三角形中的边角转化教学
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定理可以实现边角互化，即将边的形式化为角的形式，或将角
的形式化为边的形式．
例题分析
例 1．（1）在△ABC 中，b=2asinB，则 A 等于
．
解：因为 a＝ksinA，b＝ksinB， 所以 ksinB＝2ksinAsinB，
利用正弦定理将边 转化为角的形式
∵0<B<π，∴sinB≠0，∴sinA＝12． ∵0<A<π，∴A＝30°或 150°．
高中数学 必修5
姓名：龙艳文 单位：南京市第十三中学
公式分析
正弦定理：sinaA＝sinbB＝sincC＝k，
变形为：ab＝ ＝kkssiinnAB， ， c＝ksinC．
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA， 变形为：cosA＝b2＋2cb2－c a2
从上述公式和变形，我们可以发现，利用正弦定理和余弦
所以 cosB＝a2＋2ca2－c b2＝12，
利用正弦定理 将角转化为边 的形式
因为 B∈（0，π），所以 B=π3．
例题分析
例 2．（2）△ABC 中，已知 acosA+bcosB=ccosC，试判断△ABC
的形状．
解：由 acosA+bcosB=ccosC 得：
b2 c2 a2
a2 c2 b2
例题分析
例 1．（2）已知三角形 ABC 中，有 a2 tan B b2 tan A ，则三
角形 ABC 的形状是
.
解：因为 a=ksinA，b=ksinB， 可得：sin2AtanB=sin2BtanA，
利用正弦定理将边 转化为角的形式
化简得
sin cos
A B
sin B cos A
，即
sinAcosA=sinBcosB,
a2 b2 c2
a
b
c
2bc
2ac
2ab
化简得：c4=(a2－b2)2，即 b2+c2=a2 或 a2+c2=b2，
∴△ABC 为直角三角形．
利用余弦定理将角转 化为边的形式
例题分析
例 3．在△ABC 中，已知 acosB＝bcosA，试判断△ABC 的形状．
解法一：因为 a=ksinA,b=ksinB， 可得 sinAcosB=sinBcosA，即 sin(A－B)=0， 因为 A，B∈（0，π），∴A－B∈（－π，π）， ∴A－B=0，即 A=B， ∴该三角形是等腰三角形．
转化为角，也可通过转化为边来解决，所以在解题 过程中需要我们合理地选择转化的方向．
方法总结
通过上述例题的分析，在解决含有边角的关系式 时，我们可以利用正弦定理和余弦定理及其变形来实 现边角互化．
利用正弦定理将边转 化为角的形式
例题分析
例 3．在△ABC 中，已知 acosB＝bcosA，试判断△ABC 的形状．
解法二：由余弦定理可得： a ×a2＋2ca2－c b2＝b×b2＋2cb2－c a2 ，
化简得 a2＝b2，即 a＝b，
∴该三角形是等腰三角形．
利用余弦定理将角 转化为边的形式
从上述两种解法我们可以发现，问题既能通过
所以 sin2A=sin2B，
因为 A，B∈（0，π），
∴2A=2B
或者
2A+2B=π，即
A=B
或
A+Baidu Nhomakorabea=
2
，
∴该三角形是等腰三角形或直角三角形．
例题分析
例 2．（1）在△ABC 中，sin2A＋sin2C－sinAsinC＝sin2B，
则角 B=
.
解：因为 a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC， 可得 a2＋c2－ac＝b2，
的形式化为边的形式．
例题分析
例 1．（1）在△ABC 中，b=2asinB，则 A 等于
．
解：因为 a＝ksinA，b＝ksinB， 所以 ksinB＝2ksinAsinB，
利用正弦定理将边 转化为角的形式
∵0<B<π，∴sinB≠0，∴sinA＝12． ∵0<A<π，∴A＝30°或 150°．
高中数学 必修5
姓名：龙艳文 单位：南京市第十三中学
公式分析
正弦定理：sinaA＝sinbB＝sincC＝k，
变形为：ab＝ ＝kkssiinnAB， ， c＝ksinC．
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA， 变形为：cosA＝b2＋2cb2－c a2
从上述公式和变形，我们可以发现，利用正弦定理和余弦
所以 cosB＝a2＋2ca2－c b2＝12，
利用正弦定理 将角转化为边 的形式
因为 B∈（0，π），所以 B=π3．
例题分析
例 2．（2）△ABC 中，已知 acosA+bcosB=ccosC，试判断△ABC
的形状．
解：由 acosA+bcosB=ccosC 得：
b2 c2 a2
a2 c2 b2
例题分析
例 1．（2）已知三角形 ABC 中，有 a2 tan B b2 tan A ，则三
角形 ABC 的形状是
.
解：因为 a=ksinA，b=ksinB， 可得：sin2AtanB=sin2BtanA，
利用正弦定理将边 转化为角的形式
化简得
sin cos
A B
sin B cos A
，即
sinAcosA=sinBcosB,
a2 b2 c2
a
b
c
2bc
2ac
2ab
化简得：c4=(a2－b2)2，即 b2+c2=a2 或 a2+c2=b2，
∴△ABC 为直角三角形．
利用余弦定理将角转 化为边的形式
例题分析
例 3．在△ABC 中，已知 acosB＝bcosA，试判断△ABC 的形状．
解法一：因为 a=ksinA,b=ksinB， 可得 sinAcosB=sinBcosA，即 sin(A－B)=0， 因为 A，B∈（0，π），∴A－B∈（－π，π）， ∴A－B=0，即 A=B， ∴该三角形是等腰三角形．
转化为角，也可通过转化为边来解决，所以在解题 过程中需要我们合理地选择转化的方向．
方法总结
通过上述例题的分析，在解决含有边角的关系式 时，我们可以利用正弦定理和余弦定理及其变形来实 现边角互化．
利用正弦定理将边转 化为角的形式
例题分析
例 3．在△ABC 中，已知 acosB＝bcosA，试判断△ABC 的形状．
解法二：由余弦定理可得： a ×a2＋2ca2－c b2＝b×b2＋2cb2－c a2 ，
化简得 a2＝b2，即 a＝b，
∴该三角形是等腰三角形．
利用余弦定理将角 转化为边的形式
从上述两种解法我们可以发现，问题既能通过
所以 sin2A=sin2B，
因为 A，B∈（0，π），
∴2A=2B
或者
2A+2B=π，即
A=B
或
A+Baidu Nhomakorabea=
2
，
∴该三角形是等腰三角形或直角三角形．
例题分析
例 2．（1）在△ABC 中，sin2A＋sin2C－sinAsinC＝sin2B，
则角 B=
.
解：因为 a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC， 可得 a2＋c2－ac＝b2，