列联表检验
新高考数学复习考点知识讲解11---列联表与独立性检验
新高考数学复习考点知识讲解列联表与独立性检验1、简单随机抽样得到了X 和Y 的抽样数据列联表2、基于小概率值α的检验规则是：当αχx ≥2时，我们就推断0H 不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过α当αχx <2时，我们没有充分证据推断0H 不成立，可以认为X 和Y 独立这种利用2χ的取值推断分类变量X 和Y 是否独立的方法称为2χ独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验3、应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节： （1）提出零假设0H ：X 和Y 相互独立，并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算2χ的值，并与临界值αx 比较 （3）根据检验规则得出推断结论（4）在X 和Y 不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X 和Y 间的影响规律题型一 变量关系例 1 为了判断两个分类变量X 、Y 是否有关系，应用独立性检验的方法算得2K 的观测值为5，则下列说法中正确的是( ) A ．有95%的把握认为“X 和Y 有关系” B ．有95%的把握认为“X 和Y 没有关系” C ．有99%的把握认为“X 和Y 有关系” D ．有99%的把握认为“X 和Y 没有关系” 【答案】A 【分析】利用2K 的观测值与临界值进行比较得解. 【详解】因为2( 3.841)0.050P K =≥，5 3.841>，所以有95%的把握认为“X 和Y 有关系”. 故选：A若由一个22⨯列联表中的数据计算得2 4.013K =，那么有（ ）把握认为两个变量有关系.知识典例巩固练习()20P K k ≥ 0.500.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828A ．95%B ．97.5%C ．99%D ．99.9%【答案】A 【分析】由2 3.841K >可对照临界值表得到结果. 【详解】2 4.013 3.841K =>，∴有()10.05100%95%-⨯=的把握认为两个变量有关系. 故选：A.题型二 列联表例 2 如表是一个2×2列联表：则表中a ，b 的值分别为（ ）y 1 y 2 合计x 1 a21 73x 2 22 25 47合计 b 46 120A ．94，72B ．52，50C ．52，74D ．74，52【答案】C 【分析】根据表中数据简单计算即可. 【详解】a =73-21=52，b =a +22=52+22=74. 故选：C.下面是一个22⨯列联表:1y 2y总计 1x35 a 70 2x15 1530 总计 50b100其中,a b 处填的值分别为_______． 【答案】35，50. 【分析】由列联表易得结果. 【详解】由3570a +=，得35a =，15a b +=，得50b =.巩固练习故答案为：35，50.题型三 独立性检验应用例 3 2016年3月9日至15日，谷歌人工智能系统“阿尔法”迎战围棋冠军李世石，最终结果“阿尔法”以总比分4比1战胜李世石.许多人认为这场比赛是人类智慧的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此在某大学进行了调查，参加调查的共80位学生，调查数据的22⨯列联表如下所示: 持反对意见 赟同 总计男40 女 5总计2580（1）①请将列联表补充完整;②请根据表中数据判断，能否有的99.9%把握认为是否持反对意见与性别有关; （2）若表中持反对意见的5个女学生中，3个是大三学生，2个是大四学生.现从这5个学生中随机选2个学生进行进一步调查，求这2个学生是同一年级的概率.附参考公式及数据:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.40 0.25 0.10 0.010 0.005 0.001 0k7.879 1.3232.7066.6357.87910.828【答案】（1）①列联表见解析，②有99.9%的把握认为是否持反对意见与性别有关；（2）25.【分析】()1①由已知数据得出列联表；②由题可知，计算2K 的观测值013.09110.828k ≈>，可得出结论；()2记3个大三学生分别为，123,,,2A A A 个大四学生分别为12,B B 、运用列举法列出所有事件，由古典概率公式可得答案. 【详解】()1①②由题可知，2K 的观测值2080203552013.09110.828404055(25)k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99.9%的把握认为是否持反对意见与性别有关.()2记3个大三学生分别为，123,,,2A A A 个大四学生分别为12,B B 、则从中抽取2个的基本事件有:1213231213112223212,,,,,,,,,A A A A A A AB A B A B A B A B A B B B ，共10个，其中抽取的2人是同一年级的基本事件有12132312,,,A A A A A A B B 共4个， 则这2个学生是同一年级的概率为42105P ==.这一年来人类与新型冠状病毒的“战争”让人们逐渐明白一个道理，人类社会组织模式的差异只是小事情，病毒在地球上存在了三四十亿年，而人类的文明史不过只有几千年而已，人类无法消灭病毒，只能与之共存，或者病毒自然消亡，在病毒面前，个体自由要服从于集体或者群体生命的价值．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体内或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期，因此我们应该注意做好良好的防护措施和隔离措施．某研究团队统计了某地区10000名患者的相关信息，得到如表表格： 潜伏期（天）(]0,2(]2,4(]4,6(]6,8(]8,10 (]10,12 (]12,14人数6001900300025001600250150（1）新冠肺炎的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与年龄的关系，通过分层抽样从10000名患者中抽取200人进行研究，完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为潜伏期与患者年龄有关？潜伏期8≤天潜伏期8>天总计 60岁以上（含60岁）150 60岁以下 30 总计200（2）依据上述数据，将频率作为概率，且每名患者的潜伏期是否超过8天相互独立．为了深入研究，该团队在这一地区抽取了20名患者，其中潜伏期不超过8天的人数最有巩固练习可能是多少？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++．【答案】（1）表格见解析，能；（2）16名.【分析】（1）由表中数据可知，求得潜伏期大于8天的人数，列出2×2列联表，利用公式求得2K的值，结合附表，即可得到结论；（2）求得该地区10000名患者中潜伏期不超过8天的人数，求得潜伏期不超过8天的概率，进而抽取的20名患者中潜伏期不超过8天的人数．【详解】（1）由表中数据可知，潜伏期大于8天的人数为16002501502004010000++⨯=人，补充完整的2×2列联表如下，所以()2220013*********.66710.8281505016040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为潜伏期与患者年龄有关．（2）该地区10000名患者中潜伏期不超过8天的人数为6001900300025008000+++=名，将频率视为概率，潜伏期不超过8天的概率为80004100005=， 所以抽取的20名患者中潜伏期不超过8天的人数最有可能是420165⨯=名．1、为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得x 2＝7.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为（ ）A ．0.1%B ．1%C ．99%D ．99.9%【答案】C 【分析】由x 2＝7.01>6.635，对照临界值表求解即可.巩固提升【详解】易知x2＝7.01>6.635，对照临界值表知，有99%的把握认为喜欢乡村音乐与性别有关系．故选：C2、某班主任对全班50名学生进行了作业量的评价调查，所得数据如表所示：则认为作业量的大小与学生的性别有关的犯错误的概率不超过（）A．0.01 B．0.05C．0.10 D．无充分证据【答案】B【分析】计算2K，再进行判断.【详解】因为2250(181598)5.059 3.84127232624K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，又()2 3.8410.05P K≥=所以认为作业量的大小与学生的性别有关的犯错误的概率不超过0.05. 故选：B3、（多选）有关独立性检验的四个命题，其中正确的是（）A．两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大B．对分类变量X与Y的随机变量2K的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小C．从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95%的可能患有心脏病D．从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关【答案】ABD【分析】根据独立性检验的原理与知识，对选项中的命题判断正误即可．【详解】选项A，两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，则2K观测值越大，两个变量有关系的可能性越大，所以选项A正确；选项B，根据2K的观测值k越小，原假设“X与Y没关系”成立的可能性越大，则“X与Y有关系”的可信度越小，所以选项B正确；选项C，从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，不表示某人秃顶他有95%的可能患有心脏病，所以选项C不正确；选项D，从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关，是独立性检验的解释，所以选项D正确.故选：ABD.4、为了判断某高中学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (x 2≥3.841)≈0.05，P (x 2≥6.635)≈0.01.根据表中数据，得到x 2＝250(1320107)23272030⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的概率约为________．【答案】0.05 【分析】直接根据表中数据计算的x 2值与P (x 2≥3.841)≈0.05比较判断，即得结果. 【详解】因为x 2≈4.844>3.841，而P (x 2≥3.841)≈0.05，故认为选修文科与性别有关系出错的概率约为0.05. 故答案为：0.05.5、调查者通过询问72名男、女大学生在购买食品时是否看营养说明得到的数据如下表所示:大学生的性别和是否看营养说明之间___(填“有”或“没有”)关系.【答案】有【分析】由表中的数据直接计算卡方，从而可得结论【详解】解：因为22722820168)=8.4167.879 44283636χ⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯（，所以有的把握认为大学生性别与购买食品时是否看营养说明之间有关，故答案为：有6、某高校《统计》课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表: 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到k=2 50(1320-107) 23272030⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝4.844>3.841，所以有_____的把握判定主修统计专业与性别有关系.附：【答案】95%【分析】根据独立性检验的基本思想，因为2K的观测值k＝4.844>3.841，参考临界值表即可得出【详解】根据表格数据得2K的观测值k=250(1320-107)23272030⨯⨯⨯⨯⨯⨯≈4.844 3.841>，所以有95%的把握判定主修统计专业与性别有关系.故答案为:95%．7、某学生对其30名亲属的饮食习惯进行了一次调查，依据统计所得数据可得到如下的22⨯列联表：根据以上列联表中的数据，可得2K 的观测值k =__________，__________（填“有”或“没有”）99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：【答案】10 有 【分析】根据列联表，求得a b c d ,,,的值，利用公式，求得2K 的值，结合附表，即可得到结论. 【详解】由列联表可得20a =，10b =，12c =，4d =，可得2230(8128)10 6.63512182010K ⨯-==>⨯⨯⨯， 所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关． 故答案为：10；有.8、2017年3月27日，一则“清华大学要求从2017级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响．游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱．其实，已有不少高校将游泳列为必修内容．某中学为了解2018届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为35.（1）请将上述列联表补充完整；（2）判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关．附：x2＝2()()()()()n ad bca b c d a c b d-++++【答案】（1）表格见解析；（2）有. 【分析】（1）根据概率补全列联表即可；（2）计算2x，再进行判断即可.【详解】（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为3 5所以喜欢游泳的学生人数为3 100605⨯=.其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：（2）因为22100(40302010)16.6710.82860405050x⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关．9、某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，得出以下22⨯列联表：如果随机抽查该班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是12 25．（1）求a，b，c，d的值．（2）试运用独立性检验的思想方法分析：能否有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系？并说明理由．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：【答案】（1）6a =，19b =，24c =，26d =；（2）有. 【分析】（1）由抽到积极参加班级工作的学生的概率是1225，可求出c 的值，然后根据表中的数据可求出,,a b d 的值；（2）直接利用22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++公式求解，然后根临界值表判断即可【详解】解：（1）积极参加班级工作的学生有c 人，总人数为50， 由抽到积极参加班级工作的学生的概率1125025c P ==， 解得24c =，所以6a =．所以2525619b a =-=-=，50502426d c =-=-=．（2）由列联表知，2250(181967)11.53825252426K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， 由11.53810.828>，可得有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．。
医学统计学列联表检验
解读结果
分析结果
根据计算出的统计量及其他相关信息， 对结果进行分析。
VS
解释结果
解释分析结果，得出结论，并提出建议或 展望。
03
列联表检验的注意事项
数据的完整性
完整性
在进行列联表检验之前，需要确保数据集中的每个变量都有完整的观测值，避免出现缺 失数据或遗漏的情况。
处理缺失数据
如果存在缺失数据，可以采用插补、删除或其它适当的处理方法来处理，但应谨慎处理， 避免引入偏差或误导。
03 检验效能受到数据分布的影响：数据分布情况也 会影响检验效能，例如在极端分布情况下。
06
列联表检验的发展趋势与展 望
大数据时代的挑战与机遇
挑战
随着大数据时代的来临，数据量庞大、 维度高、复杂度增加，传统的列联表 检验方法面临处理能力和分析准确性 的挑战。
机遇
大数据提供了丰富的数据资源，为列 联表检验提供了更广泛的应用场景和 更深入的探索空间，有助于发现更多 隐藏在数据中的关联和规律。
05
列联表检验的局限性
数据来源的局限性
样本量不足
在某些情况下，由于样本量较小，列联表检验可能无 法得出可靠的结论。
数据质量不高
数据可能存在误差、遗漏或异常值，影响检验结果的 准确性。
数据采集方法不科学
数据采集方法可能存在偏差，导致数据不具有代表性 或存在偏倚。
分类变量的主观性
分类界限不明确
某些分类变量的界限可能模糊不清，导致分 类出现偏差。
02
Fisher's exact test
适用于小样本或低频数据，通过 计算概率来评估变量之间的关系。
03
似然比检验
用于比较两个分类变量的关联强 度，通过比较不同模型拟合优度 来评估变量之间的关系。
列联表资料的X2检验
（五）、交叉分类2*2表的关联分析
1、 X2检验 2、列联系数r
（六）、2*2配对资料的关联性分析
1、 X2检验 注意与配对资料的四格表X2 检验（McNemar检验）不一样，是四格表 资料X2检验基本的公式
2、列联系数r
（七总体率（或构成比）
之间有无差别；两种属性的关联性（计
数资料的相关性分析）
• 4、方法：
⑴、专用公式。每一格的T值均＞5且n＞40；
P104，式（7-1）；P105，式（7-4）
⑵、校正公式。有一格的T值＜5且n＞40；
P106，式（7-5）；P106，式（7-6） ⑶、确切概率法。T＜1或n＜40时不计算X2值
（一）列联表资料的X2检验
列联表是按两种属性分类的一种频 数数据表。（表内数据为实际频数） 分类：交叉分类表
多组分类表
• 交叉分类：是以一个总体抽样后，按两种属性搭配 的类确定其个体数目而得。它需检验的是两种属性 是否独立（即计数资料的相关性或关联性）
• 多组分类：从多个总体（可视为属性X）分别抽样 后，按另一类属性Y的类确定其个体数目而得。它 需检验的是各总体按同一属性Y的类的分布概率是 否相同。
1、 X2检验 2、列联系数r
(八) 多个样本率比较的X2分割法
1、用途：当多个样本率比较的行*列表X2检验， 推论结论为拒绝，接受时，只能认为各总体之 间总的来说有差别，需要对每两个总体率之间 有无差别作出判断。其分析方法之一就是X2分 割法。
2、基本思想：
将2*k表（X2）分割成多个独立的四格表（X2） （其原理是X2分布 的可加性），并进行两两比 较。要求必须重新规定检验水准，其目的是为 保证检验假设中的第一类错误α 的概率不变
R语言--列联表检验和相关性检验
P198，使用该函数计算 Pearson拟合优度χ2检验
5.5 列联表检验
例5.26 在一次社会调查中，以问卷方式共调查了901人的月收入及对工作的满意程度，其中有收入A分为：小于 3000元、3000~7500元、7500~12000元及超过12000元4档。对工作的满意程度B分为：很不满意、较不满意、基本 满意和很满意4档。调查表用4x4列联表表示，如表5.10所示。试分析工资收入与对工作的满意度是否有关。
假设检验简介
3. 基本思想：反证法思想
为了检验一个“假设”是否成立，就先假定这个“假设”是成立的， 而看由此会产生的效果。如果导致一个不合理现象出现，就表明原先 的“假设”不成立，就拒绝这个“假设”；如果由此没有导致不合理 现象的发生，则不能拒绝原“假设”。
该方法又区别于纯数学中的反证法。这里所谓的“不合理”，并不是形式逻辑 中的绝对矛盾，而是基于人们实践中广泛采用的一个原则：小概率事件在一次 观察中可以认为基本上不会发生。
原假设/零假设（记为H0）：作为检验的对象的假设。 备择假设（记为H1）：与原假设对立的假设。
参数性假设检验：总体分布已知，通过样本检验 2. 方法
关于未知参数的某个检验。
用t.test()函数作 t 检验 用var.test()函数作 F 检验 用prop.text()函数作二项分布的近似检验
非参数性假设检验：总体分布未知时的检验问题。
H0：ρXY＝0，H0：ρXY≠0
5.6 相关性检验
例5.32 对于20个随机选取的黄麻个体植株，记录青植株重量Y与它们的干植株重量X。设 二元总体（X,Y）服从二维正态分布，其观测数据如表5.17所示。试分析青植株重量与干植 株重量是否有相关性。
列联表与独立性检验 课件
n
n
反之，当这些量的取值较大时，就可以推断 H0 不成立.
显然，分别考虑③中的四个差的绝对值很困难. 我们需要找到一个既 合理又能够计算分布的统计量，来推断 H0 是否成立. 这里，我们将四个 差的绝对值取平方后分别除以相应的期望值再求和，得到如下的统计量：
2
a
(a
b) (a n
c)
2
(a b)(a c)
下表给出了独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值.
α
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
例如，对于小概率值 α 0.05 3.841 时，我们认为 X 和 Y 不独立，该推断犯错误的 概率不超过0.05；
根据小概率事件在一次试验中不大可能发生的规律，上面的想法可以 通过一个与 H0 相矛盾的小概率事件来实现. 在假定 H0 的条件下，对于有 放回简单随机抽样，当样本容量 n 充分大时，统计学家得到了 2 的近似 分布.
忽略 2 的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值 α，可
以找到相应的正实数 xα，使得下面关系成立：
率分别为 33 0.7674 和 10 0.2326 ；乙校学生中数学成绩不优秀和数学
43
43
成绩优秀的频率分别为 38 0.8444 和 7 0.1556 .依据频率稳定于概率
45
45
的原理，我们可以推断，如果从甲校和乙校各随机选取一名学生，那么甲
校学生数学成绩优秀的概率大于乙校学生数学成绩优秀的概率. 因此可以
(2)当 2 x 0.05 3.841 时，我们认为 X 和 Y 独立.
认为两校学生的数学成绩优秀率存在差异.
列联表的独立性检验
拒绝域形式Q2 c.
因为ˆi
ni n
,ˆ j
n j n
.
r
Q2
s
nij
nin j n
2
r
s
2
nnij nin j
i1 j1
nin j
i1 j1
nnin j
如果H0成立，Qn2渐近服从自由度为(r -1（) s -1)
的 2分布.
例1 随机抽取某校男生35名，女生31，进行
体育达标考核，结果如下表 问体育达标水平是
2.5 列联表的独立检验
一、二维r 列s联表
设A, B为两个定性变量，A有r个不同水平(A1,A2 , Ar ),
B有s个不同水平(B1,B2 , Bs ).观测n次, 各水平组合(Ai ,Bj )
出现频数为nij. 列表如下： 二维 r s 列联表
s
令：ni nij j 1
A
B B1,
B2 ,
著的差异.
即有 n11 n21
n1 n2+
如果p1 p2, 表示有属性A的个体中有属性B的比例高
即
n11 n1
n21 n2+
如果p1 p2,表示有属性A的个体中有属性B的比例低
即
n11 n21
n1 n2+
四表格的检验问题, 即属性A和B的独立性检验问题有
(1) H0 : p1=p2, H1 : p1 p2 (2) H0 : p1=p2, H1 : p1 p2 (3) H0 : p1=p2, H1 : p1 p2
X-squared = 0.0057, df = 1, p-value = 0.9397 因此在0.05显著性水平下，接受原假设.
列联表与独立性检验-高考数学复习
目录
高中总复习·数学
5. （2024·南通模拟）已知变量 X ， Y ，由它们的样本数据计算得到
χ2≈4.328，χ2的部分临界值表如下：
α
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
则最大有
95% 的把握说变量 X ， Y 有关系（填百分数）.
工作，会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作，下表为“性别与
会俄语”的2×2列联表，则 a － b ＋ d ＝
性别
28 .
是否会俄语
会俄语
不会俄语
男
a
b
女
6
d
合计
18
合计
20
50
目录
高中总复习·数学
解析：由2×2列联表得 a ＋6＝18，所以 a ＝12，因为 a ＋ b ＝20，所
以 b ＝8，因为6＋ d ＝30，所以 d ＝24，所以 a － b ＋ d ＝12－8＋24
饮用水
是否得病
合计
得病
不得病
干净水
52
466
518
不干净水
94
218
312
合计
146
684
830
目录
高中总复习·数学
（1）这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关？请说明理由；
解：零假设为 H 0：这种传染病与饮用水的卫生程度无关.
2
830×
（
52×218−466×94
）
12 ＝
≈54.21＞10.828＝ x 0.001，
列联表和卡方检验的定义及应用
列联表和卡方检验的定义及应用概述在统计学中，列联表和卡方检验是重要的分析工具。
列联表是用于比较两个或多个变量之间关系的一种表格形式，而卡方检验则是用于检验这些变量之间是否存在显著的关联性。
本文将介绍列联表和卡方检验的定义、原理和应用。
一、列联表1.1 定义列联表是一种展示两个或多个变量之间关系的二元频数表，用于比较不同组别之间的差异。
它通常由两个或多个分类变量和个体数（或频数）组成。
例如，我们可以用一个列联表来比较男女学生在一个考试中的得分情况，或者比较不同疾病在不同年龄段中的发生情况。
1.2 列联表的应用列联表可以用于研究任何两个或多个变量之间的关系。
它可以帮助我们发现隐藏在数据中的模式，并在研究中提供有关变量之间关系的信息。
列联表还可以用于产生一些其他的统计工具，例如卡方检验和残差分析等。
二、卡方检验2.1 定义卡方检验是一种用于分析列联表数据的统计方法。
它基于一个假设：假设两个变量之间不存在显著的关联性。
如果列联表数据显示这种关联性可能存在，则拒绝这个假设，说明两个变量之间存在显著的关联性。
2.2 卡方检验的原理卡方检验的原理很简单。
它比较观测值和期望值之间的差异，其中期望值是假设两个变量之间不存在关系时的期望结果。
卡方值则是这些差异之和的平方除以期望值的总和，其值越大就意味着观测值与期望值之间的差异越大，显著性水平也越高。
2.3 卡方检验的步骤卡方检验可以分为三个主要步骤。
第一，建立研究假设。
我们需要制定研究假设：H0假设两个变量之间不存在关系，H1假设两个变量之间存在关系。
如果我们无法拒绝H0假设，则可以认为数据中不存在两个变量之间的显著关联性。
第二，计算卡方值。
我们需要计算出卡方值。
从列联表中计算每个单元格的观测值和期望值，然后计算出所有单元格观测值和期望值之间的差异。
将这些差异加起来，并用期望值的总和除以卡方值。
如果卡方值越大，则差异越大，两个变量之间的关系也越显著。
通常，我们需要将卡方值与指定的显著性水平进行比较。
4x4列联表卡方检验步骤 概述及解释说明
4x4列联表卡方检验步骤概述及解释说明1. 引言1.1 概述本篇文章旨在介绍和解释4x4列联表卡方检验步骤。
通过对列联表和卡方检验原理的简要概述，我们将详细探讨如何进行4x4列联表卡方检验，并解释各个步骤的含义与目的。
1.2 文章结构本文将按照以下顺序来展开对4x4列联表卡方检验步骤的概述及解释说明：- 引言部分将提供整篇文章的概览，并阐明本文的目的。
- 第2部分将介绍列联表的基本概念，使读者了解什么是列联表及其在数据分析中的应用。
- 接下来，第3部分将对卡方检验原理进行简要介绍，帮助读者理解该统计方法背后的原理及意义。
- 第4部分将详细解释进行4x4列联表卡方检验所需的步骤，包括计算和推导过程。
- 在随后的三个部分（第5部分、第6部分和第7部分），我们将重点介绍该主题下涉及到的三个重要要点，并给出相关子要点以支持我们对这些要点的深入讨论。
- 最后，在结论部分，我们将对前文进行总结，并提供对于4x4列联表卡方检验步骤的应用价值以及未来研究方向的一些观点和建议。
1.3 目的本文的目的是介绍和解释4x4列联表卡方检验步骤。
通过对该统计方法背后的原理、计算过程以及相关要点和子要点的详细阐述，读者将能够全面了解并掌握如何进行4x4列联表卡方检验。
此外，本文还旨在提供给读者一个应用场景下实施该统计方法的指南，并挖掘其在实际数据分析中可能存在的局限性。
希望本文能为读者提供有益而全面的知识，并促进对于该领域的深入研究与讨论。
2. 4x4列联表卡方检验步骤概述及解释说明：2.1 列联表介绍：列联表是一种用于比较两个变量之间关系的交叉分析方法。
它将两个分类变量交叉组合形成一个二维表格，并显示出各个分类变量之间的关系。
在4x4列联表中，有四行和四列，每个单元格表示了两个分类变量之间的交叉频数。
2.2 卡方检验原理简介：卡方检验是一种统计方法，用于确定观察到的频数与期望频数之间是否存在显著差异。
通过比较实际观察到的频数和预期的频数，来判断两个分类变量是否存在相关性。
列联表、卡方检验与对数线性模型
统计软件的选项中有关于分布的选项
高维表的检验统计量和二维表一样也包含了Pearson c2统计量和似然比c2统计量。
两种对数线性模型
用table7.sav数据拟合对数线性模型 假定（多项分布）对数线性模型为 这里ai为收入（i=1,2,3代表收入的低、中、高三个水平），bj为观点（j=1,2代表不赞成和赞成两个水平），gk为性别（k=1,2代表女性和男性两个水平）, mijk代表三维列联表对于三个变量的第ijk水平组合的出现次数。 而从相应的参数估计输出结果，可以得到对ai的三个值的估计为0.5173, 0.2549,0.0000,对bj的两个值的估计为-0.6931,0.0000,对gk的两个值的估计为 0.1139,0.0000。(多项对数线性模型常数无意义，输出的常数项仅仅是数学意义)
而每种组合的数目(也就是列联表中的频数)在number那一列上面，这就是每种组合的权重(weight),需要把这个数目考虑进去,称为加权(weight).如果不加权，最后结果按照所有组合只出现一次来算(也就是说，按照列联表每一格的频数为1).由于在后面的选项中没有加权的机会,因此在一开始就要加权.方法是点击图标中的小天平(“权”就是天平的意思),出现对话框之后点击Weight cases，然后把“number”选入即可。
（多项分布）对数线性模型
注意，无论你对模型假定了多少种效应，并不见得都有意义；有些可能是多余的。本来没有交叉影响，但如果写入，也没有关系，在分析过程中一般可以知道哪些影响是显著的，而那些是不显著的。
STEP4
STEP3
STEP2
STEP1
前面介绍的多项分布对数线性模型假定所有的可能格子里面的频数满足多项分布。
r乘c列联表卡方检验注意事项
r乘c列联表卡方检验注意事项
r乘c列联表卡方检验是一种常用的统计分析方法，用于研究两个分类变量之间的关系。
下面是该方法的注意事项：
1. 样本量的要求：在进行r乘c列联表卡方检验之前，需要确定样本量是否足够。
通常来说，每个分类变量的最小期望频数应该大于5，否则可能会影响卡方检验的可靠性。
2. 卡方检验的假设：在进行r乘c列联表卡方检验时，需要建立两个假设，即零假设和备择假设。
零假设是指两个分类变量之间不存在任何关系，备择假设则是指两个分类变量之间存在关系。
3. 卡方统计量的计算：在进行r乘c列联表卡方检验时，需要先计算卡方统计量。
卡方统计量的计算需要使用实际频数和期望频数，通过求和计算得到。
4. 卡方检验的结果解释：在进行r乘c列联表卡方检验后，需要对结果进行解释。
如果卡方值小于临界值，则可以接受零假设，即认为两个分类变量之间不存在显著关系。
如果卡方值大于临界值，则需要拒绝零假设，并认为两个分类变量之间存在显著关系。
5. 置信度和显著性水平的设置：在进行r乘c列联表卡方检验时，需要设置置
信度和显著性水平。
置信度表示对结果的信任程度，通常设置为95%或99%。
显著性水平表示拒绝零假设的临界值，通常设置为0.05或0.01。
总之，进行r乘c列联表卡方检验需要注意样本量的要求，建立假设，计算卡方统计量，解释结果以及设置置信度和显著性水平。
只有在正确使用该方法的前提下，才能得到准确可靠的结果。
卡方检验与列联表
适合性检验
1. 零假设与备择假设 H0：实际观察次数之比符合9:3:3:1的理论比例。 HA：实际观察次数之比不符合9:3:3:1的理论比例。
2. 选择计算公式 由于本例的属性类别分类数 k=4， 自由 度df = k-1 = 4-1 = 3 > 1，故利用(1)式计算X2。
生物统计学 第10讲 卡方检验与列联表
2012.10
生物统计学·卡方检验与列联表
内容
卡方检验(Chi Squared Test, 2 Test) •2检验基本概念
• 适合性检验 • 独立性检验
- 列联表 (Contingency Table) - 2×2列联表 - R×C列联表
*总体 2检验 * 两两比较 2检验
n 1 S2
2
n 1 S 2
2
~
2 n 1
生物统计学·卡方检验与列联表
2分布
随自由度的增大， 曲线由偏斜渐趋于对称。df≥30
时， 2分布近似正态分布
生物统计学·卡方检验与列联表
2检验基本概念
计数资料2 检验的基本思想： 首先假设观察频数(O)与期望频数(E)没有差别，而X2 值表 示观察值与理论值的偏差程度。当n较大时，X2 统计量近似服 从n-1个自由度的2 分布。
多个因子属性类别数的不同而构成R×C列联表. 而适合性检验 只按某一因子的属性类别将如性别、表现型等次数资料归组。 2. 适合性检验按已知的属性分类理论或学说计算理论次数。独立 性检验在计算理论次数时没有现成的理论或学说可资利用，理 论次数是在两因子相互独立的假设下进行计算。 3. 在适合性检验中确定自由度时，只有一个约束条件：各理论次 数之和等于各实际次数之和，自由度为属性类别数减1; 独立性 检验的自由度为(R-1)(C-1)
列联表的独立性检验作业
本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。
探究
列联表
为了调查吸烟是否对肺癌有影响， 为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机 地调查了9965 9965人 得到如下结果（单位： 地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）
吸烟与肺癌列联表 不患肺癌 不吸烟 吸烟 总计 7775 2099 9874 患肺癌 42 49 91 总计 7817 2148 9965
合计
27
40
57
联合概率分布（图示） 联合概率分布（图示）
概率
老年 戏曲 歌舞 球赛 中年
y边缘分布
青年
合计 32/124 60/124 32/124 1
20/124 5/124 2/124
10/124 20/124 10/124
2/124 35/124 20/124
合计
27/124
40/124
57/124
合计
27
40
57
第二节 列联表的检验 χ2 检验
假设检验的步骤 提出原假设和备择假设 确定适当的检验统计量 规定显著性水平α 规定显著性水平α，查表得出拒绝域和临界值 计算检验统计量的值 作出统计判断： 作出统计判断： 水平的临界值进行比较， 将检验统计量的值与α 水平的临界值进行比较， 得出接受或拒绝原假设的结论： 得出接受或拒绝原假设的结论：若样本统计 量的值落入拒绝域，则拒绝原假设， 量的值落入拒绝域，则拒绝原假设，接受备 择假设；否则，接受H 择假设；否则，接受H0
1. 2.
3. 4.
5.
行变量的类别用 r 表示， ri 表示第 i 个类别 表示， 列变量的类别用 c 表示， cj 表示第 j 个类 表示， 别 每种组合的观察频次用 fij 表示 表中列出了行变量和列变量的所有可能的 组合， 组合，所以称为列联表 一个 r 行 c 列的列联表称为 r × c 列联表
列联表与独立性检验
题型二 用等高堆积条形图分析两变量间的关系 [学透用活]
在等高堆积条形图中展示列联表数据的频率特征，比较图中两个深色条的 高可以发现两者频率不一样而得出结论，这种直观判断的不足之处在于不能给 出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率．
[典例2] 为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组 和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下：
[微思考] 有人说：“根据小概率值α＝0.01的独立性检验认为吸烟和患肺癌有 关”，是指“每100个吸烟者中就会有1个患肺癌．”你认为这种观点正确吗？ 为什么？
提示：观点不正确．“根据小概率值α＝0.01”说明的是吸烟与患肺癌有关程度 的概率值，不是患肺癌的百分数．
(二)基本知能小试
1．判断正误
[对点练清]
假设有两个分类变量 X 与 Y，它们的可能取值分别为 X＝0， 1
和 Y＝01， ，
其
2×2 列联表为：
X
X＝0 X＝1 合计
Y
Y＝0 Y＝1
10 18
m
26
10＋m 44
合计
28 m＋26 m＋54
则当m取下面何值时，X与Y之间没有影响
A．8
B．9
C．14
D．19
()
解析：若 X 与 Y 之间没有影响，则有1288＝262＋6 m，解得 m≈14.4，所以当 m＝14 时，X 与 Y 之间没有影响即 X 与 Y 的关系最弱． 答案：C
a
21
73
女生(X＝1)
8
25
33
合计
b
则表中a，b处的值分别为________．
46
106
解析：∵a＋21＝73，∴a＝52.b＝a＋8＝52＋8＝60.
人教版高二下数学选择性必修第三册-8.3 列联表与独立性检验(第1课时)【课件】
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
2×2 列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数．
要点 3 独立性检验
(1)定义：利用随机变量 χ2 的取值推断___两__个_分__类_变__量_是__否_独__立_____的方法称为
独立性检验．
n（ad－bc）2
(2)χ2＝____（_a_＋__b_）_（__c_＋_d_）__（__a＋__c_）__（_b_＋__d_）___，其中 n＝a＋b＋c＋d.
有关系．
【解析】 等高堆积条形图如图所ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
由图可以直观地看出铅中毒病人组与对照组相比，尿棕色素为阳性的频率差 异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系．
(2)为了了解某高校学生喜欢使用手机支付是否与 性别有关，随机抽取了部分学生，统计后作出如图所示 的等高堆积条形图，则下列说法正确的是( D )
思考题 2 下面是 2×2 列联表：
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
22
25
47
总计
b
46
120
则表中 a，b 的值分别为( C )
1．两个分类变量之间关联关系的定性分析的方法 (1)频率分析法：通过对样本的每个分类变量的不同类别事件发生的频率大小 进行比较来分析分类变量之间是否有关联关系．如可以通过列联表中a＋a b与c＋c d 值的大小粗略地判断分类变量之间有无关系．一般其值相差越大，分类变量有关 系的可能性越大．
(2)图形分析法：与表格相比，图形能更直观地反映出两个分类变量间是否互 相影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征．
思考题 1 (1)观察下列等高堆积条形图，其中最有把握认为两个分类变量 X，Y 之间有关系的是( D )
列联表独立性检验
例4：为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关， 进行了相应的抽样调查，调查的结果列在表中，根据所选择的193个病人的数据， 能否作出药的效果和给药方式有关的结论？
口服 注射 合计
有效 58 64 122
无效 40 31 71
合计 98 95 193
P(k≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
99%把握认为A与B有关
10%把握认为A与B无关
90%把握认为A与B有关
没有充分的依据显示A与B有关，但也不能显示A与B无关
课题：选修2-3 8.4独立性检验
6、独立性检验的步骤
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
第一步：H0： 吸烟和患病之间没有关系
第二步：列出2×2列联表
吸烟 不吸烟
总计
患病 a c
(1)根据实际问题需要的可信程度确定临界值 ；
k0
K (2)利用公式(1)，由观测数据计算得到随机变量 的观测值； 2
(3)如果
，就以
的把握认为“X与Y有关系”；否则就
说样本观测k数据没k0有提供“X(与1Y有P关(系K”2 的充k分0 )证) 据1。00%
在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：
课题：选修2-3 8.4独立性检验
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
8.4 列联表独立性分析案例
课题：选修2-3 8.4独立性检验
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
问题: 数学家庞加莱每天都从一家面包店
医学统计学列联表检验
多重比例的检验
定义
多重比例的检验通常用于比较三 个或三个以上互不重叠个体或组 群中两个或两个以上互不重叠事 件之间的比例是否存在显著差异。
应用
多重比例的检验被广泛应用于医 疗、环保、市场调查中等领域。
示例
例如，通过多重比例检验，可以 比较不同地理位置、不同职业群 体中患某种疾病的人数是否存在 显著差异。
定义
多重风险的检验通常用于比较 不止两组不同样本在各种因素 下发生某种风险的概率的差异。
应用
多重风险的检验可用于研究多 种风险因素对某种疾病或其他 指标的影响。
示例
例如，通过多重风险的检验， 可以研究不同地区、不同人口 群体的城市病人发生率，从而 探究多种典型风险因素的影响。
结语：列联表检验的应用前景
3
示例
例如，通过单个比例检验，可以比较某种 新抗生素与传统抗生素在治疗某种疾病上 的疗效是否存在显著差异。
双重比例的检验
1 定义
双重比例的检验通常用于比较两组任何性质均不同的个体中两个互不重叠的事件之间的 比例是否存在显著差异。
2 应用
双重比例的检验广泛应用于临床试验、药物研发、疾病预防等领域。
3 示例
应用
2
特定风险发生概率的差异，以确定两组的 风险是否存在显著的差异。
双重风险的检验有着广泛的应用场景，例
如评估特定药物的风险和效果、调查两种
环境因素在特定疾病发生中的作用等。
3
示例
例如，通过双重风险的检验，可以比较吸 烟和高血压对心脏病的风险影响，帮助制 定更有针对性的健康宣传计划。
多重风险的检验
单个风险的检验
列联表检验
否
是
13
43
22.1
33.9
9.7%
21.0%
121
162
111.9
171.1
90.3%
79.0%
134
205
134.0
205.0
100.0% 100.0%
Total 56
56.0 16.5%
283 283.0 83.5%
339 339.0 100.0%
不吸烟者的患癌率 9.7%
吸烟者的患癌率 21.0%
组别
有效 Valu无e效
PCeo甲anrt法sionnuiCthyi-C1So4qrura aercet76i..o46n67194b
Li乙ke法lihood R7atio 7.9235
df 合计As(2ym-psi.dSedi
115
.00
1
.01
110
.00
FNi合sohf计erV'asliEdxaC2ca1tseTsest 3349
R×C列联表：分类频数排成R行C列的列联表。
2×2表：二行二列的列联表，又称四格表 。
列联表分析：使用列联表进行分类资料的检验。
※双向无序
单向有序
列联表
双向有序且属性不同
双向有序且属性相同
1.双向无序表独立性检验
双向无序列联表：两个分类变量分类标志无数值大小 与先后顺序之分。
疗法
不加牛黄 加牛黄 合计
25
N＝25<40ab，..C0Foismchpeeulrtl'sesEdx(0tl%Ty)esfht oa: rvFeiashee2xrxp's2e确ctt切aebd概l率eco法unt l
25列联表的独立性检验
检验统计量
nij
r s
n ij n i j .
H0成立
2 （观测频数 理论频数） Q2 理论频数 i2 1 j 1 r s （n -n ） 2 ij i j 称为Pearson 统计量 n i j i 1 j 1
Fisher精确检验的统计量
假设边缘频数 n1，n2，n1，n2 都固定
Nij是第i行j列格子的频数统计量 Nij 服从超几何分布
P ( N ij =nij )
C C C
n11 n1
ni n
ni 1 n1
ni 2 n2
n1 !n2 !n1 !n2 ! n !n11 !n12 !n21 !n22 ! n1 !n2 !n1 !n2 ! n !n11 !n12 !n21 !n22 !
高收入
25 16
关于A,B的边缘表.
低收入 赞成 不赞成 20 5
中等收 入 10 8
高收入 15 10
关于B,C的边缘表.
部分表是固定一个变量在其不同一水平上的二维列联表.
边缘表是忽略一个变量形成另外两个变量的二维列联表.
四各种独立性及关系 .
（1）A,B, C相互独立.
A, B, C相互独立 ijk i j k , i 1, 2 r , j 1, 2, s, k 1, 2, t.
2
达
标 未15 13 28
35 31 66
H 0： 体育达标水平与性别无关 H1： 体育达标水平与性别有关
（1）建立假设
2
(2)计算 Q 值，理论频数 n i j =
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：列联表与独立性检验
§9.4列联表与独立性检验考试要求 1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解独立性检验及其应用．知识梳理列联表与独立性检验(1)2×2列联表：如果随机事件A与B的样本数据如下表格形式：A A总计B a b a＋bB c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d在这个表格中，核心的数据是中间的4个格子，所以这样的表格通常称为2×2列联表．(2)在2×2列联表中，定义随机变量χ2＝n(ad－bc)2，任意给定α(称为显著性水平)，可以找到满足条件P(χ2≥k)＝α(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)的数k(称为显著性水平α对应的分位数)，①若χ2≥k成立，就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称A与B有关)，或说有1－α的把握认为A与B有关；②若χ2<k成立，就称不能得到前述结论．这一过程通常称为独立性检验．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数．(√)(2)事件A和B的独立性检验无关，即两个事件互不影响．(×)(3)χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量．(√)(4)在2×2列联表中，若|ad－bc|越小，则说明两个分类变量之间关系越强．(×)教材改编题1．某机构为调查网游爱好者是否有性别差异，通过调研数据统计：在500名男生中有200名爱玩网游，在400名女生中有50名爱玩网游．若要确定网游爱好是否与性别有关时，用下列最适合的统计方法是()A．均值B．方差C．独立性检验D．回归分析答案C解析由题意可知，“爱玩网游”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断．2．如表是2×2列联表，则表中a，b的值分别为()y1y2总计x1a835x2113445总计b4280A.27,38B．28,38C．27,37D．28,37答案A解析a＝35－8＝27，b＝a＋11＝27＋11＝38.3．已知P(χ2≥6.635)＝0.01，P(χ2≥10.828)＝0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，在犯错误的概率不超过________的前提下，可以认为喜欢该项体育运动与性别有关．答案0.01解析因为6.635<7.235<10.828，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为喜欢该项体育运动与性别有关.题型一列联表与χ2的计算例1(1)为了解某大学的学生是否喜欢体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表：男女总计喜欢a b73不喜欢c25总计74则a－b－c等于()A．7B．8C．9D．10答案C解析根据题意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，补充完整2×2列联表为：男女总计喜欢522173不喜欢222547总计7446120∴a－b－c＝52－21－22＝9.(2)为加强素质教育，使学生各方面全面发展，某学校对学生文化课与体育课的成绩进行了调查统计，结果如表：体育课不及格体育课及格总计文化课及格57221278文化课不及格164359总计73264337在对体育课成绩与文化课成绩进行独立性检验时，根据以上数据可得到χ2的值为() A．1.255B．38.214C．0.0037D．2.058答案A解析χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝337×(57×43－16×221)2278×59×73×264≈1.255.思维升华2×2列联表是4行4列，计算时要准确无误，关键是对涉及的变量分清类别．跟踪训练1某次国际会议为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作，在如表“性别与会外语”的2×2列联表中，a＋b＋d＝________.会外语不会外语总计男a b20女6d总计1850答案44解析由题意得a＋b＋d＋6＝50，所以a＋b＋d＝50－6＝44.题型二列联表与独立性检验例2(2022·全国甲卷改编)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，α＝P(χ2≥k)0.1000.0500.010k 2.706 3.841 6.635解(1)由题表可得A公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为240240＋20＝1213，B公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为210210＋30＝7 8.(2)x2＝500×(240×30－20×210)2(240＋20)×(210＋30)×(240＋210)×(20＋30)≈3.205，所以有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．思维升华独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据制成2×2列联表．(2)根据公式χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)计算．(3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断．跟踪训练2为了减少自身消费的碳排放，“绿色消费”等绿色生活方式渐成风尚．为获得不同年龄段的人对“绿色消费”意义的认知情况，某地研究机构将“90后与00后”作为A 组，将“70后与80后”作为B组，并从A，B两组中各随机选取了100人进行问卷调查，整理数据后获得如下列联表：单位：人年龄段认知情况总计知晓不知晓A组(90后与00后)7525100B组(70后与80后)4555100总计12080200(1)若从样本内知晓“绿色消费”意义的120人中用分层抽样方法随机抽取16人，问应在A 组、B组中各抽取多少人？(2)是否有99.9%的把握认为对“绿色消费”意义的认知情况与年龄有关？附：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，n＝a＋b＋c＋d.α＝P(χ2≥k)0.10.050.010.0050.001 k 2.706 3.841 6.6357.87910.828解(1)由题意知，在A组中抽取的人数为16×75120＝10.在B组中抽取的人数为16×45 120＝6.(2)由题意，得χ2＝200×(75×55－25×45)2120×80×100×100＝18.75，故有99.9%的把握认为对“绿色消费”意义的认知情况与年龄有关．题型三独立性检验的综合应用例3体育运动是强身健体的重要途径，《中国儿童青少年体育健康促进行动方案(2020－2030)》(下面简称“体育健康促进行动方案”)中明确提出青少年学生每天在校内参与不少于60分钟的中高强度身体活动的要求．随着“体育健康促进行动方案”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善．某中学教师为了了解体育运动对学生的数学成绩的影响情况，现从该中学高三年级的一次月考中随机抽取1000名学生，调查他们平均每天的体育运动情况以及本次月考的数学成绩情况，得到如表数据：数学成绩(分)[30，50)[50，70)[70，90)[90，110)[110，130)[130，150]人数(人)2512535030015050运动达标的人数(人)104514520010743约定：平均每天进行体育运动的时间不少于60分钟的为“运动达标”，数学成绩排在年级前50%以内(含50%)的为“数学成绩达标”．(1)求该中学高三年级本次月考数学成绩的65%分位数；(2)请估计该中学高三年级本次月考数学成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)请根据已知数据完成下列列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“数学成绩达标”与“运动达标”有关．数学成绩达标人数数学成绩不达标人数总计运动达标人数运动不达标人数总计附：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(n ＝a ＋b ＋c ＋d )．α＝P (χ2≥k )0.0100.0050.001k6.6357.87910.828解(1)每组的频率依次为0.025,0.125,0.350,0.300,0.150,0.050，∵0.025＋0.125＋0.350＝0.500<0.65,0.025＋0.125＋0.350＋0.300＝0.800>0.65，且0.500＋0.8002＝0.65，高三年级本次月考数学成绩的65%分位数位于[90,110)内，且为[90,110)的中点100，该中学高三年级本次月考数学成绩的65%分位数为100.(2)该中学高三年级本次月考数学成绩的平均分x ＝0.025×40＋0.125×60＋0.350×80＋0.300×100＋0.150×120＋0.050×140＝91.50，估计该中学高三年级本次月考数学成绩的平均分为91.50分．(3)列联表如表所示：数学成绩达标人数数学成绩不达标人数总计运动达标人数350200550运动不达标人数150300450总计5005001000χ2＝1000×(350×300－200×150)2550×450×500×500＝100011≈90.9，∴有99.9%的把握认为“数学成绩达标”与“运动达标”有关．思维升华独立性检验的考查，往往与概率和抽样统计图等一起考查，这类问题的求解往往按各小题及提问的顺序，一步步进行下去，是比较容易解答的，考查单纯的独立性检验往往用小题的形式，而且χ2的公式一般会在原题中给出．跟踪训练3某网红奶茶品牌公司计划在W 市某区开设加盟分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记x 表示在5个区域开设分店的个数，y 表示这x 个分店的年收入之和．x (个)23456y (十万元)2.5344.56(1)该公司经过初步判断，可用回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的回归直线方程；(2)如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该品牌奶茶，第二分店每天的顾客平均为80人，其中20人会购买该品牌奶茶．是否有90%的把握认为两个店的顾客下单率有差异．参考公式：b ^＝错误!，a ^＝y －b ^x ；χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解(1)由题意可得，x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝2.5＋3＋4＋4.5＋65＝4，错误!i y i ＝2×2.5＋3×3＋4×4＋5×4.5＋6×6＝88.5，错误!2i ＝22＋32＋42＋52＋62＝90，设y 关于x 的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝错误!＝88.5－5×4×490－5×42＝0.85，a ^＝y －b ^x ＝4－0.85×4＝0.6，∴y 关于x 的回归直线方程为y ^＝0.85x ＋0.6.(2)由题意可知2×2列联表如表所示：不下单下单总计分店一25530分店二602080总计8525110∴χ2＝110×(25×20－5×60)230×80×85×25＝4451≈0.863，∴没有90%的把握认为两个店的顾客下单率有差异．课时精练1．下列关于独立性检验的说法正确的是()A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验B．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系C．利用χ2独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，则我们可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病D．对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大答案D解析对于A，独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，并非检验二者是否是线性相关，故错误；对于B，独立性检验并不能100%确定两个变量相关，故错误；对于C,99%是指“抽烟”和“患肺病”存在关联的可能性，并非抽烟人中患肺病的发病率，故错误；对于D，根据卡方计算的定义可知该选项正确．2．某村庄对该村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：每年体检每年未体检总计老年人a7c年轻人6b d总计e f50已知抽取的老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是()A．a＝18B．b＝19C．c＋d＝50D．e－f＝2答案D解析由题意得，a＋7＝c＝25,6＋b＝d＝25，a＋6＝e,7＋b＝f，e＋f＝50，所以a＝18，b＝19，c＋d＝50，e＝24，f＝26，则e－f＝－2.3．为了考察某种中成药预防流感的效果，抽样调查40人，得到如下数据：药物流感患流感未患流感服用218未服用812下表是χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：α＝P(χ2≥k)0.10.050.010.005k 2.706 3.841 6.6357.879根据表中数据，计算χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，若由此认为“该药物预防流感有效果”，则该结论出错的概率不超过()A．0.05B．0.1C．0.01D．0.005答案A解析由题意知，χ2＝40×(2×12－8×18)210×30×20×20＝4.8>3.841，由临界值表可知，认为“该药物预防流感有效果”，则该结论出错的概率不超过0.05. 4．(多选)(2022·郑州模拟)为考察一种新型药物预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的2×2列联表中，由列联表中的数据计算得χ2≈9.616.参照附表，下列结论正确的是()附表：α＝P(χ2≥k)0.10.050.010.0050.001k 2.706 3.841 6.6357.87910.828A.有99.9%的把握认为“药物有效”B．没有99.9%的把握认为“药物有效”C．有99.5%的把握认为“药物有效”D．没有99.5%的把握认为“药物有效”答案BC解析因为χ2≈9.616，所以7.879<χ2<10.828，所以没有99.9%的把握认为“药物有效”，有99.5%的把握认为“药物有效”．5．(多选)(2023·南通模拟)根据分类变量x与y的观察数据，计算得到χ2＝2.974，依据表中给出的临界值，作出下列判断，正确的是()α＝P(χ2≥k)0.10.050.010.0050.001k 2.706 3.841 6.6357.87910.828A.有95%的把握认为变量x与y相互独立B．没有95%的把握认为变量x与y相互独立C．变量x与y相互独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1D．变量x与y不相互独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1答案AD解析因为χ2＝2.974>2.706，所以变量x与y不相互独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1. 6．为考查某种营养品对儿童身高增长的影响，选取部分儿童进行试验，根据100个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表，由表可知下列说法正确的是()营养品身高总计有明显增长无明显增长食用a1050未食用b3050总计6040100参考公式：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.参考数据：α＝P(χ2≥k)0.10.050.010.0050.001k 2.706 3.841 6.6357.87910.828A.a＝b＝30B．χ2≈12.667C．从样本中随机抽取1名儿童，抽到食用该营养品且身高有明显增长的儿童的概率是35 D．有99.9%的把握认为该营养品对儿童身高增长有影响答案D解析由题可知a＝50－10＝40，b＝50－30＝20，所以A错误；χ2＝100×(40×30－10×20)250×50×60×40≈16.667，所以有99.9%的把握认为该营养品对儿童身高增长有影响，所以B错误，D正确；从样本中随机抽取1名儿童，抽到食用该营养品且身高有明显增长的儿童的概率是40100＝25，所以C错误．7．如表是对于“喜欢运动”与性别是否有关的2×2列联表，依据表中的数据，得到χ2≈________(结果保留到小数点后3位)．喜欢运动不喜欢运动总计男402868女51217总计454085答案 4.722解析χ2＝85×(40×12－28×5)245×40×68×17≈4.722.8．一项研究同年龄段的男、女生的注意力差别的脑功能实验，其实验数据如表所示：注意力稳定注意力不稳定男生297女生335则χ2＝________(精确到小数点后三位)，________(填“有”或“没有”)95%的把握认为该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别有显著差异．答案0.538没有解析由表中数据可知a ＝29，b ＝7，c ＝33，d ＝5，n ＝a ＋b ＋c ＋d ＝74，根据χ2＝n (ad －bc )2(a ＋c )(c ＋d )(b ＋d )(a ＋b )，计算可知χ2＝74×(145－231)2(29＋33)×(33＋5)×(7＋5)×(29＋7)≈0.538，所以没有95%的把握认为该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别有显著差异．9．(2021·全国甲卷改编)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品总计甲机床15050200乙机床12080200总计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .α＝P (χ2≥k )0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解(1)根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是150200＝0.75，乙机床生产的产品中一级品的频率是120200＝0.6.(2)根据题表中的数据可得χ2＝400×(150×80－120×50)2200×200×270×130＝40039≈10.256.因为10.256>6.635，所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．10．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，A ，B 在实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．(1)求图中a 的值，并求综合评分的中位数；(2)填写下面的2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关，请说明理由．优质花苗非优质花苗总计甲培育法20乙培育法10总计附：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .α＝P (χ2≥k )0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828解(1)由直方图的性质可知，0.005×10＋0.010×10＋0.025×10＋10a ＋0.020×10＝1，解得a ＝0.040，因为(0.02＋0.04)×10＝0.6>0.5，所以中位数位于[80,90)内，设中位数为x ，则有0.020×10＋0.040×(90－x )＝0.5，解得x ＝82.5.故综合评分的中位数为82.5.(2)由(1)得优质花苗的频率为0.6，所以样本中优质花苗的数量为60，得如下列联表：优质花苗非优质花苗总计甲培育法203050乙培育法401050总计6040100χ2＝100×(20×10－30×40)260×40×50×50≈16.667，所以有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关．11．某中学调查了高一年级学生的选科倾向，随机抽取300人，其中选考物理的有220人，选考历史的有80人，统计各选科人数如表，则下列说法正确的是()选择科目选考类别思想政治地理化学生物物理类80100145115历史类50453035α＝P(χ2≥k)0.100.050.0250.0100.0050.001k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828A.物理类的学生中选择政治的比例比历史类的学生中选择政治的比例高B．物理类的学生中选择地理的比例比历史类的学生中选择地理的比例高C．没有90%的把握认为选择生物与选考类别有关D．有90%的把握认为选择生物与选考类别有关答案C解析对于A，物理类的学生中选择政治的比例为80220＝411，历史类的学生中选择政治的比例为5080＝58，因为411<58，故选项A不正确；对于B，物理类的学生中选择地理的比例为100220＝511，历史类的学生中选择地理的比例为4580＝916，因为511<916，故选项B 不正确；对于C 和D ，根据已知数据可得2×2列联表如表：选生物不选生物总计物理类115105220历史类354580总计150150300所以χ2＝300×(115×45－105×35)2150×150×80×220＝7544≈1.705<2.706，没有90%的把握认为选择生物与选考类别有关，故选项C 正确，选项D 不正确．12．(多选)有两个分类变量X ，Y ，其列联表如表所示．X Y 总计Y 1Y 2X 1a 20－a 20X 215－a 30＋a 45总计155065其中a ,15－a 均为大于5的整数，若有95%的把握认为X 与Y 有关，则a 的可能取值为()A ．6B ．7C ．8D ．9答案CD解析根据a >5且15－a >5，a ∈Z ，知a 可取6,7,8,9.由表中数据及题意，得χ2＝65×[a (30＋a )－(15－a )(20－a )]220×45×15×50＝13×(13a －60)220×45×3×2≥3.841，结合选项，知a 的可能取值为8,9.13．(多选)在一次恶劣天气的飞行航程中，调查男、女乘客在飞机上晕机的情况，得到如下列联表：(单位：人)，则()性别晕机总计晕机者未晕机者男a 15c 女6b d 总计e2846A.a c <6d B ．χ2<2.706C ．有90%的把握认为在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别有关D ．没有90%的把握认为在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别有关答案BD解析由题中列联表数据，知＋6＝e ，＋b ＝28，＋15＝c ，＋b ＝d ，＋28＝46，＋d ＝46，＝12，＝13，＝18，＝27，＝19.所以得到如下列联表：性别晕机总计晕机者未晕机者男121527女61319总计182846所以a c ＝1227＝49>619＝6d，即A 错误；由列联表中的数据，得χ2＝46×(12×13－6×15)218×28×19×27≈0.775，没有90%的把握认为在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别有关，所以B ，D 正确，C 错误．14．为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：药物疾病总计未患病患病服用a 50－a 50未服用80－aa －3050总计8020100若在本次考察中得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效”的结论，则a 的最小值为________．(其中a ≥40且a ∈N ＋)(参考数据：6.635≈2.58，10.828≈3.29)附：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .α＝P (χ2≥k )0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828答案46解析由题意可得χ2＝100[a (a －30)－(50－a )(80－a )]250×50×80×20≥6.635，整理得(100a －4000)2≥502×42×6.635，所以100a －4000≥200× 6.635≈200×2.58＝516或100a －4000≤－200× 6.635≈－200×2.58＝－516，解得a ≥45.16或a ≤34.84，又因为a ≥40且a ∈N ＋，所以a ≥46，所以a 的最小值为46.。
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不吸烟者的患癌率 9.7% 吸烟者的患癌率 21.0%
健康
Total
分析：给出了2×2列联表，其中表中给出了实际观测值和理论值。
C h i -S q u a r e Te s t s Value 7.469b 6.674 7.925 df Asymp. Sig. (2-sided) .006 .010 .005 Exact Sig. (2-sided) Exact Sig. (1-sided)
结果输出和讨论：
C a s e P r o c e s s in g S u m m ar y Valid N Percent 339 100.0% Cases Missing N Percent 0 .0% Total N Percent 339 100.0%
结果 * 吸烟情况
分析：处理记录缺失值情况报告，可见所有数据均是有效值。
或删去理论频数太小的行,列。
最小理论频数=最小行合计频数﹒最小列合计频数/总频数 3.多个总体率比较的卡方检验，若结论为拒绝原假设， 只能认为总体率之间不全等，不能说明任意两个总体率 有无差别，需做多重比较。
例：
判断患鼻咽癌与血型有无关系
分类
患癌者 健康人 合计
A型血
64 125 189
B型血
86 138 224
N (| O11O22 O12 O21 | 0.5 N ) 2 O1O2O1O2
df＝1
(3) N<40或理论频数小于1,不能使用卡方检验,应使用Fisher精确 检验, 称为四格表确切概率法。
列联表的原假设是两个变量X和Y相互独立，计算卡方统 计量，当此统计量很大时否定原假设。
疗法
（3）列联表分析
菜单 “Analyze”|“Descriptive Statistics”|“Crosstabs ”命令
将“结果[result]” 点入“Row(s)” 框，将“吸烟情 况[smoke]”点 入“Cloumn(s)” 框。
点击“Statistics” 钮。
【Statistics钮】 用于定义所需计 算的统计量。
R ,C
2 Oij
2102 262 2 1 1.921 0.05 (3) 7.815 499 340 499 46
df＝(2－1)(4－1)＝3，单侧概率P>0.05，
不能以α＝0.05水准的单侧检验拒绝H0，
总体率的差异无统计意义,不能认为患鼻咽癌与血型不独立。
Nominal by Nominal Contingency Coefficient N of Valid Cases a. Not assuming the null hypothesis. b. Using the asymptotic standard error assuming the null hypothesis.
C h i -S q u a r e Te s t s Value 7.469b 6.674 7.925 df Asymp. Sig. (2-sided) .006 .010 .005 Exact Sig. (2-sided) Exact Sig. (1-sided)
Pearson Chi-Square 1 Continuity Correctiona 1 Likelihood Ratio 1 Fisher's Exact Test .007 .004 N of Valid Cases 339 a. Computed only for a 2x2 table b. 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 22.14.
2 2 若 (df ) 拒绝 H 0
注意：上述 检验适用于双向无序的 表(df≠1) 分组标志无数量大小和先后顺序之分。 分析的目的是考察两个属性之间是否独立。
疗效 好转 显效
26 388 15 25
疗法 中 医
痊愈
68 737
无效
3 5
合计
112 1155
西 医
注：1.双向无序列联表计算卡方统计量常用单侧检验。 2.若R×C列联表中理论频数出现小于1，或理论频数 出现小于5的格数超过总格数1/5时，必须增大样本例数; 或把理论频数太小的行,列与性质相近的邻行,列合并;
不加牛黄 32 加牛黄 76 合计 108
疗效
治愈 46 50 96 未愈
合计
78 126 204
“疗法”与“疗效”独立（即两组治愈率相同 ） N＝204>40
2 2 N ( O O O O ) 204(32 50 46 76) 2 11 22 12 21 7.1969 O1O2O1O2 78 126 108 96
分析：由于最小理论值为22.14，N=339>40,所以选用普通的卡方 检验。
2 7.469, P 0.006 0.05
所以有理由拒绝吸烟与患病是独立的原假设，即认为 吸烟与患支气管炎是有关的。
S y m m et r i c M e as u r e s Value .147 339 Approx. Sig. .006
实际频数Oij与理论频数Eij的差异是随机误差, 用 Pearson卡方统计量反映实际Oij与理论Eij吻合程度
Eij Oi. O. j N
2 R ,C O ij 2 N 1 i , j 1 Oi O j
df ( R 1)(C 1)
保存为：“吸烟与慢性支气管炎的关系.sav”
(2).个案加权
在SPSS系统中，列联表的输入多采用频数表格的方式， 如果要对此类数据进行卡方分析等，必须采用个案加权 （weight by cases）进行数据处理后才能使用相关的统 计方法。
菜单 “Data” | “Weight Cases”命令
点击“Weight Cases by单选框”，选中“Freqency ”： 选入“频数[count]”。单击OK钮
2 . 四格表独立性检验
例1:某医院收得乙型脑炎重症病人204例,随机分成两 组,分别用同样的中草药方剂治疗,但其中一组加一定 量的人工牛黄,每个病人根据治疗方法和治疗效果进 行分类,得出如下表格:
疗效 治愈 32 76 108 未愈 46 50 96
疗法
合计
不加牛黄 加牛黄 合计
78 126 204
2 2 0.01 (1) 6.6349
H0 ()
统计结论：“疗法”与“疗效”不独立（即两组治愈率不 同） 专业结论：加人工牛黄组疗效高于不加人工牛黄组的疗效。
4.2 Crosstabs 过程 例： 调查339名50岁以上的人的吸烟习惯与患慢性气管 炎病的数据而建立如下列联表，试探讨吸烟与患慢性气 管炎之间的关系。 组别 患病组 健康组 不吸烟 13
给出了4种检验方法的结论。其中, 1）Pearson Chi-Square 即常用的卡方检验 (N≥40，理论频数≥5) 2）Continuity Correction 连续性校正的卡方值 (N≥40，理论频数小于5(但≥1)) 3）Likelihood Ratio 似然比卡方检验 4）Fisher's Exact Test : Fisher's确切概率法 (N<40或理论频数小于1)
Pearson Chi-Square 1 Continuity Correctiona 1 Likelihood Ratio 1 Fisher's Exact Test .007 .004 N of Valid Cases 339 a. Computed only for a 2x2 table b. 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 22.14.
疗法
合计
不加牛黄 加牛黄 合计
78 126 204
列联表：观测数据按两个或更多属性（定性变量）分类 时所列出的频数表。
R×C列联表：分类频数排成R行C列的列联表。 2×2表：二行二列的列联表，又称四格表 。 列联表分析：使用列联表进行分类资料的检验。
※双向无序
单向有序 列联表
双向有序且属性不同 双向有序且属性相同
双向无序四格表
（1） N≥40，理论频数≥5
2
2,2
(Oij Eij ) 2 Eij
i , j 1
N (O11O22 O12 O21 ) 2 O1O2O1O2
2
（2）N≥40，理论频数小于5(但≥1)，用校正卡方统计量
2
i , j 1
2, 2
(| Oij Eij | 0.5) 2 Eij
O型血
130 210 340
AB型血
20 26 46
合计
300 499 799
第一行合计数,第四列合计数最小,最小理论频数
300 46 E14 17.27 5 799 H0:“患癌”与“血型”独立,H1:“患癌”与“血型”
不独立
2
642 862 N( 1) 799 i , j 1 Oi O j 300 189 300 224
点击“Chi-square复 2 值 选框”，计算 选择“Nominal”里 的“Contingency Coefficient”计算 Pearson列联相关 系数。 点击“continue”钮回 到上一对话框
点击”Cells”按钮
【Cells按钮】：用于 定义列联表单元格中 需要计算的指标。
勾选“Counts复选框组 中的输出实际观察数 “Observed”和理论数 “Expected” 选择“Percentages”里 的“column”计算列百分 比。点击“Continue”按 钮返回上一层对话框 。 点击”OK”按钮