微分几何彭家贵课后题答案
微分几何课后答案
r r r r r r r r r 量，且 r (t ) · n = 0 。两次求微商得 r ' · n = 0 ， r ' ' · n = 0 ，即向量 r ， r ' ， r ' ' r r r r 垂直于同一非零向量 n ，因而共面，即（ r r ' r ' ' ）=0 。 r r r r r r r r r r r r 反之, 若（ r r ' r ' ' ）=0，则有 r × r ' = 0 或 r × r ' ≠ 0 。若 r × r ' = 0 ，由上题
}
1．求圆柱螺线 x =a cos t ， y =a sin t ，
解 r ' ={
r
-a sin t ,a cos t ,b}, r ' ' ={-a cos t ,- a sin t ,0
y − a sin t a cos t − a sin t
r
所以曲线在任意点的密切平面的方程为
x − a cos t − a sin t − a cos t
r r r r | r '×r ' ' | 2a 2 cosh t 1 = r '×r ' ' = a{− sinh t , cosh t ,−1} ，所以 k = r 3 = 3 | r '| 2a cosh 2 t ( 2a cosh t )
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微分几何主要习题解答
τ=
r r r (r ' , r ' ' , r ' ' ' ) a2 1 = = r r 2 4 2 (r '×r ' ' ) 2a cosh t 2a cosh 2 t
微分几何第四版答案
微分几何第四版答案第一部分曲线与曲面的局部微分几何第一章欧氏空间1.1 向量空间1.2 欧氏空间第二章曲线的局部理论2.1 曲线的概念2.2 平面曲线2.3 E的曲线2.4 曲线论基本定理第三章曲面的局部理论3.1 曲面的概念3.2 曲面的第一基本形式3.3 曲面的第二基本形式3.4 法曲率与weingarten变换3.5 主曲率与Gauss曲率3.6 曲面的一些例子第四章标架与曲面论基本定理4.1 活动标架4.2 自然标架的运动方程4.3 曲面的结构方程4.4 曲面的存在惟一性定理4.5 正交活动标架4.6 曲面的结构方程（外微分法）第五章曲面的内蕴几何学5.1 曲面的等距变换5.2 曲面的协变微分5.3 测地曲率与测地线5.4 测地坐标系5.5 Gauss-Bonnet公式5.6 曲面的Laplace算子5.7 Riemann度量第二部分整体微分几何选讲第六章平面曲线的整体性质6.1 平面的闭曲线6.2 平面的凸曲线第七章曲面的若干整体性质7.1 曲面的整体描述7.2 整体的Gauss-Bonnet公式7.3 紧致曲面的Gauss映射7.4 凸曲面7.5 曲面的完备性第八章常Gauss曲率曲面8.1 常正Gauss曲率曲面8.2 常负Gauss曲率曲面与sine-Gordon方程8.3 Hilbert定理8.4 Backlund变换第九章常平均曲率曲面9.1 Hopf微分与Hopf定理9.2 Alexsandrov惟一性定理9.3 附录：常平均曲率环面第十章极小曲面10.1 极小图10.2 极小曲面的weierstrass表示10.3 极小曲面的Gauss映射10.4 面积的变分与稳定极小曲面索引。
微分几何习题及答案解析
第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
微分几何习题及答案解析
、第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。
所以，)(t r具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何(第三版)【梅向明_黄敬之_编】第三章课后题答案[1][1]
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§4.直纹面和可展曲面1. 证明曲面r =}32,2,31{2432v u u uv u v u +++是可展曲面.证法一： 已知曲面方程可改写为r =},2,{432u u u +v }32,,31{2u u ，令()a u r =},2,{432u u u ，()b u r =}32,,31{2u u ，则r =()a u r + v ()b u r ，且()b u r ≠0，这是直纹面的方程 ，它满足(',,')a b b r r r =23226412334013u u u u u u =0 ,所以所给曲面为可展曲面。
证法二：证明曲面的高斯曲率为零。
（略）2。
证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。
证法一： 曲面的方程可改写为 r =()a v r + u ()b v r ，其中()a v r={cosv-vsinv, sinv+vcosv, 2v}，()b v r ={-sinv, cosv,1} ，易见()b v r≠0，所以曲面为直纹面，又因为(',,')a b b r rr =2sin cos 2cos sin 2sin cos 1cos sin 0v v v v v v v v vv------=0，所以所给曲面为可展曲面。
证法二：证明曲面的高斯曲率为零。
（略）3．证明正螺面r={vcosu,vsinu,au+b}(a ≠0)不是可展曲面。
证法一：原曲面的方程可改写为 r =()a u r+ v ()b u r ，其中()a u r={0,0,au+b},()b u r ={cosu,sinu,0}.易见()b u r ≠0, 所以曲面为直纹面, 又因为(',,')a b b r r r=00cos sin 0sin cos 0au u u u -=a ≠0.故正螺面不是可展曲面。
微分几何彭家贵课后题答案
习题一（P13）2.设()a t 是向量值函数，证明：（1）a =常数当且仅当(),()0a t a t '=； （2）()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。
（1）证明：a =常数⇔2a =常数⇔(),()a t a t <>=常数⇔(),()(),()0a t a t a t a t ''<>+<>=⇔2(),()0a t a t '<>=⇔(),()0a t a t '<>=。
（2）注意到：()0a t ≠，所以()a t 的方向不变⇔单位向量()()()a t e t a t ==常向量。
若单位向量()()()a t e t a t ==常向量，则()0()()0e t e t e t ''=⇒∧=。
反之，设()e t 为单位向量，若()()0e t e t '∧=，则()//()e t e t '。
由()e t 为单位向量⇒(),()1(),()0e t e t e t e t '<>=⇒<>=⇒()()e t e t '⊥。
从而，由()//()()0()()()e t e t e t e t e t e t '⎫'⇒=⇒=⎬'⊥⎭常向量。
所以，()a t 的方向不变⇔单位向量()()()a t e t a t ==常向量 ⇔()()1()()0()()0()()()a t a t d e t e t a t a t a t dt a t ⎛⎫''∧=⇔∧+= ⎪ ⎪⎝⎭()()2111()()()()()0()()()d a t a t a t a t dt a t a t a t '⇔∧+∧= ()()0a t a t '⇔∧=。
彭家贵微分几何前五章定理回顾定理补充与习题提示
熊锐 2018 年 1 月 24 日
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Contents
1 欧式空间 1.1 1.2 1.3 定理回顾 定理补充 习题提示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 3 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 6 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 18
dr ds (s). dt ds (s)
(切向量) . (曲率)
在曲率 κ > 0 时, 再定义 (3) n(s) =
1 dt κ(s) ds (s).
(主法向量) (次法向量) (挠率)
微分几何彭家贵课后题答案.docx
习题一（ P13）2.设 a(t ) 是向量值函数，证明：（1）a常数当且仅当a(t ), a (t )0 ；（2）a(t )的方向不变当且仅当a(t ) a (t)0 。
（1）证明：a2a(t), a(t )常数a常数常数a (t ), a(t)a(t ),a (t)02a(t), a (t)0a(t), a (t )0。
（2）注意到：a(t ) 0 ，所以a(t )a(t ) 的方向不变单位向量e(t)常向量。
a(t )若单位向量 e(t )a(t)e (t )0 e(t ) e (t )0。
常向量，则a(t)反之，设 e(t) 为单位向量，若 e(t ) e (t)0 ，则 e(t ) / /e (t ) 。
由 e(t) 为单位向量e(t ), e(t )1e(t ), e (t )0e(t) e (t ) 。
e(t ) / /e (t)e (t )0e(t)从而，由e (t )常向量。
e(t )所以， a(t) 的方向不变a(t )常向量单位向量 e(t )a(t )e(t) e (t )0a(t ) a (t) d (1)a(t )0a(t )a(t)dt a(t)12 a(t) a (t )d11a(t )a(t)0a(t)()a(t ) dt a(t)a(t ) a (t )0 。
即a(t ) 的方向不变当且仅当a(t) a (t )0 。
补充：定理 r (t)平行于固定平面的充要条件是r (t), r(t), r (t )0 。
证明： "" ：若r (t )平行于固定平面，设 n 是平面的法向量，为一常向量。
于是，r (t ), n0r (t ), n0,r (t ), n0r (t ), r (t), r (t)共面r (t), r(t), r(t )0 。
"" ：若 r (t ), r (t ), r(t)0 ，则r (t ), r(t), r(t)共面。
微分几何课后习题解答
微分几何课后习题解答第二章曲面论§1曲面的概念1.求正螺面={ u,u , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为={u,u ,bv}=｛0,0，bv｝＋u{,,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为={ a（u+）, b（u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2}表示过点{ a, b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线;v-曲线为=｛a（+v）, b（-v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,-b,2}表示过点(a, b,0)以{a,-b,2}为方向向量的直线。
3．求球面=上任意点的切平面和法线方程。
解=，=任意点的切平面方程为即 xcos cos+ ycos sin+ zsin- a = 0 ；法线方程为。
4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。
同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为Fδu + Gδv = 0 .7. 在曲面上一点,含du ,dv的二次方程P+ 2Q dudv + R＝０，确定两个切方向（du ：dv）和（δu ：δv），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0.证明因为du,dv不同时为零，假定dv0，则所给二次方程可写成为P+ 2Q+ R=0 ,设其二根,, 则=，+=……①又根据二方向垂直的条件知E+ F(+)+ G = 0 ……②将①代入②则得 ER - 2FQ + GP = 0 .8.证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E=G.证用分别用δ、、d表示沿u－曲线，v－曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u－曲线δu０，δv＝０，沿v－曲线u＝０，v０．沿二等分角轨线方向为du:dv ,根据题设条件,又交角公式得，即。
展开并化简得E(EG-)=G(EG-),而EG->0，消去EG-得坐标曲线的二等分角线的微分方程为E=G.9．设曲面的第一基本形式为I = ，求曲面上三条曲线u = v, v =1相交所成的三角形的面积。
微分几何P113 习题解答
G = 1 + q2 = 1 + b2y2;
L= M=
r
=
a
,
1 + p2 + q2
1 + a2x2 + b2y2
s
= 0,
1 + p2 + q2
N=
t
=
b
.
1 + p2 + q2
1 + a2x2 + b2y2
所以, 在原点抛物面的第一、第二基本形式分别为
I = dx2 + dy2, II = adx2 + bdy2.
《微分几何》第 146 页习题解答
1. 计算悬链面 r(u, v) = {cosh u cos v, cosh u sin v, u} 的第一、第二类基本量. 解：首先直接计算下列各量:
ru = {sinh u cos v, sinh u sin v, 1},
rv = {− cosh u sin v, cosh u cos v, 0},
n
=
ru |ru
× ×
rv rv|
=
1 cosh
u
{−
cos
v,
−
sin
v,
sinh
u}.
于是, 悬链面的第一, 第二类基本量分别为
E = r2u = cosh2 u, F = ru · rv = 0, G = r2v = cosh2 u;
L = ruu · n = −1, M = ruv · n = 0, N = rvv · n = 1.
a
,
1 + a2x2 + a2y2
N = ryy · n = 0.
微分几何第四章主曲率主方向
(3.12)
并设 1 2 . 对任意一个单位切向量 e Tp S ，可设
e cos e1 sin e2 .
(3.13)
则有
W (e ) cos W (e1 ) sin W ( e2 ) 1 cos e1 2 sin e2 .
(3.14)
于是沿切方向 e 的法曲率为
例 3.1 求旋转面上的曲率线. 解 设旋转面的方程为 r (u, v) f (v)cos u, f (v)sin u, g(v) . 其中 f (v) 0 ， 并且 v 是经线的弧长参数，f 2 g 2 1 . 则 ru f sin u,cos u,0 ， rv f cos u, f sin u, g ， ru rv f g cos u, g sin u, f ， n g cos u, g sin u, f . 由于 nu g sin u,cos u,0 ， nv g cos u, g sin u, f ， g g 0 ，有 n r 0 ，nv rv 0 . 所以 u-曲线 并且 f f (纬线圆)和 v-曲线(经线)都是曲率线.
微分几何第四章主曲率主方向微分几何微分几何彭家贵答案微分几何第四版答案微分几何答案微分几何视频微分几何讲义物理学家用微分几何微分几何与广义相对论整体微分几何初步
Weingarten 映射和主曲率
设 S : r r (u, v) 是一个正则曲面， n n (u, v) 是 它的单位法向量. 向量函数 n (u, v) 定义了一个 映射 n : S 2 : (u, v) n(u, v) ，映射 n 诱导了映射 g n r 1 : S S 2 : r (u, v ) g (r (u, v)) n (u, v) . 这个映射 g : S S 2 称为 Gauss 映射.
微分几何第四版答案（三）曲面的第二基本形式
微分几何第四版答案（三）曲面的第二基本形式§3曲面的第二基本形式1. 计算悬链面r r={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.解 u r ={sinhucosv,sinhusinv,1},v r={-coshusinv,coshucosv,0} uu r ={coshucosv,coshusinv,0},uv r ={-sinhusinv,sinhucosv,0},vv r ={-coshucosv,-coshusinv,0},2u r E = cosh 2u,v u r r F=0,2v r G =cosh 2u.所以错误!未找到引用源。
= cosh 2u 2du + cosh 2u 2dv .n =2F EG r r v u =}sin sinh ,sin cosh ,cos cosh {cosh 12v u v u v u u, L=11sinh cosh 2u , M=0, N=1sinh cosh 2u =1 .所以错误!未找到引用源。
= -2du +2dv 。
2. 计算抛物面在原点的22212132452x x x x x 第一基本形式,第二基本形式.解曲面的向量表示为}225,,{22212121x x x x x x r ,}0,0,1{}25,0,1{)0,0(211 x x r x ,}0,1,0{}22,1,0{)0,0(212 x x rx ,}5,0,0{11 x x r, }2,0,0{21 x x r ,}2,0,0{22 x x r, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,错误!未找到引用源。
=2221dx dx , 错误!未找到引用源。
=222121245dx dx dx dx .3. 证明对于正螺面r r={u v cos ,u v sin ,bv},-∞<u,v< bdsfid="97" p=""></u,v<>解 },cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u，uu r ={0,0,0},uv r ={-uucosv,cosv,0},vv r ={-ucosv,-usinv,0},12 u r E ，0 v u r r F，222b u r G v， L= 0, M =22bu b , N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 .4. 求出抛物面)(2122by ax z在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率. 解}0,0,1{},0,1{)0,0( ax r x ,}0,1,0{},1,0{)0,0( by r y ,},0,0{a r xx,}0,0,0{ xy r },0,0{b r yy ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy 的法曲率2222dydx bdy adx k n . 5. 已知平面到单位球面(S)的中心距离为d(0<d<=""></d解设平面与(S) 的交线为(C), 则(C)的半径为21d ,即(C)的曲率为211d k,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于 21d ,所以(C)的法曲率为n k k 21d = 1 .6. 利用法曲率公式IIIk n ,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成比例。
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习题一（P13）2.设()a t 是向量值函数，证明：（1）a =常数当且仅当(),()0a t a t '=； （2）()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。
（1）证明：a =常数⇔2a =常数⇔(),()a t a t <>=常数⇔(),()(),()0a t a t a t a t ''<>+<>=⇔2(),()0a t a t '<>=⇔(),()0a t a t '<>=。
（2）注意到：()0a t ≠，所以()a t 的方向不变⇔单位向量()()()a t e t a t ==常向量。
若单位向量()()()a t e t a t ==常向量，则()0()()0e t e t e t ''=⇒∧=。
反之，设()e t 为单位向量，若()()0e t e t '∧=，则()//()e t e t '。
由()e t 为单位向量⇒(),()1(),()0e t e t e t e t '<>=⇒<>=⇒()()e t e t '⊥。
从而，由()//()()0()()()e t e t e t e t e t e t '⎫'⇒=⇒=⎬'⊥⎭常向量。
所以，()a t 的方向不变⇔单位向量()()()a t e t a t ==常向量 ⇔()()1()()0()()0()()()a t a t d e t e t a t a t a t dt a t ⎛⎫''∧=⇔∧+= ⎪ ⎪⎝⎭()()2111()()()()()0()()()d a t a t a t a t dt a t a t a t '⇔∧+∧= ()()0a t a t '⇔∧=。
即()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。
补充：定理 ()r t 平行于固定平面π的充要条件是()(),(),()0r t r t r t '''≡。
证明：""⇒：若()r t 平行于固定平面π，设n 是平面π的法向量，为一常向量。
于是，(),0(),0,(),0r t n r t n r t n '''<>=⇒<>=<>=(),(),()(),(),()0r t r t r t r t r t r t ''''''⇒⇔<>≡共面。
""⇐：若()(),(),()0r t r t r t '''≡，则(),(),()r t r t r t '''共面。
若()()0r t r t '∧≡则()r t 方向固定，从而平行于固定平面π。
若()()0r t r t '∧≠，则()()()r t r t r t λμ'''=+。
令()()(),n t r t r t '=∧则()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0()0()()()n t r t r t r t r t r t r t r t t r t t r t t r t r t t n t n t n t n t n t n t r t λμμμ'''''=∧+∧'''=∧=∧+'=∧='⇒∧=≠⇒⊥，又有固定的方向，又⇒()r t 平行于固定平面。
3.证明性质1.1与性质1.2。
性质1.1（1）证明：设11232123312323123(,,),(,,),(,,),(,,)v x x x v y y y v z z z v v w w w ===∧=，则()23311223123123233112123,,,,ij kyy y y y y v v y y y w w w z z z z z z z z z ⎛⎫∧=== ⎪⎝⎭()123322311331221233112123123233112123233231131221212213311332332112211311,,,=(),,,,[][],[][],[w y z y z w y z y z w y z y z ij kx x x x x x v v v x x x w w w w w w w w w x w x w x w x w x w x w x y z y z x y z y z x y z y z x y z y z x y z y z ⇒=-=-=-⎛⎫⇒∧∧== ⎪⎝⎭=---=-------左()()()()322332223312233133112331121122311223223313311211223223313311211223223311][][][],[][],[][][],[],[][],[],[][x y z y z x z x z y x y x y z x z x z y x y x y z x z x z y x y x y z x z x z y x z x z y x z x z y x y x y z x y x y z x y x y z x z x z x z --=+-++-++-+=+++-+++=++()()()()133112221122333223311133112221122333112233123223311123132123],[],[][],[],[][],,[],,,,y x z x z x z y x z x z x z y x y x y x y z x y x y x y z x y x y x y z x z x z x z y y y x y x y x y z z z v v v v v v ++++-++++++=++-++=<>-<>=右（2）证明：设1123212331234123(,,),(,,),(,,),(,,)v x x x v y y y v z z z v w w w ====，则()()23311212123123233112123123322311331221233112341231232331121231233223113312,,,,,,.,,,,,,ij kx x x x x x v v x x x X X X y y y y y y y y y X x y x y X x y x y X x y x y ij kz z z z z z v v z z z Y Y Y w w w w w w w w w Y z w z w Y z w z w Y z w ⎛⎫∧=== ⎪⎝⎭⇒=-=-=-⎛⎫∧=== ⎪⎝⎭⇒=-=-=2112341122332332233231133113122112212233223311331133112211222233223311331133.=,()()()()()()[][z w v v v v X Y X Y X Y x y x y z w z w x y x y z w z w x y x y z w z w x z y w y w x z y w x z x z y w x z y w y w x z x w y z y z x w y z x w x z y w -⇒<∧∧>=++=--+--+--=+++++-++++左113311221122111122223333223322331133113311221122111122223333223322331133113311221122][()][()](x w y z x w y z y z x w x y z w x y z w x y z w x z y w y w x z y w x z x z y w x z y w y w x z x y z w x y z w x y z w x w y z y z x w y z x w x w y z x w y z y z x w x ++=++++++++-++++++++=11223311223311223311223313241423)()()()=,,z x z x z y w y w y w x w x w x w y z y z y z v v v v v v v v ++++-++++<><∧>-<><∧>=右（3）证明：设112321233123(,,),(,,),(,,),v x x x v y y y v z z z ===，则()()2331121212312323311212312332231133122131231211223312332231133122112312312,,,,,,,,,()()()(ij kx x x x x x v v x x x X X X y y y y y y y y y X x y x y X x y x y X x y x y v v v v v v z X z X z X z x y x y z x y x y z x y x y z x y y z x x y z ⎛⎫∧===⎪⎝⎭⇒=-=-=-⇒=<∧>=++=-+-+-=++3123123123)()z y x x z y y x z -++同理，()()2331123112312323311212312332231133122123123111223312332231133122112312312,,,,,,,,,()()()(ij kz z z z z z v v z z z Y Y Y x x x x x x x x x Y z x z x Y z x z x Y z x z x v v v v v v y Y y Y y Y y z x z x y z x z x y z x z x z x y y z x x y z ⎛⎫∧===⎪⎝⎭⇒=-=-=-⇒=<∧>=++=-+-+-=++()3123123123312)(),,z y x x z y y x z v v v -++=()()2331122312312323311212312332231133122112312311223312332231133122112312312,,,,,,,,,()()()(ij ky y y y y y v v y y y Z Z Z z z z z z z z z z Z y z y z Z y z y z Z y z y z v v v v v v x Z x Z x Z x y z y z x y z y z x y z y z z x y y z x x y z ⎛⎫∧===⎪⎝⎭⇒=-=-=-⇒=<∧>=++=-+-+-=++()3123123123312)(),,z y x x z y y x z v v v -++=所以，()()()123312231,,,,,,v v v v v v v v v ==。