第八章-函数-练习-参考答案

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离散数学-第八章函数

例8.5 对于以下各题给定的A,B和f，判断是否构成函数f：A→B。如果是，说明 f：A→B是否为单射，满射，双射的，并根据要求进行计算。 (1) A={1,2,3,4,5}, B={6,7,8,9,10}, f={<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>} 能构成函数f：A→B，但f：A→B既不是单射也不是满射的。 (2) A,B同（1），f={<1,7>,<2,6>,<4,5>,<1,9>,<5,10>}
令f：A→B，使得f()=f0，f({1})=f1，f({2})=f2，f({3})=f3， f({1,2})=f4，f({1,3})=f5，f({2,3})=f6，f({1,2,3})=f7
(2) A=[0,1]，B=[1/4,1/2]
令f：[0,1]→[1/4,1/2]，f(x)=(x+1)/4. (3) A=Z，B=N 将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应：
例8.1 设 F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>} F2={<x1,y1>,<x1,y2>} 判断它们是否为函数。解：F1是函数，F2不是函数。
因为对应于x1存在y1和y2满足x1F2y1和x1F2y2，与函数定义矛盾。
F 是函数（映射）对于x1，x2∈A，如果x1=x2 ，一定有f(x1)＝f(x2)。即，如果对于x1，x2∈A有f(x1) ≠f(x2)，则一定有x1≠x2
函数是集合，可以用集合相等来定义函数的相等
定义8.2 设F，G为函数，则 F=G F G∧G F 由以上定义可知，如果两个函数F和G相等，一定满足下面两个条件： 1．domF=domG 2． x∈domF=domG都有F(x)=G(x)

高数第八章测试题及答案

高数第八章测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)答案：C2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是？A. 2x + 3B. 2x^2 + 3C. 2x + 6D. x^2 + 3x答案：A3. 曲线y = x^3 - 6x + 8在点(2, -2)处的切线斜率是？A. 0B. 2C. -2D. 4答案：D4. 以下哪个选项是函数y = e^x的原函数？A. x * e^xB. e^xC. ln(x)D. x^2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 5，求f(2)的值。

答案：12. 求不定积分∫(3x^2 - 2x + 1)dx。

答案：x^3 - x^2 + x + C3. 计算定积分∫[0, 2] (2x - 1)dx。

答案：34. 求极限lim (x→0) [sin(x)/x]。

答案：1三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x) = ln(x)的导数。

答案：f'(x) = 1/x2. 求曲线y = x^2 - 4x + 5与直线y = 2x - 3的交点坐标。

答案：(1, -2) 和 (5, 7)3. 计算定积分∫[1, 4] (x^2 - 3x + 2)dx。

答案：(4/3)x^3 - (3/2)x^2 + 2x | [1, 4] = 40/3 - 9/2 + 8 = 25/64. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点。

答案：极值点为x = 1和x = 5。

5. 求函数f(x) = e^x - x^2的原函数。

答案：F(x) = e^x - (1/3)x^3 + C6. 证明函数f(x) = x^3 + 2x + 1在(-∞, +∞)上是增函数。

《函数》练习题参考答案

《函数》练习题参考答案3.1.1映射 3.1.2一一对应1.唯一,从A 到B,f ∶A →B2.集合A.B 以及对应法则f,3.①②③④⑤4.A5.A6.B7.C8.A9.（1）是（2）是映射,是一一对应.（3）是 10.D3.1.3对等集合与可数集合3.1.4函数1.1︒正确,2︒正确,3︒正确,4︒正确.2.函数的定义域.对应法则和值域.3.解析法.图象法.列举法4.f (2)=22+3×2+1=115.解：不是同一函数,定义域.值域都不同6.解：f (1)=3×12-2=1 , f (-2)=-1 , f (0)=∏7.⑴ 解：要使函数有意义,必须： ⑵ 解：要使函数有意义,必须： 02≠-x 3x +2≥0 即 x ≠ 2 即 x ≥32- ∴函数21)(-=x x f 的定义域是： ∴函数23)(+=x x f 的定义域是 {}2|≠x x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥32|x x8.⑴解：不是同一函数,定义域不同⑵解：不是同一函数,定义域不同9.⑴解：要使函数有意义,必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x∴函数23)(+=x x f 的定义域是： {}21|≠-≥x x x 且 ⑵解：要使函数有意义,必须：142≥-x 即： 33≤≤-x⑶解：要使函数有意义,必须： 011110110≠++≠+≠xx x ⇒ 2110-≠-≠≠x x x∴函数的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧--≠∈21,1,0|x R x x 且3.2四种具有特殊性质的函数1.⑴f (x +T )=f (x )⑵存在常数k 〉0,使得对任意x ∈A,都有︱f (x )︱≤k. 2.{a ︱a<0} 3.⑴⑵（奇函数） ⑶⑷（偶函数） ⑸（即奇且偶函数）⑹（非奇非偶函数）4.y=f(x)在上[-5,-2],[1,3]是减函数,在（-2,1）,（3,5）上是增函数5.证明：设x1,x2是R 上的任意两个实数,且x1<x2则 f(x1)-f(x2)=3(x1+2)-3(x2+2)=3(x1-x2) 由 x1<x2, 得 x1-x2<0 于是 f(x1)-f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2)所以f(x)=3x+2在R 上是增函数6.解：定义域：⎩⎨⎧⎩⎨⎧≤≤--≤≥⇒≥-≥-1111010122x x x x x 或 ∴定义域为 x =±1 )(11)(22x f x x x f =--=- 且 f (±1) = 0 ∴此函数为即奇且偶函数7.解：定义域 {x |-1≤x ≤1} 在[-1,1]上任取x 1,x 2且x 1<x 2则2111)(x x f -= 2221)(x x f -= 则)(1x f -2221211)(x x x f ---==2221222111)1()1(xx x x -+----=222112122221212211))((11xx x x x x xx x x -+--+=-+--∵21x x < ∴012>-x x 另外,恒有0112221>+++x x ∴若-1≤x 1<x 2≤0 则 x 1+x 2<0 则)(1x f -0)(2<x f )(1x f <)(2x f 若 x 1<x 2≤1 则 x 1+x 2>0 则)(1x f -0)(2>x f )(1x f >)(2x f ∴ 在[-1,0]上f (x )为增函数,在[0,1]上为减函数.3.3.3反函数1. B2. C3. D4. A5. 16. {a|a 21-≤} 7. ⑴y=)4,(432≠∈--x R x x x ⑵ )3(1>--=x x y3.4 幂函数1. C2. C3. -0.14. >5. 96. π-67. ⑴< ⑵∵指数02<- 底数14.3>π ∴2-π<214.3- ⑶<8. ⑴x ≠3 ⑵{x ︳-4≦x,x≠-3} ⑶(0, ∞)9. -8ab 2/33.5 指数函数1. ⑴2. D3. D4. A5. ⑴× ⑵× ⑶√ 6⑴> ⑵> ⑶< 7. 由43-->a a ∵43->- ∴x a y =为增函数 ∴1>a 8. ⑴解:要使函数有意义,必须 01≥-x a , 1≤x a 当1>a 时, 0≤x 当10<<a 时, 0≥x . ⑵x ∈R3.6.1对数及其性质1. A2. B3. ⑴2 ⑵2 ⑶21⑷2- 4. 5-15. 设 x=81log 43 则81)3(4=x , 4433=x, ∴16=x6. =227. 证明: b m na mb n ab b a mn na m log lg lg lg lg log ===8. 解:由题意:218lg lg 4lg 8lg 3lg 4lg =⋅⋅m ∴3lg 21lg =m ∴3=m9. 解:∵ a 3 =2 ∴ a = log 23 ∴ log 6log 433-= 112log 32log 33-=-=a 3.6.3 对数函数及其图像和性质1. A2. ｛x|-1/2≤x ｝3. ⑴> ⑵< ⑶13.0log 7.0log 3.03.0=< ⑷>4. 解:∵522++x x 对一切实数都恒有4522≥++x x ∴函数定义域为R.5. ⑴当0<a<1时,函数y=log a x 在（0,+∞）上是减函数, ∵5.1<5.9 ∴log a 5.1>log a 5.9⑵当a>1时,函数y=log a x 在（0,+∞）上是增函数, ∵5.1<5.9 ∴log a 5.1<log a 5.96. ⑴{x ︳x≦1/3} ⑵{x ︳x>0,x≠1}7. 解: ⎪⎩⎪⎨⎧+<-+>+>+)33(32x 03)(3x 03-2x x 22x x 即:⎪⎩⎪⎨⎧<<-->><3211x -3x x x 或不等式的解为:1<x<33.6.4 简单的指数方程和对数方程1. A2. A3. D4. log 235. 1/26. 3007. 解:x 的取值范围：2x+7>0,x>-7/2,2x+7=100,x=93/2,经检验：x=93/2是原方程的根.8. 解:x=79. 解:x 的取值范围：X>0 设Lgx=y,得：y=1;y=3. 所以x=10,x=1000经检验,x=10,x=1000是原方程的解.10. 证明:提示: ax=ln ax e ,再利用对数的性质,变形.。

大学高数第八章多元函数微分学习题解课后参考答案及知识总结

第8章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念内容概要课后习题全解习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。

解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。

解： 2(,,)()()xyxf x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()z x y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。

解：将0y =代入原式得： 20(0)x x f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210y x -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）z=解：要使表达式有意义，必须0x ≥， ∴{(,)|D x y x =≥★★（3）u=解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤≤★★★（4）z = 解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）ln()z y x =-+解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）10y x y →→知识点：二重极限。

思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。

解：1ln 2ln 21y x y →→== ★★（2）00x y →→知识点：二重极限。

思路：应用有理化方法去根号。

高等数学下册第八章习题答案详解

高等数学下册第八章习题答案详解1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界： (1) {(,)|0}x y x ≠； (2)22{(,)| 14}x y xy ≤<+；(3)2{(,)|}x y y x <；(4)2222{(,)|(1)1}{(,)|(1)1}x y x y x y x y ≤≤-+++.解：(1)开集、无界集，聚点集：R 2，边界：{(x ,y )|x =0}. (2)既非开集又非闭集，有界集, 聚点集：{(x ,y )|1≤x 2+y 2≤4}，边界：{(x ,y )|x 2+y 2=1}∪{(x ,y )| x 2+y 2=4}. (3)开集、区域、无界集，聚点集：{(x ,y )|y ≤x 2}，边界：{(x ,y )| y =x 2}.(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身，边界：{(x ,y )|(x -1)2+y 2=1}∪{(x ,y )|(x +1)2+y 2=1}. 2.已知22tan (,)f x y x y xy x y＝＋－，试求(,)f tx ty . 解：222(,)()()tan (,).tx f tx ty tx ty tx ty t f x y ty=+-⋅=3.已知(,,)wu vf u v w u w ＋＝＋，试求(,,)f x y x y xy +-.解：f (x +y , x -y , xy ) =(x +y )xy +(xy )x +y +x -y=(x +y )xy +(xy )2x.4.求下列各函数的定义域：(1)2ln(21)z y x ＝－＋；(2) z =；(3)z =；(4) u =；(5) z =；(6) ln()z y x =-；(7) u =.解：2(1){(,)|210}.D x y y x =-+>(2){(,)|0,0}.D x y x y x y =+>->22222(3){(,)|40,10,0}.D x y x y x y x y =-≥-->+≠(4){(,,)|0,0,0}.D x y z x y z =>>> 2(5){(,)|0,0,}.D x y x y x y =≥≥≥ 22(6){(,)|0,0,1}.D x y y x x x y =->≥+< 22222(7){(,,)|0,0}.D x y z x y x y z =+≠+-≥习题8-21.求下列各极限：(1)1y x y →→； (2)222()2211lim(1)x y x y xy +→∞→++；(3)00x y →→；(4)x y →→(5)00sin lim x y xy x →→； (6)22222201cos()lim()e xy x y x y x y +→→-++.解：(1)原式0ln 2.=(2)原式=+∞. (3)原式=001.4x y →→=- (4)原式=02.x y →→=(5)原式=0sin lim 100.x y xyy xy→→⋅=⨯= (6)原式=22222222222()00001()2lim lim 0.()e 2ex y x y x x y y x y x y x y ++→→→→++==+ 2.判断下列函数在原点(0,0)O 处是否连续：(1)33222222sin(),00,0x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩；(2)33333333sin(),00,0x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩；(3) 222222222,0()0,0x y x y z x y x y x y ⎧+≠⎪=+-⎨⎪+=⎩.解：(1)由于3333333322223333sin()sin()sin()0()x y x y x y x y y x x y x y x y x y++++≤=≤+⋅++++又00lim()0x y y x →→+=，且3333000sin()sin lim lim 1x u y x y ux y u →→→+==+, 故0lim 0(0,0)x y z z →→==. 故函数在O (0,0)处连续.(2)00sin lim lim 1(0,0)0x u y uz z u→→→==≠= 故O (0,0)是z 的间断点.(3)若P (x ,y ) 沿直线y =x 趋于(0，0)点，则2222000lim lim 10x x y x x x z x x →→=→⋅==⋅+, 若点P (x ,y ) 沿直线y =-x 趋于(0，0)点，则22222220000()lim lim lim 0()44x x x y x x x x z x x x x →→→=-→-===⋅-++ 故0lim x y z →→不存在.故函数z 在O (0，0)处不连续. 3.指出下列函数在何处间断:(1)233(,)x y x f y y x -=+； (2)222,2()y f xy xy x +-=；(3)22 (,)ln(1)f x y xy =--.解：(1)因为当y =-x 时，函数无定义，所以函数在直线y =-x 上的所有点处间断，而在其余点处均连续.(2)因为当y 2=2x 时，函数无定义，所以函数在抛物线y 2=2x 上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.(3)因为当x 2+y 2=1时，函数无定义，所以函数在圆周x 2+y 2=1上所有点处间断.而在其余各点处均连续.习题8-31.求下列函数的偏导数: (1)22x z x y y =+；(2)22u v s uv+=；(3)z x = (4)ln tan x z y=； (5)(1)yz xy =+； (6)xyu z =； (7)arctan()zu x y =- (8)yz xu xy z =++.解：(1)223122,.z z x xy x x y y y∂∂=+=-∂∂ (2)u v s vu=+ 2211,.s v s u uv u v v u∂∂=-=-+∂∂(3)2222212ln(),2z x x x x y x x y ∂==++∂+222.z xy x y y x y ∂==∂+ (4)21122sec csc ,tanz x x xxy y y yy∂=⋅⋅=∂ 222122sec ()csc .tanz x x x x xyy y y yy∂=⋅⋅-=-∂ (5)两边取对数得ln ln(1)z y xy =+ 故[]221(1)(1)(1).ln(1)1y y y x z y xy xy y xy y xy x xy-∂'=+⋅=+⋅=++∂+ []ln(1)(1)(1)ln(1)1ln(1)(1).1y y y y x z xy yxy xy y xy xy y xy xy xy xy ∂⎡⎤'++=+⋅=++⎢⎥+∂⎣⎦⎡⎤++=+⎢⎥+⎣⎦(6)1ln ln xy xy xy u u u z z y z z x xy z xyz-∂∂∂=⋅⋅=⋅⋅=⋅∂∂∂(7)11221()().1[()]1()z z z zu z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+-112222()(1)().1[()]1()()ln()()ln().1[()]1()z z z z zzz z u z x y z x y y x y x y u x y x y x y x y z x y x y --∂-⋅--==-∂+-+-∂----==∂+-+-1118ln ln ln y x y z z x uyx z zx u x x zy y u y y xz z---∂=+∂∂=+∂∂=+∂（） 2.已知22x y u x y=+，求证:3u ux y u x y∂∂+=∂∂. 证明： 222223222()2()()u xy x y x y x y xy x x y x y ∂+-+==∂++.由对称性知 22322()u x y yx y x y ∂+=∂+.于是 2223()3()u u x y x y x y u x y x y ∂∂++==∂∂+. 3.设11ex y z ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，求证:222z z xy z x y∂∂+=∂∂. 证明： 11112211e e x y x y z x xx ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦, 由z 关于x ,y 的对称性得1121ex y z y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∂=∂ 故 11111122222211e e 2e 2.x y x y x y z z x y x y z x y x y⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂+⋅=⋅+⋅==∂∂4.设(,)(1)f y y x x -+＝(,1)xf x .解：1(,)1(x f x y y y =+-则(,1)101x f x =+=.5.求曲线224x y z x y y ⎧+=⎪+⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线与正向x 轴所成的倾角.解：(2,4,5)1,1,2z zx xx ∂∂==∂∂设切线与正向x 轴的倾角为α, 则tan α=1. 故α=π4.6.求下列函数的二阶偏导数: (1)4422-4z xy x y =+； (2)arc tan y z x=；(3)xz y =； (4)2e x yz +=.解：(1)2322224812816z z z x xy x y xy x x x y∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂ ，，由x ,y 的对称性知22222128.16.z z y x xy y y x∂∂=-=-∂∂∂ (2)222211z y y xx y x y x ∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2222222222222222222222222222222222222222()022,()()11,12,()()2,()()2.()()z x y y x xyx x y x y z x y x x yy x z xyy x y z x y y y y x x y x y x y z x y x x y x y x x y x y ∂+⋅-⋅=-=∂++∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∂=-∂+∂+-⋅-=-=∂∂++∂+-⋅-=-=∂∂++(3)222ln ,ln ,xx z z y y y y x x∂∂==∂∂21222112111,(1),1ln (1ln ),ln (1ln ).x x x x x x x x z z xy x x y y y z y xy y y x y x y y zy x y y y x y y x-------∂∂==-∂∂∂=⋅+=+∂∂∂=+⋅⋅=+∂∂(4)22e 2,e ,x y x y z z x x y++∂∂=⋅=∂∂222222222e 22e 22e (21),e ,2e ,2e .x y x y x yx y x y x yz x x x xz z z x x y x y y x++++++∂=⋅⋅+⋅=+∂∂∂∂===∂∂∂∂∂ 习题8-41.求下列函数的全微分: (1)22ex y z +=；(2)z =；(3)yzx u =； (4)yzu x =.解：(1)∵2222e 2,e 2x y x y z z x y x y++∂∂=⋅=⋅∂∂∴222222d 2e d 2e d 2e (d d )x y x y x y z x x y y x x y y +++=+=+(2)∵22223/21()z xy y x y x x y ∂⎛⎫-=⋅=- ⎪+∂+⎝⎭2223/2()z x yx y ∂==∂+∴ 223/2d (d d ).()xz y x x y x y =--+(3)xdzyx xdy zx dx yzx dz xyx zux zx y u yzx x u yz yz yz yz yz yz ln ln ln ln ,11++=∴=∂∂=∂∂=∂∂--(4)∵1y zu y x x z-∂=∂1ln yz u x x y z∂=⋅⋅∂ ln y z u y x x z z 2∂⎛⎫=⋅⋅- ⎪∂⎝⎭∴121d d ln d ln d .y y yz z z y y u x x x x y x x z z z z -⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅- ⎪⎝⎭2.求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分： (1)222,2,1,Δ0.2,Δ0.1z x xy y x y x y =-+==-==-；(2)11Δ0.15Δ0.e1,xyx y x y z =====，，，.解：(1)22()()()2()9.688 1.68z x x x x y y y y z ∆=+∆-+∆+∆++∆-=-=d (2)(4) 1.6z x y x x y y =-∆+-+∆=(2)()()0.265e e e(e 1)0.30e.x x y y xy z +∆+∆∆=-=-=d e e e ()0.25e xy xy xy z y x x y y x x y =∆+∆=∆+∆=3.利用全微分代替全增量，近似计算： (1)32(1.02)(0.97)⋅；；(3) 1.05(1.97).解：(1)设f (x ,y )=x 3·y 2，则223(,)3,(,)2,x y f x y x y f x y x y ==故d f (x ,y )=3x 2y 2d x +2x 3y d y =xy (3xy d x +2x 2d y ) 取x =1,y =1,d x =0.02,d y =-0.03，则(1.02)3·(0.97)2=f (1.02,0.97)≈f (1,1)+d f (1,1)d 0.02d 0.03x y ==-=13×12+1×1[3×1×1×0.02+2×12×(-0.03)]=1. (2)设f (x ,y则(,)(,)x y f x y f x y ===故d (,)d d )f x y x x y y =+取4,3,d 0.05,d 0.07x y x y ====-,则d 0.05d 0.07(4.05,2.93)(4,3)d (4,3)0.053(0.07)]15(0.01)54.998x y f f f ==-=≈+=⨯+⨯-=+⨯-=(3)设f (x ,y )=x y ,则d f (x ,y )=yx y -1d x +x yln x d y ，取x =2,y =1,d x =-0.03,d y =0.05,则1.05d 0.03d 0.05(1.97)(1.97,1.05)(2,1)d (2,1)20.0393 2.0393.x y f f f =-==≈+=+=4.矩形一边长10a =cm ，另一边长24b =cm ，当a 边增加4mm ，而b 边缩小1mm 时，求对角线长的变化.解：设矩形对角线长为l，则d d).l l x x y y==+当x=10,y=24,d x=0.4,d y=-0.1时，d0.4240.1)0.062l=⨯-⨯=(cm)故矩形的对角线长约增加0.062cm.5. 当圆锥体形变时，它的底半径R由30cm增到30.1cm，高h 由60cm减到59.5cm，试求体积变化的近似值.()22231.30,60,0.1,0.5321332130600.1300.5333030cm.V R h R h R hV dV Rh R R hπππππππ===∆=∆=-∆≈=∆+∆=⨯⨯⨯+⨯⨯-=-解：所以，体积减小6. 用水泥做一个长方形无盖水池，其外形长5m，宽4m，深3m，侧面和底均厚20cm，求所需水泥的精确值和近似值.()()()()()()()543520.2420.230.2=13.632.,,,0.4,0.2.=430.4530.4540.214.8z f x y z xyz x y zV z dz yz x xz y xy z⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯-==∆=∆=-∆=-∆≈=∆+∆+∆=⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-=解：水池体积的精确值为水池的体积可看做函数当时的增量所以可用微分的增量计算，即习题8-51.求下列复合函数的偏导数或全导数:(1)22cos sinz x y xy x u v y u v=-==，，，求,z zu v∂∂∂∂；(2)arc ,,tan z x y x u v u v y==+=-，求,z zu v∂∂∂∂； (3)3ln(e e ),xy u y x +==，求d d u x；(4)222,e cos ,e sin ,e t t tu xy z x t y t z =++===，求d d u t.解：（1）222(2)cos (2)sin 3sin cos (cos sin )z z x z yxy y v x xy v u x u y u u v v v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-∂∂∂∂∂=- 223333(2)sin (2)cos 2sin cos (sin cos )(sin cos ).z z x z yxy y u v x xy u v v x v y v u v v v v u v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=--⋅+-⋅∂∂∂∂∂=-+++ (2)222222211111x z z x z y y x v y ux uy uyx yu v x x y y ∂∂∂∂∂--⎛⎫-=⋅+⋅=⋅+⋅== ⎪∂∂∂∂∂++⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222111(1)11.x z z x z y y v x v y vyx x y y y x ux y u v-∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++ (3)33222d d d 11e 3e e 3e e e 3.d d d e e e e e e e ex y x x x y x y x y x y x x u u x u y x x x x x x y x ∂∂++=⋅+⋅=⋅+⋅⋅==∂∂++++(4)d d d d d d d d u u x u y u z tx ty tz t∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂22(e cos e sin )2(e sin e cos )2e 4e t t t t t t x t t y t t z =-+++⋅=.2.设f 具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数: (1)()22e ,xy uf x y=－； (2),x y u f y z⎛⎫= ⎪⎝⎭； (3) (,,)z f x xy xyz =. 解：(1)12122e 2e .xy xy u f x f y xf y f x∂''''=⋅+⋅⋅=+∂1212(2)e 2e .xy xy uf y f x yf x f y∂''''=⋅-+⋅⋅=-+∂(2)1111u f f xy y∂''=⋅=∂ 121222222211..x u x f f f f y y z y z u y y f f z z z ∂⎛⎫''''-=⋅+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫''=⋅=-- ⎪∂⎝⎭(3)1231231,u f f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂12323330,.uf f x f xz xf xzf yuf xy xyf z∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂∂''=⋅=∂3.设(),z xy xF u y xu ==＋，()F u 为可导函数，证明:z z xy z xy x y∂∂+=+∂∂. 证明:2()()()()z y y y xF u F u F u y F u x x x ∂⎛⎫''=+⋅+=+--⎪∂⎝⎭1()().z x xF u x F u y x∂''=+⋅=+∂ 故[]()()()()()()().z z F u y xy x y x F u F u y x y x xF u xy yF u xy yF u xy xF u xy z xy '∂∂⎡⎤'+=+++-⎢⎥∂∂⎣⎦''=+-++=++=+4.设22()y z f x y =-，其中()f u 为可导函数，验证211z z zx x y y y ∂∂+=∂∂.证明：∵ 2222z yfx xyf x f f ''∂⋅=-=-∂, 222(2)2z f y f y f y f y f f ''∂-⋅⋅-+==∂, ∴22222112211z z yf f y f y zx x y y f yf yf f y y ''∂∂++=-+==⋅=∂∂⋅5.22()z f x y =＋，其中f 具有二阶导数，求22222,,z z zx y x y ∂∂∂∂∂∂∂.解：2,2,z z xf yf xy∂∂''==∂∂222222224,224,z f x xf f x f xzxf y xyf x y∂''''''=+⋅=+∂∂''''=⋅=∂∂由对称性知，22224.zf y f y∂'''=+∂6.设f 是具有连续二阶偏导函数，求下列函数的二阶偏导数：(1),y z f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭； (2)22(,)z f xy x y =；(3)(sin ,cos ,e )x yz f x y +=.解：(1)1212111,z f f f f xy y∂''''=⋅+⋅=+∂2212211121112222221222122222222222222222223211121,1111,,2z f f f f f f f y x y y y yx x z x f f f f f f y y y x y y y y yx z x f f y y y z x x f f y y y ∂⎛⎫''''''''''''''+⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''--+=⋅-+⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫''-==- ⎪∂⎝⎭∂''=-∂22222342.x x x f f y yy ⎛⎫''''-⋅=+ ⎪⎝⎭, (2)22121222,z f y f xy y f xyf x∂''''=⋅+⋅=+∂()()22222211122122432221112222222244,z y yf xy f y f xy f y f xy xyf y f xy f x y f ∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'''''''=+++()()()()222212111221223322121122122212122222121112212212222222225,22,22222zyf y xf xy f xy f x f xy f x x yyf xf xy f x yf x y f zf xy f x xyf x f yz xf xy x f xy f x f xy f x y xf ∂''''''''''=+++⋅+⋅⋅+⋅∂∂''''''''=++++∂''''=⋅+⋅=+∂∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'=223411122244.x y f x yf x f ''''''+++(3)1313cos e cos e ,x y x y z f x f xf f x++∂''''=⋅+⋅=+∂()()1321113313322()311113332312133233sin cos e e cos e cos e e sin cos 2e cos e ,cos e e (sin )e (sin )x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y z xf x f f x f f x f x f xf xf xf f z x f f y f f y f x y++++++++++∂''''''''''=-+++⋅+⋅+⋅∂''''''''=-+++∂'⎡⎤''''''=++⋅⋅-+⋅⋅-+⎣⎦∂∂2()3121332332323223222233233e e cos sin e cos e sin e ,(sin )e sin e ,cos sin e e (sin )e (sin )e x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y f x yf xf yf f zf y f yf f yz yf y f f y f f y f y+++++++++++⎡⎤''⋅⎣⎦'''''''''=-+-+∂''''=-+=-+∂∂''⎡⎤⎡''''''''=--++-+⋅-+⋅⎣⎦∂22()32222333e cos sin 2e sin e .x y x y x y f yf yf yf f +++⎤⎣⎦''''''''=-+-+习题8-61.求下列隐函数的导数或偏导数： (1)2sin 0exy xy -+=，求d d y x；(2)arct nl a yx ，求d d y x；(3)02x y z ++-=，求,z zx y ∂∂∂∂； (4)33-3z xyz a =，求22,z zx y∂∂∂∂解：(1)[解法1] 用隐函数求导公式，设F (x ,y )=sin y +e x -xy 2,则 2e ,cos 2,x x y F y F y xy =-=-故 22d e e d cos 2cos 2x xx y F y y y x F y xy y xy--=-=-=--. [解法2] 方程两边对x 求导，得()2cos e 02x y y y x yy '⋅+-='+⋅故 2e .cos 2xy y y xy-'=- (2)设()221(,)ln arctanln arctan ,2y y F x y x y x x==-+ ∵222222121,21x xx y y F x yx y x y x +⎛⎫=-⋅=- ⎪++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭222221211,21y yy x F x y x x y y x -=-⋅=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴d .d xyF y x yxF x y+=-=- (3)方程两边求全微分，得d 2d d 0,x y z ++-=,z x y =则d ,z x y =+故z z xy ∂∂==∂∂(4)设33(,,)3F x y z z xyz a =--,23,3,33,x y z F yz F xz F z xy =-=-=-则 223,33xzF z yz yzxF z xy z xy∂-=-=-=∂--223,33y z F z xz xz y F z xy z xy∂-=-=-=∂-- ()()()()22222222322232222()zzz x x xz z xy xz y z y z xy y y z xy xz xz z x x xz z xy z xy x yzz xy xy z z xy ∂∂⎛⎫--- ⎪∂∂∂∂⎛⎫⎝⎭== ⎪-∂∂⎝⎭-⎛⎫⋅--- ⎪--⎝⎭==--2.设(,,)0F x y z =可以确定函数(,),(,),(,)x x y z y x z z z x y ===，证明：1x y zy z x∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂. 证明：∵,,,y x z xy zF F F x y zyF z F x F ∂∂∂=-=-=-∂∂∂∴ 1.y z x y z x F F F x y z F F F y z x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫---⋅⋅=⋅⋅=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.设11,0F y z x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定了函数(,)z z x y =，其中F 可微，求,z zx y∂∂∂∂. 解：12122110x F F F F x x ⎛⎫'''=⋅+⋅=--⎪⎝⎭122122121222122221222011111z y x z y zF F F F F F F y F F F z x x F F x F F F F F y F z y y F F y F '''=⋅+⋅=⎛⎫''-=⋅+⋅ ⎪⎝⎭'-'∂=-=-=∂''''-''-∂=-=-=∂''4.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数： (1)22222,2320.z x y x y z ⎧=+⎨++=⎩求d d ,d d y z x x；(2)10xu yv yu xv +=⎧⎨-=⎩求,,,u v u vx x y y∂∂∂∂∂∂∂∂；(3)2(,),(,)u f ux v y v g u x v y =+⎧⎨=-⎩其中,f g 是连续偏导函数，求,u vx x∂∂∂∂； (4)e sin e cos u ux u v y u v⎧=+⎨=-⎩求,,,u v u v x x y y∂∂∂∂∂∂∂∂.解：(1)原方程组变为222222320y z xy z x⎧-=-⎪⎨+=-⎪⎩ 方程两边对x 求导，得d d 22d d d d 23d d y z y x x xy z y z x xx ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ 当 2162023y J yz y y z-==+≠21d 16(61),3d 622(31)22d 12.2d 6231x y xz x x z x z x J yz y y z y x z xy x y x x J yz y z ----+===--++-===-++(2)设(,,,)1,(,,,),F x y u v xu yv G x y u v yu xv =+-=-,,,,,,,,x y u v x y u v F u F v F x F y G v G u G y G x =====-===-22u v uvF F xyJ x y G G y x ===---故 22x v xvF F u yG G v x u ux yvx J J x y--∂-+=-=-=∂+222222,,.u xu x y v yvuy u y F F x uG G y v vvx uy x J J x y F F v yG G u x u vx uy yJ J x yF F x vG G y u v xu vy y J J x y-∂--=-=-=∂+-∂--=-=-=∂+∂-=-=-=∂+ (3)设(,,,)(,),F u v x y f ux v y u =+-2(,,,)(,),G u v x y g u x v y v =--则 121221121(1)(21),21uv uvFF xf f J xf yvg f gG G g vyg ''-''''===---''- 故 12121221122121(21),(1)(21)xv xvuf f F F G G g yvg uf yvg f g u xJ J xf yvg f g ''''''''-----∂=-=-=∂''''--- 111111112211(1).(1)(21)u x uxxf uf F F G G g g g xf uf v xJ Jxf yvg f g ''-'''''-+-∂=-=-=∂''''--- (4)(,),(,)u u x y v v x y ==是已知函数的反函数，方程组两边对x 求导，得1e sin cos ,0e cos (sin ),u u u u v v u v x x xu u v v u v x x x ∂∂∂⎧=++⎪⎪∂∂∂⎨∂∂∂⎪=---⎪∂∂∂⎩整理得 (e sin )cos 1,(e cos )sin 0,uu u v v u v x xu v v u v x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪-+=⎪∂∂⎩解得 sin e (sin cos )1u u vx v v ∂=∂-+cos e [e (sin cos )1]uu v v x u v v ∂-=∂-+ 方程组两边对y 求导得0e sin cos 1e cos sin u u u u v v u v y y y u u v v u v y y y ∂∂∂⎧=++⎪∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪=-+⎪∂∂∂⎩整理得 (e sin )cos 0(e cos )sin 1uu u v v u v y yu v v u v y y ∂∂⎧++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪-+=⎪∂∂⎩ 解得 cos sin ,.e (sin cos )[e (sin cos )1]uuuu v v v e y v v y u v v ∂-∂+==∂-∂-+ 5.设ecos ,e sin ,uu x v y v z uv ===，试求.,z zx y∂∂∂∂解：由方程组e cos e sin uux vy v⎧=⎪⎨=⎪⎩ 可确定反函数(,),(,)u u x y v v x y ==，方程组两边对x 求导，得1e cos e sin 0e sin e cos uu u u u v v v x xu v v vx x ∂∂⎧=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩解得 cos sin ,e eu uu v v vx x ∂∂==-∂∂ 所以 cos sin e uz u v v v u vv u x x x ∂∂∂-=+=∂∂∂方程组两边对y 求导，得0e cos e sin 1e sin e cos uu u u u v v v y y u v v vy y ∂∂⎧=-⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩解得 sin cos ,eeu uu v v vxy∂∂==∂∂所以 sin cos eu z u v v v u v v u yyy∂∂∂+=+=∂∂∂.习题8-71.求函数322(,)51054f x y xx xy y x y =--+++-在点()2,1-处的泰勒公式.解：(2,1)2f -=231010,(2,1)325,(2,1)1610,(2,1)21,6,2,x x y y xx xx xy xxx yy f x x y f f x y f f x f f f f =--+-==-++-==--==-==故223223(,)(2,1)(2)(2,1)(1)(2,1)1(2)(2,1)2(2)(1)(2,1)(1)(2,1)2!1(2)(2,1)3!23(2)(1)(2)(2)(1)(1)(2)x y xx xy yy xxx f x y f x f y f x f x y f y f x f x y x x y y x =-+--++-⎡⎤+--+-+-++-⎣⎦+⎡⎤--⎣⎦=+-+++---++++-2.将函数(,)xf x y y =在点()1,1处展到泰勒公式的二次项.解：(1,1)1,f =(1,1)(1,1)1(1,1)(1,1)ln 0,1,x x x yf y y f xy -====2(1,1)(1,1)1(1,1)(1,1)2(1,1)(1,1)2(ln )0,1ln 1,(1)0,(,)1(1)(1)(1)0().xxx x x xy x yyx f y y xy y y f y f xy x f x y y y x y ρ--==⎛⎫+⋅== ⎪⎝⎭=-===+-+--+3. 求函数x yz e +=在点()1,1-处展到泰勒公式。

高等数学第八章教材答案

高等数学第八章教材答案[注意：本文适用于自主学习及交流，而非代表课堂考试答案。

在学习过程中，应先自行尝试解答问题，再对比与本文答案的异同，以强化掌握知识的能力。

]第一节：导数与微分1. (1)导数定义为函数在某一点的瞬时变化率，可用以下公式计算:f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h(2)若函数f(x)在区间[a,b]上连续且在(a,b)内可导，则在(a,b)内，存在一点c使得f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)2. 利用导数的四则运算法则、链式法则等，可以求解各种类型的题目，如函数的导数、隐函数求导、参数方程求导等。

3. 微分是导数的几何解释，微分形式为df = f'(x)dx。

微分可用于近似计算函数值的变化，例如：f(x+Δx) ≈ f(x) + f'(x)Δx第二节：不定积分与定积分1. 不定积分用符号∫表示，表示求一个函数的原函数。

常用的不定积分公式有：① ∫1/x dx = ln|x| + C② ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (n≠-1)2. 定积分表示曲线与x轴之间的面积，用符号∫[a,b]表示。

计算定积分可采用以下方法：①几何法：根据几何图形的面积计算原则，求出曲线与x轴之间的面积。

②换元法：根据换元积分法则，将被积函数的自变量进行适当的变量代换。

③分部积分法：根据积分的乘积法则，将被积函数进行适当的乘法分解。

3. 牛顿-莱布尼茨公式是计算定积分的重要工具，公式表达为：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)其中，F(x)为f(x)的一个原函数。

第三节：定积分的应用1. 定积分可用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线的弧长、旋转体的体积、质量等物理量。

2. 面积计算：利用定积分求得曲线与x轴之间的面积，可以通过以下公式求解：S = ∫[a,b] |f(x)| dx3. 弧长计算：弧长公式为：L = ∫[a,b] √[1 + (dy/dx)^2] dx4. 旋转体体积计算：将曲线绕x轴或y轴旋转一周形成的空间曲面，其体积可通过以下公式求解：V = ∫[a,b] πy^2 dx 或V = ∫[a,b] πx^2 dy第四节：多元函数微积分基础1. 多元函数的偏导数可以理解为函数关于某个自变量的导数。

高等数学练习册第八章习题参考答案(1)

解令x a cos t, y a sin t,
I
2 0
1 a2
[a 2
(cos
t
sin
t
)(
sin
t
)
(cos
t
sin
t
)
cos
t
]dt
2
0 dt 2 .
p55. 2.计算 ( x2 2xy)dx ( y2 2xy)dy,其中 L
L为抛物线y x2上从点(1,1)到点(1,1)的一段弧.
C
(2)曲线弧C的重心坐标为
xG
1 x( x, y)ds
MC
,yG
1 y( x, y)ds .
MC
p51.2.设光滑曲线L关于x轴对称, L1是L在x轴上方的部分, (1)若f ( x, y)在L上连续,且关于y为奇函数,则Biblioteka f ( x, y)ds 0 ; L
(2)若f ( x, y)在L上连续,且关于y为偶函数,
(1)当p点从点A(a , 0)经位于第一象限的弧段到 B(0,b)时, F所作的功;
(2)当p点经过全椭圆时,F所作的功.
p56. 解 F | F | F 0 x2 y2 ( x , y ) x2 y2 x2 y2
( x, y),
(1) W F d s ( x)dx ( y)dy
0
22
a2
2
| cos
t
| dt
2a 2
2 cos udu 2a2 .
20
2
0
p52. 3.计算 | xy | ds,其中L :圆周x2 y2 a2. L
解法1
I 4
2
a3
sin t

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第八章

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第八章第八章不定积分一. 填空题1．若x e f x+='1)(，则=)(x f ___________2．设)(x f 的一个原函数为xxe ，则='⎰dx x f x )(-_____________3．若xe -是)(xf 的一个原函数，则⎰=dx x xf )(________________4．若[]1)(3='x f ，则=)(x f ____________ 5．⎰=dx x x ),max(2___________________6．若)(x f 有原函数xx ln ，则⎰=''dx x f x )(_______________ 7．⎰=dx xx 2sin )ln(sin ________________8．若⎰⎰+++=+xdxB xx A x dx cos 21cos 21sin )cos 21(2，则=A __________，=B __________9．设C x dx x xf +=⎰arcsin )(，则⎰=)(x f dx_________10．⎰=-)4(x x dx_________________ 11．⎰=-dx xx 21ln _________________12．[]=-⎰dx xx x a n )cos(ln )sin(ln ________________13．[]⎰='+dx x f x x f )()(________________14．⎰=+xe dx1_____________15．⎰=+dx x xe x2)1(_____________________16．=++⎰dx xx xx cos 2sin cos 3sin 4______________17．已知xx x f 22tan sin )cos 2(+=+'，则=)(x f _______________18．[]⎰=+'dx x f x f 2)(1)(______________19. 若⎰+=C x F dx x f )()(,而),(x u ϕ=则⎰=du u f )(___________. 20设函数)(x f 的二阶导数)(x f ''连续,那么⎰=''__________)(dx x f x .21设)(x f 的原函数是xxsin ,则⎰='__________)(dx x f x . 22已知曲线)(x f y =上任一点的切线斜率为6332--x x,且1-=x 时,211=y 是极大值,则)(x f __________=;)(x f 的极小值是__________.23已知一个函数的导数为211)(xx f -=,并且当1=x 时,这个函数值等于π23,则这个函数为__________)(=x F . 24 设)1(cos )(sin22<='x x x f ,则)(x f __________=.25 若)(x f 为连续函数,且)()(x f x f =',则⎰=__________)(dx x f . 26 若⎰='x dx x f ln ))((,则)(x f __________=.27 已知2xe -是)(x f 的一个原函数,则⎰=__________sec )(tan 2xdx x f . 28 ⎰='__________)2(12dx xf x . 29 设C xx dx x f ++-=⎰11)(,则)(x f __________=. 30 在积分曲线族⎰dxxx 1中,过(1,1)点的积分曲线是__________=y .二、选择填空题 1．设dx e e I xx ⎰+-=11，则=I ( )A.Cex++)1ln( B.Cx ex+-+)1ln(2C.Ce x x++-)1ln(2 D.Cex+-)1ln(2．设)(x f 是连续的偶函数，则期原函数)(x F 一定是( )A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.有一个是奇函数 3．设⎰⎰+=++=)1(,)1(121u u duI dx xe x x I x ，则存在函数)(x u u =，使( ) A.xI I+=21B.xI I-=21C.12I I-=D.12I I =4．当1-≠n 时，⎰=xdx x n ln ( )A.C nx n x n +-)1(ln B.C n x n x n +----)11(ln 11C.C n x x n n ++-++)11(ln 111 D.C x n x n +++ln 117．⎰=+dx xx )2sin 2(cos ( ) A.C x x +-)2cos 2(sin 2 B.C x x +-)2sin 2(cos 2 C.C x x +-2cos 2sin D.C x x +-2sin 2cos 8．⎰=++dx xx x cos 1sin ( ) A.C x x +2cot B.C x x +2tan C.C x x +cot 2 D.C x x +2tan 2 9．若)(x f 的导函数是xe xcos +-，则)(x f 的一个原函数为( ) A.xexcos -- B.xexsin +-- C.xexcos --- D.xexsin +-10．若)(x f 是以l 为周期的连续函数，则其原函数( )。

新教材苏教版高中数学必修第一册第八章函数应用课时分层练习题精选最新配套习题,含解析

第八章函数应用1函数的零点 .................................................................................................................. - 1 - 2用二分法求方程的近似解......................................................................................... - 11 - 3几个函数模型的比较................................................................................................. - 16 - 4函数的实际应用......................................................................................................... - 21 -1函数的零点基础练习1.若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且f(0)>0,f(1)>0,f(2)<0,则y=f(x)有唯一零点需满足的条件是( )A.f(3)<0B.函数f(x)在定义域内是增函数C.f(3)>0D.函数f(x)在定义域内是减函数【解析】选D.因为f(1)>0,f(2)<0,所以函数f(x)在区间(1,2)上一定有零点.若要保证只有一个零点,则函数f(x)在定义域内必须是减函数.2.已知函数f(x)=mx+1的零点在区间(1,2)内,则m的取值范围是( )A. B.C. D.∪【解析】选B.根据题意,函数f(x)=mx+1,当m=0时,f(x)=1,没有零点,当m≠0时,f(x)为单调函数,若其在区间(1,2)内存在零点,必有f(1)f(2)<0,即(m+1)(2m+1)<0,解可得:-1<m<-,即m的取值范围为.3.(2020·张家界高一检测)函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(3,4)【解析】选B.因为f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>ln e-1=0,即f(1)·f(2)<0,所以函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在区间是(1,2).【补偿训练】方程ln x+x-4=0的实根所在的区间为( )A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【解析】选B.令f(x)=ln x+x-4,在定义域上连续且单调递增,f(3)=ln 3+3-4=ln 3-1>0,f(2)=ln 2+2-4=ln 2-2<0,故f(2)f(3)<0,故实根所在区间是(2,3).4.(2020·徐州高一检测)已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c【解析】选B.令f(x)=3x+x=0,则x=-3x,令g(x)=log3x+x=0,则x=-log3x,令h(x)=x3+x=0,则x=-x3,设函数f(x),g(x),h(x)的零点分别为a,b,c,作出函数y=-3x,y=-log3x,y=-x3,y=x的图象如图,由图可知:b>c>a.5.若函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是________.【解析】因为函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,所以即所以g(x)=6x2-5x-1,所以g(x)的零点为1和-.答案:1和-6.已知函数f(x)=(1)在如图所示的坐标系中,作出函数f(x)的图象并写出单调区间.(2)若f(a)=2,求实数a的值.(3)当m为何值时,f(x)+m=0有三个不同的零点.【解析】(1)函数图象如图,由图可知,函数的减区间为;增区间为,(1,+∞).(a-1)=2(a>1).解得a=-1或a=5.(2)由f(a)=2,得a2-a=2(a≤1)或log2(3)由图可知要使f(x)+m=0有三个不同的零点,则-<-m≤0,解得0≤m<.【补偿训练】(2020·普宁高一检测)已知a>0,函数f(x)=,(x∈R).(1)证明:f(x)是奇函数.(2)如果方程f(x)=1只有一个实数解,求a的值.【解析】(1)由函数f(x)=(x∈R),可得定义域为R,且f(-x)=-=-f(x), 所以f(x)为奇函数.(2)方程f(x)=1只有一个实数解,即为x2-ax+1=0,即Δ=a2-4=0,解得a=2(-2舍去),所以a的值为2.提升训练一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2020·十堰高一检测)若点(log147,log1456)在函数f(x)=kx+3的图象上,则f(x)的零点为( )A.1B.C.2D.【解析】选D.根据题意,点(log147,log1456)在函数f(x)=kx+3的图象上,则log1456=k×log147+3,解得k=-2,则f(x)=-2x+3,若f(x)=0,则x=,即f(x)的零点为.2.(2020·烟台高一检测)已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是( )A.a<α<b<βB.a<α<β<bC.α<a<b<βD.α<a<β<b【解析】选C.因为α,β是函数f(x)的两个零点,所以f(α)=f(β)=0.又f(a)=f(b)=-2<0,结合二次函数的图象(如图所示)可知a,b必在α,β之间.3.(2020·常州高一检测)已知函数f(x)=(a>0且a≠1),若函数图象上关于原点对称的点至少有3对,则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.(-x),【解析】选A.当x<0时,f(x)=-logax的图象与函数f(x)的图象关于原点对称;则x>0时,函数g(x)=loga又x≥0时,f(x)=cos-1,x的图象,画出函数f(x)=cos-1(x≥0)和函数g(x)=loga如图所示:要使f(x)=cos-1(x≥0)与g(x)=x(x>0)的图象至少有3个交点,loga需使0<a<1,且f(6)<g(6);即所以解得即0<a<,所以a的取值范围是.4.已知函数f(x)=则函数y=f(f(x))-1的零点个数为( )A.2B.3C.4D.5【解析】选B.由题意,令f(f(x))-1=0,得f(f(x))=1,令f(x)=t,由f(t)=1,得t=-1或t=,作出函数f(x)的图象,如图所示,结合函数f(x)的图象可知,f(x)=-1有1个解,f(x)=有2个解,故y=f(f(x))-1的零点个数为3.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.若函数f(x)=x+(a∈R)在区间(1,2)上有零点,则a的值可能是( )A.-2B.-1C.-4D.-3【解析】选AD.f(x)=x+(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的,则<0,解得-4<a<-1,所以a的值可能是-2,-3.6.函数f(x)=|x2-4x|-m恰好有两个不同零点,则m的值可以是( )A.m>4B.4C.0<m<4D.0【解析】选AD.由f(x)=0可得m=|x2-4x|,作出y=|x2-4x|的函数图象如图所示:因为f(x)恰好有两个不同的零点,所以直线y=m与y=|x2-4x|的图象有两个不同的交点,所以m=0或m>4.【光速解题】选取特殊值通过求零点判断.三、填空题(每小题5分,共10分)7.(2020·抚州高一检测)函数f(x)=(2x-3)·ln(x-2)的零点个数为________.【解析】函数的定义域为{x|x>2},令(2x-3)·ln(x-2)=0,因为2x-3>0,可得ln (x-2)=0,解得x=3.所以函数的零点只有1个.答案:1【误区警示】本题容易出现忽视定义域的错误,误认为零点个数为2.(x-1)(a>1).8.(2020·徐州高一检测)设函数f(x)=g(x)=loga(1)f(2 019)的值为______;(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)恰有3个零点,则实数a的取值范围是______.【解析】(1)f(2 019)=f(2 017)=…=f(-1)=-1=1;(2)当0<x≤2时,-2<x-2≤0,所以f(x)=f(x-2)=-1;当2<x≤4时,0<x-2≤2,所以f(x)=f(x-2)=-1;当4<x≤6时,2<x-2≤4,所以f(x)=f(x-2)=-1;当6<x≤8时,4<x≤6,所以f(x)=f(x-2)=-1;(4-1)=3,得a=,画出f(x)和g(x)两个函数的图象如图所示,由loga由log(6-1)=3,得a=,a由图可知,当两个函数的图象有3个交点时,即函数h(x)=f(x)-g(x)恰有3个零点时,实数a的取值范围是(,].答案:(1)1 (2)(,]四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·常州高一检测)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+6)=f(x),当x(x2-x+1).∈(0,3)时,f(x)=loga(1)当x∈(-3,0)时,求f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[-3,3]上的零点构成的集合.【解析】(1)当x∈(-3,0)时,-x∈(0,3),[(-x)2-(-x)+1]所以f(-x)=loga(x2+x+1).=loga因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-log(x2+x+1),a(x2+x+1).即当x∈(-3,0)时,f(x)=-loga(2)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,且f(-3)=-f(3),因为f(x+6)=f(x),所以f(-3)=f(3),所以f(-3)=f(3)=0,当x∈(0,3)时,令f(x)=log(x2-x+1)=0,a得x2-x+1=1,解得x=0(舍去),或x=1,即f(1)=0,又因为f(x)是奇函数,所以f(-1)=-f(1)=0,所以函数f(x)在[-3,3]上的零点构成的集合为{-3,-1,0,1,3}.10.已知函数f(x)=(c为常数),若1为函数f(x)的零点.(1)求c的值.(2)证明函数f(x)在[0,2]上是单调增函数.(3)已知函数g(x)=f(e x)-,求函数g(x)的零点.【解析】(1)因为1为函数f(x)的零点,所以f(1)=0,即c=1.(2)设0≤x1<x2≤2,则f(x2)-f(x1)=-=,因为0≤x1<x2≤2,所以x2-x1>0,x2+1>0,x1+1>0,所以f(x2)>f(x1),即函数f(x)在[0,2]上是单调增函数.(3)令g(x)=f(e x)-=-=0,所以e x=2,即x=ln 2,所以函数g(x)的零点是ln 2.创新练习1.(2020·南通高一检测)已知函数f(x)=函数g(x)=f(1-x)-m,则当<m<1时,函数y=f(x)+g(x)的零点个数为________.【解析】因为f(x)=所以f(1-x)=令y=f(x)+f(1-x)-m=0得m=f(x)+f(1-x),令h(x)=f(x)+f(1-x)=作出h(x)的函数图象如图所示:所以当<m<1时,y=f(x)+f(1-x)-m恰有4个零点,即函数y=f(x)+g(x)的零点个数为4.答案:42.(2019·泰州高一检测)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且x>0时,f(x)=x2-2x+2.若对任意x1∈[-1,0),都存在唯一的x2∈[0,+∞),使得f(x1)+f(x2)=a成立,则实数a的取值范围是 ( )A.(-2,-1]∪[0,+∞)B.(-2,-1)∪[0,+∞)C.(-2,-1]D.[1,+∞)【解析】选A.由函数为定义在R上的奇函数及x>0时,f(x)=x2-2x+2,得x<0时, f(x)=-x2-2x-2,作出f(0)=0,f(x)的图象如图所示.若对任意x1∈[-1,0),即f(x1)∈(-2,-1],都存在唯一的x2∈[0,+∞),使得f(x1)+f(x2)=a成立,①当x2=0时,f(0)=0,这时f(x1)+f(x2)=f(x1)∈(-2,-1],所以a∈(-2,-1];②当x2>0时,由f(x1)+f(x2)=a,可得a-f(x2)=f(x1)∈(-2,-1],即f(x2)∈[a+1,a+2),由题意可得a+1≥1,即有a≥0,综上可得,a的取值范围是(-2,-1]∪[0,+∞).2用二分法求方程的近似解基础练习1.在用二分法求方程3x+3x-8=0在(1,2)内近似根的过程中,已经得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( )A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定【解析】选B.因为f(1)<0,f(1.5)>0,所以在区间(1,1.5)内函数f(x)=3x+3x-8存在一个零点,又因为f(1.5)>0,f(1.25)<0,所以在区间(1.25,1.5)内函数f(x)=3x+3x-8存在一个零点,由此可得方程3x+3x-8=0的根落在区间(1.25,1.5)内.2.(2020·盐城高一检测)下列函数中,不能用二分法求函数零点的是( )A.f(x)=2x-1B.f(x)=x2-2x+1xC.f(x)=log2D.f(x)=e x-2【解析】选B.A.函数的值域为R,可以使用二分法.B.函数的值域为[0,+∞),不能使用二分法.C.f(x)=logx∈R,可以使用二分法求函数的零点.2D.f(x)=e x-2的值域为(-2,+∞),可以使用二分法求函数的零点.3.(2020·锦州高一检测)函数f(x)=ax2-2x+1在区间(-1,1)和区间(1,2)上分别存在一个零点,则实数a的取值范围是( )A.-3<a<1B.<a<1C.-3<a<D.a<-3或a>【解析】选B.因为函数f(x)=ax2-2x+1在区间(-1,1)和区间(1,2)上分别存在一个零点,所以即,解得<a<1.4.(2020·重庆高一检测)关于x的方程2 020x=有实数根,则实数a的取值范围为______.【解析】设y=2 020x,则y的值域为(0,+∞),所以2 020x=有实数根⇔>0,即<0,所以(3a+2)(a-5)<0.解得,a∈.答案:5.已知方程2x+2x=5.(1)判断该方程解的个数以及所在区间;(2)用二分法求出方程的近似解(精确到0.1).参考数值:x 1.25 1.281 25 1.312 5 1.375 1.52x 2.378 2.430 2.484 2.594 2.828【解析】(1)令f(x)=2+2x-5.因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数,所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.因为f(1)=21+2×1-5=-1<0,f(2)=22+2×2-5=3>0,所以方程2x+2x=5有一解在(1,2)内.(2)用二分法逐次计算,列表如下:区间中点的值中点函数值符号(1,2) 1.5 f(1.5)>0(1,1.5) 1.25 f(1.25)<0(1.25,1.5) 1.375 f(1.375)>0(1.25,1.375) 1.312 5 f(1.312 5)>0(1.25,1.312 5) 1.281 25 f(1.281 25)<0所以方程的近似解在区间(1.25,1.312 5)上,因为1.25和1.312 5精确到0.1的近似值都是1.3.即方程2x+2x=5的近似解可取为x≈1.3.提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.设关于x的方程4x--b=0(b∈R),若该方程有两个不相等的实数解,则b的取值范围是( )A.[-1,0]B.[-1,0)C.(-1,0)D.(0,1)【解析】选C.令t=2x(t>0),则原方程可化为:t2-2t-b=0(t>0),关于x的方程4x--b=0(b∈R),若有两个不相等的实数解,即方程t2-2t-b=0有两个不相等的正根.因为t1+t2=2>0,所以解得-1<b<0,所以b的取值范围是(-1,0).2.根据下表,能够判断f(x)=g(x)在下列区间中有实数解的是( )x -1 0 1 2 3f(x) -0.677 3.011 5.432 5.980 7.651g(x) -0.530 3.451 4.890 5.241 6.892A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【解析】选B.设函数h(x)=f(x)-g(x),则h(-1)=f(-1)-g(-1)=-0.677-(-0.530)=-0.147<0,h(0)=f(0)-g(0)=3.011-3.451=-0.440<0,h(1)=f(1)-g(1)=5.432-4.890=0.542>0,h(2)=f(2)-g(2)=5.980-5.241=0.739>0,h(3)=f(3)-g(3)=7.651-6.892=0.759>0,所以h(0)·h(1)<0,得函数h(x)=f(x)-g(x)的零点存在区间为(0,1).3.某方程在区间(2,4)内有一个实根,若用二分法求此根的精确度为0.1的近似值,则应将此区间二等分的次数为( )A.2B.3C.4D.5【解析】选D.等分1次,区间长度为1;等分2次,区间长度变为0.5;…;等分4次,区间长度变为0.125;等分5次,区间长度为0.062 5<0.1,符合题意.4.(多选题)定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,下列四个命题中正确的结论是( )A.方程f[g(x)]=0有且仅有三个解B.方程g[f(x)]=0有且仅有三个解C.方程f[f(x)]=0有且仅有九个解D.方程g[g(x)]=0有且仅有一个解【解析】选AD.根据函数的图象,函数f(x)的图象与x轴有3个交点,所以方程f[g(x)]=0有且仅有三个解;函数g(x)在区间上单调递减,所以方程g[g(x)]=0有且仅有一个解.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020·苏州高一检测)已知函数f(x)=若方程f(x)=ax恰有三个不等的实数根,则实数a的取值范围是________.【解析】若x<0,可得x-2=ax,即x=<0,解得a>1;由x>0,可得-x3+4x2=ax,可得x2-4x+a=0,有两个不等的正根,可得Δ=16-4a>0,a>0,解得0<a<4,方程f(x)=ax恰有三个不等的实数根,可得1<a<4.答案:1<a<46.已知函数f(x)=-2x,则f________f(1)(填“>”或“<”);f(x)在区间上存在零点,则正整数n=________.【解析】易知函数f(x)=-2x为减函数,则f>f(1),因为f(1)=1-2=-1,f=2->0,所以f(1)f<0,所以函数f(x)的零点所在的区间为,因为f(x)在区间上存在零点,所以=,解得n=2.答案:> 2【补偿训练】若方程lg x=2-x的根x∈(k-1,k),其中k∈Z,则实数k=________.【解析】因为lg x=2-x,所以lg x+x-2=0,令g(x)=lg x+x-2,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为g(1)=-1<0,g(2)=lg 2>0.由零点存在定理可知,x∈(1,2),因为x∈(k-1,k),其中k∈Z,则k=2.答案:2三、解答题7.(10分)用二分法求函数y=2x3-3x2-5x+3在区间(-2,-1)内的零点.(精确到0.1) 【解析】y=2x3-3x2-5x+3,因为f(-2)<0,f(-1)>0,所以函数在(-2,-1)内存在零点,取(-2,-1)的中点-1.5,经计算f(-1.5)<0,又f(-1)>0,所以函数在(-1.5,-1)内存在零点,如此继续下去,得到方程的一个实数根所在的区间,如表:(a,b) (a,b)的中点f(a) f(b) f(-2,-1) -1.5 f(-2)<0 f(-1)>0 f(-1.5)<0 (-1.5,-1) -1.25 f(-1.5)<0 f(-1)>0 f(-1.25)>0(-1.5, -1.25) -1.375f(-1.5)<0f(-1.25)>0f(-1.375)<0(-1.375, -1.25) -1.312 5f(-1.375)<0f(-1.25)>0f(-1.312 5)<0所以函数的零点在区间(-1.312 5,-1.25),因为-1.25与-1.312 5精确到0.1的近似值都是-1.3,所以函数的零点的近似解是x≈-1.3.3几个函数模型的比较基础练习1.以下四种说法中,正确的是( )A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B.对任意的x>0,x n>logaxC.对任意的x>0,a x>logaxD.不一定存在x0,当x>x时,总有a x>x n>logax【解析】选D.对于A,幂函数的增长速度受幂指数的影响,幂指数不确定,而一次函数的增长速度受一次项系数的影响,增长速度不能比较;对于B、C,当0<a<1时,显然不成立;对于D,当a>1,n>0时,一定存在x0,使得当x>x时,总有a x>x n>logax,但若去掉限制条件“a>1,n>0”,则结论不成立.2.向杯中匀速注水时,如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示,则杯子的形状为( )【解析】选B.因为杯中水面的高度先经过两次直线增长,后不变,符合B中容器的形状.【补偿训练】某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长8.6%,若经过x年可以增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的大致图象是图中的 ( )【解析】选D.设某林区的森林蓄积量原有1个单位,则经过1年森林的蓄积量为1+8.6%;经过2年森林的蓄积量为(1+8.6%)2;…;经过x年的森林蓄积量为(1+8.6%)x(x≥0),即y=(108.6%)x(x≥0).因为底数108.6%大于1,根据指数函数的图象,可知D选项正确.3.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:t)的影响,对近6年的年宣传费xi 和年销售量yi(i=1,2, (6)进行整理,得数据如表所示:x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00y 1.65 2.20 2.60 2.76 2.90 3.10根据表中数据,下列函数中,适合作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是( )x+1.5A.y=0.5(x+1)B.y=log3C.y=2x-1D.y=2【解析】选B.将题干表格中的数值描到坐标系内(图略),观察可得这些点的拟合函数类似于对数函数,代入数值验证,也较为符合.4.某学校开展研究性学习活动,一组同学得到表中的实验数据:x 1.99 3 4 5.1 8y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00现有如下4个模拟函数:①y=0.58x-0.16;②y=2x-3.02;③y=x2-5.5x+8;④y=logx.2请从中选择一个模拟函数,使它能近似地反映这些数据的规律,应选________. 【解析】画出散点图,由图分析增长速度的变化,可知符合对数函数模型,故选④.答案:④5.画出函数f(x)=与函数g(x)=x-2的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系.【解析】函数f(x)与g(x)的图象如图.根据图象易得:当0≤x<4时,f(x)>g(x);当x=4时,f(x)=g(x);当x>4时,f(x)<g(x).提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是( )x 4 5 6 7 8 9 10y 15 17 19 21 23 25 27A.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型【解析】选A.随着自变量每增加1函数值增加2,函数值的增量是均匀的,故为线性函数即一次函数模型.2.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( )A.y=ax+bB.y=ax2+bx+cC.y=a·e x+bD.y=aln x+b【解析】选 B.由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y=ax2+bx+c.3.下面对函数f(x)=lo x,g(x)=与h(x)=-2x在区间(0,+∞)上的递减情况说法正确的是( )A.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢B.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快C.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度不变D.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越快【解析】选C.观察函数f(x)=lo x,g(x)=与h(x)=-2x在区间(0,+∞)上的图象(如图)可知:函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+∞)上,递减较慢,且越来越慢;函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上,递减较慢,且递减速度越来越慢;函数h(x)的图象递减速度不变.4.(多选题)某地一年内的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示.已知该年的平均气温为10 ℃,令C(t)表示时间段[0,t]内的平均气温,不能正确反映C(t)与t之间的函数关系的图象有( )【解析】选BCD.由题图知,当t=6时,C(t)=0,故C不正确;当t=12时,C(t)=10,故D不正确;在大于6的某一段时间平均气温大于10 ℃,故B不正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系:y=a t(t≥0,a>0且a≠1)的图象.有以下说法:①第4个月时,残留量就会低于;②每月减少的有害物质质量都相等;③当残留量为,,时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.其中所有正确说法的序号是________.【解析】由于函数的图象经过点,故函数的解析式为y=.当t=4时,y=<,故①正确;当t=1时,y=,减少,当t=2时,y=,减少,故每月减少有害物质质量不相等,故②不正确;分别令y=,,,解得t1=,t 2=,t3=,t1+t2=t3,故③正确.答案:①③6.某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据,选择h=mt+b与h=loga(t+1)来刻画h与t的关系,你认为符合的函数模型是________,根据你选择的函数模型预测第8年的松树高度为______米.t(年) 1 2 3 4 5 6h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7【解析】据表中数据作出散点图如图:由图可以看出用一次函数模型不吻合,选用对数型函数比较合理.将(2,1)代入到h=loga (t+1)中,得1=loga3,解得a=3,即h=log3(t+1).当t=8时,h=log3(8+1)=2,故可预测第8年松树的高度为2米.答案:h=loga(t+1) 2三、解答题7.(10分)若不等式3x2<logax在x∈内恒成立,求实数a的取值范围.【解题指南】原不等式等价于3x2<logax,将不等式两边分别看成两个函数,作出它们的图象,研究a的取值范围.【解析】由题意,知3x2<logax在x∈内恒成立,当x∈时,若a>1,则函数y=logax的图象显然在函数y=3x2图象的下方,所以a>1不成立;当0<a<1时,y=loga x的图象必过点A或在这个点的上方,则loga≥,所以a≥,所以≤a<1.综上,a的取值范围是.4函数的实际应用基础练习1.随着社会发展对环保的要求,越来越多的燃油汽车被电动汽车取代,为了了解某品牌的电动汽车的节能情况,对某一辆电动汽车“行车数据”的两次记录如表:记录时间累计里程(单位:公里)平均耗电量(单位:kW·h/公里)剩余续航里程(单位:公里)2020年1月1日5 000 0.125 3802020年1月2日5 100 0.126 246（注:累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程,累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量,平均耗电量=,剩余续航里程=）下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是( )A.等于12.5 kW·hB.12.5 kW·h到12.6 kW·h之间C.等于12.6 kW·hD.大于12.6 kW·h【解析】选D.由题意可得:5 100×0.126-5 000×0.125=642.6-625=17.6,所以对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计为17.6 kW·h.2.某网站开展了以核心价值观为主题的系列宣传活动,并将“社会主义核心价值观”作为关键词便于网民搜索.此后,该网站的点击量每月都比上月增长50%,那么4个月后,该网站的点击量和原来相比,增长为原来的( )A.2倍以上,但不超过3倍B.3倍以上,但不超过4倍C.4倍以上,但不超过5倍D.5倍以上,但不超过6倍【解析】选D.4个月后网站点击量变为原来的=,所以是5倍以上,但不超过6倍.3.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到( )A.300只B.400只C.600只D.700只【解析】选A.将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),解得a=100,所以当x=7时,y=100log2(7+1)=300.4.甲打算从A地出发至B地,现有两种方案:第一种:在前一半路程用速度v1,在后一半路程用速度v2(v1≠v2),平均速度为;第二种:在前一半时间用速度v1,在后一半时间用速度v2(v1≠v2),平均速度为v';则,v'的大小关系为( ) A.>v' B.<v'C.=v'D.无法确定【解析】选B.第一种:设总路程为2s, 则==,第二种:设时间为2t,则v'==,,v'-=-==>0,所以v'>.5.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=x2+2x+20(万元).一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为________万件.【解析】利润L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.答案:186.李庄村某社区电费收取有以下两种方案供农户选择:方案一:每户每月收管理费2元,月用电不超过30度,每度0.4元,超过30度时,超过部分按每度0.5元.方案二:不收管理费,每度0.48元.(1)求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系;(2)小李家九月份按方案一交费34元,问小李家该月用电多少度?(3)小李家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好?【解析】(1)当0≤x≤30时,L(x)=2+0.4x;当x>30时,L(x)=2+30×0.4+(x-30)×0.5=0.5x-1,所以L(x)=(2)当0≤x≤30时,由L(x)=2+0.4x=34,解得x=80,舍去;当x>30时,由L(x)=0.5x-1=34,解得x=70,所以小李家该月用电70度.(3)设按第二方案收费为F(x)元,则F(x)=0.48x,当0≤x≤30时,由L(x)<F(x),解得2+0.4x<0.48x,解得x>25,所以25<x≤30;当x>30时,由L(x)<F(x),得0.5x-1<0.48x,解得x<50,所以30<x<50,综上25<x<50.故小李家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时,选择方案一比方案二更好.提升训练一、单选题(每小题5分,共20分)1.2019年8月到11月这四个月的某产品价格的市场平均价f(x)(单位:元/千克)与时间x(单位:月份)的数据如表x 8 9 10 11f(x) 28.00 33.99 36.00 34.02现有三种函数模型:①f(x)=bx+a;②f(x)=ax2+bx+c;③f(x)=+a,找出你认为最适合的函数模型,并估计2019年12月份的该产品市场平均价( )A.②,28元/千克B.①,25元/千克C.②,23元/千克D.③,21元/千克【解析】选A.因为f(x)的值随x的值先增后减,所以选f(x)=ax2+bx+c最合适.第二组数据近似为(9,34),第四组近似为(11,34),得f(x)图象的对称轴为x=10, 故f(12)=f(8)=28.2.某企业今年3月份产值为a万元,4月份比3月份减少了10%,5月份比4月份增加了15%,则5月份的产值是( )A.(a-10%)(a+15%)万元B.a(1-10%)(1+15%)万元C.(a-10%+15%)万元D. a(1-10%+15%)万元【解析】选B.由题意,5月份的产值为a(1-10%)(1+15%)万元.3.某人若以每股17.25元的价格购进股票一万股,可以预知一年后以每股18.96元的价格销售.已知该年银行利率为0.8%,按月计复利,为获取最大利润,某人应将钱[注:(1+0.8%)12≈1.100 339] ( )A.全部购买股票B.全部存入银行C.部分购买股票,部分存银行D.购买股票或存银行均一样【解析】选B.买股票利润:x=(18.96-17.25)×10 000,存银行利润:y=17.25×10 000×(1+0.8%)12-17.25×10 000,计算得x<y.4.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小,刚放进的新丸的体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,体积变为 a.若一个新丸体积变为a,则需经过的天数为( )A.125B.100C.75D.50【解析】选C.由已知得a=a·e-50k,即e-50k==,所以a=·a=(e-50k·a=e-k·75·a,所以t=75.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477) ( )A.6B.9C.8D.7【解析】选BC.设经过n次过滤,产品达到市场要求,则×≤,即≤,由 nlg≤-lg20,即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得 n≥≈7.4.6.如图,摩天轮的半径为40米,摩天轮的轴O点距离地面的高度为45米,摩天轮匀速逆时针旋转,每6分钟转一圈,摩天轮上的点P的起始位置在最高点处,下面的有关结论正确的有( )A.经过3分钟,点P首次到达最低点B.第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高C.从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低D.摩天轮在旋转一周的过程中点有2分钟距离地面不低于65米【解析】选ABD.可以以点O在地面上的垂足为原点,OP所在直线为y轴,与OP垂直的向右的方向为x轴正方向建立坐标系,设y=Asin(ωx+φ)+k,x表示时间.由题意可得A=40,k=45,P,T=6,可得ω==,故有点P离地面的高度y=40sin+45=40cos x+45.A.经过3分钟,y=40cos+45=5.点P首次到达最低点,正确;B.第4分钟和第8分钟点P距离地面的高度分别为f(4)=40cos+45=25, f(8)=40cos+45=25.所以第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高,正确;C.从第7分钟至第9分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低,而从第9分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度开始上升.C项不正确.D.由40cos x+45=65,化为:cos x=,取x=,可得x=1.结合图形可得:摩天轮在旋转一周的过程中点P有2分钟距离地面不低于65米.因此正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价为20元/m2,侧面造价为10元/m2,则该容器的最低造价是______元.【解析】设容器底的长和宽分别为a m,b m,成本为y元,所以S底=ab=4,y=20S底+10[2(a+b)]=20(a+b)+80≥20×2+80=160,当且仅当a=b=2时,y取最小值160,则该容器的最低造价为160元.答案:1608.(2020·菏泽高一检测)某制造商制造并出售圆柱形瓶装的某种饮料,瓶子的底面半径是r,高h=r(单位:cm),一个瓶子的制造成本是0.8πr2分,已知每出售 1mL(注:1 mL=1 cm3)的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子底面的最大半径为 6 cm.记每瓶饮料的利润为f(r),则f(3)=________,其实际意义是________.【解析】f(r)=0.2·πr2·r-0.8πr2=-0.8πr2(0<r≤6),故f(3)=7.2 π-7.2 π=0.表示当瓶子底面半径为3 cm时,利润为0.答案:0 当瓶子底面半径为3 cm时,利润为0四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·上海高一检测)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=-48x+8000,已知此生产线年产量最大为230吨.(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本P(年总成本除以年产量)最低,并求最低成本;(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,且生产的产品全部售完,那么当年产量为多少吨时,年总利润可以获得最大?最大利润是多少?【解析】(1)y=-48x+8 000,0<x≤230.所以P==+-48≥2-48=32,当且仅当x=200时取等号.所以年产量为200吨时,生产每吨产品的平均成本P最低,最低成本为32万元. (2)设利润为z万元,则z=40x-y=40x-+48x-8 000=-x2+88x-8 000=-(x-220)2+1 680,即年产量为220吨时,利润最大为1 680万元.10.为净化新安江水域的水质,市环保局于2017年年底在新安江水域投入一些蒲草,这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快,2018年二月底测得蒲草覆盖面积为24 m2,2018年三月底测得覆盖面积为36 m2,蒲草覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=ka x(k>0,a>1)与y=mx2+n(m>0)可供选择.(1)分别求出两个函数模型的解析式;(2)若市环保局在2017年年底投放了11 m2的蒲草,试判断哪个函数模型更合适?并说明理由;(3)利用(2)的结论,求蒲草覆盖面积达到320 m2的最小月份.(参考数据:lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)【解析】(1)由已知⇒所以y=.由已知⇒所以 y=x2+.(2)若用模型y=,则当x=0时,y1=,若用模型y=x2+,则当x=0时y2=,易知使用模型y=更为合适.(3)由≥320⇒x≥30,故x≥30===≈8.39,故蒲草覆盖面积达到320 m2的最小月份是9月.创新练习1.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来20天内,这种水果每箱的销售利润r(单位:元)与时间t(1≤t≤20,t∈N,单位:天)之间的函数关系式为r=t+10,且日销售量y(单位:箱)与时间t之间的函数关系式为y=120-2t,(1)第4天的销售利润为________元;(2)在未来的这20天中,公司决定每销售1箱该水果就捐赠m(m∈N*)元给“精准扶贫”对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大,则m的最小值是________.【解析】(1)因为t=4时,r=×4+10=11,y=120-2×4=112,所以该天的销售利润为11×112=1 232(元);(2)设捐赠后的利润为W元,则W=y(r-m)=(120-2t),化简可得W=-t2+(2m+10)t+1 200-120m.令W=f(t),因为二次函数的开口向下,对称轴为t=2m+10,由题意,得2m+10≥20,m∈N*,解得m≥5,m∈N*.答案:(1)1 232 (2)52.铅酸电池是一种蓄电池,电极主要由铅及其氧化物制成,电解液是硫酸溶液,这种电池具有电压稳定、价格便宜等优点,在交通、通信、电力、军事、航海、航空等领域有着广泛应用.但是由于在实际生活中使用方法不当,电池能量未被完全使用,导致了能源的浪费,因此准确预测铅酸电池剩余放电时间是使用中急需解决的问题.研究发现,当电池以某恒定电流放电时,电压U关于放电时间t的变化率y满足y=a+(其中a,b为常数,无理数e=2.718 28…)实验数据显示,当时间t的值为0和5时,电压U关于放电时间t的变化率y分别为-2和-752,求a,b的值.【解析】电压U关于放电时间t的变化率y满足y=a+(其中a,b为常数,无理数e=2.718 28…)且当时间t的值为0和5时,电压U关于放电时间t的变化率y。

函数(课后题答案)

函数（课后习题答案）基础篇题型一、函数（定义域和值域、分段函数、简单奇偶性问题）【练习1】由40x −>得，4x <，则函数()f x 的定义域{}|4M x x =<，由0.50x >得，0.540x −≥，即0.540x −≥的值域{}|0N y y =≥，∴[)0,4MN =故选C. 【练习2】()11100,11,10lg 10110x x x x x x ⎧⎪≠≠⎧⎪⎪⎡⎫>⇒>⇒+∞⎨⎨⎪⎢⎣⎭+≥⎪⎪⎩≥⎪⎩【练习3】A 中函数的值域为()0,+∞；B 中函数的值域为R ；C 中函数的值域为[]2,2−；D 中有：()424f x x x =−+()2224x =−−+ 4≤，即值域为(],4−∞.故选C.由2sin 1x y −=，得2sin 1x y −=，则2111x −≤−≤，解得x ≤≤∴2215sin 124y x x x x ⎛⎫−=−−=−− ⎪⎝⎭，当12x =时，sin y x −的最小值为54−，当x =sin y x −的最小值为1+∴sin y x −的取值范围是5,14⎡−⎢⎣. 分析：把已知条件变形，求出x 的范围，再把sin y x −转化为关于x 的二次函数求值域.【练习5】若函数()()ln 1x f x e ax =++为偶函数，即()()()ln 1x f x e ax f x −−=+−=，可得()()()ln 1ln 10x x e ax e ax −++−+−=，对任意实数x 恒成立， ∴1ln 201x x e ax e −⎛⎫++= ⎪+⎝⎭对任意实数x 恒成立，而11x x x e e e −+=+，上式变成()()ln 221x e ax a +=+ 0x =对任意实数x 恒成立所以12a =−，故答案为：12−∵())11,1x f x x <<=−≥⎩，()()1f a f a =+，∴当01a <<()211a =+−，解得0a =（舍）或14a =；当1a ≥时，()()21211a a −=+−，无解。

高等数学下第八章习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用1、求下列函数的定义域： (1) y x z -=; （2）)12ln(2+-=x y z ;解:0≥y 且 0≥-y x 解:{}012|),(2>+-=x y y x D得 D =(){}y x y y x ≥≥,0|, (3) 22arccosyx z u +=; (4) 221)ln(yx x x y z --+-=.解:022≠+y x 且22y x z +1≤ 解:⎪⎩⎪⎨⎧>--≥>-010,022y x x x y 得 {}0,|),,(22222≠++≤=y x y x z z y x D . 得 {}1,,0|),(22<+>≥=y x x y x y x D 2、已知函数v u w w u w v u f ++=),,(，试求: ).,,(xy y x y x f -+ 解: x xy xy y x xy y x y x f 2)()(),,(++=-+3、设,),(,),(2222y x y x y x y x f -=+=ϕ求：]),,([2y y x f ϕ. 解: 4222422)(),(]),,([y y x y y x y y x f +-=+=ϕϕ 4、求下列极限：（1） 221)ln(limyx e x y y x ++→→.2ln 01)1ln(220=++=e（2）11lim0-+→→xy xyy x 2)11(lim 00=++=→→xy xy xy y x ;（3）y xy y x )sin(lim 02→→=221sin lim 02=⋅=⋅→→x xy xy y x ; （4） 22)()cos(1lim 222200y x y x e y x y x ++-→→22422sin2lim 2222222200y x y x e y x y x y x +⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→.0021=⋅= 5、证明 2222200)(lim y x y x y x y x -+→→不存在.证明若点),(y x P 沿直线kx y =趋于()0,0，则22424222220)1(lim)(lim2x k x k x k y x y x y x x kxy x -+=-+→=→22220)1(lim2k x k x k x -+=→⎩⎨⎧≠==1,01,1k k 所以极限不存在.6、求下列函数的偏导数: （1）)(cos )sin(2xy xy z +=; 解:=∂∂xz)]2sin()[cos()cos()sin(2)cos(xy xy y xy xy y xy y -=- =∂∂yz)]2sin()[cos()cos()sin(2)cos(xy xy x xy xy x xy x -=- （2） 2yxe z y=;解: =∂∂x z ;2y e y =∂∂y z .212223⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+-y y xe y xe y xe y y y （3）()xy z ln =; 解:=∂∂x z ()()xy x xy y xy ln 21ln 21=⋅; =∂∂y z ()()xy y xy x xy ln 21ln 21=⋅. .（4）z y x u )arctan(-=;解:()()z z y x y x z x u 211-+-=∂∂-； ()()z z y x y x z y u 211-+--=∂∂-; ()()()zz y x y x y x z u 21ln -+--=∂∂ (5)zyx u =解:,1-=∂∂z y x zy x u ,ln 11ln x x z z x x y u z yz y =⋅⋅=∂∂ .ln ln 22x x z y z y x x z u z yz y-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅=∂∂7、设 ()()1,-+=y x y x f yxarcsin, 求)1,(x f x '. 解: 因x x f =)1,(，所以 .1)1,(=x f x8、曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z 在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？解:=∂∂x z 2x ，1tan )5,4,2(=∂∂=x z α，所以.4πα= 9、设 T = 2πgl, 求证: 0=∂∂+∂∂g T g l T l . 解:g g lg g l g T gl gl l T ππππ-=-=∂∂==∂∂22,212， 0=-=gg lggllππ.10、(1)x y z arctan =，求: y x z xz ∂∂∂∂∂222,;解: =∂∂xz,112222y x y x y x y +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂x z x x z 22,)(2222y x xy +-= ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂x z y y x z 2.)()(2)(22222222222y x x y y x y y x +-=+-+-= （2）)ln(22y x x z ++=, 求: 22xz ∂∂.解: =∂∂x z22222211y x yx x y x x+=++++，⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂x z x x z 22.)()(22123232222y x x y x x +-=+-= （3）设,),,(222zx yz xy z y x f ++= 求 : )1,0,2(),1,0,0(zzx xx f f .解: ,2),,(2zx y z y x f x += ,2),,(z z y x f xx = .2)1,0,0(=xx f,2),,(2x yz z y x f z +=,0),,(,2),,(==z y x f y z y x f zzx zz .0)1,0,2(=zzx f 11、验证nx ey tkn sin 2-=满足: 22x y k t y ∂∂=∂∂. 证. =∂∂t y nx e kn t kn sin 22--，=∂∂x y ,cos 2nx ne t kn -=∂∂22xy ,sin 22nx e n t kn --所以22x y k t y ∂∂=∂∂. 12、求下列函数的全微分：(1) 22yx y z +=;gT g l T l ∂∂+∂∂解: =∂∂x z,)(22322y x xy +-=∂∂y z =++-+2222222y x y x y y x ,)(23222y x x + dy y zdx x z dz ∂∂+∂∂=.)()(2322y x ydx xdy x +-= (2) zx y z x y u -+=; 解: dz z u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=dz z x y dy y z x dx z x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛--=222111. (3) 求函数)1ln(22y x z ++=当2,1==y x 时的全微分. 解: dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=22122y x ydy xdx +++=，.32642)2,1(dydx dy dx dz +=+= 13、求函数 z =xy,当x =2,y =1, △x = 0.1, △y = -0.2时的全增量和全微分。

大一高数习题含答案

大一高数练习题第八章一、选择题1、若二元函数()y x f ,在()00,y x 处可微，则在()00,y x 点下列结论中不一定成立的是（） A 、连续 B 、偏导数存在 C 、偏导数连续 D 、切平面存在2、函数22x z y +=在（0，0）处（）A 、不连续B 、偏导数存在C 、任一方向的方向导数存在D 、可微 3、已知()()2y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则a 等于（）A 、 -1B 、 0C 、1D 、24、函数),(y x f 在点),(00y x P 处两个一阶偏导数存在，是),(y x f 在该点可微的（）A 、充要条件B 、必要但非充分条件C 、充分但非必要条件C 、无关条件 5、函数()y x ln 1z +=的定义域是( )A. 0y x ≠+B.0y x +C. 1y x ≠+D. 1y x 0y x ≠++且二、填空题1、设()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y x y x f 2ln ,，则 ()(2,1'=y f ） 2、()du u z y x ,223+-==( )3、函数22y xy x z +-=在（1，1）处的梯度为（）4、Z=ylnx, 则"xx z =( )5、函数z=()xy x +ln 的定义域（）6、设zyxu =，则 ()(1,,1,1=du ）7、已知：(){}θθsin ,cos ,,22=+-=l e y xy x y x f ，求在（1，1）点沿方向L 的方向导数（）三、解答题1、已知曲面：221y x z --= 上的点P 处的切平面平行于平面 122=++z y x ，求点P 处的切平面方程2、设：()yx y x z ++=2 ，求','y x z z3、设()y x z z ,=是由方程()0,=--z y z x f 所确定的隐函数，其中()v u f ,具有连续偏导数且,0≠∂∂+∂∂v fu f 求yz x z ∂∂+∂∂的值。

《C语言程序设计》课后习题答案第八章

8.1 编写两个函数，分别求两个证书的最大公约数和最小公倍数，用主函数调用这两个函数并输出结果，两个整数由键盘输入。

void main(){ int Mgy(int x,int y);int Mgb(int z);int a,b,mgy,mgb;printf("请输入两个数：\n");scanf("%d,%d",&a,&b);mgy=Mgy(a,b);mgb=Mgb(a,b,mgy);printf("两个数的最大公约数为%d,最小公倍数为%d\n",mgy,mgb);}int Mgy(int x,int y){ int r,temp;if(x<y){ temp=x;x=y;y=temp;}while(x%y!=0){ r=x%y;x=y;y=r;}return y;}int Mgb(int x,int y,int z){ return (x*y/z);}8.2 求方程ax²+bx+c=0的根，用三个函数分别求当b²-4ac大于零、等于零和小于零时的根，8.3编写一个判素数的函数，在主函数输入一个整数，输出是否是素数的信息。

#include<math.h>void main(){ int Isprime(int a);int m,temp=0;printf("请输入一个数：\n");scanf("%d",&m);temp=Isprime(m);if(temp==0) printf("%d不是素数。

\n",m);else printf("%d是素数。

\n",m);}int Isprime(int a){ int i,k,flag;if(a==0||a==1) flag=0;else{ k=sqrt(a);for(i=2;i<=k;i++)if(a%i==0) flag=0; }return flag; }8.8 写一个函数，输入一个4位数字，要求输出这4个数字字符，但每两个数字间空一格空8.9编写一个函数，由实参传来一个字符串，统计此字符串中字母、数字、空格和其他字符8.10 写一个函数，输入一行字符，将此字符串中最长的单词输出。

第八章函数与集合的势

f(i,j)=
1 2
[(i+j)2-i-3j]
1
2
3
4
…
1 (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) …
2 (2.1) (2.2) (2.3) (2.4) …
3 (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) …
4 (4.1) (4.2) (4.3) (4.4) …
……………
图8.1 两个可数无限集的排列图
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第八章函数与集合的势
8.1 函数的基本概念 8.2 函数的复合和可逆函数 8.3 无限集 8.4 集合势大小的比较 8.5 鸽巢原理
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鸽巢原理
任意取出3个自然数，至少有两个数是同奇偶的任意11个人各自写出一个幸运数字，则至少有两
人写出的幸运数字相同。任意13个人说出自己的生日星座，则至少有两人
g(0)=0.a00a01a02a03a04… g(1)=0.a10a11a12a13a14… g(2)=0.a20a21a22a23a24… g(3)=0.a30a31a32a33a34… g(4)=0.a40a41a42a43a44… ……
g(0)=0.a00a01a02a03a04… g(1)=0.a10a11a12a13a14… g(2)=0.a20a21a22a23a24… g(3)=0.a30a31a32a33a34… g(4)=0.a40a41a42a43a44… ……
定理1 自然数集N是无限集。
证明：用反证法，设存在n∊N，使得 |N|=| {0, 1, 2, ⋯, n-1} | 。
令 g: {0, 1, 2, ⋯, n-1} →N是双射。设
k=1+max{g(0), g(1), ⋯,g(n-1)}，显然，k∊N，但对于任意的x∊{0, 1, 2, ⋯, n-1}，

C语言课后习题答案第八章

作业八：函数程序设计答案（一）选择题（30分）1．以下正确的函数定义形式是A__。

A）double fun(int x,int y)B）double fun(int x;int y)C）double fun(int x,int y);D）double fun(int x,y);2．以下正确的函数形式是D__。

A）double fun(int x,int y){ z=x+y; return z; }B）fun(int x,y){ int z; return z; }C）fun(x,y){ int x,y; double z; z=x+y; return z; }D）double fun(int x,int y){ double z; z=x+y; return z; }（重要）3．以下正确的说法是A__。

在C语言中A）实参和与其对应的形参各占用独立的存储单元B）实参和与其对应的形参共占用一个存储单元C）只有当实参和与其对应的形参同名时才共占用存储单元D）形参是虚拟的，不占用存储单元4．若调用一个函数，且此函数中没有return语句，则正确的说法是D__。

该函数A）没有返回值B）返回若干个系统默认值C）能返回一个用户所希望的函数值D）返回一个不确定的值（重要）5．以下不正确的说法是B__。

C语言规定A）实参可以是常量、变量或表达式B）形参可以是常量、变量或表达式C）实参可以为任意类型D）形参应与其对应的实参类型一致6．C语言规定，简单变量做实参时，它和对应形参之间的数据传递方式是B__。

A）地址传递B）单向值传递C）由实参传给形参，再由形参传回给实参D）由用户指定传递方式7．以下程序有语法性错误，有关错误原因的正确说法是C__。

main(){int G=5,k;void Prt_char();……k=Prt_char(G);……}A）语句void prt_char();有错，它是函数调用语句，不能用void 说明B）变量名不能使用大写字母C）函数说明和函数调用语句之间有矛盾D）函数名不能使用下划线8．C语言允许函数值类型缺省定义，此时该函数值隐含的类型是B__。

高中数学第8章函数应用章末综合测评含解析苏教版第一册

章末综合测评（八) 函数应用（满分：150分时间：120分钟）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1．函数f（x)＝(x2－1)·错误!的零点个数是（)A．1 B．2 C．3 D．4B[要使函数有意义，则x2－4≥0,解得x≥2或x≤－2．由f（x）＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2．所以函数的零点个数为2．故选B．］2．函数f(x)＝log2x＋3x－4的零点所在的一个区间是() A．（－2，－1）B．(－1，0）C．（0,1) D．（1，2)D[∵函数y1＝log2x在区间（0,＋∞)上为增函数，函数y2＝3x－4为增函数，所以，函数f(x)＝log2x＋3x－4在区间(0,＋∞）上为增函数,则该函数最多有一个零点，又f（1）＝－1〈0，f（2)＝3>0，因此，函数f（x)＝log2x＋3x－4的零点所在的一个区间是(1,2）．故选D．］3．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年,剩留的物质约是原来的错误!．经过x年，剩留的物质是原来的错误!．则x为()A．2 B．3 C．4 D．5B[先求剩留量y随时间x(年）变化的函数关系式,设物质最初的质量为1，则经过1年,y＝1×错误!＝错误!，经过2年，y＝错误!×错误!＝错误!错误!，…,那么经过x年，则y＝错误!错误!．依题意得错误!错误!＝错误!,解得x＝3．］4．对任意实数a，b，定义运算“⊙"：a⊙b＝错误!设f(x)＝（x2－1)⊙(4＋x)＋k,若函数f(x）的图象与x轴恰有三个交点,则k的取值范围是（）A．（－2,1) B．[0,1]C．［－2,0) D．[－2，1）D［令g(x)＝（x2－1)⊙（4＋x)＝错误!其图象如图所示．f（x)＝g（x)＋k的图象与x轴恰有三个交点,即y＝g（x）与y＝－k的图象恰有三个交点，由图可知－1〈－k≤2，即－2≤k<1．故选D．]5．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示．现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的()A．y＝log2x B．y＝2xC．y＝x2D．y＝2xB[画出散点图(图略)，由散点图可知，这种空调的函数模型为y＝2x．］6．已知定义在R上的函数f（x)＝（x2－3x＋2)g（x)＋3x－4，其中函数y＝g（x）的图象是一条连续曲线，则方程f(x）＝0在下面哪个范围内必有实数根()A．（0，1）B．（1,2)C．（2，3）D．（3，4）B[f（x）＝（x2－3x＋2)g(x)＋3x－4＝（x－1）（x－2）g(x)＋3x－4，则f(1)＝－1〈0，f（2)＝2>0．所以根据函数零点的判断方法可知,函数f(x）在区间（1，2)内存在零点，即方程f（x）＝0在区间(1，2）内存在实数根．]7．加工爆米花时，爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数）,如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A．3．50分钟B．3．75分钟C．4．00分钟D．4．25分钟B[由图形可知，三点（3,0．7)，(4,0．8),(5，0．5）都在函数p＝at2＋bt＋c的图象上，所以错误!，解得a＝－0．2，b＝1．5,c＝－2,所以p＝－0．2t2＋1．5t－2＝－0．2错误!2＋错误!，因为t>0，所以当t＝错误!＝3．75时，p取最大值，故此时的t＝3．75分钟为最佳加工时间，故选B．]8．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”,计费方法如下:每户每月用水量水价不超过12 m3的部分3元/m3若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民本月用水量为（）A．20 m3B．18 m3C．15 m3D．14 m3C[设此户居民本月用水量为x m3，缴纳的水费为y元,则当x∈[0,12］时，y＝3x≤36元，不符合题意；当x∈（12,18]时，y＝12×3＋（x－12）·6＝6x－36，令6x－36＝54，解得x＝15，符合题意；当x∈(18，＋∞)时，y＝12×3＋6×6＋(x－18）·9＝9x－90>72，不符合题意．综上所述:此户居民本月用水量为15 m3．故选C．]二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知函数f(x)＝x e x－ax－1,则关于f(x)的零点,叙述错误的是（)A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点B．函数f(x)必有一个零点是正数C．当a<0时,函数f(x）有两个零点D．当a〉0时，函数f(x)只有一个零点ACD［f(x)＝0⇔e x＝a＋错误!，在同一坐标系中作出y＝e x与y＝错误!的图象,可观察出A、C、D选项错误，应选ACD．]10．设a为实数，则直线y＝a和函数y＝x4＋1的图象的公共点个数可以是（)A．0 B．1 C．2 D．3ABC［因为函数y＝x4＋1为定义在R上的偶函数，且在（－∞，0］上为减函数，在［0，＋∞)上为增函数,且函数的最小值为1，所以当a<1，a＝1，a>1时，直线y＝a和函数y＝x4＋1的图象的公共点个数分别为0，1，2．故选ABC．] 11．函数f（x）＝A sin(ωx＋φ）错误!的部分图象如图所示，点P，Q，R在f(x）的图象上，坐标分别为（－1，－A),(1,0），（x0，0)，△PQR是以PR为底边的等腰三角形,将函数f(x)的图象向右平移5个单位长度后得到函数g（x)的图象，则关于g(x)的说法中正确的是()A．g(x)是偶函数B．g(x）在区间[0,4]上是减函数C．g（x)的图象关于直线x＝2对称D．g(x)在[－1，3］上的最小值为－错误!ABD[由题意知T4＝2，所以错误!＝8,ω＝错误!，作PH⊥x轴于点H（图略)，则QH＝2，又因为PQ＝QR＝4，所以A＝2错误!，因为f（x）的图象过Q(1,0)，所以2错误!sin错误!＝0，因为｜φ｜＜错误!，所以φ＝－错误!，所以f（x)＝2错误!sin错误!．易知g（x)＝f（x－5)＝23cos 错误!x，故选ABD．]12．已知f（x）＝错误!，当a∈M时，总存在实数b,使函数g(x)＝f（x）－b有两个零点，则集合M可以是() A．(－∞,0] B．（1，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞,0）∪（1，＋∞)BCD［要使得g(x)＝f（x）－b有两个零点，即f（x）＝b有两个根,必须有y＝f（x)与y＝b的图象有两个交点,由x3＝x2可得，x＝0或x＝1．①当a〉1时，函数y＝f（x)的图象如图所示，此时存在b,满足题意,故a>1满足题意．②当a＝1时，由于函数y＝f(x）在定义域R上单调递增，故不符合题意．③当0<a〈1时，函数y＝f（x)单调递增，故不符合题意．④当a＝0时，函数y＝f(x)单调递增，故不符合题意⑤当a<0时，函数y＝f(x）的图象如图所示，此时存在b使得y＝f（x）与y＝b有两个交点．综上可得a∈（－∞，0)∪（1，＋∞)．所以应选BCD．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．函数f(x)＝x＋2x－10的零点所在区间为（n,n＋1），n∈Z，则n＝________．2［因为f（2）＝2＋4－10＝－4<0,f(3）＝3＋8－10＝1〉0, 所以f（2）f(3)<0，由函数零点存在定理知函数f(x）＝x＋2x－10在区间(2,3）上有零点，所以n＝2．］14．用二分法研究函数f(x)＝x3＋ln 错误!的零点时，第一次经计算f(0）<0，f错误!〉0,可得其中一个零点x0∈________,第二次应计算________．（本题第一空2分，第二空3分）错误!f错误!［由于f(0）<0，f错误!〉0,故f（x）在错误!上存在零点,所以x0∈错误!，第二次应计算0和12在数轴上对应的中点x1＝错误!＝错误!．]15．已知［x]表示不超过实数x的最大整数，如[1．8]＝1，［－1．2]＝－2．x0是函数f(x)＝ln x－错误!的零点，则［x0］等于________．2[∵函数f(x）的定义域为(0,＋∞），∴函数f(x)在(0,＋∞）上单调递增．由f(2）＝ln 2－1〈0,f（e）＝ln e－错误!〉0，知x0∈(2，e），∴[x0］＝2．]16．已知函数f（x)＝错误!其中a>0，且a≠1,若函数y＝f(x）－1有3个不同的零点x1，x2，x3，且x1＋x2＋x3〉0，则实数a 的取值范围是________．错误!［如图所示：当a〉1时，函数y＝f错误!－1有2个不同的零点，不满足；当0<a<1时,不妨设x1〈x2〈x3，根据对称性知x2＋x3＝2，故x1〉－2．a x－1＝1，故x＝log a2〉－2，故0〈a〈错误!．]四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分)已知函数f（x)＝x3－x2＋错误!＋错误!．证明:存在x0∈错误!,使f（x0）＝x0．[证明］令g（x）＝f（x)－x．∵g（0)＝错误!,g错误!＝f错误!－错误!＝－错误!，∴g（0）·g错误!〈0．又函数g(x)在错误!上连续，∴存在x0∈错误!，使g（x0）＝0．即f（x0）＝x0．18．(本小题满分12分)定义在R上的奇函数f（x)满足：当x ＞0时，f(x)＝2 020x＋log2 020x，试确定f（x）在R上的零点个数．[解］∵函数f(x）是定义在R上的奇函数，∴f（0)＝0．因为log2 020错误!＝－2，2 020错误!≈1,log2 020错误!＝－1，2 020错误!〉1，∴f错误!＜0，f错误!＞0，∴f(x）＝2 020x＋log2 020x在区间错误!内存在零点．易知f(x)在（0，＋∞）上是单调增函数,∴f(x）在(0，＋∞)内有且只有一个零点，根据奇函数的对称性可知,函数f（x）在(－∞，0）内有且只有一个零点．综上可知函数在R上的零点个数为3．19．(本小题满分12分)某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元）0。