人教版七年级数学上章末复习专题训练(三)有理数的运算含试卷分析详解

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人教版七年级上册有理数全章复习与巩固(知识讲解及典型例题分析)

有理数全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用.5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；作用举例表示数的性质 0是自然数、是有理数偶数，则幂为正，例如：，．2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ；2(3)9-=3(3)27-=-（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．要点四、科学记数法、近似数及精确度1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.【典型例题】类型一、有理数相关概念例题1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．【答案】（1）0； (2)1和-1；(3)正数和0；(4)1和0；(5)-1、0和1【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全.【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.举一反三：【变式】(1)的倒数是；的相反数是；的绝对值是 . -（-8）的相反数是；的相反数的倒数是_____. (2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义是 _ ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 .(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km ，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m ／min.(4) 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则____ . (5) 近似数0.4062精确到位，近似数 5.47×105精确到位，近似数 3.5万精确到位，3.4030×105精确到千位是 . 【答案】（1）；；；-8；2 （2）降价5.8元，70.2 元；（3）；（4）3；（5）万分；千；千；3.40×105例题2．如果|x+3|+|y ﹣4|=0，求x+2y 的值．解：∵|x+3|+|y ﹣4|=0，∴x+3=0，y ﹣4=0，解得，x=﹣3，y=4，x+2y=﹣3+4×2=5．10n a ⨯110a ≤<n 5210⨯0.10.05321-321-321-21-=++)(323b a cd 35-21321333.7510⨯例题3．在下列两数之间填上适当的不等号：________．【答案】＜【解析】法一：作差法由于，所以法二：倒数比较法：因为所以【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用．举一反三：【变式】比较大小：(1)________0.001；(2)________-0.68【答案】（1）＜（2）＞类型二、有理数的运算例题4．计算：．【思路点拨】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．【答案与解析】解：原式=10+8×﹣2×5=10+2﹣10=2．．举一反三：【变式】﹣33×（﹣5）+16÷（﹣2）3﹣|﹣4×5|+（﹣0.625）2．【答案】解：原式=﹣27×（﹣5）+16÷（﹣8）﹣|﹣20|+02=135﹣2﹣20+0=113．类型三、数学思想在本章中的应用例题5．（1）数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系．A．-a＜a＜1 B．1＜-a＜a C．1＜-a＜a D．a＜1＜-a（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值．（3）转化思想：计算：【答案与解析】解：（1）将-a在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜-a，所以大小关系为：a＜1＜-a．20052006200620072005200620052007200620061200620072006200720062007⨯-⨯-==-<⨯⨯2005200620062007<2006112007112005200520062006=+>+=2005200620062007<199-23-3135()147⎛⎫-÷-⎪⎝⎭所以正确选项为：D．（2）因为| x|＝5，所以x为-5或5因为|y|＝3，所以y为3或-3．当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-(-3)＝8当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2故（x-y）的值为±2或±8（3）原式=【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．举一反三：【变式】若a是有理数，|a|-a能不能是负数?为什么?【答案】解：当a＞0时，|a|-a＝a-a＝0；当a＝0时，|a|-a＝0-0＝0；当a＜0时，|a|-a＝-a-a＝-2a＞0．所以，对于任何有理数a，|a|-a都不会是负数．类型四、规律探索例题6．将1，，，，，，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________．【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．【答案】【解析】认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．33135(7)357724614142⎛⎫--⨯-=⨯+⨯=⎪⎝⎭12-1314-1516-1200-12101210-1200-。

人教版七年级数学上册《有理数的混合运算》专题训练-附参考答案

人教版七年级数学上册《有理数的混合运算》专题训练-附参考答案【解题技巧】主要是要注意混合运算的运算顺序。

一级运算：加减法；二级运算：乘除法；三级运算：乘方运算。

规定：先算高级运算再算低级运算同级运算从左到右依次进行。

（1）有括号先算括号里面的运算按小括号、中括号、大括号依次进行；（2）先乘方、再乘除、最后加减；（3）同级运算按从左往右依次进行。

当然在准守上述计算原则的前提下也需要灵活使用运算律以简化运算。

1．（2022·广西崇左·七年级期末）计算：(1)3312424⎛⎫⎛⎫-⨯÷-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)2014281|5|(4)(8)5⎛⎫-+-⨯---÷-⎪⎝⎭．【答案】(1)12(2)-7【分析】（1）原式从左到右依次计算即可求出值；（2）原式先算乘方及绝对值再算乘除最后算加减即可求出值．(1)原式9489⎛⎫⎛⎫=-⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12 =；(2)原式＝﹣1+5×（85-）﹣16÷（﹣8）＝﹣1﹣8+2＝﹣7．【点睛】本题考查了有理数的混合运算熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（2022·内蒙古·七年级期末）计算：(1)31125(25)25424⎛⎫⨯--⨯+⨯-⎪⎝⎭(2)4211(1)3[2(3)]2---÷⨯--【答案】(1)25(2)1 6【分析】（1）根据乘法分配律、有理数乘法法则、减法法则和加法法则计算即可；（2）根据有理数的运算顺序和各个运算法则计算即可．(1)解：原式311252525424⎛⎫=⨯+⨯++- ⎪⎝⎭31125424⎛⎫=⨯+- ⎪⎝⎭251=⨯25=；(2)解：原式111(29)23=--⨯⨯- 11(7)6=--⨯- 761=-+ 16=．【点睛】此题考查了有理数的混合运算．解题的关键是掌握有理数的混合运算的运算顺序和每一步的运算法则．3．（2022·山东东营·期末）计算： (1)11311338⎛⎫⎛⎫+÷-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)42111(2)|25|623⎛⎫-+-+--⨯- ⎪⎝⎭ 【答案】(1)34- (2)5 【分析】（1）原式先算括号内的再算乘除；（2）原式先乘方再中计算括号内及绝对值内的减法再计算乘法最后计算加减即可求出值．(1)解：11311338⎛⎫⎛⎫+÷-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 433328⎛⎫=⨯-⨯ ⎪⎝⎭ 34=- (2)解：42111(2)|25|623⎛⎫-+-+--⨯- ⎪⎝⎭ 111436623=-++-⨯+⨯ 14332=-++-+5=【点睛】此题考查了有理数的混合运算熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2022·安徽阜阳·七年级期末）计算：（1）()221113232⎛⎫⎡⎤---÷⨯-- ⎪⎣⎦⎝⎭．（2）2221132() 1.532⎡⎤-⨯-+÷--⎢⎥⎣⎦ 【答案】（1）16（2）-2312 【分析】先计算乘方及小括号内的运算再计算乘法最后计算加减法．【详解】（1）解：()221113232⎛⎫⎡⎤---÷⨯-- ⎪⎣⎦⎝⎭=()111723--⨯⨯- =716-+ =16．（2）解：2221132() 1.532⎡⎤-⨯-+÷--⎢⎥⎣⎦ 19(924)34=-⨯-+⨯- 19(1)34=-⨯-- 1934=- =-2312．【点睛】此题考查了含乘方的有理数的混合运算正确掌握有理数的运算法则及运算顺序是解题的关键． 5．（2022·湖南娄底·七年级期末）计算：（1）()()220211110.5233⎡⎤---⨯⨯--⎣⎦；（2）()224212512432⎡⎤⎛⎫⎡⎤-÷--+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦【答案】（1）16（2）6 【分析】（1）原式先计算乘方运算再计算乘除运算最后算加减运算即可得到结果．（2）先算乘方再算乘除最后算减法；同级运算应按从左到右的顺序进行计算．【详解】（1）解：原式()117112912366⎛⎫=--⨯⨯-=---= ⎪⎝⎭ （2）解：()224212512432⎡⎤⎛⎫⎡⎤-÷--+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()2116512434⎛⎫=-÷-+-⨯ ⎪⎝⎭ 21164242434⎛⎫=-÷+⨯-⨯ ⎪⎝⎭410=-+6=【点睛】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算掌握“含乘方的有理数的混合运算的运算顺序”是解本题的关键运算顺序为：先乘方再乘除最后算加减有括号先计算括号内的运算．6．（2022·天津北辰·七年级期末）（1）24(3)5(2)6⨯--⨯-+；（2）()31162(4)8⎛⎫÷---⨯- ⎪⎝⎭．【答案】（1）52；（2）-52．【分析】（1）先算乘方然后计算乘除最后算加减即可；（2）先算乘方然后计算乘除最后算加减即可．【详解】解：（1）24(3)5(2)6⨯--⨯-+=4×9+10+6=52；（2）()31162(4)8⎛⎫÷---⨯- ⎪⎝⎭=-16÷8-12=-2-12=-52．【点睛】本题考查了有理数的混合运算有理数混合运算顺序：先算乘方再算乘除最后算加减；同级运算应按从左到右的顺序进行计算．7．（2022·广西百色·七年级期末）计算：（1）()()22241322⎡⎤---⨯÷⎣⎦.（2）33(2)30(5)34⎛⎫-⨯-+÷--- ⎪⎝⎭．【答案】（1）8（2）-2【分析】根据有理数的混合运算法则计算即可；含乘方的有理数混合运算法则：1、先乘方再乘除最后加减；2、同级运算从左往右进行；3、如果有括号先做括号内的运算按小括号、中括号、大括号依次进行．【详解】（2）解：原式()161924=--⨯÷⎡⎤⎣⎦()16824=--⨯÷⎡⎤⎣⎦8=．解：原式()()51411=÷--+⨯-()551=÷--11=--2=-．【点睛】本题考查了有理数的混合运算熟练掌握运算法则是解题的关键．8．（2022·河南周口·七年级期末）计算： (1)2022211(1)(1)(32)23-+-⨯+-+ (2)23220213(4)(2)(2)(1)-⨯-+-÷--- 【答案】(1)556- (2)35 【分析】（1）原式先计算乘方运算及括号内的运算再计算乘除运算最后计算加减运算即可求出值；（2）先计算乘方运算再计算乘除运算最后计算加减运算即可求出值．(1)解：原式=111(92)23+⨯+-+ =1176+- =556-； (2)解：原式=9(4)(8)4(1)-⨯-+-÷--=3621-+=35【点睛】此题考查了有理数的混合运算熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（2022·江苏扬州·七年级期末）计算： (1)3(6)( 1.55) 3.25(15.45)4---+++-； (2)()()22351222125⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】(1)-7 (2)98- 【分析】（1）先算同分母分数再算加减法即可求解；（2）先算乘方再算乘除最后算加法；同级运算应按从左到右的顺序进行计算．(1)解：3(6)( 1.55) 3.25(15.45)4---+++-(6.75 3.25)( 1.5515.45)=++--1017=-7=-；(2)解：()()22351222125⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 254(8)1425=÷-⨯- 2514()14825=⨯-⨯- 118=-- 98=-．【点睛】本题考查了有理数的混合运算解题的关键是掌握有理数混合运算顺序：先算乘方再算乘除最后算加减；同级运算应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时注意各个运算律的运用使运算过程得到简化．19．（2022·河南南阳·七年级期末）计算(1)243(6)()94-⨯-+； (2)33116(2)()(4) 3.52÷---⨯-+．【答案】(1)11 (2)1【分析】（1）先计算乘方再利用乘法分配律计算即可；（2）先计算乘方再计算乘除最后计算加减即可．(1)解：原式4336()94=⨯-+4336()3694=⨯-+⨯ 1627=-+11=；(2)解：原式116(8)()(4) 3.58=÷---⨯-+20.5 3.5=--+ 1=．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．11．（2022·河北邯郸·七年级期末）计算：()()20212132311234⎛⎫-+⨯---⨯- ⎪⎝⎭．【答案】12-【详解】解：原式()44311213123=-⨯-++⨯⨯- 434912=--+-=-．【点睛】本题考查了有理数的混合运算熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方再算乘除最后算加减；同级运算按从左到右的顺序计算．如果有括号先算括号里面的并按小括号、中括号、大括号的顺序进行．有时也可以根据运算定律改变运算的顺序．12．（2022·浙江杭州市·七年级期末）计算：（1）．（2）．（3）（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）直接约分计算即可；（2）将除法转化为乘法再约分计算；（3）先算乘方和括号再算乘除最后算加减；（4）先算乘方再算乘除最后算加减．【详解】解：（1） =；（2）= ==；（3） = 71(5)27⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭15(0.25)63⎛⎫÷-÷- ⎪⎝⎭231213(2)5⎛⎫---⨯÷- ⎪⎝⎭223(0.25)(8)952⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52257920-16571(5)27⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭5215(0.25)63⎛⎫÷-÷- ⎪⎝⎭131654⎛⎫⎛⎫⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13465⎛⎫⨯-⨯- ⎪⎝⎭25231213(2)5⎛⎫---⨯÷- ⎪⎝⎭31(8)45⎛⎫---÷- ⎪⎝⎭= = =；（4） = = = = 【点睛】本题考查了有理数的混合运算解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．13．（2022·浙江杭州市·七年级期末）计算：（1）．（2）．（3）（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）直接约分计算即可；（2）将除法转化为乘法再约分计算；（3）先算乘方和括号再算乘除最后算加减；（4）先算乘方再算乘除最后算加减．【详解】解：（1） =；（2）= 14258⎛⎫--⨯- ⎪⎝⎭2410-+7920-223(0.25)(8)952⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭129(8)9454⎛⎫-⨯-⨯-+÷ ⎪⎝⎭12489459-⨯⨯+⨯445-+16571(5)27⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭15(0.25)63⎛⎫÷-÷- ⎪⎝⎭231213(2)5⎛⎫---⨯÷- ⎪⎝⎭223(0.25)(8)952⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52257920-16571(5)27⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭5215(0.25)63⎛⎫÷-÷- ⎪⎝⎭131654⎛⎫⎛⎫⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==；（3） = = = =；（4） = =12489459-⨯⨯+⨯ =445-+ =165 【点睛】本题考查了有理数的混合运算解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．14．（2022·浙江七年级期末）计算：（1）．（2）．（3）．（4）．【答案】（1）3；（2）1；（3）927；（4）1【分析】（1）先化简符号和括号再计算加减法；（2）将除法转化为乘法再约分计算；（3）先算括号内的再算乘除最后算加减；（4）先算乘方和括号再算乘除最后算加减． ()13465⎛⎫⨯-⨯- ⎪⎝⎭25231213(2)5⎛⎫---⨯÷- ⎪⎝⎭31(8)45⎛⎫---÷- ⎪⎝⎭14258⎛⎫--⨯- ⎪⎝⎭2410-+7920-223(0.25)(8)952⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭129(8)9454⎛⎫-⨯-⨯-+÷ ⎪⎝⎭11552( 4.8)4566⎡⎤⎛⎫-+--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦94(81)(16)49-÷⨯÷-11304(3)1556⎛⎫÷--⨯-+ ⎪⎝⎭422321(3)(15)35⎛⎫⎡⎤-÷--+-⨯- ⎪⎣⎦⎝⎭【详解】解：（1） = = ==3；（2） = =1；（3） = ==927；（4） = ==1 【点睛】本题考查了有理数的混合运算解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 28．（2021·湖北恩施·七年级期末）计算下列各题：(1)2(35)(3)(13)--+-⨯-； (2)32422()93-÷⨯-．【答案】(1)-16 (2)-8【分析】（1）先算括号中的减法再算乘方乘法以及加减即可得到结果；（2）先算乘方再算乘除即可得到结果．(1)解：原式＝359(2)-++⨯-11552( 4.8)4566⎡⎤⎛⎫-+--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11552 4.84566⎛⎫--+ ⎪⎝⎭145154425566+--107-94(81)(16)49-÷⨯÷-441819916⨯⨯⨯11304(3)1556⎛⎫÷--⨯-+⎪⎝⎭301215301÷++9001215++422321(3)(15)35⎛⎫⎡⎤-÷--+-⨯- ⎪⎣⎦⎝⎭()23168(15)(15)35-÷-+⨯--⨯-2109-+218=- ＝16-；(2)解：原式＝94849-⨯⨯＝8-．【点睛】此题考查了有理数的混合运算熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15．（2022·河南驻马店·七年级期末）计算：（1）()22112 2.25554⎛⎫---+-- ⎪⎝⎭；（2）2220212111132322⎛⎫--⨯--+÷⨯ ⎪⎝⎭．【答案】（1）1-；（2）54-【分析】（1）先化简绝对值、去括号再计算加减法即可得；（2）先计算乘方、除法再化简绝对值、乘法然后计算加减法即可得．【详解】解：（1）原式2 2.2275.2555--+=- 7255=- 1=-；（2）原式4143111322=--⨯-+⨯3134344=--⨯+-4331344=--⨯+3114=--+ 54=-．【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算熟练掌握运算法则是解题关键． 16．（2022·山东青岛·七年级期末）计算： (1)123()3035--+； (2)431116(2)()48-+÷---⨯．【答案】(1)110； (2)52-【分析】（1）原式利用减法法则变形计算即可得到结果；（2）原式先算乘方再算乘除最后算加减即可得到结果． (1) 原式＝1233035+- ＝12018303030+- ＝1201830+- ＝330＝110； (2)原式＝()1116848⎛⎫-+÷---⨯ ⎪⎝⎭＝1122--+＝52-．【点睛】本题考查了有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算正确理解运算顺序并细心计算是解决本题的关键；运算顺序：先乘方、再乘除、后加减有括号的先算括号里面的． 17．（2022·福建福州·七年级期末）计算： (1)()()()()2356---++-+； (2)()2202241235⎛⎫-+-÷--- ⎪⎝⎭．【答案】(1)0 (2)9-【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可；（2）根据有理数的混合运算法则进行计算即可． (1)解：()()()()2356---++-+2356=-++-88=-+0=(2)解：()2202241235⎛⎫-+-÷--- ⎪⎝⎭51434⎛⎫=-+⨯-- ⎪⎝⎭153=--- 9=-【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算熟练掌握有理数混合运算法则有乘方的先算乘方再算乘除最后算加减有括号的先算小括号里面的是解题的关键． 18．（2022·湖北孝感·七年级期末）计算：(1)(－5)×(－6)－40＋2． (2)(－3)2－｜－8｜－(1－2×35)÷25．【答案】(1)8- (2)32【分析】（1）先计算有理数的乘法然后计算加减即可；（2）先计算乘方及绝对值及小括号内的运算然后计算除法最后计算加减即可． (1)原式＝30－40＋2 ＝－8； (2)原式＝9－8-65152⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭＝9－8-1552⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭＝9－8＋12＝32．【点睛】题目主要考查含乘方的有理数的混合运算绝对值化简熟练掌握运算法则是解题关键． 19．（2022·山东枣庄·七年级期末）计算(1)22(2)31(0.2)4-+-⨯-÷-+- (2)222172(3)(6)()3-+⨯---÷-【答案】(1)－1 (2)23【分析】（1）先计算乘方再计算乘除最后算加减可得答案；（2）先计算乘方再计算乘除最后计算加减即可得到答案． (1)解：22(2)31(0.2)4-+-⨯-÷-+-4(6)54=-+-++1=-(2)222172(3)(6)()3-+⨯---÷-4929(6)9=-+⨯--⨯491854=-++ 23=【点睛】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算掌握“含乘方的有理数的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．20．（2022·湖北荆州·七年级期末）计算：(1)﹣14﹣5+30﹣2 (2)﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4| 【答案】(1)9 (2)-3【分析】（1）根据有理数的加减法运算法则计算即可求解；（2）先算乘方再算乘除最后算加法求解即可． (1)解：-14-5+30-2 =（-14-5-2）+30 =-21+30 =9； (2)-32÷（-3）2+3×（-2）+|-4| =-9÷9-6+4 =-1-6+4 =-3．【点睛】本题考查了有理数的混合运算有理数混合运算顺序：先算乘方再算乘除最后算加减；同级运算应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号要先做括号内的运算． 21．（2022·河南驻马店·七年级期末）计算：(1)1|2|4--（34-）+11|1|2--； (2)16+（﹣2）319-⨯（﹣3）2﹣（﹣4）4．【答案】(1)312 (2)-249【分析】（1）先求绝对值再按有理数加减法法则计算即可；（2）先计算乘方再计算乘法最后计算加减即可． (1)解：原式=13121442++-=312； (2)解：原式=16-8-19×9-256=16-8-1-256 =-249．【点睛】本题考查有理数混合运算求绝对值熟练掌握有理数运算法则是解题的关键． 22．（2022·四川广元·七年级期末）计算：220221256(4)(1)2⎛⎫---+÷-+-⨯- ⎪⎝⎭．【答案】-6 【详解】解：原式()()41241=--⨯-+-⨯ ＝()()424---+- ＝()424-++-6=-．【点睛】此题考查了含乘方的有理数的混合运算正确掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 23．（2022·广西崇左·七年级期末）计算(1)2312130.25343-+-- (2)()22122332⎡⎤-+⨯--÷⎢⎥⎣⎦【答案】(1)－1812 (2)2 (1)解∶原式＝－2123－13＋334－14＝－22＋312 ＝－1812 (2)解：原式=()42932-+⨯-⨯ ＝－4＋2×（9－6）＝－4＋6 ＝2【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 24．（2022·陕西·西安七年级期中）计算： (1)()()2132----+- (2)22212(32)243⎡⎤⨯+-÷⎣⎦ (3)152(18)369⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭ (4)3202141(1)(13)82⎛⎫-+-÷⨯ ⎪⎝⎭【答案】(1)6-(2)0(3)5(4)34-【分析】（1）利用有理数加法和减法法则按照从左到右的顺序依次计算；（2）先算乘方并把带分数化成假分数再计算乘除最后计算加减同时按照先算小括号再算中括号的运算顺序计算即可；（3）利用乘法分配律进行计算即可；（4）先计算乘方再计算乘除最后计算加法即可.(1)原式=21326-+--=-； (2)原式=()2934294⎡⎤⨯+-÷⎣⎦ =1122⎛⎫+- ⎪⎝⎭=0；(3)原式=()121829⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭=()()12181829⎛⎫-⨯-+⨯- ⎪⎝⎭=94- =5；(4)原式=()411288-+-÷⨯=111688-+÷⨯=1128-+⨯=114-+=34-. 【点睛】本题考查有理数的加减乘除及乘方的混合运算解题关键是牢记运算法则掌握运算顺序. 25．（2022· 绵阳市·九年级专项）计算：（1）211421337⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）11(3)(3)33⎛⎫⨯-÷-⨯- ⎪⎝⎭；（3）11661510155⎛⎫⎛⎫--÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）67324(6) 3.5784⎛⎫⎛⎫-÷--÷⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（5）111532⎛⎫÷-- ⎪⎝⎭；（6）221782 1.52133699⎡⎤⎛⎫-⨯÷-÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（7）21112 1.48 1.410 1.4333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷--÷++÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（8）211113170.12511131628⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-+÷-÷-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【答案】（1）218-；（2）9-；（3）712-；（4）177；（5）18-；（6）22-；（7）307；（8）16．【分析】（1）先计算除法再计算加法两个有理数相除同号得正；（2）乘除法同级运算从左到右依次将除法转化为乘法先确定符号再将数值相乘；（3）先将除法转化为乘法再利用乘法分配律解题注意符号；（4）先算乘除再算减法结合加法结合律解题；（5）先算小括号再算除法；（6）先算小括号再算中括号；（7）先将除法转化为乘法再利用乘法分配律的逆运算解题；（8）先算小括号再算中括号结合乘法交换律解题．【详解】解：（1）211421337⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1477833⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2414493=-+24218=-；（2）11(3)(3)33⎛⎫⨯-÷-⨯- ⎪⎝⎭()1=(3)3(3)3⨯-⨯-⨯- =9；（3）11661510155⎛⎫⎛⎫--÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5165101566⎛⎫⎛⎫=--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111123=-++ 712=-；（4）67324(6) 3.5784⎛⎫⎛⎫-÷--÷⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭617324()762874⎛⎫⎛⎫=--⨯--⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1437=++177=；（5）111532⎛⎫÷-- ⎪⎝⎭6155⎛⎫=÷- ⎪⎝⎭5156⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭18=-；（6）221782 1.52133699⎡⎤⎛⎫-⨯÷-÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2378261323998⎡⎤⎛⎫=-⨯⨯-÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2782241399⎡⎤⎛⎫=--÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦282223992⎡⎤⎛⎫=-÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 982094⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭22442-=22=-；（7）21112 1.48 1.410 1.4333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷--÷++÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2115128103337⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2115128103337⎡⎤=-++⨯⎢⎥⎣⎦567=⨯307=；（8）211113170.12511131628⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-+÷-÷-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦162113171713388⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⨯-+÷ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2113(16)33881⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-+⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()332286⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭863=⨯16=．【点睛】本题考查有理数的四则混合运算涉及加法结合律、乘法分配律等知识是重要考点掌握相关知识是解题关键．26.（2022·娄底市第二中学七年级期中）请你先认真阅读材料：计算解：原式的倒数是＝12112()()3031065-÷-+-21121-+()3106530⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭2112()(30)31065-+-⨯-＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30）＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式等于﹣再根据你对所提供材料的理解选择合适的方法计算：．【答案】．【分析】根据题意先计算出的倒数的结果再算出原式结果即可．【详解】解：原式的倒数是：故原式．【点睛】本题主要考查了有理数的除法读懂题意并能根据题意解答题目是解决问题的关键． 27．（2022·黑龙江绥化·期中）计算：(1)()()()6.5 3.3 2.5 4.7-+----+； (2)()31612146⎛⎫⨯-⨯-⨯ ⎪⎝⎭； (3)22132412⎡⎤⎛⎫-+⨯-÷-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(4)()2449525⨯- (5)41399911899999918555⎛⎫⨯+⨯--⨯ ⎪⎝⎭【答案】(1)12- (2)63 (3)9- (4)24954-(5)99900【分析】根据有理数的加减乘除运算法则求解即可． (1)解：()()()6.5 3.3 2.5 4.7-+----+23110162511011322()()4261437-÷-+-114-113224261437⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132216143742⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132216143742⎛⎫⎛⎫-+-÷-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()132********⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭13224242424261437⎛⎫=-⨯-⨯+⨯-⨯ ⎪⎝⎭()792812=--+-14=-114=-6.5 3.3 2.5 4.7=--+-()6.5 3.3 4.7 2.5=-+++14.5 2.5=-+12=-；(2)解：()31612146⎛⎫⨯-⨯-⨯ ⎪⎝⎭ 3761246=⨯⨯⨯ 63=；(3)解：22132412⎡⎤⎛⎫-+⨯-÷-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()9244=-+⨯-9=-；(4)解：()2449525⨯- ()2449525⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭ 24495525=-⨯-⨯ 242455=-- 42495=-； (5)解：41399911899999918555⎛⎫⨯+⨯--⨯ ⎪⎝⎭ 41399911818555⎛⎫=⨯+--- ⎪⎝⎭ 999100=⨯99900=．【点睛】本题考查有理数的加减乘除混合运算熟练掌握相关运算法则及运算顺序是解决问题的关键． 28．（2022·河北邯郸·七年级期中）能简算的要简算（1）122 6.6 2.5325⨯+⨯ （2）44444999999999955555++++ （3）16533241787⎡⎤⎛⎫÷⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ （4）513.21 3.62812⎡⎤⎛⎫⨯-+⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】（1）25；（2）11110；（3）16；（4）10 【分析】（1）先把小数化为分数然后根据乘法的结合律进行计算求解即可；（2）先把分数部分和整数部分分别相加然后得到()()()()19199199919999+++++++由此求解即可；（3）直接根据分数的混合计算法则进行求解即可；（4）先把小数化为分数然后根据分数的混合计算法则进行求解即可．【详解】解：（1）131226232525⨯+⨯132=263255⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭1=2102⨯=25；（2）44444999999999955555++++()44444=999999999955555⎛⎫++++++++ ⎪⎝⎭=49999999999++++()()()()=19199199919999+++++++=10100100010000+++=11110；（3）16533241787⎡⎤⎛⎫÷⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1633=977⎡⎤÷+⎢⎥⎣⎦1696=77÷167=796⨯1=6；（4）513.21 3.62812⎡⎤⎛⎫⨯-+⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1631825=58512⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭61825=5512⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭2425=512⨯ =10．【点睛】本题主要考查了分数与小数的混合计算分数的混合计算解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．29．（2022·浙江七年级期中）计算（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）【答案】（1）；（2）；（3）-8；（4）；（5）8；（6）；（7）161；（8）【分析】根据有理数的混合运算法则分别计算．【详解】解：（1） = = =；（2） = = 3233(10)43434⎛⎫⎛⎫÷-⨯-÷-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22012201121(0.25)4522--⨯+-÷-1111864126⎛⎫-⨯-++÷ ⎪⎝⎭()2222114(32)333⎡⎤⎛⎫⎛⎫-÷---⨯-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22222411.35 1.057.7393⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2432151|2|(3)(2)62⎛⎫⎡⎤-+⨯-----÷- ⎪⎣⎦⎝⎭222311513543⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯÷---÷-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦111112123123100+++++++++++13-174-49613-2001013233(10)43434⎛⎫⎛⎫÷-⨯-÷-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3112123124451034⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-÷-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭110441015153-⨯⨯⨯13-()22012201121(0.25)4522--⨯+-÷-()2012220111422554⎛⎫--⨯+-÷- ⎪⎝⎭2012201151424254⎛⎫-⨯-⨯⎪⎝⎭= =；（3） = = ==-8；（4） = = ==；（5） = = = =8；（6） 2011411444⎛⎫-⨯⨯- ⎪⎝⎭174-1111864126⎛⎫-⨯-++÷ ⎪⎝⎭111866412⎛⎫⨯--⨯ ⎪⎝⎭1114848486412⨯-⨯-⨯8124--()2222114(32)333⎡⎤⎛⎫⎛⎫-÷---⨯-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()91116(32)349⎡⎤-÷--⨯--⎢⎥⎣⎦111423⎛⎫--- ⎪⎝⎭12323+49622222411.35 1.057.7393⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭44411.35 1.057.7999⨯-⨯+⨯()411.35 1.057.79-+⨯4189⨯2432151|2|(3)(2)62⎛⎫⎡⎤-+⨯-----÷- ⎪⎣⎦⎝⎭= = = =；（7） = = = =160+1=161；（8） == = = = 【点睛】本题考查了有理数的混合运算解题的关键是掌握运算法则和运算顺序以及一些常用的简便运算方法．30．（2022·河北邯郸·二模）淇淇在计算：2022311(1)(2)623⎛⎫---+÷- ⎪⎝⎭时步骤如下：解：原式()11=202266623---+÷-÷①=202261218-++-① ()5112246274-+⨯+-⨯14125625-+⨯⨯213-+13-222311513543⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯÷---÷-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦3531345254⎛⎫⨯⨯+⨯+ ⎪⎝⎭35141254⎛⎫⨯++⎪⎝⎭511284⨯+111112123123100+++++++++++()()()11111221331100100222+++++⨯+⨯+⨯2222122334100101++++⨯⨯⨯⨯11112122334100101⎛⎫⨯++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭11111112122334100101⎛⎫⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭200101=2048-①(1)淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是________；（填序号）(2)请给出正确的解题过程．【答案】(1)①； (2)见解析．【分析】（1）根据有理数的运算法则可知从①计算错误；（2）根据有理数的运算法则计算即可．(1)解：由题意可知：()20223111(1)(2)6=186236⎛⎫---+÷---+÷ ⎪⎝⎭；故开始出现错误的步骤是①(2)解：2022311(1)(2)623⎛⎫---+÷- ⎪⎝⎭()1=1866--+÷ =1836++=45．【点睛】本题考查含乘方的有理数的运算解题的关键是掌握运算法则并能够正确计算．。

部编数学七年级上册第03讲有理数的乘除法(5大考点)(解析版)含答案

第03讲有理数的乘除法（5大考点）一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点：(1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．要点：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3. 有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab ＝ba ．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc ＝(ab)c ＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac ．要点：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd ＝d(ac)b ．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad ．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．二、有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．要点：考点考向(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2. 有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．考点一：有理数的乘法运算1．计算：(1)54(3)1(0.25)65æö-´´-´-ç÷èø； (2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零． (1)54(3)1(0.25)65æö-´´-´-ç÷èø591936548=-´´´=-； (2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)19-(1)(1)(1)(1)1=-´-´-´×××´-=-14444244443个（1）相乘； (3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．但注意第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号.2.运用简便方法计算：25×﹣（﹣25）×+25×．【答案与解析】解：25×﹣（﹣25）×+25×，12-12-1(0)a b a b b¸=¹g 考点精讲=25×+25×+25×，=25×（++），=25×，=．【总结升华】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法分配律并灵活运用是解题的关键．3.用简便方法计算：(1)2215130.34(13)0.343737-´-´+´--´；(2) 3.1435.2 6.28(23.3) 1.5736.4-´+´--´．【答案】（1）原式2125(13)(13)0.340.343377éùéùæöæö=-´+-´+´-+´-ç÷ç÷êúêúëûèøèøëû2125(13)0.343377éùéùæöæö=-´++´--ç÷ç÷êúêúèøèøëûëû(13)10.34(1)130.3413.34=-´+´-=--=-．(2) 3.1435.2 6.28(23.3) 1.5736.4-´+´--´＝(-3.14)×35.2+(-3.14)×2×23.3+(-3.14)×18.2＝-3.14×(35.2+46.6+18.2)＝-3.14×100＝-314．考点二:有理数的除法运算1．计算： 17(49)2(3)33æö-¸-¸¸-ç÷èø 【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律．【答案与解析】解：17(49)2(3)33æö-¸-¸¸-ç÷èø 331(49)773æöæö=-´-´´-ç÷ç÷èøèø331493773æö=-´´´=-ç÷èø【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果．2.计算：111(3)(2(1)335-¸-¸-【答案】原式103525(()(37621=-´-´-=-考点三：有理数的乘除混合运算1.计算：9481(16)49-¸´¸-【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.9444181(16)811499916æö-¸´¸-=-´´´-=ç÷èø【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，再应按从左到右的顺序进行．2.计算：14410(2)893-¸´¸-【答案】 14410(2)893-¸´¸-194181941243108432843216æö=-´´´-=´´´=ç÷èø考点四：有理数的加减乘除混合运算1. 计算：121123031065æöæö-¸-+-ç÷ç÷èøèø【答案与解析】方法1：121123031065æöæö-¸-+-ç÷ç÷èøèø12035121303010-+-æöæö=-¸=-ç÷ç÷èøèø方法2：211213106530æöæö-+-¸-ç÷ç÷èøèø2112(30)1031065æö=-+-´-=-ç÷èø所以121121303106510æöæö-¸-+-=-ç÷ç÷èøèø 【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决，如果按a÷(b+c) ＝a÷b+a÷c 进行分配就错了．2.观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，那么计算：= ．【答案】解：==．考点五：含绝对值的化简1. 已知a 、b 、c 为不等于零的有理数，你能求出||||||a b c a b c++的值吗?【思路点拨】先分别确定a 、b 、c 的取值，再代入求值．【答案与解析】解：分四种情况：(1)当a 、b 、c 三个数都为正数时，||||||1113a b c a b c a b c a b c++=++=++=；(2)当a 、b 、c 三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a 为负数，b 、c 为正数，||||||1111a b c a b c a b c a b c-++=++=-++=；(3)当a 、b 、c 三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a 为正数，b 、c 为负数，||||||1111a b c a b c a b c a b c--++=++=--=-；(4)当a 、b 、c 三个数都为负数时，||||||(1)(1)(1)3a b c a b c a b c a b c---++=++=-+-+-=-||||b c b c++的值为：3,3,1,1--【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论.2.计算a b a b+的取值.【答案】(1)当a ＞0、b ＞0时，112a b a b =+=+=原式；(2)当a ＜0、b ＜0时，112a b a b-=+=--=--原式；(3)当a ＞0，b ＜0时，110a b a b=+=-=-原式；(4)当a ＜0，b ＞0时，110a b a b-=+=-+=原式．2,2,0-一、单选题1．（2021·全国七年级专题练习）计算8÷（﹣2）的结果是（）A ．﹣4B ．﹣16C ．﹣6D ．10【答案】A【分析】根据有理数的除法法则进行计算即可．【详解】解：原式＝﹣8÷2＝﹣4．故选：A ．【点睛】本题考查了有理数的除法法则．熟记法则是解题的关键．2．（2021·广东七年级期末）计算：﹣17×□＝1，则□内应填的数是（）巩固提升A ．﹣7B ．﹣1C ．17D ．7【答案】A 【分析】根据有理数的乘法法则计算可求解．【详解】解：∵1(7)17-´-=，∴□内应填的数是﹣7，故选：A ．【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，掌握运算法则是解题的关键．3．（2021·陕西西安·交大附中分校七年级期末）23-的倒数是（）A ．32-B ．32C ．23D ．23-【答案】A【分析】根据倒数的定义进行答题．【详解】解：23-的倒数是32-，故选：A ．【点睛】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．4．（2021·内蒙古七年级期末）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完，一天之后“一尺之捶”剩12尺，两天之后剩14尺，那么3天之后，这个“一尺之棰”还剩（）A ．12尺B ．14尺C ．18尺D ．116尺【答案】C 【分析】两天之后14尺，那么只要计算第三天截去14的一半还剩多少即可求解．【详解】解：两天之后剩14尺，那么第三天截去了14×12＝18尺，所以三天后，这个“一尺之棰”还剩14－18＝18尺．故选：C ．【点睛】本题主要考查了有理数的运算，读懂题意并掌握有理数的运算法则是解题的关键．5．（2021·全国七年级课前预习）下列把除法转换为乘法的过程中正确的是（）A ．()114433æö¸-=-´ç÷èøB ．()()()13663æö-¸-=-´-ç÷èøC ．()11414æö¸-=´-ç÷èøD ．()13434æö-¸=´ç÷èø【答案】C 6．（2021·湖南七年级期末）若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，则2021!2020!的值等于（）A ．2021B ．2020C ．2021！D ．2020！【答案】A【分析】根据题意列出有理数混合运算的式子，进而可得出结论．【详解】解：Q 1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，\2021!202120202019...1==20212020!20202019...1´´´´´´´故选A ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．7．（2020·浙江杭州·）若0a b +>，且0ab <，则（）A ．0,0a b >>B ．a ，b 异号且其中负数的绝对值较大C ．0,0a b <<D ．a ，b 异号且其中正数的绝对值较大【答案】D【分析】根据有理数的乘法法则可得a 、b 为异号，再根据有理数的加法法则可得正数的绝对值较大，进而得到答案．【详解】解：∵ab ＜0，∴a 、b 为异号，∵a +b ＞0，∴正数的绝对值较大，故选：D ．【点睛】此题主要考查了有理数的乘法和加法法则，关键是掌握计算法则．8．（2021·全国七年级专题练习）下列运算过程中，有错误的是（）A ．（3﹣412）×2＝3﹣412×2B ．﹣4×（﹣7）×（﹣125）＝﹣（4×125×7）C ．91819×16＝（10﹣119）×16＝160﹣1619D ．[3×（﹣25）]×（﹣2）＝3×[（﹣25）×（﹣2）]【答案】A【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【详解】解：A、原式＝3×2﹣92×2＝6﹣9＝﹣3，符合题意；B、原式＝﹣（4×125×7），不符合题意；C、原式＝（10﹣119）×16＝160﹣1619，不符合题意；D、原式＝3×[（﹣25）×（﹣2）]，不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二、填空题9．（2021·全国七年级专题练习）计算：3×（12-）＝____．【答案】3 2 -【分析】利用有理数的乘法法则直接计算即可．【详解】解：13322æö´-=-ç÷èø，故答案为：32 -．【点睛】本题考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键．10．（2021·全国七年级课前预习）计算：6×（－9）＝ __________（－6）×0＝____________2 3×94-＝________（13-）×14＝_________（－2）×54×910æö-ç÷èø×23æö-ç÷èø＝_____（－6）×5×76æö-ç÷èø×27＝_______【答案】－54 032-112-32- 1011．（2020·浙江杭州·七年级期末）在数5-，1，3-，5，2-中任两个数相乘除，其中最大的积是_________，最小的商是_______．【答案】15 -5【分析】根据有理数的乘除法法则分别计算，再比较可得结果．【详解】解：最大的积是：-5×（-3）=15，最小的商是：-5÷1=-5，故答案为：15，-5．【点睛】此题主要考查了有理数的乘除法和比较大小，关键是掌握有理数的运算法则．12．（2021·浙江七年级期中）在2021□□□的“□”内分别填入“+”，“-”，“´”三个运算符号（每个符号只能填1次），最大的运算结果=________．【答案】4【分析】由运算的结果最大先确定乘号的位置，再确定加号与减号的位置即可.【详解】解：由运算的结果最大可得：0的前面与后面都不能用“´”，从而可确定第一个2的后面是“-”，第二个2的前面是“+”，2021 4.\-+´=故答案为：4.【点睛】本题考查的是有理数的加减运算，乘法运算，有理数的大小比较，掌握有理数的加减运算与乘法运算的运算法则是解题的关键.13．（2021·全国七年级专题练习）计算：−2÷12×2＝______．【答案】8-【分析】根据有理数乘除的性质计算，即可得到答案．【详解】−2÷12×2＝2228-´´=-故答案为：8-．【点睛】本题考查了有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握有理数乘除运算的性质，从而完成求解．14．（2021·陕西七年级期中）已知a、b都不为0，则||||||a b aba b ab++的值为___________．【答案】1-，3【分析】分4种情况讨论：①a、b都是正数；②a、b都是负数；③a是正数，b是负数；④a是负数，b是正数【详解】①a、b都是正数，||||||1113a b aba b ab++=++=；②a、b都是负数，||||||1111 a b aba b ab++=--+=-；③a是正数，b是负数，||||||1111 a b aba b ab++=--=-；④a是负数，b是正数，||||||1111 a b aba b ab++=-+-=-；综上所述，||||||a b aba b ab++的值为1-，3故答案为：1-，3【点睛】本题考查了有理数的绝对值定义和有理数除法法则，解答关键是根据题意对a、b符号进行分类讨论．15．（2018·山东七年级期中）定义一种新的运算：x*y=2x yx+，如：3*1=3213+´=53，则2*3=__________．【答案】4【分析】把原式利用题中的新定义计算转换为有理数运算，即可得到结果．【详解】解：根据题中的新定义得：2232*342+´==，故答案为：4【点睛】此题考查了新定义运算和有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．16．（2021·全国七年级课前预习）根据“除法是乘法的逆运算”探究：正数除以负数：8÷（－4）＝8×（______）负数除以负数：（－8）÷（－4）＝（－8）×（______）零除以负数：0÷（－4）＝0×（______）可知，除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的_____【答案】14-14-14-倒数17．（2021·全国七年级课前预习）探究：规定一楼地面的高度为0，从一楼向上的方向为正，从一楼向下的方向为负．小亮测量学校楼梯每一级台阶都是15 cm．如果小亮从1楼向上走1、2、3级台阶时，他所在的高度分别是多少？如何用算式表示呢？15×1 ＝____15×2 ＝____15×3 ＝____小亮测量学校楼梯每一级台阶都是15cm．如果小亮从1楼向下走1、2、3级台阶时，他所在的高度分别是多少？如何用算式表示呢？（－15）×1 ＝____（－15）×2 ＝____（－15）×3 ＝_____观察上面的式子，根据你对有理数乘法的思考，填空：正数乘以正数积为_____数负数乘以正数积为______数正数乘以负数积为______数负数乘以负数积为______数乘积的绝对值等于各乘数绝对值的_______【答案】15 30 45 －15 －30 －45 正负负正积三、解答题18．（2021·全国七年级专题练习）计算：（1）（﹣4120）×1.25×（﹣8）；（2）56´（﹣2.4）35´；（3）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×0.01；（4）91819´15．【答案】（1）40.5；（2）65-；（3）-84；（4）414919【详解】【分析】（1）原式变形后，约分即可得到结果；（2）原式变形后，约分即可得到结果；（3）原式利用乘法法则计算即可得到结果；（4）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果．【详解】解：（1）原式815204=´´8＝40.5；（2）原式512366555=-´´=-；（3）原式＝﹣（14×6）×（100×0.01）＝﹣84；（4）原式＝（10119-）×15＝1501519-=149419．19．（2021·全国七年级专题练习）计算下列各题：（1）112136æö¸-ç÷èø；（2）151124364æöæö´-¸-ç÷ç÷èøèø；（3）1152(10)3236æö-¸-´¸-ç÷èø．【答案】（1）2-；（2）89；（3）1-．【详解】（1）原式7736æö=¸-ç÷èø76372æö=´-ç÷èø=-（2）原式41717364æö=+´¸ç÷èø4174361789=´´=（3）原式5110621035æö=-´´´ç÷èø1=-．20．（2021·全国七年级课前预习）计算：（1）()()74491647-¸´¸- （2）()41452éùæöæö-¸-¸-ç÷ç÷êúèøèøëû【答案】（1）1；（2）52-【详解】()441441(1)4949 1.77167716æö=-´´´-=´´´=ç÷èø原式()()()()4855(2)4244.5582éùæö=-¸-´-=-¸=-´=-ç÷êúèøëû原式21．（2021·江苏南京一中七年级月考）定义运算“*”为：*()a b a b a b =´-+，求2*5，(3)*(8)--．【答案】3，35．【分析】原式利用题中的新定义法则计算即可得到结果．【详解】解：*()a b a b a b =´-+Q ，2*525(25)1073\=´-+=-=，(3)*(8)(3)(8)(38)241135--=-´----=+=．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，正确理解新定义法则、熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（2021·福建七年级期末）已知一些两位数相乘的算式：62×11，18×22，34×11，15×55，63×39，54×11．（1）观察上述算式，选出具有共同特征的3个算式，并说出它们的共同特征；（2）分别计算你选出的算式．观察计算的结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速、直接地写出积的规律吗？请用文字描述这个规律；（3）在已知算式中，其他算式可以用上面的规律进行简便运算吗？如何能，写出你的变形过程并直接写出最后结果．【答案】（1）一个两位数与11相乘；（2）两位数乘法中，如果有一个因数为11，得数的百位上的数是两个因数最高位上的积，十位上的数是第一个因数十位数与其个位数的和，个位上的数是两个因数个位上数的积；（3）18×22＝36×11＝396，15×55＝75×11＝825．【分析】（1）确定因数为11的算式；（2）计算并发现规律；（3）根据发现的规律找算式即可．【详解】（1）解：62×11，34×11，54×11，这3个算式共同特征是：一个两位数与11相乘．（2）解：62×11＝682，34×11＝374，54×11＝594，规律：两位数乘法中，如果有一个因数为11，得数的百位上的数是两个因数最高位上的积，十位上的数是第一个因数十位数与其个位数的和，个位上的数是两个因数个位上数的积．或表述成：某个两位数与11相乘，得数的百位上的数是这个两位数的十位数，得数的十位上的数是这个两位数各位数的和，个位上的数是这个两位数个位上的数．（3）解：18×22＝36×11＝396，15×55＝75×11＝825，【点睛】本题是计算类的规律题，观察所给的算式，找出算式之间数与数的关系，还有与结果的关系，得出结论，在根据规律解决问题．23．（2021·西安市铁一中学七年级月考）已知x，y为有理数，现规定一种新运算“*”，满足x*y＝xy﹣5例如：1*2＝1×2﹣5＝﹣3（1）请仿照上面的例题计算下列各题：①2*（﹣3）；②（4*5）*（﹣16）；（2）任意选择两个有理数，分别填入下列□和〇中，并比较它们的运算结果；多次重复以上过程，你发现：□*〇〇*□（用“＞”“＜”或“＝”填空）．【答案】（1）①﹣11；②﹣152；（2）＝【分析】（1）①利用题中的新定义计算即可求出值；②利用题中的新定义计算即可求出值，先计算括号里面的再计算；（2）设□和〇的数字分别为有理数a ，b ，利用新定义，分别计算□*〇与〇*□，再比较大小即可．【详解】解：（1）①根据题中的新定义得：原式＝2×（﹣3）﹣5＝﹣6﹣5＝﹣11；②根据题中的新定义得：原式＝（4×5﹣5）*（﹣16）＝15*（﹣16）＝15×（﹣16）﹣5＝﹣52﹣5＝﹣152；（2）设□和〇的数字分别为有理数a ，b ，根据题意得：a*b ＝ab ﹣5，b*a ＝ab ﹣5，即a*b ＝b*a ，则□*〇＝〇*□．故答案为：＝．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．（2021·重庆七年级期末）一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a ，b ，c ，d ，如果a b c d £££，那么我们把这个四位正整数叫做顺次数，例如四位正整数1369：因为1369<<<，所以1369叫做顺次数．（1）四位正整数中，最大的“顺次数”是__________，最小的“顺次数”是__________；（2）已知一个四位正整数的百位、个位上的数字分别是2、7，且这个四位正整数是“顺次数”，同时，这个四位正整数能被7整除，求这个四位正整数．【答案】（1）9999，1111；（2）1267或2247【分析】（1）根据“顺次数”的定义，直接写出答案即可；（2）分两种情况：当1a =时，当2a =时，分别写出所有的顺次数，再验证能否被7整除，即可得到答案．【详解】（1）根据“顺次数”的定义，四位正整数中，最大的“顺次数”是9999，最小的“顺次数”是1111，故答案是：9999，1111；(2）当1a=时，可能是1227、1237、1247、1257、1267、1277，其中，只有1267是7的倍数；a=时，可能是2227、2237、2247、2257、2267、2277，其中，只有2247是7的倍数；当2∴这个四位数是1267或2247．【点睛】本题主要考查新定义问题，理解“顺次数”的定义，是解题的关键．。

部编数学七年级上册专题03有理数的混合运算(解析版)含答案

2022-2023学年人教版数学七年级上册压轴题专题精选汇编专题03 有理数的混合运算考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021七上·驻马店期末）若 a 是最大的负整数， b 是绝对值最小的有理数， c 是倒数等于它本身的自然数，则 202220222021a b c ++ 的值为（） A ．2B ．0C ．2021D ．2022【答案】A【完整解答】解：∵a 是最大的负整数， b 是绝对值最小的有理数， c 是倒数等于它本身的自然数， ∴a=-1，b=0，c=1，∴202220222021a b c ++= ()202220221202101-+⨯+=1+0+1=2故答案为：A.【思路引导】由题意可得a=-1，b=0，c=1，然后根据有理数的混合运算法则计算即可.2．（2分）（2021七上·遵化期末）下列计算正确的是（）A ．()21237---⨯=B ．13434÷⨯=C ．()()25219⨯---=D ．()()()101824515--÷-+⨯-=-【答案】D【完整解答】解：A ．()2123165---⨯=-+=，不符合题意；B ．111334344416÷⨯=⨯⨯=，不符合题意；C ．()()252110111⨯---=--=-，不符合题意；D ．()()()10182********--÷-+⨯-=+-=-，符合题意；故答案为：D ．【思路引导】根据含乘方的有理数的混合运算的计算方法求出各选项的结果再判断即可。

3．（2分）（2021七上·拱墅月考）下列计算正确的是（）A ．15﹣15×4＝0×4＝0B ．9÷（﹣8）×（﹣18）＝9÷1＝9C ．﹣32﹣（﹣2）3＝9﹣8＝1D ．1111712(()(412164487-÷+=-÷=-【答案】D【完整解答】解：A 、原式＝15﹣45＝35-，故此选项错误，不符合题意；B 、原式＝9×（﹣18）×（﹣18）＝964，故此选项错误，不符合题意；C 、原式＝﹣9﹣（﹣8）＝﹣9+8＝﹣1，故此选项错误，不符合题意；D 、原式＝1111712()()(412164487-÷+=-÷=-，故此选项错正确，符合题意.故答案为：D.【思路引导】对于A 中的式子，先计算乘法，再计算减法，据此判断；对于B 中的式子，首先将除法化为乘法，然后利用有理数的乘法法则进行计算即可判断；对于C 中的式子，根据有理数的乘方法则可得原式=-9+8，据此判断；对于D 中的式子，首先计算出括号内的值，然后利用有理数的除法法则计算出结果，据此判断.4．（2分）（2021七上·秀洲月考）对于任意不相等的两个实数a ，b ，定义运算：a ※b ＝a 2﹣b 2+1，例如3※2＝32﹣22+1＝6，那么（﹣5）※4的值为（）A ．﹣40B ．﹣32C ．18D ．10【答案】D【完整解答】解：（-5）※4＝（﹣5）2﹣42+1＝10.故答案为：D.【思路引导】根据定义的新运算可得(-5)※4＝(-5)2-42+1，然后结合有理数的混合运算法则进行计算.5．（2分）（2021七上·达州期中）若a=-3×42，b=（-3×4）2，c=-（3×4）2，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．b ＞a ＞c B ．b ＞c ＞a C ．a ＞b ＞c D ．c ＞a ＞b【答案】A【完整解答】解：∵a=-3×42=-48，b=（-3×4）2=144，c=-（3×4）2=-144，-144＜-48＜144，∴b ＞a ＞c.故答案为：A.【思路引导】根据有理数的乘方、乘法法则分别计算出a 、b 、c 的值，然后进行比较即可.6．（2分）（2020七上·运城期中）我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为：1×23+0×22+1×21+1×20=11．按此方式，则将十进制数7换算成二进制数应为（） A ．101B ．110C ．111D ．1101【答案】C【完整解答】解：∵7=4+2+1，∴1×22+1×21+1×20=7，∴十进制数7换算成二进制数应为111．故答案为：C ．【思路引导】首先7=4+2+1，由此即可把7变为1×22+1×21+1×20=7，从而得出十进制数7换算成二进制数的结果.7．（2分）（2019七上·乌鲁木齐月考）为了求1+2+22+23+…+22016的值,可令S=1+2+22+23+…+22016,则2S=2+22+23+24+…+22017,因此2S-S=22017-1,所以1+2+22+23+…+22016=22017-1. 仿照以上推理计算出1+5+52+53+…+52016的值是（） A ．201651-B ．201751-C ．2016514-D ．2017514-【答案】D【完整解答】设S ＝1＋5＋52＋53＋…＋52016，则5S ＝5＋52＋53＋…＋52014＋52017，∴4S ＝52017-1，则S ＝2017514- ，故答案为：D.【思路引导】设S ＝1＋5＋52＋53＋…＋52016①，两边同乘以5可得5S ＝5＋52＋53＋…＋52014＋52017②，利用②-①可得4S ＝52017-1，据此求出S 即可.8．（2分）阅读材料：求值：1+2+22+23+24++22013.解：设S=1+2+22+23+24+…+22013.将等式两边同时乘以2，得2S=2+22+23+24+…+22013+22014将下式减去上式，得2S ﹣S=22014﹣1.即S=1+2+22+23+24++22013=22014﹣1.请你仿照此法计算1+3+32+33+34+…+32018的值是（）A ．32018﹣1B ．2018312-C ．32019﹣1D ．2019312-【答案】D【完整解答】设S=1+3+32+33+34+…+22018.将等式两边同时乘以3，得3S=3+32+33+34+…+32018+32019将下式减去上式，得3S ﹣S=32019﹣1.即S=1+3+32+33+34++32018=2019312- .故答案为：D.【思路引导】利用方程的思想设S=1+3+32+33+34+…+22018.将等式两边同时乘以3，可得3S=3+32+33+34+…+32018+32019，然后将下式减去上式求出S 即可.9．（2分）（2018七上·梁平期末）日常生活中我们使用的数是十进制数 . 而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一” . 二进制数只使用数字0，1，如二进制数1101记为 21101 ， 21101 通过式子 321212021⨯+⨯+⨯+ 可以转换为十进制数13，仿照上面的转换方法，将二进制数 211101 转换为十进制数是（） A ．4B ．25C ．29D ．33【答案】C【完整解答】解： 21101 通过式子 321212021⨯+⨯+⨯+ 转换为十进制数13，43221110112121202129∴=⨯+⨯+⨯+⨯+= ．故选：C ．【思路引导】由题意知， 211101 可表示为 432121212021⨯+⨯+⨯+⨯+ ，然后通过计算，所得结果即为十进制的数．10．（2分）（2019七上·厦门月考）已知 622410(2016),(40)1016a b =⨯--=-- ，2666666665c =-⨯ ，则 ,,a b c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．c a b>>C ．b c a>>D ．c b a>>【答案】D【完整解答】解： 6262410(2016)=4102016=64256a =⨯--⨯--2(40)1016=1600-1016=584b =--2666666665=666(666665)666c =-⨯⨯-=∵666>584>-64256∴c b a >>故答案为：D.【思路引导】根据有理数的混合运算，分别求出 ,,a b c 的大小即可.二．填空题（共9小题，满分18分，每题2分）11．（2分）（2022七上·石阡期末）若 ()2350x y -++= ，则 x xy y -= .【答案】110【完整解答】解： 2(3)50x y -++= ，30x ∴-= ， 50y += ，解得： 3x = ， 5y =- ，33(5)(5)15125110x xy y ∴-=⨯---=-+= .故答案为：110.【思路引导】根据绝对值及偶次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都为0，可得x-3=0、y+5=0，求出x 、y 的值，然后代入xy-y x 中进行计算.12．（2分）（2021七上·永州月考）用“⊿”定义运算对于任意有理数m 、b 都有m ⊿b ＝ 2b ＋m.例如：7⊿4＝ 24 ＋7＝23，则（－9）⊿（－2）＝ .【答案】5-【完整解答】解：由题意得： 2(9)(2)(2)(9)--=-+-⊿ ，49=- ，5=- ，故答案为： -5 .【思路引导】根据新定义的计算法则把原式转化为有理数的混合运算，再计算即可.13．（2分）（2021七上·交城期中）“ ⊗ ”定义新运算：对于任意的有理数a 和b ，都有21a b b ⊗=+ ．例如： 2955126⊗=+= ．当m 为有理数时，则 (3)m m ⊗⊗ 等于　　．【答案】101【完整解答】解： (3)m m ⊗⊗ = 2(31)m ⊗+ = 10m ⊗ = 2101+ =101．故答案为：101．【思路引导】根据定义新运算转化为有理数的混合运算，再计算即可.14．（2分）（2021七上·平阳期中）计算：(-1)2018-(π-3.14)0+( 12)-2= .【答案】4【完整解答】解：原式=1-1+4=4.故答案为：4.【思路引导】先进行有理数乘方的运算，然后进行有理数加减混合运算，即得结果.15．（2分）（2021七上·宜兴期中）如果规定这样一种运算法则：a ※b ＝a 2＋2ab ，例如：3※（﹣2）＝32＋2×3×（﹣2）＝﹣3.则（﹣3）※2＝ .【答案】－3【完整解答】解：由新定义的运算法则可得： 2(3)2(3)2(3)29123-=-+⨯-⨯=-=-※故答案为：－3.【思路引导】将a=-3与b=2代入 a ※b ＝a 2＋2ab 中得出常规算式，按含乘方的有理数的混合运算法则计算即可.16．（2分）（2021七上·绍兴开学考）小明学了计算机运算法则后，编制了一个程序，当他任意输入一个有理数以后，计算机会计算出这个有理数的平方减去2的差.若他第一次输入 12-，然后将所得结果再次输入，那么最后得到的结果是．【答案】1716【完整解答】解：∵第一次输入12-∴第一次输出的数为217224⎛⎫--=-⎪⎝⎭第二次输入74-∴27172416⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为：1716.【思路引导】设这个有理数为x ，将x=12-代入22x -进行计算，可求出结果，再将其结果代入22x -，进行计算即可.17．（1分）（2020七上·蒙山月考）计算： ()1212-÷= 【答案】-42【完整解答】解： ()()121212422-÷=-⨯=- ；故答案为 42- .【思路引导】根据有理数的除法进行求解即可.18．（2分）（2021八上·抚顺期末）求 220191222++++ 的值，可令 22019S 1222=++++ ，则23202022222S =++++ ，因此 2020221S S -=- .仿照以上推理，计算出23201911112222++++ 的值为 .【答案】2019112-【完整解答】解：令 23201911112222S =++++ ，则 23420201111122222S =++++ ，∴2020111222S S -=- ，∴2020111222S =- ，则 2019112S =-.故答案为： 2019112-【思路引导】根据题目所给计算方法，令 23201911112222S =++++ ，再两边同时乘以 12，求出 12S ，用 12S S - ，求出 12S 的值，进而求出 S 的值.19．（2分）如果有4个不同的正整数 a 、 b 、 c 、 d 满足()()()()20192019201920198a b c d ----= ，那么 a b c d +++ 的最大值为　　.【答案】8078【完整解答】解：∵a 、 b 、 c 、 d 是四个不同的正整数， ∴四个括号内是各不相同的整数，不妨设 ()()()()2019201920192019a b c d -<-<-<- ，又∵()()()()20192019201920198a b c d ----= ，∴这四个数从小到大可以取以下几种情况：①-4,-1,1,2；②-2,-1,1,4.∵()()()()2019+2019+2019+2019a b c d ---- = 8076()a b c d -+++ ，∴a b c d +++ =8076- ()()()()2019+2019+2019+2019a b c d ----⎡⎤⎣⎦ ，∴当 ()()()()2019+2019+2019+2019a b c d ---- 越小， a b c d +++ 越大，∴当 ()()()()2019+2019+2019+2019a b c d ---- =-4-1+1+2=-2时，a b c d +++ 取最大值=8076-(-2)=8078.故答案为：8078.【思路引导】根据 a 、 b 、 c 、 d 是四个不同的正整数，可知四个括号内是各不相同的整数，结合乘积为8，进行分类讨论.三．解答题（共10小题，满分63分） 20．（12分）利用因式分解简便运算.（1）（3分）2248482412+⨯+ ，（2）（3分）223.28 1.28 6.56 1.28-⨯+；（3）（3分）2240 3.1580 3.15 1.8540 1.85⨯+⨯⨯+⨯ ；（4）（3分）2382438144+⨯+ .【答案】（1）解： 2248482412+⨯+2(4812)=+3600=（2）解：原式 2(3.28 1.28)=-4=（3）解：原式 ()2240 3.152 3.15 1.85 1.85=⨯+⨯⨯+40(3.15=⨯21.85)+4025=⨯=1000（4）解：原式 22382123812=+⨯⨯+2(3812)=+250=2500=【思路引导】（1）根据完全平方公式进行因式分解，再进行计算即可；（2）根据完全平方公式进行因式分解，再进行计算即可；（3）先提公因式40，再根据完全平方公式进行因式分解，然后进行计算即可；（4）根据完全平方公式进行因式分解，再进行计算即可.21．（4分）（2021七上·嘉祥月考）已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x=(-2)2，求()()()202120222x a b cd x a b cd -+--++- 的值.【答案】解：∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x=(-2)2∴a+b=0，cd=1，x=4∴原式= ()()20222401401--⨯-+-=16+4+1=21【思路引导】根据题意得出a+b=0，cd=1，x=4，再代入原式进行计算，即可得出答案.22．（4分）（2021七上·镇巴期末）已知a 的相反数为-2，b 的倒数为 12- ，c 的绝对值为2，求 2a b c ++ 的值.【答案】解： a 的相反数为 2- ，b 的倒数为 12-，c 的绝对值为2， 2a ∴= ， 2b =- ， 2c =± ，()2222(2)a b c ∴++=+-+±224=-+4=【思路引导】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数；绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；根据相反数的定义得， 2a = ；由倒数的定义得， 2b =- ；由绝对值的性质得， 2.c =± 将它们的值分别代入，即可求出 2a b c ++ 的值.23．（5分）（2020七上·卧龙期中）现规定“ ∆ ”为一种新的运算：当 a b ≥ 时， 21a b a ab ∆=-+ ；当a b < 时， 21a b b ab ∆=+- .试计算： [(1)2](3)-∆∆- .【答案】解：原式= 222113⎡⎤+⨯--∆-⎣⎦（）（）= 13∆-（）= 21131-⨯-+（）=5.【思路引导】根据规定的新运算先计算（-1）△2，再将结果与（-3）进行同样的运算即可求解.24．（5分）（2020七上·犍为期中）已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数， 5m = ，n 是最大的负整数.求代数式 20202()4()ab c d n m --+-+ 的值.【答案】解：由题意得： 101ab c d n =+==-，，，5m = ，5m ∴=± ，225m ∴= ，则 202022020()4()(1)40(1)25ab c d n m --+-+=--⨯--+ ，10125=-++ ，27= .【思路引导】由 a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数， 5m = ，n 是最大的负整数，可得5m =±，101ab c d n =+==-，，，可求出225m = ，然后整体代入进行计算即可.25．（5分）（2020七上·温州月考）若“三角” 表示适算a+b+c ，“方框表示运算x-y+z+w.求:表示的速算，并计算结果。

人教版七年级数学上册有理数章节期末专题复习（含答案）

人教版七年级数学上册有理数章节期末专题复习（含答案）有理数有理数章节期末专题章节期末专题章节期末专题复习复习复习【课标要点】1.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值(绝对值符号内不含字母).3.理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算.4.理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算.5.能运用有理数的运算解决简单的问题.6.能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断. 【知识网络】第1讲有理数的基本概念有理数的基本概念有理数的基本概念【知识要点】1. 掌握有理数的意义及其分类方法，会比较有理数的大小.2. 掌握数轴的三要素及有理数与数轴的关系，有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点并不都表示有理数.3. 理解倒数与相反数都是成对出现的及零没有倒数，但是它有相反数的意义.4. 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值.本节重点是有理数有关概念的理解，难点是负数﹑绝对值概念的理解及应用，关键是对于有理数的基本概念，要能从不同角度去理解、认识．【典型例题】例1 －3的相反数是 ;－5的倒数是 ;－3的绝对值是 .分析:本例主要考查相反数﹑倒数﹑绝对值的概念. 解：（1）3 （2）－15（3）3 例2 比较－87与－98的大小．分析：比较几个负数的大小，一般先求它们的绝对值，再把这几个数用小数或同分母（或同分子）的数来表示，用小数或分数比较大小的方法进行比较，最后用＂两个负数相比较，绝对值大的反而小＂作出结论．解：解法一：作差比较．－87－（－98）＝－87＋98＝721＞０∴－87＞－98解法二：把分母化为相同∵｜－87｜＝87＝7263，｜－98｜＝7264，又∵7263＜7264，∴－87＞－98 解法三：把分子化为相同．∵｜－87｜＝87＝6456，｜－98｜＝98＝6356又∵6456＜6356，∴－87＞－98 解法四：作商比较∵｜－87｜＝87，｜－98｜＝98，而9887＝6463＜１∴87＜98，∴－87＞－98 例3 适合关系式｜x ＋32｜+｜x －34｜＝２的整数解x 的个数是（）Ａ、１Ｂ、２Ｃ、３Ｄ、０分析：已知等式的意义理解为数轴上的表示ｘ的点到表示－32和34的点的距离和为２，如图所示：从数轴上看出符合条件的整数ｘ只有０和１解:Ｂ．a b【知识运用】一、选择题选择题：：1．点A 为数轴上表示－２的动点，当Ａ点沿数轴移动４个单位长度到达点Ｂ时，点Ｂ表示的数是（）A ．２B ．－６C ．２或－６D ．不同于以上答案 2．|－３|的相反数是（）A.－３B.－13C.３D. ±３3．若两个有理数a 和b 在数轴上的对应位置如图所示，则下列各式中正确的是（）A. a b >B. ||||a b >C. ?D. ||b a4．质检员抽查某种零件的质量，超过规定长度的记为正数，短于规定长度的记为负数，检查结果如下：第一个为0.13毫米，第二个为–0.12毫米，第三个为–0.15毫米，第四个为0.11毫米，则质量最差的零件是（）A ．第一个B ．第二个C ．第三个D ．第四个二、填空题填空题：：5.与数轴上表示－2的点相距3个单位，则此点表示的数是_____.6.某地气象资料表明，高度每增加1000米，气温就下降大约6℃，现在10000米高空的气温是－23℃，则地面气温约为_____.7. 12的相反数的倒数是三、解答题解答题：：8．如图，加工一种轴，直径在299.5毫米到300.2毫米之间的产品都是合格品，在生产图纸上通常用2.05.0300+?φ来表示这种轴的加工要求，这里300φ表示直径是300毫米，+0.2表示最大限度可以比300毫米多0.2毫米，–0.5表示最大限度可以比300毫米少0.5毫米．加工一根轴，图上标明的加工要求是03.004.045+?φ，如果加工成的轴的直径是44.8毫米，它合格吗？第2讲有理数的运算有理数的运算【知识要点】1.牢固掌握有理数的加法、有理数的碱法、有理数的乘法、有理数的乘方及有理数的混合运算.2.在有理数的运算中灵活运用加法运算律、乘法运算律.3.掌握有理数混合运算顺序，提高运算的速度、准确率.本节重点是有理数的混合运算，难点是提高运算的速度、准确率，关键是正确地运用各种法则，同时掌握运算顺序，并能适当地利用运算定律简化运算. 【典型例题】例1下列计算正确的是（）A ．－3+2=1 B.2×(－5)=－10 C. |－3|=－3 D.21=1分析:本例综合考查有理数的运算及绝对值的意义,考查起点低,但考查知识点多. 解：B 例2 计算：（1）554－［２61＋（－４.８）－（－４65）］（2）－24－３×22×（31－１）÷（－１31）．分析：在进行有理数的混合运算时，一要注意运算顺序的正确；二要注意符号的变化；三要注意用运算性质时不要出现错误解：（1）554－［２61＋（－４.８）－（－４65）］ =554－［２61－４.８+４65］ =554－［7－4.8］ =554－2.2=353 （2）解法一：－24－３×22×（31－１）÷（－１31） =－16－12×（32）÷（－34） =－16＋８×(－43)＝－１６－６＝－２２解法二：－24－３×22×（31－１）÷（－１31）＝－１６－１２×（31－１）×(－43) ＝－１６－（４－１２）×(－43) ＝－１６＋（３－９）＝－２２例3 有一张厚度是0.1mm 的纸，如果将它连续对折20次，会有多厚？有多少层楼高？（假设1层楼高3m ）分析分析：：此题与细胞分裂道理一样，1张纸叠一次得2张，折叠2次得4张，折叠3次得8张，折叠4次得16张，…，2242821621234====，，，，…由此总结可知对折20次得220张，由一张的厚度可求220的厚度.解：对折1次厚度为201×.mm ；对折2次厚度为2012×.mm ；……对折20次后，厚度为201104857620×=..mm ，即104.8576m.约为105m ，105335÷=（层）答：对折20次的厚度为105m ，有35层楼高.【知识运用】一、选择题1.如果两数的和是负数，那么一定不可能的是（） A. 这两个数都是负数B. 这两个一个是负数，一个是零C. 这两个数中一个是正数，另一个是负数，且负数的绝对值较大D. 这两个数都是正数 2.对于有理数a,b 有下面说法：（1）若a+b=0，则a 与b 是互为相反数的数；（2）若a b +<0，则a 与b 异号；（3）若a b +>0，且a 与b 同号，则a>0,b>0；（4）若||||a b >，且a,b 异号，则a b +>0；（5）若||a b <，则a b +>0；其中，正确的说法有（） A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个3.如果一个整数减去－6是正数，减去－4是负数，则这个数减去9等于（） A. －4B. 4C. －14D. 144．若120m n ++?=，则23m n ?+的值是（） A 、73?B 、 13?C 、113D 、23二、填空题5．如果|x |－2=4,则x =______,如果x =3,则|x |－1=______.6.观察下列算式：21＝2；22＝4；23＝8；24＝16；25＝32；26＝64；27＝128；28＝256；……通过观察，用你所发现的规律写出811的末位数字是．三、解答题:7.计算（1） 13)18()14(20+? （2）433615431653++?（3）（－3）0 +（－21）－2÷|－2| (4）|31－41|+|41－51|+……+|201－191|8.试一试，玩数学游戏于“金字塔数字”数学游戏(1).先研究数学模型，然后在你观察的基础上填写问题的答案12 = 1 112 = 121 1112 = 12321 11112 = 1234321 111112 =123454321 ……1111111112=(2).先研究下列各个数学模型，然后在你观察的基础上填写问题的答案已知6×7 = 42 66×67 = 4422 666×667 = 444222 6666×6667 = 4444222266666×66667 =第3讲有理数的应用有理数的应用【知识要点】有理数的出现是为了满足实际生活的需要，可见有理数在日常的生产、生活中应用的广泛，纵观近年各地中考题，“用数学的意识”及开放性的问题受到普遍关注，涉及应用数学知识解决联系实际问题的“应用题”数量增多，教学重点、难点：将生活实际问题抽象为数学问题解决【典型例题】例1 股民吉姆上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）星期一二三四五六每股涨跌+4+4.5－1－2.5－6+2（1）星期三收盘时，每股是多少元？（2）本周内每股最高价多少元？最低价多少元？（3）已知吉姆买进股票时，付了0.15%的手续费，卖出时还需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税，如果吉姆在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？分析：每天每股价格是买进时每股价格与当天及该天前各天涨跌价的代数和；收益是卖出时的成交额除去手续费和交易税及买进所付的总额.解：（1）星期三收盘时，每股价为：274451345++?=..（元）（2）本周内每天每股的价格为：星期一：274315+=.（元）星期二：27445355++=..（元）星期三：274451345++?=..（元）星期四：2744512532++??=..（元）星期五：27445125626++=..（元）星期六：274451256228+++=..（元）故本周内每股最高价为35.5（元）；最低价是每股26（元）. （3）由（2）知星期六每股卖出价是28（元）.共收益()()2810001015%01%2710001015%8895××××+=....（元）所以吉姆共收益889.5元.例2 有一种“二十四点”的游戏，其游戏的规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只有一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24. 例如1，2，3，4可作运算：()123424++×=.（注意上述运算与()4123×++应视作相同方法的运算）.现有四个有理数3，4，－6，10.运用上述规则写出三种不同方法的运算式，使其结果等于24，运算式如下：（1）_______________________ （2）_______________________ （3）_______________________另有四个数3，－5，7，－13.可通过运算式（4）_______________________使其结果等于24.分析：本题属结论开放性试题，对能力的要求较高，解这类试题，一般要经过多次的尝试、探索，解这类题的能力一定要从平时做起.解：（1）()[]34106×++? （2）()()10436??×? （3）()10364×÷?? （4）()()[] ×?+÷13573。

2023-2024学年人教版七年级数学上学期：有理数的乘除法(附答案解析)

一．选择题（共8小题）1．计算：6÷（﹣2）的结果是（） A ．﹣3B ．3C ．﹣4D ．42．6的相反数的倒数是（） A ．−16B ．16C ．﹣6D ．63．−18的倒数的相反数是（） A ．8B ．﹣8C ．18D ．−184．计算12×（﹣2）的结果是（） A ．﹣1B ．1C ．2D ．﹣25．计算（﹣4）×(−12)的结果是（） A ．﹣2B ．2C ．﹣8D ．86．计算﹣2×3的结果是（） A ．﹣1B ．1C ．﹣6D ．67．﹣2021的相反数的倒数是（） A ．﹣2021B ．12021C ．−12021D ．20218．如果四个数的积为负数，其中有两个数同号，则另外两个数（） A ．一定都是正数 B ．一定都是负数C ．一定异号D ．一定同号二．填空题（共2小题） 9．2023×6= ． 10．计算﹣100÷5×15= ．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．计算：6÷（﹣2）的结果是（） A ．﹣3B ．3C ．﹣4D ．4【解答】解：原式＝﹣6×12=−3，故选：A ．2．6的相反数的倒数是（） A ．−16B ．16C ．﹣6D ．6【解答】解：6的相反数是﹣6，﹣6的倒数是−16．故选：A ．3．−18的倒数的相反数是（） A ．8B ．﹣8C ．18D ．−18【解答】解：−18的倒数为﹣8，﹣8的相反数是8． ∴−18的倒数的相反数是8．故选：A ．4．计算12×（﹣2）的结果是（）A ．﹣1B ．1C ．2D ．﹣2【解答】解：12×（﹣2）＝﹣（12×2）＝﹣1，故选：A ．5．计算（﹣4）×(−12)的结果是（） A ．﹣2B ．2C ．﹣8D ．8【解答】解：（﹣4）×（−12）＝4×12＝2．故选：B ．6．计算﹣2×3的结果是（） A ．﹣1B ．1C ．﹣6D ．6【解答】解：﹣2×3 ＝﹣（2×3）＝﹣6，故选：C ．7．﹣2021的相反数的倒数是（） A ．﹣2021B ．12021C ．−12021D ．2021【解答】解：﹣2021的相反数是2021， 2021的倒数是12021，故选：B ．8．如果四个数的积为负数，其中有两个数同号，则另外两个数（） A ．一定都是正数 B ．一定都是负数C ．一定异号D ．一定同号【解答】解：∵四个数的积为负数，其中有两个数同号，①两个都是正数，另外两个数一个正、一个负，则四个数的积为负数； ②两个都是负数，另外两个数一个正、一个负，则四个数的积为负数； ∴另外两个数一定是异号．故选：C ．二．填空题（共2小题） 9．2023×6= 124 ．【解答】解：2023×6=623×6＝124，故答案为：124．10．计算﹣100÷5×15= ﹣4 ．【解答】解：﹣100÷5×1 5＝﹣20×1 5＝﹣4．故答案为：﹣4．。

(2021年整理)人教版七年级上有理数全章总复习及试题

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人教版七年级上有理数全章总复习及试题1.1 正数与负数一、必记概念：0既 ,也。

在实际生活中,常常用正数和负数表示具有意义的量。

如果上升10米记作+10米,那么下降5米记作。

二、练习：1. 下列结论中错误的是（）A。

零是整数 B。

零不是正数 C. 零是偶数 D。

零不是自然数2。

如果顺时针旋转30°记作-30°，那么逆时针旋转45°记作 .3。

某人向东走5米，又回头向西走5米,此人实际距原地米。

4. 如果中午以后的2小时记作+2小时，那么+2小时前3小时应记作。

5。

观察下面依次排列的一列数，你能发现它们排列的规律是什么吗？后面空格内的三个数是什么，试把它写出来.（1) 2、-3、4、—5、6、、、、…（2） 1、2、3、5、8、、、、…6。

“一个数前面加‘—’，它一定是负数”对吗？1.2 有理数1.2。

1 有理数一、必记概念:1. 正整数、零和负整数统称为；正分数和负分数统称为；和统称为有理数。

2。

把一些数放在一起，就组成一个数的，简称数集。

3. 零和正数统称为，零和负数统称为。

4. 正整数和零统称为，又统称为；零和负整数统称为。

二、练习：（一）把下列各数填在相应的集合中：-1、—0.4、35、0、13-、6、9、317-、114、-19正数集合：﹛…﹜负数集合：﹛…﹜整数集合：﹛…﹜分数集合：﹛…﹜非正数集合：﹛…﹜非负数集合：﹛…﹜非正整数集合：﹛…﹜非负整数集合:﹛…﹜（二）判断题:1. 一个有理数不是正数就是分数。

初一上册有理数内容总结及试题分析.doc

初一数学七年级上册第一章有理数主要内容：1.1正数和负数1.2有理数1.2. 1有理数1.2.2数轴1.2.3相反数1.2.4绝对值1.3 有理数的加减法1. 3. 1有理数的加法1.3.2有理数的减法1.4 有理数的乘除法1.4. 1有理数的乘法1.4.2有理数的除法1.5 有理数的乘方1.4. 1乘法1.4.2科学计数法1.4.3近似数主要知识点：1、大于0的数叫正数，在正数前加(-)的叫负数，0既不是正数，也不是负数；2、如果一个问题中出现相反意义的量，我们可以用正数和负数分别表示他们；3、正整数，0,负整数统称为整数；正分数，负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数；4、在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线就叫做数轴。

5、设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数p的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

6、设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在远点左右，表示a 和-a,两点关于原点对称。

7、像2和-2这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

8、数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

记作9、一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

10、正数大于0, 0大于负数，正数大于负数。

两个负数，绝对值大的反而小。

11、有理数加法法则：(1)、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；(2)、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；(3)、互为相反数的两个数相加得0。

一个数同0相加，仍是这个数。

12、有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。

加法交换律：a+b=b+a13、有理数的加法屮，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

加法结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)14、有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。

人教版七年级上册数学有理数专题练习(解析版)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．同学们都知道，|3-（-1）∣表示3与-1的差的绝对值，其结果为4，实际上也可以理解为3与-1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，其距离同样是4；同理，∣x-5|也可以理解为x与5两数在数轴上所应的两点之间的距离，试利用数轴探索：（1）试用“| |”符号表示：4与-2在数轴上对应的两点之间的距离，并求出其结果；（2）若|x-2|=4，求x的值；（3）同理，|x-3|+|x+2|表示数轴上有理数x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和，请你直接写出所有符合条件的整数x，使得|x-3|+|x+2|=5；试求代数式|x-3|+|x+2|的最小值.【答案】（1）解：|4-（-2）|=6（2）解：x与2的距离是4，在数轴上可以找到x=-2或6（3）解：当-2≤x≤3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和是5，∴符合条件的整数x=-2，-1，0，1，2，3；当x<-2或x>3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和大于5，∴|x-3|+|x+2|的最小值是5【解析】【分析】（1）根据已知列式求解即可；（2）按照已知去绝对值符号即可求解.（3）当-2≤x≤3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和是5；当x<-2或x>3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和大于5，由此即可得出结论.2．阅读填空，并完成问题：“绝对值”一节学习后，数学老师对同学们的学习进行了拓展.数学老师向同学们提出了这样的问题：“在数轴上，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离.那么，如果用P（a）表示数轴上的点P表示有理数a，Q（b）表示数轴上的点Q表示有理数b，那么点P与点Q的距离是多少？”（1）聪明的小明经过思考回答说：这个问题应该有两种情况.一种是点P和点Q在原点的两侧，此时点P与点Q的距离是a和b的绝对值的和，即∣a∣＋∣b∣.例如：点A（－3）与点B（5）的距离为∣－3∣＋∣－5∣=________；另一种是点P和点Q在原点的同侧，此时点P与点Q的距离的a和b中，较大的绝对值减去较小的绝对值，即∣a∣－∣b∣或∣b∣－∣a∣.例如：点A（－3）与点B（－5）的距离为∣－5∣－∣－3∣=________；你认为小明的说法有道理吗？如果没有道理，请你指出错误之处；如果有道理，请你模仿求出数轴上点M（）与N（）之间和点C（－2）与D（－7）之间的距离. ________（2）小颖在听了小明的方法后，提出了不同的方法，小颖说：我们可以不考虑点P和点Q 所在的位置，无论点P与点Q的位置如何，它们之间的距离就是数a与b的差的绝对值，即∣a－b∣.例如：点A（－3）与点B（5）的距离就是∣－3－5∣=________；点A（－3）与点B（－5）的距离就是∣（－3）－（－5）∣= ________；你认为小颖的说法有道理吗？如果没有道理，请你指出错误之处；如果有道理，请你模仿求出数轴上点M（）与N（）之间和点C（－1.5）与D（－3.5）之间的距离.________【答案】（1）解：8；2；有道理；点M与点N之间的距离为点C与点D之间的距离为（2）解：8；2；有道理；点M与点N之间的距离为点C与点的之间的距离为【解析】【分析】（1）数轴上的点，原点两侧两点之间的距离即点到原点绝对值的相加之和。

人教版七年级上册数学有理数的运算专项训练 (含解析)

七年级（上）数学有理数的运算专项训练题一．选择题（共10小题）1．计算30(20)+-的结果等于( ) A ．10B ．10-C ．50D ．50-2．若(4)1a --=-，则a 的值为( ) A ．5-B ．3-C ．3D ．53．在有理数2，0，1-，3-中，任意取两个数相加，和最小是( ) A ．2B ．1-C ．3-D ．4-4．|12|3-+的相反数是( ) A ．4B ．2C ．4-D ．2-5．1(9)3-÷的结果等于( )A ．3B ．3-C ．27D ．27-6．下列各式中，错误的是( ) A ．22|2||2|-=-B ．22(2)2-=-C ．33(2)2-=-D ．33|2||2|-=-7．若(2)3x =-⨯，则x 的倒数是( ) A ．16-B ．16 C ．32-D ．238．鹅的孵化期是30天，鸭的孵化期是鹅的1415，鸡的孵化期是鸭的34．鸡的孵化期是( )天．A ．21B ．24C ．26D ．289．如果24a =，||2b =，且0ab <，则a b +的值是( ) A ．0B ．4C ．4±D ．6或210．小强和小丽到迷宫去游玩，发现了一个秘密机关，机关的门口是写着整数的数字按钮，此时传来一个机器人的声音：“按两个数，使积等于8-（两个数不分顺序）”则符合要求的按法共有( ) A ．5种B ．4种C ．3种D ．2种二．填空题（共8小题） 11．计算：23|6|-+-= ．12．计算：20(14)(18)13-+---+= ． 13．计算：22112655-⨯+⨯= ．14．计算：22()(9)|4|3π-⨯-+-= ．15．一个数与4-的乘积等于315，则这个数是．16．已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是2，则5()2cd a b m ++-的值为． 17．定义一种新运算：a ※()3()a b a b b b a b -⎧=⎨<⎩，则2※34-※3的值．18．看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成2个悟空；这两个悟空摇身一变，共变成4个悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空⋯假设悟空一连变了30次，那么会有个孙悟空．．三．解答题（共7小题） 19．计算：311 1.4273⨯÷．20．计算：(8)(10)(2)(1)++-----．21．计算：83252[1(1)(18)]532369---+-⨯-÷-⨯22．计算：已知||1m =，||4n =．（1）当0mn <时，求m n +的值；（2）求m n -的最大值．23．一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）:5+，3-，10+，8-，6-，12+，10-．（1）守门员是否回到了原来的位置？（2）守门员离开球门的位置最远是多少？（3）守门员一共走了多少路程？ 24．阅读下面文字：对于5231(5)(9)17(3)6342-+-++-，可以按如下方法计算：原式5231[(5)()][(9)()](17)[(3)()]6342=-+-+-+-+++-+-5231[(5)(9)17(3)][()()()]6342=-+-++-+-+-++-10(1)4=+-314=-上面这种方法叫拆项法．仿照上面的方法，请你计算：521 (2018)(2017)(1)4036 632-+-+-+25．学习有理数得乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：2449(5)25⨯-，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下：小明：原式12491249452492555=-⨯=-=-；小军：原式24244 (49)(5)49(5)(5)24925255=+⨯-=⨯-+⨯-=-；（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？（2）上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来；（3）用你认为最合适的方法计算：1519(8) 16⨯-参考答案一．选择题（共10小题）1．计算30(20)+-的结果等于()A．10B．10-C．50D．50-解：30(20)(3020)10+-=+-=．故选：A．2．若(4)1a--=-，则a的值为()A．5-B．3-C．3D．5解：(4)41a a--=+=-，145a∴=--=-．故选：A．3．在有理数2，0，1-，3-中，任意取两个数相加，和最小是() A．2B．1-C．3-D．4-解：(1)(3)4-+-=-．故选：D．4．|12|3-+的相反数是()A．4B．2C．4-D．2-解：|12|3-+213=-+4=．4的相反数为4-，|12|3∴-+的相反数是4-．故选：C．5．1(9)3-÷的结果等于()A．3B．3-C．27D．27-解：1(9)(9)3273-÷=-⨯=-，故选：D．6．下列各式中，错误的是( ) A ．22|2||2|-=-B ．22(2)2-=-C ．33(2)2-=-D ．33|2||2|-=-解：2|2|4-=，2|2|4-=，故A 正确；2(2)4-=，224-=-，2(2)-与22-不相等，故B 不正确； 3(2)8-=-，328-=-，故C 正确； 3|2|8-=，3|2|8-=，故D 正确；故选：B ．7．若(2)3x =-⨯，则x 的倒数是( ) A ．16-B ．16 C ．32-D ．23解：(2)36x =-⨯=-，x ∴的倒数是：16-．故选：A ．8．鹅的孵化期是30天，鸭的孵化期是鹅的1415，鸡的孵化期是鸭的34．鸡的孵化期是( )天．A ．21B ．24C ．26D ．28解：鸡的孵化期为：1433021154⨯⨯=（天)．故选：A ．9．如果24a =，||2b =，且0ab <，则a b +的值是( ) A ．0B ．4C ．4±D ．6或2解：24a =，||2b =， 2a ∴=±，2b =±， 0ab <，2a ∴=，2b =-或2a =-，2b =，则0a b +=，故选：A ．10．小强和小丽到迷宫去游玩，发现了一个秘密机关，机关的门口是写着整数的数字按钮，此时传来一个机器人的声音：“按两个数，使积等于8-（两个数不分顺序）”则符合要求的按法共有( ) A ．5种B ．4种C ．3种D ．2种解：1(8)8⨯-=-，(1)88-⨯=-；2(4)8⨯-=-；(2)48-⨯=-，符合要求的按法共有4种．故选：B ．二．填空题（共8小题） 11．计算：23|6|-+-= 3- ．解：原式963=-+=-，故答案为：3-．12．计算：20(14)(18)13-+---+= 3- ．解：20(14)(18)13-+---+ (2014)(1813)=-+++ 3431=-+3=-．故答案为：3-13．计算：22112655-⨯+⨯ 5 ．解：22112655-⨯+⨯1143655=-⨯+⨯43655=-+ 325=，故答案为：325． 14．计算：22()(9)|4|3π-⨯-+-= π- ．解：22()(9)|4|3π-⨯-+-4(9)49π=⨯-+- 44π=-+- π=-，故答案为：π-．15．一个数与4-的乘积等于315，则这个数是 5 ．解：321(4)55÷-=-．故这个数是25-．故答案为：25-．16．已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是2，则5()2cd a b m ++-的值为 3-或5 ．解：a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是2， 0a b ∴+=，1cd =，2m =±，当2m =时， 5()2cd a b m ++- 15022=+⨯-⨯ 104=+-3=-；当2m =-时， 5()2cd a b m ++- 1502(2)=+⨯-⨯- 104=++5=；故答案为：3-或5．17．定义一种新运算：a ※()3()a b a b b b a b -⎧=⎨<⎩，则2※34-※3的值 8 ．解：a ※()3()a b a b b b a b -⎧=⎨<⎩，2∴※34-※3 33(43)=⨯-- 91=-8=，18．看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成2个悟空；这两个悟空摇身一变，共变成4个悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空⋯假设悟空一连变了30次，那么会有 302 个孙悟空．．解：由题意得，变了30次共有302个孙悟空．故答案为：302．三．解答题（共7小题） 19．计算：311 1.4273⨯÷．解：311 1.4273⨯÷1073757=⨯⨯ 67=． 20．计算：(8)(10)(2)(1)++-----．解：(8)(10)(2)(1)++----- 81021=-++221=-++ 1=21．计算：83252[1(1)(18)]532369---+-⨯-÷-⨯解：原式[1(121522)]538=---+÷-⨯ (119)538=--÷-⨯ 20538=-÷-⨯424=-- 28=-．22．计算：已知||1m =，||4n =．（1）当0mn <时，求m n +的值；（2）求m n -的最大值．解：||1m =，||4n =， 1m ∴=±，4n =±；（1）0mn <，1m ∴=，4n =-或1m =-，4n =， 3m n ∴+=±；（2）1m =，4n =时，3m n -=-； 1m =-，4n =-时，3m n -=； 1m =，4n =-时，5m n -=； 1m =-，4n =时，5m n -=-；m n ∴-的最大值是5．23．一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）:5+，3-，10+，8-，6-，12+，10-．（1）守门员是否回到了原来的位置？（2）守门员离开球门的位置最远是多少？（3）守门员一共走了多少路程？解：根据题意得（1）53108612100-+--+-=，故回到了原来的位置；（2）离开球门的位置分别是5米，2米，12米，4米，2米，10米，0米， ∴离开球门的位置最远是12米；（3）总路程|5||3||10||8||6||12||10|54=+-+++-+-+++-=米． 24．阅读下面文字：对于5231(5)(9)17(3)6342-+-++-，可以按如下方法计算：原式5231[(5)()][(9)()](17)[(3)()]6342=-+-+-+-+++-+-5231[(5)(9)17(3)][()()()]6342=-+-++-+-+-++-10(1)4=+-314=-上面这种方法叫拆项法．仿照上面的方法，请你计算：521 (2018)(2017)(1)4036 632-+-+-+解：原式521 [(2018)()][(2017)()][(1)()]4036632=-+-+-+-+-+-+521[(2018)(2017)(1)4036][()()()]632 =-+-+-++-+-+-5210[()()()]632=+-+-+-2=-．25．学习有理数得乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：2449(5)25⨯-，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下：小明：原式12491249452492555=-⨯=-=-；小军：原式24244 (49)(5)49(5)(5)24925255=+⨯-=⨯-+⨯-=-；（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？（2）上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来；（3）用你认为最合适的方法计算：1519(8) 16⨯-解：（1）小军解法较好；（2）还有更好的解法，2449(5)25⨯-1(50)(5)25=-⨯-150(5)(5)25=⨯--⨯-12505=-+42495=-；（3）1519(8) 16⨯-1(20)(8)16=-⨯-120(8)(8)16=⨯--⨯-知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。

人教版数学七年级上册《有理数》的计算题专项训练附答案解析

人教版七年级数学上册《有理数》计算题训练（附答案解析）第一章有理数第一节有理数的加减法（高效训练1--10）第二节有理数的乘除法（高效训练11--20）第三节有理数的乘方（高效训练21--30）第四节有理数的混合运算（高效训练31--40）高效训练1 第周星期1、计算下列各式2、计算下列各式3、计算下列各式高效训练2 第周星期1、计算下列各式2、计算下列各式3、计算下列各式高效训练3 第周星期1、计算下列各式2、计算下列各式；；；．高效训练4 第周星期1、计算下列各式．2、简单计算下列各式；；高效训练5 第周星期1、计算下列各式2、计算下列各式高效训练6 第周星期1、计算下列各式2、简便计算．3、已知求的值。

高效训练7 第周星期1、简便计算下列各式2、计算下列各式3、计算：．高效训练8 第周星期1、计算下列各式------2、计算下列各式若，求的值．，，且，求的值．高效训练9 第周星期1、计算下列各式2、简便计算下列各式3、计算，高效训练10 第周星期1、计算下列各式2、计算：．3、阅读下列计算方法：计算：．高效训练11 第周星期1、计算下列各式2、计算下列各式3、逆用乘法分配律计算：高效训练12 第周星期1、用简便方法计算下列各题2、计算下列各式高效训练13 第周星期1、计算下列各式2、计算下列各式高效训练14 第周星期1、计算下列各式2、计算下列各式3、已知，，求：的值；的值．高效训练15 第周星期1、计算下列各式2、计算下列各式高效训练16 第周星期1、计算下列各式2、计算下列各式3、已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，c的绝对值为2，求的值。

高效训练17 第周星期1、计算下列各式2、计算下列各式．3、当，，，求下列代数式的值：；．高效训练18 第周星期1、计算下列各式2、计算下列各式3、计算：高效训练19 第周星期1、计算下列各式2、计算下列各式3、计算1、计算下列各式2、计算下列各式3、计算1、计算下列各式2、计算下列各式1、计算下列各式2、计算下列各式3、计算：1、计算下列各式．2、计算下列各式3、计算：1、计算下列各式2、计算：3、计算：。

部编数学七年级上册专题1.3有理数运算中的综合(压轴题专项讲练)(人教版)(解析版)含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题1.3 有理数运算中的综合【典例1】如果有4个不同的正整数a、b、c、d满足（2019﹣a）（2019﹣b）（2019﹣c）（2019﹣d）＝8，那么a+b+c+d的最大值为．根据a、b、c、d是四个不同的正整数，可知四个括号内是各不相同的整数，结合乘积为8，进行分类讨论．解：∵a、b、c、d是四个不同的正整数，∴四个括号内是各不相同的整数，不妨设（2019﹣a）＜（2019﹣b）＜（2019﹣c）＜（2019﹣d），又∵（2019﹣a）（2019﹣b）（2019﹣c）（2019﹣d）＝8，∴这四个数从小到大可以取以下几种情况：①﹣4，﹣1，1，2；②﹣2，﹣1，1，4．∵（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）＝8076﹣（a+b+c+d），∴a+b+c+d＝8076﹣[（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）]，∴当（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）越小，a+b+c+d越大，∴当（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）＝﹣4﹣1+1+2＝﹣2时，a+b+c+d取最大值＝8076﹣（﹣2）＝8078．故答案为：8078．1．（2021秋•曲阜市校级期中）我们常用的十进制数，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如2513＝2×73+5×72+1×71+3）用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A ．1435天B ．565天C ．13天D ．465天【思路点拨】根据题意和图形，可以列出算式1×73+4×72+3×71+5，然后计算即可．【解题过程】解：由图可知：1×73+4×72+3×71+5＝1×343+4×49+3×7+5＝343+196+21+5＝565（天），即孩子自出生后的天数是565，故选：B ．2．（2021秋•社旗县期中）下列变形正确的有（）个．①4.3﹣1.6﹣2.3+1.7＝4.3﹣2.3+1.7﹣1.6；②312−（﹣214）+（−13）−14−（+16）＝312+214−13−14+16；③124÷（13−14+112）=124÷13−124÷14+124÷112；④（﹣1002）×17＝（﹣1000+2）×17．A ．0B ．1C ．2D ．3【思路点拨】根据加法的交换律可以判断①；根据省略加法的方法可以判断②；根据有理数的除法和加减法可以判断③；根据乘法分配律可以判断④．【解题过程】解：①4.3﹣1.6﹣2.3+1.7＝4.3﹣2.3+1.7﹣1.6，故①正确；②312−（﹣214）+（−13）−14−（+16）＝312+214−13−14−16，故②错误；③124÷（13−14+112）=124÷16=124×6=14，而124÷13−124÷14+124÷112=124×3−124×4+124×12=324−424+1224 =38≠14，故③错误；④（﹣1002）×17＝（﹣1000﹣2）×17，故④错误；故选：B ．3．（2021秋•韩城市期中）如果四个互不相同的正整数m 、n 、p 、q 满足（4﹣m ）（4﹣n ）（4﹣p ）（4﹣q ）＝9，则4m +3n +3p +q 的最大值为（）A ．40B ．50C ．60D ．70【思路点拨】由题意确定出m ，n ，p ，q 的值，代入原式计算即可求出值．【解题过程】解：∵四个互不相同的正整数m ，n ，p ，q ，满足（4﹣m ）（4﹣n ）（4﹣p ）（4﹣q ）＝9，∴要求4m +3n +3p +q 的最大值，则有：4﹣m ＝﹣3，4﹣n ＝3，4﹣p ＝﹣1，4﹣q ＝1，解得：m ＝7，n ＝1，p ＝5，q ＝3，则4m +3n +3p +q ＝50．故选：B ．4．（2021秋•顺城区期末）观察下列两个等式：1−23=2×1×23−1，2−35=2×2×35−1，给出定义如下：我们称使等式a ﹣b ＝2ab ﹣1成立的一对有理数a ，b 为“同心有理数对”，记为（a ，b ），如：数对（1，23），（2，35）都是“同心有理数对”下列数对是“同心有理数对”的是（）A ．（﹣3，47）B ．（4，49）C ．（﹣5，611）D ．（6，713）【思路点拨】根据“同心有理数对”的定义判断即可．【解题过程】解：∵﹣3−47=−257，2×（﹣3）×47−1=−217，−257≠−217，∴数对（﹣3，47）不是“同心有理数对”；故选项A不合题意；∵4−49=329，2×4×49−1=239，329≠239，∴（4，49）不是“同心有理数对”，故选项B不合题意；∵−5−611=−6111，2×(−5)×611−1=−6611，−6111≠−6611，∴（﹣5，611）不是“同心有理数对”，故选项C不合题意；∵6−713=7113，2×6×713−1=7113，∴（6，713）是“同心有理数对”，故选项D符合题意；故选：D．5．（2021秋•旌阳区期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为n2k；（其中k是使n2k为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝26．则：若n＝49，则第2021次“F”运算的结果是（）A．68B．78C．88D．98【思路点拨】根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计算求解即可．【解题过程】解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝49为奇数应先进行F①运算，即3×49+5＝152（偶数），需再进行F②运算，即152÷23＝19（奇数），再进行F①运算，得到3×19+5＝62（偶数），再进行F②运算，即62÷21＝31（奇数），再进行F①运算，得到3×31+5＝98（偶数），再进行F②运算，即98÷21＝49，再进行F①运算，得到3×49+5＝152（偶数），…，即第1次运算结果为152，…，第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，…，可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152，则6次一循环，2021÷6＝336……5，则第2021次“F运算”的结果是98．故选：D．6．（2021秋•新华区校级期中）若a，b互为相反数，且ab≠0，c、d互为倒数，|m|＝2，则（a+b）2021+（ba）3﹣3cd+2m的值（）A．0B．0或﹣8C．﹣2成6D．2或﹣6【思路点拨】根据相反数、倒数、绝对值得出a+b＝0，ba=−1，cd＝1，m＝±2，代入求出即可．【解题过程】解：∵a、b互为相反数，且ab≠0，c、d互为倒数，|m|＝2，∴a+b＝0，ba=−1，cd＝1，m＝±2，当m＝2时，（a+b）2021+（ba）3﹣3cd+2m＝02021+（﹣1）3﹣3×1+2×2＝0﹣1﹣3+4＝0，当m＝﹣2时，（a+b）2021+（ba）3﹣3cd+2m＝02021+（﹣1）3﹣3×1+2×（﹣2）＝0﹣1﹣3﹣4＝﹣8．故（a+b）2021+（ba）3﹣3cd+2m的值是0或﹣8．故选：B．7．（2021秋•江岸区校级月考）下列说法中，正确的个数是（）①若|1a |=1a，则a≥0；②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数；③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2；④若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则该代数式值为2021；⑤a+b+c＝0，abc＜0，则b c|a|+a c|b|+a b|c|的值为±1．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路点拨】根据各个小题中的说法，可以判断是否正确，尤其是对于错误的结论，我们只要说明理由或者举出反例即可．【解题过程】解：若|1a |=1a，则a ＞0，故①错误，不合题意；若|a |＞|b |，则a ＞b ＞0或a ＞0＞b ＞﹣a 或﹣a ＞b ＞0＞a 或0＞a ＞b ，当a ＞b ＞0时，则有（a +b ）（a ﹣b ）＞0是正数，当a ＞0＞b ＞﹣a 时，则有（a +b ）（a ﹣b ）＞0是正数，当﹣a ＞b ＞0＞a 时，则有（a +b ）（a ﹣b ）＞0是正数，当0＞a ＞b 时，则有（a +b ）（a ﹣b ）＞0是正数，由上可得，（a +b ）（a ﹣b ）＞0是正数，故②正确，符合题意；A 、B 、C 三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x ，若相邻两点的距离相等，则x ＝2或﹣10或14，故③错误，不合题意；若代数式2x +|9﹣3x |+|1﹣x |+2011的值与x 无关，则2x +|9﹣3x |+|1﹣x |+2011＝2x +9﹣3x +x ﹣1+2011＝2019，故④错误，不合题意；∵a +b +c ＝0，abc ＜0，∴a 、b 、c 中一定是一负两正，b +c ＝﹣a ，a +c ＝﹣b ，a +b ＝﹣c ，不妨设a ＞0，b ＜0，c ＜0，∴b c |a|+a c |b|+a b |c|=−a a +−b −b +−c −c＝﹣1+1+1＝1，故⑤错误，不合题意；故选：A ．8．（2021秋•溧水区期中）计算（19+110+111）﹣2×（18−19−110−111）﹣3×（19+110+111+112）的结果是 −12　．【思路点拨】根据题目中式子的特点，可以设19+110+111=a ，然后将所求式子变形整理，即可求得所求式子的结果．【解题过程】解：设19+110+111=a ，则原式＝a ﹣2（18−a ）﹣3（a +112）＝a −14+2a ﹣3a −14=−12，故答案为：−12．9．（2021秋•溧水区期中）计算（134−78−712）÷78+78÷（134−78−712）的结果是 103　．【思路点拨】首先根据有理数除法法则将（134−78−712）÷78转化为（74−78−712）×87，再利用乘法分配律求出结果，再根据78÷（134−78−712）与（134−78−712）÷78互为倒数求出结果，进而得出结论．【解题过程】解：∵（134−78−712）÷78＝（74−78−712）×87=74×87−78×87−712×87＝2﹣1−23=13，∴78÷（134−78−712）＝3，∴（134−78−712）÷78+78÷（134−78−712）=13+3=103．故答案为：103．10．（2021春•滨湖区期中）观察以下一系列等式：①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……利用上述规律计算：30+31+32+…+3100＝　12（3101﹣1）　．【思路点拨】根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，原式计算即可求出值．【解题过程】解：根据题意得：31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……3101﹣3100＝（3﹣1）×3100＝2×3100，相加得：31﹣30+32﹣31+33﹣32+34﹣33+…+3101﹣3100＝2×（30+31+32+…+3100），整理得：30+31+32+…+3100=12（3101﹣30）=12（3101﹣1）．故答案为：12（3101﹣1）．11．（2021•宝山区校级自主招生）[5×12021]+[5×22021]+…+[5×20212021]＝　4045　（其中[a ]表示不超过a 的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣3.14]＝﹣4等等）．【思路点拨】利用取整函数把算式变为404×0+404×1+404×2+404×3+404×4+1×5，再进行计算即可．【解题过程】解：[5×12021]+[5×22021]+…+[5×20212021]＝（[5×12021]+…[5×4042021]）+（[5×4052021]+…[5×8082021]）+（[5×8092021]+…[5×12122021]）+（[5×12132021]+…[5×16162021]）+（[5×16172021]+…[5×20202021]）+[5×20212021]＝404×0+404×1+404×2+404×3+404×4+1×5＝4045故答案为：4045．12．（2021秋•鄞州区期末）已知正整数a，b，c均小于5，存在整数m满足2022+1000m＝2a+2b+2c，则m （a+b+c）的值为　﹣14　．【思路点拨】首先根据正整数a，b，c均小于5，得出2a+2b+2c≤24+24+24＝48，2a+2b+2c≥2+2+2＝6，即6≤2022+1000m≤48，解不等式组求出m的范围，根据m为整数，得出m＝﹣2，那么2022+1000m＝22．观察得只有2+4+16＝22，求出a+b+c＝1+2+4＝7，进而得到m（a+b+c）＝﹣2×7＝﹣14．【解题过程】解：∵正整数a，b，c均小于5，∴2a+2b+2c≤24+24+24＝48，2a+2b+2c≥2+2+2＝6，∴6≤2022+1000m≤48，∴﹣2.016≤m≤﹣1.974，∵m为整数，∴m＝﹣2，∴2022+1000m＝22．∵2a，2b，2c，的取值只能为2，4，8，16，观察得只有2+4+16＝22，∴a+b+c＝1+2+4＝7，∴m（a+b+c）＝﹣2×7＝﹣14．故答案为：﹣14．13．（2020秋•鄞州区期末）已知整数a，b，c，d的绝对值均小于5，且满足1000a+100b2+10c3+d4＝2021，则abcd的值为　±4　．【思路点拨】先根据条件确认个位上的1一定为d4产生，得d＝±1或±3，①当d＝±1时，d4＝1，②当d＝±3时，d4＝81，分别代入计算可得答案．【解题过程】解：∵1000a+100b2+10c3+d4＝2021，整数a，b，c，d的绝对值均小于5，∴个位上的1一定为d4产生，（±3）4＝81，（±1）4＝1，∴d＝±1或±3，①当d＝±1时，d4＝1，∴1000a+100b2+10c3＝2020，∴100a+10b2+c3＝202，∴个位上的2是由c3产生的，∴c3＝2或﹣8（﹣4～4中没有立方的个位数是2的），∴c3＝﹣8，∴c＝﹣2，∴100a+10b2﹣8＝202，100a+10b2＝210，10a+b2＝21，∴个位上的1是由b2产生的，（±1）2＝1，∴当b＝±1时，10a＝20，a＝2，∴abcd=2×1×(−2)×1=−42×(−1)×(−2)×1=42×1×(−2)×(−1)=42×(−1)×(−2)×(−1)=−4，∴abcd＝±4；②当d＝±3时，d4＝81，∴1000a+100b2+10c3＝2021﹣81＝1940，∴100a+10b2+c3＝194，同理43＝64，∴c＝4，∴100a+10b2+64＝194，100a+10b2＝130，10a+b2＝13，不存在整数满足条件，故d≠±3；综上，abcd＝±4．故答案为：±4．14．（2022春•商城县校级月考）计算：（1）（﹣3）2×[−23+（−59）]；（2）﹣14+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣2）3÷4；（3）（﹣10）3+[（﹣4）2+（1﹣32）×2]﹣（﹣0.28）÷0.04×（﹣1）2020．【思路点拨】（1）原式先算乘方运算，再利用乘法分配律计算即可得到结果；（2）原式先算乘方，再算乘除，最后算加减即可得到结果；（3）原式先算乘方，再算乘除，最后算加减即可得到结果．【解题过程】解：（1）原式＝9×（−23−59）＝9×（−23）+9×（−59）＝﹣6﹣5＝﹣11；（2）原式＝﹣1﹣3×（16+2）﹣（﹣8）÷4＝﹣1﹣3×18+8÷4＝﹣1﹣54+2＝﹣53；（3）原式＝﹣1000+[16+（1﹣9）×2]﹣（﹣0.28）÷0.04×1＝﹣1000+（16﹣8×2）﹣（﹣7）×1＝﹣1000+（16﹣16）+7＝﹣1000+7＝﹣993．15．（2022春•滨海县月考）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22020+22021的值，采用以下方法：设S＝1+2+22+…+22020+22021①则2S＝2+22+…+22021+22022②②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）2+22+…+220＝　221﹣2　；（2）求1+12+122+⋯+1250=　2−1250　；（3）求1+a+a2+a3+…+a n的和．（a＞1，n是正整数，请写出计算过程）【思路点拨】（1）（2）根据题目所给方法，令等式左边为S，表示出2S，相减即可得到结果；（3）根据题目所给方法，令等式左边为S，表示出aS，相减即可得到结果．【解题过程】解：（1）设S＝2+22+…+220，则：2S＝22+23+…+220+221，2S﹣S＝（22+23+…+220+221）﹣（2+22+…+220）＝221﹣2，∴S＝221﹣2，故答案为：221﹣2．（2）设S＝1+12+122+⋯+1250，则：2S＝2+1+12+122+⋯+1249，2S﹣S＝（2+1+12+122+⋯+1249）﹣（1+12+122+⋯+1250）＝2−1250，∴S＝2−1 250，故答案为：2−1 250．（3）设S＝1+a+a2+a3+…+a n，则：aS＝a+a2+a3+…+a n+a n+1，aS﹣S＝（a﹣1）S＝（a+a2+a3+…+a n+a n+1）﹣（1+a+a2+a3+…+a n）＝a n+1﹣1．∴S=a n+1−1 a−1．16．（2021秋•新都区期末）先观察下列各式，再完成题后问题：1 2×3=12−13；13×4=13−14；14×5=14−15．（1）①请仿照上面各式的结构写出：15×6=　15−16　；②11×2+12×3+13×4+...+1n(n1)=　nn1　；（其中，n为整数，且满足n≥1）（2）运用以上方法思考：求14+112+124+140+160+184+1112+1144的值．【思路点拨】（1）①直接利用已知将原式分成两分数的差即可；②利用已知中规律将原式化简求出答案；（2）首先提取12，进而利用已知规律化简求出答案．【解题过程】解：（1）①15×6=15−16；故答案为：15−16；②原式=1−12+12−13+...+1n −1n 1=1−1n 1=n n 1；故答案为：n n 1；（2）原式=12×(12+16+112+...+156+172)=12×(11×2+12×3+13×4+...+17×8+18×9) =12×(1−12+12−13+13−14+...+17−18+18−19) =12×(1−19) =49．17．（2021秋•开江县期末）（概念学习）规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把a ÷a ÷a ÷⋯÷a ︸n 个（a ≠0）记作a ⓝ，读作“a的圈n 次方”．（初步探究）（1）直接写出计算结果：5③＝　15　，（−13）④＝　9　．（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？（此处不用作答）（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（﹣3）⑤＝　（−13）3　；5⑧＝　（15）6　；（12）⑩＝　28　．（3）算一算：﹣92÷（−13）⑤×（−14）④﹣（−15）4÷5④．【思路点拨】（1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果；（2）根据运算规定，用除法运算直接得出结果；（3）根据aⓝ的运算规定，按照有理数的运算顺序、运算法则计算出结果．【解题过程】解：（1）5③＝5÷5÷5=1 5，（−13）④＝（−13）÷（−13）÷（−13）÷（−13）=13×3×3×3＝9．故答案为：15，9；（2）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝（﹣3）×（−13）×（−13）×（−13）×（−13）＝（−13）3，5⑧＝5÷5÷5÷5÷5÷5÷5÷5＝5×15×15×15×15×15×15×15＝（15）6，（12）⑩=12÷12÷12÷12÷12÷12÷12÷12÷12÷12=12×2×2×2×2×2×2×2×2×2＝28，故答案为：（−13）3；（15）6；28；（3）由a的圈n次方＝（1a）n﹣2，∴原式＝﹣92÷（−13）⑤×（−14）④﹣（−15）4÷5④．＝﹣81÷（﹣27）×16﹣（−15）4÷（15）2＝48−1 25＝4724 25．18．（2021秋•渑池县期末）2020年的“新冠肺炎“疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）．星期一二三四五六日超减产量/个+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8（1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩　291　个．（2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量；（3）若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.8元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.2元，若完不成每周的计划量．则少生产一个扣0.25元，求小王这一周的工资总额是多少元？（4）若该厂实行每日计件工资制，每生产一个口罩可得0.8元，若超额完成每日计划工作量．则超过部分每个另外奖励0.2元，若完不成每天的计划量，则少生产一个扣0.25元，请直接写出小王这一周的工资总额是多少元？【思路点拨】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到小王星期五生产口罩的数量；（2）根据题意和表格中的数据，可以得到该厂本周生产口罩的数量；（3）根据每周计件工资制，列出算式可以解答本题；（4）根据日计件工资制，列出算式可以解答本题．【解题过程】解：（1）小王星期五生产口罩数量为：300﹣9＝291（个），故答案为：291；（2）+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），则本周实际生产的数量为：2100+11＝2111（个）答：小王本周实际生产口罩数量为2111个；（3）一周超额完成的数量为：+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），所以，2100×0.8+11×（0.8+0.2）＝1680+11×1＝1680+11＝1691（元），答：小王这一周的工资总额是1691元；（4）第一天：300×0.8+5×（0.8+0.2）＝245（元）；第二天：（300﹣2）×0.8﹣2×0.25＝237.9（元）；第三天：（300﹣4）×0.8﹣4×0.25＝235.8（元）；第四天：300×0.8+13×（0.8+0.2）＝253（元）；第五天：（300﹣9）×0.8﹣9×0.25＝230.55（元）；第六天：300×0.8+16×（0.8+0.2）＝256（元）；第七天：（300﹣8）×0.8﹣8×0.25＝231.6（元）；共245+237.9+235.8+253+230.55+256+231.6＝1689.85（元）．答：小王这一周的工资总额是1689.85元．。

人教版七年级上册期末考点梳理和例题详解(解析版)

人教版七年级上册期末考点分析考点1.与有理数有关的概念【例1】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【例2】有一列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2019个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2019个数的分子也是1．分母是2019，并且是一个负数，故答案为20191- 【例3】若1＋m2的相反数是－3，则m 的相反数是____.【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m2＝－4,m ＝－8【例4】a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b |＞a ，则a ,b 、－a ,－b 的大小顺序是( )A ． b ＜－a ＜a ＜－bB ． –a ＜b ＜a ＜－bC ． –b ＜a ＜－a ＜bD ． –a ＜a ＜－b ＜b【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a |,用式子表示为|a |＝0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想，画一条数轴【例5】已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a +bab的值.【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a |≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a +b ab ＝1232＝38【例6】已知(m ＋n )2＋|m |＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n )2＋|m |的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m ＋n )2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径.解：∵(m ＋n )2≥0，|m |≥O∴(m ＋n )2＋|m |≥0，而(m ＋n )2＋|m |＝m ∴ m ≥0,∴(m ＋n )2＋m ＝m ，即(m ＋n )2＝0 ∴m ＋n ＝O ① 又∵|2m －n －2|＝0 ∴2m －n －2＝0 ②由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49考点2.有理数的加减法【例1】．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++＝__________.【例2】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169【例3】求12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋35＋45）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.解：设S＝12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）则有S＝12＋（23＋13）＋（34＋24＋14）＋…＋（4950＋4850＋…＋250＋150）将原式和倒序再相加得2S ＝12＋12＋（13＋23＋23＋13）＋（14＋24＋34＋34＋24＋14）＋ … ＋（150＋250＋…＋4850＋4950＋4950＋4850＋…＋250＋150）即2S ＝1＋2＋3＋4＋ (49)49(491)2⨯+＝1225∴S ＝12252考点3.有理数的乘除、乘方【例1】（茂名）若实数a 、b 满足0a ba b+=，则ab ab ＝___________. 【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a 、b 的取值范围，进一步代入结论得出结果.解：当ab ＞0，2(0,0)2(0,0)a b a b a b a b >>⎧+=⎨-<<⎩；当ab ＜0，0a ba b+=，∴ab ＜0，从而ab ab ＝－1. 【例2】已知223(2),1x y =-=-⑴求2019xy的值； ⑵求20193y x 的值.【解法指导】n a 表示n 个a 相乘，根据乘方的符号法则，如果a 为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a 是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：∵223(2),1x y =-=-⑴当2,1x y ==-时，2-=1-⨯=21092019)(2xy当2,1x y =-=-时，2)1(221092019=-⨯-=xy⑵当2,1x y ==-时，8)1(22019321093-=-=y x当2,1x y =-=-时，8=)1((-2)=2019321093y x 考点4 整式【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.1+1x )( x 12)( (3)2r π (4)b a 223-【解法指导】理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数.解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算；⑵不是，因为代数式是与x 的商； ⑶是，它的系数为π，次数为2； ⑷是，它的系数为32-，次数为3. 【例２】如果42y x n 与nm yx m -2221都是关于x 、y 的六次单项式，且系数相等，求m 、n 的值.【解法指导】单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x 或y 或x 、y 等是有区别的，该题是针对x 与y 而言的，因此单项式的次数指x 、y 的指数之和，与字母m 无关，此时将m 看成一个要求的已知数.解：由题意得【例３】已知多项式1+-32+54-3422xy y x y x ⑴这个多项式是几次几项式？⑵这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？【解法指导】 n 个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数.解：⑴这个多项式是七次四项式；(2)最高次项是,二次项系数为－1，常数项是1.【例４】多项式5+1+3-+72x n kx x m )(是关于x 的三次三项式，并且一次项系数为－7.求m+n －k 的值【解法指导】多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数. 解：因为是关于x 的三次三项式，依三次知m ＝3，而一次项系数为－7，即－（3n +1）＝－7，故n ＝2.已有三次项为,一次项为－7x ，常数项为5，又原多项式为三次三项式，故二次项的系数k ＝0，故m+n －k ＝3+2－0＝5.【例５】已知代数式6+2-2x x 3的值是8,求1+-2x x 23的值. 【解法指导】由，现阶段还不能求出x 的具体值，所以联想到整体代入法.解：由得由（3【例６】证明代数式[]{})(16m m m m 6-3-9--8-+的值与m 的取值无关.【解法指导】欲证代数式的值与m 的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可.证明：原式＝∴无论m 的值为何，原式值都为4. ∴原式的值与m 的取值无关.【例７】同时都含有a 、b 、c ，且系数为1的七次单项式共有（）个 A ．4 B ．12 C ．15 D ．25 【解法指导】首先写出符合题意的单项式,x 、y 、z 都是正整数，再依x +y +z ＝7来确定x 、y 、z 的值.解：为所求的单项式，则x 、y 、z 都是正整数，且x +y +z ＝7.当x ＝1时，y ＝1,2,3,4,5,z＝5,4,3,2,1.当x ＝2时，y ＝1,2,3,4,z ＝4,3,2,1. 当x ＝3时，y ＝1,2,3,z ＝3,2,1.当 x ＝4时，y ＝1,2,z ＝2,1.当 x ＝5时，y ＝z ＝1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1＝15，故选C ．考点5 整式的加减【例１】如果3231y x a +和1233--b y x 是同类项，那么a 、b 的值分别是（）A ．⎩⎨⎧==21b aB ．⎩⎨⎧==20b aC ．⎩⎨⎧==12b aD ．⎩⎨⎧==11b a【解法指导】同类项与系数的大小无关，与字母的排列顺序也无关，只与是否含相同字母，且相同字母的指数是否相同有关.解：由题意得⎩⎨⎧=-=+31232b a ，∴⎩⎨⎧==21b a【例2】已知关于x 的二次多项式a (x 3－x 2＋3x )＋b (2x 2＋x )＋x 3－5,当x ＝2时的值为－17.求当x ＝－2时，该多项式的值.【解法指导】设法求出a 、b 的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列，多项式的次数等概念，挖掘隐含a 、b 的等式.解：原式＝ax 3－ax 2＋3ax ＋2bx 2＋bx ＋x 3－5 ＝(a ＋1)x 3＋(2b －a )x 2＋(3a ＋b )x －5 ∵原式中的多项式是关于x 的二次多项式∴⎩⎨⎧≠-=+0201a b a∴a ＝－1又当x ＝2时，原式的值为－17.∴(2b ＋1)⨯22＋[]521-3-⨯+⨯b ）（＝－17,∴b ＝－1 ∴原式＝－x 2－4x －5∴当x ＝－2时，原式＝－（－2）2－4⨯（－2）－5＝－1【例3】证明四位数的四个数字之和能被9整除，因此四位数也能被9整除.【解法指导】可用代数式表示四位数与其四个数之和的差，然后证这个差能被9整除. 证明：设此四位数为1000a ＋100b ＋10c ＋d ,则1000a ＋100b ＋10c ＋d －（a ＋b ＋c ＋d )＝999a ＋99b ＋9c ＝9(111a ＋11b ＋c )∵111a ＋11b ＋c 为整数，∴1000a ＋100b ＋10c ＋d ＝9(111a ＋11b ＋c )＋（a ＋b ＋c ＋d ) ∵9(111a ＋11b ＋c )与（a ＋b ＋c ＋d )均能被9整除 ∴1000a ＋100b ＋10c ＋d 也能被9整除【例4】将（x 2－x ＋1)6展开后得a 12x 12＋a 11x 11＋……＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0,求a 12＋a 10＋a 8＋……＋a 4＋a 2＋a 0的值.【解法指导】要求系数之和，但原式展开含有x 项，如何消去x 项，可采用赋特殊值法. 解：令x ＝1得a 12＋a 11＋……＋a 1＋a 0＝1 令x ＝－1得a 12－a 11＋a 10－……－a 1＋a 0＝729 两式相加得2（a 12＋a 10＋a 8＋……＋a 2＋a 0）＝730 ∴a 12＋a 10＋a 8＋……＋a 2＋a 0＝365考点6 一元一次方程与应用题【例1】解方程：35.0102.02.01.0=+--x x【解法指导】原方程的分子、分母有小数，可先利用分数的性质把小数化成整数，再按解方程步骤来解，注意：分数的性质是一个分数的分子、分母而言，而等式的性质是对一个等式的左边、右边而言，要注意区别防止出错．解：原方程变形为：35.010)1(1002.0100)2.01.0(100=⨯--⨯-x x即 50（0.1x －0.2）－2(x ＋1)＝3 去括号，得 5x －50－2x －2＝3 移项，得 5x －2x ＝3＋10＋2 合并，得 3x ＝15 系数化为1，得 x ＝501．已知x ＝3x ＋1，则（64x 2 ＋48x ＋9）2009＝_______．02．对任意四个有理数a 、b 、c 、d ，定义新运算：a b c d＝ ad − bc ，已知241x x-＝18，则x ＝( )A ．－1B ．2C ．3D ．4【例2】若关于x 的方程9x －17＝kx 的解为正整数，则k 的值为k ＝_____【解法指导】把x 的值用k 的代数式表示，利用整除性求出k 的值. 解：∵ 9x －17＝kx ∴ (9－k )x ＝17 ∴ kx -=917∵ x 为正整数，∴9－k 为17的正整数因数 ∴ 9－k ＝1 或 9－k ＝17∴ k ＝8 或 k ＝－8 故k ＝±801．a 为何值，方程()16326a x xa x +=--有无数个解． 02．如果关于x 的方程5432bx a x +=+的解不是负值，那么a 与b 的关系是（） A ． b a 53> B ． a b 53≥ C ． 5a ≥3b D ． 5a ＝3b【例3】(黄冈竞赛)某人沿电车路线行走，12分钟有一辆电车后面开来，4分钟迎面有一辆电车开来，假定此人和电车速度都是匀速前进，4分钟迎面有一辆电车开来，电车是每隔多少分钟从起点站开出一辆？【解法指导】根据“路程＝速度×时间”，所以当路程相同时与时间成正比• 解：设站点每隔x 分钟开出一辆根据题意，得121244xx -=-，解得x ＝6 答：电车是每隔6分钟从起点站开出一辆【例4】(聊城) 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元•当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将此批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工.方案二：尽可能对蔬菜进行精加工，没来得及加工的在市场直接销售.方案三：部分蔬菜精加工，其余蔬菜粗加工，并恰好15天完成.你认为选择哪种获利多？为什么？【解法指导】理解本题的题意是解本题的前提，按照三种方式分别计算出利润，在比较三种利润的大小即可求解•解：对方案一：获利为4500X140＝630000(元)对方案二：15天细加工：6X15＝90(吨) 说明还有50吨需要在市场上直接销售，故可获利7500X90+1000X50＝725000(元)对方案三：设将x吨蔬菜进行细加工，则(140－x)吨进行粗加工，根据题意得解得x＝60140－x＝140－60＝80故获利为7500×60+4500×80＝810000(元) 由此，选择方案三【例5】(课本变形题) 有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来的及粉刷；同样时间内，5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40m2墙面•每名一级技工比二级技工一天多粉刷10m2墙面，求每名一级技工比二级技工一天各能粉刷多少平方米的墙面？【解法指导】在工程运用问题中，通常要运用“工作量＝工作效率x工作时间”关系探求数量关系和相等关系，有时候工作总量可以看作1•解：设每一名一级技工一天刷xm2的墙面，则每名二级技工一天刷(x－10) m2的墙面.根据题意得8503+x＝1040)10(5--x解得x＝122则x－10＝122－10＝112答：每一名一级技工一天刷122m2的墙面，则每名二级技工一天刷112m2的墙面.【例6】京津城际铁路于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行的时间为半小时•某次试车时，试验列车有北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同•如果这次试车时，由天津返回北京比去天津市平均每小时多行驶40千米，那么这次是车是由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？【解法指导】在行程问题中，通常要运用“路程＝速度×时间”关系探求数量关系和相等关系解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x 千米，由天津返回北京的平均速度是每小时(x +40)千米根据题意得2160630=+x （x +40）解得x ＝200答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米•01．（黄冈）某人在同一路段上走完一定的路程，去的速度是1v ，回来的速度是2v ，则他的平均速度为( )A ．122v v + B ．12122v v v v + C ．12122v v v v + D ．1212v v v v + 考点7 图形初步【例1】 (山西)一个画家有14个边长为1米的正方体，他在地面上把它们摆成如右图的形状，然后他把露出的表面涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为( )A ．19平方米B ．21平方米C ．33平方米D ．34平方米【解法指导】本题把涂上颜色的面积一块一块加起来计算很麻烦，应从整体角度出发，把立体转化为平面，观察题图所给的几何体，从前、后、左、右四个方向都只能看到6个1×1的正方形，从上面看可以看到一个3×3的大正方形轮廓，所以被涂上颜色的总面积应为4×6×1×1+3×3×1×1＝33(平方米)，故选C ．01.如图，立方体各面上的数字是连续的整数，如果相对的两个面上的两个数的和都相等，那么这三对数的总和是( )A ．76B ．78C ．80D ．8102．如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体从正面、左面、上面看到的图形，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是( )A ．3个B ．6个C ．7个D ．8个从正面看从左面看从上面看 03．如图所示的是一个由白纸拼成的立体图形，但有两面刷上黑色，将该立体图形展开后应该是 ( )A ．B ．C ．D ．04．如图所示是三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是 ( )151411A．B．C．D．【例2】(第21届江苏省竞赛题)设5 cm×4 cm×3 cm长方体的一个表面展开图的周长为n cm，则n的最小值是______．【解法指导】把展开图的周长用相应的代数式表示．长方体的展开图的周长为8c+4b +2a．故周长最小值为8×3+4×4+2×501．设有一个边长为1的正三角形，记作A1，将A1的每条边三等分，在中间的线段上向外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2；将A2的每条边三等分，重复上述过程，所得到的图形记作A3，现将A3的每条边三等分，重复上述过程，所得到的图形记作A4，则A4的周长是多少?考点8 直线、射线、线段【例1】已知：线段AB ＝10cm ，M 为AB 的中点，在AB 所在直线上有一点P ，N 为AP 的中点，若MN ＝1.5cm ，求AP 的长．【解法指导】题中已说明P 在AB 所在直线上，即说明P 点可能在线段AB 上，也可能在AB 的延长线上（不可能在BA 的延长线上），故应分类讨论．解：⑴如图①，当点P 在线段AB 上时，点N 在点M 的左侧，则AP ＝2AN ＝2（AM －MN ）＝2（12AB －MN ）＝2×（5－1.5）＝7（cm ）；⑵当点P 在线段AB 的延长线上时，N 点在M 点的右侧如图②，则AP ＝2AN ＝2（AM＋MN ）＝2（12AB ＋MN ）＝2×（5＋1.5）＝13（cm ）；所以AP 的长为7cm 或13cm【例2】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠三个站，问：⑴要有多少种不同的票价？⑵要准备多少种车票？【解法指导】首先要能把这个实际问题抽象成一个数学问题，把车站和三个停方点当作一条直线上的五个点，票价视路程的长短而变化，实际上就是要找出图中有多少条不同的线段．因为不同的线段就是不同的票价，故求有多少种票价即求有多少条线段，而要求有多少种车票即是求有多少条射线．解：因为图中有10 条不同的线段，故票价有10种；有20条不同的射线，故应准备20种车票．①P A ②B A例7】（第五局“华罗庚金杯”赛试题）摄制组从A 市到B 市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C 市吃饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A 、B 两市相距多少千米？【解法指导】条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以可以画出线段表示各段路程，借助图形思考它们之间的关系．解：设小镇为D ，傍晚汽车在E 休息，则AD ＝12DC ，EB ＝12CE ，AD ＋EB ＝12DE ＝200， ∴AB ＝AD ＋EB ＋DE ＝200＋400＝600．答：A 、B 两市相距600千米．考点9 角及角度转化【例1】：38.33°可化为（）A ．38°30′3〃B ．38°33＇C ．38°30′30″〃D ．38°19′48″〃【解法指导】注意度、分、秒是60进制的，把度转化成分要乘60，把分转化成秒要乘60；反之把秒化成分要除以60，把分化成度要除以60，把秒化成度要除以3600，故选择D ．【例2】：如图是一块手表早点9时20分的时针、分针位置关系示意图，此时时针和分针所成的角的度数是（）A ．160°B ．180°C ．120°D ．150°【解法指导】角此类问题可结合题意画出相应刻度的示意图，并准确地把握时针、分针的旋转一圈12小时，则它1小时转的角度为360°×112＝30°，1分钟转过的角度为30°×160＝0.5°，分针转一圈是1个小时，分针每分钟转过的角度为360°×160＝6°．故选择A．【例3】：考点办公室设在校园中心O点，带队老师休息室A位于O点的北偏东45°，某考室B位于O点南偏东60°，请在图中画出射线OA，OB，并计算∠AOB的度数．【解法指导】此类问题紧扣方位角的概念作出射线OA，OB是关键．解：如图，以O为顶点，正北方向线为始边向东旋转45°，得OA，以O为顶点，正南方向线为始边向东旋转60°，得OB，则∠AOB＝180°－（45°＋60°）＝75°．【例4】：如图，O是直线AB上一点，∠AOD＝120°，∠AOC＝90°，OE平分∠BOD，则图中彼此互补的角共有对．【解法指导】彼此互补的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关，从计算相应角的度数入手，故共有6对．。

数学人教版七年级上册重难点题型有理数(解析版)

专题01 有理数章末重难点题型（举一反三）【考点1 科学记数法及近似数】【方法点拨】（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，解决此类问题只需确定a与n的值，其中1≤|a| ＜10，n为整数位数减1，如若数带单位可先将其还原；（2）一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位，但有一个易错点需注意，如2.019×105很多同学错误的认为这个数是精确到千分位，解决此类问题需将这个数还原成整数201900，这时能确定这个9应在百位上，因此这个数精确到百位.【例1】（2018•浉河区校级期中）2018年河南省全年生产总值48055.86亿元，数据“48055.86亿”用科学记数法表示为（）A．4.805586×104B．0.4805586×105C．4.805586×1012D．4.805586×1013【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：48055.86亿用科学记数法表示为4.805586×1012．故选：C．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．【变式1-1】（2018秋•沭阳县期末）某种鲸鱼的体重约为1.36×105kg，关于这个近似数，下列说法正确的是（）A．它精确到百位B．它精确到0.01C．它精确到千分位D．它精确到千位【分析】根据近似数的精确度求解．【解答】解：1.36×105精确到千位．故选：D．【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．【变式1-2】（2018•凉州区校级期中）绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态生活环境，我省2017年一季度清理垃圾约1.16×107方，数字1.16×107表示（）A．1.16亿B．116万C．1160万D．11.6亿【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：1.16×107＝11600000＝1160万．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【变式1-3】近似数3.5的准确值a的取值范围是（）A．3.45≤a≤3.55B．3.4＜a＜3.6C．3.45≤a＜3.55 D．3.45＜a≤3.55【分析】根据四舍五入法，可以得到似数3.5的准确值a的取值范围，本题得以解决．【解答】解：近似数3.5的准确值a的取值范围是3.45≤a≤3.54，故选：C．【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数和有效数字的含义．【考点2 表示相反意义的量】【方法点拨】解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解.（2018秋•襄州区期中）一箱苹果的重量标识为“10±0.25”千克，则下列每箱苹果重量中合格的是（）【例2】A．9.70千克B．10.30千克C．9.60千克D．10.21千克【分析】根据“10±0.25千克”，可算出合格范围，再根据合格范围，选出答案．【解答】解：∵10﹣0.25＝9.75（千克），10+0.25＝10.25（千克），∴合格范围为：9.75～10.25千克．故选：D．【点评】本题考查了正数和负数，计算出合格范围是解题关键．【变式2-1】（2018秋•睢宁县期中）某粮店出售4种品牌的面粉，袋上分别标有质量为（20±0.1）kg、（20±0.2）kg、（20±0.3）kg、（20±0.4）kg，这种合格面粉最多相差（）A．0.4kg B．0.5kg C．0.6kg D．0.8kg【分析】根据题意给出4种品牌的质量波动范围，并求出任意两袋质量相差的最大数．【解答】解：根据题意从中找出两袋质量波动最大的（20±0.4）kg，则相差0.4﹣（﹣0.4）＝0.8kg．故选：D．【点评】本题考查了这正数和负数，有理数的减法运算时解题关键．【变式2-2】（2018秋•慈溪市期中）213路公交车从起点开始经过A，B，C，D四站到达终点，各站上下车人数如下（上车为正，下车为负）例如（7，﹣4）表示该站上车7人，下车4人．现在起点站有15人，A（4，﹣8），B（6，﹣5），C（7，﹣3），D（1，﹣4）．车上乘客最多时有（）名．A．13 B．14 C．15 D．16【分析】根据题意可以算出各个阶段对应的乘客人数，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，起点到A站之间，车上有15人，A站到B站之间，车上有：15+4﹣8＝11（人），B站到C站之间，车上有：11+6﹣5＝12（人），C站到D站之间，车上有：12+7﹣3＝16（人），D站到终点之间，车上有：16+1﹣4＝13（人），由上可得，车上乘客最多有16人，故选：D．【点评】本题考查正负数，解答本题的关键是明确正负数在题目中的实际意义．【变式2-3】（2018秋•封开县期中）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（）A ．﹣3.5B ．+2.5C ．﹣0.6D ．+0.7【分析】求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．【解答】解：∵|﹣0.6|＜|+0.7|＜|+2.5|＜|﹣3.5|，∴﹣0.6最接近标准，故选：C ．【点评】本题考查了绝对值和正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大．【考点3 有理数相关概念】【方法点拨】解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念，如①整数和分数统称为有理数；②正有理数、0和负有理数亦可称为有理数；③只有符号不同的两个数叫做互为相反数；④在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；⑤数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值；⑥一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.【例3】（2018秋•江城区期中）下列说法中正确的是（）A ．正数和负数统称为有理数B ．有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和0五类C ．一个有理数不是整数，就是分数D ．整数包括正整数和负整数【分析】根据有理数的分类，逐一做出判断即可．【解答】解：因为是正数，却不是有理数，故选项A 错误；有理数按定义分为整数和分数，按性质分为正有理数、负有理数和0．故选项B 错误；因为整数和分数统称有理数，所以一个有理数不是整数，就是分数，故选项C 正确；整数包括正整数、负整数和0，由于缺少0故选项D 错误．故选：C ．【点评】本题考查有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的分类标准，做到不重不漏．【变式3-1】（2018秋•常熟市期中）下列各数：47-，1.010010001，338，0，﹣π，﹣2.626626662…，∙∙21.0，其中有理数的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】直接利用有理数的概念分析得出答案．【解答】解：﹣，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.，其中有理数为：﹣，1.010010001，，0，0.，共5个．故选：C．【点评】此题主要考查了有理数的相关概念，正确把握相关定义是解题关键．【变式3-2】下列说法正确的是（）A．正数与负数互为相反数B．符号不同的两个数互为相反数C．数轴上原点两旁的两个点所表示的数是互为相反数D．任何一个有理数都有它的相反数【分析】A、B、C可举反例判断，D根据相反数的概念解答即可．【解答】解：A、B、C、如+3和﹣2不是互为相反数，故本选项错误；D、任何一个有理数都有它的相反数，正确．故选：D．【点评】本题考查了相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数．【变式3-3】（2018秋•东台市期中）下列说法正确的是（）A．绝对值等于3的数是﹣3B．绝对值不大于2的数有±2，±1，0C．若|a|＝﹣a，则a≤0D．一个数的绝对值一定大于这个数的相反数【分析】利用绝对值的知识分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、绝对值等于3的数是3和﹣3，故错误；B、绝对值不大于2的整数有±2，±1，0，故错误；C、若|a|＝﹣a，则a≤0，正确，D、负数的绝对值等于这个数的相反数，故错误，故选：C．【点评】本题考查了绝对值的性质，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．【考点4 利用数轴判断符号】【方法点拨】解决此类问题需由数轴得知字母所表示的数的正负性，再根据有理数加、减、乘、除、乘方、绝对值的意义以及数轴上右边点的数总比左边的数大判断即可.【例4】（2018秋•宿松县期末）有理数a，b在数轴上的表示如图所示，则下列结论中：①ab＜0，②﹣a＞﹣b，③a+b＜0，④a﹣b＜0，⑤a＜|b|，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据数轴知b＜0＜a，且|a|＜|b|，再利用有理数的乘法、加法、减法及绝对值性质等知识点逐一判断可得．【解答】解：由数轴知b＜0＜a，且|a|＜|b|，则①ab＜0，此结论正确；②﹣a＜﹣b，此结论错误；③a+b＜0，此结论正确；④a﹣b＞0，此结论错误；⑤a＜|b|，此结论正确；故选：B．【点评】本题考查的是数轴和绝对值，熟知数轴上右边的数总比左边的大及有理数的混合运算法则是解答此题的关键．【变式4-1】（2018秋•西城区期末）如图，数轴上A，B两点对应的数分别是a和b，对于以下四个式子：①2a﹣b；②a+b；③|b|﹣|a|：④，其中值为负数的是（）A．①②B．③④C．①③D．②④【分析】根据图示，可得b＜﹣3，0＜a＜3，据此逐项判断即可．【解答】解：根据图示，可得b＜﹣3，0＜a＜3，①2a﹣b＞0；②a+b＜0；③|b|﹣|a|＞0；④＜0．故其中值为负数的是②④．故选：D．【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出a、b的取值范围．【变式4-2】（2018秋•九龙坡区校级期中）如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，则下列结论：①ab ＜0；②a+b＞0；③a﹣b＞1；④a2﹣b2＜0，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据数轴的性质，可以得到两个点表示数的大小关系和符号，根据有理数计算法则可得出结论【解答】解：∵b＜﹣1＜0，0＜a＜1∴①ab＜0，正确②a+b＞0，错误③a﹣b＞1，正确④a2﹣b2＜0，正确故选：C．【变式4-3】（2018秋•黄陂区期中）有理数a、b、c在数轴上对应的点的位置，如图所示：①abc＜0；②|a ﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0；④|a|＜1﹣bc，以上四个结论正确的有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】先根据数轴上a、b、c的位置判断它们的正负、大小，利用乘法的符号法则、有理数的减法法则、绝对值的化简等知识点逐个判断得结论．【解答】解：由数轴知：a＜﹣1＜0＜b＜c＜1．∵a＜0．b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确；∵a＜b，b＜c，a＜c，∴|a﹣b|+|b﹣c|＝b﹣a+c﹣b＝c﹣a，|a﹣c|＝c﹣a，∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|，故②正确；∵a＜b，b＜c，a＜c，∴a﹣b＜0，b﹣c＜0，c﹣a＞0∴（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0，故③正确；∵a＜﹣1，∴|a|＞1，∵0＜b＜c＜1，∴0＜bc＜1，∴1﹣bc＜1，∴|a|＞1﹣bc，故④不正确．故选：B．【点评】本题考查了数轴上点的特点，有理数乘法的符号法则，有理数的大小比较，绝对值的化简等知识点，掌握减法、乘法的符号法则是解决本题的关键．【考点5 绝对值及偶次乘方的非负性】【方法点拨】直接利用绝对值及偶次乘方的非负数的性质分别得出字母的值，进而得出答案．【例5】（2019春•瑞安市期中）若|x+2|+（x+3y+1）2＝0，则y x的值为．【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质分别化简得出答案．【解答】解：∵|x+2|+（x+3y+1）2＝0，∴x+2＝0，x+3y+1＝0，解得：x＝﹣2，y＝，故y x＝（）﹣2＝9．故答案为：9．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．【变式5-1】（2018秋•蔡甸区期末）若（x﹣2）2与|x+2y|互为相反数，则y﹣x＝．【分析】直接利用非负数的性质分别得出x，y的值，进而得出答案．【解答】解：∵（x﹣2）2与|x+2y|互为相反数，∴x﹣2＝0，x+2y＝0，解得：x＝2，y＝﹣1，故y﹣x＝﹣1﹣2＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．【变式5-2】（2018秋•滨湖区校级月考）当x时，2﹣（x+3）2有最大值．【分析】直接利用偶次方的性质分析得出答案．【解答】解：当x+3＝0时，2﹣（x+3）2有最大值，解得：x＝﹣3．故答案为：＝﹣3．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确利用偶次方的性质是解题关键．【变式5-3】（2018秋•江南区校级月考）当x＝时，﹣10+|x﹣1|有最小值，最小值为．【分析】直接录用绝对值的性质分析得出答案．【解答】解：∵|x﹣1|最小为0，∴当x＝1时，﹣10+|x﹣1|有最小值，最小值为：﹣10．故答案为：1，﹣10．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键．【考点6 利用相反数、倒数、绝对值定义求值】【方法点拨】解决此类问题需熟知两个互为相反数的数和为0，两个互为倒数的数乘积为1，值得注意的是已知一个数的绝对值为非0的数，那么这个数应该有两个，此时应注意分类讨论，结果往往有两个.【例6】（2018秋•富顺县期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为4．（1）直接写出a+b，cd，m的值；（2）求m+cd+m ba的值．【分析】（1）直接利用互为相反数以及互为倒数和绝对值的定义分别分析得出答案；（2）利用（1）中所求，代入得出答案．【解答】解：（1）∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为4，∴a+b＝0，cd＝1，m＝±4；（2）由（1）得：原式＝±4+1＝5或﹣3．【点评】此题主要考查了倒数、相反数、绝对值，正确把握相关定义是解题关键．【变式6-1】（2019春•白塔区校级月考）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值等于3，求m2+（cd+a+b）×m+（cd）2018的值．【分析】利用倒数，相反数的性质，以及绝对值的代数意义求出a+b，cd，m的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值等于3，∴a+b＝0，cd＝1，|m|＝3，当m＝﹣3时，m2+（cd+a+b）×m+（cd）2018＝（﹣3）2+（1+0）×（﹣3）+12018＝9+1×（﹣3）+1＝9+（﹣3）+1＝7；当m＝3时，∴m2+（cd+a+b）×m+（cd）2018＝13【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式6-2】（2018秋•临洮县月考）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，p的绝对值等于2，则关于x的方程（a+b）x2+3cd•x﹣p2＝0的解是多少？【分析】直接利用倒数以及绝对值、相反数的定义得出答案．【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，p的绝对值等于2，∴a+b＝0，cd＝1，p2＝4，∴（a+b）x2+3cd•x﹣p2＝0，整理得：3x﹣4＝0，解得：x＝．【点评】此题主要考查了倒数、相反数、绝对值，正确把握相关定义是解题关键．【变式6-3】（2018秋•湖里区校级月考）已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b 互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数．求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值．【分析】直接利用相反数以及互为倒数的性质得出a+b＝0，cd＝1，进而分类讨论得出答案．【解答】解：∵有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，∴m＝﹣5或3，∵a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数，∴a+b＝0，cd＝1，当m＝﹣5时，∴2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m＝﹣3﹣（﹣5）＝2，当m＝3时，2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m＝﹣3﹣3＝﹣6综上所述：原式＝2或﹣6．【点评】此题主要考查了倒数与相反数，正确把握相关定义是解题关键．【考点7 利用绝对值、乘方的性质求值】【方法点拨】解决此类问题需熟知一个数的绝对值或乘方是一个正数，那么这个数应该有两个，需注意进行分类讨论，另外会熟练运用绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.包括逆向用法.【例7】（2018秋•江阴市校级月考）若实数a，b满足a2＝16，|b|＝6，且a﹣b＜0，求a+b的值．【分析】根据有理数的乘方和绝对值的性质求出a、b，再根据a﹣b＜0判断出a、b的对应情况，然后相加即可得解．【解答】解：∵a2＝16，|b|＝6，∴a＝±4，b＝±6，∵a﹣b＜0，∴a＜b，∴①a＝﹣4，b＝6，则a+b＝2，②a＝4，b＝6，则a+b＝10，综上所述，a+b的值等于2或10．【点评】本题考查了有理数的加法，绝对值的性质，有理数的减法，确定出a、b的值是解题的关键．【变式7-1】（2018秋•孝南区月考）已知|a|＝8，b2＝36，若|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值．【分析】根据绝对值和乘方的意义可得a＝±8，b＝±6，再由绝对值的性质可得a﹣b≤0，进而可确定a、b的值，然后可得答案．【解答】解：∵|a|＝8，b2＝36，∴a＝±8，b＝±6，∵|a﹣b|＝b﹣a，∴a﹣b≤0，∴a≤b，∴a＝﹣8，b＝﹣6，则a+b＝﹣14，a＝﹣8，b＝6，a+b＝﹣2，故答案为：﹣2或﹣14．【点评】此题主要考查了绝对值的性质和有理数的乘方，关键是掌握有理数乘方的意义，掌握非正数的绝对值等于它的相反数．【变式7-2】（2018秋•江岸区期中）已知|x+4|＝5，（1﹣y）2＝9，且x﹣y＜0，求2x+y的值．【分析】根据绝对值和偶次幂得出x，y的值，进而解答即可．【解答】解：因为|x+4|＝5，（1﹣y）2＝9，且x﹣y＜0，所以x＝1，y＝4，或x＝﹣9，y＝﹣2，所以2x+y＝6或﹣20．【点评】本题考查有理数的乘方、绝对值的性质，解题的关键是根据绝对值和偶次幂得出x，y的值．【变式7-3】（2018秋•泰兴市校级月考）若|a|＝2，|b|＝3，|c|＝6，|a+b|＝﹣（a+b），|b+c|＝b+c．计算a+b﹣c的值．【分析】根据题意可以求得a、b、c的值，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝3，|c|＝6，∴a＝±2，b＝±3，c＝±6，∵|a+b|＝﹣（a+b），|b+c|＝b+c，∴a+b≤0，b+c≥0，∴a＝±2，b＝﹣3，c＝6，∴当a＝2，b＝﹣3，c＝6时，a+b﹣c＝2+（﹣3）﹣6＝﹣7，a＝﹣2，b＝﹣3，c＝6时，a+b﹣c＝﹣2+（﹣3）﹣6＝﹣11．【点评】本替考查有理数的加减混合运算、绝对值，解答本题的关键是明确有理数加减混合运算的计算方法．【考点8 有理数混合运算】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握有理数混合运算的先后顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里，值得注意有些题可能会运用运算律进行简便运算.【例8】（2019春•黄州区校级月考）计算：（1）135()36 6412-+-⨯（2）22128(3)2()42()433-÷⨯-++⨯- 【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可求出值；（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝﹣6+27﹣15＝6；（2）原式＝9××（﹣）+4+4×（﹣）＝﹣﹣+4＝﹣．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式8-1】（2018秋•宝应县期末）计算：（1）215[1(425)]-----⨯（2）2019211(1)|3(3)|2---÷-- 【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算；（2）先算乘方，再算除法，最后算减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号和绝对值，要先做括号和绝对值内的运算．【解答】解：（1）﹣15﹣[﹣1﹣（4﹣22×5）]＝﹣15﹣[﹣1﹣（4﹣4×5）]＝﹣15﹣[﹣1﹣（4﹣20）]＝﹣15﹣（﹣1+16）＝﹣15﹣15＝﹣30；（2）﹣12019﹣（1﹣）÷|3﹣（﹣3）2|＝﹣1﹣÷|3﹣9|＝﹣1﹣÷6＝﹣1﹣＝﹣1．【点评】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【变式8-2】（2019春•沙坪坝区校级月考）计算：（1）344[(2)()(2)]3(27)3-⨯-+--+-．（2）20191111()(24)3126---+⨯-．【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值；（2）原式利用乘方的意义，以及乘法分配律计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝﹣8﹣81﹣27＝﹣113；（2）原式＝﹣1+8﹣2+4＝9．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式8-3】（2018秋•渝中区校级期末）有理数的计算：（1）22321(21)(31)5353-+++- （2）201924242(1)[12()]339-+-÷⨯-+ 【分析】（1）去括号，再利用加法交换律和结合律计算可得；（2）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：（1）原式＝﹣1+2+1+3﹣1＝﹣1+6＝5；（2）原式＝﹣2﹣1××（12﹣+）＝﹣2﹣×12＝﹣2﹣9＝﹣11．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算律．【考点9 有理数混合运算的应用】【方法点拨】对于应用题理解题意是解决此类题型的关键.【例9】（2018秋•新疆期末）某工厂一周计划每日生产自行车100辆，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（以计划量为标准，增加的车辆数记为正数，减少的车辆数记为负数）：（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？（2）本周总生产量是多少？比原计划增加了还是减少了？增减数为多少？【分析】（1）由表格找出生产量最多与最少的，相减即可得到结果；（2）根据题意列出算式，计算即可得到结果．【解答】解：（1）7﹣（﹣10）＝17（辆）；（2）100×7+（﹣1+3﹣2+4+7﹣5﹣10）＝696（辆），答：（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产17辆；（2）本周总生产量是696辆，比原计划减少了4辆．【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，以及正数与负数，弄清题意是解本题的关键．【变式9-1】（2018秋•康巴什校级月考）根据实验测定：高度每增加1千米，气温大约变化量为﹣6℃，某登山运动员攀登2km后，（1）气温有什么变化？（2）过一会后运动员在攀登途中发回信息，报告他所在高度的气温为﹣15℃，如果当时地面温度为3℃，求此时该登山运动员攀登了少千米？【分析】（1）由高度每增加1千米，气温大约变化量为﹣6℃可得．（2）根据高度每增加1千米，气温大约降低6℃，由他所在高度的气温即可求出高度．【解答】解：（1）根据题意，登山运动员攀登2km后，气温下降12℃；（2）根据题意得：[3﹣（﹣15）]÷6×1＝3（千米），则此时该登山运动员所在位置的高度是3千米．【点评】此题考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解“高度每增加1千米，气温大约降低6℃”的意义．【变式9-2】（2018秋•雁塔区校级期末）快递配送员王叔叔一直在一条南北走向的街道上送快递，如果规定向北为正，向南为负，某天他从出发点开始所行走的路程记录为（长度单位：千米）：+3，﹣4，+2．+3．﹣1，﹣1，﹣3（1）这天送完最后一个快递时，王叔叔在出发点的什么方向，距离是多少？（2）如果王叔叔送完快递后，需立即返回出发点，那么他这天送快递（含返回）共耗油多少升（已知每千米耗油0.2升）？【分析】（1）在计算最终位置的时候，既要考虑距离的变化，又要考虑方向的变化，所以包含表示方向的符号一起进行加减运算，即求：+3﹣4+2+3﹣1﹣1﹣3的和．（2）考虑耗油时，只要考虑路程的总变化，不需要考虑方向的变化，所以将上述数值的绝对值相加，并包括回到出发点的距离求总路程，再计算耗油量．【解答】解：（1）由题意得：+3﹣4+2+3﹣1﹣1﹣3＝﹣9+8＝﹣1答：王叔叔送完最后一个快递时，在出发点的南方，距离出发点是1km．（2）设王叔叔总的行驶路程为S，则S＝|+3|+|﹣4|+|+2|+|+3|+|﹣1|+|﹣1|+|﹣3|+|﹣1|＝18∵每行驶1千米耗油0.2升，∴耗油量为18×0.2＝3.6答：王叔叔这天送快递（含返回）共耗油3.6升．【点评】本题考查的是有理数中正负数表示的意义与绝对值的意义，理解符合在问题中表示的意义是解决本题的关键．【变式9-3】小明是“环保小卫士”，课后他经常关心环境天气的变化，最近他了解到上周白天的平均气温，如下表（+表示比前一天升了，﹣表示比前一天下降了．单位：℃）已知上周周日平均气温是16.9℃，回答下列问题：（1）这一周哪天的℃平均气温最高是多少？（2）计算这一周每天的平均气温？（3）小明了解到本地的平均气温同期历史最高气温是17.2℃，最低气温是4.2℃，用一句话概括本地的气温变化．【分析】（1）观察表中数字不难看出：前六天中，除了星期二是负数，其它均为正数，显然周六的平均气温最高；（2）只需依次相加即可分别求出这一周每天的平均气温；（3）根据前面的计算结果，和历史数据比较就可以得到结论．【解答】解：（1）16.9+1.1＝18℃18﹣0.3＝17.7℃17.7+0.2＝17.9℃17.9+0.4＝18.3℃18.3+1＝19.3℃19.3+1.4＝20.7℃20.7﹣0.3＝20.4℃故周六平均气温最高，最高是20.7℃；（2这周每天的平均气温是：周一16.9+1.1＝18℃；周二18﹣0.3＝17.7℃；周三17.7+0.2＝17.9℃；周四17.9+0.4＝18.3℃；周五18.3+1＝19.3℃；周六19.3+1.4＝20.7℃；周日20.7﹣0.3＝20.4℃．（3）由于本地的平均气温同期历史最高气温是17.2℃，最低气温是4.2℃，所以本地温差变化不大．【点评】此题要求学生熟练进行有理数的连加减运算．【考点10 有关数轴的探究题】【方法点拨】解决此类问题数形结合思想是关键.【例10】（2018秋•海淀区校级期中）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆，有一个公共点与数轴上的原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位，（1）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动的时间记为正数，向左滚动时间即为负数，依次滚动的情况录如下（单位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，+6①第次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离最远；②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π）（2）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．【分析】（1）①算出每次滚动后大圆与数轴的公共点到原点的距离，然后比较大小即可；②总路程与方向无关把每次的移动的距离相加即可；（2）分同向和反相两种情况讨论，同向路程之差为9π，反向路程之和为9π，然后求出相应时间，再根据不同方向确定两圆与数轴重合的点所表示的数【解答】解：（1）①：第1次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π|＝2π第2次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π|＝2π第3次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π|＝6π第4次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π|＝10π第5次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π|＝4π第6次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π所以第四次滚动后大圆与数轴的公共点到原点的距离最远．故答案为4；②总路程为：|﹣1×2π|+|+2×2π|+|﹣4×2π|+|﹣2×2π|+|+3×2π|+|+6×2π|＝36π此时两圆与数轴重合的点之间的距离为：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π（2）当它们同向运动时秒，小圆与数轴重合的点所表示的数为9π，大圆与数轴重合的点所表示的数为18π，或小圆与数轴重合的点所表示的数为﹣9π，大圆与数轴重合的点所表示的数为﹣18π，当它们反向运动时秒，小圆与数轴重合的点所表示的数为﹣3π，大圆与数轴重合的点所表示的数为6π，或小圆与数轴重合的点所表示的数为3π，大圆与数轴重合的点所表示的数为﹣6π，【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．【练10-1】（2018秋•江岸区校级月考）如图，数轴上A，B两点对应的数分别﹣4，8．有一动点P从点A 出发第一次向左运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，…按照如此规律不断地左右运动（1）当运动到第2018次时，求点P所对应的有理数．（2）点P会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出此时点P的位置，若不可能请说明理由．【分析】（1）根据题意可以发现点P运动后对应的点的规律，从而可以解答本题；（2）根据题意分两种情况：①当P点在A点的左边时；②当P点在AB之间时；可以求得点P对应的有理数．【解答】解：（1）﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣…﹣2017+2018＝﹣4+1009＝1005．故点P所对应的有理数是1005．（2）①当P点在A点的左边时，∵PB＝3P A，∴AB＝2P A，∴P A＝6，∴P点对应的数为﹣10，﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8﹣9+10﹣11＝﹣10，∴可以；②当P点在AB之间时，。

人教版七年级上册 1.3 有理数加减混合运算复习(含答案)

小练：（–3）–（–5）
3 1 –（–1 3 ）
4
4
（–3）–（+5）+（–4）–（–10）
3 1 –（+5）–（–1 3 ）+（–5）
4
4
–2.4 + 3.5–4.6 + 3.5
3 1 –2 3 + 5 7 –8 2 85 8 5
2
小练：加法、减法统一成加法 1．将式子 3－5－7 写成和的形式，正确的是( ) A．3＋5＋7 B．－3＋(－5)＋(－7) C．3－(＋5)－(＋7) D．3＋(－5)＋(－7) 2．为计算简便，把(－2.4)－(－4.7)－(＋0.5)＋(＋3.4)＋(－3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是( ) A．－2.4＋3.4－4.7－0.5－3.5 B．－2.4＋3.4＋4.7＋0.5－3.5 C．－2.4＋3.4＋4.7－0.5－3.5 D．－2.4＋3.4＋4.7－0.5＋3.5 3．下列式子正确的是( ) A．－3＋4－2＝(－3)＋(＋4)－(－2) B．(＋9)－(－10)－(＋6)＝9－10－6 C．(－8)－(－3)＋(－5)＝－8＋3－5 D．－3＋5＋6＝6－(3＋5) 4．把(－8)＋(－10)－(＋9)－(－11)写成省略加号的和的形式是________________． 5．－8－3＋1－7 读作________________或读作________________．有理数加减混合运算 6．计算 0－(－5)－(＋1.71)－(－4.71)的结果是( ) A．7 B．－7 C．8 D．－8 7．下列交换加数位置的变形中，正确的是( ) A．1－4＋5－4＝1－4＋4－5
B．－13＋34－16－14＝14＋34－13－16

人教版数学七年级上册有理数专题练习(解析版)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．阅读下面的材料：点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|当A、B两点中有一点在原点时，设点A在原点，如图①|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|当A、B两点都不在原点时，（ 1 ）如图②，点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|（2 ）如图③，点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a ﹣b|（ 3 ）如图④，点A、B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|综上所述，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|请用上面的知识解答下面的问题：（1）数轴上表示﹣2和﹣4的两点之间的距离是________，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是________.（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是________，如果|AB|=2，那么x为________.（3）当|x+1|+|x﹣2|=5时的整数x的值________.（4）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是________.【答案】（1）2；4（2）x+1；1或-3（3）-2或3（4）-1≤ x≤2【解析】【解答】（1）数轴上表示﹣2和﹣4的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣4）|=2；数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4故答案为:2，4（2）数轴上x与-1的两点间的距离为|x-（-1）|=|x+1|，如果|AB|=2，则x+1=±2，解得x=1或-3；故答案为：|x+1|，1或-3（3）解方程|x+1|+|x﹣2|=5，且x为整数.当x+1＞0，x-2＞0，则（x+1）+（x-2）=5，解得x=3当x+1＜0，x-2＜0，则-（x+1）-（x-2）=5，解得x=-2当x+1与x-2异号，则等式不成立.故答案为：3或-2.（ 4 ）根据题意得x+1≥0且x-2≤0，则-1≤x≤2；【分析】（1）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a−b|，代入数值运用绝对值的意义即可求解；（2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a−b|，列出方程，求解即可；（3）由数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a−b|可知，|x＋1|＋|x−2|表示点x到−1与2两点距离之和，由于,2与-1之间的距离是3小于5，故表示数x的点，不可能在-1与2之间，然后分数轴上表示x的点在数轴上表示数字1的点的右边及数轴上表示x的点在数轴上表示数字-2的点的左边两种情况考虑即可解决问题；（4）由数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a−b|可知，|x＋1|＋|x−2|表示点x到−1与2两点距离之和，根据两点之间线段最短即可得出x的取值范围.2．阅读下面的材料：如图1，在数轴上A点衰示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB.线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB﹣b﹣a.请用上面的知识解答下面的问题：如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B 点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm.（1）请你在数轴上表示出A.B.C三点的位置：（2）点C到点人的距离CA=________cm；若数轴上有一点D，且AD=4，则点D表示的数为________；（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为________；（用代数式表示）（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A.C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动.设移动时间为t秒，试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由.【答案】（1）解：如图所示：（2）5；﹣5或3（3）﹣1+x（4）解：CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下：根据题意得：CA=（4+4t）﹣（﹣1+t）=5+3t，AB=（﹣1+t）﹣（﹣3﹣2t）=2+3t，∴CA﹣AB=（5+3t）﹣（2+3t）=3，∴CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化【解析】【解答】（2）CA=4﹣（﹣1）=4+1=5（cm）；设D表示的数为a，∵AD=4，∴|﹣1﹣a|=4，解得：a=﹣5或3，∴点D表示的数为﹣5或3；故答案为5，﹣5或3；（ 3 ）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x；故答案为﹣1+x；【分析】（1）根据题意容易画出图形；（2）由题意容易得出CA的长度；设D表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果；（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为-1+x；（4）表示出CA和AB，再相减即可得出结论.3．如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣12和4.（1）直接写出A、B两点之间的距离；（2）若在数轴上存在一点P，使得AP＝ PB，求点P表示的数.（3）如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达原点O后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当OP＝4OQ时的运动时间t的值.【答案】（1）解：A、B两点之间的距离是：4﹣（﹣12）＝16（2）解：设点P表示的数为x.分两种情况：①当点P在线段AB上时，∵AP＝ PB，∴x+12＝（4﹣x），解得x＝﹣8；②当点P在线段BA的延长线上时，∵AP＝ PB，∴﹣12﹣x＝（4﹣x），解得x＝﹣20.综上所述，点P表示的数为﹣8或﹣20（3）解：分两种情况：①当t≤2时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，此时Q点表示的数为4﹣2t，P点表示的数为﹣12+5t，∵OP＝4OQ，∴12﹣5t＝4（4﹣2t），解得t＝，符合题意；②当t＞2时，点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，此时Q点表示的数为3（t﹣2），P点表示的数为﹣12+5t，∵OP＝4OQ，∴|12﹣5t|＝4×3（t﹣2），∴12﹣5t＝12t﹣24，或5t﹣12＝12t﹣24，解得t＝，符合题意；或t＝，不符合题意舍去.综上所述，当OP＝4OQ时的运动时间t的值为或秒【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出A、B两点之间的距离；（2）设点P表示的数为x.分两种情况：①点P在线段AB上；②点P在线段BA的延长线上.根据AP＝ PB列出关于x的方程，求解即可；（3）根据点Q的运动方向分两种情况：①当t≤2时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动；②当t＞2时，点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，根据OP＝4OQ列出关于t的方程，解方程即可.4．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位，动点P 从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动.设运动的时间为t秒.问：（1）用含t的代数式表示动点P在运动过程中距O点的距离；（2）P、Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少？（3）是否存在P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等时？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：设动点P在运动过程中距O点的距离为S，当P从A运动到O时,所需时间为：（秒），当0≤t≤5时，S＝10﹣2t，当P从O运动到B时,所需时间为：（秒）∴P从A运动到B时,所需时间为：15秒当5＜t≤15时，S＝t﹣5，即动点P在运动过程中距O点的距离S＝；（2）解：设经过a秒，P、Q两点相遇，则点P运动的距离为10+（a-5），点Q运动的距离为a,10+（a-5）+a=28解得，a＝，则点M所对应的数是：18﹣＝，即点M所对应的数是；（3）解：存在，t＝2或t＝，理由：当0≤t≤5时，10﹣2t＝（18﹣10﹣t）×1，解得，t＝2当5＜t≤8时，（t﹣10÷2）×1＝（18﹣10﹣t）×1，解得，t＝，当8＜t≤15时，（t﹣10÷2）×1＝[t﹣（18﹣10）÷1]×1该方程无解，故存在，t＝2或t＝ .【解析】【分析】（1）分点P在AO上和点P在OB上两种情况，先求出点P在每段时t 的取值范围，再根据题意分别列出代数式可得答案；（2）根据相遇时P，Q运动的时间相等，P，Q运动的距离和等于28可得方程，根据解方程，可得答案；（3）分0≤t≤5，5＜t≤8，8＜t≤15三种情况，根据PO=BQ，可得方程，分别解出方程，可得答案.5．如图，数轴的单位长度为1.（1）如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中点A、点D表示的数分别是________、________；（2）当点B为原点时，在数轴上是否存在点M，使得点M到点A的距离是点M到点D 的距离的2倍，若存在，请求出此时点M所表示的数；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，点A、点C分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度同时向右运动，同时点P从原点出发以3个单位长度/秒的速度向左运动，当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？【答案】（1）-4；2（2）解：存在，如图：当点M在A，D之间时，设M表示的数为x，则x﹣（﹣2）=2（4﹣x）解得：x=2，当点M在A，D右侧时，则x﹣（﹣2）=2（x﹣4），解得：x=10，所以点M 所表示的数为2或10（3）解：设当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，运动时间为t，A点运动到：﹣2+2t，C点运动到：3+0.5t，①﹣2+2t﹣（3+0.5t）=3，解得：t=6，所以P点对应运动的单位长度为：3×6=18，所以点P表示的数为﹣18.②3+0.5t﹣（﹣2+2t）=3，解得：t= ，所以P点对应运动的单位长度为：3× =4，所以点P表示的数为﹣4.答：点P表示的数为﹣18或﹣4.【解析】【解答】解：（1）∵点B，D表示的数互为相反数，∴点B为﹣2，D为2，∴点A为﹣4，故答案为：﹣4，2；【分析】（1）由数轴上表示的互为相反数的两个数，分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等得出BD的中点就是原点，进而即可得出点A,C所表示的数；（2）存在，如图：分类讨论：当点M在A，D之间时，设M表示的数为x ，则AM=x-（-2），DM=4-x，根据AM=2DM列出方程，求解即可；当点M在A，D右侧时，AM=x-（-2），DM=x-4，根据AM=2DM列出方程，求解即可；（3）设当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，运动时间为t，A点运动到：﹣2+2t，C点运动到：3+0.5t，① 追击前根据两点间的距离公式列出方程3+0.5t﹣（﹣2+2t）=3 求解算出t的值，进而根据即可算出点P所表示的数；② 追击后根据两点间的距离公式列出方程﹣2+2t﹣（3+0.5t）=3求解算出t的值，进而根据即可算出点P所表示的数，综上所述即可得出答案。

初一数学有理数的加减乘除以及乘方试题答案及解析

初一数学有理数的加减乘除以及乘方试题答案及解析1.用科学记数法表示0.000000063是【答案】6.3×10-8.【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．试题解析：0.000000063=6.3×10-8.【考点】科学记数法—表示较小的数．2.（1）（2）（3）（4）【答案】（1）-14；（2）-5；（3）-17；（4）-4．【解析】（1）利用乘法对加法的分配律，把括号展开即可求出答案；（2）根据有理数的运算法则“先算乘方，再算乘除，最后算加减，括号优先”进行计算，即可求出答案；（3）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可求解；（4）先算出乘方，再算括号和绝对值，接着算除法和乘法，最后算加减即可求出该题的答案．试题解析：（1）原式==-30+16=-14；（2）原式=（-1）×（-5）÷（9-10）=（-1）×（-5）÷（-1）=5÷（-1）=-5；（3）原式=16×（-）-5=-12-5=-17；（4）原式=-1-÷3×｜3-9｜=-1-××6=-1-3=-4。

【考点】有理数的混合运算．3.在一次水灾中，大约有个人无家可归，假如一顶帐篷占地100米，可以放置40个床位(一人一床位)，为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？这些帐篷大约要占多少地方？若某广场面积为5000米2。

要安置这些人，大约需要多少个这样的广场？（所有结果用科学计数法表示）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】根据帐篷的数量=总人数÷每一个帐篷所容纳的人数；所占面积=帐篷数×一顶帐篷所占的面积，计算即可．试题解析：根据题意得2.5×107÷40=625000=顶帐篷，625000×100=6.25×107米2，6.25×107÷5000=个.考点: 整式的除法．4.下列运算正确的是（）A．B．C．D．=8【答案】B【解析】，A错;，C错;，D错.只有B是正确的.5.计算的值是（）A．0B．C．D．【答案】B【解析】6.已知互为相反数，互为倒数，的绝对值是，求的值．【答案】7【解析】解：由已知可得，，，．当时，；当时，．7.计算：；【答案】【解析】先根据有理数的除法法则统一为乘，再根据有理数的乘法法则计算，最后算减即可得到结果.解：原式.【考点】有理数的混合运算点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，学生要特别慎重，尽量不在计算上失分.8. (－2)0=_________，=___________，(－3)－1=___________．【答案】1，2，【解析】(－2)0=1，（任何数的0次都为1）=2；(－3)－1=【考点】实数运算点评：本题难度较低，主要考查学生对实数运算知识点的掌握。

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