2019-2020学年北京人大附中九年级(下)限时练习数学试卷(4)--含详细解析
北京人大附中九年级(下)开学数学试卷含答案
开学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列说法正确的是（）A. 有理数都是有限小数B. 无理数都是无限不循环小数C. 的平方根是D. -27没有立方根2.-，，3.1415，-，这五个实数中，是无理数的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.下列各数13，π，0，-4，（-3）2，-32，-|-3|，-（-3），3.14-π中有平方根的个数为（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个4.的平方根是（）A. 16B. ±16C. 4D. ±45.若-3，则的取值范围是( ).A.＞3 B. ≥3 C. ＜3 D. ≤36.三条直线两两相交于同一点时，对顶角有m对；交于不同三点时，对顶角有n对，则m与n的关系是（）A. m=nB. m＞nC. m＜nD. m+n=107.如图，能够判断AD∥BC的条件是（）A. ∠7=∠3B. ∠2=∠6C. ∠1=∠5D. ∠3=∠88.如果两个角的一边在同一条线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是（）A. 相等B. 互补C. 相等且互补D. 相等或互补9.若a，b，c为同一平面内不同的三条直线，要使a∥b，则a，b，c应满足的条件是（）A. a⊥b，b⊥cB. a∥c，b⊥cC. a⊥c，b∥cD. a∥c，b∥c10.如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B．若点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.计算：-=______；±=______．12.当1≤x＜5时，=______．13.如图，当直线AB，CD，EF都过点O，且EF⊥AB，OG平分∠EOD，∠AOC=28°，则∠GOF=______．14.已知+（y-1）2=0，则+的值为______．15.若的整数部分是a，小数部分是b，则2a-b=______．16.一个角的对顶角比它的领补角的3倍还大20°，则这个角的补角的度数为______．三、计算题（本大题共4小题，共28.0分）17.求下列各式中的x．（1）（4x-1）2=225；（2）+8x3=-11618.已知3既是x-1的平方根，也是x-2y+1的立方根，求x2-y2的平方根．19.已知A=是m+n+10的算术平方根，B=是4m+6n-1的立方根，求的值．20.已知a，b为实数，且=0，求a2017-b2018的值．四、解答题（本大题共4小题，共28.0分）21.用三角板分别过点A，B，C作线段BC，AC和AB所在直线的高线．22.画出△ABC向下平移5格再向右平移4格后的△A1B1C1．23.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC．求证：∠A=∠C．证明：∵AB∥CD，（______）∴∠B+∠C=180°．（______）∵AD∥BC，（已知）∴∠A+∠B=180°．（______）∴∠A=∠C．（______）∠AED与∠C的关系为______，并证明你的结论．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A，有理数都是无限循环小数，故该选项错误；B，无理数都是无限不循环小数，故该选项正确；C，的平方根是±，故该选项错误；D，-27的立方根是-3，不是没有，故该选项错误；故选：B．此题可根据有理数和无理数的定义以及平方根和立方根的概念逐项分析即可．本题考查了有理数和无理数的定义以及平方根和立方根的概念，掌握各种概念是解决问题的关键．2.【答案】B【解析】解：无理数有，，共2个．故选：B．根据无理数的定义（包括①开方开不尽的根式，②含π的，③一些有规律的）判断即可．本题考查了对无理数的定义的理解，能判断一个数是否是无理数是解此题的关键．3.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了平方根的定义，比较简单，关键要细心．由于负数没有平方根，所以只要找出所给数中的非负数即可解决问题．【解答】解：∵13＞0，π＞0，0=0，-4＜0，（-3）2=9＞0，-32=-9＜0，-|-3|=-3＜0，-（-3）=3＞0，3.14-π＜0，∴有平方根的个数是13，π，0，（-3）2，-（-3），共5个．故选：D．4.【答案】D【解析】解：∵=16，∴16的平方根为：±4．故选：D．根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．此题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根，得出=16是解决问题的关键．5.【答案】B【解析】解：，即a-3≥0，解得a≥3；故选：B．根据题中条件可知a-3≥0，直接解答即可．本题主要考查二次根式的性质与化简，题中涉及使根式有意义的知识点，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：因为三条直线两两相交形成的对顶角的个数与是否交于同一点无关，所以m=n，故选：A．三条直线两两相交，每对相交的直线就会形成2对对顶角，这三条直线每两条都相交，相交直线的对数，与是否交于同一点无关，因而m=n．直线相交形成的对顶角的对数，只与有多少对直线相交有关．7.【答案】C【解析】解：∵∠1=∠5，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；故选：C．利用平行线的判定方法判定即可．此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．8.【答案】D【解析】解：如果两个角的一边在同一条线上，另一边互相平行实际是两条平行线被第三条直线所截，得到同位角，内错角，同旁内角．由平行线的性质可得，各对同位角相等，各对内错角相等，相应的同旁内角的关系是互补．故选：D．此题需分情况进行讨论，当两个角同为锐角时或者一个锐角一个钝角时，都符合题中已知条件．本题需注意的知识点为：如果两个角的一边在同一条线上，另一边互相平行，那么这两个角是被平行线所截得的同位角，或内错角或是同旁内角．9.【答案】D【解析】解：A、a⊥b，a⊥c可判定b∥c，故此选项错误；B、a∥b，b⊥c可判定a⊥c，故此选项错误；C、a⊥c，b∥c可判定a⊥b，故此选项错误；D、根据在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行可得a∥b，故此选项正确；故选：D．根据在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行进行分析即可．此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．10.【答案】C【解析】解：∵表示1、的对应点分别为点A、点B，∴AB=-1，∵点B关于点A的对称点为点C，∴CA=AB，∴点C的坐标为：1-（-1）=2-．故选：C．首先根据表示1、的对应点分别为点A、点B可以求出线段AB的长度，然后根据点B和点C关于点A对称，求出AC的长度，最后可以计算出点C的坐标．本题考查的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．11.【答案】3 ±【解析】解：∵（-3）3=-27，∴-=-（-3）=3；∵（±）2=，∴±=±，故答案为3，．利用立方根和平方根的计算方法计算即可．本题考查了立方根和平方根的计算方法，属于基础题，比较简单．12.【答案】4【解析】解：∵1≤x＜5，∴x-1≥0，x-5＜0．故原式=（x-1）-（x-5）=x-1-x+5=4．根据x的取值范围，可判断出x-1和x-5的符号，然后再根据二次根式的性质和绝对值的性质进行化简．本题主要考查了二次根式及绝对值的化简．13.【答案】149°【解析】解：∵∠AOC=28°，∴∠DOB=28°，∵EF⊥AB，OG平分∠EOD，∴∠EOD=90°-28°=62°，∴∠GOD=31°，∴∠GOF=90°+28°+31°=149°，故答案为：149°．根据对顶角相等得出∠DOB，进而利用互余和角平分线的定义得出∠GOD的度数，进而解答即可．此题考查了角的计算，涉及的知识有：角平分线定义，垂直的定义，以及互余两角的性质，熟练掌握定义及性质是解本题的关键．14.【答案】0【解析】解：∵+（y-1）2=0，∴x+1=0，y-1=0，∴x-1，y=1．∴原式=-1+1=0．故答案为：0根据非负数和为0的性质定理求出x和y的值，然后将其值代入代数式就可以计算出结果了．本题是一道实数计算题，考查了非负数和为0的性质、开平方和开立方运算．15.【答案】24-【解析】解：∵8＜＜9，∴a=8，b=-8，∴2a-b=2×8-（-8）=24-．故答案为：24-．首先确定的范围，即可推出ab的值，把ab的值代入求出即可．考查了估算无理数的大小，解此题的关键是确定的范围．8＜＜9，得出a，b的值．16.【答案】40°【解析】解：设这个角为x，则它的对顶角为x，邻补角为180°-x，根据题意得x-3（180°-x）=20°，解得x=140°．故这个角的补角的度数为：180°-140°=40°．故答案为：40°．设这个角的度数为x，根据对顶角相等和互为邻补角的两个角的和等于180°分别表示出它的对顶角和邻补角，然后根据等量关系列出方程求解．本题考查互为邻补角的两个角等于180°和对顶角相等的性质，是需要熟记的内容．17.【答案】解：（1）∵（4x-1）2=225，∴4x-1=15或4x-1=-15，解得：x=4或x=-；（2）∵+8x3=-116，∴8x3=-116-9，即8x3=-125，∴x3=-，∴x=-．【解析】（1）先根据平方根的定义得出4x-1=±15，再分别求解可得；（2）先将x3的系数化为1，再根据立方根的定义计算可得．本题主要考查立方根和平方根，解题的关键是掌握立方根和平方根的定义计算可得．18.【答案】解：根据题意得，由①得：x=10，把x=10代入②得：y=-8，∴，∴x2-y2=102-（-8）2=36，∵36的平方根是±6，∴x2-y2的平方根是±6．【解析】根据题意得x-1=9，x-2y+1=27，再解方程组求得xy的值，代入即可得出答案．本题考查了平方根和立方根，是基础知识比较简单．19.【答案】解：根据题意得：，解得：，∴A==4，B==3，则=-1．【解析】利用平方根、立方根定义列出方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出所求即可．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：∵=0，∴+（1-b）=0，∵1-b≥0，∴1+a=0，1-b=0，解得a=-1，b=1，∴a2017-b2018=（-1）2017-12018=-1-1=-2．【解析】由已知条件得到+（1-b）=0，利用二次根式有意义的条件得到1-b≥0，再根据几个非负数和的性质得到1+a=0，1-b=0，解得a=-1，b=1，然后根据乘方的意义计算a2017-b2018的值．本题考查了非负数的性质：算术平方根具有非负性．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．21.【答案】解：如图所示：【解析】根据三角形的高作图即可．本题考查了作图-基本作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．22.【答案】解：如图所示：△A1B1C1，即为所求．【解析】直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案．此题主要考查了平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．23.【答案】已知两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补同角的补角相等【解析】证明：∵AB∥CD，（已知）∴∠B+∠C=180°．（两直线平行，同旁内角互补）∵AD∥BC，（已知）∴∠A+∠B=180°．（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A=∠C．（同角的补角相等）．根据平行线的性质，求得同旁内角∠B+∠C=180°、∠A+∠B=180°，然后利用同角的补角相等知∠A=∠C．本题考查了平行线的性质．①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补．24.【答案】相等【解析】解：∵∠1+∠AEF=180°，∴AC∥DG，∵∠2+∠AEF=180°，∴∠1=∠2，∴EF∥AB，∴∠AED=∠EDF，∠3=∠ADE，∵∠3=∠B，∴∠B=∠ADE，∴DE∥BC，∴∠AED=∠C，故答案为：相等根据平行线的判定方法和平行线的性质解答即可．本题考查了平行线的判定和性质，其区别和联系为：区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行；联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．。
北京市人大附中九年级(下)月考数学试卷(4月份)
北京市人大附中九年级（下）月考数学试卷（4月份）一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）7的相反数是（）A．B．7C．D．﹣72．（3分）国家体育场位于北京奥林匹克公园中心区南部，为2008年北京奥运会的主体育场．国家体育场“鸟巢”建筑面积达258000平方米，场内观众坐席约为91000个，举行了奥运会、残奥会开闭幕式、田径比赛及足球比赛决赛．用科学记数法表示258000应为（）A．2.58×103B．25.8×104C．2.58×105D．258×103 3．（3分）函数y=的自变量x的取值范围是（）A．x≥B．x≠1C．x≥且x≠﹣1D．x≥且x≠14．（3分）抛物线y=（x﹣3）2﹣1的顶点坐标是（）A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）5．（3分）平面直角坐标系中，与点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，﹣1）D．（2，1）6．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在CB上，DE⊥AB，若DE=2，CA=4，则=（）A．B．C．D．7．（3分）在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为（）A ．B ．C ．D．18．（3分）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则的长是（）A ．B ．C ．D ．9．（3分）北京市环保检测中心网站公布的2012年3月31日的PM2.5研究性检测部分数据如下表：时间0：004：008：0012：0016：0020：00PM2.5（mg/m3）0.0270.0350.0320.0140.0160.032则该日这6个时刻的PM2.5的众数和中位数分别是（）A．0.032，0.0295B．0.026，0.0295C．0.026，0.032D．0.032，0.02710．（3分）如图在直角坐标系中，已知A（﹣2，0），B（2，0）．直线y=x+b（﹣2≤b≤2）交x轴于点C，交以AB为直径的⊙O于M，N两点（M在N的上方），点P是MC的中点（当M，C点重合时，点P即是点M）．设线段OP的长度为l，则下列图象中大致能表示l与b之间的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）因式分解：a3﹣4a=．12．（3分）若+（n+1）2=0，则m+n的值为．13．（3分）抛物线y=x2﹣5x+4与y轴交点的坐标是．14．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AC=2，BC=1，那么sin ∠ABD的值是．15．（3分）已知小聪的身高为1.8米，在太阳光下的地面影长为2.4米，若此时测得一旗杆在同一地面的影长为20米，则旗杆高应为．16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=x，作A1（1，0）关于y=x 的对称点B1，将点B1向右水平平移2个单位得到点A2；再作A2关于y=x的对称点B2，将点B2向右水平平移2个单位得到点A3；…．请继续操作并探究：点A3的坐标是，点B2015的坐标是．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．（5分）计算：2sin60°+（﹣）﹣1+|3﹣|+（3﹣π）0．18．（5分）解不等式组把它的解集在数轴上表示出来，并写出它的自然数解．19．（5分）已知x﹣2y=0（x≠0），求的值．20．（5分）如图，在△ABC中，∠A=90°，AC⊥CE，且BC=CE，过E作BC的垂线，交BC延长线于点D．求证：AB=CD．21．（5分）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500．（1）当销售单价定为元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，同时又能让消费者获得更多的实惠，那么销售单价应定为多少元？22．（5分）已知：如图，反比例函数y=（k≠0）与一次函数y=ax+b（a≠0）的图象交于A（3，1）、B（m，﹣3）两点．（1）求反比例函数y=（k≠0）与一次函数y=ax+b（a≠0）的解析式．（2）若点P是直线y=ax+b（a≠0）上一点，且△OPA的面积为1，请直接写出点P的坐标．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．（5分）已知如图，在梯形ABCD中AB∥CD，对角线AC、BD交于点O，△ABC为边长为6的等边三角形，DC=2．（1）AD的长为；（2）求OB的长．24．（5分）某校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，对学校部分捐款人数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）．已知A、B两组捐款人数的比为1：5．捐款人数分组统计表：组别捐款额x/元人数A1≤x＜10aB10≤x＜20100C20≤x＜30D30≤x＜40E x≥40请结合以上信息解答下列问题．（1）a=，本次调查样本的容量是；（2）先求出C组的人数，再补全“捐款人数分组统计图1”；（3）若任意抽出1名学生进行调查，恰好是捐款数不少于30元的概率是多少？25．（5分）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD 于点D．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若点E为的中点，AD=，AC=8，求AB和CE的长．26．（5分）阅读理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：（1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E 恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．（7分）已知一元二次方程x2﹣2mx+m2+m﹣1=0，其中m为常数．（1）若该一元二次方程有实数根，则m的取值范围；（2）当m变化时，设抛物线y=x2﹣2mx+m2+m﹣1顶点为M，点N的坐标为N （3，0），请求出线段MN长度的最小值；（3）设y=x2﹣2mx+m2+m﹣1与直线y=x交于不同的两点A、B，则m变化时，线段AB的长度是否发生变化？若不变，请求出AB的长；若变化，请说明理由．28．（7分）如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如图②）．（1）探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；（2）当DB′∥AE时，求此时旋转角α的度数；（3）如图③，在旋转过程中，设A C′与DE所在直线交于点P，当△ADP成为等腰三角形时，求此时的旋转角α的度数．（直接写出结果）29．（8分）对于两个已知图形G1、G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小的长度为图形G1、G2的“密距”；当线段PQ的长度最大值时，我们称这个最大的长度为图形G1、G2的“疏距”．请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面的问题；在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣3，4），点B的坐标为（3，4），矩形ABCD的对称中心为点O．（1）线段AD和BC的“密距”是，“疏距”是；（2）设直线y=x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点E、F，若线段EF与矩形ABCD的“密距”是1，求它们的“疏距”；（3）平面直角坐标系xOy中有一个四边形KLMN，将矩形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与四边形KLMN的“疏距”的最大值为7，①旋转过程中，它与四边形KLMN的“密距”的取值范围是；②求四边形KLMN的面积的最大值．北京市人大附中九年级（下）月考数学试卷（4月份）参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．D；2．C；3．D；4．B；5．C；6．C；7．B；8．B；9．A；10．C；二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．a（a+2）（a﹣2）；12．2；13．（0，4）；14．；15．15米；16．（3，2）；（2014，2015）；三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．；18．；19．；20．；21．35；22．；四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．2；24．20；500；25．；26．；五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．m≤1；28．；29．6；10；1≤密距≤3；。
2020-2021学年北京人大附中九年级(下)限时练习数学试卷(8)(附答案详解)
2020-2021学年北京人大附中九年级（下）限时练习数学试卷（8）1.下列几何体中，三视图完全相同的是()A. 圆锥B. 圆柱C. 球D. 三棱柱2.实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，以下各式中值最大的是()A. |a+b+c|B. |a+b−c|C. |a−b+c|D. |a−b−c|3.如图，四边形ABCD中，∠1、∠2、∠3分别为∠BAD、∠ABC、∠BCD的外角，下列判断正确的是()A. ∠1+∠3=∠ABC+∠DB. ∠1+∠3=180°C. ∠2=∠DD. ∠1+∠2+∠3=360°4.在经过长达3个月的火星停泊轨道运行探测后，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器于2021年5月15日稳稳降落在火星乌托邦平原南部的预选着陆区，迈出了我国星际探测征程的重要一步，火星作为地球的近邻，到地球的最近距离约为5500万千米，将5500万用科学记数法表示应为()A. 5.5×103B. 5.5×106C. 5.5×107D. 5.5×10105.已知△ABC与△DEF全等，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，点E在AC边上，B，F，C，D四点在同一条直线上.若∠A=40°，∠CED=35°，则以下说法正确的是()A. EF=EC，AE=FCB. EF=EC，AE≠FCC. EF≠EC，AE=FCD. EF≠EC，AE≠FC6.心理学家找了1000位受试者进行暗室实验.每位受试者都要观看并辨别6、8、9三张数字卡，发现将实际数字看成某个数字的概率如表：看成数字 实际数字 689其他6 0.4 0.3 0.2 0.1 8 0.3 0.4 0.1 0.2 90.20.20.50.1例如：实际数字是6被看成6、8、9的概率分别为0.4、0.3、0.2，而被看成其他数字的概率是0.1.根据表中的数据，下列说法中正确的是( )A. 如果可实际数字是8，则至少有一半的可能性会被看成8B. 在数字6、8、9中，被误认的可能性以8最低C. 如果被看成的数字是6，则实际上就是6的可能性不到一半D. 如果被看成的数字是9，则实际上就是9的可能性超过347. 如图，锐角△ABC 中，点D 在BC 边上，∠B =∠BAD =∠CAD.现需在线段AD 上作点P ，使得∠APC =∠ADB ，以下是甲、乙两人的作法：甲：作AC 的中垂线交AD 于点P ，点P 即为所求作点；乙：以C 为圆心，CD 长为半径画弧，交AD 于点P(异于点D)，点P 即为所求作点； 对于甲、乙两人的作法，以下判断正确的是( )A. 两人都正确B. 两人都错误C. 只有甲正确D. 只有乙正确8. 如图，△ABC 中AB >BC >CA ，现将△ABC 绕点C 顺时针旋转，使得点A′在BC 的延长线上，B 的对应点为B′.记旋转前后三角形的内心分别为I ，I′，旋转前后三角形的外心分别为O ，O′，则以下说法正确的是( )A. II′//BCB. OO′//BCC. IC//I′A′D. OC//O′A′9. 若1√x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是______ ．10. 写出一个二元一次方程，使得{x =1y =2是该二元一次方程的一组解：______ ．⋅(2m+n)的值是______ ．11.如果n=4m≠0，那么代数式3m−n4m2−n212.将一次函数y=√3x的图象平移后经过点(0,3)，这个平移变换可以是竖直向上平移3个单位也可以是水平______ ．13.如图，已知平行四边形ABCD，通过测量、计算得平行四边形ABCD的面积约为______ cm2.(结果保留一位小数)交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，14.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b与双曲线y=kx若x1−x2=4，则y1−y2的值为______ ．15.如图，点A的坐标是(1,1)，点B的坐标是(4,2)，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，利用图中网格，满足∠ACB=45°的整点C的个数为______ ．16.设四位候选人ABCD，共五人进行投票，每张选票按照偏好度对候选人进行排序，例如选票“ABCD”表示对四位候选人的偏好度从高到低依次为A>B>C>D.最后综合五张选票形成排序结果，规则如下：对于任意两名候选人M，N，比较选票中M和N的偏好度，若偏好M的人更多，那么在最终排序结果中M在N之前.已知前四张选票依次为：ACBD、ABDC、BCAD、CDBA，并且最终排序结果为ABCD，那么第五张选票的情形可能为______ .(写出一种满足条件的情形即可))−1+|√3−2|−(π−3.14)0+3tan30°．17.计算：(1418.解方程：2xx−2−8x2−2x=119.解不等式组：{8(x−1)>5x−17 x−6≤x−102．20.关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+m+2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．21.下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．已知：⊙O和圆外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①连接OP；②以OP为直径作⊙M，交⊙O于点A，B；③作直线PA，PB；所以直线PA，PB为⊙O的切线．根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．证明：连接OA，OB．∵OP为⊙M的直径，∴∠OAP=∠______=______°(______)(填推理的依据)．∴OA⊥AP，______⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线PA，PB为⊙O的切线(______)(填推理的依据)．22.如图，四边形ABCD是矩形，对角线相交于点O，点E为线段AO上一点(不含端点)，点F是点E关于AD的对称点，连接CF与BD相交于点G．(1)证明：AF//BD；(2)若OG=1，OE=2.求BD的长．23.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−x+b经过点(0,2)．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x<4时，对于x的每一个值，函数y=−x+b的值与函数y=kx−k的值之和都大于0，直接写出k的取值范围．24.一家公司打算招聘若干英文翻译，现有30位应试者进行了听说能力和读写能力两项测试，他们的成绩(百分制)如图所示．(1)若按照听说测试和读写测试的总成绩将30位应试者分为两组，合理的分类方式应为直线______ .(填“l1”或“l2”)(2)听说和读写测试成绩之和靠前的15位应试者为第Ⅰ组，靠后的15位应试者为第Ⅱ组，记第Ⅰ组的平均成绩为x1，第Ⅱ组的平均成绩为y1，若将第Ⅰ组的后三名调至第Ⅱ组后，第Ⅰ组的平均成绩变为x2，第Ⅱ组的平均成绩为变y2，则，x1______ x2，y1______ y2(填“>”“<”或“=”)．(3)下列推断合理的是______ .(填写所有合理推断的序号)①30位应试者听说能力测试成绩的中位数小于读写能力测试成绩的中位数；②若公司分别赋予听说能力和读写能力7和3的权，那么应试者A加权后的成绩低于应试者B；③若公司招聘了应试者C，建议公司通过培训提高该应试者的听说能力；④图中矩形框中应试者读写能力测试成绩的方差大于听说能力测试成绩的方差．25.如图，过⊙O外一点C作⊙O的切线CB，CD，切点分别为点B，D，直径AB的长为4，BC=2，连接OC，AD．(1)求证：四边形OADC是平行四边形；(2)点G为半径OB上一点，连接CG交⊙O于E，延长CG交⊙O于F，当EF=AD时，求OG的长．x2−x+c．26.已知抛物线C1：y1=12(1)直接写出抛物线C1的顶点坐标______ (用含c的式子表示)；(2)将抛物线C1平移得抛物线C2：y2=a(x−ℎ)2，若2<x≤m时y2≤x恒成立，求m的最大值．=k，点F在BC的延长线上，27.四边形ABCD是平行四边形，E是边BC上一点，BEEC且CF=CE，连接AF交CD于点M，连接AE交DC延长线于N．(1)如图1，∠B=90°，k=1，①依题意补全图形；②求DM的值；CN(2)写出一个k的值，使得对于任意的平行四边形ABCD总有DM=CN，并证明．28.对于平面直角坐标系xOy中的任意两点M(x1,y1)，N(x2,y2)，我们定义：d1(M,N)=|x1−x2|+|y1−y2|，d2(M,N)=√(x1−x2)2+(y1−y2)2，我们将d1(M,N)，d2(M,N)分别称作两点M、N间的“Ⅰ型距离”和“Ⅱ型距离”．(1)已知A(−1,0)，B(0,√3)①A，B间的“Ⅰ型距离”是______ ；A，B间的“Ⅱ型距离”是______ ；②点M，N是直线AB上任意两点，求d1(M,N)的值；d2(M,N)(2)直线l：y=kx+b(k>0)和抛物线C：y=kx2+b在y轴右侧交于点P，若存在直线l上一点Q(x1,y1)(x1<1)和抛物线C上一点R(x2,y2)(x2>1)，使得d1(P,Q)=d1(P,R)且d2(P,Q)=d2(P,R)，直接写出k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A.圆锥的主视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为圆形，因此选项A 不符合题意；B.圆柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是圆形，因此选项B不符合题意；C.球的主视图是圆，左视图是圆，俯视图是圆，因此选项C符合题意；D.三棱柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是三角形，因此选项D不符合题意；故选：C．根据各种几何体的三视图的形状进行判断即可．本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．2.【答案】B【解析】解：由题意可得：a<b<0<c，∴a+b−c的结果是最小的，其绝对值最大，故选：B．结合数轴及有理数加减法的运算法则和绝对值的意义分析求解．本题考查有理数的加减混合运算及绝对值的意义，利用数形结合思想解题是关键．3.【答案】A【解析】解：∵∠1+∠DAB=180°，∠3+∠BCD=180°，∴∠1+∠3+∠DAB+∠BCD=360°，∵∠ABC+∠BCD+∠D+∠DAB=360°，∴∠1+∠3=∠ABC+∠D，故A符合题意；∵∠1+∠3只有∠ABC和∠D互补时才等于180°，故B不符合题意；∵只有∠ABC和∠D互补时，∠2=∠D，故C不符合题意；∵多边形的外角和是360°，∴∠1+∠2+∠3<360°，故D不符合题意；故选：A．由平角的定义得到，∠1+∠DAB=180°，∠3+∠BCD=180°，即∠1+∠3+∠DAB+∠BCD=360°，再根据四边形的内角和是360°，等量代换即可得解．此题考查了多边形的内角与外角，熟记四边形的内角和是360°是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：5500万=55000000=5.5×107，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5.【答案】B【解析】解：∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，BC=EF，AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠DEF，∠ACB=∠DFE，∵∠A=40°，∠CED=35°，∴∠D=40°，∴∠ACB=40°+35°=75°，∴∠B=180°−40°−75°=65°，∴∠EFD=∠BCA=75°，∴EF=EC，∴BC=EF=EC，∴得不出AE=FC，故选：B．根据全等三角形的性质得出对应边相等好对应角相等解答即可．此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等好对应角相等得出边角关系解答．6.【答案】C【解析】解：由表得：A.如果可实际数字是8，则实际上就被看成8的概率是0.4<12，故此说法错误，不符合题意；B.在数字6、8、9中，6被误认的可能性是1−0.4=0.6，在数字6、8、9中，8被误认的可能性是1−0.4=0.6，在数字6、8、9中，9被误认的可能性是1−0.5=0.5，∴被误认的可能性以9最低，故此说法错误，不符合题意；C.如果被看成的数字是6，则实际上就是6的可能性的概率是0.4<12，故此说法正确，符合题意；D.如果被看成的数字是9，则实际上就是9的可能性是0.50.2+0.2+0.5=59<34，故此说法错误，不符合题意；故选：C．利用表格中的概率数据分析各个选项得出答案即可；此题主要考查了利用频率估计概率以及列表法求概率，正确分析表中数据是解题关键．7.【答案】A【解析】解：设∠B=∠BAD=∠CAD=α，根据甲的作法得到图1，∵P点在AC的垂直平分线上，∴PA=PC，∴∠PCA=∠PAC=α，∴∠APC=180°−∠PAC−∠PCA=180°−2α，∵∠ADB=180°−∠B−∠BAD=180°−2α，∴∠APC=∠ADB，所以甲的作法正确；根据乙的作法得到图2，∵CD=CP，∴∠CDP=∠CPD，∴∠APC=∠ADB，所以乙的作法正确．故选：A．设∠B=∠BAD=∠CAD=α，利用甲的作法得到图1，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PC，则∠PCA=∠PAC=α，则根据三角形内角和可证明∠APC=∠ADB，于是可判断甲的作法正确；利用乙的作法得到图2，根据等腰腰三角形的性质得到∠CDP=∠CPD，然后根据等角的补角相等可判断乙的作法正确．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．8.【答案】A【解析】解：如图，过点I作ID⊥BC于D，I′D′⊥CA′于D′，连接II′．∵旋转前后三角形的内心分别为I，I′，∴ID=I′D′，∵ID//I′D′，∴四边形IDD′I是平行四边形，∴II′//BC，故选：A．如图，过点I作ID⊥BC于D，I′D′⊥CA′于D′.证明四边形IDD′I是平行四边形，推出II′//BC，可得结论．本题考查三角形的内心，三角形的外心等知识，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题．9.【答案】x >0【解析】解：根据题意，得{x ≥0x ≠0． 解得x >0．故答案是：x >0．根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0求解可得．本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0．10.【答案】x +y =3(答案不唯一)【解析】解：例如1+2=3；将数字换为未知数，得x +y =3．答案不唯一．再如x −y =−1等等．故答案为：x +y =3(答案不唯一)．利用方程的解构造一个等式，然后将数值换成未知数即可．此题是解二元一次方程的逆过程，是结论开放性题目．二元一次方程是不定解方程，一个二元一次方程可以有无数组解，解题的关键是明确一组解可以构造无数个二元一次方程．11.【答案】12【解析】解：3m−n 4m 2−n 2⋅(2m +n)=3m −n (2m +n)(2m −n)⋅(2m +n) =3m−n 2m−n ，当n =4m ≠0时，原式=3m−4m 2m−4m =−m −2m =12，故答案为：12．利用平方差公式先将分母分解因式，然后即可将所求式子化简，再将n =4m ≠0代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．12.【答案】向左移动√3个单位【解析】解：设水平向右平移a个单位，则平移后直线方程是y=√3(x−a)，把(0,3)代入，得3=√3(0−a)，解得a=−√3．即将一次函数y=√3x的图象水平向左移动√3个单位后经过(0,3)，故答案是：向左移动√3个单位．设水平向右平移a个单位，则平移后直线方程是y=√3(x−a)，将(0,3)代入求得a的值即可．此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b的值发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．13.【答案】5.0【解析】解：如图所示，过点D作DE⊥BC于点E，经测量DE=1.8cm，BC=2.8cm，S▱ABCD=BC⋅DE=2.8×1.8=5.04≈5.0(cm2)，故答案为：5.0．过点D作DE⊥BC于点E，测量出BC，DE的长，再利用平行四边形的面积公式即可求出▱ABCD的面积．本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式．14.【答案】4关于直线y=−x对称，【解析】解：∵直线y=x+b与双曲线y=kx∴点A(x1,y1)，B(x2,y2)关于直线y=−x对称，∴x1=−y2，y1=−x2，∵x1−x2=4，∴y1−y2=−x2−(−x1)=4；综上，y1−y2的值为4，故答案为4．利用反比例函数和一次函数y=x+b的性质判断点A和点B关于直线y=−x对称，然后根据关于直线y=−x对称的点的坐标特征得出x1=−y2，y1=−x2，即可求得y1−y2的值．本题是反比例函数与一次函数的交点问题，得到A、B点的坐标之间的关系是解题的关键．15.【答案】4【解析】解：如图，满足∠ACB=45°的整点C的个数有4个；故答案为：4．根据等腰直角三角形的锐角是45度，以AB为直角边画出等腰直角三角形可解答．本题考查的是等腰直角三角形的性质，新定义：整点，解题的关键是理解整点的意义，正确画出等腰直角三角形，进而求解．16.【答案】ABCD或ABDC【解析】解：设每张选票左起第一位置的偏好度为a，第二个位置的偏好度为b，第三个位置的偏好度为c，第四个位置的偏好度为d，由题意知，a>b>c>d，∴前四张票中A的偏好度为：2a+c+d，B的偏好度为：a+b+2c，C的偏好度为：a+2b+d，D的偏好度为：b+c+2d，要使最终排序结果为ABCD，则，①第五张票可以是ABCD，此时A：3a+c+d>B：a+b+2c+d>C：a+2b+c+d>D：b+c+3d；②第五张票还可以是ABDC，此时A：3a+c+d>B：a+2b+2c>C：a+2b+2d>D：b+2c+2d；∴第五张票的可能情形为ABCD或ABDC，故答案为：ABCD或ABDC．设出四个位置的偏好度，计算偏好度总和，根据最后排序判断第五张票的可能性．本题主要考查推理论证，设出偏好度给A，B，C，D四位候选人排序是解题的关键．17.【答案】解：原式=4+2−√3−1+3×√33=8−√3+√3=8．【解析】先进行负整数指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角三角函数的计算，再进行加减运算即可．此题考查的是负整数指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角三角函数的运算，准确进行计算是解决此题关键．18.【答案】解：去分母得：2x2−8=x2−2x，即x2+2x−8=0，分解因式得：(x−2)(x+4)=0，解得：x=2或x=−4，经检验x=2是增根，∴分式方程的解为x=−4．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．19.【答案】解：{8(x−1)>5x−17①x−6≤x−102②，解不等式①，得x>−3，解不等式②，得x≤2，∴原不等式组的解为：−3<x≤2．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20.【答案】(1)证明：依题意，得△=[−(m+3)]2−4(m+2)=m2+6m+9−4m−8=(m+1)2．∵(m+1)2≥0，∴△≥0．∴方程总有两个实数根．(2)解：解方程，得x1=1，x2=m+2，∵方程的两个实数根都是正整数，∴m+2≥1．∴m≥−1．∴m的最小值为−1．【解析】(1)先根据方程总有两个实数根列出关于m的代数式，判断△≥0即可；(2)根据题意得到x1=1和x2=m+2是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值．本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解，在解答(2)时得到方程的两个根是解题的关键．21.【答案】OBP90 直径所对的圆周角是直角OB过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线【解析】证明：连接OA，OB．∵OP为OM的直径，∴∠OAP=∠OBP=90°(直径所对的圆周角是直角)．∴OA⊥AP，OB⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线PA，PB为⊙O的切线(过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线)．故答案为：OBP，90，直径所对的圆周角是直角，OB，过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线．根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可．本题考查作图−复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)∵点F是点E关于AD的对称点，∴∠EAD=∠FAD，AE=AF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD=∠ODA，∴∠FAD=∠ODA，∴AF//BD；(2)∵O是矩形ABCD的对角线的交点，∴O是AC的中点，∵AF//BD，∴G为CF的中点，∴OG是△CAF的中位线，∴AF=2OG=2×1=2，∴AE=2，∵OE=2，∴OA=4，∴AC=2OA=8，∴BD=AC=8．【解析】(1)根据矩形的性质和翻折的性质即可得出结论；(2)根据O是AC的中点，利用中位线性质求出AF，再求出OA即可．本题考查矩形的性质、翻折的性质以及三角形中位线的性质，关键是利用中位线性质得出AF的长．23.【答案】解：(1)∵一次函数y=−x+b经过点(0,2)，∴将点(0,2)代入y=−x+b，得b=2，∴一次函数的解析式为：y=−x+2．(2)令y1=−x+2，y2=kx−k，∴y1+y2=−x+2+kx−k=(k−1)x+2−k，∵当x<4时，(k−1)x+2−k>0，∴k−1<0，解得k<1，，解(k−1)x+2−k>0，得x<k−2k−1>4，∴k−2k−1∴解得k>2，3<k<1．综上，k的取值范围是23【解析】(1)根据点(0,2)在一次函数图象上，用待定系数法代入求解即可；(2)根据题意列出不等式(k−1)x+2−k>0，因为不等式的解包含x<4，所以k−1<>4，求解即可．0、k−2k−1本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象与系数的关系及一次函数图象上点的坐标特征，要结合题意进行求解，必要时可以利用函数图象辅助完成．24.【答案】l1<<①③【解析】解：(1)由图可以看出这30位应试者的成绩大部粉分布在直线l1附近，∴合理的分类方式应为直线l1，故答案为：l1．(2)将第Ⅰ组的后三名调至第Ⅱ组后，第Ⅰ组的平均成绩会增大，第Ⅱ组的平均成绩也会增大，即x1<x2，y1<y2，故答案为：x1<x2，y1<y2．(3)由图可知，30位应试者听说能力测试成绩的中位数介于60分到70分之间，他们读写能力测试成绩的中位数介于70分到80分之间，∴30位应试者听说能力测试成绩的中位数小于读写能力测试成绩的中位数，故①符合题意；由图可以看出应试者A听说能力强于应试者B的听说能力，他们两人之的读写能力差的不多，若公司分别赋予听说能力和读写能力7和3的权，那么应试者A加权后的成绩高于应试者B，故②不符合题意；由图可以看出应试者C的听说能力在60分左右、其读写能力在90分左右，若公司招聘了应试者C，建议公司通过培训提高该应试者的听说能力，故③符合题意；由图可看出应试者其听说能力测试成绩集中在50分到60分，其读写能力测试成绩分布较听说能力成绩而言稍均匀，图中矩形框中应试者读写能力测试成绩的方差小于听说能力测试成绩的方差，故④不符合题意；故答案为：①③．(1)观察矩形中30位应试者的成绩分布情况，横轴表示应试者读写能力测试成绩，纵轴表示听说能力测试成绩，可以看出这30位应试者的成绩大部粉分布在直线l1附近；(2)将第Ⅰ组的后三名调至第Ⅱ组后，第Ⅰ组的平均成绩会增大，第Ⅱ组的平均成绩也会增大；(3)观察图像结合中位数、加权平均数及方差的意义进行推导，即可得出相关的结论．本题考查方差、加权平均数及中位数，要将方差、加权平均数及中位数的意义与实际数据相结合，解题的关键要从图入手．25.【答案】(1)解：连接OD，∵CB、CD为⊙O的切线，∴CD=CB，∵AB=4，BC=2，∴CB=BO=OD=CD=2，∴四边形OBCD是菱形，∴CD=OB=OA，CD//OA，∴四边形OADC是平行四边形；(2)解：过点O分别作OM⊥CF于点M，ON⊥DA与点N，∵EF=AD，∴OM=ON=√2，∴OC=2OM，在Rt△COM中，sin∠OCM=OM OC =12，∴∠OCM=30°，作GK⊥CO于点K，设GK=a，则OK=GK=a，CG=2GK=2a，CK=√3a，∵CK+OK=OC，∴√3a+a=2√2，解得：a=√6−√2，∵△OGK为等腰直角三角形，∴OG=√2GK=√2a=√2(√6−√2)=2√3−2．∴OG的长为2√3−2．【解析】(1)连接OD，根据切线长定理得到CD=CB，证明四边形OBCD是菱形，得到CD=OB=OA，CD//OA，从而得到四边形OADC是平行四边形；(2)过点O分别作OM⊥CF于点M，ON⊥DA与点N，证明∠OCM=30°，作GK⊥CO于点K，设GK=a，可得a+√3a=2√2，求出a的值，即可得出OG的长．本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，解直角三角形，菱形的判定和性质，关键是作出辅助线，构造直角三角形，借助解直角三角形的知识解决问题．26.【答案】(1,2c−12)【解析】解：(1)∵y1=12x2−x+c=12(x−1)2+2c−12，∴抛物线C1的顶点坐标(1,2c−12)，故答案为：(1,2c−12)；(2)∵将抛物线C1平移得抛物线C2：y2=a(x−ℎ)2，∴a=12，∴抛物线C2：y2=12(x−ℎ)2，令y3=x，设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x0，x0′，且x0<x0′，∵抛物线C2可以看作抛物线y=12x2左右平移得到的，观察图象，随着抛物线C2的不断平移，x0，x0′的值不断增大，∴当满足2<x≤m时y2≤x恒成立，m的最大值在x0′处取得，可得：x0=2时，所对应的x0′既为m的最大值，于是，将x0=2代入12(x−ℎ)2=x，有12(2−ℎ)2=2，解得：ℎ=4或ℎ=0(舍去)，∴y2=12(x−4)2，此时，y2=y3，得12(x−4)2=x，解得：x0=2，x0′=8，∴m的最大值为8．(1)把抛物线的一般式化为顶点式，即可求顶点坐标；(2)将抛物线C1平移得抛物线C2：y2=a(x−ℎ)2得出a=12，令y3=x，设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x0，x0′，且x0<x0′，观察图象，随着抛物线C2的不断平移，x0，x0′的值不断增大，当满足2<x≤m时y2≤x恒成立，m的最大值在x0′处取得，可得：x0=2时，所对应的x0′既为m的最大值．本题考查二次函数与不等式的关系以及一般式与顶点式的转化，关键是利用数形结合的思想的应用．27.【答案】解：(1)①如图，图形即为所求．②∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AD//BC，∠B=∠BCD=∠ECN=90°，∵∠AEB=∠CEN，BE=EC，∴△ABE≌△NCE(ASA)，∴CN=AB，∴CN=CD，∵AD//CF，CF=CE=12BC=12AD，∴DMMC ADCF=2，∴DMDC =23，∴DMCN =23．(2)如图2中，设EC=CF=a．∵BE=kEC，∴BE=ka，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC=(k+1)a，AD//BC，AB//CD，∴CNAB =CEBE=1k，∵CF//AD，∴DMMC =ADCF=k+11，∴DMDC =k+1k+2，∵DM=CN，AB=CD，∴1k =k+1k+2，∴k=√2或−√2(舍弃)．∴当k=√2时，对于任意的平行四边形ABCD总有DM=CN．理由：当k=√2时，∵CN//AB，∴CNAB =√22，∵CF//AD，∴DMMC =ADCF=1+√21，∴DMDC =√22+√2=√22，∴CNAB =DMCD，∵AB=CD，∴CN=DM，∴当k=√2时，对于任意的平行四边形ABCD总有DM=CN．【解析】(1)①根据要求作出图形即可．②首先证明AB =CN =CD ，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．(2)当k =√2时，对于任意的平行四边形ABCD 总有DM =CN.再利用平行线分线段成比例定理，证明CN AB =DM CD ，可得结论．本题属于几何变换综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考压轴题．28.【答案】1+√3 2【解析】解：(1)①已知A(−1,0)，B(0,√3)，根据定义，∴d 1(A,B)=∣−1−0∣+∣0−√3∣=1+√3，d 2(A,B)=√(−1−0)2+(0−√3)2=√1+3=2．故答案为：1+√3，2．②设直线AB 的解析式为y =kx +b ，将A 、B 坐标代入得：{−k +b =0b =√3，解得：{k =√3b =√3． ∴直线AB 解析式为y =√3x +√3．∵M ，N 在AB 上，设M(a,√3a +√3)，N(b,√3b +√3)，∴d 1(M,N)=∣a −b ∣+∣√3a −√3b ∣=(1+√3)∣a −b ∣．d 2(M,N)=√(a −b)2+(√3a −√3b)2=√4(a −b)2=2∣a −b ∣．∴d 1(M,N) d 2(M,N)=(1+√3)∣a−b ∣2∣a−b ∣=1+√32．(2)联立{y =kx +b y =kx 2+b，解得：{x 1=0 y 1=b (此点在y 轴上，故舍去)，{x 2=1y 2=k +b ． 故交点P 坐标为(1,k +b)．由题可知点Q 在直线l 上，设点Q(x 1,kx 1+b)，R 在抛物线C 上，设点R(x 2,kx 22+b)，∴d 1(P,Q)=∣x 1−1∣+∣k(x 1−1)∣=(1+k)(1−x 1)，d 1(P,R)=∣ x 2−1∣+∣k(x 2+1)(x 2−1)∣=(x 2−1)[k(x 2+1)+1]．∵d 1(P,Q)=d 1(P,R)，即(1+k)(1−x 1)=(x 2−1)[k(x 2+1)+1]①，同理，由d 2(P,Q)=d 2(P,R)可得：(1−x 1)√1+k 2=(x 2−1)√1+k 2(x 2+1)2 ②，∵x1<1，x2>1，k>0，∴①②得：√1+k2=2√k2(x2+1)2+1，两边同时平方后得：(1+k)2 1+k2=[k(x2+1)+1]2k2(x2+1)2+1，∴1+2k 1+k2=1+2k(x2+1)k2(x2+1)2+1，∴2k 1+k2=2k(x2+1)k2(x2+1)2+1，∴1 1+k2=(x2+1)k2(x2+1)2+1，即k2(x2+1)2+1=(x2+1)(1+k2)，化简整理得：k2x22+k2x2−x2=0，∵x2>1，∴k2x2+k2−1=0，∴x2=1−k2k2>1，即1−k2>k2，∴2k2<1，解得：−√22<k<0或0<k<√22，∵k>0，故0<k<√22．(1)①根据新定义直接计算即可；②先求出直线AB的解析式为y=√3x+√3，再设M(a,√3a+√3)，N(b,√3b+√3)，根据定义分别计算出d1(M,N)=(1+√3)∣a−b∣，d2(M,N)=2∣a−b∣，即可得到d1(M,N) d2(M,N)的值；(2)联立直线l和抛物线C，求出点P坐标为(1,k+b).设点Q(x1,kx1+b)，点R(x2,kx22+b)，则d1(P,Q)=(1+k)(1−x1)，d1(P,R)=(x2−1)[k(x2+1)+1].由d1(P,Q)=d1(P,R)，可得(1+k)(1−x1)=(x2−1)[k(x2+1)+1]①，同理，由d2(P,Q)=d2(P,R)可得：(1−x1)√1+k2=(x2−1)√1+k2(x2+1)2②，然后①②并化简整理可得：k2x2+k2−1=0，继而可得x2=1−k2k2>1，解得0>k>−√22或0<k<√22，又k>0，故0<k<√22．本题考查了对新定义的理解与运用，以及用待定系数法求函数解析式，理解题目所给的定义、得到点P的坐标是解题的关键．。
北京中国人民大学附属中学2019-2020学年中考数学模拟试卷
北京中国人民大学附属中学2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题1．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB≠AD，对角线AC 、BD 相交于点O ．以下结论不正确的是（ ）A.梯形ABCD 是轴对称图形B.∠DAC ＝∠DCAC.△AOB ≌△DOCD.△AOD ∽△COB2．（11·孝感）如图，二次函数2y ax bx c =++的图像与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（1,12），下列结论：①0ac ＜；②0a b +=； ③244ac b a -=；④0a b c ++＜. 其中正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 3．若x=2是关于x 的一元一次方程ax －2=b 的解，则3b －6a+2的值是( ).A ．－8B ．－4C ．8D ．44．如果30x y -=，那么代数式()2222x yx y x xy y+⋅--+的值为（ ） A ．27-B ．27C ．72-D ．725．如图，□DEFG 内接于ABC ∆，已知ADE ∆、EFC ∆、DBG ∆的面积为1、3、1，那么□DEFG 的面积为（ ）A ．4B ．C ．3D ．26．如图，⊙O ，四边形ABCD 为⊙O 的内接矩形，， E 为⊙O 上的一个动点，连结DE，作DF⊥DE交射线EA于F，则DF的最大值为（）7．如图，数轴上的点A、B、O、C、D分别表示数2-、1-、0、1、2，则表示数2的点P 应落在（）A.线段AB上B.线段BO上C.线段OC上D.线段CD上8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的点A′处，若AO＝OB ＝2，则阴影部分面积为（）A.πB.23π﹣1 C.43π+1 D.43π9．在下列二次函数中，其图象对称轴为x=2的是A．y=2x2﹣4 B．y=2(x-2)2C．y=2x2+2 D．y=2(x+2)210．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．英国佩里加（H．Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理．该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）．若AD tan∠AON＝32，则正方形MNUV的周长为（）A．B．18 C．16 D．11．如图所示的零件的俯视图是（）A．B．C．D．12．下列计算中，正确的是( )A B．(﹣1)0＝1 C．|a|﹣a＝0 D．4a﹣a＝3二、填空题13．考察反比例函数y＝2x的图象，当y≤1时，x的取值范围是_____．14．某校初三（一）班课外活动小组为了测得学校旗杆的高度，他们在离旗杆6米的A处，用高为1.5米的仪器测得旗杆顶部B处的仰角为60°，如图所示，则旗杆的高度为_____米．（已知≈1.732结果精确到0.1米）15．2a2•（3ab2+7c）＝_____．16=________.17．一次数学活动课上．小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于_____．18．如图，直线l为x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点A n的坐标为（_______）．三、解答题19．如图，A、B两点在反比例函数kyx（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，点A的横坐标为a，点B的横坐标为b，且a＜b．（1）若△AOC的面积为4，求k值；（2）若a＝1，b＝k，当AO＝AB时，试说明△AOB是等边三角形；（3）若OA＝OB，证明：OC＝OD．20．设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O 在直线l上运动，点A、O间距离为d．(1)如图①，当r＜a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：所以，当r ＜a 时，⊙O 与正方形的公共点的个数可能有 个；(2)如图②，当r ＝a 时，根据d 与a 、r 之间关系，将⊙O 与正方形的公共点个数填入下表：与正方形的公共点个数可能有 个；(3)如图③，当⊙O 与正方形有5个公共点时，试说明r ＝54a ． 21．已知关于x 的二次函数y ＝﹣x 2+（k ﹣1）x+k ． （1）试判断该函数的图象与x 轴的交点的个数；（2）求该函数的图象顶点M 的坐标（用k 的代数式表示）； （3）当﹣3≤k＜3时，求顶点M 的纵坐标的取值范围．22．某公司研发生产的560件新产品需要精加工后才能投放市场．现由甲、乙两个工厂来加工生产，已知甲工厂每天加工生产的新产品件数是乙工厂每天加工生产新产品件数的1.5倍，并且加工生产240件新产品甲工厂比乙工厂少用4天．（1）求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少件新产品？（2）若甲工厂每天的加工生产成本为2.8万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元要使这批新产品的加工生产总成本不超过60万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？23．先化简，再计算：2221222x x x x x x x--+--+，其中x 1． 24．2014年11月，某市某中学结合语文阅读素养评估活动，以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图①和图②提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？ （2）请把折线统计图（图①）补充完整；（3）求出扇形统计图（图②）中，体育部分所对应的圆心角的度数；（4）如果这所中学共有学生3600名，那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数．25．如图，在四边形OABC 中，AB ∥OC ，O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点C 在x 轴的正半轴上，点B 坐标为（2，），∠BCO ＝60°，OH ⊥BC ，垂足为H ．动点P 从点H 出发，沿线段HO 向点O 运动；动点Q 从点O 出发，沿线段OA 向点A 运动．两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P运动的时间为t 秒． （1）求OH 的长．（2）设PQ 与OB 交于点M ．①探究：当t 为何值时，△OPM 为等腰三角形； ②线段OM 长度的最大值为 ．【参考答案】*** 一、选择题13．x≤﹣2或x ＞0． 14．915．6a 3b 2+14a 2c16 17．75 18．2n ﹣1，0三、解答题19．（1）8（2）△AOB 是等边三角形（3）见解析 【解析】 【分析】（1）由反比例函数系数k 的几何意义解答；（2）根据全等三角形△ACO ≌△BDO （SAS ）的性质推知AO ＝BO ，结合已知条件AO ＝AB 得到：AO ＝BO ＝AB ，故△AOB 是等边三角形；（3）证明：在Rt △ACO 和Rt △BDO 中，根据勾股定理得：AO 2＝AC 2+OC 2，BO 2＝BD 2+OD 2，结合已知条件OA ＝OB ，得到：AC 2+OC 2＝BD 2+OD 2，由坐标与图形性质知：2222()()k k a b ab+=+，整理得到：2222()()k k a b b a -=- ，2222222(k a b a b a b--=），易得k b a =，故OC ＝OD ． 【详解】解：（1）∵AC ⊥y 轴于点C ，点A 在反比例函数ky x=（k ＞0，x ＞0）的图象上，且△AOC 的面积为4，∴12|k|＝4， ∴k ＝8；（2）由a ＝1，b ＝k ，可得A （1，k ），B （k ，1）， ∴AC ＝1，OC ＝k ，OD ＝k ，BD ＝1， ∴AC ＝BD ，OC ＝OD ．又∵AC ⊥y 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ， ∴∠ACO ＝∠BDO ＝90°， ∴△ACO ≌△BDO （SAS ）． ∴AO ＝BO ． 又AO ＝AB ， ∴AO ＝BO ＝AB ， ∴△AOB 是等边三角形；（3）证明：在Rt △ACO 和Rt △BDO 中，根据勾股定理得：AO 2＝AC 2+OC 2，BO 2＝BD 2+OD 2， ∵OA ＝OB ，∴AC 2+OC 2＝BD 2+OD 2，即有：2222()()k k a b ab+=+，∴2222()()k k a b b a -=-，2222222(k a b a b a b--=）， 因为0＜a ＜b ，所以a 2﹣b 2≠0，∴2221=k a b，∴1k ab =±，负值舍去，得：1k ab =， ∴k b a=，∴OC ＝OD ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k 的几何意义以及全等三角形的判定与性质，利用数形结合解决此类问题，是非常有效的方法． 20．略 【解析】 （1）所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个；（2）所以，当r＝a，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个；（3）如图所示，连结OC．则OE＝OC＝r ，OF＝EF－OE＝2a－r．……10分在Rt△OCF中，由勾股定理得：OF2＋FC2＝OC2即（2a－r）2＋a2＝r. 2 ……14分4a2－4ar＋r2＋a2＝r25a2＝4ar5a＝4r∴r ＝54a ． ………………13分 21．（1）1个或2个（2）（12k -，2(1)4k +）（3）当﹣3≤k＜3时，顶点M 的纵坐标t 的取值范围为0≤t＜4 【解析】 【分析】（1）计算判别式的值得到△＝（k+1）2≥0，然后根据判别式的意义确定该函数的图象与x 轴的交点的个数；（2）利用配方法，把一般式配成顶点式即可得到该函数的图象顶点M 的坐标； （3）设顶点M 的纵坐标为t ，利用（2）的结论得到t ＝14（k+1）2，则t 为k 的二次函数，然后利用二次函数的性质求解． 【详解】解：（1）∵△＝（k ﹣1）2﹣4×（﹣1）×k＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0， ∴该函数的图象与x 轴的交点的个数为1个或2个； （2）∵y ＝﹣x 2+（k ﹣1）x+k222k 1k 1x (k 1)x k 22--⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=--++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦221(1)=24k k x -+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ ∴该函数的图象顶点M 的坐标为2k 1(k 1),24⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（3）设顶点M 的纵坐标为t ， 则t ＝14（k+1）2， 当k ＝﹣1时，t 有最小值0；当﹣3≤k＜﹣1，t 随k 的增大而减小，则0＜t≤1； 当﹣1＜k ＜3时，t 随k 的增大而减小，则0＜t ＜4， ∴t 的范围为0≤t＜4，即当﹣3≤k＜3时，顶点M 的纵坐标t 的取值范围为0≤t＜4． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．△＝b 2﹣4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数（△＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点）．也考查了二次函数的性质．22．（1）甲、乙两个工厂每天分别可加工生产30件、20件新产品；（2）应安排甲工厂加工生产9天． 【解析】 【分析】（1）设乙工厂每天可加工生产x 件新产品，则甲工厂每天可加工生产1.5x 件新产品，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）设甲工厂加工生产y 天，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果．【详解】解：（1）设乙工厂每天可加工生产x 件新产品，则甲工厂每天可加工生产1.5x 件新产品， 根据题意得：24024041.5x x+=， 去分母得：240+6x ＝360， 解得：x ＝20，经检验x ＝20是分式方程的解，且符合题意， ∴1.5x ＝30，则甲、乙两个工厂每天分别可加工生产30件、20件新产品； （2）设甲工厂加工生产y 天， 根据题意得：2.8y+2.4×5603020y-≤60， 解得：y≥9，则少应安排甲工厂加工生产9天． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键．23．1x x-，【解析】 【分析】原式约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将x 的值代入计算即可求出值． 【详解】 原式＝(1)(2)12(1)1212(1)x x x x x x x x x x x x+-++-⋅-=-=-+，当x 时，2=． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 24．（1）300名学生；（2）见解析；（3）48°；（4）960（人）. 【解析】 【分析】（1）用文学的人数除以所占的百分比计算即可得解；（2）根据所占的百分比求出艺术和其它的人数，然后补全折线图即可； （3）用360°乘以体育部分人数所占比例即可得； （4）用总人数乘以科普所占的百分比，计算即可得解． 【详解】解：（1）90÷30%＝300（名）， 故一共调查了300名学生；（2）艺术的人数：300×20%＝60名， 其它的人数：300×10%＝30名； 折线图补充如图；（3）扇形统计图（图2）中，体育部分所对应的圆心角的度数为360°×40300＝48°；（4）估计最喜爱科普类书籍的学生人数为3600×80300＝960（人）．【点睛】本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用，折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况，扇形统计图中每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．也考查了利用样本估计总体．25．（1）OH=；（2）①t=或t=2;②线段OM长的最大值为3 2【解析】【分析】（1）根据题意得出△BOC为等边三角形，进而得出OH的长；（2）①利用（i）若OM＝PM，（ii）若OP＝OM，（iii）若OP＝PM，分别分析得出即可；②PQ⊥OB时，OM长度的值最大，即△OPQ是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）由已知在Rt△OAB中，AB＝2，OA＝∴OB＝4，tan∠AOB∴∠AOB＝30°，∴∠BOC＝60°,又∵∠BCO＝60°，∴△BOC是等边三角形∵OH⊥BC，∠BCO＝60°，∴OH＝（2）①△OPM为等腰三角形时，则:（i）若OM＝PM，则∠MPO＝∠MOP＝∠POC∴PQ∥OC，此时△OPQ是直角三角形，且∠MPO＝30°∴OP＝2OQ，即t＝2t∴t ＝3, （ii ）若OP ＝OM ，则∠OPM ＝∠OMP ＝75°，∴∠OQP ＝45°过点P 作PE ⊥OA ，垂足为E ，则有EQ ＝EP∴EP ＝OQ-OE t) ＝t －12(t) 解得t ＝2.（iii ）若 OP ＝PM ，则 ∠PMO ＝∠POM ＝30°，这时PQ ∥OA ，这种情况不可能②当PQ ⊥OB 时，OM 长度的值最大，即△OPQ 是等边三角形，∴t ＝t,∴t∴OP ＝OQ ＝PQ∴OM ＝32， ∴线段OM 长的最大值为32. 【点睛】此题主要考查了四边形综合以及锐角三角函数关系和等边三角形、等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．。
北京市人大附中2019-2020学年九年级下学期数学热身练习试题(解析版)
2019-2020学年度第二学期初三年级数学热身练习一、选择题1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2. 港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．其中海底隧道部分全长6700米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，也是我国第一条外海沉管隧道．将数字55000用科学记数法表示为（）A.45.510´ B.35510´ C.35.510´ D.50.5510´【答案】A 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104．故选：A ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3. 实数a ，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A. 0a >B. 2b >C. a b <D. a b=【答案】C 【解析】【分析】由题意根据数轴可以发现-1＜a ＜0＜b ＜2，由此即可判断各个选项．【详解】解：∵-1＜a ＜0＜b ＜2，∴答案A 错误；答案B 错误；故选项C 正确，选项D 错误．故选：C ．【点睛】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，熟练掌握并利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．4. 如图，//AB CD ，DA CE ^于点A ．若36D Ð=°，则EAB Ð的度数为（ ）A. 36°B. 60°C. 64°D. 54°【答案】D【解析】【分析】由题意先根据平行线的性质，即可得出∠BAD的度数，再根据垂直的定义，得出∠EAB的度数．【详解】解：∵AB//CD，∴∠BAD=∠D=36°，∵DA⊥CE，∴∠DAE=90°，∴∠EAB=90°-36°=54°．故选：D．【点睛】本题主要考查平行线的性质以及垂线的定义，注意掌握两直线平行，内错角相等．5. 如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m．若小明的眼睛与地面的距离为1.6m m）（）A. 12.4B. 12.5C. 12.8D. 16【答案】C【解析】【分析】如图，BC＝2m，CE＝16m，AB＝1.6m，利用题意得∠ACB＝∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．【详解】解：如图，BC＝2m，CE＝16m，AB＝1.6m，由题意得∠ACB ＝∠DCE ，∵∠ABC ＝∠DEC ，∴△ACB ∽△DCE ，∴AB BC DE CE =，即1.6216DE =，∴DE ＝12.8即旗杆的高度为12.8m ．故答案为：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．6. 如果2340x x --=，那么代数式293x x x x +æö-¸ç÷èø的值为（ ）A. 4B. 2C. 1D. 1-【答案】A 【解析】【分析】先对方程变形可得234x x -=，再对分式进行化简，整体代入求解即可．【详解】解：由2340x x --=可得234x x -=，222293393x x x x x x x x x x +æö-¸=´=ç+è--÷ø即293x x x x +æö-¸ç÷èø=4，故答案为：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的求解和分式的化简求值，整体代入思想的应用是解题的关键．7. 某校初中篮球队共有25名球员，为了球队的健康发展和培养球员，要求从13岁到16岁每个年龄段都必须有球员，下表是该球队的年龄分布统计表：对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A. 平均数、中位数B. 平均数、方差C. 众数、方差D. 众数、中位数【答案】D【解析】【分析】根据题意由频数分布表可知后两组的频数和为11，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数即可得出答案．【详解】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+11-x=11，总人数为25，且每个年龄段都必须有球员可知14岁年龄段的频数最多，故该组数据的众数为14岁，由题意可知15岁和16岁年龄段的人数有：25-3-11=11（名），所以中位数第13位在14岁年龄段，故中位数为： 14岁，即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数．故选：D．【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．8. 某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米／时，两车之间的距离y(千米)与货车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米／时；②甲、乙两地之间的距离为120千米；③，75)；④快递车从乙地返回时的速度为90千米／时．以上4个结图中点B的坐标为(334论中正确的是( )A. ①③④B. ①②④C. ②③④D.①②③④【答案】A【解析】【分析】要解答本题需要熟悉一次函数的图象特征，再根据一次函数的性质和图象结合实际问题对每一项进行分析即可得出答案．【详解】①设快递车从甲地到乙地的速度为x千米/时，由图像可得3(x−60)=120，x=100.故①正确；②因为120千米是快递车到达乙地后两车之间的距离，不是甲、乙两地之间的距离，故②错误；③因为快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用45分钟，所以图中点B的横坐标为3+34=334，纵坐标为120−60×34=75，故③正确；④设快递车从乙地返回时的速度为y千米/时,则返回时与货车共同行驶的时间为(414−334)小时此时两车还相距75千米，由题意，得(y+60)( 414−334)=75，y=90，故④正确．其中正确的是：①③④．故选A.【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练掌握性质是解题的关键.二、填空题9. 分解因式：228x y y -=________.【答案】2(2)(2)y x x +-．【解析】【详解】解：原式=22(4)y x -=2(2)(2)y x x +-．故答案为2(2)(2)y x x +-．【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．10. 下列几何体中，主视图是三角形的是_____．【答案】②③【解析】【分析】找到从视图是三角形的即可．【详解】由主视图的定义得：①的主视图的一行两个矩形，②的主视图是三角形，③的主视图是等腰三角形则主视图是三角形的是②③故答案为：②③．【点睛】本题考查了主视图的定义，掌握三视图的相关知识点是解题关键．另两个概念是：俯视图和左视图，这是常考知识点，需掌握．11. 函数2y x =-中，自变量x 的取值范围是_____．【答案】2x ³【解析】【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.【详解】解：依题意，得20x -³，解得：2x³，故答案为2x³．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．12. 如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则AOB CODÐ+Ð=______°．【答案】45；【解析】【分析】如图，连接BE，证出△OBE为等腰直角三角形，得出∠EOB=45°，即可求得Ð+Ð的度数．AOB COD【详解】解：如图，连接BE，设每个小方格的边长为1，则OE=BE=5，，可得222+=，OE BE OB即△OBE为等腰直角三角形，∴∠EOB=45°，∴904545AOB COD DOA EOB Ð+Ð=Ð-Ð=°-°=°，故答案为：45．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在方格纸上求出三角形各边的长度是解题的关键．13. 新冠疫情发生以来，为保证防控期间的口罩供应，某公司加紧转产，开设多条生产线争分夺秒赶制口罩，从最初转产时的陌生，到正式投产后达成日均生产100万个口罩的产能．不仅效率高，而且口罩送检合格率也不断提升，真正体现了“大国速度”．以下是质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据，统计如下：估计这一批口罩的合格率为（精确到）．【答案】0.92；【解析】【分析】由题意观察表格，利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率即可．【详解】解：观察表格发现：随着试验的次数的增多，口罩合格率的频率逐渐稳定在0.920附近，所以可以估计这批口罩中合格的概是0.92（精确到0.01）．故答案为：0.92．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率及概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率的稳定值估计概率．14. 如图，线段AB 是O e 的直径，C ，D 为O e 上两点，如果30D Ð=°，3AC =，则O e 的半径长为______．【答案】3【解析】【分析】根据题意连接BC，利用圆周角定理得出∠ACB=90°，进而利用含30°的直角三角形的性质进行分析求解．【详解】解：如图，连接BC，∵线段AB是Oe的直径，∴∠ACB=90°，∵30Ð=°，D∴30B D°Ð=Ð=，∵3AC=，∴2236==´=，AB AC∴Oe的半径长为3．故答案为：3．【点睛】本题考查圆相关，熟练掌握圆周角定理以及在含30°的直角三角形中其斜边的短直角边的2倍是解题的关键．15. 一所中学组织学生去某市进行研学活动，原计划乘坐特快列车前往，为了节省时间，现改为乘坐高铁列车前往．已知北京与该市的距离约为1200千米，高铁列车的平均速度是特快列车的平均速度的2.4倍，且乘坐高铁列车所用时间比乘坐特快列车所用时间少用7小时，设特快列车的平均速度为x千米/时，则可列方程为______．【答案】120012007=-；2.4x x【解析】【分析】由特快列车的平均速度为x千米/时，则高铁列车的平均速度是2.4x千米/时，分别表示乘坐高铁列车的时间与乘坐特快列车的时间，利用乘坐高铁列车所用时间比乘坐特快列车所用时间少用7小时，列方程即可．【详解】解：设特快列车的平均速度为x千米/时，则高铁列车的平均速度是2.4x千米/时，则乘坐高铁列车所用时间为12002.4x 小时，乘坐特快列车所用时间为1200x小时，所以：1200120072.4x x=-，故答案为：1200120072.4x x=-．【点睛】本题考查的是分式方程的应用，掌握利用未知数表示需要的量，利用相等关系列方程是解题的关键．16. 如图，30MABÐ=°，2cmAB=．点C在射线AM上．（1）若要利用上图，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．则在画图时，选取的BC的长可以为______cm；（2）若对于射线AM上的点C，ABCV的形状，大小是唯一确定的，则BC长度d的取值范围是______【答案】 ①. 1.2，答案不唯一 ②. d=1或d≥2．【解析】【分析】（1）答案不唯一，可以取BC=1.2cm（1cm＜BC＜2cm）；（2）先求出点B到AN的距离最短，再得当△ABC唯一确定时，d的取值范围．【详解】解：（1）取BC=1.2cm，如图在△ABC和△ABC′中满足SSA，两个三角形不全等．故答案为：答案不唯一如：BC=1.2cm．（2） 当∠ACB=90°时，点B 到AN 的距离最短∵∠A=30°∴BC= AB ＝1，∴若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则d 的取值范围是d=1或d ≥2，故答案为：d=1或d ≥2．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题17.计算(0182cos 4525°-+---1+【解析】【分析】直接利用二次根式、特殊角的三角函数值、绝对值的性质以及零指数幂的性质进行化简，进而求出答案．【详解】解：原式2212=-´+-1=【点睛】本题考查了二次根式、特殊角的三角函数值、绝对值的性质以及零指数幂的性质，熟练掌握各自计算法则和性质是解题的关键．18. 解不等式组()22313x x x x ì-<-ïí-<ïî．【答案】原不等式的解集为：112x -<<【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，然后取公共部分即可得到答案．【详解】解：原不等式组为()22313x x x x ì-<-ïí-<ïî①②由①得：1x <由②得：12x >-所以原不等式的解集为：112x -<<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法进行解题．19. 下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程．已知：⊙O求作：矩形ABCD ，使得矩形ABCD 内接于⊙O ，且其对角线AC ，BD 的夹角为60°．作法：如图①作⊙O 的直径AC ；②以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交直线AC 上方的圆弧于点B ；③连接BO 并延长交⊙O 于点D ；所以四边形ABCD 就是所求作的矩形．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵点A ，C 都在⊙O 上，∴OA ＝OC同理OB ＝OD∴四边形ABCD 是平行四边形∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°（ ）（填推理的依据）∴四边形ABCD 是矩形∵AB ＝ ＝BO ，∴四边形ABCD 四所求作的矩形．【答案】（1）见解析；（2）直径所对圆周角是直角，AO【解析】【分析】（1）根据要求作图即可得；（2）根据圆周角定理推论及圆的性质求解可得．【详解】解：（1）如图所示，矩形ABCD即为所求；（2）证明：∵点A，C都在⊙O上，∴OA＝OC同理OB＝OD∴四边形ABCD是平行四边形∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°（直径所对圆周角是直角）∴四边形ABCD是矩形∵AB＝AO＝BO，∴四边形ABCD即为所求作的矩形，故答案为：直径所对圆周角是直角，AO．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，涉及到等边三角形的判定与性质、圆周角定理、矩形的性质与判定等知识，解题的关键是掌握圆周角定理．20. 已知关于x的一元二次方程2++=有两个不相等的实数根．x x m240（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求该方程的根．【答案】（1）2m <；（2）1212x =-+，212x =--【解析】【分析】（1）由题意两个不相等的实数根根据判别式大于0进行分析计算即可求出答案；（2）由题意根据m 的范围可知m=1，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案．【详解】解：（1）由题意，2442168m m´×D =-=-∵方程有两个不相等的实数根∴1680m ->∴2m <；（2）∵2m <且为正整数∴1m =∴22410x x ++=∴422x -=´∴112x =-+，212x =--．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及一元二次方程根的判别式．21. 如图，在四边形ABCD 中，90A BCD Ð=Ð=°，BC CD ==，CE AD ^于点E ．（1）求证：AE CE =；（2）若tan 3D =，求AB 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2AB =【解析】【分析】（1）过点C 作CF ⊥AB ，交AB 延长线于点F ，可证四边形AECF 是矩形，可得AE=FC ，∠FCE=90°，由“AAS ”可证CE=FC=AE ；（2）由锐角三角函数和勾股定理可求DE=1，CE=3，即可求AB 的长．【详解】（1）证明：过点C 作CFAB ^于F ∵CF AB ^，CE AD^∴90F CEA CED Ð=Ð=Ð=°又∵90A Ð=°∴四边形AECF 为矩形∴AE CF =，90FCE Ð=°∵90BCD Ð=°，∴19023Ð=°-Ð=Ð又∵BC CD=∴CED CFB≌△△∴CE CF =，∴AE CE =（2）在Rt CED V 中，10CD =，tan 3CE D DE==设DE x =，则3CE x =，CD ===∴1x =，即1DE =，3CE =∵CED CFB≌△△∴1BF DE ==在矩形AECF 中，3AF CE ==∴312AB AF BF =-=-=【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定，解直角三角形的应用，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线:3l y kx =+与反比例函数()40y x x=>的图象交于点(),4A m ．（1）求m 、k 的值；（2）点B 在反比例函数()40y x x=>的图象上，且点B 的纵坐标为1．①求点B 的坐标；②若在直线l 上存在一点P （点P 不与点A 重合），使得ABP V 的面积不大于ABO V 的面积，结合图象，直接写出点P 的横坐标t 的取值范围．【答案】（1）1k =；（2）①()4,1B；②3722t -££且1t ¹【解析】【分析】（1）根据反比例函数解析式确定点A 的坐标，再根据点A 的坐标确定一次函数解析式中k 的值；（2）①根据反比例函数解析式确定点B 的坐标；②画出函数图象，利用图象求解．【详解】解：（1）把4y =代入4y x=得1x =∴1m =，()1,4A ∵直线3y kx =+过点()1,4A ∴43k =+解得1k =；（2）①把1y =代入4y x=得4x =∴()4,1B ②如图：分点P 在AB 下方和上方，3722t -££且1t ¹【点睛】本题考查待定系数法求一次函数与反比例函数，三角形面积的计算，本题比较综合，要善于结合图象解答．23. 疫情期间某校学生积极观看网络直播课程，为了了解全校500名学生观看网络直播课程的情况，随机抽取50名学生，对他们观看网络直播课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．观看直播课节数的频数分布表其中，节数在2030£<这一组的数据是：x20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29请根据所给信息，解答下列问题：（1）=a__________，b=__________；（2）请补全频数分布直方图；（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是___________；（4）请估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有__________人．【答案】（1）12,0.32==；（2）详见解析；（3）23；（4）160a b【解析】【分析】（1）根据频率=频数÷总数求解可得；（2）根据以上所求结果即可补（3）根据中位数的概念找到第25、26个数据，再取其平均数即可得；（4）用总人数乘以样本中观看网络直播课节数不低于30次的人数所占比例即可得．【详解】(1)a=0.24×50=12，b=16÷50=0.32，故答案为：12、0.32；(2)补全直方图如下：(3)随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为23、23，所以随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是23232+=23(次)；故答案为：23次；(4)估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有12450050+´=160(人)，故答案为：160.【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，频数（率）分布表，频数（率）分布直方图，中位数.24. 如图，ABC V 是直角三角形，90ABC Ð=°，以AB 为直径的O e 与边AC 交于点D ，过D 作O e 的切线DE 交BC 于E ，连接OE ，交O e 于F ．（1）求证：//OE AC ；（2）若6AB =，185AD =，求线段EF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2EF =．【解析】【分析】（1）方法一：连接BD 交EO 于G ，利用切线长定理可得BE DE =，DEO BEO Ð=Ð，可得EO BD ^，利用圆周角定理证明90ADB Ð=°，从而可得结论；方法二：证明,DE CE BE == 结合,OA OB =利用三角形的中位线的性质可得结论；（2）连接DO ，证明5BEO DEO Ð=Ð=Ð，由3sin 55Ð=，利用等角的三角函数值相等，求解,OE 从而可得答案．【详解】证明（1）方法一：连接BD 交EO 于G ，∵90ABC Ð=°且AB 为O e 直径∴BC 是O e 的切线又∵DE 是O e 的切线∴BE DE =，DEO BEO Ð=Ð，∴EO BD^∴90OGB Ð=°∵AB 为O e 直径∴90ADB Ð=°∴//OE AC方法二：连接BD，∵90Ð=°且AB为OABCe直径∴BC是Oe的切线又∵DE是Oe的切线∴BE DE=∴12Ð=Ð∵AB为Oe直径∴90Ð=°ADB∴1809090CDBÐ=°-°=°∴132490Ð+Ð=Ð+Ð=°∴3=4ÐÐ∴CE DE=∴BE CE=又∵AO BO=∴//OE AC（2）连接DO，∵90Ð=°OGB∴5690Ð+Ð=°∵90ABC Ð=°∴690BEO Ð+Ð=°∴5BEO DEOÐ=Ð=Ð∵90ADB Ð=°又∵6AB =，185AD =∴3sin 55AD AB Ð==∴3sin 5DEO DO EO ==Ð∵132DO AB ==∴5EO =∴532EF EO OF =-=-=∴2EF =．【点睛】本题考查的是圆周角定理，圆的切线的判定与性质，平行线的判定，直角三角形的两锐角互余，三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．25. 小超在观看足球比赛时，发现了这样一个问题：两名运动员从不同的位置出发，沿着不同的方向，以不同的速度，朝着同一个目标直线奔跑，什么时候他们离对方最近呢？小超通过一定的测量，并选择了合适的比例尺，把上述问题抽象成如下数学问题：如图，30B Ð=°，8cm AB =，9cm BC =，点D 以1cm/s 的速度从点A 向点B 运动，点E 以1.5cm/s 的速度从点C 向点B 运动．当其中一点先到达点B 时，两点同时停止运动．若点D ，E 同时出发，多长时间后DE 取得最小值？小超猜想当DE BC^时，DE最小．探究后发现用几何的知识解决这个问题有一定的困难，于是根据函数的学习经验，设A，D两点间的距离为cmx，D，E两点间的距离为y，对函数y随自变量x的变化规律进行了探究．cm下面是小超的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值；（说明：补全表格时相关数值保留两位小数）（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：①小超的猜想______（填“正确”或“不正确”），理由是______．②在运动过程中，当D、E两点距离最近时，距二者同时出发的时间约为______s．【答案】（1）2.51（2）见解析；（3）①不正确，理由见解析；②5.1．【解析】【分析】（1）根据图象结合测量可得结论；（2）描点后用光滑的曲线画图象即可；（3）①作出符合题意的图形，根据勾股定理计算DE的长，可得答案，②结合表格信息与观察图像，可得出结论．【详解】（1）根据图像结合测量可得：当3x cm =时， 2.51y cm =，故答案为：2.51．（2）画出函数图像如图：（3）①不正确；理由如下：如图，设运动x 秒时，,DE BC ^ 则3,,2AD x CE x ==38,9,2BD x BE x \=-=- 30,B Ð=°Q由392cos30,82x BE BD x -°===-183,x \-=(318x \-=-1835 3.268,x -+\===-» ()118 2.366 2.37,22y DE BD x \===-»» 显然，此时DE 的长不是最小值．故答案为：不正确， 2.37DE»不是最小值．②结合表格信息与观察所画图像可得当D、E两点距离最近时，距二者同时出发的时间约为5.1秒．故答案为：5.1．【点睛】本题属于三角形和函数的综合题，考查了画函数图象及总结函数性质，二次根式的运算，解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会利用锐角三角函数解决问题，学会利用图象法解决问题．26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线()20y ax bx c a=++¹与y轴交于点A，与x轴交于点B，C（点B在点C左侧），且4BC=．直线3=+与抛物线的对称轴交于点y x(),6D m．（1）求抛物线的对称轴；（2）求点A的坐标（用含有a的式子表示）；（3）点M 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线MB 与y 轴交于点N ，若3AN ³，结合函数图象，求a 的取值范围．【答案】（1）抛物线的对称轴为3x =；（2）()0,5A a ；（3）12a ³或12a £-【解析】【分析】（1）根据一次函数可求对称轴；（2）根据对称轴可求得B 、C 两点的坐标，代入解析式可求得a 、b 、c 之间的关系，即可解得；（3）先根据题意作图，再利用相似的判断和性质求解．【详解】解：（1）把6y =代入3y x =+得3x =∴3m =，()3,6D ∴抛物线的对称轴为3x = （2）∵对称轴为3x =，4BC =∴()10B ,，()5,0C ∴320ba abc ì-=ïíï++=î解得65b a c a=-ìí=î∴抛物线解析式为265y ax ax a=-+令0x =得5y a =即()0,5A a （3）()0,5A a 关于3x =的对称点为()6,5M a 过点M 作MH x ^轴于H ，则90MHB NOB Ð=Ð=°，OBN HBM Ð=Ð，∴MHB NOB △△∽，∴5MHBHON OB ==∴15ON MH =，∴()0,N a -∴63AN a =³∴12a ³或12a £-本题考查二次函数与三角形相似的结合，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键．【点睛】27. 在ABC V 中，90A Ð=°，AB AC =，点D 为线段AC 上的一个动点（不与点A ，C重合），连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DE ．（1）如图1，当点D 为AC 中点时，连接CE①依题意补全图形；②判断CE 与BC 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，点F 与点E 关于直线BD 对称，在点D 的运动过程中，请在直线AC 上找到一个与动点D 对应的动点H ，使得FH BC ^始终成立，说明动点H 的位置，并画图证明．【答案】（1）①依题意补全图形见解析；②2BC CE =，证明见解析；（2）点H 在点D 的下方，且CD DH =，证明见解析.【解析】【分析】（1）①按照题意将线段BD 旋转作图即可；②根据题意可知，△ABC 和△BDE 都是等腰直角三角形，因此直角边和斜边之比都相等，加上两边夹角相等可判断相似，进而可得到线段的数量关系；（2）构造全等三角形，利用全等的性质得到对应角相等，得到CE 与FH 是平行的，进而证得垂直．【详解】（1）①图形如下：②CE 与BC 之间的数量关系：2BC CE=证明：∵90A Ð=°，AB AC=∴1245ABC Ð=Ð+Ð=°，BC AB=∵线段BD 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DE ．∴90BDE Ð=°，DB DE =∴2345DBE =Ð+Ð=а，BE BD =∴13Ð=Ð，BC BE AB BD ==∴ABD BCE ∽△△∴490A Ð=Ð=°，CE ADCB AB=∵D 为AC 的中点，AB AC =∴2BC CE =；（2）位置为：点H 在点D 的下方，且CD DH =证明．∵点F 与点E 关于直线BD 对称∴DE DF=∵56Ð=Ð，CD DH =∴()CDE HDF SAS ≌△△∴7FÐ=Ð∴//CE FH由（1）得490A Ð=Ð=°∵CE BC^∴FH BC ^．【点睛】本题考查全等三角形的判断及性质定理、相似三角形的判断及性质定理、平行线的性质等知识，数形结合的思想是关键．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于平面中的点P ，Q 和图形M ，若图形M 上存在一点C ，使90PQC Ð=°，则称点Q 为点P 关于图形M 的“折转点”，称PCQ △为点P 关于图形M 的“折转三角形”（1）已知点()4,0A ，()2,0B ①在点()12,2Q ，()21,3Q -，()34,1Q -中，点O 关于点A 的“折转点”是______；②点D 在直线y x =-上，若点D 是点O 关于线段AB 的“折转点”，求点D 的横坐标D x 的取值范围；（2）T e 的圆心为(),0t ，半径为3，直线2y x =+与x ，y 轴分别交于E ，F 两点，点P 为T e 上一点，若线段EF 上存在点P 关于T e 的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t 的取值范围．【答案】（1）①1Q ，2Q ；②点D 的横坐标取值范围是12Dx ££；（2）3222t ££---或1t ££-【解析】【分析】（1）①根据“折转点”的定义，判断给出的Q 点坐标中，哪个能够使90OQA Ð=°；②点D 为点O 关于线段AB 的折转点，则在线段AB 上存在点C ，使得90ODC Ð=°，根据直线解析式y x =-的性质知道构成的“折转三角形”一定是等腰直角三角形，画出图象，取临界状态，再由等腰直角三角形的性质求D 的横坐标范围；（2）根据题意分析出圆心T 到线段EF 上一点Q 的距离是个定值，然后画图进行分类讨论，分别求出几种临界状态下t 的值，最终得到t 的取值范围．【详解】（1）①根据“折转点”的定义，要使得90OQA Ð=°的Q 才是点O 关于点A 的“折转点”，如图，根据各个点的坐标，1OQ =，1AQ =4OA =，则22211OQ AQ OA +=，∴190OQ A Ð=°，1Q 是点O 关于点A 的“折转点”，22OQ =，2AQ =，4OA =，则22222OQ AQ OA +=，∴290OQ A Ð=°，2Q 点O 关于点A 的“折转点”，∵390OAQ Ð=°，∴3Q 不是，故答案是：1Q ，2Q ；②如图，点D为点O关于线段AB的折转点，则在线段AB上存在点C，使得Ð=°，即D在以OC为直径的圆上（不含O，C点），因此，当点C在AB上90ODC运动时，所有可能的D点组成的图形为：以()2,0为圆心，半径为2的圆及其之间的部分，（不1,0为圆心，半径为1的圆，和以()含x轴上的点）．直线y x=-与内圆交于E，与外圆交于F，线段EF即为直线上D点可能的位置，过点E作EH x=-，Ð=°，因为直线y xOEB^轴于H，连接BE，则90=，由三线合一，知OH HB=，V为等腰直角三角形，OE BE45AOEÐ=°，因此OEB。
2019-2020学年北京人大附中九年级(下)限时练习数学试卷(4)解析版
【解答】解：x2﹣10x+5＝x2﹣10x+25﹣20＝（x﹣5）2﹣20，
当 x＝5 时，代数式的最小值为﹣20，
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．（3 分）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一
道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：
第 3页（共 22页）
A．a＞0，b＞0，c＝0
B．a＜0，b＞0，c＝0
C．a＞0，b＝0，c＝0
D．a＜0，b＝0，c＞0
【分析】从函数整体图象来看，发现部分图象有类似反比例函数，再从 y 轴右侧图象， 判断图象虚线代表的意义，即可求解．
【解答】设虚线为 x＝m （显然，m＞0），易知两条
由图中可知，当 x＜m 时，y＞0，|x﹣c|＞0，所以
“几个人一起去购买某物品，如果每人出 8 钱，则多了 3 钱；如果每人出 7 钱，则少了 4
钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有 x 人，物品价格为 y 钱，可列方程组为
（）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．
第 2页（共 22页）
【解答】解：由题意可得， ，
2019-2020 学年北京人大附中九年级（下）限时练习数学试卷（4）
一、选择题（本题共 24 分，每小题 3 分） 1．（3 分）已知二次函数 y＝x2﹣4x+5 的顶点坐标为（ ）
A．（2，1）
B．（﹣2，﹣1）
C．（2，﹣1）
D．（﹣2，1）
【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标，本题得以解
2023-2024学年北京市海淀区中国人民大学附属中学本部中考模拟数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区中国人民大学附属中学本部中考模拟数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2022年5月18日是第46个国际博物馆日，今年国际博物馆日的宣传主题是“博物馆的力量”，在以下几幅古代纹样图案中，利用中心对称进行整体构图的是()A. B.C. D.2.在第46个国际博物馆日来临之际．中国国家博物馆推出了丰富多彩的“云上观展”活动．观众有机会在屏幕上欣赏国博140万余件藏品的真容，将140万用科学记数法表示为()A. B. C. D.3.下列各组角中，互为余角的是()A.与B.与C.与D.与4.下列说法中错误的是()A.成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B.关于某条直线对称的两个图形全等C.两个全等三角形的对应高相等D.两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧5.有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的点数记为x，则的概率是()A. B. C. D.6.实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是()A. B. C. D.7.李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月天每天所走的步数，并绘制成如右统计表：在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是()A.，B.，C.，D.，8.某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的y与x的数据如表：时间分钟0246810121620含药量毫克03643则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象可能是()A. B.C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若有意义，则x的取值范围是__________.10.把多项式分解因式的结果是__________.11.若n为整数，且，则n的值为__________.12.分式方程的解__________.13.如图，点A，B，C，D在上，，，则__________.14.如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP交BC于点若，的面积为4，则的面积为__________.15.如图，已知等腰三角形ABC，，，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，则__________16.以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要__________分钟．用时种类准备时间分钟加工时间分钟米饭330炒菜156炒菜258汤56三、计算题：本大题共1小题，共6分。
2018-2019学年北京人大附中九年级(下)月考数学试卷(4月份)解析版
2018-2019学年北京人大附中九年级（下）月考数学试卷（4月份）一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）北京是首批国家历史文化名城和世界上拥有世界文化遗产数最多的城市，三千多年的历史孕育了众多名胜古迹，让每一个中国人为之骄傲．如图是一些北京名胜古迹的标志，其中不属于轴对称图形的是（）A．天坛B．圆明园C．颐和园D．天安门【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、C、D中的图形都是轴对称图形，B中图形本是轴对称图形，故选：B．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2分）2015年9月14日，通过位于美国的两个LIGO探测器，人类第一次探测到了引力波的存在，这次引力波的信号显著性极其大，探测结果只有三百五十万分之一的误差．三百五十万分之一约为0.0000002857．将0.0000002857用科学记数法表示应为（）A．2.857×10﹣7B．2.857×10﹣6C．0.2857×10﹣6D．2.857×10﹣8【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000002857＝2.857×10﹣7．故选：A．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（2分）用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据高线的定义即可得出结论．【解答】解：A、B、C均不是高线．故选：D．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．4．（2分）如图，数轴上A，B两点的位置如图所示，则下列说法中，能判断原点一定位于A、B之间的是（）A．a+b＞0B．ab＜0C．|a|＞|b|D．a、b互为倒数【分析】由题意可知，a＜0＜b，根据实数的乘法法判断即可．【解答】解：A、a+b＞0，原点可能位于A、B之间，原点也可能位于A的左边，故本选项错误；B、∵ab＜0，∴a与b异号，原点一定位于A、B之间，故本选项正确；C、|a|＞|b|，原点可能位于A、B之间，原点也可能位于B的左右边，故本选项错误；D、∵a＜0＜b|，∴a，b不是互为倒数，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了实数与数轴：数轴上的点与实数一一对应；数轴上原点左边的点表示负数，右边的点表示正数；右边的点表示的数比左边的点表示的数要大．5．（2分）如图，在正方形网格中，记∠ABD＝α，∠DEF＝β，∠CGH＝γ，则（）A．α＜β＜γB．α＜γ＜βC．β＜α＜γD．β＜γ＜α【分析】根据题意和图得出：∠DGC＝∠DCG＝45°，∠HGF＝∠GHF∠＝45°，再根据∠DGC+∠HGF+γ＝180°，从而得出γ＝90°，然后结合图观察出α＞90°，β＜90°，最后比较大小即可．【解答】解：由题意知：∠DGC＝∠DCG＝45°，同理∠HGF＝∠GHF∠＝45°，又∵∠DGC+∠HGF+γ＝180°，∴γ＝90°，由图可知α＞90°，β＜90°，∴β＜γ＜α，故选：D．【点评】本题考查了角的大小比较，解题的关键是求出γ角的度数，然后再比较大小就容易了．6．（2分）清明假期将至，小罗一家计划自驾车去某地踏青，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少30分钟，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（）A．＝+30B．＝+C．＝﹣30D．＝﹣【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少30分钟，列方程即可．【解答】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，由题意得：＝+．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．7．（2分）“一带一路”倡议提出五年多来，交通、通信、能源等各项相关建设取得积极进展，也为增进各国民众福祉提供了新的发展机遇，如图是2017年“一带一路”沿线部分国家的通信设施现状统计图．根据统计图提供的信息，下列推断合理的是（）A．互联网服务器拥有个数最多的国家是阿联酋B．宽带用户普及率的中位数是11.05%C．有8个国家的电话普及率能够达到平均每人1部D．只有俄罗斯的三项指标均超过了相应的中位数【分析】互联网服务器个数最多的是俄罗斯，故A选项是不正确的，宽带用户普及率的中位数是（10.4%+11.5%）÷2＝10.95%，故B选项不正确，俄罗斯的电话普及率处于第5名，与马来西亚的电话普及率的平均数是中位数，故D不正确，因此只有C事正确的．【解答】解：互联网服务器个数最多的是俄罗斯，故A选项是不正确的，宽带用户普及率的中位数是（10.4%+11.5%）÷2＝10.95%，故B选项不正确，俄罗斯的电话普及率处于第5名，与马来西亚的电话普及率的平均数是中位数，故D不正确，故选：C．【点评】考查统计图表的识图能力，中位数、平均数的意义，通过复杂的统计图中获取有用的数据是做出判断的前提．8．（2分）骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大变化，其体温（℃）与时间（小时）之间的关系如图1所示．小清同学根据图1绘制了图2，则图2中的变量y最有可能表示的是（）A．骆驼在t时刻的体温与0时体温的绝对差（即差的绝对值）B．骆驼从0时到t时刻之间的最高体温与当日最低体温的差C．骆驼在t时刻的体温与当日平均体温的绝对差D．骆驼从0时到t时刻之间的体温最大值与最小值的差【分析】根据时间和体温的变化，将时间分为3段：0﹣4，4﹣8，8﹣16，16﹣24，分别观察每段中的温差，由此即可求出答案．【解答】解：从0时到4时，温差随时间的增大而增大，在4时达到最大，是2℃；再到8时，这段时间的最高温度是37℃，最低是35℃，温差不变，从8时开始，最高温度变大，最低温度不变是35℃，温差变大，达到3℃，从16时开始体温下降，温差不变．即变量y最有可能表示的是骆驼从0时到t时刻之间的体温最大值与最小值的差．故选：D．【点评】考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．理解本题中温差的含义是解决本题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）函数y＝中自变量x的取值范围是x≥﹣2．【分析】根据自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．【解答】解：根据题意得：2x+4≥0，解得x≥﹣2．故答案为x≥﹣2．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．10．（2分）如图是某个几何体的三视图，请写出这个几何体的名称是圆锥．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故答案为：圆锥．【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．11．（2分）已知y是x的函数，且满足：①x的取值范围是全体实数，②y的取值范围是y ≥﹣1，③在x＞1时，y随x的增大而增大．请写出一个符合条件的函数解析式y＝（x ﹣1）2﹣1（答案不唯一）．【分析】根据①可以排除该函数图象不是双曲线；根据②可以排除该函数图象不是直线；根据③可以得到该函数图象是抛物线且对称轴是x＝1、抛物线开口方向向上．【解答】解：由题意知，该函数属于二次函数，且图象的对称轴为x＝1，开口方向向上，所以符合条件的函数解析式可以是：y＝（x﹣1）2﹣1．故答案是：y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．【点评】考查了反比例函数、一次函数、正比例函数以及二次函数的性质，根据题意得到该函数属于二次函数是解题的难点．12．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为110°．【分析】连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB＝90°，∠ACD＝20°，即可求∠BCD的度数．【解答】解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠AED＝20°，∴∠ACD＝20°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝110°，故答案为：110°．【点评】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．13．（2分）“四个一”活动自2014年9月启动至今，已有数十万北京中小学生参观了天安门广场的升旗仪式．如图是利用平面直角坐标系画出的天安门广场周围的景点分布示意图．如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示美术馆的点的坐标为（2，4），表示中国国家博物馆的点的坐标为（1，﹣1），那么表示人民大会堂的点的坐标是（﹣1，﹣1）．【分析】根据美术馆的点的坐标为（2，4），表示中国国家博物馆的点的坐标为（1，﹣1）确定坐标原点的位置，然后建立坐标系，进而可确定人民大会堂的位置．【解答】解：如图所示：人民大会堂的点的坐标是（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，关键是正确建立坐标系．14．（2分）如果2a2+4a﹣1＝0，那么代数式的值是．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝•＝﹣a（a+2）＝﹣a2﹣2a，∵2a2+4a﹣1＝0，∴a2+2a＝，∴原式＝﹣，故答案为：．【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．15．（2分）图1中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，图2是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图2中的数据，可知的长是m．【分析】首先根据题意，可得，然后根据圆的周长公式，求出直径是2m的圆的周长是多少；最后用直径是2m的圆的周长除以3，求出的长是多少即可．【解答】解：根据题意，可得，∴（m），即的长是m．故答案为：．【点评】此题主要考查了弧长的计算，以及圆的周长的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出，并求出直径是2m的圆的周长是多少．16．（2分）小夏同学从家到学校有A，B两条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：据此估计，早高峰期间，乘坐B线路“用时不超过35分钟”的概率为，若要在40分钟之内到达学校，应尽量选择乘坐A（填A或B）线路．公交车用时频数公交车线路25≤t≤3030＜t≤3535＜t≤4040＜t≤45总计A59151166124500B4357149251500【分析】用“用时不超过35分钟”的人数除以总人数即可求得概率；【解答】解：∵乘坐B线路“用时不超过35分钟”的有43+57＝100人，∴乘坐B线路“用时不超过35分钟”的概率为＝，∵A线路不超过40分钟的有59+151+166＝376人，B线路不超过40分钟的有43+57+149＝249人，∴选择A线路，故答案为：，A．【点评】考查了用频率估计概率的知识，能够读懂图是解答本题的关键，难度不大．三、解答题[本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分）17．（5分）计算：．【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝1﹣3×+3﹣（2﹣），＝1﹣+3﹣2+，＝2．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18．（5分）解不等式组：【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＜1，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集是x＜1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．19．（5分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣3（m+1）x+2m+3＝0（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，当该方程的两个根都是整数，求正整数m的值．【分析】（1）由关于x的一元二次方程得到m不为0，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；（2）由△＝（m+3）2知x1＝，x2＝1，根据两个根都是整数即可确定出m的正整数值．【解答】解：（1）由题意m≠0，∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即[﹣3（m+1）]2﹣4m（2m+3）＝（m+3）2＞0，解得：m≠﹣3，则m的取值范围为m≠0和m≠﹣3；（2）∵△＝（m+3）2，∴x＝，∴x1＝，x2＝1，当x1＝是整数时，可得m＝1或m＝﹣1（舍）或m＝3，∴m＝1或m＝3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．20．（5分）下面是小如同学设计的“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：Rt△ABC，∠C＝90°求作：Rt△ABC的外接圆．作法：如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线PQ，交AB于点O；③以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．根据小如同学设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接PA，PB，QA，QB，OC，∵由作图，PA＝PB，QA＝QB，∴PQ⊥AB且AO＝BO（线段的垂直平分线的定义）（填推理的依据）．∵∠ACB＝90°，∴OC＝AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）（填推理的依据）．∴OA＝OB＝OC，∴A，B，C三点在以O为圆心，AB为直径的圆上．∴⊙O为△ABC的外接圆．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用直角三角形斜边中线的性质证明：OC＝OA＝OB即可．【解答】解：（1）补全图形如图所示．（2）连接PA，PB，QA，QB，OC，∵由作图，PA＝PB，QA＝QB，∴PQ⊥AB且AO＝BO（线段的垂直平分线的定义）．∵∠ACB＝90°，∴OC＝AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），∴OA＝OB＝OC，∴A，B，C三点在以O为圆心，AB为直径的圆上．∴⊙O为△ABC的外接圆．故答案为：线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线等于斜边的一半．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）连接DE，交AB于点O，若AC＝10，BE＝6，求sin∠AOD的值．【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠ADB＝90°，根据矩形的判定得出即可；（2）根据矩形的性质求出DO＝5，根据勾股定理求出CD，求出BD，再根据三角形的面积求出DF，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AE∥BC，BE∥AD，∴四边形ADBE是矩形；（2）解：过D作DF⊥AB于F，∵AC＝10，AB＝AC，∴AB＝10，∵四边形ADBE是矩形，∴DE＝AB＝10，DO＝AO＝5，在Rt△ADC中，由勾股定理得：CD＝＝＝8，∵在△ABC中，AD是BC边的中线，∴BD＝CD＝8，＝＝，在Rt△ADB中，S△ADB6×8＝10×DF，解得：DF＝4.8，在Rt△DFO中，sin∠AOD＝＝＝．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形等知识点，能求出四边形ADBE是矩形是解此题的关键．22．（6分）在平面直角坐标系xOy，直线y＝x﹣1与y轴交于点A，与双曲线y＝交于点B（m，2）（1）求点B的坐标及k的值；（2）将直线AB平移，使它与x轴交于点C，与y轴交于点D，若△ABC的面积为6，求直线CD的表达式．【分析】（1）求出A的坐标，把B的坐标代入直线解析式得出M＝3，得出B的坐标，代入双曲线即可得出k的值；（2）由三角形的面积求出b的值即可．【解答】解：（1）把x＝0代入y＝x﹣1中得y＝﹣1，即A点坐标为（0，﹣1）B（m，2）在直线y＝x﹣1上，∴m＝3，B（3，2）在双曲线y＝上，∴2＝，解得k＝6；（2）设直线CD为y＝x+b，∵AB∥CD，∴S△ABC＝S△ABD＝AD•|xB|＝6，AD＝4＝|b+1|，x B＝3，∴|b+1|•3＝6得b+1＝4或b+1＝﹣4，∴b＝3或b＝﹣5，∴平移后的直线表达式为y＝x+3或y＝x﹣5．【点评】本题考查了待定系数求函数的解析式，正确求得B的坐标和b的值是关键．23．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，以AC，CD为邻边作平行四边形ACDE，DE恰为⊙O的切线．（1）求证：四边形ACDE是菱形；（2）延长ED与AB交于点F，若BF＝2，求⊙O的直径．【分析】（1）证明AE⊥AB，得出AE是⊙O的切线，由切线的性质得出AE＝DE，即可得出四边形ACDE是菱形（2）连接AD、OD，由垂径定理得出，得出AD＝AC，由菱形的性质得出AC＝CD＝AD，△ACD是等边三角形，得出∠DAC＝60°，∠DAB＝30°，由等腰三角形的性质得出∠ODA＝∠DAB＝30°，求出∠DOF＝60°，由切线的性质得出∠ODF＝90°，得出∠F＝30°，由直角三角形的性质得出OD＝OF，得出OD＝OB＝BF＝2，求出AB ＝2OB＝4．【解答】（1）证明：∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE∥CD，∵CD⊥AB，∴AE⊥AB，∴AE是⊙O的切线，∵DE恰为⊙O的切线，∴AE＝DE，∴四边形ACDE是菱形；（2）解：连接AD、OD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴，∴AD＝AC，∵四边形ACDE是菱形，∴AC＝CD，∴AC＝CD＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝∠ADC＝60°，∠DAB＝30°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAB＝30°，∴∠DOF＝30°+30°＝60°，∵DE为⊙O的切线，∴∠ODF＝90°，∴∠F＝30°，∴OD＝OF，∵OF＝OB+BF，∴OD＝OB＝BF＝2，∴AB＝2OB＝4；即⊙O的直径为4．【点评】本题考查了切线的性质与判定、垂径定理、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．24．（6分）近日，某中学举办了一次以“弘扬传统文化”为主题的汉字听写比赛，初一和初二两个年级各有600名学生参加．为了更好地了解本次比赛成绩的分布情况，学校分别从两个年级随机抽取了若干名学生的成绩作为样本进行分析．下面是初二年级学生成绩样本的频数分布表和频数分布直方图（不完整，每组分数段中的分数包括最低分，不包括最高分）：初二学生样本成绩频数分布表分组/分频数频率50～6020.0560～7040.1070～8080.2080～90140.3590～100120.30合计40 1.00请根据所给信息，解答下列问题：（1）补全成绩频数分布表和频数分布直方图；（2）若初二学生成绩样本中80～90分段的具体成绩为：808081.58282.582.58384.58586.5878888.589①根据上述信息，估计初二学生成绩的中位数为82.75；②若初一学生样本成绩的中位数为80，甲同学在比赛中得到了82分，在他所在的年级中位居275名，根据上述信息推断甲同学所在年级为初一（选填“初一”或者“初二”）③若成绩在85分及以上均为“优秀”，请你根据抽取的样本数据，估计初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为270人．【分析】（1）频数4÷0.10×0.20＝8，频率1﹣0.10﹣0.20﹣0.35﹣0.30＝0.05；（2）中位数为（82.5+83）÷2＝82.75；（3）初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为．【解答】解：（1）频数4÷0.10×0.20＝8，40﹣2﹣4﹣8﹣14＝12，频数2÷40＝0.05，1﹣0.10﹣0.20﹣0.35﹣0，05＝0.30，频数分布直方图补全如下：故答案为8，0.05；（2）①根据初二年级学生成绩样本的和频数分布直方图可知，中位数20、21的平均数，落在80﹣90分∵80～90分段的具体成绩为：808081.58282.582.58384.58586.5878888.589，∴中位数为（82.5+83）÷2＝82.75故答案为82.75；②600名学生，中位数为第300、301的中位数，而甲同学在比赛中得到了82分，在他所在的年级中位居275名，初一学生样本成绩的中位数为80，82＞80，∴该同学为初一，故答案为：初一；③初二学生样本中，85分以上共有18人，初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为×600＝270故答案为270．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．25．（6分）如图1，长度为6千米的国道AB两侧有M，N两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，N、C之间的乡镇公路长度为2.3千米，M、D之间的乡镇公路长度为3.2千米．为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道AB上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究，请补充完整．（1）通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如下表：x/千米0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0y/千米10.58.5 6.5 6.58.510.512.5（2）如图2，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？（写出所有满足条件的位置）答：C、D之间（含C、D两点）．②如图3，有四个城镇M、N、P、Q分别位于国道A﹣C﹣D﹣E﹣B两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地S，使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？（写出所有满足条件的位置）答：点D处．【分析】（1）x＝2.0时，y＝NC+CD+DM；x＝4.0时，y＝NC+CD+DT+DT+DM，将相关线段的长代入即可得答案；（2）根据表格数据画出函数图象即可；（3）①由图形可知，若物流基地修建在C、D两点之外，则距离会大于NC+CD+DM，从而可得答案；②结合①的结论及图③分析可得答案．【解答】解：（1）∵A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，A、T之间的距离为x千米，T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米∴当x＝2.0时，T位于点C，此时y＝NC+CD+DM＝2.3+1+3.2＝6.5（千米）；当x＝4.0时，y＝NC+CD+DT+DT+DM＝2.3+1+1+1+3.2＝8.5（千米）故答案为：6.5，8.5．（2）函数的图象如下：（3）①由图形可知，若物流基地修建在C、D两点之外，则距离会大于NC+CD+DM，故若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，物流基地T应该修建在C、D之间（含C、D两点）．故答案为：C、D之间（含C、D两点）．②由①可知，若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，物流基地T应该修建在C、D之间（含C、D两点），由图3可知，D、E段上离点P、Q的距离相等，再往E点以下距离之和一定变大；再往D点以上，到P、Q的距离之和会变大，故答案为：点D处．【点评】本题考查了一次函数在解决实际问题中的应用，数形结合进行分析，是解答本题的关键．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．【分析】（1）令x＝0求出y的值，即可得到点A的坐标，求出对称轴解析式，即可得到点B的坐标；（2）求出点A关于对称轴的对称点（2，﹣2），然后设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（3）根据二次函数的对称性判断在2＜x＜3这一段与在﹣1＜x＜0这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线l的交点的横坐标为﹣1，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的值即可得到抛物线解析式．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2，∴A（0，﹣2），抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴B（1，0）；（2）易得A点关于对称轴直线x＝1的对称点A′（2，﹣2），则直线l经过A′、B，设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线l的解析式为y＝﹣2x+2；（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线在2＜x＜3这一段与在﹣1＜x＜0这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，在﹣1＜x＜0这一段位于直线l的下方，∴抛物线与直线l的交点的横坐标为﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）+2＝4，所以，抛物线过点（﹣1，4），当x＝﹣1时，m+2m﹣2＝4，解得m＝2，∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣4x﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，第（3）小题较难，根据二次函数的对称性求出抛物线经过的点（﹣1，4）是解题的关键．27．（7分）如图，等边三角形ABC中，D为边BC上的一点，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD，DE，在AD上取点F，使得∠EFD＝60°，射线EF与AC交于点G．（1）设∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；（2）探究CG与DE之间的等量关系，并证明．【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得结论；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明四边形EBPG是平行四边形，得BE＝PG，再证明△ABD≌△BCP（AAS），可得结论．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵∠BAD＝α，∴∠FAG＝60°﹣α，∵∠AFG＝∠EFD＝60°，∴∠AGE＝180°﹣60°﹣（60°﹣α）＝60°+α；（2）结论：CG＝DE，理由：如图，连接BE，过B作BP∥EG，交AC于P，则∠BPC＝∠EGP，∵点D关于直线AB的对称点为点E，∴∠ABE＝∠ABD＝60°，∵∠C＝60°，∴∠EBD+∠C＝180°，∴EB∥GP，∴四边形EBPG是平行四边形，∴BE＝PG，∵∠DFG+∠C＝120°+60°＝180°，∴∠FGC+∠FDC＝180°，∴∠ADB＝∠BGP＝∠BPC，∵AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，∴△ABD≌△BCP（AAS），∴BD＝PC＝BE＝PG，∴CG＝2BD，在△BDE中，易知∠EBD＝120°，BE＝BD，∴DE＝BD，∴CG＝DE，【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，对称的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点P到封闭图形W的“极化距离”D（P，W）定义如下：任取图形W上一点Q，记PQ长度的最大值为M，最小值为m（若P与Q重合，则PQ＝0），则“极化距离”D（P，W）＝M﹣m．（1）如图1，正方形ABCD以原点O为中心，点A的坐标为（3，3），①点O到线段AB的“极化距离”D（O，AB）＝3﹣3；点E（﹣5，3）到线段AB的“极化距离”D（E，AB）＝6；②记正方形ABCD为图形W，点P在y轴上，且D（P，W）＝3，求点P的坐标；（2）图形W为圆心T在x轴上，半径为4的圆，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于F，G两点，若线段FG上的任一点P都满足2＜D（P，W）＜6，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．【分析】（1）①由题意得出M＝OB＝3，m＝3，即可得出点O到线段AB的“极化距离”；由题意可得点E，点A，点B三点共线，可得M＝AE＝8，m＝BE＝2，即可得点E （﹣5，3）到线段AB的“极化距离”；②分两种情况讨论，设点P（0，a），利用勾股定理可求M，由题意列出方程可求解；（2）分两种情况讨论，取特殊位置当t＝2时，当t＝0时，当t＝﹣2时，分别求解即。
北京人大附中九年级(下)开学数学试卷含答案
开学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.北京是首批国家历史文化名城和世界上拥有世界文化遗产数最多的城市，三千多年的历史孕育了众多名胜古迹，让每一个中国人为之骄做．如图是一些北京名胜古迹的标志，其中不属于轴对称图形的是（）A. 天坛B. 圆明园C. 颐和园D. 天安门2.2015年9月14日，通过位于美国的两个LIGO探测器，人类第一次探测到了引力波的存在，这次引力波的信号显著性极其大，探测结果只有三百五十万分之一的误差．三百五十万分之一约为0.0000002857．将0.0000002857用科学记数法表示应为（）A. 2.857×10-7B. 2.857×10-6C. 0.2857×10-6D. 2.857×10-83.用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（）A. B.C. D.4.如图，数轴上A，B两点的位置如图所示，则下列说法中，能判断原点一定位于A、B之间的是（）A. a+b＞0B. ab＜0C. |a|＞|b|D. a、b互为倒数5.如图，在正方形网格中，记∠ABD＝α，∠DEF＝β，∠CGH＝γ，则（）A. α＜β＜γB. α＜γ＜βC. β＜α＜γD. β＜γ＜α6.清明假期将至，小罗一家计划自驾车去某地踏青，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少30分钟，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（）A. =+30B. =+C. =-30D. =-7.“一带一路”倡议提出五年多来，交通、通信、能源等各项相关建设取得积极进展，也为增进各国民众福祉提供了新的发展机遇，如图是2017年“一带一路”沿线部分国家的通信设施现状统计图．根据统计图提供的信息，下列推断合理的是（）A. 互联网服务器拥有个数最多的国家是阿联酋B. 宽带用户普及率的中位数是C. 有8个国家的电话普及率能够达到平均每人1部D. 只有俄罗斯的三项指标均超过了相应的中位数8.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大变化，其体温（℃）与时间（小时）之间的关系如图1所示．小清同学根据图1绘制了图2，则图2中的变量y最有可能表示的是（）A. 骆驼在t时刻的体温与0时体温的绝对差（即差的绝对值）B. 骆驼从0时到t时刻之间的最高体温与当日最低体温的差C. 骆驼在t时刻的体温与当日平均体温的绝对差D. 骆驼从0时到t时刻之间的体温最大值与最小值的差二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.函数y=中自变量x的取值范围是______ ．10.如图是某个几何体的三视图，请写出这个几何体的名称是______．11.已知y是x的函数，且满足：①x的取值范围是全体实数，②y的取值范围是y≥-1，③在x＞1时，y随x的增大而增大．请写出一个符合条件的函数解析式______．12.如图，AB是⊙O的直径，C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为______．13.“四个一”活动自2014年9月启动至今，已有数十万北京中小学生参观了天安门广场的升旗仪式．如图是利用平面直角坐标系画出的天安门广场周围的景点分布示意图．如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示美术馆的点的坐标为（2，4），表示中国国家博物馆的点的坐标为（1，-1），那么表示人民大会堂的点的坐标是______．14.如果2a2+4a-1=0，那么代数式的值是______．15.图1中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，图2是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图2中的数据，可知的长是______m．16.小夏同学从家到学校有A，B两条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：据此估计，早高峰期间，乘坐B线路“用时不超过35分钟”的概率为______，若要在40分钟之内到达学校，应尽量选择乘坐______（填A或B）线路．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.计算：．18.解不等式组：19.已知关于x的一元二次方程mx2-3（m+1）x+2m+3=0（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，当该方程的两个根都是整数，求正整数m的值．20.下面是小如同学设计的“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：Rt△ABC，∠C=90°求作：Rt△ABC的外接圆．作法：如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线PQ，交AB于点O；③以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．根据小如同学设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接PA，PB，QA，QB，OC，∵由作图，PA=PB，QA=QB，∴PQ⊥AB且AO=BO（______）（填推理的依据）．∵∠ACB=90°，∴OC=AB（______）（填推理的依据）．∴OA=OB=OC，∴A，B，C三点在以O为圆心，AB为直径的圆上．∴⊙O为△ABC的外接圆．21.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）连接DE，交AB于点O，若AC=10，BE=6，求sin∠AOD的值．22.在平面直角坐标系xOy，直线y=x-1与y轴交于点A，与双曲线y=交于点B（m，2）（1）求点B的坐标及k的值；（2）将直线AB平移，使它与x轴交于点C，与y轴交于点D，若△ABC的面积为6，求直线CD的表达式．23.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，以AC，CD为邻边作平行四边形ACDE，DE恰为⊙O的切线．（1）求证：四边形ACDE是菱形；（2）延长ED与AB交于点F，若BF=2，求⊙O的直径．24.近日，某中学举办了一次以“弘扬传统文化”为主题的汉字听写比赛，初一和初二两个年级各有600名学生参加．为了更好地了解本次比赛成绩的分布情况，学校分别从两个年级随机抽取了若干名学生的成绩作为样本进行分析．下面是初二年级学生成绩样本的频数分布表和频数分布直方图（不完整，每组分数段中的分数包括最低分，不包括最高分）：初二学生样本成绩频数分布表请根据所给信息，解答下列问题：（1）补全成绩频数分布表和频数分布直方图；（2）若初二学生成绩样本中80～90分段的具体成绩为：80 80 81.5 82 82.5 82.5 83 84.5 85 86.5 87 88 88.5 89①根据上述信息，估计初二学生成绩的中位数为______；②若初一学生样本成绩的中位数为80，甲同学在比赛中得到了82分，在他所在的年级中位居275名，根据上述信息推断甲同学所在年级为______（选填“初一”或者“初二”）③若成绩在85分及以上均为“优秀”，请你根据抽取的样本数据，估计初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为______人．25.如图1，长度为6千米的国道AB两侧有M，N两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，N、C之间的乡镇公路长度为2.3千米，M、D之间的乡镇公路长度为3.2千米．为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道AB上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究，请补充完整．（1）通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如下表：（2）如图2，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？（写出所有满足条件的位置）答：______．②如图3，有四个城镇M、N、P、Q分别位于国道A-C-D-E-B两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地S，使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？（写出所有满足条件的位置）答：______．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在-2＜x＜-1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．27.如图，等边三角形ABC中，D为边BC上的一点，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD，DE，在AD上取点F，使得∠EFD=60°，射线EF与AC交于点G．（1）设∠BAD=α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；（2）探究CG与DE之间的等量关系，并证明．28.在平面直角坐标系xOy中，点P到封闭图形W的“极化距离”D（P，W）定义如下：任取图形W上一点Q，记PQ长度的最大值为M，最小值为m（若P与Q重合，则PQ=0），则“极化距离”D（P，W）=M-m．（1）如图1，正方形ABCD以原点O为中心，点A的坐标为（3，3），①点O到线段AB的“极化距离”D（O，AB）=______；点E（-5，3）到线段AB的“极化距离”D（E，AB）=______；②记正方形ABCD为图形W，点P在y轴上，且D（P，W）=3，求点P的坐标；（2）图形W为圆心T在x轴上，半径为4的圆，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于F，G两点，若线段FG上的任一点P都满足2＜D（P，W）＜6，直接写出圆心T 的横坐标t的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、C、D中的图形都是轴对称图形，B中图形本是轴对称图形，故选：B．根据轴对称图形的概念判断即可．本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】A【解析】解：0.0000002857=2.857×10-7．故选：A．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是三角形的高，熟知三角形高的定义是解答此题的关键．三角形的高一定要过顶点向对边引垂线．【解答】解：A、B、C不符合三角形高的定义，均不是高．D选项符合高的定义，故符合题意.故选D．4.【答案】B【解析】解：A、a+b＞0，原点可能位于A、B之间，原点也可能位于A的左边，故本选项错误；B、∵ab＜0，∴a与b异号，原点一定位于A、B之间，故本选项正确；C、|a|＞|b|，原点可能位于A、B之间，原点也可能位于B的左右边，故本选项错误；D、∵a＜0＜b|，∴a，b不是互为倒数，故本选项错误．故选：B．由题意可知，a＜0＜b，根据实数的乘法法判断即可．本题考查了实数与数轴：数轴上的点与实数一一对应；数轴上原点左边的点表示负数，右边的点表示正数；右边的点表示的数比左边的点表示的数要大．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了角的大小比较，解题的关键是求出γ角的度数，然后再比较大小就容易了．根据题意和图得出：∠DGC=∠DCG=45°，∠HGF=∠GHF=45°，再根据∠DGC+∠HGF+γ=180°，从而得出γ=90°，然后结合图观察出α＞90°，β＜90°，最后比较大小即可．【解答】解：由题意知：∠DGC=∠DCG=45°，同理∠HGF=∠GHF=45°，又∵∠DGC+∠HGF+γ=180°，∴γ=90°，由图可知α＞90°，β＜90°，∴β＜γ＜α，故选D．6.【答案】B【解析】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，由题意得：=+．故选：B．设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少30分钟，列方程即可．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．7.【答案】C【解析】解：互联网服务器个数最多的是俄罗斯，故A选项是不正确的，宽带用户普及率的中位数是（10.4%+11.5%）÷2=10.95%，故B选项不正确，新加坡的三项指标也都超过了中位数，故D不正确，故选：C．考查统计图表的识图能力，中位数、平均数的意义，通过复杂的统计图中获取有用的数据是做出判断的前提．8.【答案】B【解析】解：从0时到4时，温差随时间的增大而增大，在4时达到最大，是2℃；再到8时，这段时间的最高温度是37℃，最低是35℃，温差不变，从8时开始，最高温度变大，最低温度不变是35℃，温差变大，达到3℃，从16时开始体温下降，温差不变．即变量y最有可能表示的是骆驼从0时到t时刻之间的最高体温与当日最低体温的差．故选：B．根据时间和体温的变化，将时间分为3段：0-4，4-8，8-16，16-24，分别观察每段中的温差，由此即可求出答案．考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．理解本题中温差的含义是解决本题的关键．9.【答案】x≥-2【解析】解：根据题意得：2x+4≥0，解得x≥-2．故答案为x≥-2．根据自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．10.【答案】圆锥【解析】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故答案为：圆锥．由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．11.【答案】y=（x-1）2-1（答案不唯一）【解析】解：由题意知，该函数属于二次函数，且图象的对称轴为x=1，开口方向向上，所以符合条件的函数解析式可以是：y=（x-1）2-1．故答案是：y=（x-1）2-1（答案不唯一）．根据①可以排除该函数图象不是双曲线；根据②可以排除该函数图象不是直线；根据③可以得到该函数图象是抛物线且对称轴是x=1、抛物线开口方向向上．考查了反比例函数、一次函数、正比例函数以及二次函数的性质，根据题意得到该函数属于二次函数是解题的难点．12.【答案】110°【解析】解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠AED=20°，∴∠ACD=20°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°，故答案为：110°．连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB=90°，∠ACD=20°，即可求∠BCD的度数．此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．13.【答案】（-1，-1）【解析】解：如图所示：人民大会堂的点的坐标是（-1，-1），故答案为：（-1，-1）．根据美术馆的点的坐标为（2，4），表示中国国家博物馆的点的坐标为（1，-1）确定坐标原点的位置，然后建立坐标系，进而可确定人民大会堂的位置．此题主要考查了坐标确定位置，关键是正确建立坐标系．14.【答案】【解析】解：原式=•=-a（a+2）=-a2-2a，∵2a2+4a-1=0，∴a2+2a=，∴原式=-，故答案为：．根据分式的运算法则即可求出答案．本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．15.【答案】【解析】解：根据题意，可得，∴（m），即的长是m．故答案为：．首先根据题意，可得，然后根据圆的周长公式，求出直径是2m的圆的周长是多少；最后用直径是2m的圆的周长除以3，求出的长是多少即可．此题主要考查了弧长的计算，以及圆的周长的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出，并求出直径是2m的圆的周长是多少．16.【答案】 A【解析】解：∵乘坐B线路“用时不超过35分钟”的有43+57=100人，∴乘坐B线路“用时不超过35分钟”的概率为=，∵A线路不超过40分钟的有59+151+166=376人，B线路不超过40分钟的有43+57+149=249人，∴选择A线路，故答案为：，A．用“用时不超过35分钟”的人数除以总人数即可求得概率；考查了用频率估计概率的知识，能够读懂图是解答本题的关键，难度不大．17.【答案】解：原式=1-3×+3-（2-），=1-+3-2+，=2．【解析】本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18.【答案】解：∵解不等式①得：x＜1，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集是1＜x≤3．【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．19.【答案】解：（1）由题意m≠0，∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即[-3（m+1）]2-4m（2m+3）=（m+3）2＞0，解得：m≠-3，则m的取值范围为m≠0和m≠-3；（2）∵△=（m+3）2，∴x=，∴x1=，x2=1，当x1=是整数时，可得m=1或m=-1（舍）或m=3，∴m=1或m=3．【解析】（1）由关于x的一元二次方程得到m不为0，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；（2）由△=（m+3）2知x1=，x2=1，根据两个根都是整数即可确定出m的正整数值．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．20.【答案】线段的垂直平分线的定义直角三角形斜边中线等于斜边的一半【解析】解：（1）补全图形如图所示．（2）连接PA，PB，QA，QB，OC，∵由作图，PA=PB，QA=QB，∴PQ⊥AB且AO=BO（线段的垂直平分线的定义）．∵∠ACB=90°，∴OC=AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），∴OA=OB=OC，∴A，B，C三点在以O为圆心，AB为直径的圆上．∴⊙O为△ABC的外接圆．故答案为：线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线等于斜边的一半．（1）根据要求作出图形即可．（2）利用直角三角形斜边中线的性质证明：OC=OA=OB即可．本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.【答案】（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵AE∥BC，BE∥AD，∴四边形ADBE是矩形；（2）解：过D作DF⊥AB于F，∵AC=10，AB=AC，∴AB=10，∵四边形ADBE是矩形，∴DE=AB=10，DO=AO=5，在Rt△ADC中，由勾股定理得：CD===8，∵在△ABC中，AD是BC边的中线，∴BD=CD=8，在Rt△ADB中，S△ADB==，6×8=10×DF，解得：DF=4.8，在Rt△DFO中，sin∠AOD===．【解析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠ADB=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）根据矩形的性质求出DO=5，根据勾股定理求出CD，求出BD，再根据三角形的面积求出DF，即可求出答案．本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形等知识点，能求出四边形ADBE是矩形是解此题的关键．22.【答案】解：（1）把x=0代入y=x-1中得y=-1，即A点坐标为（0，-1）B（m，2）在直线y=x-1上，∴m=3，B（3，2）在双曲线y=上，∴2=，解得k=6；（2）设直线CD为y=x+b，∵AB∥CD，∴S△ABC=S△ABD=AD•|xB|=6，AD=4=|b+1|，x B=3，∴|b+1|•3=6 得b+1=4 或b+1=-4，∴b=3 或b=-5，∴平移后的直线表达式为y=x+3或y=x-5．【解析】（1）求出A的坐标，把B的坐标代入直线解析式得出M=3，得出B的坐标，代入双曲线即可得出k的值；（2）由三角形的面积求出b的值即可．本题考查了待定系数求函数的解析式，正确求得B的坐标和b的值是关键．23.【答案】（1）证明：∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE∥CD，∵CD⊥AB，∴AE⊥AB，∴AE是⊙O的切线，∵DE恰为⊙O的切线，∴AE=DE，∴四边形ACDE是菱形；（2）解：连接AD、OD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴，∴AD=AC，∵四边形ACDE是菱形，∴AC=CD，∴AC=CD=AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC=∠ADC=60°，∠DAB=30°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAB=30°，∴∠DOF=30°+30°=60°，∵DE为⊙O的切线，∴∠ODF=90°，∴∠F=30°，∴OD=OF，∵OF=OB+BF，∴OD=OB=BF=2，∴AB=2OB=4；即⊙O的直径为4．【解析】（1）证明AE⊥AB，得出AE是⊙O的切线，由切线的性质得出AE=DE，即可得出四边形ACDE是菱形（2）连接AD、OD，由垂径定理得出，得出AD=AC，由菱形的性质得出AC=CD=AD，△ACD是等边三角形，得出∠DAC=60°，∠DAB=30°，由等腰三角形的性质得出∠ODA=∠DAB=30°，求出∠DOF=60°，由切线的性质得出∠ODF=90°，得出∠F=30°，由直角三角形的性质得出OD=OF，得出OD=OB=BF=2，求出AB=2OB=4．本题考查了切线的性质与判定、垂径定理、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．24.【答案】0.05 8 12 0.30 82.75 初一270【解析】解：（1）频数4÷0.10×0.20=8，40-2-4-8-14=12，频数2÷40=0.05，1-0.10-0.20-0.35-0，05=0.30，频数分布直方图补全如下：故答案为8，0.05；（2）①根据初二年级学生成绩样本的和频数分布直方图可知，中位数20、21的平均数，落在80-90分∵80～90分段的具体成绩为：80 80 81.5 82 82.5 82.5 83 84.5 85 86.5 87 88 88.5 89，∴中位数为（82.5+83）÷2=82.75故答案为82.75；②600名学生，中位数为第300、301的中位数，而甲同学在比赛中得到了82分，在他所在的年级中位居275名，初一学生样本成绩的中位数为80，82＞80，∴该同学为初一，故答案为：初一；③初二学生样本中，85分以上共有18人，初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为×600=270故答案为270．（1）频数4÷0.10×0.20=8，频率1-0.10-0.20-0.35-0.30=0.05；（2）中位数为（82.5+83）÷2=82.75；（3）初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．25.【答案】6.5 8.5 C、D之间（含C、D两点）点D处【解析】解：（1）∵A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，A、T之间的距离为x千米，T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米∴当x=2.0时，T位于点C，此时y=NC+CD+DM=2.3+1+3.2=6.5（千米）；当x=4.0时，y=NC+CD+DT+DT+DM=2.3+1+1+1+3.2=8.5（千米）故答案为：6.5，8.5．（2）函数的图象如下：（3）①由图形可知，若物流基地修建在C、D两点之外，则距离会大于NC+CD+DM，故若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，物流基地T应该修建在C、D之间（含C、D两点）．故答案为：C、D之间（含C、D两点）．②由①可知，若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，物流基地T 应该修建在C、D之间（含C、D两点），由图3可知，D、E段上离点P、Q的距离相等，再往E点以下距离之和一定变大；再往D点以上，到P、Q的距离之和会变大，故答案为：点D处．（1）x=2.0时，y=NC+CD+DM；x=4.0时，y=NC+CD+DT+DT+DM，将相关线段的长代入即可得答案；（2）根据表格数据画出函数图象即可；（3）①由图形可知，若物流基地修建在C、D两点之外，则距离会大于NC+CD+DM，从而可得答案；②结合①的结论及图③分析可得答案．本题考查了一次函数在解决实际问题中的应用，数形结合进行分析，是解答本题的关键．26.【答案】解：（1）当x=0时，y=-2，∴A（0，-2），抛物线的对称轴为直线x=-=1，∴B（1，0）；（2）易得A点关于对称轴直线x=1的对称点A′（2，-2），则直线l经过A′、B，设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线l的解析式为y=-2x+2；（3）∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线在2＜x＜3这一段与在-1＜x＜0这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在-2＜x＜-1这一段位于直线l的上方，在-1＜x＜0这一段位于直线l的下方，∴抛物线与直线l的交点的横坐标为-1，当x=-1时，y=-2×（-1）+2=4，所以，抛物线过点（-1，4），当x=-1时，m+2m-2=4，解得m=2，∴抛物线的解析式为y=2x2-4x-2．【解析】（1）令x=0求出y的值，即可得到点A的坐标，求出对称轴解析式，即可得到点B的坐标；（2）求出点A关于对称轴的对称点（2，-2），然后设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（3）根据二次函数的对称性判断在2＜x＜3这一段与在-1＜x＜0这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线l的交点的横坐标为-1，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的值即可得到抛物线解析式．本题考查了二次函数的性质，一次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，第（3）小题较难，根据二次函数的对称性求出抛物线经过的点（-1，4）是解题的关键．27.【答案】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵∠BAD=α，∴∠FAG=60°-α，∵∠AFG=∠EFD=60°，∴∠AGE=180°-60°-（60°-α）=60°+α；（2）结论：CG=DE，理由：如图，连接BE，过B作BP∥EG，交AC于P，则∠BPC=∠EGP，∵点D关于直线AB的对称点为点E，∴∠ABE=∠ABD=60°，∵∠C=60°，∴∠EBD+∠C=180°，∴EB∥GP，∴四边形EBPG是平行四边形，∴BE=PG，∵∠DFG+∠C=120°+60°=180°，∴∠FGC+∠FDC=180°，∴∠ADB=∠BGP=∠BPC，∵AB=BC，∠ABD=∠C=60°，∴△ABD≌△BCP（AAS），∴BD=PC=BE=PG，∴CG=2BD，在△BDE中，易知∠EBD=120°，BE=BD，∴DE=BD，∴CG=DE，【解析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得结论；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明四边形EBPG是平行四边形，得BE=PG，再证明△ABD≌△BCP（AAS），可得结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，对称的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．28.【答案】3-3 6【解析】解：（1）如图，连接BO∵正方形ABCD以原点O为中心，点A的坐标为（3，3），。
人大附中数学试卷初中
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列哪个数是正数？A. -3B. 0C. 2D. -52. 如果一个等腰三角形的底边长为8厘米，腰长为10厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？A. 24B. 26C. 28D. 303. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 长方形B. 正方形C. 等腰三角形D. 以上都是4. 下列哪个函数是单调递增函数？A. y = 2x - 3B. y = -x^2 + 1C. y = 3xD. y = x^2 + 25. 在一个等差数列中，第一项是3，公差是2，那么第10项是多少？A. 19B. 21C. 23D. 25二、填空题（每题5分，共25分）6. 若x + 2 = 5，则x = _______。
7. 一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，那么它的周长是 _______厘米。
8. 若一个等边三角形的边长是6厘米，那么它的面积是 _______平方厘米。
9. 若y = 2x - 1，当x = 3时，y = _______。
10. 若一个数列的前三项分别是1，4，7，那么这个数列的公差是 _______。
三、解答题（每题15分，共45分）11. 解方程：2x - 5 = 3x + 1。
12. 已知等腰三角形的底边长为10厘米，腰长为12厘米，求这个三角形的面积。
13. 一个数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的通项公式。
14. 一个二次函数的图象开口向下，顶点坐标为（2，-3），求这个函数的解析式。
四、附加题（20分）15. 已知一个正方体的棱长为a，求这个正方体的体积和表面积。
---答案一、选择题：1. C2. B3. D4. C5. B二、填空题：6. 37. 308. 189. 510. 3三、解答题：11. x = -612. 面积 = 60平方厘米13. 通项公式：an = 3n - 114. 解析式：y = -x^2 + 4x - 5四、附加题：15. 体积 = a^3，表面积 = 6a^2。
北京人大附中2019-2020学年度第二学期初三数学练习 1
A．6
B．7
C．8
D．9
8．已知点 A(2，3)在反比例函数y k (k 0) 的图象上，当 x＞－2 时，则 y 的取值范围是 x
（ ）．
A． y 3 B ． y 3或 y 0 C． y 3 D． y 3或 y 0
9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 H，∠A =30°，
C．从图 2 在 2 月 6 日新增病例出现下降，可以估计 2 月 6 日后全国新型冠状病毒肺炎累计确诊病例 的单日增长率会低于 10%．
D．从表 1 可看出确诊病例较多的省市大部分都是在 湖北周围，很大原因是由于携带病毒的流动人口
造成的，所以控制疫情的有效手段是在家隔离，同 时也可以推断在新疆和甘肃等西北地区疫情相对
6．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(1, 2) ，如果射线 OA 与 x 轴正半轴的夹角为
，那么 sin 的值是（ ）．
7．袋子中有 42 个除颜色外完全相同的小球. 在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一 个球，记录颜色后放回，将球摇匀. 重复上述过程 180 次后，共摸到红球 30 次，由此可 以估计口袋中的红球个数是（ ）．
2019-2020 学年度第二学期初三年级数学练习 1
2020.2
考 1．本试卷共 9 页，共四道大题，28 道小题，满分 100 分。考试时间 120 分钟。
生 2．试卷的第 1-23 题，请直接将填写在电脑答题页面的规定位置上，第 24-28 题写
在个人打印的答题纸上，拍照提交到电脑答题页面的相应位置。
值范围是
.
（3）如图 3，当 m 3 ，1 n 6 时，过点 M（5，7）的直线 y kx b 上存在△AOB 关
1．近期，新型冠状病毒感染肺炎的疫情在全国蔓延，全国人民团结一致，全力抗击新型冠状 病毒感染肺炎。多国政府官员及机构高度赞赏并支持中国政府抗击疫情的有力措施，表示
2019-2020北京市人大附中中考数学模拟试卷(带答案)
则 BE 的长是 ( )
A．5
B．6
C．7
D．8
8．若正比例函数 y=mx（m≠0），y 随 x 的增大而减小，则它和二次函数 y=mx2+m 的图象
大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度 h 与时间 t 的函数关系如图所示，
则该容器是下列中的（ ）
A．
B．
标为（ ）
A．（6，4）
B． （6，2）
C．（4，4）
D．（8，4）
3．如图，将▱ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在 B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为
（）
A．66°
B．104°
C．114°
D．124°
4．已知二次函数 y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣
∴AD=DB= 1 AB= 7 2
在 Rt△AOD 中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即 OA2=(OA-1)2+( 7 )2，
解得，OA=4 ∴OD=OC-CD=3， ∵AO=OE,AD=DB, ∴BE=2OD=6 故选 B 【点睛】 本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键
5．C
解析：C 【解析】 【分析】 利用方差的意义，众数的定义、折线图及随机事件分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】 ①方差是衡量一组数据波动大小的统计量，正确，是真命题； ②影响超市进货决策的主要统计量是众数，正确，是真命题； ③折线统计图反映一组数据的变化趋势，正确，是真命题； ④水中捞月是随机事件，故错误，是假命题， 真命题有 3 个， 故选 C． 【点睛】 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解方差的意义，众数的定义、折线图及随 机事件等知识，难度不大．
2019-2020学年北京人大附中九年级(上)月考数学试卷(12月份)--含详细解析
2019-2020学年北京人大附中九年级（上）月考数学试卷（12月份）副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形是中心对称图形的是()A. B.C. D.2.方程x2−x=0的解是()A. x=0B. x=1C. x1=0，x2=−1D. x1=0，x2=13.有一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6 个大小相同的扇形．在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色．为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的，则下列各图中涂色方案正确的是()概率为23A. B. C. D.4.下列关于二次函数y=2x2的说法正确的是()A. 它的图象经过点(−1,−2)B. 当x<0时，y随x的增大而减小C. 它的图象的对称轴是直线x=2D. 当x=0时，y有最大值为05.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD=2，A′D′=3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为()A. 4：9B. 9：4C. 2：3D. 3：26.如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD.若点A(1,2)，B(2,0)，D(5,0)，则点A的对应点C的坐标是(),5) C. (3,5) D. (3,6)A. (2,5)B. (527.如图，数轴上有A、B、C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在⊙O外，⊙O内，⊙O上，则原点O的位置应该在()A. 点A与点B之间靠近A点B. 点A与点B之间靠近B点C. 点B与点C之间靠近B点D. 点B与点C之间靠近C点8.如图，AB是半圆O的直径，按以下步骤作图：(1)分别以A，B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于点P，连接OP与半圆交于点C；AC长为半径作弧，两(2)分别以A，C为圆心，大于12弧交于点Q，连接OQ与半圆交于点D；(3)连接AD，BD，BC，BD与OC交于点E．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①BD平分∠ABC；②BC//OD；③CE=OE；④AD2=OD⋅CE；所有正确结论的序号是()A. ①②B. ①④C. ②③D. ①②④二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE//BC，若10.如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为______．11.已知反比例函数y=m−2x，当x>0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是______．12.若一个扇形的半径为3，圆心角是120°，则它的面积是______．13.小宇调查了初一年级三个班学生的身高，并进行了统计，列出如频数分布表：若要从每个班级中选取10名身高在160cm和170cm之间同学参加学校的广播操展示，不考虑其他因素的影响，则______(填“1班”，“2班”或“3班”)的可供挑选的空间最大．身高/厘米频数班级150≤x<155155≤x<160160≤x<165165≤x<170170≤x<175合计1班181214540 2班1015103240 3班51010874014.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x(x>0)的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，连接OA，OB，则△OAC与△OBD的面积之和为______．15.为测量附中国旗杆的高度，小宇的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板△DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.6米，到旗杆的水平距离DC=18米，按此方法，可计算出旗杆的高度为______米．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，记x=AC，y=BC−AC，在平面直角坐标系xOy中，定义(x,y)为这个直角三角形的坐标，Rt△ABC为点(x,y)对应的直角三角形．有下列结论：①在x轴正半轴上的任意点(x,y)对应的直角三角形均满足AB=√2BC；(x>0)的图象上存在两点边P，Q，使得它们对应的直角三角形②在函数y=2019x相似；③对于函y=(x−2020)2−1(x>0)的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数y=−2x+2020(x>0)的图象上存在无数对点P，Q(P与Q不重合)，使得它们对应的直角三角形全等．所有正确结论的序号是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，过点D作⊙O的切线，与BC的延长线交于点F．(1)求证：∠F=∠BAC；(2)若DF//AC，若AB=8，CF=2，求AC的长．四、解答题（本大题共11小题，共88.0分）18.解方程：x2−2x=2(x+1)．19.如图，已知∠B=∠C=90°，点E在BC上，且满足AB=4，BE=2，CE=6，CD=3，求证：AE⊥DE．20.已知二次函数y=x2−4x+3．(1)用配方法将y=x2−4x+3化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；(3)当0≤x≤3时，y的取值范围是______．21.如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC=2，AC=2√2(1)求点O到AC的距离；(2)求∠ADC的度数．22.某市计划建设一项水利工程，运输公司接到任务后，计划每天运输土方2000m3，共计50天运完，但由于受到各种因素的影响，实际平均每天运输土方vm3，共计t 天运输完成．(1)请直接写出v关于t的函数关系式；(2)为了给后续工程节省出时间，这批土方需要在40天内运输完成，求实际平均每天至少需要比原计划增加多少土方运输量？x2+bx+c=023.已知关于x的一元二次方程14(1)c=2b−1时，求证：方程一定有两个实数根．(2)有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c，利用列表法或者树状图，x2+bx+c=0两个相等的实数根的概率．求b、c的值使方程14(x>0)的24.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx−1(k≠0)与函数y=mx 图象交于点A(3,2)．(1)求k，m的值；(2)将直线l沿y轴向上平移t(t>0)个单位后，所得直线与x轴，y轴分别交于点P，(x>0)的图象交于点C．Q，与函数y=mx①当t=2时，求线段QC的长．<3，结合函数图象，直接写出t的取值范围．②若2<QCPQ25.如图，在弧AB和弦AB所组成的图形中，P是弦AB上一动点，过点P作弦AB的垂线，交弧AB于点C，连接AC.已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小宇根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小宇的探究过程，请补充完整：(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cmx/cm0123456y1/cm0 2.24 2.83 3.00 2.83 2.240y2/cm0 2.45 3.46 4.24______ 5.486(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1)，(x,y2)，并画出函数y1，y2的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当△APC有一个角是60°时，AP的长度约为______26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2ax+a2−a+4的顶点为A，点B，C为直线y=3上的两个动点(点B在点C的左侧)，且BC=3．(1)求点A的坐标(用含a的代数式表示)；(2)若△ABC是以BC为直角边的等腰直角三角形，求抛物线的解析式；(3)过点A作x轴的垂线，交直线y=3于点D，点D恰好是线段BC三等分点且满足BC=3BD，若抛物线与线段BC只有一个公共点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点C关于直线AB的对称点为D，连接BD，CD，过点B作BE//AC交直线AD于点E．(1)依题意补全图形；(2)找出一个图中与△CDB相似的三角形，并证明；(3)延长BD交直线AC于点F，过点F作FH//AE交直线BE于点H，请补全图形，猜想BC，CF，BH之间的数量关系并证明．28.新定义：在平面直角坐标系xOy中，若几何图形G与⊙A有公共点，则称几何图形G的叫⊙A的关联图形，特别地，若⊙A的关联图形G为直线，则称该直线为⊙A 的关联直线．如图，∠M为⊙A的关联图形，直线l为⊙A的关联直线．(1)已知⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线y=2x+2；②直线y=−x+3；③双曲线y=2，是⊙O的关联图形的是x______(请直接写出正确的序号)．(2)如图1，⊙T的圆心为T(1,0)，半径为1，直线l：y=−x+b与x轴交于点N，若直线l是⊙T的关联直线，求点N的横坐标的取值范围．(3)如图2，已知点B(0,2)，C(2,0)，D(0,−2)，⊙I经过点C，⊙I的关联直线HB经过点B，与⊙I的一个交点为P；⊙I的关联直线HD经过点D，与⊙I的一个交点为Q；直线HB，HD交于点H，若线段PQ在直线x=6上且恰为⊙I的直径，请直接写出点H横坐标h的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．根据中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】D【解析】解：x(x−1)=0，x=0或x−1=0，所以x1=0，x2=1．故选：D．先把方程左边分解，这样把原方程化为x=0或x−1=0，然后解一次方程即可．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．3.【答案】C，故选项错误；【解析】解：A、指针指向灰色的概率为2÷6=13B、指针指向灰色的概率为3÷6=1，故选项错误；2C、指针指向灰色的概率为4÷6=2，故选项正确；3D、指针指向灰色的概率为5÷6=5，故选项错误．6故选：C．指针指向灰色区域的概率就是灰色区域的面积与总面积的比值，计算面积比即可．本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．4.【答案】B【解析】解：二次函数y =2x 2，当x =−1时，y =2，故它的图象不经过点(−1,−2)，故A 选项不合题意；当x <0时，y 随x 的增大而减小，故选项B 正确； 它的图象的对称轴是直线 y 轴，故C 选项不合题意； 当x =0时，y 有最小值为0，故D 选项不合题意； 故选：B ．直接利用二次函数的性质分别判断得出答案．此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的增减性是解题关键．5.【答案】A【解析】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD 和A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高，AD =2，A′D′=3，∴ABA′B′=ADA′D′=23，∴△ABC 与△A′B′C′的面积的比=(23)2=49， 故选：A ．根据相似三角形对应高的比等于相似比求出相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．6.【答案】B【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点的关系是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k.利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系．【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B(2,0)，D(5,0)，∴OBOD =25，∵A(1,2)，∴C(52,5)．故选B．7.【答案】C【解析】解：如图，观察图象可知，原点O的位置应该在点B与点C之间靠近B点，故选：C．画出图象，利用图象法即可解决问题；本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．8.【答案】D【解析】解：由作图可知，OP垂直平分线段AB，OQ平分∠AOC，故①正确，∴OP⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=90°，∴∠AOD=12∠AOC=45°，∵OB=OC，∴∠OBC=45°，∴∠AOD=∠OBC=45°，∴OD//BC，故②正确，∴ODBC =OEEC<1，∴OE<EC，故③错误，连接CD．∵∠DCE=∠DCO，∠CDE=∠COD=45°，∴△DCE∽△OCD，∴CDOC =CECD，∴CD2=OD⋅CE，∵∠AOD=∠DOC，∴AD⏜=CD⏜，∴AD=CD，∴AD2=OD⋅CE，故④正确，故选：D．由作图可知，OP垂直平分线段AB，OQ平分∠AOC，利用平行线的判定，相似三角形的性质一一判断即可．本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9.【答案】2.5【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC=AD：AB，∵AD=2，DB=3，∴AB=AD+BD=5，∴1：BC=2：5，∴BC=2.5，故答案为：2.5．首先由DE//BC，可证得△ADE∽△ABC，进而可根据相似三角形得到的比例线段求得BC的长．本题考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，题目比较典型，难度适中．10.【答案】135°【解析】解：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，∴∠AOC为旋转角，∵∠AOB=45°，∴∠AOC=135°，即旋转角为135°．故答案为：135°．利用旋转的性质得到∠AOC为旋转角，然后利用∠AOB=45°得到∠AOC的度数即可．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．11.【答案】m>2【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m−2>0是解题的关键．，当x>0时，y随x增大而减小，可得出m−2>0，解之即可根据反比例函数y=m−2x得出m的取值范围．【解答】，当x>0时，y随x增大而减小，解：∵反比例函数y=m−2x∴m−2>0，解得：m>2．故答案为m>2．12.【答案】3π=3π，【解析】解：扇形的面积=120⋅⋅π⋅32360故答案为3π．利用扇形的面积公式计算即可．．本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式S=nπr236013.【答案】1班【解析】解：身高在160cm和170cm之间同学人数：一班26人，二班13人，三班18人，因此可挑选空间最大的是一班，故答案为：1班．根据各个班身高在160cm和170cm之间同学的人数，进行判断即可．考查频数分布表的表示方法，从表格中获取数据和数据之间的关系是正确判断的前提．14.【答案】2【解析】解：∵函数y=2x(x>0)的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，∴S△OAC=S△OBD=12×2=1，∴S△OAC+S△OBD=1+1=2．故答案为2．根据反比例函数比例系数k的几何意义可得S△OAC=S△OBD=12×2=1，再相加即可．本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上的点向x轴或y轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积等于12|k|．15.【答案】10.6【解析】解：∵CD⊥AB，△DEF为直角三角形，∴∠DEF=∠ACD，∵∠ADC=∠FDE，∴△ACD∽△FED，∴DECD =EFAC，∵DE=0.5米，EF=0.25米，DC=18米，∴0.518=0.25AC，∴AC=9米，∵DG=1.6米，∴BC=1.6米，∴AB=10.6米，故答案为：10.6．根据题意证出△ACD∽△FED，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．此题主要考查了相似三角形的应用；由三角形相似得出对应边成比例是解题关键．16.【答案】①③④【解析】解：①∵在x轴正半轴上的任意点(x,y)，∴y=0，∴AC=BC，∴AB=√2BC；②设P({x1,2019 x1)，Q(x2,2019x2)，则对应的直角三角形的直角边分别为x1，x1+2019 x1；x2，x2+2019x2，若两个三角形相似，则有x1x1+2019x1=x2x2+2019x2，∴x22=x12，∵x>0，∴x1=x2，∴不存在两点边P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；③设P(x1,(x1−2020)2−1)，Q(x2,(x2−2020)2−1)，则对应的直角三角形的直角边分别为x1+(x1−2020)2−1，x1；x2，x2+(x2−2020)2−1，若两个三角形相似，则有x1(x1−2020)2−1=x2(x2−2020)2−1，∴(x1−x2)(x1x2+1−20202)=0，∵x>0，∴x1x2+1=20202，∴图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④设P(x1,−2x1+2020)，Q(x2,−2x2+2020)，则对应的直角三角形的直角边分别为x1，−x1+2020；x2，−x2+2020，若两个三角形全等，则有x1=−x2+2020，x2=−x1+2020，∴x2+x1=2020，∵x>0，∴图象上存在无数对点P，Q，使得它们对应的直角三角形全等；故答案为①③④．①在x轴正半轴上的任意点(x,y)，则y=0，所以AC=BC，由勾股定理可得AB=√2BC；②设P({x1,2019 x1)，Q(x2,2019x2)，则对应的直角三角形的直角边分别为x1，x1+2019 x1；x2，x2+2019x2，若两个三角形相似，则有x1x1+2019x1=x2x2+2019x2，可得x22=x12，当x>0时x1=x2；③设P(x1,(x1−2020)2−1)，Q(x2,(x2−2020)2−1)，则对应的直角三角形的直角边分别为x1+(x1−2020)2−1，x1；x2，x2+(x2−2020)2−1，若两个三角形相似，则有x1(x1−2020)2−1=x2(x2−2020)2−1，(x1−x2)(x1x2+1−20202)=0，由条件可得x1x2+1=20202；④设P(x1,−2x1+2020)，Q(x2,−2x2+2020)，则对应的直角三角形的直角边分别为x1，−x1+2020；x2，−x2+2020，若两个三角形全等，则有x1=−x2+2020，可得x2+x1=2020．本题考查函数的性质，新定义，三角形性质；能够理解题意，将问题转化为直角三角形相似与全等，利用相似与全等的关系结合直角三角形的性列出正确的等式，再能正确求解方程是解题的关键．17.【答案】(1)证明：∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∴∠ODF=90°，∴∠F+∠DBC=90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAC=90°，∵∠DBC=∠DAC，∴∠BAC=∠F(2)解：连接CD，∵DF//AC，∠ODF=90°，∴∠BEC=∠ODF=90°，∴直径BD⊥AC于E，∴AE=CE=12AC，∴AB=BC，∵AB=8，∴BC=8，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴∠DBC+∠BDC=90°，∵∠DBC+∠F=90°，∴∠BDC=∠F，∵∠BCD=∠FCD=90°，∴△BCD∽△DCF，∴BCDC =DCCF，∵BC=8，CF=2，∴DC=4，∴BD=√BC2+CD2=4√5．∵在△BCD中，S△BCD=12BC⋅CD=12BD⋅CE，∴CE=85√5，∴AC=2CE=165√5．【解析】(1)证∠F+∠DBC=90°，可得∠BAC+∠DAC=90°，又∠DBC=∠DAC，则∠BAC=∠F，结论得证；(2)连接CD，证明△BCD∽△DCF，可得BCDC =DCCF，求出DC=4，BD=4√5，由三角形面积可得出CE，则AC可求出．本题考查了相似三角形的性质及判定，切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解答时运用好切线的性质求解是解答本题的关键．18.【答案】解：整理得x2−4x=2，x2−4x+4=2+4，即(x−2)2=6，∴x−2=±√6，∴x1=2+√6，x2=2−√6．【解析】整理得x2−4x=2，然后利用配方法求解即可．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．19.【答案】证明：∵AB=4，BE=2，CE=6，CD=3，∴ABCE =BECD，∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECD，∴∠A=∠CED，∵∠B=90°，∴∠A+∠AEB=90°，∴∠CED+∠AEB=90°，∴∠AED=180°−∠AEB−∠CED=90°，∴AE⊥DE．【解析】证明△ABE∽△ECD，可得∠A=∠CED，则∠CED+∠AEB=90°，可得出∠AED= 180°−∠AEB−∠CED=90°，则结论得证．本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的性质是解答此题的关键．20.【答案】(1)y=x2−4x+3=(x−2)2−1；(2)这个二次函数的图象如图：(3)−1≤y≤3【解析】解：(1)见答案；(2)见答案；(3)当0≤x≤3时，−1≤y≤3．故答案为−1≤y≤3．【分析】(1)运用配方法把一般式化为顶点式；(2)根据函数图象的画法画出二次函数图象即可；(3)运用数形结合思想解答即可．本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．21.【答案】解：(1)连接OA，作OH⊥AC于H，OA2+OC2=8，AC2=8，∴OA2+OC2=AC2，∴△AOC为等腰直角三角形，∴OH=12AC=√2，即点O到AC的距离为√2；(2)由圆周角定理得，∠B=12∠AOC=45°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC=180°−45°=135°．【解析】(1)连接OA，作OH⊥AC于H，根据勾股定理的逆定理得到∠AOC=90°，根据等腰直角三角形的性质解答；(2)根据圆周角定理求出∠B，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．本题考查度数圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理的逆定理，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．22.【答案】解：(1)由题意得：v=2000×50t =100000t；(2)当t=40时，v=10000040=2500，2500−2000=500(m3)，答：实际平均每天至少需要比原计划增加500m3土方运输量．【解析】(1)根据题意得等量关系：平均每天运输土方=土方总量÷时间，然后可得v关于t的函数关系式；(2)求出当t=40时v的值，然后其计算与2000的差即可．此题主要考查了反比例函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．23.【答案】(1)证明：∵△=b2−4⋅14c=b2−c=0，∴将c=2b−1代入得：△=b2−(2b−1)=b2−2b+1=(b−1)2≥0，∴方程一定有两个实数根；(2)解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，若方程有两个相等的实数根，△=b2−4⋅14c=b2−c=0，∴b2=c，满足条件的结果有(1,1)和(2,4)，共2种，∴P(b、c的值使方程14x2+bx+c=0两个相等的实数根的概率)=16．【解析】(1)直接利用根的判别式以及完全平方公式进而分析得出答案；(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；可得2x+y=6的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】解：(1)将点A(3,2)的坐标分别代入y=kx−1(k≠0)与y=mx(x>0)中，得2=3k−1，2=m3，∴k=1，m=6；(2)①∵直线y=kx−1与y轴交于点(0,−1)，∴当t=2时，Q(0,1)．此时直线解析式为y=x+1，代入函数y=6x中，整理得，x(x+1)=6，解得x1=−3(舍去)，x2=2，∴C(2,3)，∴QC=√(2−0)2+(3−1)2=2√2．②如图，作CD⊥x轴于D，若QCPQ =2时，则ODOP=2，CDOQ=3，∵直线解析式系数k=1，∴OP=OQ，设OP=OQ=a，∴OD=2a，CD=3a，∴CD=62a =3a，∴3a=3a，解得a=1，∴此时t=1+1=2，若QCPQ =3时，则ODOP=3，CDOQ=4，∵直线解析式系数k=1，∴OP=OQ，设OP=OQ=a，∴OD=3a，CD=4a，∴CD=63a =2a，∴4a=2a，解得a=√22，∴此时t=1+√22，∴若2<QCPQ <3，结合函数图象，得出t的取值范围是1+√22<t<2．【解析】(1)将点A分别代入y=kx−1(k≠0)与y=mx(x>0)，即可求出k、m的值；(2)①求出当t=2时直线解析式，代入函数y=6x中，整理得，x(x+1)=6，解方程求出点C的坐标，即可求出QC的长；②观察图象解答即可．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．25.【答案】4.90 1.50或4.50【解析】解：(1)利用测量法可知：当x=4时，y2=4.90．故答案为4.90．(2)函数图象如图所示：(3)函数y1与直线y=√3x的交点的横坐标为1.50，x的交点的横坐标为4.50，函数y1与直线y=√33故当△APC有一个角是60°时，AP的长度约为1.50或4.50．故答案为1.50或4.50．(1)利用测量法解决问题即可．(2)利用描点画出函数图象即可．(3)利用图象法求出函数y1与直线y=√3x，直线y=√3x的交点的横坐标即可解决问题．3本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，勾股定理，一次函数的性质，函数的图象与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26.【答案】解：(1)y=x2−2ax+a2−a+4=(x−a)2+4−a，故点A(a,4−a)；(2)点A所在的直线为：y=4−x，联立y=4−x与y=−x并解得：x=1，故两个直线的交点为(1,3)；①当点C的坐标为：(1,3)时，则点B(−2,3)，点A(−2,6)，a=−2，故抛物线的表达式为：y=(x+2)2+6；②当点B的坐标为：(1,3)时，则点A(4,0)，则a=4，故抛物线的表达式为：y=(x−4)2；综上，抛物线的表达式为：y=(x+2)2+6或y=(x−4)2；(3)点A(a,4−a)，则点D(a,3)，BC=3BD，则点B、C的坐标分别为：(a−1,3)、(a+2,3)，将抛物线y=x2−2ax+a2−a+4与直线y=3联立并解得：x=a±√a−1，故点E、F的坐标分别为：(a−√a−1,3)、(a+√a−1,3)，①当a=1时，点E、B、C、F的坐标分别为：(1,3)、(0,3)、(2,3)、(1,3)，而点A(1,3)，此时，抛物线于BC只有一个公共点；②当a>1时，当点C、F重合时，则a+√a−1=a+2，解得：a=5；当点B、E重合时，a−√a−1=a−1，解得：a=2，故2<a≤5；综上，a=1或2<a≤5．【解析】(1)y=x2−2ax+a2−a+4=(x−a)2+4−a，即可求解；(2)分当点C的坐标为：(1,3)时、点B的坐标为：(1,3)时，两种情况分别求解；(3)分a=1、a>1两种情况，分别求解即可．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质等，其中(2)、(3)，都要注意分类求解，避免遗漏．27.【答案】解：(1)如图1所示：(2)与△CDB相似的三角形是△ABE，理由如下：∵点C关于直线AB的对称点为D，∴CH=DH，AB⊥CD，∴AB是CD的垂直平分线，∴AD=AC，BC=BD，且AB⊥CD，∴∠ACD=∠ADC，∠CAB=∠DAB，∠BCD=∠BDC，∠DBA=∠CBA，∵∠ACB=90°，∴∠ABC+∠CAB=90°，且∠ABC+∠BCH=90°，∠BAC+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠BAC，∠ACD=∠ABC，∴∠DAB=∠BCD=∠BAC=∠BDC，∵AC//BE，∴∠CAB=∠ABE，∴∠CDB=∠ABE，且∠DAB=∠BCD，∴△BCD∽△EAB；(3)BH⋅FC=BC2+CF2，理由如下：如图2，∵∠ACB=90°，∴BC2+CF2=BF2，∵△BCD∽△EAB，∴∠AEB=∠CBD，∵AE//FH，∴∠H=∠AEB=∠CBD，∵AC//BE，∴∠CFB=∠FBH，∴△FCB∽△BFH，∴BHBF =BFFC，∴BF2=BH⋅FC，∴BH⋅FC=BC2+CF2．【解析】(1)由题意补全图形；(2)由轴对称的性质可得AB是CD的垂直平分线，可得AD=AC，BC=BD，由等腰三角形的性质和余角的性质，可得∠DAB=∠BCD=∠BAC=∠BDC，由平行线的性质可得∠CAB=∠ABE=∠CDB，可证△BCD∽△BAE；(3)由勾股定理可得BC2+CF2=BF2，通过证明△FCB∽△BFH，可得BHBF =BFFC，可得结论．本题是几何变换综合题，考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，找到正确的相似三角形是本题的关键．28.【答案】①③【解析】解：(1)由题意①③是⊙O的关联图形，故答案为①③．(2)如图1中，∵直线l1y=−x+b是⊙T的关联直线，∴直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2，当临界状态为l1时，连接TM(M为切点)，∴TM=1，TM⊥MB，且∠MNO=45°，∴△TMN是等腰直角三角形，∴TN=√2，OT=1，∴N(1+√2,0)，把N(1+√2,0)代入y=−x+b中，得到b=1+√2，同法可得当直线l2是临界状态时，b=−√2+1，∴点N的横坐标的取值范围为−√2+1≤≤√2+1．(3)如图3−1中，当点Q在点P是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H与点C重合，此时H(2,0)，得到h的最大值为2，如图3−2中，当点P在点Q是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H(−6,0)得到h的最小值为−6，综上所述，−6≤ℎ<0，0<ℎ≤2．(1)根据⊙A的关联图形的定义判断即可．(2)直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2，求出两种特殊情形的点N的横坐标即可解决问题．(3)分两种情形：如图3−1中，当点Q在点P是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H与点C重合，此时H(2,0)，得到h的最大值为2.如图3−2中，当点P在点Q是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H(−6,0)得到h的最小值为−6，由此即可解决问题．本题属于圆综合题，考查了⊙A的关联图形的定义，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。
精品解析：北京市海淀区中国人民大学附属中学2019-2020学年九年级月考数学试题(解析版)
北京市海淀区中国人民大学附属中学2019-2020学年九年级月考数学试题一.选择题1.我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．故选B ．点睛：掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.二次函数2y x =的图象向左平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（）A.22y x =+ B.22y x =-C.2(2)y x =+ D.2(2)y x =-【答案】C【解析】【分析】根据向左平移横坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵二次函数2y x =的图象向左平移2个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（-2，0），∴新的图象的二次函数表达式是：2(2)y x =+；故选择：C.【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减．3.在△ABC 中，∠C＝90°，以点B 为圆心，以BC 长为半径作圆，点A 与该圆的位置关系为（）A.点A 在圆外B.点A 在圆内C.点A 在圆上D.无法确定【答案】A【解析】∵△ABC 中，∠C＝90°，∴BC<AB ，∵⊙B 的半径为BC，∴点A 在⊙B 外，故选A.4.抛物线y ＝2x 2+4x ﹣4的对称轴是()A.直线x ＝﹣1B.直线x ＝1C.直线x ＝2D.直线x ＝﹣2【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的对称轴公式直接解答即可.【详解】解：y ＝2x 2+4x ﹣4中，∵a ＝2，b ＝4，c ＝﹣4，∴对称轴为：x ＝﹣2b a ＝﹣422⨯＝﹣1.故选：A.【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，熟练掌握对称轴的公式x ＝﹣2b a 是解题的关键.5.如图，在⊙O 中，点C 是»AB 上一点，若∠AOB ＝126°，则∠C 的度数为()A.127°B.117°C.63°D.54°【答案】B【解析】【分析】作圆周角∠ADB，使D在优弧上，根据圆周角定理求出∠D的度数，再根据圆内接四边形性质求出∠C即可.【详解】解：如图：作圆周角∠ADB，使D在优弧上，∵∠AOB＝126°，∴∠D＝12∠AOB＝63°，∵∠ACB+∠D＝180°，∴∠ACB＝180°﹣63°＝117°，故选：B.【点睛】本题主要考查了圆周角定理，灵活的将数形结合是解题的关键.6.二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是（）A.﹣3＜x ＜0B.x ＜﹣3或x ＞0C.x ＜﹣3D.0＜x ＜3【答案】A【解析】【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x 的取值范围即可．【详解】由图可知，﹣3＜x＜0时二次函数图象在一次函数图象上方，所以，满足ax 2+bx+c＞mx+n 的x 的取值范围是﹣3＜x＜0．故选A．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，数形结合准确识图是解题的关键．7.如图，以AB 为直径的⊙O 与弦CD 相交于点E ，且AC ＝2，AE CE ＝1，则弧BD 的长是()A.39B.239C.33D.233π【答案】B【解析】【分析】连接OC ，先根据勾股定理逆定理判断出△ACE 的形状，再由垂径定理得出CE ＝DE ，故 BCBD =，由锐角三角函数的定义求出∠A 的度数，故可得出∠BOC 的度数，求出OC 的长，再根据弧长公式即可得出结论．【详解】连接OC ．∵△ACE 中，AC ＝2，AE =CE ＝1，∴AE 2+CE 2＝AC 2，∴△ACE 是直角三角形，即AE ⊥CD ．∵sin A 12CE AC ==，∴∠A ＝30°，∴∠COE ＝60°，∴CE OC =sin ∠COE ，即12OC =，解得：OC 3=．∵AE ⊥CD ，∴ BC BD =，∴ 2360π31809BD BC ⨯===．故选B ．【点睛】本题考查了垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中．8.已知一个二次函数图象经过P 1（﹣3，y 1），P 2（﹣1，y 2），P 3（1，y 3），P 4（3，y 4）四点，若y 3＜y 2＜y 4，则y 1，y 2，y 3，y 4的最值情况是（）A.y 3最小，y 1最大B.y 3最小，y 4最大C.y 1最小，y 4最大D.无法确定【答案】A【解析】【分析】根据题意判定抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．【详解】∵二次函数图象经过P 1（-3，y 1），P 2（-1，y 2），P 3（1，y 3），P 4（3，y 4）四点，且y 3＜y 2＜y 4，∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，∴P 1（-3，y 1）离对称轴的距离最大，P 3（1，y 3）离对称轴距离最小，∴y 3最小，y 1最大，故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，判定对称轴的位置是解题的关键．二.填空题9.点（2，－3）关于原点对称点P′的坐标为.【答案】（－2,3）【解析】试题分析：两点关于原点对称，则两点的横纵坐标分别互为相反数.考点：点关于原点对称.10.请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为(0,2)的抛物线的表达式：_____________．【答案】22y x =-+(答案不唯一)【解析】【分析】把（0,2）作为抛物线的顶点，令a=-1，然后利用顶点式写出满足条件的抛物线解析式．【详解】解：因为抛物线的开口向下，则可设a=-1，又因为抛物线与y 轴的交点坐标为（0,2），则可设顶点为（0,2），所以此时抛物线的解析式为y=-x 2+2．故答案为y=-x 2+2．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式.11.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点．若∠B ＝110°，则∠ADE 的度数为_____．【答案】110°．【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质即可求解.【详解】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，且∠B ＝110°∴∠ADE=∠B ＝110°故填：110°.【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.12.在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2的图象经过点M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，若﹣2＜x1＜0，2＜x2＜4，则y1_____y2.(用“＜”、“＝”或“＞”号连接)【答案】＜【解析】【分析】根据二次函数的性质即可求解.【详解】解：由y＝x2可知，∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，∵﹣2＜x1＜0，2＜x2＜4，∴0＜﹣x1＜2＜x2，∴y1＜y2.故答案为＜.【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练利用二次函数的增减性比较函数值的大小是解题的关键.13.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP=8，则△PDE的周长为__________．【答案】16【解析】解：∵DA、DC、EB、EC分别是⊙O的切线，∴DA=DC，EB=EC，∴DE=DA+EB，∴PD+PE+DE=PD+DA+PE+BE=PA+PB．∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴PA=PB=8，∴△PDE的周长=16．故答案为16．14.如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：______．【答案】△OCD绕C点逆时针旋转90°，并向右平移2个单位得到△AOB（答案不唯一）．【解析】【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程．【详解】解：△OCD绕C点逆时针旋转90°，并向右平移2个单位得到△AOB（答案不唯一）．故答案为△OCD绕C点逆时针旋转90°，并向右平移2个单位得到△AOB．【点睛】考查了坐标与图形变化-旋转，平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．15.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足y＜0的x的值_____．【答案】2（答案不唯一）【解析】【分析】写出函数图象x轴下方部分的x的取值范围即可．【详解】解：由图可知，1＜x＜3时，y＜0．故答案为2．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．16.如图，⊙O 的动弦AB ，CD 相交于点E ，且AB CD =，BED α∠=(090)α︒<<︒．在①BOD α∠=，②90OAB α∠=︒-，③12ABC α∠=中，一定成立的是____________（填序号）．【答案】①③【解析】【分析】根据AB=CD 证明 AC BD =,得∠ABC=∠BCD,再根据圆周角定理及推论即可得出结论.【详解】解:∵AB=CD,∴ AB CD =,∴ AB BC CD BC -=-,即 AC BD =,∴∠ABC=∠BCD=12∠BOD,∴∠BED=∠ABC+∠BCD=2×12∠BOD=∠BOD,∵BED α∠=,∴BOD α∠=,故①正确;②无法证明;∵∠ABC=12∠BOD,∴∠ABC=12 α,故③成立,综上,答案为①③.【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．三.解答题17.如图，∠DAB ＝∠EAC ，AB ＝AD ，AC ＝AE.求证：BC ＝DE.【答案】证明见解析.【解析】【分析】求出∠DAE ＝∠BAC ，根据SAS 推出△BAC ≌△DAE ，根据全等三角形的性质得出即可.【详解】证明：∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAB+∠BAE ＝∠EAC+∠BAE ，∴∠DAE ＝∠BAC ，在△BAC 和△DAE 中，AB ADBAC DAE AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAC ≌△DAE ，∴BC ＝DE.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活利用题中条件证全等是解题的关键.18.已知一抛物线过点(﹣3，0)、(﹣2，﹣6)，且对称轴是x ＝﹣1.求该抛物线的解析式.【答案】y ＝2x 2+4x ﹣6【解析】【分析】先利用对称性得到抛物线与x轴另一交点是(1，0)，则可设交点式y＝a(x+3)(x﹣1)，然后把(﹣2，﹣6)代入求出a的值即可.【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，抛物线过点(﹣3，0)∴抛物线与x轴另一交点是(1，0)，设抛物线的解析式为y＝a(x+3)(x﹣1)，把(﹣2，﹣6)代入得﹣6＝a•(﹣2+3)•(﹣2﹣1)，解得a＝2，∴抛物线解析式为y＝2(x+3)(x﹣1)，即y＝2x2+4x﹣6.【点睛】本题考查了抛物线的解析式，利用题中所给的点坐标选择合适的解析式的设法是解题的关键，表达形式有一般式、交点式、顶点式.19.已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣2﹣102…y…﹣3﹣4﹣35…(1)求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标；(2)求出该函数图象与x轴的交点坐标.【答案】(1)y＝x2+2x﹣3，顶点坐标为(﹣1，﹣4)；(2)与x轴的交点坐标为(﹣3，0)，(1，0).【解析】【分析】(1)由待定系数法即可得出答案；(2)求出y＝0时x的值，即可得出答案.【详解】解：(1)由题意，得c＝﹣3.将点(2，5)，(﹣1，﹣4)代入，得423534 a ba b+-=⎧⎨--=-⎩解得12 ab=⎧⎨=⎩∴y＝x2+2x﹣3.顶点坐标为(﹣1，﹣4).(2)当y＝0时，x2+2x﹣3=0，解得：x＝﹣3或x＝1，∴函数图象与x轴的交点坐标为(﹣3，0)，(1，0).【点睛】本题考查了二次函数的解析式及与x轴的交点，熟练掌握待定系数法求二次函数表达式是解题的关键.20.下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程已知：⊙O求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于⊙O，且其对角线AC，BD的夹角为60°．作法：如图①作⊙O的直径AC；②以点A为圆心，AO长为半径画弧，交直线AC上方的圆弧于点B；③连接BO并延长交⊙O于点D；所以四边形ABCD就是所求作的矩形.根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：∵点A，C都在⊙O上，∴OA=OC同理OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°（）（填推理的依据）∴四边形ABCD是矩形∵AB==BO，∴四边形ABCD四所求作的矩形【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据要求作图即可得；（2）根据圆周角定理推论及圆的性质求解可得．【详解】（1）如图所示，矩形ABCD即为所求；（2）证明：∵点A，C都在⊙O上，∴OA=OC同理OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°（直径所对圆周角是直角）∴四边形ABCD是矩形∵AB=AO=BO，∴四边形ABCD即为所求作的矩形，故答案为直径所对圆周角是直角，AO．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆周角定理和圆的性质．21.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD外角∠DAF的平分线.(1)求证：AM是⊙O的切线.(2)若C是优弧ABD的中点，AD＝4，射线CO与AM交于N点，求ON的长.【答案】(1)证明见解析；(2)ON＝3.【解析】【分析】(1)根据垂径定理得到AB垂直平分CD，根据线段垂直平分线的性质得到AC＝AD，得到∠BAD＝12∠CAD，由AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，得到∠DAM＝12∠FAD，于是得到结论；(2)证明△ACD是等边三角形，得到CD＝AD＝4，根据直角三角形的性质即可得到结论.【详解】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠BAD＝12∠CAD，∵AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，∴∠DAM＝12∠FAD，∴∠BAM＝12(∠CAD+∠FAD)＝90°，∴AB⊥AM，∴AM是⊙O的切线；(2)解：∵AC＝AD，C是优弧ABD的中点，∴AC＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴CD ＝AD ＝4，60CAD ACD ︒∠=∠=由（1）知AB 垂直平分CD ，则AB 平分CAD ∠∴CE ＝DE ＝2，1302CAE CAD ︒∠=∠=OC OA= 30ACO CAE ︒∴∠=∠=30OCE ACD ACO ︒∴∠=∠-∠=在Rt OCE 中，设OC x =，则12OE x =根据勾股定理得222OE CE OC +=，即2221()22x x+=解得3x =∴OC ＝OA ＝3，∵∠ANO ＝∠OCE ＝30°，∴ON ＝2OA ＝3.【点睛】本题是圆与三角形的综合题，涉及的知识点主要有切线的判定、垂径定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形30度角的性质，灵活利用圆与三角形的相关性质是解题的关键.22.生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O 为圆心AB 为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A 到顶棚的距离为0.8a ，顶棚到路面的距离是3.2a ，点B 到路面的距离为2a ．请你求出路面的宽度l ．（用含a 的式子表示）【答案】42a 【解析】【分析】连接OC,由题意知AB 6a =,OC OB 3a,OE a ===,AB CD ⊥于E ，根据勾股定理可求出CE 的值,即可求出CD 的值.【详解】解：如图，连接OC ．由题意知0.8 3.226AB a a a a =++=．3OC OB a ∴==．OE OB BE a ∴=-=．由题意可知AB CD ⊥于E ，∴2CD CE=.在Rt OCE中，CE===．CD∴=．【点睛】本题考查通过建模把实际问题转化为数学模型，这充分体现了数学的实用性．23.有这样一个问题：探究函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)的图象与性质.小东对函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完成：(1)函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)的自变量x的取值范围是_______；(2)下表是y与x的几组对应值.x…﹣2﹣10123456…y…m﹣24﹣600062460…①m＝_____；②若M(﹣7，﹣720)，N(n，720)为该函数图象上的两点，则n＝_____；(3)在平面直角坐标系xOy中，A(x A，y A)，B(x B，﹣y A)为该函数图象上的两点，且A为2≤x≤3范围内的最低点，A点的位置如图所示.①标出点B的位置；②画出函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)(0≤x≤4)的图象.③写出直线y＝12x﹣1与②中你画出图象的交点的横坐标之和为______.【答案】(1)全体实数；(2)①-60；②11；(3)①见解析；②见解析；③0.【解析】【分析】(1)函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)的自变量x的取值范围是全体实数；(2)①把x＝﹣2代入函数解析式可求得m的值；②观察给定表格中的数据可发现函数图象上的点关于点(2，0)对称，再根据点M、N的坐标即可求出n值；(3)①找出点A关于点(2，0)对称的点B1，再找出与点B1纵坐标相等的B2点；②根据表格描点、连线即可得出函数图象；③根据图象的性质以及直线的性质即可求得.【详解】解：（1）x取任何数都可以，因此函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)的自变量x的取值范围是全体实数（2）①当x＝﹣2时，y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)＝﹣60.故答案为：﹣60.②观察表格中的数据可得出函数图象关于点(2，0)中心对称，∴﹣7+n＝2×2，解得：n＝11.故答案为：11.(3)①作点A关于点(2，0)的对称点B1，再在函数图象上找与点B1纵坐标相等的B2点.②根据表格描点、连线，画出图形如图所示.③函数图象关于点(2，0)中心对称，且直线y＝12x﹣1经过此点，∴直线y＝12x﹣1与图象的交点的纵坐标化为相反数，∴交点的纵坐标之和为0，故答案为0.【点睛】本题考查了函数的三种表示，列表法、图像法、解析式，熟练掌握这三者间的联系是解题的关键.24.已知直线l：y=12x+1与抛物线y＝ax2﹣2x+c(a＞0)的一个公共点A恰好在x轴上，点B(4，m)在抛物线上.(Ⅰ)用含a的代数式表示c.(Ⅱ)抛物线在A，B之间的部分(不包含点A，B)记为图形G，请结合函数图象解答：若图形G在直线l下方，求a的取值范围.【答案】(Ⅰ)c＝﹣4a﹣4；(Ⅱ)0＜a≤5 4.【解析】【分析】(1)先利用一次函数解析式求出A点坐标为(﹣2，0)，然后把A点坐标代入抛物线解析式即可得到a与c的关系式；(2)先分别计算出x＝4时所对应的一次函数值和二次函数值，然后利用图形G在直线l下方得到12﹣12a≤3，然后解不等式即可.【详解】解：(Ⅰ)当y＝0时，12x+1＝0，解得x＝﹣2，则A点坐标为(﹣2，0)，把A(﹣2，0)代入y＝ax2﹣2x+c得4a+4+c＝0，所以c＝﹣4a﹣4；(Ⅱ)当x＝4时，y＝ax2﹣2x+c＝16a﹣8﹣4a﹣4＝12a﹣12，则B(4，12a﹣12)，当x＝4时，y＝12x+1＝3，因为图形G在直线l下方，所以12﹣12a≤3，解得a≤5 4，所以a的取值范围为0＜a≤5 4.【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合，灵活的将函数图像与其解析式相结合是解题的关键. 25.如图1，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ=α（0°＜α＜60°且α≠30°）.（1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系.【答案】（1）①602α︒+；，理由见解析【解析】【分析】（1）当0°＜α＜30°时，由∠BQE=60°+2α可得∠QEC=120°+α，再利用△QAF≌△QEC可得QF=QC，由等腰三角形三线合一的性质可得∠ACQ=30°，得到△QCF为等腰三角形，再利用解直角三角形即可得出结果;(2)由旋转的性质可得线段CE，AC，CQ 之间的数量关系.【详解】①画出的图形如图9所示．∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC=60°．∵CD 为等边三角形的中线，Q 为线段CD 上的点，由等边三角形的对称性得QA=QB．∵∠DAQ=α，∴∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α．∵线段QE 为线段QA 绕点Q 顺时针旋转所得，∴QE =QA．∴QB=QE．可得1802BQE QBE ∠=︒-∠()180260602αα=︒-︒-=︒+．②CE AC +=．证法一：如图10，延长CA 到点F，使得AF=CE，连接QF，作QH⊥AC 于点H．∵∠BQE=60°+2α，点E 在BC 上，∴∠QEC=∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+(60°-α)=120°+α．∵点F 在CA 的延长线上，∠DAQ=α，∴∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α．∴∠QAF=∠QEC．又∵AF =CE，QA=QE，∴△QAF≌△QEC．∴QF=QC．∵QH⊥AC 于点H，∴FH=CH，CF=2CH．∵在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在CD 上，∴∠ACQ=12ACB ∠=30°，即△QCF 为底角为30°的等腰三角形．∴3cos cos302CH CQ HCQ CQ CQ =⋅∠=⋅︒=．∴CE AC AF AC CF +=+=23CH CQ ==．即3CE AC CQ +=．思路二：如图11，延长CB 到点G，使得BG=CE，连接QG，可得△QBG≌△QEC，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一同理可得CE AC BG BC CG +=+=3CQ =．（2）如图12，当30°＜α＜60°时，3AC CE CQ -=．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质及特殊的三角函数值等知识点，本题综合性较强，有一定的难度.26.在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的限距点的定义如下：若P′为直线PC 与⊙C 的一个交点，满足r≤PP′≤2r ，则称P′为点P 关于⊙C 的限距点，如图为点P 及其关于⊙C 的限距点P′的示意图.(1)当⊙O 的半径为1时.①分别判断点M(3，4)，N(52，0)，T(12)关于⊙O 的限距点是否存在？若存在，求其坐标；②点D 的坐标为(2，0)，DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ，点P 在△DEF 的边上.若点P 关于⊙O 的限距点P′存在，求点P′的横坐标的取值范围；(2)保持(1)中D ，E ，F 三点不变，点P 在△DEF 的边上沿E→F→D→E 的方向运动，⊙C 的圆心C 的坐标为(1，0)，半径为r ，请从下面两个问题中任选一个作答.问题1：若点P 关于⊙C 的限距点P′存在，且P′随点P 的运动所形成的路径长为πr ，则r 的最小值为__________.问题2：若点P 关于⊙C 的限距点P′不存在，则r 的取值范围为_________.【答案】(1)①点M 、点T 关于⊙O 的限距点不存在，点N 关于⊙0的限距点存在，坐标为(1，0)；②﹣1≤x≤﹣12或x ＝1；(2)问题1：9；问题2：0＜r ＜16.【解析】【分析】(1)①根据限距点的定义即可判断.②分三种情形：①当点P 在线段EF 上时，②当点P 在线段DE 、DF(不包括端点)上时，③当点P 与点D 重合时，分别说明即可解决问题.(2)问题1：如图2中，△PP′C 是等边三角形，点P 在PP′上运动时，有限距点，列出不等式即可解决.问题2：如图2中，当点H 不存在限距点时，点P 就不存在限距点，列出不等式即可解决.【详解】解：(1)①如图M(3，4)，N(52，0)，T(1，)55,,2MO NO TO ∴=====当⊙O 的半径为1时即1,22r r =='15142MM MO =-=-=>，点M 的限距点不存在；'111TT TO =-=<，点T 的限距点不存在；'511 1.52NN NO =-=-=，1 1.52<<，点N 的限距点存在即为'(1,0)N 所以点M 、点T 关于⊙O 的限距点不存在，点N 关于⊙O 的限距点存在，坐标为(1，0).②∵点D 坐标为(2，0)，⊙O 半径为1，DE 、DF 分别切⊙O 于E 、F ，2,1,90OD OE OED ︒∴==∠=1cos 2OEEOD OD ∴∠==60EOD ︒∴∠=13cos 60,sin 6022OG OE EG OE ︒︒∴==== 1(,22E ∴由对称可得F(12，﹣2)∴切点坐标为(12，2)，(12，﹣2)，如图所示，不妨设点E(12，2)，点F(12，﹣2)，EO 、FO 的延长线分别交⊙O 于点E′、F′，则E′(﹣12，﹣32)，F′(﹣12，32).设点P 关于⊙O 的限距点的横坐标为x ，①当点P 在线段EF 上时，直线PO 与⊙O 的交点P′满足1≤PP′≤2，故点P 关于⊙O 的限距点存在，其横坐标x 满足﹣1≤x≤﹣12.②当点P 在线段DE 、DF(不包括端点)上时，直线PO 与⊙O 的交点P′满足0＜PP′＜1或2＜PP′＜3，故点P 关于⊙O 的限距点不存在.③当点P 与点D 重合时，直线PO 与⊙O 的交点P′(1，0)，满足PP′＝1，故点P 关于⊙O 的限距点存在，其横坐标x ＝1.综上所述点P 关于⊙O 的限距点的横坐标x 的范围为﹣1≤x≤﹣12或x ＝1.(2)问题1：如图中，∵△DEF是等边三角形，点C是△DEF的外接圆的圆心，∵若点P关于⊙C的限距点P′存在，且P′随点P的运动所形成的路径长为πr，∴图中△PP′C是等边三角形，点P在PP′上运动时，有限距点，∵PC∥ED，∴PCED＝CHHD＝13，∴PC＝3 3，由题意：r≤33﹣r≤2r，∴33 96r ，∴r的最小值为3 9 .问题2：如图中，当点H不存在限距点时，点P就不存在限距点，∵HC＝1 2，∴12﹣r＞2r，∴r＜1 6，∴0＜r＜16时点P的限距点不存在.故答案分别为39，0＜r＜16.【点睛】本题考查了圆与三角形的综合，且是知识迁移创新题，正确理解限距点的定义是解题的关键.。
2019-2020学年北京人大附中九年级(上)限时练习数学试卷(4)
2019-2020学年北京人大附中九年级（上）限时练习数学试卷（4）一、选择题（每小题4分，共32分）1．将抛物线y＝x2沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移1个单位，则得到的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣1B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x+1）2﹣1 2．如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB＝100°，则∠ACB的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．80°3．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB＝20°，则∠BOD等于（）A．20°B．40°C．80°D．70°4．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝14，BC＝7．则∠BDC的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．3B．2C．6D．46．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（）A．a＜0B．c＞0C．0＜﹣＜1D．a+b+c＜07．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（）A．16B．14C．12D．108．如图，点A，B，C是⊙O上的三个点，点D在BC的延长线上．有如下四个结论：①在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BCE＝∠DCE；②在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BAE＝∠AEC；③在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得EO平分∠AEC；④在∠ABC所对的弧上任意取一点E（不与点A，C重合），∠DCE＝∠ABO+∠AEO均成立．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①③④C．②④D．①②③④二、填空题（9-13每题4分14-16每题3分，共29分）9．半径为3，圆心角120度的扇形面积为．10．写出一个对称轴为x＝1的二次函数的解析式：．11．如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为．12．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB＝70°，则∠ADC的度数是．13．如图，PA与⊙O相切于A点，若PA＝4，PB＝2，则⊙O的半径为．14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若方程ax2+bx+c＝k有两个实数根1＜x＜3范围内，则k的取值范围是．15．在平面直角坐标系中半径为5的⊙C与x轴交于P（1，0）与Q（﹣5，0），则圆心C 的坐标为．16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为上一点，若PB＝1，PA＝2，则PD的长是．三、解答题（17题7分，18-21题，每题8分，共39分）17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．（1）求证：∠A＝∠BCD；（2）若AB＝10，CD＝8，求BE的长．18．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程已知射线AB；求作：∠PAB，使得∠PAB＝30°．作法如图①在射线AB上取一点O以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；②以C为圆心OC为半径作弧，与⊙O交于点P，作射线AP，所以∠PAB即为所求的角；根据上述的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明证明：连接PO、PC，在⊙O和⊙C中∵OP＝OC＝．∴△POC是等边三角形（）（填推理的依据）∴∠POC＝60°（）填推理的依据）∵＝∴∠PAB═∠POB＝30°（）（填推理的依据）19．已知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x，y满足下表：（1）直接写出m的值和函数的对称轴；（2）求该二次函数的解析式；（3）若A（p，y1）、B（p+1，y2）两点都在该函数的图象上，且p＜0结合函数图象比较y1与y2的大小，并说明理由．20．如图，AB是⊙O的直径，半径OD⊥弦AC于点E，F是BA延长线上一点，∠CDB＝∠BFD．（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明；（2）若CD∥AB，AB＝4，求DF的长．21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3．（1）直接写出抛物线的顶点坐标（用a的代数式表示）；（2）当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．求点B的坐标；（3）将抛物线在直线y＝a上方的部分沿直线y＝a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与（2）中得到的线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．22．已知，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点F为CD上任意一点（不与C、D重合），过点F作CD的垂线，交BD于点E，连接AE．（1）①依题意补全图1；②线段EF、CF、AE之间的等量关系是．（2）在图1中将△DEF绕点D逆时针旋转，当点F、E、C在一条直线上（如图2）．线段EF、CE、AE之间的等量关系是．写出判断线段EF、CE、AE之间的等量关系的思路（可以不写出证明过程）。
2019年北京人大附中中考数学最后一卷
2019年北京人大附中中考数学最后一卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）1．（3分）利用尺规作图，作△ABC边上的高AD，正确的是（）A．B．C．D．2．（3分）据央广网消息，近年来，数字技术推动数字贸易兴起，通过采用数字技术，提高员工生产力、降低成本、创造新收益，数字贸易在中国国内创造了高达人民币3200000000000元的经济效益．将3200000000000用科学记数法表示应为（）A．3.2×1011B．3.2×1012C．32×1012D．0.32×1013 3．（3分）如图是某个几何体的展开图，则这个几何体是（）A．三棱柱B．四棱柱C．四棱锥D．三棱锥4．（3分）如果一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．95．（3分）实数a，b在数轴上的点的位置如图所示，则下列不等关系正确的是（）A．a+b＞0B．a﹣b＜0C．a2＜b2D．6．（3分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中12个月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示10月的平均最高气温约为15℃，B点表示4月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）（A．各月的平均最低气温都在0以上B．平均最高气温高于20℃的月份有5个C．3月和11月的最高气温基本相同D．7月的平均温差比1月的平均温差大7．（3分）小雨利用几何画板探究函数y＝图象，在他输入一组a，b，c的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足（）A．a＞0，b＞0，c＝0C．a＞0，b＝0，c＝0B．a＜0，b＞0，c＝0D．a＜0，b＝0，c＞0二.填空题（本题共24分，每小题3分）8．（3分）要使分式有意义，则字母x的取值范围是．9．3分）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若E是上一点，则∠DEC＝°．“10．（3 分）如图，在 5×5 的正方形（每个小正方形的边长为 1）网格中，格点上有 A 、B 、C 、D 、E 五个点，如果要求连接两个点之后线段的长度大于 3 且小于 4，则可以连接（写出一个答案即可）11．（3 分）用一组 a ，b ，c （c ≠0））的值说明命题“如果 a ＜b ，那么 ＜ ”是错误的，这组值可以是 a ＝，b ＝ ，c ＝ ．12．（3 分）如图，在菱形 ABCD 中，点 E ，F 分别在 AD ，BD 上，EF ∥AB ，DE ：EA ＝2：3，若 EF ＝4，则 BC 的长为．13．（3 分）如果 a 2+2a ﹣1＝0，那么代数式（a ﹣）• 的值是 ．14．（3 分）在读书活动中，某同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多 3 人，甲班学生读书 480 本，乙班学生读书 360 本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的．求甲、乙两班各有多少人？设乙班有 x人，则甲班有（x +3）人，依题意，可列方程为．15．（3 分）下列对于随机事件的概率的描述：①抛掷一枚均匀的硬币，因为“正面朝上”的概率是0.5，所以抛掷该硬币 100 次时，就会有 50 次“正面朝上”；②一个不透明的袋子里装有 4 个黑球，1 个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，恰好是白球的概率是 0.2；③测试某射击运动员在同一条件下的成绩，随着射击次数的增加， 射中 9 环以上”的频率总是在 0.85 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该运动员“射中 9 环以上”的概率是 0.85其中合理的有（只填写序号）．三.解答题（本题共52分，第17~22题，每小题6分，第23、24题，每小题6分）16．（6分）计算：（）﹣1﹣6tan30°+（π+2019）017．（6分）解不等式18．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m﹣1）2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若方程的两个根都不为0，写出一个满足条件的m值，并求此时方程的根．19．（6分）已知：如图，菱形ABCD，分别延长AB，CB到点F，E，使得BF＝BA，BE＝BC，连接AE，EF，FC，CA．（1）求证：四边形AEFC为矩形；（2）连接DE交AB于点O，如果DE⊥AB，AB＝4，求DE的长．20．（6分）如图，直线y＝2x+6与反比例数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x 轴交于点B，与y轴交于点D．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）在y轴上有一动点P（0，n）（n＜6），过点P作平行于x轴的直线，求反比例函数的图象于点M，交直线AB于点N，连接OM，MN①当n＝4时，判断四边形BOMN的形状，并简要写出证明思路；②若△S BDM＞△S BOD，直接写出点P的纵坐标n的取值范围．（21．（6 分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE 是 BC 边上的高线，BM 平分∠ABC 交 AE 于点 M ，经过 B ，M 两点的⊙O 交 BC 于点 G ，交 AB 于点 F ，FB 为⊙O 的直径．（1）求证：AM 是⊙O 的切线；（2）当 BE ＝3，cosC ＝ 时，求⊙O 的半径．22．（8 分）已知二次函数 y ＝ax 2﹣2ax ﹣2（a ≠0）（1）该二次函数图象的对称轴是直线．（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x ≤5 时，函数图象的最高点为 M ，最低点为 N ，点 M 的纵坐标为，求点 M 和点 N 的坐标；（3）对于该二次函数图象上的两点 A （x 1，y 1）B （x 2，y 2），设 t ≤x 1≤t +1，当 x 2≥3 时， 具有 y 1≥y 2，请结合图象，直接写出 t 的取值范围．23． 8分）已知菱形 ABCD 中，∠ABC ＝120°，E 为边 AB 上一点，连接 ED ，∠ADE ＝α，将线段 DE 绕着点 E 旋转，使得点 D 落在 DB 的延长线上点 F 处，BC 上取一点 G ，使得BG ＝BF ，连接 EG ．（1）①依题意补全图形；②求∠FED 的角度（用 α 表示）；（2）探究 AE ，CG ，FD 的数量关系，并证明．2019年北京人大附中中考数学最后一卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分）1．（3分）利用尺规作图，作△ABC边上的高AD，正确的是（）A．B．C．D．【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D，故选：B．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．2．（3分）据央广网消息，近年来，数字技术推动数字贸易兴起，通过采用数字技术，提高员工生产力、降低成本、创造新收益，数字贸易在中国国内创造了高达人民币3200000000000元的经济效益．将3200000000000用科学记数法表示应为（）A．3.2×1011B．3.2×1012C．32×1012D．0.32×1013【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将3200000000000用科学记数法表示应为3.2×1012．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）如图是某个几何体的展开图，则这个几何体是（）A．三棱柱B．四棱柱C．四棱锥D．三棱锥【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．【解答】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．故选：A．【点评】本题考查的是三棱柱的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．4．（3分）如果一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．9【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．【解答】解：设多边形的边数为n，依题意，得（n﹣2）•180°＝3×360°，解得n＝8，故选：C．【点评】此题考查根据多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是利用不变的数量多边形的外角和360°．5．（3分）实数a，b在数轴上的点的位置如图所示，则下列不等关系正确的是（）A．a+b＞0B．a﹣b＜0C．a2＜b2D．【分析】根据点在数轴上的位置，可得a，b的关系，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：由数轴，得b＜﹣1，0＜a＜1．A、a+b＜0，故A错误；B、a﹣b＞0，故B错误；C、a2＜1＜b2，故C符合题意；D、＜0，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了实数与数轴，利用点在数轴上的位置得出b＜﹣1，0＜a＜1是解题关键，又利用了实数的运算．6．（3分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中12个月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示10月的平均最高气温约为15℃，B点表示4月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0以上B．平均最高气温高于20℃的月份有5个C．3月和11月的最高气温基本相同D．7月的平均温差比1月的平均温差大【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0以上，正确，故这个选项不符合题意；B．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，错误，故这个选项符合题意；C．3月和11月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确，故这个选项不符合题意；D．7月的平均温差大约在10°左右，1月的平均温差在5°左右，故7月的平均温差比1月的平均温差大，正确，故这个选项不符合题意，故选：B．【点评】本题主要考查象形统计图的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．7．（3分）小雨利用几何画板探究函数y＝图象，在他输入一组a，b，c的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足（）A．a＞0，b＞0，c＝0C．a＞0，b＝0，c＝0B．a＜0，b＞0，c＝0D．a＜0，b＝0，c＞0【分析】从函数整体图象来看，发现部分图象有类似反比例函数，再从y轴右侧图象，判断图象虚线代表的意义，即可求解．【解答】设虚线为x＝m（显然，m＞0），易知两条由图中可知，当x＜m时，y＞0，|x﹣c|＞0，所以＞0，当x＞m时，y＜0，|x﹣c|＞0，所以＜0，可得（x﹣b）在m的左右两侧时，符号是不同的，即b＝m＞0；当x＜b时，x﹣b＜0，而y＞0，所以a＜0显然另外一条分割线为x＝0＝c，故选：B．【点评】本题考查函数的图象，要求学生根据学过的反比例函数、分式等知识，通过函数图象，大致发现图象的一些特征，此类题目难度较大．二.填空题（本题共24分，每小题3分）8．（3分）要使分式有意义，则字母x的取值范围是x≠﹣3．【分析】根据分母不能为零，可得答案．【解答】解：由题意，得x+3≠0，解得x≠＝﹣3，故答案为：x≠﹣3．【点评】本题考查了分是有意义的条件，利用分母不能为零得出不等式是解题关键．（9．3分）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若E是上一点，则∠DEC＝45°．【分析】连接OD、OC，如图，根据正方形的性质得到∠COD＝90°，然后根据圆周角定理得到∠CED的度数．【解答】解：连接OD、OC，如图，∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴∠COD＝90°，∴∠COD＝90°，∴∠CED＝∠COD＝45°．故答案为45．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．10．（3分）如图，在5×5的正方形（每个小正方形的边长为1）网格中，格点上有A、B、C、D、E五个点，如果要求连接两个点之后线段的长度大于3且小于4，则可以连接AD（写出一个答案即可）【分析】根据勾股定理求出AD，根据算术平方根的大小比较方法解答．【解答】解：由勾股定理得，AD＝3＜＜4，故答案为：AD．＝，【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．11．（3分）用一组a，b，c（c≠0））的值说明命题“如果a＜b，那么＜”是错误的，这组值可以是a＝1，b＝2，c＝﹣1．【分析】根据题意选择a、b、c的值即可．【解答】解：当a＝1，b＝2，c＝﹣1时，1＜2，而，∴命题“如果a＜b，那么＜”是错误的，故答案为：1；2；﹣1．【点评】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．12．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AD，BD上，EF∥AB，DE：EA＝2：3，若EF＝4，则BC的长为10．【分析】根据已知条件EF∥AB可以判定△DEF∽△DAB，则该相似三角形的对应边成比例：＝，则易求AB＝12；根据菱形的性质即可得到结论．【解答】解：由DE：EA＝2：3，得∵EF∥AB，∴△EFD∽△ABD，∴＝，∵EF＝4，∴＝，解得AB＝10，∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝10．故答案为：10．＝，【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．13．（3分）如果a2+2a﹣1＝0，那么代数式（a﹣）•的值是1．【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a2+2a﹣1＝0，可以得到a2+2a＝1，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：（a﹣）•＝＝＝a（a+2）＝a2+2a，∵a2+2a﹣1＝0，∴a2+2a＝1，∴原式＝1，故答案为：1．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．14．（3分）在读书活动中，某同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多3人，甲班学生读书480本，乙班学生读书360本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的．求甲、乙两班各有多少人？设乙班有x 人，则甲班有（x+3）人，依题意，可列方程为×＝．【分析】先设乙班的人数为x人，那么甲班人数为（x+3）人，根据甲班学生读书480本，乙班学生读书360本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的倍，可以找到一个等量关系，可列出方程．【解答】解：设乙班有x人，则甲班有（x+3）人，根据题意得：故答案是：×＝×＝．．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．“ “15．（3 分）下列对于随机事件的概率的描述：①抛掷一枚均匀的硬币，因为“正面朝上”的概率是0.5，所以抛掷该硬币 100 次时，就会有 50 次“正面朝上”；②一个不透明的袋子里装有 4 个黑球，1 个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，恰好是白球的概率是 0.2；③测试某射击运动员在同一条件下的成绩，随着射击次数的增加， 射中 9 环以上”的频率总是在 0.85 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该运动员“射中 9 环以上”的概率是 0.85其中合理的有 ②③ （只填写序号）．【分析】根据事件的类型及概率的意义找到正确选项即可．【解答】解：①抛掷一枚均匀的硬币，因为“正面朝上”的概率是0.5，所以抛掷该硬币100 次时，大约有 50 次“正面朝上”，此结论错误；②一个不透明的袋子里装有 4 个黑球，1 个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，恰好是白球的概率是＝0.2，此结论正确；③测试某射击运动员在同一条件下的成绩，随着射击次数的增加， 射中 9 环以上”的频率总是在 0.85 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该运动员“射中 9 环以上”的概率是 0.85，此结论正确；故答案为：②③．【点评】本题考查了概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在 0 和 1 之间．三.解答题（本题共 52 分，第 17~22 题，每小题 6 分，第 23、24 题，每小题 6 分）16．（6 分）计算：（ ）﹣1﹣6tan30°+（π+2019）0【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（ ）﹣1﹣6tan30°+（π+2019）0＝3﹣6×+2 ﹣1＝2﹣2＝2+2（【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．17．（6 分）解不等式【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得：x ≤﹣0.5，解不等式②，得：x ＞﹣6，则不等式组的解集为﹣6＜x ≤﹣0.5．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18．（6 分）关于 x 的一元二次方程 x 2﹣2mx +（m ﹣1）2＝0 有两个不相等的实数根．（1）求 m 的取值范围；（2）若方程的两个根都不为 0，写出一个满足条件的 m 值，并求此时方程的根．【分析】 1）根据根的判别式即可求出 m 的范围；（2）根据题意写一个 m 的值，然后代入方程求出方程的根即可．【解答】解：（△1）由题意可知：＝4m 2﹣4（m ﹣1）2＝4m 2﹣4（m 2﹣2m +1）＝8m ﹣4＞0，∴m ＞ ；（2）令 m ＝2，∴方程为：x 2﹣4x +1＝0，∴x 2﹣4x +4＝3，∴（x ﹣2）2＝3，∴x ＝2±；【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解根的判别式以及熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．（19．（6分）已知：如图，菱形ABCD，分别延长AB，CB到点F，E，使得BF＝BA，BE＝BC，连接AE，EF，FC，CA．（1）求证：四边形AEFC为矩形；（2）连接DE交AB于点O，如果DE⊥AB，AB＝4，求DE的长．【分析】1）根据菱形的性质以及矩形的判定证明即可；（2）连接DB，根据菱形的判定和性质以及直角三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵BF＝BA，BE＝BC，∴四边形AEFC为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴BA＝BC，∴BE＝BF，∴BA+BF＝BC+BE，即AF＝EC，∴四边形AEFC为矩形；（2）连接DB，由（1）可知，AD∥EB，且AD＝EB，∴四边形AEBD为平行四边形，∵DE⊥AB，∴四边形AEBD为菱形，∴AE＝EB，AB＝2AO，ED＝2EO，∵菱形ABCD中，EB＝AB，AB＝4，（∴AO ＝2，AE ＝4，∴在 △Rt AEO 中，EO ＝2，∴ED ＝4．【点评】此题考查了矩形的性质与判定、菱形的性质等知识．根据菱形的判定和性质以及直角三角形的性质解答是关键．20．（6 分）如图，直线 y ＝2x +6 与反比例数 y ＝ （x ＞0）的图象交于点 A （1，m ），与 x轴交于点 B ，与 y 轴交于点 D ．（1）求 m 的值和反比例函数的表达式；（2）在 y 轴上有一动点 P （0，n ）（n ＜6），过点 P 作平行于 x 轴的直线，求反比例函数的图象于点 M ，交直线 AB 于点 N ，连接 OM ，MN①当 n ＝4 时，判断四边形 BOMN 的形状，并简要写出证明思路；②若 △S BDM ＞△S BOD ，直接写出点 P 的纵坐标 n 的取值范围．【分析】 1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 m 的值，进而可得出点 A 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数的解析式；（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，可求出点B ，M ，N 的坐标，进而可得出 OB ＝MN ，结合 MN ∥OB 可得出四边形 BOMN 为平行四边形；②过点 O 作直线 l ∥AB ，交反比例数 y ＝ 的图象于点 M ，由直线 AB 的解析式可得出直线 l 的解析式，联立直线 l 和反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点 M 1， M 2 的坐标，同理，可求出直线y ＝2x +12 与反比例函数 y ＝ 的图象交点的坐标，结合函数图象及 △S BDM ＞S △BOD ，可求出 n 的取值范围．同理，可求出直线 y ＝2x +12 与反比例函数 y ＝ 的图象交点 M （﹣3﹣ 6【解答】解：（1）当 x ＝1 时，m ＝2x +6＝8，∴点 A 的坐标为（1，8）．∵点 A （1，8）在反比例数 y ＝ 的图象上，∴k ＝1×8＝8，∴反比例函数的解析式为 y ＝ ．（2）①四边形 BOMN 为平行四边形．证明：当 y ＝0 时，2x +6＝0，解得：x ＝﹣3，∴点 A 的坐标为（﹣3，0），OB ＝3；当 y ＝4 时，2x +6＝4， ＝4，解得：x ＝﹣1，x ＝2，∴点 M 的坐标为（2，4），点 N 的坐标为（﹣1，4），∴MN ＝2﹣（﹣1）＝3，∴MN ＝OB ．∵MN ∥x 轴，OB 在 x 轴上，∴MN ∥OB ，∴四边形 BOMN 为平行四边形．②过点 O 作直线 l ∥AB ，交反比例数 y ＝ 的图象于点 M ．∵直线 AB 的解析式为 y ＝2x +6，∴直线 l 的解析式为 y ＝2x ．联立直线 l 和反比例函数解析式成方程组，得：，解得：， ，∴点 M 1 的坐标为（2，4），点 M 2 的坐标为（﹣2，﹣4）；M 4（﹣3+，6+2 ）（舍去）．∵△S BDM ＞△S BOD ，3， ﹣2 ），∴n＜﹣4或6﹣2＜n＜0或0＜n＜4．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、平行线的性质以及平行四边形的判定，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，求出m，k的值；（2）①利用“函数图象上点的坐标特征可求出”证出四边形BOMN为平行四边形；②利用极限值法求出△S BDM＝△S BOD时n的值．21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）当BE＝3，cosC＝时，求⊙O的半径．（【分析】1）连结OM，易证OM∥BC，由于AE是BC边上的高线，从而可知AM⊥OM，所以AM是⊙O的切线．（2）由于AB＝AC，从而可知EC＝BE＝3，由cosC＝＝，可知：AC＝EC＝，，再证明cos∠A O M＝cosC＝，所以AO＝，易证△A O M∽△ABE，所以从而可求出OM＝【解答】解：（1）连结OM．∵BM平分∠ABC∴∠1＝∠2又OM＝OB∴∠2＝∠3∴OM∥BC∵AE是BC边上的高线∴AE⊥BC，∴AM⊥OM∴AM是⊙O的切线（2）∵AB＝AC∴∠ABC＝∠C，AE⊥BC，∴E是BC中点∴EC＝BE＝3∵cosC＝＝∴AC＝EC＝∵OM∥BC，∠A O M＝∠ABE∴△A O M∽△ABE∴（又∵∠ABC ＝∠C∴∠A O M ＝∠C在 △Rt A O M 中cos ∠A O M ＝cosC ＝ ，∴∴AO ＝AB ＝+OB ＝而 AB ＝AC ＝∴＝∴OM ＝∴⊙O 的半径是【点评】本题考查圆的综合问题，涉及锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，综合程度较高，需要学生综合运用知识的能力．22．（8 分）已知二次函数 y ＝ax 2﹣2ax ﹣2（a ≠0）（1）该二次函数图象的对称轴是直线 x ＝1．（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x ≤5 时，函数图象的最高点为 M ，最低点为 N ，点 M 的纵坐标为，求点 M 和点 N 的坐标；（3）对于该二次函数图象上的两点 A （x 1，y 1）B （x 2，y 2），设 t ≤x 1≤t +1，当 x 2≥3 时，具有 y 1≥y 2，请结合图象，直接写出 t 的取值范围．【分析】 1）利用对称轴公式计算即可； （2）构建方程求出 a 的值即可解决问题；（3）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得 t 的取值范围．（【解答】解：（1）∵二次函数 y ＝ax 2﹣2ax ﹣2（a ≠0），∴该二次函数图象的对称轴是直线 x ＝﹣＝1，故答案为：x ＝1；（2）∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 x ＝1，﹣1≤x ≤5，∴当 x ＝5 时，y 取得最大值，即 M （5，），∴，得 a ＝ ，∴该二次函数的表达式为 y ＝ax 2﹣2ax ﹣2＝a （x ﹣1）2﹣a ﹣2＝ （x ﹣1）2﹣ ，即点 N 的坐标为（1，）．（3）当 a ＞0 时，该函数的图象开口向上，对称轴为直线 x ＝1，∵t ≤x 1≤t +1，当 x 2≥3 时，具有 y 1≥y 2，点 A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）在该函数图象上，∴t ≥3 或 t +1≤1﹣（3﹣1），解得，t ≥3 或 t ≤﹣2；当 a ＜0 时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线 x ＝1，∵t ≤x 1≤t +1，当 x 2≥3 时，具有 y 1≥y 2，点 A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）在该函数图象上，∴，∴﹣1≤t ≤2．【点评】本题考查二次函数的性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23． 8 分）已知菱形 ABCD 中，∠ABC ＝120°，E 为边 AB 上一点，连接 ED ，∠ADE ＝α，将线段 DE 绕着点 E 旋转，使得点 D 落在 DB 的延长线上点 F 处，BC 上取一点 G ，使得BG ＝BF ，连接 EG ．（1）①依题意补全图形；②求∠FED 的角度（用 α 表示）；（2）探究 AE ，CG ，FD 的数量关系，并证明．（【分析】1）①根据题意可以补全图形；②根据菱形的性质和等腰三角形的性质及三角形内角和定理可解答；（2）连接△DG，证明EBF≌△EBG（SAS），得EF＝EG＝ED，∠GEB＝∠FEB＝α，再证明△DEG是等边三角形，接着证明△ADE≌△BDG（SAS），可解答．【解答】解：（1）①补全图形，如图1所示：②菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠ADB＝∠ADC＝60°，∵∠ADE＝α，∴∠EDF＝60°﹣α，由旋转得：ED＝EF，∴∠EFD＝∠EDF＝60°﹣α，∴∠DEF＝180°﹣2（60°﹣α）＝60°+2α；（2）AE，CG，FD的数量关系为：FD＝2AE+CG，理由是：如图2，连接DG，△BEF中，∠ABD＝60°，∠EFD＝60°﹣α，∴∠BEF＝∠ABD﹣∠EFD＝60°﹣（60°﹣α）＝α，∵BE＝BE，∠EBG＝∠EBF＝120°，BG＝BF，∴△EBF≌△EBG（SAS），∴EF＝EG＝ED，∠GEB＝∠FEB＝α，∵∠FED＝60°+2α，∴∠DEG＝60°，∴△DEG是等边三角形，∴ED＝DG，∠EDG＝60°，∵∠ADB＝60°，∴∠ADE＝∠BDG，∵AD＝BD，∴△ADE≌△BDG（SAS），∴AE＝BG＝BF，∴FD＝BF+BD＝AE+BC＝AE+BG+CG＝2AE+CG．【点评】本题是四边形的综合题，考查的是菱形的性质，根据题意证明三角形全等是解题的关键，解答时，要正确运用菱形对角线平分一组对角，灵活运用三角形全等的知识和等腰三角形的知识进行解答．。
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2019-2020学年北京人大附中九年级（下）限时练习数学试卷（4）副标题一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1. 已知二次函数y =x 2−4x +5的顶点坐标为( ) A. (2,1)B. (−2,−1)C. (2,−1)D. (−2,1) 2. 若√2x−1x−3在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( )A. x ≠3B. x >12且x ≠3C. x ≥2D. x ≥12且x ≠3 3. 如果点A(1,m)与点B(3,n)都在直线y =−2x +1上，那么m 与n 的关系是( )A. m >nB. m <nC. m =nD. 不能确定4. 从长度分别是2，3，4的三条线段中随机抽出一条，与长为1，3的两条线段首尾顺次相接，能构成三角形的概率是( )A. 1B. 23C. 13D. 05. 将代数式x 2−10x +5配方后，发现它的最小值为( )A. −30B. −20C. −5D. 06. 《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x 人，物品价格为y 钱，可列方程组为( )A. {8x −3=y 7x +4=yB. {y −8x =3y −7x =4C. {8x −y =37x −y =4D. {8x +3=y7x −4=y 7. 函数y =k(x −k)(k <0)的图象不经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8.小雨利用几何画板探究函数y=a图象，在他输(x−b)|x−c|入一组a，b，c的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足()A. a>0，b>0，c=0B. a<0，b>0，c=0C. a>0，b=0，c=0D. a<0，b=0，c>0二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.分解因式：4x2−8x+4=______．10.在平面直角坐标系中，点P(m,m−2)在第三象限内，则m的取值范围是______．11.写出一个函数，满足当x>0时，y随x的增大而减小且图象过(1,3)，则这个函数的表达式为______ ．12.已知反比例函数y=1+3m的图象上两点A(x1,y1)，当x1<0<x2时，有y1<y2，则xm的取值范围是______．13.已知二次函数y=ax2+8x−7的图象和x轴有交点，则a的取值范围是______．14.将直线L1：y=2x+3沿y轴向下平移5个单位的到L2，则L1与L2的距离为______．15.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，若|ax2+bx+c|=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______ ．16.如图，正方形ABCD的边长是3，P，Q分别在AB，BC的延长线上，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与CD，BC交于点F，E，连接AE.下列结论：①AQ⊥DP②OA2=OE⋅OP③S△AOD=S四边形OECF④当BP=1时，tan∠OAE=1316其中正确结论的序号是______．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）)−2+4cos30°+(π+√8)0−√27．17.计算：(−1318.已知x2+4x+1=0，求代数式(x−1)2−2x(x+1)+7的值．四、解答题（本大题共6小题，共40.0分）(x>0)的图19.如图，在△ABC中，AC=BC，AB⊥x轴，垂足为A.反比例函数y=kx 象经过点C，交AB于点D.已知AB=4，BC=5．2(1)若OA=4，求k的值；(2)连接OC，若BD=BC，求OC的长．20.为了促进旅游业的发展，某市新建一座景观桥.桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40米，桥拱的最大高度CD为16米(不考虑灯杆和拱肋的粗细)，求与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度．21.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，交BC于点F，连接DF．(1)求证：DF=2CE；(2)若BC=3，sinB=4，求线段BF的长．522.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−2x2+(m+9)x−6的对称轴是x=2．(1)求抛物线表达式和顶点坐标；(2)将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；(3)抛物线y=−2x2+(m+9)x−6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分(包含点A、B、C)记为图象M.将直线y=2x−2向下平移b(b>0)个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围______．23.如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点(不与点A重合).DE//AB交AC于点F，CE//AM，连结AE．(1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)如图2，当点D不与M重合时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由．(3)如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH=AM．①求∠CAM的度数；②当FH=√3，DM=4时，求DH的长．24.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M，给出如下定义：若⊙M上存在两个点A，B，使AB=2PM，则称点P为⊙M的“美好点”．(1)当⊙M半径为2，点M和点O重合时．①点P1(−2,0)，P2(1,1)，P3(2,2)中，⊙O的“美好点”是______；②若直线y=2x+b上存在点P为⊙O的“美好点”，求b的取值范围；(2)点M为直线y=4上一动点，以2为半径作⊙M，点P为直线y=x上一动点，点P为⊙M的“美好点”，求点M的横坐标m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵二次函数y=x2−4x+5=(x−2)2+1，∴该函数的顶点坐标为(2,1)，故选：A．将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标，本题得以解决．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2.【答案】D【解析】解：由题意得，2x−1≥0，x−3≠0，，且x≠3，解得x≥12故选：D．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．本题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：∵一次函数y=−2x+1中，k=−2<0，∴y随着x的增大而减小．∵点A(1,m)与点B(3,n)都在直线y=−2x+1上，1<3，∴m>n．故选：A．先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据1<3即可得出结论．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点．4.【答案】C【解析】解：共有3种等可能的结果数，它们是：2、1、3，3、1、3，4、1、3，其中三条线段能构成三角形的结果数为1，．所以三条线段能构成三角形的概率=13故选C．先写出3种等可能的结果数，然后根据三角形三边的关系确定三条线段能构成三角形的结果数，再根据概率公式求解．本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P(A)=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了三角形三边的关系．5.【答案】B【解析】解：x 2−10x +5=x 2−10x +25−20=(x −5)2−20，当x =5时，代数式的最小值为−20，故选B ．原式利用完全平方公式配方后，确定出最小值即可．此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 6.【答案】A【解析】解：由题意可得，{8x −3=y 7x +4=y， 故选：A ．根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．7.【答案】A【解析】解：y =k(x −k) (k <0 )可变形为：y =kx −k 2，∵k <0，∴k 2>0，∴−k 2<0，∴函数y =kx −k 2，的图象经过第二、三、四象限．故选：A ．根据k <0来推测函数y =k(x −k) (k <0 )的图象不经过的象限．一次函数y =kx +b 的图象有四种情况：①当k >0，b >0，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、三象限；②当k >0，b <0，函数y =kx +b 的图象经过第一、三、四象限；③当k <0，b >0时，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、四象限；④当k <0，b <0时，函数y =kx +b 的图象经过第二、三、四象限．8.【答案】B【解析】解：设虚线为x =m (显然，m >0)，由图中可知，当x <m 时，y >0，|x −c|>0，所以a (x−b)>0；当x >m 时，y <0，|x −c|>0，所以a (x−b)<0，可得(x −b)在m 的左右两侧时，符号是不同的，即b =m >0当x <b 时，x −b <0，而y >0，所以a <0显然另外一条分割线为x =0=c ；故选：B ．从函数整体图象，发现部分图象有类似反比例函数，再从y 轴右侧图象，判断图象虚线代表的意义，即可求解．本题考查函数的图象，要求学生根据学过的反比例函数、分式等知识，通过函数图象，大致发现图象的一些特征，此类题目难度较大． 9.【答案】4(x −1)2【解析】解：4x 2−8x +4=4(x 2−2x +1)=4(x −1)2．故答案为：4(x −1)2．先提取公因式4，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．10.【答案】m <0【解析】解：∵点P(m,m −2)在第三象限内，∴{m <0m −2<0， ∴m <0．故答案为m <0．利用第三象限点的坐标特征得到{m <0m −2<0，然后解不等式组即可． 本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．也考查了第三象限点的坐标特征．11.【答案】如y=3，答案不唯一x【解析】解：符合题意的函数解析式可以是y=3，y=−x+4，y=−x2+4等，(本题x答案不唯一)，答案不唯一；故答案为：如y=3x没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可．本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数的性质．关键是从三种函数解析式上考虑，只要符合题意即可．12.【答案】m>−13的图象上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，当x1<0<x2时，【解析】解：∵反比例函数y=1+3mx有y1<y2，∴1+3m>0，，解得，m>−13．故答案为m>−13根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．13.【答案】a≥−7且a≠016【解析】解：∵二次函数y=ax2+8x−7的图象和x轴有交点，∴△=b2−4ac=64+28a≥0，∴a≥−7，其中a≠0．16故答案为：a≥−7且a≠0．16直接利用根的判别式进行计算，“图象和x轴有交点”说明△≥0，a≠0．本题考查了抛物线与x轴的交点问题，易错点是漏掉a≠0，主要考查的是根的判别式14.【答案】√5 【解析】解：∵将直线L 1：y =2x +3沿y 轴向下平移5个单位的到L 2，∴L 2的解析式为：y =2x −2，∴L 2：y =2x +2与y 轴交于(0,−2)，如图，∵y =2x +3与x 轴交于B(−32,0)，与y 轴交于A(0,3)，y =2x −2与x 轴交于F(1,0)，与y 轴交于E(0,−2)，过O 作OC ⊥AB 于C ，反向延长OC 交EF 于D ，∵AB//EF ，∴CD ⊥EF ，∵OA =3，OB =32，∴AB =√32+(32)2=3√52，∵OE =2，OF =1，∴EF =√22+12=√5，∵12AB ⋅OC =12OA ⋅OB ，∴OC =3×323√52=3√55， ∵12EF ⋅OD =12OE ⋅OF ，∴OD =√5=2√55， ∴CD =√5，∴L 1与L 2的距离为√5，故答案为√5．根据平移的规律得到L 2的解析式为：y =2x −2，求得L 2：y =2x −2与y 轴交于(0,−2)，根据三角形面积公式即可得到结论．此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．15.【答案】k =0或k >2【分析】本题考查了二次函数的图象，属于中档题．先根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，即可得出|ax2+bx+c|=k有两个不相等的实数根时，k的取值范围．【解答】解：∵当ax2+bx+c≥0，y=ax2+bx+c(a≠0)的图象在x轴及x轴上方，∴此时y=|ax2+bx+c|=ax2+bx+c，∴此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c(a≠0)在x轴及x轴上方部分的图象，∵当ax2+bx+c<0时，y=ax2+bx+c(a≠0)的图象在x轴下方，∴此时y=|ax2+bx+c|=−(ax2+bx+c)∴此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c(a≠0)在x轴下方部分关于x 轴对称的图象，∵y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点纵坐标是−2，∴函数y=ax2+bx+c(a≠0)在x轴下方部分关于x轴对称的图象的顶点纵坐标是2，∴y=|ax2+bx+c|的图象如图，∵观察图象可得函数图象与直线y=k相交，当k=0或k>2时，两图像有两个交点，∴若|ax2+bx+c|=k有两个不相等的实数根，k=0或k>2．故答案为k=0或k>2．16.【答案】①③④【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∵BP=CQ，∴AP=BQ，{AD=AB∠DAP=∠ABQ AP=BQ，∴△DAP≌△ABQ(SAS)，∴∠P=∠Q，∵∠Q+∠QAB=90°，∴∠P+∠QAB=90°，∴∠AOP=90°，∴AQ⊥DP；故①正确；∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，∴∠DAO=∠P，∴△DAO∽△APO，∴AOOD =OPOA，∴AO2=OD⋅OP，∵AE>AB，∴AE>AD，∴OD≠OE，∴OA2≠OE⋅OP；故②错误；在△CQF与△BPE中{∠FCQ=∠EBP ∠Q=∠PCQ=BP，∴△CQF≌△BPE(AAS)，∴CF=BE，∴DF=CE，在△ADF与△DCE中，{AD=CD∠ADC=∠DCE DF=CE，∴△ADF≌△DCE(SAS)，∴S△ADF−S△DFO=S△DCE−S△DOF，即S△AOD=S四边形OECF；故③正确；∴AP =4，∵△PBE∽△PAD ，∴PB EB =PA DA =43，∴BE =34， ∴QE =134，∵△QOE∽△PAD ，∴QO PA =OE AD =QE PD =1345， ∴QO =135，OE =3920， ∴AO =5−QO =125， ∴tan∠OAE =OE OA =3920125=1316，故④正确， 故答案为①③④．由四边形ABCD 是正方形，得到AD =BC ，∠DAB =∠ABC =90°，根据全等三角形的性质得到∠P =∠Q ，根据余角的性质得到AQ ⊥DP ；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO 2=OD ⋅OP ，由OD ≠OE ，得到OA 2≠OE ⋅OP ；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF =BE ，DF =CE ，于是得到S △ADF −S △DFO =S △DCE −S △DOF ，即S △AOD =S 四边形OECF ；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE =34，求得QE =134，QO =135，OE =3920，由三角函数的定义即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 17.【答案】解：原式=9+2√3+1−3√3=10−√3．【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可得到结果．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.【答案】解：原式=x 2−2x +1−2x 2−2x +7=−x 2−4x +8，∵x 2+4x +1=0，∴x 2+4x =−1，∴原式=−(x 2+4x)+8=1+8=9．【解析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19.【答案】解：(1)作CE ⊥AB ，垂足为E ，∵AC =BC ，AB =4，∴AE =BE =2．在Rt △BCE 中，BC =52，BE =2，∴CE =32， ∵OA =4，∴C 点的坐标为(52,2)，∵点C 在y =k x 的图象上，∴k =5； (2)设A 点的坐标为(m,0)，∵BD =BC =52，AB =4，∴AD =32， ∴D ，C 两点的坐标分别为：(m,32)，(m −32,2)．∵点C ，D 都在y =k x 的图象上，∴32m =2(m −32)，∴m =6，∴C 点的坐标为：(92,2)，作CF ⊥x 轴，垂足为F ，∴OF =92，CF =2，OC2=OF2+CF2，∴OC=√97．2【解析】(1)利用等腰三角形的性质得出AE，BE的长，再利用勾股定理得出OA的长，得出C点坐标即可得出答案；(2)首先表示出D，C点坐标进而利用反比例函数图象上的性质求出C点坐标，再利用勾股定理得出CO的长．此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象上的性质，正确得出C点坐标是解题关键．20.【答案】解：建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线表达式为y=ax2+16，由题意可知，B的坐标为(20,0)，∴400a+16=0，∴a=−1，25x2+16，∴y=−125∴当x=5时，y=15．答：与CD距离为5米的景观灯杆MN的高度为15米．【解析】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．以AB所在直线为x轴、CD所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为y= ax2+16，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当x=5时y的值即可．21.【答案】(1)证明：连接OE交DF于G，∵AC 切⊙O 于E ，∴∠CEO =90°．又∵BD 为⊙O 的直径，∴∠DFC =∠DFB =90°．∵∠C =90°，∴四边形CEGF 为矩形．∴CE =GF ，∠EGF =90°，∴DF =2CE ．(2)解：在Rt △ABC 中，∵∠C =90°，BC =3，sinB =45，∴AB =5，设OE =x ，∵OE//BC ，∠A =∠A ，∠AOE =∠ABC ，∴△AOE∽△ABC ．∴OE BC =AO AB ，∴x 3=5−x 5， ∴x =158，∴BD =154．在Rt △BDF 中，∵∠DFB =90°，sinB =45，∴cosB =35=BF BD =BF 154，∴BF =94．【解析】本题考查切线的性质、矩形的判定和性质、垂径定理、三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．(1)连接OE 交DF 于G ，首先证明四边形EGFC 是矩形，再根据垂径定理即可证明．(2)设OE =x ，由OE//BC ，得△AOE∽△ABC ，得OE BC =AO AB ，列出方程求出x ，再在Rt △BDF 中，由sinB =45，推出cosB =35=BF BD ，即可解决问题．22.【答案】(1)∵抛物线y=−2x2+(m+9)x−6的对称轴是x=2，∴−m+92×(−2)=2．∴m=−1．∴抛物线的表达式为y=−2x2+8x−6．∴y=−2(x−2)2+2．∴顶点坐标为(2,2)．(2)由题意得，平移后抛物线表达式为y=−2(x−3)2+2，∵−2(x−2)2=−2(x−3)2，∴x=52．∴A(52,3 2).(3)0<b≤72．【解析】解：(1)见答案．(2)见答案．(3)点A坐标为(52,32 )，则点B的坐标为(72,32 )，设直线y=2x−2向下平移b(b>0)个单位经过点B，则y=2x−2−b，故32=7−2−b，设直线y =2x −2向下平移b(b >0)个单位经过点A ，32=5−2−b ，b =32， 由{y =2x −2−b y =−2(x −3)2+2，消去y 得到：2x 2−10x +14−b =0， 由题意：△=0，∴100−8(14−b)=0，∴b =32， 观察图象可知：平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点，则0<b ≤72．【分析】(1)根据抛物线的对称轴公式求出m 的值，进而求出抛物线的解析式以及顶点坐标；(2)先求出平移后的抛物线解析式，然后求出交点坐标；(3)根据图象即可写出b 的取值范围．本题主要考查了二次函数的性质以及函数图象的几何变换，解题的关键是熟练掌握抛物线对称轴的求法以及数形结合解题思想． 23.【答案】(1)证明：如图1中，点D 与M 重合，∵DE//AB ，∴∠EDC =∠ABD ，∵CE//AM ，∴∠ECD =∠ADB ，∵AM 是△ABC 的中线，且D 与M 重合，∴BD =DC ，∴△ABD≌△EDC(ASA)，∴AB =ED ，∵AB//ED ，∴四边形ABDE 是平行四边形．(2)结论：成立．理由如下：如图2中，过点M作MG//DE交CE于G．∵CE//AM，∴四边形DMGE是平行四边形，∴ED=GM，且ED//GM，由(1)可知AB=GM，AB//GM，∴AB//DE，AB=DE，∴四边形ABDE是平行四边形．(3)①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，∵BM=MC，∴MI是△BHC的中位线，BH，∴MI//BH，MI=12∵BH⊥AC，且BH=AM．AM，MI⊥AC，∴MI=12∴∠CAM=30°．②设DH=x，则AH=√3x，AD=2x，∴AM=4+2x，∴BH=4+2x，∵四边形ABDE是平行四边形，∴DF//AB，∴HFHA =HDHB，∴√3√3x =x4+2x，解得x=1+√5或1−√5(舍弃)，∴DH=1+√5．【解析】(1)只要证明AB=ED，AB//ED即可解决问题；(2)成立．如图2中，过点M作MG//DE交CE于G.由四边形DMGE是平行四边形，推出ED=GM，且ED//GM，由(1)可知AB=GM，AB//GM，可知AB//DE，AB=DE，即可推出四边形ABDE是平行四边形；(3)①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，只要证明MI=12AM，MI⊥AC，即可解决问题；②设DH=x，则AH=√3x，AD=2x，推出AM=4+2x，BH=4+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF//AB，推出HFHA =HDHB，可得√3√3x=x4+2x，解方程即可；本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角的判定、平行线分线成比例定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．24.【答案】P1和P2【解析】解：(1)①如图1中，∵OP1=2=r，OP2=√2<r，OP3=2√2<r，根据⊙M的“美好点”的定义可知，P1，P2是⊙M的“美好点”．故答案为P1和P2．②当直线y=2x+b与⊙O相切时，设切点为T，该直线交x轴于K，交y轴于E．由题意E(0,b)，K(−b2,0)，∴OE=b，OK=b2，EK=√52b，∵sin∠TKO=TOOK =OEEK，∴2b2=b√52b，∴b=2√5，根据对称性可知：当直线与⊙O在下方相切时，OF=OE=2√5，∴b=−2√5，∴b的取值范围为：−2√5≤b≤2√5．(2)如图2中，当直线y=4与⊙M相切时，切点分别为E或E′，连接ME，M′E′，∵EM=E′M′=2，∴M′(2,2)，m(6,6)，∴满足条件的m的取值范围为2≤m≤6．(1)①根据⊙M的“美好点”即可判断．②求出直线y=2x+b与⊙M相切时，b的值即可解决问题；(2)当直线y=4与⊙M相切时，求出点M的坐标，有两个值，由此即可解决问题；本题属于圆综合题、直线与圆的位置关系、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会在取特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。