求解呢？我们不妨重新学习一下正弦定理，基本公式为R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 为ABC ∆外接圆的半径），可变形为①CR c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===②,2sin ,2sin ,2sin Rc C R b B R a A ===③CB A c b a sin :sin :sin ::=其实上面3个变形已经解释了边角互化的本质，即R 2能否被抵消掉，能同时被抵消则可以实现边角互化。
我们在做题过程中遇见“边是一次”时，通常边化角；遇见“正弦乘积是二次或边与正弦乘积是二次”时，通常角化边后用余弦定理求解；例如下面这两道例题：本题是模考或高考中解三角形较常规的题型，解题关键突破口在于利用正弦定理进行边角互化求角，通过刚才分析，我们发现这是边为一次的齐次类型，我们可以边化角，即得到sin cos sin sin sin A B A B B C =+，此时我们发现有三个角，于是我们可以利用三角形内角和为︒180，进行角度转化，那么要替换哪个角呢？通过观察我们发现，B A 、角的正余弦值是乘积关系，于是我们可以替换C 角，即()sin cos sin sin sin A B A B B A B =++1cos A A =+，利用辅助角公式化简即可求值。
沪科版数学八年级上册《三角形边角关系》教学设计1
沪科版数学八年级上册《三角形边角关系》教学设计1一. 教材分析《三角形边角关系》是沪科版数学八年级上册的教学内容，本节课的主要内容是让学生掌握三角形的边角关系，包括三角形的内角和定理、三角形的边长关系等。
教材通过丰富的实例和活动，引导学生探究和发现三角形的边角关系，培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平面几何的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力和观察能力。
但是，对于三角形的边角关系的理解和运用，还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，要注重启发学生思考，引导学生发现规律，提高学生的几何思维能力。
三. 教学目标1.了解三角形的内角和定理，掌握三角形的边长关系。
2.培养学生观察、分析、解决问题的能力。
3.培养学生的合作意识和几何思维能力。
四. 教学重难点1.三角形内角和定理的证明。
2.三角形边长关系的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例和活动，引导学生发现三角形的边角关系。
2.问题驱动法：引导学生提出问题，自主探究，解决问题。
3.合作学习法：分组讨论，共同解决问题，培养合作意识。
六. 教学准备1.准备相关的实例和活动材料。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的三角形图片，引导学生观察并思考：这些三角形有什么共同的特点？你想到了什么关于三角形的性质？2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示三角形内角和定理的证明过程，让学生理解并掌握三角形的内角和定理。
同时，引导学生发现三角形的边长关系，如：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选择一个三角形，用尺子和量角器测量三角形的内角和，并验证三角形的边长关系。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）教师出示一些关于三角形边角关系的练习题，让学生独立完成，检验学生对知识的掌握情况。
第5讲 三角形的边角关系 (修复的)
第二篇三角形本篇的主要内容是三角形、全等三角形和等腰三角形以及勾股定理，主要了解三角形的中线、角平分线．在知道三角形的三个内角的和等于180°的基础上．学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学会如何利用全等三角形进行证明．这些内容都是研究特殊的三角形，如等腰三角形、直角三角形）的基础，也是研究其他图形的基础知识．从全等三角形开始，我们要开始理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式．这既是本篇的重点，也是学习的难点．研究三角形全等条件的重点应放在第一个条件（“边边边”条件）上，然后以“边边边”条件为例，理解什么是三角形的判定，怎样判定．在掌握了“边边边”条件的基础上，学会怎样运用“边边边”条件进行推理论证，怎样正确地表达证明过程．“边边边”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了．在“角平分线和垂直平分线”一讲中，介绍了角的平分线和垂直平分线的作法，角平分线和垂直平分线的性质与判定，这些结论是用三角形全等证明得到的，利用这些结论证明线段相等和角度相等，比用全等知识来证明线段相等和角度相等更方便．本讲中探究三角形三条角平分线和垂直平分线相交于一点．也为今后在“圆”一章学习内心和外心作好了准备．等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质．由于它的这些特殊性质，使它比一般三角形应用更广泛．而等腰三角形的许多特殊性质，又都和它是轴对称图形有关．在本讲中，利用等腰三角形的轴对称性，得出了“等边对等角”、“三线合一”等性质，并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角形的性质与判定方法的内容．课程标准对于推理证明的安排，在“全等三角形”已经要求会用符号表示推理（证明）的基础上，对于一些图形的性质（如线段垂直平分线的性质、等腰（边）三角形的性质与判定等），仍是要求证明．由于刚开始接触用符号表示推理，图形、题目的复杂程度明显增加，多练、多想、多总结是是学好本篇的基本方法．第5讲三角形边角关系〖学习目标〗1.理解三角形及与三角形有关的线段的概念，证明三角形两边的和大于第三边．2.理解三角形的内角、外角的概念，探索并证明三角形内角和定理，掌握直角三角形的两个锐角互余，掌握两个内角互余的三角形是直角三角形，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．3.了解多边形有关的概念，探索并掌握多边形的内角和与外角和公式．※考情分析三角形是正式学习几何的第一步，其主要内容是三角形的三边关系和三角形的内角和，这些都是中考关注的热点，本篇涉及的一些几何证明已经具有一定的难度．在中考数学试卷中，如果是计算或证明，难度可能达到中等，而对概念的考查，就可能比较简单．题型一般为填空或选择为主，分值一般3分左右．〖基础知识·轻松学〗一、三角形的有关概念1．三角形定义的要点：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次连接．2．三角形的分类（1）按边分类 （2）按角分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形 ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形 精讲：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形．（2）不等边三角形是指三条边都不相等的三角形．无论哪种标准进行分类，原则上做到不重不漏．二、三角形三边关系（1）三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．（2）三边关系的应用：①若两条较短的线段长度之和大于第三条线段，则这三条线段可以组成三角形．②当已知三角形两边长，两边之差＜第三边＜两边之和．精讲：这里的“两边”指的是任意两边．对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值．三、三角形的高、角平分线和中线高：三角形的一个顶点到它对边的垂线段．中线：三角形的一个顶点到它对边中点的连线段．角平分线：一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．精讲：（1）三条高所在的直线相交于一点（垂心）．①锐角三角形三条高的交点在三角形的内部（如图5-1）；②钝角三角形的三条高所在的直线交于一点，这点在三角形外部（如图5-2）；③直角三角形的三条高的交点是直角顶点（如图5-3）．图5-1 图5-2 图5-3 图5-4（2）三角形的三条中线相交于一点，如图5-4（重心），三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形．（3）三角形的三条角平分线相交于一点，如图（内心）四、三角形三个内角的和等于180°．表示：在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°．应用：在三角形中，已知两个角的度数，可求另一个角的度数；或已知各角之间的数量关系可求各角．推论：直角三角形的两个锐角互余，这个性质是由三角形的内角和定理得到的．反之，当一个三角形的两个锐角互余时，这个三角形是直角三角形．精讲：由三角形内角和定理可以推出以下几个常见结论：结论1：如图5-5，如果∠C ＝90°，则∠A ＋∠B ＝90°； AB C D AB CI A E C D B图5-5 图5-6 图5-7 图5-8 图5-9（图5-5未标注顶点ABC ）结论2：在△ABC 中，如果∠A ＋∠B ＝90°或∠A ＋∠B ＝∠C 或∠C －∠A ＝∠B 或∠C －∠B ＝∠A ，则△ABC 为直角三角形；结论3：如图5-6，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，则∠DBC ＝12∠A ； 结论4：如图5-7，在△ABC 中，∠ABC ,∠ACB 的角平分线相交于I ，则∠BIC ＝90°＋12∠A ． 结论5：如图5-8，在△ABC 中，AB ＝AC ，FD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，则∠EDF ＝∠B ＝∠C ；结论6：如图5-9，在△ABC 中，AD ，AE 分别是△ABC 的角平分线和高，则∠DAE ＝12|∠C －∠B |． A C B五、三角形的外角的性质性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．精讲：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证时经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．六、多边形1．多边形的对角线①从同一顶点出发，可以画（n－3）条对角线；②从同一顶点出发的对角线将n边形分成（n－2）个三角形；n n 条对角线．③n边形一共有(3)22．n边形的内角和等于(n－2)×180°．3．n边形的外角和等于360°．精讲：多边形的内角和随着边数的增加而增加，而且是每增一边，都增加180°，而外角和不随边数的变化而变化，保持度数不变．〖重难疑点·轻松破〗一、这三条线段能否构成三角形例1：下面分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗? .（1）5cm，8cm，2cm；（2）5cm，8cm，13cm；（3）5cm，8cm，5cm．分析：只要比较两条较短线段之和与最长线的大小即可.答案：（1）∵5＋2＝7< 8，不满足两边之和大于第三边∴不能摆成三角形.（2）∵5＋8＝13，出现两边之和等于第三边的情况∴不能摆成三角形.（3）∵5＋5＝10>8，两个较小边之和大于第三边，∴能摆成三角形．点评：如果三条线段能够构成三角形，则任意两边之和大于第三边．但是当两条较短线段长之和大于第三边的话，那么另外两组不等式也是成立的．变式练习1：下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）A．3cm，5cm，8cm B．8cm，8cm，18cmC．0.1cm，0.1cm，0.1cm D．3cm，40cm，8cm二、中线等分对边的应用三角形中线的应用体现在两个方面，一是讨论中线将三角形周长分成的两部分的关系；二是中线等分三角形面积问题．例2：如图5-10，等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．AB C D图5-10分析：由题意可知，中线BD 将△ABC 的周长分成AB ＋AD 和BC ＋CD 两部分（注意不是AB ＋AD ＋BD 和BC ＋CD ＋BD 两部分），故有两个可能（1）AB ＋AD ＝15且BC ＋CD ＝6；（2）AB ＋AD ＝6且BC ＋CD ＝15．再由AB ＝AC ＝2AD ＝2CD 及三角形三边关系知（1）成立，（2）不成立．解：设AB ＝AC ＝2x ，则AD ＝CD ＝x ．（1）当AB ＋AD ＝15，BC ＋CD ＝6时，有2x ＋x ＝15，所以x ＝5，2x ＝10，BC ＝6－5＝1．（2）当AB ＋AD ＝6，BC ＋CD ＝15时，有2x ＋x ＝6．所以x ＝2，2x ＝4，所以BC ＝13．因为4＋4＜13，故不能组成三角形．答：三角形的腰长为10，底边长为1．点评：（1）由于AD ＝CD ，因此本题中线BD 将△ABC 周长分成的两部分之差，等于AB 与BC 边长之差．（2）涉及等腰三角形边的问题时，常要分情况讨论，然后看它们是否满足三边关系，不满足的要舍去．变式练习2：在△ABC 中，AB ＝AC ，AC 上的中线BD 把三角形的周长分为24cm 和30cm 的两个部分，求三角形的三边长．例3：如图5-11，在△ABC 中，AD ，BE ，CF 是三条中线，它们相交于同一点G ，问△AGF 的面积和△AGE 的面积是否相等？为什么？图5-11分析：三角形的中线可将三角形的面积分成面积相等的两部分，本题中除了AD ，CF ，BE 可以看作中线外，GF ，GE ，GD 也可以看作中线．解：这两个三角形的面积相等.理由：∵AD 是BC 边上的中线，∴△ABD 与△ADC 等底同高，∴S △ABD ＝S △ADC ．同理：S △BGD ＝S △CGD ．∴S △ABG ＝S △AGC ．∵GE ，GF 分别是△AGC ，△AGB 的中线．∴S △AGF ＝S △BFG ，S △AGE ＝S △GEC ．∴S △AGF ＝S △AGE点评：根据“三角形的面积＝21×底×高”可知，“同高等底的两个三角形的面积相等”本题正是利用这一性质解决问题的．变式练习3：如图5-12，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是BC 、AD 、CE 的中点，且ABC S △＝4cm 2，则BEF S △＝_______cm 2． AB DC EF图5-12三、基本图形――两角平分线的夹角问题三角形中两个内角平分线夹角、一个内角和一个外角平分线的夹角、以及两个外角平分线的夹角都与第三个内角有关，了解这些结论推导的过程，并熟记这些结论，对今后的解题有很大的帮助．例4：如图5-13，已知在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，CD 平分△ABC 的外角∠ACE ，BD 、CD 相交于点D ．求证：∠A ＝2∠D ；图5-13分析：根据外角性质可得∠A ＝∠ACE －∠ABC ，∠D ＝∠DCE －∠DBC ，要证明∠A ＝2∠D ，只需证明∠ACE －∠ABC ＝2(∠DCE －∠DBC )即可．证明：∵BD 平分∠ABC ，CD 平分△ABC 的外角∠ACE ，∴∠ACE ＝2∠DCE ，∠ABC ＝2∠DBC∵∠A ＝∠ACE －∠ABC ，∠D ＝∠DCE －∠DBC∴∠A ＝2∠D ．模型梳理：在三角形中，一个外角平分线和一个内角平分线的夹角等于第三个角度数的一半，即∠D ＝12∠A ； 类似的结论还有：（1）如图5-14，在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，则∠BOC ＝90°＋12∠A ． （2）如图5-15，在△ABC 中，CP ，BP 分别是∠ACB ，∠ABC 的外角的平分线，则∠P ＝90°－12∠A ，可见∠P 为锐角． AB C O A B C P D E图5-14 图5-15变式练习4：如图5-16，在△ABC 中，∠A ＝42°，∠B 和∠C 的三等分线分别交于点D ，E ，则∠BDC 等于_______．图5-16四、利用外角求角度例5：一个零件的形状如图5-17，按规定，∠CAB 应等于90°，∠C ，∠B 应分别等于20°和300．李师傅量得∠CDB ＝142°，就断定了这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？A B CD E图5-17分析：由于李师傅量得∠CDB ＝142°，我们可由∠CAB ＝90°,∠B ＝∠C ＝20°计算出∠CDB 的度数，如果∠CDB 不等于142°，则这个零件肯定不合适．解：延长BD 交AC 于E ，则∠CDB ＝∠C ＋∠CED ；又∠CED ＝∠CAB ＋∠B ，所以∠CDB ＝∠C ＋∠CAB ＋∠B ＝140°．而实际测量∠CDB ＝142°，所以可以断定这个零件不合格．点评：（1）解形如图5-17的图形的角度计算问题时，我们常常通过延长某条线段将该图形分割成两个三角形，构造三角形的外角解决问题．（2）从本题的解法可以总结出这样一个规律：∠CDB ＝∠C ＋∠CAB ＋∠B ．变式练习5：如图5-18，△ABC 的三条角平分线交于点O ，过O 作OE ⊥BC 于E ，求证：∠BOD ＝∠COEAB C DEC B AH G DE O图5-18五、基本图形――“又”字型例6：如图5-19，BE 与CD 交于A ，CF 为∠BCD 的平分线，EF 为∠BED 平分线．（1）试探求：∠F 与∠B ，∠D 之间的关系？（2）若∠B ∶∠D ∶∠F ＝2∶4∶x ．求x 的值．DE FA B C G HD E F C G E F B C H D E A B C图5-19 图5-20 图5-21 图5-22分析：这个图形我们可分解为图5-20、图5-21、图5-22三个基本图形，这三个基本图形分别可得结论：①∠D ＋∠DEF ＝∠F ＋∠DCF ；②∠F ＋∠FEB ＝∠B ＋∠BCF ；③∠D ＋∠DEB ＝∠B ＋∠BCD ．我们可任选两个结论来探究∠F 与∠B ,∠D 之间的关系．证明：∵∠EGC ＝∠D ＋∠DEF ，∠EGC ＝∠F ＋∠DCF ，∴∠D ＋∠DEF ＝∠F ＋∠DCF ．即∠D －∠F ＝∠DCF －∠DEF ．同样道理：∠F －∠B ＝∠BCF －∠FEB ．∵CF 为∠BCD 的平分线，EF 为∠BED 平分线，∴∠DCF ＝∠BCF ，∠DEF ＝∠FEB ，∴∠DCF －∠DEF ＝∠BCF －∠FEB ．∴∠D －∠F ＝∠F －∠B ．即2∠F ＝∠B ＋∠D（2）设∠B ＝2k ，∠D =4k ，∠F ＝xk ，∵2∠F ＝∠B ＋∠D ，∴2xk ＝2k ＋4k ，解得：x ＝3．点评：本题问题的顺利解决主要得益于基本图形的使用，平时注意积累基本图形及其基本规律对于解题非常有帮助，同时对于复杂的图形，我们要善于将复杂的图形分解成简单的图形，从而发现解题思路．变式练习6：如图5-23，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．图5-23六、多边形边数的探究思路例7：如果一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为1190°，则这个多边形的边数是多少？这个内角是多少度？分析：从n边形的内角和我们可以看出两方面内容：一是多边形的内角和是180°的倍数；二是多边形的内角和与多边形的边数有关，如果将内角和除以180°，然后加2后就等于多边形边数；在本题中，这个多边形的内角和是比1190°大，是180°的倍数，而且是与1190°最接近的那个180°的倍数，所以这个多边形的内角和为1260°．解：设这个多边形为n边形由题意：这个多边形的内角和为1260°∴180（n－2）＝1260，解得n＝91260°－1190°＝70°答：这个多边形为九边形，这个内角为70°．点评：判断一个多边形的内角和是否计算错误，首先这个内角和必须是180°的倍数，如果少计算了一个角，则内角和要比计算结果大，与计算结果最接近的那个180°的倍数，如果多计算了一个角，则内角和要比计算结果小，也是与计算结果最接近的那个180°的倍数．变式练习7：一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能例8：如果一个各边都相等的多边形，若它的每一个内角是144°，则这个多边形是（）A．正十边形B．正九边形C．正八边形D．正七边形分析：本题有两种解决问题的思路，思路一是借助多边形的内角和定理，设这个多边形为n 边形，则这个多边形的内角和为180(n－2)°或144n°，则可得方程180(n－2)＝144n，求出这个多边形的边数；思路二是转化为多边形的外角来求，由于这个多边形的每个内角为144°，所以它的每个外角等于36°，根据多边形的外角和是360°可知这个多边形是十边形．解：法一：设这个多边形为n边形．则180(n－2)＝144n，解得n＝10．答：这个多边形是十边形．法二：因为这个多边形的每一个内角是144°，所以这个多边形每个外角等于36°，360°÷36°＝10．答：这个多边形是十边形．点评：尽管多边形的内角和度数随着边数的增加而增加，但是多边形的外角和的度数始终保持不变，利用这一不变性，可使问题变得简单．变式练习8：一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为（）．A．9B．8C．7D．6【课时作业·轻松练】A．基础题组1．如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2．能把一个三角形分成面积相等的两个三角形的是（ ）．A ．高B ．中线和角平分线C ．角平分线D ．中线3．如图5-24，AE ，AD 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B ＝36°，∠C ＝76°，则∠DAE 的度数为（ ）A ．40°B ．20°C ．18°D ．38° AE C D B图5-244．如图5-25，∠A ＝55°，∠B ＝30°，∠C ＝35°，求∠D 的度数．图5-255．一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是_______．B ．提升题组6．如图5-26，把△ABC 的纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 内部时，则∠A 与∠1,∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找出这个规律为_______________． 1 2 BC AE D 图5-267．如图5-27，在△ABC 中E 是BC 上的一点，EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ,△ADF ,△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC ＝12，则S △ADF －S △BEF ＝_________．图5-278．如图5-28，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，且∠B ＝3∠BAD ，求∠ADC 的度数．CAB D图5-289．（1）如图5-29，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY ，XZ 分别经过点B ，C ，△ABC 中，∠A ＝30°，则∠ABC ＋∠ACB ＝ 度，∠XBC ＋∠XCB ＝ 度；（2）如图5-30，改变直角三角板XYZ 的位置，使三角板XYZ 的两条直角边XY ,XZ 仍然分别经过点B ,C ，那么∠ABX ＋∠ACX 的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX ＋∠ACX 的大小．X XYA BCCB A YZ Z图5-29 图5-3010．如图5-31，∠XOY ＝90°，点A ，B 分别在射线OX ，OY 上移动，BE 是∠ABY 的平分线，BE的反向延长线与∠OAB 的平分线相交于点C ，试问∠ACB 的大小是否发生变化，如果保持不变，请给出证明，如果随点A ，B 移动发生变化，请求出变化范围．YXOA BCE图5-31〖中考试题初体验〗1．（2013湖南长沙 3， 3分）如果一个三角形的两边长分别是2和4，则第三边可能是（ ）．A ．2B ．4C ．6D ．82．（2013四川达州，17，3分）如图5-32，在△ABC 中，∠A ＝m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2012BC 和∠A 2012CD 的平分线交于点A 2013，则∠A 2013＝___度．图5-32五、我的错题本参考答案变式练习1.答案：C解析：较短的两边长度之和大于较长的边．2.答案：三角形的三边长分别为20，20，14或16，16，223.答案：1解析：△BEF面积等于△BEC面积的一半，而△ABE与△BDE，△ACE与△CDE的面积相等，所以△BEF的面积等于△ABC面积的四分之一．4.答案：88°解析：∵∠B和∠C的三等分线分别交于点D，E，∴∠DBC＝23∠ABC，∠DCB＝23∠ACB，∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝138°，∴∠DBC＋∠DCB＝23(∠ABC＋∠ACB)＝92°．5. 证明：∵AD，BG，CH是△ABC的三条角平分线，∴∠ABG＝12∠ABC，∠BAD＝12∠BAC，∠BCH＝12∠ACB∵∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，∴∠ABG＋∠BAD＋∠BCH＝90°∴∠ABG＋∠BAD＝90°－∠BCH∵OE⊥BC，∴∠BCH＋∠COE＝90°，∴∠COE＝90°－∠BCH∴∠BOD＝∠COE6.解：∵∠GKF＝∠E＋∠F，∠GKF＝∠KGH＋∠KHG，∴∠E＋∠F＝∠KGH＋∠KHG，同理：∠A＋∠B＝∠GKH＋∠KHG，∠C＋∠D＝∠KGH＋∠GKH．∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2(∠KGH＋∠GKH＋∠KHG)=360°．7.答案：D解析：由多边形的内角和公式得，（n-2）180=1620,解得n=11；通过操作可以发现，一个多边形截取一个角后，所得出的边数与原多边形边数比较有三种情况：等于原边数、比原边数少1、比原边数多1．8.答案：D解析：设这个多边形的边数为n ，则有120n ＝(n －2)180，解得n ＝6． 课时作业·轻松练 A ．基础题组 1.答案：C 2．答案：D 3．答案：B 解析：∠DAE ＝12(∠C －∠B )． 4．延长BD 到点E ，∵∠A ＝55°，∠B ＝30°，∴∠BEC ＝∠A ＋∠B ＝85°，∴∠BDC ＝∠BEC＋∠C ＝120°． 5．答案：10解析：多边形的外角和为360°，而正多边形的每个外角都相等，都是36°． B.提升题组 6．2∠A ＝∠1＋∠2解析:∵∠1＝180°－2∠ADE , ∠2＝180°－2∠AED,∴∠1＋∠2=2(180°－∠ADE －∠AED )= 2∠A. 7．答案：2解析：∵EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点，∴S △ACE ＝23S △ABC ＝8，S △BCD ＝12S △ABC ＝6，S △ADF －S △BEF ＝S △ACE －S △BCD ＝2．8．解：设∠BAD ＝x °，则∠B ＝3x °，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAC ＝2∠BAD ＝2x °，∵∠C ＝90°，∴∠BAC ＋∠B ＝90°，∴3x °＋2x °＝90°，解得：x ＝18，∴∠ADC ＝72°． 9．（1）150、90；（2）不变化、60°． 10．∠C 的大小保持不变．理由：∵∠ABY ＝90°＋∠OAB ，AC 平分∠OAB ，BE 平分∠ABY ， ∴∠ABE ＝21∠ABY ＝21（90°＋∠OAB ）＝45°＋21∠OAB ， 即∠ABE ＝45°＋∠CAB ，又∵∠ABE ＝∠C ＋∠CAB ， ∴∠C ＝45°，故∠ACB 的大小不发生变化，且始终保持45°. 中考试题初体验1．答案：B解析：本题考查了三角形的三边关系，由于“三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边”知三条线段能组成三角形的条件是任何两边之和都大于第三边，对于选项A 中2＋2＝4，不能构成三角形；选项C 中2＋4＝6，不能构成三角形；选项D 中2＋4＜8，不能构成三角形；只有选项B 能构成三角形．2．答案：20132m解析：利用角平分先性质、三角形外角性质，易证∠A 1＝21∠A ，进而可求∠A 1，由于∠A 1＝21∠A ，∠A 2＝21∠A 1＝221∠A ，…，以此类推可知∠A 2013＝201321∠A ＝ 20132m 度．。
《三角形中的边角关系》说课稿
《三角形中的边角关系》说课稿范文各位老师大家好！今天我说课的题目是《三角形中的边角关系》。
在平面图形里，三角形是最简单最基本的多边形，，学好这部分内容不仅可以从形的方面加深对周围事物的理解，发展学生的空间观念，还可以在动手操作、探索实验和联系生活应用方面拓展学生的知识面，发展学生的思维和解决实际问题的能力，同时也为学习其他平面图形和立体图形积累知识经验，为进一步学习多边形的知识打下基础。
为了迎合新课标的基本理念要求“人人学习有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”。
结合教材，根据学生的知识现状和年龄特点，我制定了以下教学目标：知识与技能：1.了解三角形的概念及基本要素，掌握三角形的表示方法.2.了解不等边三角形、等腰三角形和等边三角形，会按边将三角形进行分类.3.掌握三角形三边之间的关系，并能利用这个关系解决简单的数学问题过程与方法：1.通过摆一摆等操作活动，探索并发现三角形任意两边之和大于第三边.2.掌握判断三条线段能否构成一个三角形，并运用此方法解决有关问题.3.在实验活动中，经历“猜测——验证——结论”这一探索问题的过程，培养发现问题、提出问题的能力，积累探索问题的方法和经验.情感、态度与价值观：1.探究三角形的边角关系问题，激发好奇心，激发求知欲.树立几何知识源于生活并服务于生活的意识.2.提高学生自主探索和合作交流的能力，激发探究兴趣，并感受探索成功的喜悦.本课的重点是：理解三角形三边之间的关系，了解三角形的分类思想。
本节内容的难点是探究三角形三边之间的关系。
教法设计：针对平面几何知识教学的特点、以及中学生以形象思维为主、空间观念薄弱的特点，我打算采用创设情境法、实验法、比较法，以及分组讨论、合作学习的形式，并运用多媒体教学课件辅助教学，让学生在观察、感知的基础上，动手操作，比一比，看一看，想一想，分组讨论、合作学习，老师恰当点拨，适时引导，多媒体课件及时验证结论，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，突出学生的主体性，以学生发展为本，转变学生的学习方式，从而达到培养学生的创新精神和实践能力的目的。
沪科版数学八年级上册13.1《三角形中的边角关系》教学设计3
沪科版数学八年级上册13.1《三角形中的边角关系》教学设计3一. 教材分析《三角形中的边角关系》是沪科版数学八年级上册第13.1节的内容，本节课主要让学生掌握三角形中的边角关系，包括三角形的内角和定理、三角形的两边之和大于第三边、三角形的两角之和大于第三角等。
通过本节课的学习，学生能够进一步理解三角形的性质，为后续学习三角形的相关知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念，如三角形的定义、三角形的分类等。
同时，学生也已经学习了角的性质，如角的度量、角的分类等。
但是，学生对于三角形中的边角关系还没有深入的了解，需要通过本节课的学习来掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握三角形中的边角关系，包括三角形的内角和定理、三角形的两边之和大于第三边、三角形的两角之和大于第三角等。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等方法，让学生发现并证明三角形中的边角关系。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，让学生感受数学的美妙，培养学生的团队协作能力。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握三角形中的边角关系。
2.教学难点：证明三角形中的边角关系，并能够灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生发现三角形中的边角关系。
2.探究教学法：让学生通过观察、操作、推理等方法，自主发现并证明三角形中的边角关系。
3.小组合作教学法：让学生分组讨论，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规等。
2.教学多媒体：PPT、视频等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如“在只知道三角形两边长度的情况下，如何判断第三边的长度？”来引导学生思考三角形中的边角关系。
2.呈现（10分钟）利用PPT或视频，展示三角形中的边角关系，包括三角形的内角和定理、三角形的两边之和大于第三边、三角形的两角之和大于第三角等。
同时，让学生观察并思考这些边角关系是否成立。
沪科版 八年级数学 上册(教学设计 教案)第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 (全章 分课时 含反思)
第13章三角形中的边角关系、命题与证明13．1三角形中的边角关系1．三角形中边的关系1．了解三角形及相关概念，能正确识别和表示三角形；2．会根据边是否相等对三角形进行分类；3．掌握三角形三边关系，会判断已知三条线段能否构成三角形，会求三角形第三边的取值范围．(重点、难点)一、情境导入三角形是一种最常见的几何图形，如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志等等，处处都有三角形的形象．那么什么叫做三角形呢？二、合作探究探究点一：三角形的识别如图所示，图中三角形的个数共有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：根据三角形的定义进行判断．只要数出BC上有几条线段即可．很明显BC上有3条线段，所以有三个三角形，选C.方法总结：在比较复杂的图形中寻找三角形的方法：可以按照一定顺序寻找，即先固定一个顶点，变换另两个顶点，做到不重复、不遗漏．探究点二：三角形的分类设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是()解析：根据它们的概念：有一个角是直角的三角形是直角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角是直角且有两条边相等的三角形是等腰直角三角形．故选A.方法总结：考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系．探究点三：三角形三边关系【类型一】判断已知线段能否构成三角形下列各组长度的线段能构成三角形的是( ) A ．1.5cm ，3.9cm ，2.3cm B ．3.5cm ，7.1cm ，3.6cm C ．6cm ，1cm ，6cm D ．4cm ，10cm ，4cm解析：A 中，1.5＋2.3＝3.8＜3.9，不能构成三角形；B 中，3.5＋3.6＝7.1，不能构成三角形；C 中，6＋1＞6，6－1＜6，能构成三角形；D 中，4＋4＝8＜10，不能构成三角形．故选C.方法总结：判断三条线段能否组成三角形的简便方法是看较短的两条线段的长度是否大于最长的线段的长度．【类型二】求三角形第三边的取值范围已知三角形的三边长分别是2，2x －3，6，则x 的取值范围是________．解析：∵三角形的两边长分别为2和6，∴第三边边长2x －3的取值范围是：6－2＜2x －3＜6＋2，即3.5＜x ＜5.5.方法总结：根据三角形三边关系定理可知：已知两边之差＜第三边长＜已知两边之和，确定第三边的取值范围，再结合题干中的其他条件排除不合要求的其他值．【类型三】三角形的三边关系与等腰三角形已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长是________．解析：由等腰三角形两边长为3、5，分别从等腰三角形的腰长为3或5去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形．①若等腰三角形的腰长为3，底边长为5， ∵3＋3＝6＞5， ∴能组成三角形，∴它的周长是：3＋3＋5＝11；②若等腰三角形的腰长为5，底边长为3， ∵5＋3＝8＞5， ∴能组成三角形，∴它的周长是：5＋5＋3＝13.综上所述，它的周长是11或13.易错提醒：要求等腰三角形的周长，要先确定等腰三角形的腰和底．先分两种情况讨论能否构成三角形，再进行计算．【类型四】三角形三边关系与绝对值的综合若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、实验、归纳、类比、直觉、数据处理等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感态度和价值观．2．三角形中角的关系1．理解和掌握三角形按照内角的度数的分类；2．通过操作活动，探究并掌握三角形内角和性质，并能应用三角形内角和性质解决一些简单的实际问题；(重点)3．经历观察、操作、想象、推理、交流，发展推理能力和有条理的表达能力．在操作中进行自觉思考，积累数学探索的经验．(难点)一、情境导入同学们手中有直角三角板，请再画一个内角中不含90°的三角形．三角形若按角来分类，分为哪几类？二、合作探究探究点一：三角形按角分类下列说法中，正确的有( )①锐角三角形中最大的角一定小于90度； ②所有的等边三角形都是锐角三角形； ③所有的等腰三角形都是锐角三角形； ④直角三角形一定不是等腰三角形． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：根据三角形按角分类的标准，准确把握各题的关键字眼，对它们做出判断：①最大角小于90°，即三个角都为锐角，满足锐角三角形的条件，故正确；②等边三角形的三个角都为60°，所以它是锐角三角形，故正确；③对于顶角是钝角或直角的等腰三角形，不满足题设条件，故错误；④直角三角形可能是等腰三角形，三角板中就有一个是等腰直角三角形，故错误．故选B.方法总结：熟悉三角形按边、角分类的特点，在分类时，要先确定分类标准，不要搞混淆它们，出现错解．探究点二：三角形的内角和【类型一】根据三角形内角和求角的度数如图，在△ABC 中，∠B ＝55°，∠C ＝63°，DE ∥AB ，则∠DEC 等于( )A ．63°B ．62°C ．55°D ．118°解析：在△ABC 中，∠B ＝55°，∠C ＝63°，根据三角形的内角和定理，即可求得∠A 的度数，又由DE ∥AB ，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠DEC 的度数．故答案为B.方法总结：此题比较简单，解题的关键是掌握“两直线平行，同位角相等”的应用．【类型二】根据三个角之间的关系求各个角在△ABC 中，∠A 是∠B 的2倍，∠C 比∠A ＋∠B 大12°，求△ABC 各角度数． 解析：首先用代数式表示出每一个角，然后利用三角形内角和为180°，列出方程求解． 解：设∠B ＝x °，则∠A ＝2x °，∠C ＝(x ＋2x ＋12)°，据题意得，x ＋2x ＋x ＋2x ＋12＝180，解得x ＝28，∴∠B ＝28°，∠A ＝56°，∠C ＝96°.方法总结：借助方程思想解几何问题是一种常用的数学方法．注意列方程时，等式中不能带单位．【类型三】判断三角形的形状一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判定 解析：设这个三角形的三个内角的度数分别是x ，2x ，3x ，根据三角形的内角和为180°，得x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°，∴这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，即这个三角形是直角三角形．故选A.方法总结：在解决有关比例问题时，通常先设比例系数，然后列方程求解．三、板书设计三角形中角的关系⎩⎪⎨⎪⎧按角分类：三角形⎩⎪⎨⎪⎧直角三角形斜三角形⎩⎪⎨⎪⎧锐角三角形钝角三角形三角形的内角和等于180°教学中通过量、剪、拼、折等数学活动，让学生亲自实践操作，发现规律，主动推导并得出“三角形内角和是180°”的结论，会应用这一规律进行计算．在操作、验证三角形内角和的过程中，体验解决问题方法的多样性，发展空间观念，提高初步的逻辑思维能力．整节课的教学设计明确，条理清晰，层次清楚，学生思维活跃．3．三角形中几条重要线段1．了解三角形的角平分线、中线与高的概念，会用工具准确画出三角形的角平分线、中线与高；(重点)2．经历画、折等实践操作活动过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神；学会用数学知识解决实际问题的能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力；(难点)3．通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心．一、情境导入这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？本节我们一起来解决这个问题．二、合作探究探究点一：三角形的角平分线、中线与高的有关概念 【类型一】认识角平分线、中线与高如图所示，在△ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 中点，延长BG 交AC 于点E ，点F 为AB 上一点，CF ⊥AD 于点H ，下面判断正确的有( )①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 边AD 上的中线；③CH 为△ACD 中边AD 上的高． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个解析：由∠1＝∠2知AD 平分∠BAE ，但AD 不是△ABE 内的线段，所以①错；同理BE 经过△ABD 中边AD 的中点G ，但BE 不是△ABD 中的线段，故②不正确；由于CH ⊥AD 于点H ，故CH 是△ACD 中边AD 上的高，故③正确．答案为A.方法总结：判断三角形的中线和角平分线时，一定要注意它们都是线段，且都在三角形内部．三角形的高是垂线段，可在三角形的内部、外部或与三角形的一条边重合．【类型二】三角形高的画法画△ABC 的边AB 上的高，下列画法中，正确的是( )解析：根据概念可知，三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．过点C 作边AB 的垂线段，即画AB 边上的高CD ，所以画法正确的是D.故选D.方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．探究点二：三角形中有关中线、角平分线、高的常见计算 【类型一】应用三角形的中线求线段的长在△ABC 中，AC ＝5cm ，AD 是△ABC 的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大2cm ，则BA ＝________.解析：如图，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，∴△ABD 的周长－△ADC 的周长＝(BA ＋BD ＋AD )－(AC ＋AD ＋CD )＝BA －AC ，∴BA －5＝2，∴BA ＝7cm.方法总结：通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长的差．【类型二】三角形的角平分线、高结合求角度如图所示，AD ，AE 是△ABC 的高和角平分线，∠B ＝36°，∠C ＝76°，求∠DAE的度数．解析：由三角形内角和定理可求得∠BAC 的度数，在Rt △ADC 中，可求得∠DAC 的度数，AE 是△ABC 的角平分线，有∠EAC ＝12∠BAC ，故∠DAE ＝∠EAC －∠DAC .解：∵∠B ＝36°，∠C ＝76°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝68°，∵AE 是△ABC 的角平分线，∴∠EAC ＝12∠BAC ＝34°.∵AD 是高，∠C ＝76°，∴∠DAC ＝90°－∠C ＝14°，∴∠DAE ＝∠EAC －∠DAC ＝34°－14°＝20°.方法总结：利用三角形的内角和、角平分线、高的相关性质进行简单计算，注意图形中的角的数量关系．【类型三】利用中线解决三角形的面积问题如图，在△ABC 中，E 是BC 上的一点，EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ADF 和△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF 和S △BEF ，且S △ABC ＝12，则S △ADF －S △BEF ＝________．解析：∵点D 是AC 的中点，∴AD ＝12AC ，∵S △ABC ＝12，∴S △ABD ＝12S △ABC ＝12×12＝6.∵EC＝2BE ，S △ABC ＝12，∴S △ABE ＝13S △ABC ＝13×12＝4.∵S △ABD －S △ABE ＝(S △ADF ＋S △ABF )－(S △ABF ＋S △BEF )＝S △ADF －S △BEF ，即S △ADF －S △BEF ＝S △ABD －S △ABE ＝6－4＝2.故答案为2.方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．三、板书设计三角形中几条重要线段⎩⎪⎨⎪⎧角平分线：平分内角且与三角形对边相交的线段中线：三角形的顶点与对边中点的连线高：三角形的顶点向对边所作的垂线段本节课知识点较多，不仅要让学生理解三角形的高、中线、角平分线的概念，而且还要对三种线段的表示方法和性质进行探讨．在教学中，一直关注学生的自主学习、合作交流的过程，让学生在亲身经历整个探究过程后，能够对三角形的高、中线和角平分线有很好地理解，在获得数学知识的同时，提高探究、发现和总结归纳的能力．在变式练习中，及时发现错误，并展示出来一起讨论．使学生在反思中，不断提升对概念的理解．13．2命题与证明第1课时命题1．掌握命题的概念，并能分清命题的组成部分；2．经历判断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解．理解原命题与逆命题的概念；3．初步培养不同几何语言相互转化的能力．一、情境导入判断下列语句哪些是判断句？(1)合肥市是安徽省的省会．(是)(2)3＋7＜11.(是)(3)有公共顶点的角是对顶角．(是)(4)北京欢迎你！(不是)(5)画一个角，它的大小是60度．(不是)(6)你的作业做完了吗？(不是)如何用数学语言来定义这种判断呢？二、合作探究探究点一：命题概念和结构指出下列命题的题设和结论：(1)如果a2＝b2，那么a＝b；(2)对顶角相等；(3)三角形内角和等于180°.解析：第(1)题中有“如果”“那么”，条件结论明显，(2)(3)题可先改写成“如果……那么……”形式，再找出题设和结论．解：(1)题设是“a2＝b2”，结论是“a＝b”；(2)改写：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．题设：“两个角是对顶角”，结论：“这两个角相等”；(3)改写：如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°.题设：“三个角是一个三角形的三个内角”，结论：“三个角的和等于180°”．方法总结：通常情况下命题都可以写成“如果……那么……”形式，当条件结论不是很明显的时候，把所给命题改写成“如果……那么……”形式可以帮助我们找出题设和结论，在改写时，要做到语句通顺，措辞准确．探究点二：真命题、假命题及举反例【类型一】真命题和假命题已知三条不同的直线a 、b 、c 在同一平面内，下列四个命题：①如果a ∥b ，a ⊥c ，那么b ⊥c ；②如果b ∥a ，c ∥a ，那么b ∥c ；③如果b ⊥a ，c ⊥a ，那么b ⊥c ；④如果b ⊥a ，c ⊥a ，那么b ∥c .其中真命题的是____________(填写所有真命题的序号)．解析：①如果a ∥b ，a ⊥c ，那么b ⊥c 是真命题，故本项正确；②如果b ∥a ，c ∥a ，那么b ∥c 是真命题，故本项正确；③如果b ⊥a ，c ⊥a ，那么b ⊥c 是假命题，故本项错误；④如果b ⊥a ，c ⊥a ，那么b ∥c 是真命题，故本项正确．故答案为①②④.方法总结：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【类型二】举反例命题“如果a ＝b 2，那么a ＝b ”是假命题，可举出反例______________．解析：反例是符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子，也就是说，满足a 2＝b 2，但不满足a ＝b 的例子．当a ＝2，b ＝－2时，a 2＝22＝4，b 2＝(－2)2＝4.虽然a 2＝b 2，但a ≠b .故答案为a ＝2，b ＝－2(答案不唯一)．方法总结：通过举反例来说明一个命题是假命题是数学或日常生活中常用的思想方法，举反例只需要举出一个即可．探究点三：逆命题写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．(1)如果∠α与∠β是邻补角，那么∠α＋∠β＝180°；(2)如果△ABC 是直角三角形，那么△ABC 的内角中一定有两个锐角．解析：(1)交换原命题中“如果”和“那么”后面的部分即可得到原命题的逆命题，然后根据邻补角的定义判断命题的真假；(2)交换原命题中“如果”和“那么”后面的部分即可得到原命题的逆命题，然后根据三角形的角的关系判断命题的真假．解：(1)逆命题为：如果∠α＋∠β＝180°，那么∠α与∠β是邻补角，此逆命题为假命题；(2)逆命题为：如果一个三角形中有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形，此逆命题为假命题．方法总结：将命题的条件与结论互换，得到新命题，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题．当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题，所举的例子，如果符合命题条件，但不满足命题例子的结论，称之为反例；要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．三、板书设计命题⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧命题的概念：对某一事件作出正确或者不正确判定的语句（或式子）叫做命题.命题的结构：由题设和结论两部分组成，常写 成“如果……那么……”的形式.命题的分类：真命题和假命题（要说明一个命 题是假命题，只要举出一个反例 即可）.逆命题：原命题为“如果p ，那么q ”，逆命题则 为“如果q ，那么p ”.本节主要是命题的概念、命题的构成、真假命题．对于命题的结构，可让学生先自行观察或相互讨论，得出结论．关于找出命题的题设和结论，特别是对那些题设和结论不明显的命题，是一个难点，解决这一难点的方法是让学生适当多做些练习，对本问题不能要求学生本节课就必须掌握，在今后的教学中逐步练习．对于真命题要注意强调“结论一定成立”中“一定”的含义是无一例外，总是正确的，而假命题就不能保证总是正确的；教学时最好要结合一些具体的例子，对照起来讲解．教学中应把学生放在主体位置上，着重于学生能力的培养，体现学生的思维方式，而不是老师的思维方式．了解学生的知识基础、学习水平，从学生的年龄特征、认知规律出发，做到内容表达清楚准确，难易适当．第2课时 证 明1．理解和掌握定理的概念，了解证明(演绎推理)的概念；(重点)2．了解证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的几何知识证明一些简单的几何问题；(难点)3．通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的探索精神，培养学习数学的兴趣．一、情境导入下面两个图片中，中心的两个圆形哪个大？眼见未必为实，实践出真知！二、合作探究 探究点一：定理命题“对顶角相等”是( ) A ．角的定义 B ．假命题 C ．基本事实 D ．定理 解析：“对顶角相等”的正确性是需要经过推理来证实的，而后又把它选定作为判定其他命题真假的依据，所以它属于定理．故答案为D.方法总结：人们在长期实践中总结出来，不需要用推理的方法加以证明，并作为判定其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实．如“两点确定一条直线”，“两点之间线段最短”等都是基本事实．从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．探究点二：证明与推理 【类型一】 简单推理如图，下列推理中正确的有()①因为∠1＝∠2，所以b ∥c (同位角相等，两直线平行)；②因为∠3＝∠4，所以a ∥c (内错角相等，两直线平行)；③因为∠4＋∠5＝180°，所以b ∥c (同旁内角互补，两直线平行)． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：结合图形，根据平行线的判定方法逐一进行判断．①因为∠1、∠2不是同位角，所以不能证明b ∥c ，故错误；②因为∠3＝∠4，所以a ∥c (内错角相等，两直线平行)，正确；③因为∠4＋∠5＝180°，所以b ∥c (同旁内角互补，两直线平行)，正确．故正确的是②③，共2个．故选C.方法总结：本题主要考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．【类型二】补充证明过程完成下面的证明过程：已知：如图，∠D ＝110°，∠EFD ＝70°，∠1＝∠2.求证：∠3＝∠B .证明：∵∠D ＝110°，∠EFD ＝70°(已知)，∴∠D ＋∠EFD ＝180°，∴AD ∥________(同旁内角互补，两直线平行)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴________∥BC (内错角相等，两直线平行)，∴EF ∥________，∴∠3＝∠B (两直线平行，同位角相等)．解析：求出∠D ＋∠EFD ＝180°，根据平行线的判定推出AD ∥EF ，AD ∥BC ，即可推出答案．∵∠D ＝110°，∠EFD ＝70°，∴∠D ＋∠EFD ＝180°，∴AD ∥EF .又∵∠1＝∠2，∴AD ∥BC ，∴EF ∥BC .故答案为：EF ，AD ，BC .方法总结：本题考查了平行线的性质和判定的应用，平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补，反过来就是平行线的判定．三、板书设计命题的证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必备的能力，在今后的学习中将会有大量的证明问题；另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性．加强推论证明的思路和方法．因为它体现了学生的抽象思维能力，由于学生对逻辑的理解不深刻，往往找不出最佳的思维切入点，证明的盲目性很大，因此对学生证明的思路和方法的训练是教学的难点．课堂教学过程中紧扣教学目标，每个环节都有明确的指向性问题．面向全体学生，引导学生自主学习、合作探究．第3课时三角形内角和定理的证明及推论1、21．掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2；(重点、难点)2．了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处；3．经历思考、操作、推理等学习活动，培养学生的推理能力和表达能力．一、情境导入问题：将三角形的内角剪下，试着拼拼看．三角形的内角和是否为180°？从拼角的过程你能想出证明的办法吗？二、合作探究探究点一：三角形内角和定理的证明如图，在△ABC内任意取一点P，过点P画三条直线分别平行于△ABC的三条边．(1)∠1、∠2、∠3分别和△ABC的哪一个角相等？请说明理由；(2)利用(1)说明三角形三个内角的和等于180°.解析：(1)利用平行线的性质即可证得；(2)根据对顶角相等，以及∠HPE＋∠1＋∠FPI ＋∠3＋∠GPD＋∠2＝360°和(1)的结论即可证得．解：(1)∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C.理由如下：∵HI∥AC，∴∠1＝∠CEP，又∵DE∥AB，∴∠CEP＝∠A，∴∠1＝∠A.同理，∠2＝∠B，∠3＝∠C；(2)如图，∵∠HPE＝∠1，∠FPI＝∠3，∠GPD＝∠2，又∵∠HPE＋∠1＋∠FPI＋∠3＋∠GPD＋∠2＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，∵∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C，∴∠A ＋∠B＋∠C＝180°.方法总结：本题考查了平行线的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质和对顶角相等．探究点二：直角三角形的两锐角互余直角三角形两锐角的平分线的夹角是______．解析：作出图形，根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＋∠BAC＝90°，再根据角平分线的定义可得∠OAB＋∠OBA＝12(∠ABC＋∠BAC)，然后利用三角形的内角和等于180°求出∠AOB，即为两角平分线的夹角．如图，∠ABC＋∠BAC＝90°，∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，∴∠OAB＋∠OBA＝12(∠ABC＋∠BAC)＝45°，∴∠AOB＝180°－(∠OAB＋∠OBA)＝135°，∴∠AOE＝45°，∴两锐角的平分线的夹角是45°或135°.故答案为45°或135°.方法总结：本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键，作出图形更形象直观．探究点三：有两个角互余的三角形是直角三角形如图所示，AB∥CD，∠BAC和∠DCA的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？解析：要判断△AHC的形状，首先观察它的三个内角，其中∠1与∠2与已知条件角平分线有关，而两条角平分线分别平分∠BAC和∠DCA，这两个角是同旁内角，于是联想到已知条件中的AB∥CD.解：△AHC是直角三角形．理由如下：因为AB∥CD，所以∠BAC＋∠DCA＝180°.又因为AH，CH分别平分∠BAC和∠DCA，所以∠1＝12∠BAC ，∠2＝12∠DCA ，所以∠1＋∠2＝12(∠BAC ＋∠DCA )，所以∠1＋∠2＝90°， 所以△AHC 为直角三角形． 方法总结：判定一个三角形是否为直角三角形，既可以通过这个三角形有一个角是直角来判定(直角三角形的定义)，也可以通过有两个角度数之和为90°来判定．三、板书设计教师是学生学习的组织者、引导者、合作者，而非知识的灌输者，因而对一个问题的解决不是要教师将现成的方法传授给学生，而是教给学生解决问题的策略，给学生一把在知识的海洋中行舟的桨，让学生在积极思考，大胆尝试，主动探索中，获取成功并体验成功的喜悦．在课堂中，放手让学生自主探索证明三角形内角和定理的方法，让学生在动手试一试、动口说一说、相互评一评的过程中掌握证明的各种方法．课堂中，营造了宽松的学习氛围，让学生参与到学习过程中去，自主探索，大胆发表自己的观点，让学生在自主探索中获得了不断地发展．第4课时 三角形的外角1．理解和掌握三角形的外角概念和三角形外角的性质；(重点)2．利用实际得出三角形的外角概念和三角形的外角性质，学会运用简单的说理来计算三角形相关的角；(难点)3．通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学思想方法，培养主动探索、勇于发现，敢于实践及合作交流的习惯．一、情境导入在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度(∠1，∠2，∠3)，那么回到原来位置时(方向与出发时相同)，一共转了多少度？二、合作探究探究点一：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和如图：在△ABC 中，∠1＝∠2＝∠3. (1)试说明：∠BAC ＝∠DEF ；(2)若∠BAC ＝70°，∠DFE ＝50°，求∠ABC 度数．解析：(1)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠3＋∠CAE ＝∠DEF ，再根据∠1＝∠3整理即可得证；(2)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠2＋∠BCF ＝∠DFE ，再根据∠2＝∠3即可得∠ACB ＝∠DFE ，然后利用三角形的内角和等于180°求解即可．解：(1)在△ACE 中，∠DEF ＝∠3＋∠CAE ，∵∠1＝∠3，∴∠DEF ＝∠1＋∠CAE ＝∠BAC ，即∠BAC ＝∠DEF ；(2)在△BCF 中，∠DFE ＝∠2＋∠BCF ，∵∠2＝∠3，∴∠DFE ＝∠3＋∠BCF ，即∠DFE ＝∠ACB .∵∠BAC ＝70°，∠DFE ＝50°，∴在△ABC 中，∠ABC ＝180°－∠BAC －∠ACB ＝180°－70°－50°＝60°.方法总结：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，。
直角三角形 的边角关系(一) 优秀教案
《直角三角形的边角关系复习课》（一）教学设计一. 教学任务与目标1、能从整个学段梳理并掌握直角三角形中边、角关系，掌握解直角三角形及一般三角形的方法,理解锐角三角函数本质.2、能用这些关系来解决复杂几何图形中的相关计算，渗透转化与方程思想方法,为综合数学应用问题的解决提供基础.3、能利用解直角三角形解决生活中的实际问题，培养学生建模、识图、计算能力.二.教学重点:利用锐角三角函数解三角形及有关的实际问题.教学难点:把一般三角形问题转化成直角三角形问题.把实际问题转化成解三角形问题.三. 教学设计第一环节：前置学习任务一：知识点整理与回顾如图Rt△ABC中，∠C=90°。
1、直角三角形三边的关系: .2、直角三角形两锐角的关系: .3、直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数的定义：4、互余两角之间的三角函数关系: sin(900-A)= cos(900-A)=5、同角之间的三角函数关系: sin2A+cos2A=AAcossin=6、特殊角300,450,600角的三角函数值.7、锐角三角函数的变化规律：锐角的正弦值或正切值随角度的增大而，锐角的余弦值或余切值随角度的增大而。
8、会识别仰角、俯角、方向角，掌握坡度（坡比）和坡角的定义:==BA cossin==BA sincos==BA cottan54sin =B 00)60(tan2-21-⎪⎭⎫ ⎝⎛图一中的角叫： 图二中的角叫： 。
图三中A 在B 的 方向上， C 在B 的 方向上。
图四中迎水坡坡面是AD,则坡角为 ，坡面AD 的坡度（也叫 ）i= =任务二：基础热身练习1、（类型一：考察定义）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝8 ， ，则BC= cosB= .2、（类型二：考察特殊三角函数值的准确记忆）计算 + +3、（类型三：由特殊函数值求角度）若 ，则∠a = .4、（类型四：锐角三角函数的增减性）若锐角a 满足cosa<22，tana<3，则a 的取值范围是5、（类型四：转化求等角的函数值或利用cosa=sin(900-a ）)如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=5，BC=2，则=∠DCB cos 。
沪科版数学八年级上册13.1《三角形中的边角关系》教学设计1
沪科版数学八年级上册13.1《三角形中的边角关系》教学设计1一. 教材分析《三角形中的边角关系》是沪科版数学八年级上册第13章第1节的内容。
本节主要介绍三角形中的边角关系，包括三角形的内角和定理、三角形的边长关系等。
通过本节的学习，学生能够理解三角形的边角关系，并能够运用这些关系解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了三角形的性质和角的度量，对于三角形的基本概念和性质有一定的了解。
但是，学生对于三角形边角关系的理解和运用还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，需要注重学生的参与和实践，通过操作和思考，引导学生理解和掌握三角形的边角关系。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解和运用三角形的内角和定理，掌握三角形的边长关系。
2.过程与方法：学生能够通过观察、操作和思考，探索三角形的边角关系，培养解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与学习活动，克服困难，增强自信心，培养合作精神。
四. 教学重难点1.教学重点：三角形的内角和定理，三角形的边长关系。
2.教学难点：三角形边角关系的运用和解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，激发学生的思考，引导学生探索三角形的边角关系。
2.实践操作法：让学生通过实际操作，观察和分析三角形的边角关系，加深理解。
3.合作学习法：学生分组合作，共同解决问题，培养合作精神和沟通能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作教学课件，包括三角形的内角和定理和边长关系的图片和示例。
2.教学用具：准备一些三角形模型和测量工具，供学生实践操作使用。
3.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一些实际问题，引导学生思考三角形中的边角关系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）利用课件呈现三角形的内角和定理和边长关系的图片和示例，引导学生观察和分析，探索三角形的边角关系。
3.操练（10分钟）学生分组合作，利用准备好的三角形模型和测量工具，进行实际操作，观察和分析三角形的边角关系。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握直角三角形的定义及性质，能熟练运用直角三角形的边角关系解决相关问题。
2.学会使用勾股定理及其逆定理，解决实际问题中的直角三角形边长问题。
3.掌握锐角三角函数的概念，能运用正弦、余弦、正切函数解决实际问题，并了解它们的互化关系。
b.作业完成后，及时检查，发现并纠正错误；
c.撰写短文时，注意语言表达清晰，条理分明。
3.作业批改与反馈：
a.教师应及时批改作业，了解学生的学习情况，为下一步教学提供依据；
b.对学生作业中的错误，给予个别指导，帮助学生掌握知识点；
c.对学生在作业中的优秀表现，给予表扬和鼓励，提高学生的自信心。
4.作业评价：
五、作业布置
1.根据本节课的学习内容，布置以下作业：
a.完成课本相关练习题，巩固勾股定理及其逆定理的应用；
b.结合实际生活，设计一道运用锐角三角函数解决问题的题目，并与同学分享；
c.总结直角三角形的边角关系在生活中的应用，撰写一篇小短文。
2.作业要求：
a.学生需独立完成作业，认真思考，确保作业质量；
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并熟练运用直角三角形的边角关系，特别是勾股定理及其逆定理的应用。
2.掌握锐角三角函数的定义及其互化关系，并能解决实际问题。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的数学思维能力。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：通过引入生活中的实际例子，如建筑物的斜边测量、三角形的面积计算等，让学生感受到直角三角形边角关系在实际中的应用，激发学生的学习兴趣。
3.讲解勾股定理的逆定理，并举例说明其在实际问题中的应用。
九年级数学初三下册：第一章 直角三角形的边角关系教案 教学设计
第一章直角三角形的边角关系1 锐角三角函数第1课时正切与坡度1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系．2．能用表示直角三角形中两直角边的比来表示物体的倾斜程度和坡度(坡比)等．3．能根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算．重点理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切关注数学与生活的联系．难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比．一、情境导入师：梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放得“陡”，那个梯子放得“平缓”，人们是如何判断的？课件出示下图，提出问题：(1)甲组中EF和AB哪个梯子比较陡？你是怎么判断的？有几种判断方法？(2)乙组中AB和EF哪个梯子比较陡？你是怎么判断的？甲组乙组二、探究新知引导学生阅读教材第2～4页的内容，完成以下问题：1．比较梯子的倾斜程度(1)如图，这里摆放的三组梯子，每组梯子中哪一个更陡？梯子的倾斜程度与什么有关？(2)分别求出每组图中的AC BC 与ED FD，想一想它们的比值与梯子的倾斜程度有什么关系？ 2. 如下图，小明想通过测量B 1C 1及 AC 1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及 AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？(1)Rt △AB 1C 1和 Rt △AB 2C 2有什么关系？ (2)B 1C 1AC 1和B 2C 2AC 2有什么关系？(3)如果改变B 2在梯子上的位置呢？ 由此你得出什么结论？ 3．正切是如何定义的？4．梯子的倾斜程度与tan A 的值有什么关系？ 5．坡度是如何定义的？ 三、举例分析例 如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？甲 乙(1)tan α和tan β 的值分别是多少？ (2)你能比较tan α和tan β 的大小吗？(3)根据tan A 的值越大，梯子越陡你能判断哪一个自动扶梯比较陡吗？ 四、练习巩固1．在△ABC 中，∠C ＝90°，则tan A 等于( ) A.BC AB B.AC AB C.BC AC D. AB AC2．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，若tan A ＝34，则AC ＝________.3．如图，Rt △ACB 中，∠B ＝90°，BC ＝10，tan A ＝512，求AB ，AC.五、课堂小结 1．易错点：(1) tan A 中常省略角的符号“∠”，用希腊字母表示角时也可省略，如：tan α，tan β 等．但用三个字母表示角和用阿拉伯数字表示角时，不能省略角的符号“∠”，要写成tan ∠BAC 或tan ∠1，tan ∠2 等；(2) tan A 没有单位，它表示一个比值；(3) tan A 是一个完整的数学符号，不可分割，不表示“tan ”乘“A ”． 2．归纳小结：(1)tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边；(2)tan A 的值越大，梯子越陡．3．方法规律：(1)一个角的正切是在直角三角形中定义的，因此，tan A＝∠A的对边∠A的邻边只能在直角三角形中适用；(2)坡面与水平面的夹角称为坡角；坡面的铅垂高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)．六、课外作业1．教材第4页“随堂练习”第1、2题．2．教材第4页习题1.1第1、2题．本课时结合学生身边的数学现象，依据初中学生身心发展的特点，通过比较梯子哪个更徒引入新课，激发了学生的求知欲．为了突破教学难点，教学活动中运用了直观教学、几何画板动态演示和验证、几何推理等方法，既直观地呈现了知识的内在联系，培养了学生的几何直观能力，又唤起和加深了学生对教学内容的体会和理解．本课中，对梯子的倾斜程度、坡角、坡度(坡比)的认识，让学生更进一步体验了数学的实用性，加深了数学和实际生活的联系．第2课时正弦和余弦1．理解正弦、余弦及三角函数的意义．2．能够运用sin A，cos A表示直角三角形两边的比．3．根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算．重点理解正弦、余弦的定义，能根据直角三角形的边角关系进行简单计算．难点正弦、余弦的理解及应用．一、复习导入1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝34，AC＝10，求BC，AB的长．2．若梯子与水平面相交的锐角为∠A，∠A越大，梯子越________；tan A的值越大，梯子越________．3．当Rt △ABC 中的一个锐角A 确定时，其他边之间的比值也确定吗？ 可以用其他的方式来表示梯子的倾斜程度吗？二、探究新知1．正弦、余弦及三角函数的定义 课件出示：(1)Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是什么？ (2)B 1C 1AB 1和B 2C 2AB 2的关系是什么？(3)如果改变B 2在斜边上的位置，则B 1C 1AB 1和B 2C 2AB 2的关系是什么？ 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小经已确定时，它的对边与斜边的比值____________，根据是________________．它的邻边与斜边的比值呢？2．梯子的倾斜程度与sin A 和cos A 的关系探究活动：梯子的倾斜程度与sin A 和cos A 之间有什么关系？如图，AB ，A 1B 1表示梯子，CE 表示支撑梯子的墙，AC 在地面上． (1)梯子AB ，A 1B 1哪个更陡？(2)梯子的倾斜程度与sin A 和cos A 有关系吗？ 三、举例分析例 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝200，sin A ＝0.6，求BC 的长．(1)sin A等于图中哪两条边的比？(2)你能根据sin A＝0.6写出等量关系吗？(3)根据等量关系你能求出BC的长吗？四、练习巩固1．在 Rt△ABC中，若各边的长度同时都缩小4倍，则锐角A的正弦值( )A．缩小4倍B．缩小2倍C．保持不变D．不能确定2．已知∠A，∠B为锐角．(1)若∠A＝∠B，则sin A________ sin B；(2)若sin A＝sin B，则∠A ________∠B.3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝6，求∠B的三个三角函数值．五、课堂小结1．易错点：(1)sin A，cos A，tan A是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)；(2)sin A，cos A，tan A是一个完整的符号，表示∠A的正弦、余弦、正切，习惯省去“∠”符号；(3)sin A，cos A，tan A都是一个比值，注意区别，且sin A，cos A，tan A均大于0，无单位；(4)sin A，cos A，tan A的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然关系．2．归纳小结：(1)正弦的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边BC与斜边AB 的比叫做∠A的正弦，记作sin A；(2)余弦的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的邻边AC与斜边AB 的比叫做∠ A的余弦，记作cos A；(3)sin A越大，梯子越陡； cos A越小，梯子越陡．3．方法规律：两个锐角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等．六、课外作业1．教材第6页“随堂练习”第1、2题．2．教材第6～7页习题1.2第1、3、4、5题．本节课结合初中学生身心发展的特点，运用了类比教学法，加深学生对教学内容的体会和了解，很容易就掌握了正弦和余弦的概念和意义．同时，探究活动培养和发展了学生的观察、思维能力．本课时贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本认识规律，运用了这些直观教学，能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.2 30°，45°，60°角的三角函数值1．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义．2．能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算．3．能够根据30°，45°，60°的三角函数值说明相应的锐角的大小．重点能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算；能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应的锐角大小．难点通过探索特殊三角函数值的过程，培养学生进行有关推理的能力．一、复习导入1．在Rt△ABC中，∠C ＝90°.(1)a，b，c三者之间的关系是什么？∠ A＋∠ B等于多少度？(2)如何表示sin A，cos A，tan A，sin B，cos B，tan B? 2．观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？二、探究新知课件出示：如图所示，在Rt△ABC中，∠ C＝90°，∠ A＝30°.(1)a，b，c三者之间有什么样的关系？(2)sin 30°等于多少？你是怎样得到的？与同伴交流．(3)cos 30°等于多少？tan 30°呢？(4)sin 60°，cos 60°，tan 60°呢？(5)45°角的三角函数值分别是多少呢？引导学生填写表格：三角函数值sin A cos A tan A30°45°60°三、举例分析例1 计算：(1) sin 30°＋cos 45°；(2) sin 260°＋cos 260°－tan 45°.处理方式：通过记忆特殊角的三角函数值求解，注意格式和过程．例2 (课件出示教材第9页例2)引导学生思考如下问题：(1)你能根据题意画出图形吗？(2)你能根据所画图形构造直角三角形吗？(3)你能找到图形中的特殊角吗？(4)你能根据特殊角的三角函数值求出正确的结果吗？四、练习巩固1．下列式子中成立的是 ( )A．cos 72°＜sin 35°＜tan 46°B．sin 35°＜tan 46°＜cos 72°C．tan 46°＜cos 72°＜sin 35°D．tan 46°＜cos 40°＜sin 35°2．已知等腰△ABC的腰长为4 3，底角为30°，则底边上的高为________，周长为________．3．若(3tan A－3)2＋||2cos B－3＝0，则△ABC按角分类是什么三角形？五、课堂小结1．易错点：(1)能进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算；(2)能根据30°，45°，60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小．2．归纳小结：sin 30°＝12，sin 45°＝22，sin 60°＝32；cos 30°＝32，cos 45°＝22，cos 60°＝12；tan 30°＝33，tan 45°＝1，tan 60°＝ 3.3．方法规律：在Rt△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则有：sin A＝cos (90°－A)；cos A＝ sin (90°－A) ；sin B＝cos (90°－B)；cos B＝sin (90°－B)．六、课外作业1．教材第9页“随堂练习”第1、2题．2．教材第10页习题1.3第1～4题．本节课课程设计中引入非常直接，由三角板引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．设计开门见山，节省了时间，为后面的教学提供了方便．在讲解特殊角的三角函数值时也很详细，可以说前部分的教学很成功，学生理解得很好.3 三角函数的计算1．经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义．2．能用计算器由已知三角函数值求角度．3．能够用计算器进行有关三角函数值的计算．能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．重点熟悉计数器的使用，能熟练掌握按键顺序．难点非整数度的角的三角函数值的求法．一、情境导入课件出示：如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200 m．已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到0.01m)引导学生思考以下问题：(1)在Rt△ABC中，sin α如何表示？(2)你知道sin 16°是多少吗？(3)我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值，那么怎样用科学计算器求三角函数值呢？二、探究新知1．已知角求三角函数值(1)引导学生阅读教材第12页用计算器求三角函数值的操作过程，提出问题：①利用计算器求三角函数值用到哪些按键？②求值过程中按键使用的先后顺序是什么？③求整数角度和用“度、分、秒”表示的角度的区别是什么？④通过自学你能利用计算器求出sin 16°的数值吗？(2)课件出示：当缆车继续由点B到达点D时，他又走过了200 m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β＝42°，由此你还能计算什么？引导学生思考如下问题：①缆车从点B到点D通过的路程是多少？②缆车从点B到点D水平通过的路程是多少？③缆车从点B到点D垂直高度上升了多少？2．已知三角函数值求角(1)课件出示：为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10 m高的天桥两端修建了40 m长的斜道，这条斜道的倾斜角是多少？引导学生思考如下问题：①在Rt△ABC中，sin A如何表示？②你能根据题目中的已知条件求出sin A的数值吗？③你能根据sin A的数值求出∠A吗？(2)引导学生阅读教材第13～14页用计算器求角的操作过程，提出问题：①利用计算器求角用到哪些按键？②求角过程中按键使用的先后顺序是什么？③如何利用计算器将求出的角度进行“度、分、秒”的换算？④你能利用计算器求出∠A的度数吗？三、练习巩固1．用计算器计算cos 44°的结果(精确到0.01)是( )A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.662. 用计算器求tan 35°的值，按键顺序是____________________．3．在 Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝20，AC＝12.5，求两个锐角的度数(精确到1°)．四、课堂小结1．易错点：(1)用计算器求三角函数值与用计算器求角的区别和联系；(2)求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的．2．归纳小结：(1)用计算器求三角函数值；(2)用计算器求角．3．方法规律：(1)用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位，我们的教材中有一个约定：如无特别说明，计算结果一般精确到万分位；(2)求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，再按数字键；先输入数字后，再按三角函数键．五、课外作业1．教材第14页“随堂练习”第1、2、3题．2．教材第15页习题1.4第1～6题．本节课在教学过程中，力求从基本知识入手，尽可能地使计算简单化，然后逐步地加深提高．但从实际的效果上看，学生的基础知识较差，计算能力薄弱，虽然训练量在增加，但效果却不明显，始终对三角函数的性质运用很不熟练．在教学过程中，我深切感到自身知识面的不足，在讲解练习时很单调，不能进行适当地扩展．在以后的教学中，我还要继续加强自身的学习，不断钻研教材教法，力争做到讲课通俗易懂.4 解直角三角形1．了解直角三角形的概念，掌握直角三角形的边角关系．2．能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)、边与边(勾股定理)、边与角的关系解直角三角形．重点直角三角形的解法．难点灵活运用三角函数解直角三角形．一、复习导入师：在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因此经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题. 为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边或角．课件出示：如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.(1)直角三角形的三边之间有什么关系？(2)直角三角形的锐角之间有什么关系？(3)直角三角形的边和锐角之间有什么关系？师：直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角．那么至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢？这就是我们本节课要研究的问题．二、探究新知1．已知两边解直角三角形课件出示教材第16页例1，提出问题：(1)题目中已知几个元素？分别是什么？(2)解这个直角三角形需要求出哪些元素？(3)解这个直角三角形需要用到已学的哪些知识？(4)你能正确求解吗？教师给出解直角三角形的定义及其依据．2．已知一边和一锐角解直角三角形课件出示教材第16～17页例2，提出问题：(1)题目中已知几个元素？分别是什么？(2)解这个直角三角形需要求出哪些元素？(3)解这个直角三角形需要用到已学的哪些知识？(4)你能仿照例1独立完成求解吗？3．总结(1)通过对上面例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？(2)除直角外有5个元素(3条边、2个锐角)，要知道其中的几个元素就可以求出其他的元素？(3)通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？归纳：解直角三角形，有下面两种情况(其中至少有一边) ：(1)已知两条边(一直角边一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直边一锐角；一斜边一锐角)．三、练习巩固1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝34，AB＝5，则边AC的长是( )A．3 B．4 C.154D.5742．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝23，那么AB＝________.3．在△ABC中，已知∠C＝90°，b＋c＝30，∠A－∠B＝30°，解这个直角三角形．四、课堂小结1．易错点：(1)如何把实际问题转化为数学问题，进而把数学问题具体化；(2)至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角才能解直角三角形．2．归纳小结：(1)“解直角三角形”是由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程；(2)解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角；(3)解直角三角形的方法：①已知两边求第三边(或已知一边且另两边存在一定关系)时，用勾股定理(后一种需设未知数，根据勾股定理列方程)；②已知或求解中有斜边时，用正弦、余弦；无斜边时，用正切；③已知一个锐角求另一个锐角时，用两锐角互余．3．方法规律：已知斜边求直边，正弦余弦很方便；已知直边求直边，首选正切理当然；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要选好；已知锐角求锐角，互余关系要记好；已知直边求斜边，用除还需正余弦；计算方法要选择，能用乘法不用除．五、课外作业1．教材第17页“随堂练习”．2．教材第17～18页习题1.5第1～4题．本节课的重难点是直角三角形的解法，为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形、直角三角形中三边之间的关系、两锐角之间的关系、边角之间的关系．正确选用这些关系，是正确解直角三角形的关键．解直角三角形的方法灵活多样，学生可以自由选择解题方法．在处理例题时，首先让学生独立完成，培养学生分析问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合的思想，然后全班集体交流解法和心得，达到共同进步．5 三角函数的应用1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明．重点经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．难点灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当的三角函数来解决．一、情境导入如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行．你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流．二、探究新知课件出示教材第19页“想一想”，提出问题：(1)什么是仰角？(2)在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角？(3)怎样求该塔的高度？处理方式：学生先独立思考解决问题的方法，再回答．解：(1)当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．(2)30°的仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC.(3)∵CD是Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，在Rt△ADC中，tan 30°＝CDAC，即AC＝CD tan 30°.在Rt△BDC中，tan 60°＝CDBC，即BC＝CDtan 60°，又∵AB＝AC－BC＝50 m，∴CD tan 30°－CDtan 60°＝50.解得CD≈43 m.三、举例分析例(课件出示教材第19页“做一做”)引导学生思考：(1)你能根据题意将实际问题转化为数学问题吗？(2)你能根据题意画出示意图吗？(3)若AC代表原楼梯长，则楼高、楼梯所占地面的长度分别是多少？(4)40°和35°的角分别是哪个角？(5)在楼梯改造过程中，楼高是否发生了变化？(6)Rt△ABC中的哪条边不变？解：由条件可知，在Rt△ABC中，sin 40°＝ABAC，即AB＝4sin 40°，原楼梯占地长BC＝4cos 40°.调整后，在Rt△ADB中，sin 35°＝ABAD，则AD＝ABsin35°＝4sin 40°sin 35°，楼梯占地长DB＝4sin 40°tan 35°.∴调整后楼梯加长AD－AC＝4sin 40°sin 35°－4≈0.48(m)．楼梯比原来多占DC＝DB－BC＝4sin 40°tan 35°－4cos 40°≈0.61(m)．四、练习巩固1．一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500 m，则它上升的最大高度为( )A．500sin α B.500sin αC．500cos α D.500cos α2．如图，在坡度为1：3的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6 m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是________ m．(结果保留根号)3．如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C的12 m处，测得∠BAC＝30°，求BC的长．(结果保留根号)五、课堂小结1．易错点：(1)对于含有非基本量的直角三角形，比如有些条件中已知两边之和，中线、高线、角平分线长，角之间的关系，锐角三角函数值，周长、面积等等．对于这类问题，我们常用的解题方法是：将非基本量转化为基本量，或由基本量间关系通过列方程(组)，然后解方程(组)，求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的；(2)在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法，构造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，实现问题的转化．2．归纳小结：解直角三角形一般有以下几个步骤：(1)审题：认真分析题意，根据题目中的已知条件，画出它的平面图，弄清已知和未知条件；(2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；(3)若是直角三角形，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决；(4)确定合适的边角关系，细心推理计算．3．方法规律：(1)在解直角三角形中，正确选择关系式是关键：①若求边：一般用未知边比已知边，求寻找已知角的某一个三角函数值；②若求角：一般用已知边比已知边，去寻找未知角的某一个三角函数值；(2)求某些未知量的途径往往不唯一．选择关系式常遵循以下原则：一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式；二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计算．六、课外作业1．教材第20页“随堂练习”第1、2题．2．教材第21页习题1.6第1～4题．本节课尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节．上课前多揣摩学生的认知特点，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，把课堂让给学生，让他们做课堂这个舞台的主角．教师尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作．不断总结课堂教学中的得失，不断进步，只有这样，才能真正提高课堂教学效率．6 利用三角函数测高1．能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，能够对所得到的数据进行分析，从而得出符合实际的结果．2．能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题．重点设计活动方案、自制仪器、运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告．难点运用直角三角形的边角关系求物体的高．一、情境导入问题1：在现实生活中需要测量像旗杆、高楼、塔等较高且顶部不可到达的物体的高度，根据我们所学的知识，同学们有哪些测量方法？问题2：这些测量的方法都用到了什么知识？问题3：如何利用直角三角形的边角关系，测量底部不可以直接到达的物体的高度呢？二、探究新知1．设计活动方案，自制仪器(1)测倾器(或测角仪、经纬仪等)由哪几部分构成？(2)制作测角仪时应注意什么？处理方式：小组讨论总结测倾器的制作方法和使用步骤．2．测量倾斜角(1)把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置．(2)转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数．那么这个度数就是较高目标M的仰角．师：这样做的依据是什么？3．测量底部可以到达的物体的高度要测物体MN的高度，可按下列步骤进行：(如下图)(1)在测点A处安置测倾器(即测角仪)，测得M的仰角∠MCE＝α.(2)量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝l.(3)量出测倾器(即测角仪)的高度AC＝a(即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离)．师：根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？解：在Rt△MEC中，∠MCE＝α，AN＝EC＝l，∴tan α＝MEEC，即ME＝EC·tan a＝l·tan α.∵NE＝AC＝a，∴MN＝ME＋EN＝l·tan α＋a.4．测量底部不可以到达的物体的高度要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：(1)在测点A处安置测角仪，测得此时物体MN的顶端M的仰角∠MCE＝α.(2)在测点A与物体之间的B处安置测角仪(点A，B，N都在同一条直线上)，此时测得M的仰角∠MDE＝β.(3)量出测角仪的高度AC＝BD＝a，以及测点A，B之间的距离AB＝b.师：根据测量数据，你能求出MN的高度吗？分析：根据测量的AB的长度，AC，BD的高度以及∠MCE，∠MDE的大小，根据直角三角形的边角关系．即可求出MN的高度．解：∵在Rt△MDE中，ED＝MEtan β，在Rt△MCE中，EC ＝MEtan α，∴EC－ED＝b.∴MEtan β－MEtan αtan αtan β＝b.∴ ME＝btan αtan βtan β－tan α.∴ MN＝btan αtan βtan β－tan α＋a.三、练习巩固1．直升飞机在离地面2 000 m的上空测得上海东方明珠底部的俯角为30°，此时直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是( )A．2 000 m B．2 000 3 mC．4 000 m D．4 000 3 m2．2016年3月完工的上海中心大厦是一座超高层地标式摩天大楼，其高度仅次于世界排名第一的阿联酋迪拜大厦，某人从距离地面高度263米的东方明珠球体观光层测得上海中心大厦顶部的仰角是22.3°.已知东方明珠与上海中心大厦的水平距离约为900米，那么上海中心大厦的高度约为 ________米(精确到1米)．(参考数据：sin 22.3°≈0.38，cos 22.3°≈0.93，tan 22.3°≈0.41)3．九年级1班的同学为了了解教学楼前一棵树的生长情况，去年在教学楼前点A处测得树顶点C的仰角为30°，树高5 m，今年他们仍在原地A处测得大树顶点D的仰角为37°，问这棵树一年生长了多少米？(精确到0.01)(参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75，3≈1.732)。
三角形中的边角关系教案
三角形中的边角关系教案第一章：三角形的基本概念1.1 三角形的定义引导学生了解三角形的定义，即由三条线段组成的图形，其中任意两条线段之和大于第三条线段。
举例说明三角形的特点，如稳定性、三个角和三个边的关系等。
1.2 三角形的分类介绍等边三角形、等腰三角形和普通三角形的概念。
引导学生通过观察三角形的角度和边长关系来判断三角形的类型。
第二章：三角形的内角和2.1 内角和定理引导学生理解三角形内角和定理，即三角形的三个内角之和等于180度。
通过实际例题，让学生学会使用内角和定理计算三角形的内角和。
2.2 应用内角和定理引导学生学会利用内角和定理解决实际问题，如已知两个角的大小，求第三个角的大小。
让学生通过实际操作，加深对内角和定理的理解和应用。
第三章：三角形的角度关系3.1 角度的基本概念引导学生了解直角、锐角和钝角的概念。
让学生通过观察和测量，了解不同类型三角形的角度特点。
3.2 角度关系的应用引导学生学会利用角度关系解决实际问题，如已知一个角的大小，求其他角的大小。
让学生通过实际操作和例题，加深对角度关系的理解和应用。
第四章：三角形的边长关系4.1 边长的基本概念引导学生了解三角形的三条边长，即底边和两个腰。
让学生通过观察和测量，了解不同类型三角形边长的特点。
4.2 边长关系的应用引导学生学会利用边长关系解决实际问题，如已知一条边的长度，求其他边的长度。
让学生通过实际操作和例题，加深对边长关系的理解和应用。
第五章：三角形的判定5.1 三角形的判定条件引导学生了解三角形判定条件，即任意两边之和大于第三边。
让学生通过实际操作和例题，理解和掌握三角形的判定条件。
5.2 应用三角形判定条件引导学生学会利用三角形判定条件解决实际问题，如判断一个四边形是否为三角形。
让学生通过实际操作和例题，加深对三角形判定条件的理解和应用。
第六章：三角形的面积6.1 三角形面积的公式引导学生了解三角形面积的计算公式，即底乘以高除以2。
沪科版八年级数学上册13.1三角形中的边角关系说课稿
4.边角关系：以具体实例为例，引导学生探究三角形的边角关系，如已知两边和一角或已知一边和两角求第三边等。
本节课面向的是八年级学生，这个年龄段的学生正处于青春期，思维活跃，好奇心强，求知欲旺盛。他们的认知水平逐渐从具体运算向形式运算转变，具备一定的抽象思维能力，但在几何直观和空间想象方面还有待提高。在学习兴趣上，学生对新鲜有趣、富有挑战性的内容更感兴趣，喜欢通过动手操作和合作交流的方式学习。然而，部分学生的学习习惯还需加强，如课堂专注度、课后复习等方面。
（二）媒体资源
在本节课中，我将使用以下教具、多媒体资源和技术工具：
1.教具：三角板、量角器、直尺等，用于学生实际操作和测量三角形的内角和。
2.多媒体资源：PPT、教学视频、几何画板等，用于展示三角形的性质、分类和边角关系，使抽象的知识形象化、体化。
3.技术工具：网络资源、在线学习平台等，为学生提供丰富的学习资料和互动空间。
3.课堂展示：鼓励学生将自己的发现和成果进行展示，提高学生的表达能力和自信心。
4.课后交流：利用网络学习平台，组织学生进行课后讨论和交流，分享学习心得，拓宽知识视野。
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我将采用以下方式导入新课：
1.创设情境：向学生展示一幅包含三角形元素的图片，如埃及金字塔、自行车三角架等，引导学生观察并提问：“你们在生活中还见过哪些三角形？它们有什么共同特点？”通过这个问题，激发学生对三角形的好奇心。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：
1.创设情境：以生活中的实际问题为背景，引导学生发现三角形在生活中的广泛应用，从而激发学生的学习兴趣。
北师大版九年级数学下册《直角三角形的边角关系——锐角三角函数》教学PPT课件(4篇)
同理， cos
A=
AC ，cos AB
A1
=
A1C A1 B1
.
B1 B
∵AB=A1B1，
AC AB
>
A1C ，即cos A1 B1
A > cos
A1，
A A1
C
∴梯子的倾斜程度与cos A也有关系， cos A的值越 小，梯子越陡.
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
sin
A
A的对边 斜边
B1 B2 B3
A
C3 C2
C1
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2
新课学习
直角三角形的边与角的关系：
（2）BA1CC11
和B2C2
AC2
有什么关系？
B1
B2 B3
A
C3 C2
C1
B1C1 = B2C2 AC1 AC2
新课学习
直角三角形的边与角的关系： （3）如果改变B2在梯子上的位置（如B3）呢？
B2
斜边的比值、邻边与斜边的比值将怎
样变化？
C1 C2
A1
这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与
斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变.同时，如果给
定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值、邻边与
斜边的比值是唯一确定的.
讲授新课
斜边
B ∠A的对边
A
C
∠A的邻边
定义：在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那
∴ B1C1∥ B2C2，
C1 C2
A1
∴Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2.
讲授新课
想一想：如图.
（2）BA11CA11 和
A1C2 B2 A1
“角边角”“角角边”判定 优秀教案
第四章 三角形“角边角”“角角边”判定----4.3 探索三角形全等的条件（2）一、教学目标：1.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2.使学生理解并掌握全等三角形的“角边角”“角角边”判定定理的条件；3.培养学生有条理的思考并进行简单的推理，继续渗透分类思想和转化思想的应用。
二、教学重、难点：教学重点：掌握全等三角形的“角边角”“角角边”判定定理，能应用其来判定两个三角形是否全等。
教学难点：使学生能够有条理的思考和理解简单的推理过程。
三、课时设计：1课时 四、教学策略：1.采用交互式一体机辅助教学，既能激发学生求知的兴趣，又能增加课堂教学的知识容量和时效性；2.采用启发式—合作探究的方式展开教学，有利于突出学生的主体地位， “以人为本”，实现让每个学生都享有优质的教育。
五、课前准备：教师：教学设计、课件等；学生：一副三角尺、铅笔、直尺等。
六、教学过程：1.引入美（情境导入）⑴ 学生展示锚图，分享探索三角形全等的条件的收获。
⑵ 问题情境：如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适?你能说明其中的理由吗?设计意图：从生活实际出发，以故事的形式自然引入课题，既能引起学生对本节课学习的重视，又能激发学生求知的强烈欲望。
AB2.寻找美（师生合作）师：如果给出三个条件画三角形，共有几种可能性？生：4种可能性。
分别是：⑴三边（SSS）;⑵三角（不一定全等）两角及夹边⑶两角及一边两角及其中一角的对边⑷两边及一角设计意图：通过复习，帮助学生用分类思想构建知识框架，为课堂教学的顺利进行做好铺垫。
3.冶炼美(自主-合作式探究)【做一做】（探究一）（1）已知：三角形的两个内角分别是600和300,它们所夹的边为3cm。
问：你能画出这个三角形吗?你画的三角形与同桌画的一定全等吗?学生活动：画图---对比。
八年级数学上册《三角形中边与角之间的不等关系》教案、教学设计
2.提出问题：向学生展示一个不等边三角形和一个等腰三角形，提问：“这两个三角形有什么不同？”引导学生关注三角形边与角之间的关系。
3.创设情境：通过一个实际生活中的例子（如测量三角形土地的面积），让学生感受到三角形边角关系在实际问题中的应用，激发他们的学习兴趣。
5.教学资源：
-利用多媒体教学手段，如PPT、动画等，直观展示三角形边角不等关系，提高教学效果。
-结合实际生活中的例子，如建筑、艺术等领域的应用，让学生感受几何知识的实用价值。
-提供丰富的学习资料，如辅导书、网络资源等，方便学生课后复习和拓展。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在这一环节中，我们将通过以下步骤引导学生进入新课的学习：
3.不等关系的应用：结合实际例子，讲解如何运用三角形边角不等关系解决几何问题，如求三角形某一边或角的大小。
（三）学生小组讨论
在这一环节中，我们将组织学生进行以下讨论：
1.分组：将学生分成若干小组，每个小组针对一个或多个问题进行讨论。
2.讨论问题：如“如何判断一个三角形是锐角三角形还是钝角三角形？”“在解决实际问题中，如何运用三角形的边角不等关系？”
-鼓励学生利用网络资源、辅导书等，进行课后自主学习，拓宽知识面。
注意事项：
1.作业量要适中，避免过多增加学生负担。
2.作业难度要适中，既要让学生感到挑战，又要确保他们能够独立完成。
3.教师要及时批改作业，了解学生的学习情况，为下一节课的教学提供参考。
4.鼓励学生在完成作业过程中积极思考、主动提问，培养他们的自主学习能力。
2.提高作业：
-针对学有余力的学生，布置一些拓展性的题目，如求解三角形中某个角或边长的问题，培养学生的几何推理能力和解题技巧。
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方法总结
通过上述例题的分析，在解决含有边角的关系式 时，我们可以利用正弦定理和余弦定理及其变形来实 现边角互化．
所以 sin2A=sin2B，
因为 A，B∈（0，π），
∴2A=2B
或者
2A+2B=π，即
A=B
或
A+B=
2
，
∴该三角形是等腰三角形或直角三角形．
例题分析
例 2．（1）在△ABC 中，sin2A＋sin2C－sinAsinC＝sin2B，
则角 B=
.
解：因为 a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC， 可得 a2＋c2－ac＝b2，
利用正弦定理将边转 化为角的形式
例题分析
例 3．在△ABC 中，已知 acosB＝bcosA，试判断△ABC 的形状．
解法二：由余弦定理可得： a ×a2＋2ca2－c b2＝b×b2＋2cb2－c a2 ，
化简得 a2＝b2，即 a＝b，
∴该三角形是等腰三角形．
利用余弦定理将角 转化为边的形式
从上述两种解法我们可以发现，问题既能通过
例题分析
例 1．（2）已知三角形 ABC 中，有 a2 tan B b2 tan A ，则三
角形 ABC 的形状是
.
解：因为 a=ksinA，b=ksinB， 可得：sin2AtanB=sin2BtanA，
利用正弦定理将边 转化为角的形式
化简得
sin cos
A B
sin B cos A
，即
sinAcosA=sinBcosB,
a2 b2 c2
a
b
c
2bc
2ac
2ab
化简得：c4=(a2－b2)2，即 b2+c2=a2 或 a2+c2=b2，
∴△ABC 为直角三角形．
利用余弦定理将角转 化为边的形式
例题分析
例 3．在△ABC 中，已知 acosB＝bcosA，试判断sinA,b=ksinB， 可得 sinAcosB=sinBcosA，即 sin(A－B)=0， 因为 A，B∈（0，π），∴A－B∈（－π，π）， ∴A－B=0，即 A=B， ∴该三角形是等腰三角形．
所以 cosB＝a2＋2ca2－c b2＝12，
利用正弦定理 将角转化为边 的形式
因为 B∈（0，π），所以 B=π3．
例题分析
例 2．（2）△ABC 中，已知 acosA+bcosB=ccosC，试判断△ABC
的形状．
解：由 acosA+bcosB=ccosC 得：
b2 c2 a2
a2 c2 b2
定理可以实现边角互化，即将边的形式化为角的形式，或将角
的形式化为边的形式．
例题分析
例 1．（1）在△ABC 中，b=2asinB，则 A 等于
．
解：因为 a＝ksinA，b＝ksinB， 所以 ksinB＝2ksinAsinB，
利用正弦定理将边 转化为角的形式
∵0<B<π，∴sinB≠0，∴sinA＝12． ∵0<A<π，∴A＝30°或 150°．
高中数学 必修5
姓名：龙艳文 单位：南京市第十三中学
公式分析
正弦定理：sinaA＝sinbB＝sincC＝k，
变形为：ab＝ ＝kkssiinnAB， ， c＝ksinC．
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA， 变形为：cosA＝b2＋2cb2－c a2
从上述公式和变形，我们可以发现，利用正弦定理和余弦