微分几何彭家贵课后题答案

习题一（P13）

2.设()a t 是向量值函数，证明：

（1）a =常数当且仅当(),()0a t a t '=； （2）()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。

（1）证明：a =常数⇔2

a =常数⇔(),()a t a t <>=常数

⇔(),()(),()0a t a t a t a t ''<>+<>=

⇔2(),()0a t a t '<>=⇔(),()0a t a t '<>=。

（2）注意到：()0a t ≠，所以

()a t 的方向不变⇔单位向量()

()()

a t e t a t =

=常向量。 若单位向量()

()()

a t e t a t =

=常向量，则()0()()0e t e t e t ''=⇒∧=。 反之，设()e t 为单位向量，若()()0e t e t '∧=，则()//()e t e t '。

由()e t 为单位向量⇒(),()1(),()0e t e t e t e t '<>=⇒<>=⇒()()e t e t '⊥。

从而，由()//()()0()()()e t e t e t e t e t e t '⎫

'⇒=⇒=⎬'⊥⎭

常向量。

所以，()a t 的方向不变⇔单位向量()

()()

a t e t a t =

=常向量 ⇔()()1

()()0()()0()()()a t a t d e t e t a t a t a t dt a t ⎛⎫''∧=⇔∧+= ⎪ ⎪⎝⎭

(

)()2111()()()()()0()()

()

d a t a t a t a t dt a t a t a t '⇔

∧+∧= ()()0a t a t '⇔∧=。即

()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。

补充：

定理 ()r t 平行于固定平面π的充要条件是()(),(),()0r t r t r t '''≡。

证明：""⇒：若()r t 平行于固定平面π，设n 是平面π的法向量，为一常向量。

于是，(),0(),0,(),0r t n r t n r t n '''<>=⇒<>=<>=

(),(),()(),(),()0r t r t r t r t r t r t ''''''⇒⇔<>≡共面。

""⇐：若()(),(),()0r t r t r t '''≡，则(),(),()r t r t r t '''共面。若()()0r t r t '∧≡

则()r t 方向固定，从而平行于固定平面π。

若()()0r t r t '∧≠，则()()()r t r t r t λμ'''=+。令()()(),n t r t r t '=∧则

()()()()()()()

()()()()()()()()()()()()()()0()0()()()n t r t r t r t r t r t r t r t t r t t r t t r t r t t n t n t n t n t n t n t r t λμμμ'''''=∧+∧'''=∧=∧+'=∧='⇒∧=≠⇒⊥，又有固定的方向，又

⇒()r t 平行于固定平面。

3.证明性质1.1与性质1.2。

性质1.1（1）证明：设11232123312323123(,,),(,,),(,,),(,,)v x x x v y y y v z z z v v w w w ===∧=，则

()2

33

11

2231

231232

33112

1

2

3,,,,i

j k

y

y y y y y v v y y y w w w z z z z z z z z z ⎛⎫

∧=== ⎪⎝⎭

()

1233223113312212

3

3

1121231

232

33

1

1

21

2

3233231131221212213311332332112211311,,,=(),,,,[][],[][],[w y z y z w y z y z w y z y z i

j k

x x x x x x v v v x x x w w w w w w w w w x w x w x w x w x w x w x y z y z x y z y z x y z y z x y z y z x y z y z ⇒=-=-=-⎛⎫⇒∧∧== ⎪⎝⎭

=---=-------左()()()()322332223312233133112331121122311223223313311211223223313311211223223311][][][],[][],[][][],[],[][],[],[][x y z y z x z x z y x y x y z x z x z y x y x y z x z x z y x y x y z x z x z y x z x z y x z x z y x y x y z x y x y z x y x y z x z x z x z --=+-++-++-+=+++-+++=++()

()()()133112221122333223311133112221122333112233123223311123132123],[],[][],[],[][],,[],,,,y x z x z x z y x z x z x z y x y x y x y z x y x y x y z x y x y x y z x z x z x z y y y x y x y x y z z z v v v v v v ++++-++++++=++-++=<>-<>=右

（2）证明：设1123212331234123(,,),(,,),(,,),(,,)v x x x v y y y v z z z v w w w ====，则