第二章数字电路

∑
∞
j2πnf0t e
(2-5)
式中， (x) = sin x 称为取样函数或取样信号。Vn与f(t)的关系 Sa x 曲线如图2.2所示。图中画出了τ不变，而T0分别为5τ、10τ时的 频谱图。谱线的包络按照Sa(πfτ)的曲线(图示中虚线)变化。第 一个零点出现在
1 处。 f =
例2.2
求周期冲激脉冲信号的频谱函数(设周期为T0，冲激
脉冲的幅度为1)。
例2.3 求f (T)=Acos2πf0t信号的频谱函数。
经常还会碰到另一种情况，信号的频谱函数具有矩形特性， 如图2.4所示，那么它的时间波形又是什么样的呢？即当
B B A － ≤ f ≤ F( f ) = 2 2 0 其它
时，求时间函数f (T)。 用傅氏反变换式(2-7)可求得时间函数为
f (t) =
第二章
信号的分类
信号、 信号、信道及噪声
周期信号的频谱分析 非周期信号的频谱分析 卷积定理及其应用 信号通过线性系统不失真传输条件 谱密度和帕塞瓦尔定理 信道容量
2.1.1
信号的分类
1. 周期信号和非周期信号
2. 确知信号和随机信号 3. 能量信号和功率信号
2.1.2
周期信号的频谱分析
频谱分析：找出信号包含的频率成分， 频谱分析：找出信号包含的频率成分，包括其幅 度、相位和分布。 相位和分布。
频谱分析的目的： (1) 信号f(t)有哪些频率成分。 (2) 各频率成分幅度、相位大小。 (3) 主要分量占据的频带宽度(包括频域中的位置)。
周期信号的三种傅氏级数表示法 1. 基本表示式
f (t) = A0 +
在式(2-1)中：
∑[A cos2πnf t + B sin 2πnf t]
n 0 n 0 n=1
∞
(2-1)
1 T0 2 A0 = f (t)dt是周期信号f(t)的平均值(直流分量)； T0 −T0 2 2 T0 2 An = f (t) cos2πnf0tdt是周期信号f(t)的第n次余弦波 T0 −T0 2
∫
∫
的振幅；
2 Bn = T0 振幅；
∫
T0 2
−T0 2
f (t)sin 2πnf0tdt 是周期信号f(t)的第n次正弦波的
图2.7 升余弦脉冲信号的波形及频谱
升余弦脉冲信号频谱的特点： (1) 频谱在频率为零处有最大幅度值Aτ/2，此值等于升余弦脉冲的面积； (2) 频谱有等间隔的零点，零点位置在n/τ(n=±2, ±3, …)处； (3) 频谱第一个零点的位置是2/τ，和矩形脉冲的频谱相比，升余弦脉冲的 频谱在第一个零点内集中了更多的能量。如果用第一个零点的频率值作为带宽 的话，显然，在τ相同时，升余弦脉冲信号的带宽是矩形脉冲信号带宽的2倍； (4) 和矩形脉冲相比，此频谱幅度随频率衰减的速度更快。
2． 余弦函数表示式 ． 由三角公式可知：
An cos2πnf0t + Bn sin 2πnf0t = Cn cos(2πnf0t −ϕn )
其中，
Cn = An + Bn
2
2
Bn ϕn = arctan An
由此可得，周期信号f(t)的余弦表示式为
f (t) = C0 +
其中，C0=A0。
F( f ) =
∫
∞
−∞
f (t)e−j2πftdt
称为傅氏变换
(2-6)
f (t) =
∫
∞
−∞
F( f )ej2πftdf
称为傅氏反 逆)变换 (2-7) (
通信中常用信号的频谱函数 1. 矩形脉冲信号的傅氏变换及矩形频谱的傅氏反变换
A f (t) = 0
− ≤t ≤ 2 2 其它
1 称为周期信号的基波频率。 f0 = T0
式(2-1)的物理意义：一个周期为T0的信号可以分解成一个直 流分量A0，以及无穷多个频率为nf0幅度分别为An、 Bn的余弦波及 正弦波。 An、 Bn的值与周期信号本身有关，即频率nf0的余弦波 及正弦波的幅度由周期信号决定。式(2-1)存在的缺点：同一频率 成分，要用相互正交的两项表示，应用起来不方便。
∫
∞
−∞
F( f )e
j2πft
df =
∫
B/ 2
−B/ 2
Aej2πftdf = ABSa(πtB)
矩形频谱及它的时间波形如图2.4所示。
图2.4 矩形频谱及其时间波形
2． 冲激信号的傅氏变换及冲击频谱的傅氏反变换 ． 冲激信号的定义为
∞, t = 0 δ (t) = 0, t ≠ 0
A 2π 1+ cos t f (t) = 2 τ 0
t≤
τ
2
其它
F( f ) =
∫
∞
−∞
f (t)e
− j2πft
经计算化简得到
A 2π −j2πft dt dt = 1+ cos t e −τ / 2 2 τ
∫
τ /2
Aτ 1 F( f ) = Sa(πfτ ) 2 1− f 2τ 2
∑C cos(2πnf t −ϕ )
n 0 n n=1
∞
(2-2)
式(2-2)的物理意义：一个周期为T0的信号可以分解成一个 直流分量C0及无穷多个频率为nf0的余弦波，这些余弦波的幅度 及相位分别为Cn和φn。由此可见， 式(2-2)的物理概念更加清楚， 直流与各次谐波分量的振幅和相位一目了然。 式(2-2-2)存在的缺点：振幅和相位的计算复杂。
典型周期信号的频谱分析 周期矩形脉冲
A, f (t) = 0,
kT − 0 其 它
τ
2
≤ t ≤ kT + 0
τ
2
图2.1 周期矩形脉冲
把式(2-4)展开成指数函数表示的傅氏级数：
1 Vn = T0
∫
T0 2 T − 0 2
f (t)e
− j2πnf0t
1 dt = T0
∫τ
2 − 2
τ
τ
由（2-6）式求出其频谱函数： ）式求出其频谱函数：
F( f ) =
∫
∞
−∞
Hale Waihona Puke Baidu
f (t)e
− j2πft
dt =
∫τ
τ /2
− /2
Ae−j2πftdt = Aτ
sin(πfτ ) = Aτ Sa(πfτ ) πfτ
图2.3 单个矩形脉冲波形及其频谱
矩形脉冲的波形及频谱如图2.3所示。其频谱有如下几个主要 特点： (1) 频谱连续且无限扩展； (2) 频谱形状为取样函数，频率为零处幅度值最大，等于矩 形脉冲的面积； (3) 频谱有等间隔的零点，零点位置在n/τ(n=±1，±2，…)处。 信号90%以上的能量集中在第一个零点以内，通常将第一个零点 的宽度(正频率部分的宽度)定义为信号的带宽，所以矩形脉冲信 号的带宽为1/τ； (4) 当矩形脉冲宽度变窄时，带宽增大； 反之，当脉冲宽度 增大时，信号的带宽变窄。即：信号在时域中的宽度越窄，则在 频域中的宽度就越宽； 信号在时域中的宽度越宽，则在频域中的 宽度就越窄。
τ
图2.2 周期矩形脉冲频谱图
例 2.1 周期为T0的冲激脉冲信号如下图 (a)所示。 (1) 求其指数型傅氏级数展开式。 (2) 画出Vn-f关系图。
2.2 非周期信号的频谱分析
傅氏变换与频谱函数 前面介绍了将一个周期信号展开成傅氏级数的方法。对 于非周期信号，不能用傅氏级数直接表示，其频谱分析是通 过傅氏变换进行的。傅氏变换公式为
3. 指数函数表示式 周期为T0的信号f(t)还可用如下所示的指数形式表示：
f (t) =
其中，
n=−∞
∑
∞
Vne j 2πnf0t
f (t)e−j2πnf0t dt
(2-3)
1 Vn = T0
∫
T0 2
−T0 2
式(2-3)是由余弦表示式经数学推导得来的，这种表示式没有什 么物理意义，纯属数学上的表示式，但它能给分析带来方便， 是傅氏变换的基础，也是本课程最常用的一种表示式。由于n 的取值是离散的，所以式(2-1)、(2-2)和(2-3)表示的频谱也是离 散的。
∞
且
∫
∞
−∞
δ (t)dt =1
根据傅氏变换的公式，得到δ(T)的频谱函数为 δ(T)
F( f ) =
∫
−∞
δ (t)e−j2πftdt = e−j2πf 0 =1
图2.5是冲激信号δ(T)的波形及频谱。
图2.5 冲激函数及其频谱
反过来，当信号的频谱为冲激函数，即F (f )=δ(f )时，其时 间波形为
f (t) =

∫
∞
−∞
δ ( f )e j2πftdf = e j2πf 0 =1
频谱函数及波形如图2.6所示。
图2.6 冲激频谱及其时间波形
3． 升余弦脉冲信号的傅氏变换及升余弦频谱函数的傅氏反 ． 变换 在通信中，升余弦脉冲信号常用来取代矩形脉冲信号作为数 字脉冲信号。图2.7是升余弦脉冲信号的波形及频谱示意图。其 数学表达式及频谱函数如下
τ
Ae−j2πnf0t dt
πnτ 2πnf0τ sin sin T Aτ 2 Aτ 0 = × = × 2πnf0τ πnτ T0 T0 T0 2 Aτ πnτ = Sa T T0 0
Aτ f (t) = T0 nπ τ Sa T 0 n=−∞