福建省厦门市2015-2016学年高一下学期期末数学试卷版含解析(20201104092749)

=cos（ π+ ） =﹣ cos =﹣
2．已知向量 =（ 1， 2），向量 =（ x，﹣ 2），且 ⊥（ ﹣ ），则实数 x 等于（
）
A ．﹣ 4 B． 4 C． 0 D． 9
【考点】 平面向量数量积的运算．
【分析】 ① 把
转化为
② 用坐标运算公式
=x 1x 2+y1y2
【解答】 解：∵
∴
，
∴
，
∴1+2× 2﹣（ 1× x﹣2× 2）═ 0， ∴x=9 ． 故选 D ．
2015-2016 学年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1．
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】 运用诱导公式化简求值．
【分析】 根据诱导公式可知 cos
=cos（ π+ ），进而求得答案．
【解答】 解： cos 故选 D ．
【解答】 解：
=
=
=7；
∴
．
故选： B．
9．如图，长方体 ABCD ﹣ A ′B′C′D′中， AA ′=3，AB=4 ，AD=5 ，E、 F 分别是线段 AA ′和 AC
的中点，则异面直线 EF 与 CD ′所成的角是（
）
A ． 30° B． 45° C． 60° D． 90° 【考点】 异面直线及其所成的角．
【考点】 函数 y=Asin （ωx+φ）的图象变换；二倍角的余弦． 【分析】 利用二倍角公式，函数 y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】 解：由于函数 y=2cos2x=2?
=cos2x +1 ，
∴要得到得函数 y=2cos2x 的图象， 可以将函数 y=1 +cosx 图象上所有的点横坐标缩短到原来的 故选： B．
【解答】 解：根据函数 y=tan（ ﹣ ）在包含原点的一个周期内是增函数，故排除
C、D ；
令﹣ ＜ ﹣ ＜ ，求得﹣ 故选： A ．
＜x＜ ，结合所给的选项，
5．已知 O 为坐标原点， 点 A 的坐标为 （ 3，﹣ 4），将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 至 OB ，
则点 B 的纵坐标为（
）
A ．﹣ 4 B．﹣ 3 C． 3 D． 4 【考点】 简单曲线的极坐标方程．
当 l ⊥m 有 α∥ β或 α∩β，故 D 不正确，
故选： C．
8．在△ ABC 中， | | =1， | | =3，∠ BAC=60 °，则 | | =（ ）
A．1 B．
C． 3 D．
【考点】 平面向量数量积的运算．
【分析】 可知，
，根据条件对上式两边平方进行数量积的运算即可得出
，
从而得出
的值．
6．为了得到函数 y=2cos2x 的图象，可以将函数 y=1+cosx 图象上所有的点（
）
A ．横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变
7．已知直线 l ⊥平面 α，直线 m? 平面 β，下列命题中正确的是（
．
16．如图，在三棱锥 A ﹣ BCD 中， AB ⊥底面 BCD ，BC ⊥ CD ，AB=BC=CD=2 ．该三棱锥外
接球的表面积等于
．
三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17．已知 O（ 0，0）， A （ 2，﹣ 1）， B（ 1， 2）． （1）求△ OAB 的面积； （2）若点 C 满足直线 BC⊥ AB ，且 AC ∥ OB ，求点 C 的坐标． 18．长方体截去一个三棱锥后的直观图和部分三视图如图所示． （1）画出这个几何体的俯视图，并求截面 AEF 的面积； （2）若 M 为 EF 的中点，求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值．
倍，纵坐标不变，
7．已知直线 l ⊥平面 α，直线 m? 平面 β，下列命题中正确的是（
）
A ． α∥β? l∥ m B． α⊥ β? l∥ m C． l∥ m? α⊥ β D． l⊥ m? α⊥ β
【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】 直线 l ⊥平面 α，直线 m? 平面 β，当 α∥ β有 l⊥ m，当 α⊥ β有 l ∥ m 或 l 与 m 异
【分析】 设 B（ m，n），（ m，n＞ 0），由 OA ⊥ OB，且 | OA | =| OB | ，运用两直线垂直的条件： 斜率之积为﹣ 1，及两点的距离公式计算即可得到所求．
【解答】 解：设 B（ m， n），（m ，n＞ 0），
由 OA ⊥ OB，且 | OA | =| OB | ，
可得﹣ ? =﹣ 1，
等于 3 的圆．
∴两圆的圆心距 d=
=，
∵3﹣ 1＜ ＜ 3+1，故两个圆相交．
故选： C．
4．函数 y=tan（ ﹣ ）在一个周期内的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】 正切函数的图象． 【分析】 根据函数 y=tan（ ﹣ ）在包含原点的一个周期内是增函数，故排除
C、 D；令
﹣ ＜ ﹣ ＜ ，求得 x 的范围，从而得出结论．
面或相交，当 l ∥ m 有 α⊥ β，当 l⊥ m 有 α∥β或 α∩β，得到结论
【解答】 解：直线 l⊥平面 α，直线 m? 平面 β，
当 α∥ β有 l⊥ β，进而可得 l ⊥m ，故 A 不正确
当 α⊥ β有 l∥ m 或 l 与 m 异面或相交，故 B 不正确
当 l ∥m 有直线 m⊥平面 α，因为直线 m? 平面 β， α⊥ β，故 C 正确，
的中点，则异面直线 EF 与 CD ′所成的角是（
）
A ． 30° B． 45° C． 60° D． 90°
10．直线 l： 3x+4y +4=0 与圆 C：（ x ﹣ 2）2+y2=9 交于 A ，B 两点，则 cos∠ACB= （
）
A ．﹣ B．
C．﹣ D．
11．如图，等腰直角三角形 ABC 中，∠ BAC=90 °， D 为 BC 的中点， BE 平分∠ ABC ，AD
11．如图，等腰直角三角形 ABC 中，∠ BAC=90 °， D 为 BC 的中点， BE 平分∠ ABC ，AD
与 BE 交于点 P，若 =λ +μ ，则 λ等于（
）
A．
B． ﹣ 1 C．
D．
【考点】 平面向量的基本定理及其意义．
【分析】 可以 BC ，DA 所在直线为 x，y 轴，建立平面直角坐标系，并设
【考点】 圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】 求出圆心、半径，圆心到直线的距离，利用三角函数进行求解． 【解答】 解：圆 C：（ x ﹣ 2） 2+y2=9 的圆心坐标为（ 2， 0），半径为 3，
圆心到直线的距离为
=2 ，
∴cos ∠ ACB= ， ∴cos∠ ACB=2cos 2 ∠ ACB ﹣1= ﹣ 1=﹣ ， 故选： A ．
）ห้องสมุดไป่ตู้
A ． α∥β? l∥ m B． α⊥ β? l∥ m C． l∥ m? α⊥ β D． l⊥ m? α⊥ β
8．在△ ABC 中， | | =1， | | =3，∠ BAC=60 °，则 | | =（ ）
A．1 B．
C． 3 D．
9．如图，长方体 ABCD ﹣ A ′B′C′D′中， AA ′=3，AB=4 ，AD=5 ，E、 F 分别是线段 AA ′和 AC
AD=2 ， M 、N 分别为棱 PA、BC 的中点． （1）求证： MN ∥平面 PCD；
（2）若二面角 P﹣CD﹣ B 等于 30°，求四棱锥 P﹣ ABCD 的体积．
21．如图，已知函数 f （x） =msin （ x+ ）（ m＞ 0）的图象在 y 轴右侧的最高点从左到
右依次为 B 1、 B2、 B 3、…，与 x 轴正半轴的交点从左到右依次为 C1、C2、 C3、 …．
19．已知函数 f （ x） =Asinx +cosx， A ＞ 0．
（1）若 A=1 ，求 f （x）的单调递增区间；
（2）函数 f（x ）在 x=x 0 处取得最大值
，求 cosx0 的值．
20．在四棱锥 P﹣ ABCD 中，PA⊥平面 ABCD ，底面 ABCD 为平行四边形， AB=1 ，AC= ，
（1）若 m=1，求 ?
；
（2）在△ OB 1C1，△ OB2C3，△ OB 3C5，…，△ OBiC2i ﹣1，（ i=1 ，2，3，…）中，有且只有三 个锐角三角形，求实数 m 的取值范围．
22．已知动点 M 与两点 P1（ ， 0）， P2（ 2r， 0）的距离之比为 ， r＞ 0．
（1）求动点 M 的轨迹 Γ的方程； （2）已知菱形 ABCD 的一个内角为 60°，顶点 A ， B 在直线 l：y=2x +3 上，顶点 C，D 在 Γ 上，当直线 l 与 Γ无公共点时，求菱形 ABCD 的面积 S 的取值范围．
据条件求出 A ，B ， C 三点的坐标，并可求出
，可写出直线
，从而可根 BE 的方程，
从而求出点 P 的坐标， 进而得出向量
的坐标， 带入
即可建立
关于 λ， μ的方程，解出 λ即可． 【解答】 解：以 BC ，DA 所在直线为 x，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设 则：
D．
+2
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13．已知 sinθ+cosθ= ，则 sin2θ的值为
．
14．已知斜率为 2 的直线 l 过点 P（ 1， 3），将直线 l 沿 x 轴向右平移 m 个单位得到直线 l ′，