特征函数的概念及意义
1-4特征函数和母函数
k =1 n
n
k =1
Ex.7 随机变量Y～B(n, p),写出其特征函数 写出其特征函数. 随机变量 ～ 写出其特征函数 二项分布随机变量Y可表示为 解 二项分布随机变量 可表示为Y = ∑ X k ,且 且 Xk～B(1, p),k=1,2,…,n, 相互独立,故Y 的特征 相互独立, , 函数为 n
g(t1 , t2 ) = E[e
i ( t1 X + t 2Y )
]= ∫
∞
∞ ∞
∫
∞
ei (t1 x+t2 y )dF( x, y)
连续型 离散型
g(t1 , t 2 ) = ∫
∞
∞ ∞
∫
∞
e i (t1 x + t2 y ) f ( x, y)dxdy
i ( t1 X r + t 2YsS )
特征函数、 §1.4 特征函数、母函数
一、特征函数的定义及例子 是实随机变量, 定义 设X,Y是实随机变量,复随机变量 是实随机变量 Z=X+i Y, , 的数学期望定义为 E ( Z ) = E ( X ) + i E (Y ), i = 1 特别 X是实随 是实随 itX Ee = E (costX ) + i E (sintX ) 机变量
g ( t ) = ∫ e itx f ( x )dx;
∞
+∞
g ( t ) = ∑ e itxk pk .
k
Ex.1 单点分布 P{X = c} = 1,
g( t ) = E (e itc ) = e itc , t ∈ R.
Ex.2 两点分布
g( t ) = e (1 p) + e
1.4.1特征函数定义与常见分布的特征函数
4.1 特征函数
例5
2 N ( , ) 的特征函数 正态分布
f (t) e
it
2t 2
2 t2 2
特别地,标准正态分布的特征函数为
f (t ) e
() 的特征函数 例6 指数分布 Exp
f (t )
1 1 it
三、性质
性质1 性质2 性质3
f( t)f( 0 ) 1
f ( t) f (t)
( t ) pe q 例2 二项分布B (n, p) 的特征函数 f
it
n
特别地 n=1时, 0−1分布的特征函数为 例3 泊松分布P(λ)的特征函数
f (t) e
(eit 1 )
it f( t)pe q
例4 均匀分布U [a, b] 的特征函数
eitb eita f (t ) (b a)it
n 2
( n ) 分布
2
f(t) 1 2 it
性质6(一致连续性定理) 上均一致连续.
性质7
任何特征函数f (t)在 (−∞, ＋∞)
f(t) 是非负定的： 对任意正整数n及任意实数
t1,t2, ,tn ， 复数 ,n ，有 1,
0
这个性质是特征函数的最本质属性之一. 事实上，我们有如下的 波赫纳尔—辛钦(Bochner-Khinchine)定理 函数f (t ) 为 特征函数的充要条件是f (t ) 非负定，连续且f (0) =1.
分布函数
1 it 1 it 1 it it f (t) = cost = (e e ) = e e 解 2 2 2 这是分布列为 1 1 1 / 2 1 / 2
的随机变量的特征函数. 一般，若能把f (t)写成
§1-4 特征函数
三、多元特征函数
多元特征函数的 性质
设随机向量(X1, …,Xn)的各个分量相互独立， 则
X ,, X (t1,, tn ) X (t1 ) X (tn )
1 n 1 n
二．特征函数的性质
二、特征函数的性质
特征函数的 性质
（1）有界性
X (t ) X (0) 1
（2）线性变换
aX b (t ) eibt X (at)
二、特征函数的性质
特征函数的 性质
（3）特征函数与原点矩的关系
（k） k k ( 0 ) i E ( X ) X
（k） E ( X k ) i k X (0)
1 n lim P {| X i μ | ε} 1 n n i 1
或
1 n lim P {| X i μ | ε} 0 n n i 1
二、特征函数的性质
例 题8
运用特征函数证明： Lindeberg – Levy 中心极限定理。
回顾：Lindeberg – Levy 中心极限定 理
（4）离散型随机变量 X 的特征函数为
(t ) E{eitX } pk eitx
k k
k
(costxk ) pk i (sin txk ) pk
k
一、特征函数的概念
(t ) E{eitX } pk eitx
k k
k
例 题1
(costxk ) pk i (sin txk ) pk
（2） X1 ,, X n (t1， ， tn ) ei(t1x1 tn xn ) dFX1 ,, X n ( x1 ,, xn )
§37 特征函数
中南大学数学院 概率统计课程组
§3.6 条件分布与条件期望、 回归与第二类回归
在前一章中，对离散型随机变量，我 们曾经研究了ξ在已知发生的条件下的分布 问题，并称P(ξ =xi|η =yj)为条件分布，类似 的问题对连续型随机变量也存在。
设 ( ξ ,η ) 是二维连续型随机变量，由于
P{Y y} 0, 所以 P{ x | y}
其它.
当0 x 1,
f| ( y | x)
f (x, y) f (x)
1
2x
0,
,
x y x, 其它。
(3)
P{
1 |Y 2
0}
P{ 1 , 0}
2
P{ 0}
y
yx
(1
1) 2
1 2
2
3
1 11
4
2
1
0 1/2
x
y x
例25 设二维随机变量（，）服从二元正态分布：
~ (ξ,η) N(μ1,μ2,σ12,σ22,r)
[2] 盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统 计(3版).北京:高等教育出版社,2001,12.
[3] 梁之舜,邓集贤,杨维权,司徒荣,邓永录. 概率论与数理统计(2版).北京: 高等教育 出版社,1988,10.
[4] 韩旭里,王家宝,陈亚力,裘亚峥. 概率 论与数理统计.北京:科学出版社,2004.
f
( x,
y)
1, | y | x, 0, 其它.
0
x
1,
试求：（1） f (x) ; f ( y) （2） f| (x | y) ; f| ( y | x)
(3) P{ 1 | 0}.
2
求：(1) f (x), f ( y); (2) f| (x | y), f| ( y | x)
偏微分算子的特征值与特征函数
偏微分算子的特征值与特征函数是一个典型的偏微分算子的特征值问题,这里x=(x1,x2);Ω是膜所占据的平面区域。
使得问题有非平凡解(非零解)的参数λ的值,称为特征值;相应的解称为特征函数。
当Ω有界且边界嬠Ω满足一定的正则条件时,存在可数无穷个特征值,相应的特征函数ψn(x)组成l2(Ω)上的完备正交系。
乘以常因子来规范ψn(x)，使其l2(Ω)模为1,则Ω上的任意函数(x)的特征展式可写为:当可以"源形表达"，即满足边界条件且Δ平方可积时,展式在Ω一致收敛。
当平方可积时，展式平方平均收敛，且有帕舍伐尔公式:对膜振动问题的认识还是相当有限的。
能够精确地知道特征值的，只限于矩形、圆盘等少数几种非常简单的区域。
对椭圆和一般三角形的特征值精确值，还几乎毫无所知。
其他情形就更谈不上了。
将不超过λ的特征值的个数记为N(λ)。
特征值的渐近分布由N(λ)对大λ的渐近式来刻画。
这方面最早的结果是(C.H.)H.外尔在1911年得到的(外尔公式):式中表示Ω的面积。
R.库朗将余项改进为。
对于多角形区域，又有人将余项改进到。
各种情况下改进余项估计的工作至今绵延不绝。
外尔猜测有一个更强的结果:式中|嬠Ω|是区域边界之长，但尚未被证出。
与此密切相关的是下面的MP公式:(t→+0)取一个渐近项时，用陶伯型定理可由它推出N(λ)的外尔公式。
第二渐近项与外尔猜想非常相象，但由此证不出外尔猜想。
第三项迟至1966年才被M.卡茨导出，后来由H.P.麦基恩与I.M.辛格严格证明,其中h表示鼓膜Ω的洞数。
特征值与膜振动频率有一个直接的换算关系，M.卡茨据此给MP公式一个非常生动的解释:可以"听出"鼓膜的面积|Ω|、周长|嬠Ω|和洞的个数h!由于1-h恰巧是Ω的欧拉-庞加莱示性数,是整体几何中颇受重视的一个不变量，"听出鼓形"或"谱的几何"问题立即引起人们的强烈兴趣，并导致一系列重要的研究。
可测集上的特征函数
可测集上的特征函数
特征函数是一个特殊函数，对于一个集合E，其特征函数定义为：对于每一个x，如果x属于E，那么特征函数的值为1，否则为0。
对于可测集上的特征函数，它也是可测的。
这是因为在测度论中，一个集合是可测的当且仅当它的特征函数是可测的。
简单来说，如果一个集合E是可测的，那么无论是对E 取0或1，其结果都是可测的。
此外，特征函数还有以下性质：
如果两个特征函数分别对应可测集A和B，那么它们的和集（A∪B）和交集（A∩B）也是可测的。
如果一个特征函数对应的是可测集A，另一个特征函数对应的是补集（A∪B），那么它们的和也是可测的。
以上内容仅供参考，建议查阅数学专业书籍或咨询专业人士获取更准确的信息。
随机过程的特征函数
随机过程的特征函数随机过程是指随机变量随着时间的推移而变化的一类数学模型。
其中，随机过程的特征函数是它的一个重要概念。
特征函数是一个函数，描述了随机变量的性质，它包含了随机变量的所有概率密度函数的信息。
对于随机过程，特征函数描述了随机过程的一些重要特征，例如均值、方差和相关性等。
随机过程的特征函数是一个复值函数，通常用符号$\phi(\omega)$ 表示。
其中，$\omega$ 是一个实数，代表着时间。
假设随机过程$X(t)$ 的概率密度函数为$p(x,t)$，则它的特征函数定义为：$$ \phi(\omega, t) = \int_{-\infty}^\infty e^{i\omega x} p(x,t) dx $$其中，$i$ 是虚数单位，$x$ 代表随机变量的取值。
特征函数的实部和虚部分别表示了随机变量的偏度和峰度。
特别地，当随机过程是稳定的时，它的特征函数可以表示为：$$ \phi(\omega) = e^{-\alpha|\omega|^\beta} $$其中，$\alpha$ 和$\beta$ 是常数，分别代表着随机过程的尺度和红色噪声的程度。
当$\beta = 2$ 时，随机过程为标准布朗运动，其特征函数为：$$ \phi(\omega) = e^{-\frac{1}{2}\omega^2} $$特别地，当随机过程是高斯过程时，它的特征函数可以表示为：$$ \phi(\omega) = e^{i\mu\omega - \frac{1}{2}\sigma^2\omega^2} $$其中，$\mu$ 和$\sigma^2$ 分别代表高斯过程的均值和方差。
高斯过程是一种非常重要的随机过程，它具有很多优秀的性质，例如可重复性、正则性和可微性等。
综上所述，随机过程的特征函数是随机过程的一个重要概念，它描述了随机过程的一些重要特征，例如均值、方差和相关性等。
对于不同类型的随机过程，它们的特征函数有着不同的形式和性质。
随机变量特征函数
随机变量特征函数随机变量特征函数是概率论中的一个重要概念，它在描述随机变量的性质和特征上起着至关重要的作用。
特征函数是指一个随机变量的复数形式的函数，可以完整地描述该随机变量的分布特性。
在本文中，我们将深入探讨随机变量特征函数的定义、性质以及应用。
一、随机变量特征函数的定义随机变量特征函数是指对于一个随机变量X，其特征函数被定义为一个复数函数φ(t)，其中t为实数。
特征函数φ(t)的表达式为E(e^(itX))，即随机变量X的期望值e^(itX)的复数形式。
1. 对于任意实数t，特征函数φ(t)的值为复数；2. 对于任意实数t1和t2，特征函数φ(t1+t2)等于φ(t1)φ(t2)的乘积；3. 特征函数φ(0)等于1；4. 若两个随机变量X和Y具有相同的特征函数φ(t)，则它们的分布函数相同；5. 若一个随机变量X的特征函数φ(t)处处有界，则X的分布是有界的。
三、随机变量特征函数的应用1. 利用特征函数可以求得随机变量的矩和矩母函数。
通过对特征函数进行n次求导并令t=0，可以得到随机变量的n阶矩。
2. 利用特征函数可以推导出随机变量的分布。
由于特征函数与分布函数之间存在一一对应的关系，因此通过特征函数可以确定随机变量的分布。
3. 利用特征函数可以进行随机变量的卷积运算。
对于两个随机变量X和Y的卷积运算，可以通过将它们的特征函数相乘得到结果的特征函数，从而确定卷积运算的分布。
四、随机变量特征函数的实例分析以二项分布为例，假设一个试验中成功的概率为p，失败的概率为1-p，进行n次独立重复试验，成功的次数X服从二项分布B(n,p)。
我们可以求出X的特征函数为φ(t)=(e^(itp))^n。
对于一个服从参数为n和p的二项分布的随机变量X，它的特征函数为φ(t)=(e^(itp))^n。
我们可以利用特征函数来计算X的矩和矩母函数。
例如，X的一阶矩为E(X)=φ'(0)，即特征函数在t=0处的一阶导数。
特征函数的概念及意义
特征函数的概念及意义目录：一．特征函数的定义。
二．常用分布的特征函数。
三．特征函数的应用。
四．绪论。
一．特征函数的定义设X 是一个随机变量，称 ()()itXe t E =ϕ, +∞<<∞-t ,为X 的特征函数.因为＝１Ｘit e ，所以()itX e E 总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的.当离散随机变量X 的分布列为() ,3,2,1,P p k ===k x X k ，则X 的特征函数为()∑+∞==1k k itx p e t k ϕ, +∞<<∞-t .当连续随机变量X 的密度函数为()x p ,则X 的特征函数为 ()()⎰+∞∞-=dx x p e t k itx ϕ, +∞<<∞-t .与随机变量的数学期望，方差及各阶矩阵一样，特征函数只依赖于随机变量的分布，分布相同则特征函数也相同，所以我们也常称为某分布的特征函数.二．常用分布的特征函数1、单点分布：().1P ==a X 其特征函数为 ().e t it a =ϕ2、10-分布：()(),10x p 1p x X P x1x =-==-，，其特征函数为()q pe t it +=ϕ，其中p 1q -=.3、泊松分布()λP ：()λλ-==e k k X P k！，k=0,1， ，其特征函数为()()∑+∞=---===0k 1e e kiktitit e e e e k et λλλλλϕ！. 4、均匀分布()b a U ,：因为密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.;,0,1其他b x a a b x p所以特征函数为()()⎰--=-=b aiatibt itx a b it e e dx a b e x ϕ. 5、标准正态分布()1,0N ：因为密度函数为()2221x e x p -=π， +∞<<∞-x .所以特征函数为()()⎰⎰∞+∞-∞+∞-----∞==dxit x t x itx e edx e x 2222222121πϕ=⎰-∞+-∞----=ititt t t edz ee22222221π.其中⎰-∞+-∞--=ititx dz eπ222 .三．特征函数的应用1、在求数字特征上的应用求()2N σμ，分布的数学期望和方差. 由于()2N σμ，的分布的特征函数为()2t i 22et σμϕ=,于是由()k k k i 0ξϕE =得，()μϕξi 0i ′==E , ()22″220i σμϕξ--==E , 由此即得()222D σξξξμξ=E -E ==E ，.我们可以看出用特征函数求正态分布的数学期望和方差, 要比从定义计算方便的多.2、 在求独立随机变量和的分布上的应用利用归纳法, 不难把性质4推广到n 个独立随机变量的场合,而n21,ξξξ ，，是n 个相互独立的随机变量, 相应的特征函数为()()()∑==n 1i i n 21t t t ξξϕϕϕ，则，，， 的特征函数为()()∏==n1i i t t ϕϕ.设()n ,,21j j ，=ξ是n 个相互独立的，且服从正态分布()2N j j a σ，的正态随机变量.试求∑==n1j j ξξ的分布.由于j ξ的分布为()2N j j a σ，，故相应的特征为()222tia j j je t σϕ=.由特征函数的性质()()ξϕϕ可知∏==nj j t t 1的特征函数为()()21212221112t t a i n j nj tia j nj j nj j j jeet t ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑=====∏∏σσϕϕ.而这正是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n j j n j j a N 121,σ的特征函数.由分布函数与特征函数的一一对应关系即知ξ服从⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n j j n j j a N 121,σ. 3、 在证明二项分布收敛于正态分布上的应用在n 重贝努力实验中，事件A 每次出现的概率为p(0<p<1)，n μ为n 次试验中事件A 出现的次数，则dt e x npq np P xt nn ⎰∞-∞→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-2221lim πμ.要证明上述结论只需证明下面的结论，因为它是下面的结论一个特例. 若 ,,21ξξ是一列独立同分布的随机变量，且(),,2,1,0,22 =>==E k D a k k σσξξ则有dt e x nna P xt n k k n ⎰∑∞-=∞→=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-21221lim πσξ.证明 设a k -ξ的特征函数为(),t ϕ则∑∑==-=-nk k nk kn anna11σξσξ的特征函数为nn t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛σϕ又因为()(),,02σξξ=-=-E a D a k k 所以()()20,00σϕϕ-=''=' 于是特征函数()t ϕ有展开式()()()()()()222222112000t t t t t t οσοϕϕϕϕ+-=+''+'+=.从而对任意的t 有，∞→→⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n e n t nt n t tn,2122222οσϕ. 而22t e-是()1,0N 分布的特征函数，由连续定理可知dt e x n na P xt n k k n ⎰∑∞-=∞→=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-21221lim πσξ.成立，证毕.我们知道在n 2221P lim μπμ中dt e x npq np xt n n ⎰∞-∞→=⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-是服从二项分布.()n k q p C k p kn k k n n ≤≤==-0,μ.的随机变量，dt e x xt ⎰∞-∞→=⎪⎭⎫⎝⎛<-2221P lim πλλξλλ为“泊松分布收敛于正态分布” , 我们把上面的结论常常称为“ 二项分布收敛于正态分布”.4、在求某些积分上的应用我们知道⎰+∞-022dx e x x k 可以用递推法，现在我们用特征函数来解决随机变量ξ服从⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0N ，其密度函数为：()21x e x p -=π，其特征函数为：()∑⎰∞+=-∞+∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⋅⋅=0241!41122i tit x itx i tedx e e t πϕξ， 故 ()()()() +++⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+!131241!!241212k t k k k t k kkξϕ ，所以 ()()()!!1221!!24102-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k k kkk ξϕ,由特征函数的性质 ()()()kk kk k i 2!!120222-=-=E ξϕξ，又 ⎰+∞-=E 0222dx e x x k kξ，故()⎰∞+∞-+--=122!!122k x k k dx e x .即 ()⎰∞++--=0122!!122k x k k dx e x四．结论从上面的内容可以看出：特征函数并不是一个抽象概念，在概率论与数理统计的许多问题中，无论是证明还是应用，通过构造特征函数，比如在求分布的数学期望和方差；在求独立随机变量和的分布上的应用，利用独立随机变量和的特征函数为特征函数的积性质推广，往往能使问题得到简化；在证明二项分布收敛于正态分布上的应用，可以从特例到一般问题，从而使问题迎刃而解；在求某些积分上的时候，可以通过构造特征函数使问题简单.。
第三讲随机过程的数字特征和特征函数讲解
第三讲随机过程的数字特征和特征函数讲解在概率论和统计学中，随机过程是指一组随机变量的集合，这些随机变量依赖于一个参数（通常是时间）。
随机过程的数字特征和特征函数是描述随机过程的重要概念。
1.数字特征：随机过程的数字特征是对其统计特性的度量，通常用于描述随机过程的平均值、方差、协方差等。
随机过程的数字特征可以通过计算随机变量的数学期望、方差等得到。
2.特征函数：特征函数是随机过程的一种表示方式，它是对随机过程的全面描述。
特征函数是随机变量的复数值函数，它对于每个时间点都定义了一个复数值，用来表示该时间点的随机变量的概率分布。
特征函数可以通过随机变量的概率密度函数计算得到。
特征函数的性质：-对称性：如果随机过程的数字特征对称，那么它的特征函数也对称。
-唯一性：特征函数能够唯一地表示一个随机过程的概率分布。
-独立性：随机过程的特征函数在不同时间点上是相互独立的。
-连续性：特征函数是连续函数，可以通过连续函数逼近定理来证明。
特征函数的应用：-用于推导随机过程的数字特征：通过特征函数可以推导出随机过程的数字特征，例如平均值、方差。
-用于计算随机过程的概率分布：通过特征函数可以计算随机过程的概率分布，例如计算随机过程在其中一时间点的概率。
-用于分析和处理随机过程的相关问题：通过特征函数可以进行随机过程的变换、滤波等操作，从而实现对随机过程的分析和处理。
总之，随机过程的数字特征和特征函数是描述随机过程的重要工具，它们可以用来分析和处理随机过程相关的问题，推导随机过程的数字特征，并计算随机过程的概率分布。
多元分布特征函数
多元分布特征函数多元分布是概率论里一个重要的概念，指的是在多个随机变量同时存在的情况下，它们联合取值的概率分布。
多元分布可以用特征函数来描述，本文将介绍多元分布的特征函数以及其相关性质。
1. 多元分布的定义我们假设有 $n$ 个随机变量 $X_1,X_2,\dots,X_n$，它们所属的随机空间分别为 $S_1,S_2,\dots,S_n$。
我们定义 $X =(X_1,X_2,\dots,X_n)$ 表示这个 $n$ 元组。
如果对于任意的 $i$，$X_i$ 取值于 $S_i$，那么 $X$ 服从 $n$ 元离散分布。
我们可以用$P(X = x)$ 表示 $X$ 取值为 $x$ 的概率。
另外，如果 $X$ 满足以下两个条件，则 $X$ 是多元分布：1. $\sum_{x\in S_1\times S_2\times\cdots\timesS_n}P(X=x)=1$2. 对于所有 $x\in S_1\times S_2\times\cdots\times S_n$，都有$P(X = x)\geq 0$这里 $S_1\times S_2\times\cdots\times S_n$ 表示 $X$ 所属的联合随机空间。
2. 多元分布的特征函数定义 $X=(X_1,X_2,\dots,X_n)$ 是一个 $n$ 元随机变量，$g:(\mathbb{R}^n)^k\rightarrow\mathbb{R}$ 是任意 $k$ 元连续可导的函数。
则 $g$ 的期望可以表示为：$E[g(X_1,X_2,\dots,X_n)]=\int_{\mathbb{R}^n}g(x_1,x_2,\d ots,x_n)p(x_1,x_2,\dots,x_n)\,\mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2\cdot s\mathrm{d}x_n$其中，$p(x_1,x_2,\dots,x_n)$ 是 $X_1,X_2,\dots,X_n$ 的联合概率密度函数。
特征函数及其应用
特征函数及其应用1 引言在概率论和数理统计中，我们学习了特征函数，发现了它可以更高级、优越、方便的表示出一般的随机变量的统计规律．是研究随机变量的重要工具．本文将向大家详细的阐述特征函数的基本概念，性质以及特征函数的应用和一些相关定理的证明．2 特征函数2.1 特征函数的定义设ξ是定义在样本空间上的随机变量．称ξ的复值函数it eξ=cos ()t ξ+i sin ()t ξ的数学期望E ()it e ξ=E ()()cos t ξ+i E ()()sin t ξ t -∞<<+∞其中，i =ξ的特征函数，记为()t ϕ．特征函数()t ϕ一般为实变量t 的复值函数，它对一切t 有定义．事实上，当ξ是连续型随机变量时，对(),t ∀∈-∞+∞，总有()()1itx e dF x dF x +∞+∞-∞-∞==⎰⎰若ξ为离散型随机变量，则1kitx k kep =∑因此，任一随机变量ξ，必有特征函数存在．2.2 特征函数的性质()1 有界性：()()()01,,t t ϕϕ≤=∀∈-∞+∞ ()2 一致连续性：()t ϕ在(),-∞+∞上一致连续 ()3 非负定[]()1181P 性：对1n ∀>个实数1t ，，n t 及复数1z ，，n z ，总有()0s rs r rstt z z ϕ-≥∑∑()4 ()t ϕ-=()t ϕ，这里()t ϕ表示()t ϕ的共轭()5 若a b ηξ=+，a ，b ，为常数，则()t ηϕ=ibt e ()at ξϕ⋅()6 设12,ξξ的特征函数分别为()1t ϕ，()2t ϕ，又1ξ与2ξ相互独立，则12ξξξ=+的特征函数为()()()12t t t ϕϕϕ=⋅2.3 特征函数与矩的关系在以前的学习中，我们发现求随机变量的各阶矩往往需要作繁难的求无穷级数和或无穷积分的计算，有时应用一定的技巧方可计算出结果．现在我们有了特征函数这一优越的工具后，可以通过对特征函数()t ϕ求导的方法来计算随机变量的矩．设随机变量ξ有l 阶矩存在，则ξ的特征函数()t ϕ可微分l 次，且对k l ≤，有()()0k k k i E ϕξ=设ξ有密度函数()p x ，则()t ϕ=()itx e p x dx +∞-∞⎰由于ξ的l 阶矩存在，即有()lx p x dx +∞-∞<∞⎰从而()itx e p x dx +∞-∞⎰可以在积分号下对t 求导l 次，于是对0k l ≤≤，有()()k t ϕ=()()k k itx k k it i x e p x dx i E e ξξ+∞-∞=⎰令0t =即得()()0k k k i E ϕξ=当ξ是离散型随机变量时，证明也是类似的．由这个性质，在求ξ的各阶矩（如果他们存在的话），只要对ξ的特征函数求导即可．而从定义出发是要计算积分的，大家都知道，求导一般总是要比求积分简单的多，所以可以这样说：特征函数提供了一条求各阶矩的捷径[]()2175176P -．2.4 几种常见分布的特征函数()1 单点分布 设ξ服从单点分布，即()1P c ξ==，则()()()it itc itc t E e e P c e ξϕξ==⋅==()2 两点分布 设()~1,B p ξ，即 ()1P p ξ==，()01P p q ξ==-=，则()01it it it t e q e p q pe ϕ⋅⋅=⋅+⋅=+()3 二项分布 设()k k n k n P k p q C ξ-==，0k n ≤≤，则()t ϕ=0nikt k k n k n k e p q C -=∑()nitpe q=+()4 普哇松分布 设ξ为普哇松分布，即()!kP k e k λλξ-==，0k =，1，2则()t ϕ=0!itkikte k ee e e k λλλλ∞--==⋅∑()5 均匀分布 设ξ在[]0,1上均匀分布，即()011,0,x p x ≤≤⎧=⎨⎩其它则()t ϕ=()1itx itx e p x dx e dx +∞-∞=⎰⎰1it e it-=()6 指数分布 设ξ服从参数为λ的指数分布，即 ()0,0,x x e p x x λλ->⎧=⎨≤⎩故()t ϕ=itx x e e dx λλ∞-⎰由数学分析知道 220sin x ttxe dx t λλ∞-=+⎰22cos x txe dx tλλλ∞-=+⎰由此可得()t ϕ=11it λ-⎛⎫- ⎪⎝⎭()7 正态分布 设ξ服从()2,N μσ分布，把()2,N μσ分布的密度函数代入()t ϕ=()itx e p x dx +∞-∞⎰中，即有()t ϕ=()222x itx edx μσ--+∞-∞⎰222t i t eσμ-=22it zit edz σσ∞---∞-⎰222t i t e σμ-=其中22it zit edz σσ∞---∞-⎰=是利用复变函数中的围道积分求得的．例1 求()2,Nμσ分布的数学期望和方差解 已知()2,Nμσ分布的特征函数为()t ϕ=222t i t eσμ-于是由()()0k k k i E ϕξ= 有()0iE i ξϕμ'==()22220i E ξϕμσ''==--由此即得()222,E D E E ξμξξξσ==-=从这里我们可以看出用特征函数求正态分布的数学期望和方差，要比从定义去证更方便[]()31P ．2.5 特征函数与分布函数的关系逆转公[]()2177P 式 设随机变量ξ的分布函数为()F x ，特征函数为()t ϕ，又1x 与2x 为()F x 的任意两个连续点，则有()()()12121lim2itx itx TT T e e F x F x t dt it ϕπ---→∞--=⎰其中，当0t =时，按连续性延拓定义1221itx itx e e x x it---=- 由特征函数的定义可知，随机变量的分布函数唯一的确定了它的特征函数．反过来，由唯一性定理可知特征函数可以唯一地确定它的分布函数．从而由特征函数来确定分布函数的式子也常常称为“逆转公式”．唯一性定[]()2178P 理 随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定．3 特征函数的应用3.1 特征函数在求独立随机变量和的分布上的应用设1ξ，2ξ的特征函数分别为()1t ϕ，()2t ϕ，又1ξ与2ξ相互独立，则12ξξξ=+的特征函数为()()()12t t t ϕϕϕ=⋅因为1ξ与2ξ相互独立，由以前的知识我们知道1it e ξ与2it eξ也相互独立，于是由数学期望的性质即得()t ϕ=()12it Ee ξξ+()12it it E e e ξξ=⋅12it it EeEe ξξ=⋅()()12t t ϕϕ=⋅利用归纳法，不难把上述性质推广到n 个独立随机变量的场合，若1ξ，2ξ，n ξ是n 个相互独立的随机变量，相应的特征函数为()1t ϕ，()2t ϕ，…，()n t ϕ 则ξ1ni i ξ==∑的特征函数为()t ϕ=()1ni i t ϕ=∏例2 设jξ(1j =，2，)n 是n 个相互独立的，且服从()2,j j N a σ分布的正态随机变量，试求ξ1nj j ξ==∑的分布．解 已知j ξ的分布为()2,j j N a σ，故相应的特征函数为()222j j t ia t j t eσϕ-=由特征函数的性质()t ϕ=()1nj j t ϕ=∏ 可知ξ的特征函数为()t ϕ=()1n j j t ϕ=∏2222111221nnj j j j j j t i a t t nia t j eeσσ==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=∑∑==∏而这是211,n n j j j j N a σ==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑分布的特征函数，由分布函数与特征函数的一一对应关系即知ξ服从211,n n j j j j N a σ==⎛⎫⎪⎝⎭∑∑分布．这正是我们所熟知的可加性，这里用特征函数作为工具证明了这个可加性．3.2 在普哇松分布收敛于正态分布上的应用连续性定[]()2205P 理 分布函数列(){}n F x 弱收敛于分布函数()F x 的充要条件是相应的特征函数列(){}nx ϕ收敛于()F x 的特征函数()t ϕ．例3 若λξ是服从参数为λ的普哇松分布的随机变量，证明：22lim t xP x e dt λ--∞→∞⎫<=⎪⎭证明 已知λξ的特征函数为()x λϕ()1it e eλ-=，故λη= 的特征函数为()1g t e eλλλϕ⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭==对于任意的t ，有2112!t o λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，λ→∞于是221122t t eo λλλ⎛⎫⎛⎫--=-+⋅→- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，λ→∞ 从而对任意的点列n λ→∞，有()22lim n n t g t eλλ-→∞=但是22te-是()0,1N分布的特征函数，由连续性定理即知有22limntxP x e dtλξλ--∞→∞⎛⎫-<=⎪⎪⎭成立，因为nλ是可以任意选取的，这就意味着22limtxP x e dtλ--∞→∞⎫<=⎪⎭成立．即“普哇松分布收敛与正态分布”．3.3在证明辛钦大数定律上的应用若1ξ，2ξ…是独立同分布随机变量序列，且(iE a iξ==1，2，)则11npiianξ=−−→∑，n→∞证明因为1ξ，2ξ…有相同的分布，所以也有相同的特征函数，记这个特征函数为()tϕ，又因为iEξ存在，从而特征函数()tϕ有展开式()()0tϕϕ=+ϕ'()()0t o t+()1iat o t=++再由独立性知11niinξ=∑的特征函数为1n nt t tia on n nϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦对任意取定的t，有lim lim1n niatn nt t tia o en n nϕ→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦已知iate是退化分布的特征函数，相应的分布函数为()1,0,x aF xx a>⎧=⎨≤⎩由连续性定理知11niinξ=∑的分布函数弱收敛于()F x，因a是常数，则有11n pi i a n ξ=−−→∑ 故辛钦大数定律成立．3.4 在证明二项分布收敛于正态分布上的应用在n 重贝努里试验中，事件A 在每次试验中出现的概率为()01P p <<，n μ为n 次试验中事件A 出现的次数，则22lim t xn P x e dt --∞→∞⎛⎫<=⎪⎪⎭要证明这个式子我们只需证明下面的这个式子，因为它是下面的式子的一个特例，证明了下面的式子，也就证明了它．若1ξ，2ξ，…是一列独立同分布的随机变量， 且 k E a ξ=，()220k D ξσσ=>，k =1，2，…则有22lim n t k xn na P x e dt ξ--∞→∞⎛⎫- ⎪⎪<=⎪⎪⎝⎭∑证明 设k a ξ-的特征函数为()t ϕ，则nknk naξ=-=∑的特征函数为nϕ⎡⎤⎢⎥⎣⎦又因为()0k E a ξ-=，()2k D a ξσ-=，所以ϕ'()00=，ϕ''()20σ=-于是特征函数()t ϕ有展开式()()0t ϕϕ=+ϕ'()0t +ϕ''()()2202t o t +()222112t o tσ=-+从而对任意固定的t，有2212nnt ton nϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦22te-−−→，n→∞而22te-是()0,1N分布的特征函数，由连续性定理知22limntkxnnaP x e dtξ--∞→∞⎛⎫-⎪⎪<=⎪⎪⎝⎭∑成立，证毕．我们知道在22limtxnP x e dt--∞→∞⎛⎫<=⎪⎪⎭中nμ是服从二项分布()k k n kn nP k p qCμ-==，0k n≤≤的随机变量，如上3.2中称22limtxP x e dtλ--∞→∞⎫<=⎪⎭为“普哇松分布收敛与正态分布”，我们把上面证明的式子常常称为“二项分布收敛于正态分布”．[]()2210211P-通过上文的讨论，我们加深了对特征函数的认识，对于特征函数的应用也有了大概的了解，而随着理论和实践的不断发展，对特征函数的研究也将会不断深化．。
高中数学函数
二、函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
)2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。
3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
依概率收敛 特征函数收敛
依概率收敛特征函数收敛依概率收敛和特征函数收敛是概率论中的两个重要概念，本文将对这两个概念进行详细介绍。
一、依概率收敛依概率收敛是指一个随机变量序列在概率意义下趋于另一个随机变量的过程。
具体来说，若随机变量序列$\{X_n\}_{n\geq1}$和随机变量$X$满足$\lim_{n\rightarrow\infty}P(|X_n-X|>\epsilon) = 0$，则称序列$\{X_n\}_{n\geq1}$依概率收敛于$X$。
其中$\epsilon$为一个正实数。
依概率收敛是指一种弱收敛，即收敛的速度比较缓慢，但是趋向于极限的概率比较大。
与之相对的是依分布收敛，即序列中的所有随机变量都具有相同的分布函数，这种收敛可以由特征函数收敛来推导。
二、特征函数收敛特征函数是概率论中常见的一个概念，一个随机变量的特征函数$\varphi_X(t)$定义为$\varphi_X(t) = E(e^{itX})$。
其中$E$表示期望，$i$为虚数单位，$t\in \mathbb{R}$。
如果随机变量序列$\{X_n\}_{n\geq1}$的特征函数$\varphi_{X_n}(t)$逐点收敛于另一个随机变量的特征函数$\varphi_X(t)$，即$\lim_{n\rightarrow\infty}\varphi_{X_n}(t)=\varphi_X(t)$，则序列$\{X_n\}_{n\geq1}$依分布收敛于$X$。
特征函数的收敛性质可以通过Fourier反演定理来推导。
具体来说，如果一个随机变量的特征函数可计算，那么它的概率密度函数可以通过$f_X(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-itx}\varphi_X(t)dt$来反演得到。
因此，特征函数收敛可以推导出依分布收敛。
三、依概率收敛和特征函数收敛的关系依概率收敛和特征函数收敛是概率论中两个不同的概念，它们之间的关系可以用以下定理来刻画。
特征函数的意义
特征函数的意义特征函数是概率学中一个十分重要的概念，它是描述随机变量的一个有效的工具。
特征函数的意义在于，通过它可以确定一组概率分布。
本文将围绕着“特征函数的意义”这一主题，分步骤来阐述这个概念及其应用。
1.特征函数的定义首先，我们来看一下特征函数的定义。
特征函数指的是一个随机变量X 的复合函数φ(t)，其中t是一个实数，φ(t)的形式如下：φ(t) = E(e^{itX})其中，E表示期望值，i是虚数单位。
上式中的e表示自然对数的底数，e^{itX} 是指将itX 代入e 中的值（也就是复数），即e^{itX} = cos(tX) + isin(tX)。
2.特征函数的意义特征函数的意义在于，通过它可以唯一地确定一组概率分布。
具体来说，如果两个随机变量的特征函数完全相同，那么这两个随机变量满足相同的分布。
这就是说，特征函数是确定一个随机变量的概率分布的一个有效工具。
3.特征函数的应用特征函数在许多方面都有着广泛的应用。
3.1.求统计量通过特征函数，我们可以得到随机变量的许多统计量，如均值、方差、偏度等。
这些统计量对于概率分布的研究具有十分重要的意义。
3.2.求和我们可以用特征函数来求两个随机变量的和的特征函数。
具体来说，如果X和Y是两个随机变量，那么它们的和Z=X+Y 的特征函数是φ_Z(t) = φ_X(t)φ_Y(t)。
3.3.中心极限定理中心极限定理是概率统计学中的一个重要定理，它指出，当许多独立随机变量的和趋向于正态分布时，这些独立随机变量的分布本身并不需要满足正态分布。
中心极限定理的证明中就用到了特征函数的性质。
4.总结本文围绕着“特征函数的意义”这一主题，分步骤阐述了特征函数的定义，意义以及应用。
特征函数在概率统计领域中有着重要的作用，它可以唯一地确定一组概率分布，可以用于求统计量、求和以及证明中心极限定理等。
对于学习概率统计学的人来说，理解特征函数的意义十分重要。
集合的概念函数与极限
一、函数与极限 (1)1、集合的概念 (1)2、常量与变量 (2)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作∅，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
即A⊆A②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。
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特征函数的概念及意义
目录：
一．特征函数的定义。
二．常用分布的特征函数。
三．特征函数的应用。
四．绪论。
一．特征函数的定义
设X 是一个随机变量，称 ()()
itX
e t E =ϕ, +∞<<∞-t ,
为X 的特征函数.
因为＝１Ｘit e ，所以()
itX e E 总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的.
当离散随机变量X 的分布列为() ,3,2,1,P p k ===k x X k ，则X 的特征函数为
()∑+∞
==1k k itx p e t k ϕ, +∞<<∞-t .
当连续随机变量X 的密度函数为()x p ,则X 的特征函数为 ()()⎰+∞
∞-=dx x p e t k itx ϕ, +∞<<∞-t .
与随机变量的数学期望，方差及各阶矩阵一样，特征函数只依赖于随机变量的分布，分布相同则特征函数也相同，所以我们也常称为某分布的特征函数.
二．常用分布的特征函数
1、单点分布：().1P ==a X 其特征函数为 ().e t it a =ϕ
2、10-分布：()(),10x p 1p x X P x
1x =-==-，，其特征函数为
()q pe t it +=ϕ，其中p 1q -=.
3、泊松分布()λP ：()λλ-=
=e k k X P k
！
，k=0,1， ，其特征函数为
()()∑+∞
=---===0k 1e e k
ikt
it
it e e e e k e
t λλλλλϕ！
. 4、均匀分布()b a U ,：因为密度函数为
()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.;,
0,
1其他b x a a b x p
所以特征函数为
()()
⎰
--=
-=b a
iat
ibt itx a b it e e dx a b e x ϕ. 5、标准正态分布()1,0N ：因为密度函数为
()2
221x e x p -=
π
， +∞<<∞-x .
所以特征函数为
()()
⎰
⎰∞+∞-∞+∞
----
-
∞==
dx
it x t x itx e e
dx e x 22
22
222121
π
ϕ
=⎰
-∞+-∞---
-
=it
it
t t t e
dz e
e
2
2
2
22221π
.
其中
⎰
-∞+-∞--
=it
it
x dz e
π22
2 .
三．特征函数的应用
1、在求数字特征上的应用
求()
2N σμ，分布的数学期望和方差. 由于()2N σμ，的分布的特征函数为()2
t i 2
2e
t σμ
ϕ=,
于是由()k k k i 0ξϕE =得，
()μϕξi 0i ′
==E , ()22″
220i σμϕξ--==E , 由此即得
()22
2D σξξξμξ=E -E ==E ，.
我们可以看出用特征函数求正态分布的数学期望和方差, 要比从定义计算
方便的多.
2、 在求独立随机变量和的分布上的应用
利用归纳法, 不难把性质4推广到n 个独立随机变量的场合,而n
21,ξξξ ，，是n 个相互独立的随机变量, 相应的特征函数为
()()()∑==n 1
i i n 21t t t ξξϕϕϕ，则，，， 的特征函数为()()∏==n
1
i i t t ϕϕ.
设()n ,,21j j ，=ξ是n 个相互独立的，且服从正态分布()
2N j j a σ，的正态随机变量.
试求∑==n
1j j ξξ的分布.
由于j ξ的分布为()
2N j j a σ，，故相应的特征为()2
2
2t
ia j j j
e t σϕ=.
由特征函数的性质()()ξϕϕ可知∏==n
j j t t 1的特征函数为
()()21
212
2211
1
2
t t a i n j n
j t
ia j n
j j n
j j j j
e
e
t t ⎪
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
==∑∑
=====∏∏σσϕϕ.
而这正是⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∑∑==n j j n j j a N 12
1,σ的特征函数.
由分布函数与特征函数的一一对应关系即知ξ服从⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∑∑==n j j n j j a N 12
1,σ. 3、 在证明二项分布收敛于正态分布上的应用
在n 重贝努力实验中，事件A 每次出现的概率为p(0<p<1)，n μ为n 次试验中事件A 出现的次数，则
dt e x npq np P x
t n
n ⎰
∞
-∞→=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛<-2
2
21
lim πμ.
要证明上述结论只需证明下面的结论，因为它是下面的结论一个特例. 若 ,,21ξξ是一列独立同分布的随机变量，且
()
,,2,1,0,22 =>==E k D a k k σσξξ则有
dt e x n
na P x
t n k k n ⎰
∑∞
-=∞→=⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛<-2
12
21lim π
σξ.
证明 设a k -ξ的特征函数为(),t ϕ则
∑∑==-=-n
k k n
k k
n a
n
na
11
σξσξ
的特征函数为n
n t ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛σϕ
又因为()(),,02σξξ=-=-E a D a k k 所以()()20,00σϕϕ-=''=' 于是特征函数()t ϕ有展开式
()()()()()()
222222
1
12000t t t t t t οσοϕϕϕϕ+-=+''+'+=.
从而对任意的t 有，
∞→→⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n e n t n
t n t t
n
,2122
222
οσϕ. 而2
2
t e
-
是()1,0N 分布的特征函数，由连续定理可知
dt e x n na P x
t n k k n ⎰
∑∞
-=∞→=
⎪⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛<-2
1221
lim π
σξ.
成立，证毕.
我们知道在n 2
221
P lim μπ
μ中dt e x npq np x
t n n ⎰
∞
-∞
→=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛<-是服从二项分布.
()n k q p C k p k
n k k n n ≤≤==-0,μ.
的随机变量，dt e x x
t ⎰
∞
-∞→=
⎪⎭
⎫
⎝⎛<-2
2
21P lim πλλξλλ为“泊松分布收敛于正态分布” , 我
们把上面的结论常常称为“ 二项分布收敛于正态分布”.
4、在求某些积分上的应用
我们知道⎰+∞
-022
dx e x x k 可以用递推法，现在我们用特征函数来解决随机变量
ξ服从⎪⎭
⎫ ⎝⎛21,0N ，其密度函数为：()2
1
x e x p -=
π
，
其特征函数为：()∑⎰∞
+=-∞
+∞
--⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⋅
⋅=024
1!411
22
i t
i
t x itx i t
e
dx e e t π
ϕξ， 故 ()()()() +++⎪
⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+!
131241!!2412
1
2k t k k k t k k
k
ξϕ ，
所以 ()()()!!1221!!24102-⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k k k
k
k ξϕ,
由特征函数的性质 ()()()k
k k
k k i 2!!120222-=
-=E ξϕξ，
又 ⎰+∞
-=E 0
222
dx e x x k k
ξ，
故
()⎰
∞
+∞
-+--=
1
22!!122
k x k k dx e x .
即 ()⎰∞++--=
01
22!!122k x k k dx e x
四．结论
从上面的内容可以看出：特征函数并不是一个抽象概念，在概率论与数理
统计的许多问题中，无论是证明还是应用，通过构造特征函数，比如在求分布的数学期望和方差；在求独立随机变量和的分布上的应用，利用独立随机变量和的特征函数为特征函数的积性质推广，往往能使问题得到简化；在证明二项分布收敛于正态分布上的应用，可以从特例到一般问题，从而使问题迎刃而解；在求某些积分上的时候，可以通过构造特征函数使问题简单.。