因式分解的四种方法(讲义)

因式分解的四种方法（讲义）

课前预习

1．平方差公式：___________________；完全平方公式：_______________________； _______________________．

2．对下列各数分解因数：

210=_________； 315=__________； 91=__________； 102=__________．

3．探索新知：

（1）39999-能被100整除吗？

小明是这样做的：

32299999999991

99(991)

99(991)(991)999800

9998100-=⨯-⨯=⨯-=⨯+-=⨯=⨯⨯ 所以39999-能被100整除．

（2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？

（3）3m m -能被哪些整式整除？

知识点睛

1．__________________________________________叫做把这个多项式因式分解．

2.因式分解的四种方法

（1）提公因式法

需要注意三点：

①公因式要提尽；②首项为负时要提出负号；③提公因式后项数不变．

（2）公式法

两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．

运用公式法时需要注意两点：

①能提公因式先提公因式；②找准公式中的a 和b ．

（3）分组分解法

多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________．

（4）十字相乘法

十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：

2()()()x p q x pq x p x q +++=++

3. 因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是有范围的，目前我们是在______范围内因式分解．

精讲精练

1.下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．

①222233x y x y -=-⋅⋅； ②2(3)(3)9a a a +-=-；

③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2221x x x x x ⎛⎫

++=++ ⎪⎝⎭；

⑥24(2)(2)m m m -=+-；⑦2244(2)y y y -+=-．

2.因式分解（提公因式法）：

（1）2212246a b ab ab -+；

（2）32a a a --+； （3）()(1)()(1)a b m b a n -+---；

（4）22()()x x y y y x ---；

（5）1m m x x -+．

3.因式分解（公式法）：

（1）249x -；

（2）216249x x ++； （3）2244x xy y -+-；

（4）229()()m n m n +--；

（5）22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-；

（6）2(25)4(52)x x x -+-；

（7）228168ax axy ay -+-； （8）44x y -；

（9）4221a a -+；

（10）22222()4a b a b +-．

4.因式分解（分组分解法）：

（1）2105ax ay by bx -+-；

（2）255m m mn n --+； （3）22144a ab b ---；

（4）22699a a b ++-； （5）2299ax bx a b +--；

（6）22244a a b b -+-．

5.因式分解（十字相乘法）：

（1）243x x ++；

（2）26x x +-； （3）223x x -++；

（4）221x x +-； （5）22512x x +-；

（6）2232x xy y +-；

（7）2221315x xy y ++；

（8）3228x x x --．

6.用适当的方法因式分解：

（1）222816a ab b c -+-；

（2）22344xy x y y --； （3）22(1)12(1)16a a ---+；

（4）(1)(2)12x x ++-； （5）2(2)8a b ab -+； （6）222221x xy y x y -+-++．

【参考答案】

课前预习1.； 2. 210=7×5×3×2；315=7×5×3×3；91=13×7；102=17×3×2

3.（2）

∴能被90整除

∴能被1，m ，m +1，m -1，m (m +1)，m (m -1)，(m +1)(m -1)，m (m +1)(m -1)整除 知识点睛

1.把一个多项式化成几个整式的积的形式

2.（2）平方差公式；完全平方公式；（3）公因式；完全平方公式；平方差公式

3.一提二套三分四查；有理数

精讲精练

1.④⑥⑦

2.（1）；（2）；（3）；（4）；

（5）． 3.（1）；（2）；（3）；（4）；

（5）；（6）；（7）；（8）；

（9）；．

4.（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；．

5.（1）；（2）；（3）；（4）；

（5）；（6）；（7）；（8）．

6.（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）． 22()()a b a b a b +-=-222222

()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+；328989898989-=⨯-289(891)

89(891)(891)899088

=⨯-=⨯+⨯-=⨯⨯3223(1)(1)(1)m m m m m m m m m m -=⋅-=-=+-（）38989-3m m -6(241)ab a b -+2(1)a a a -+-()()a b m n -+3()x y -1(1)m x x -+(23)(23)x x +-2(43)x +2(2)x y --4(2)(2)m n m n ++29(2)x y -(25)(2)(2)x x x -+-28()a x y --22()()()x y x y x y ++-22(1)(1)a a +-22()()a b a b +-(5)(2)x y a b --(5)()m m n --(12)(12)a b a b ++--(33)(33)a b a b +++-()(31)(31)a b x x ++-(2)(22)a b a b -+-(1)(3)x x ++(3)(2)x x +-(3)(1)x x --+(21)(1)x x -+(4)(23)x x +-()(32)x y x y +-(5)(23)x y x y ++(2)(4)x x x +-(4)(4)a b c a b c -+--2(2)y x y --2(5)(3)a a --(2)(5)x x -+2(2)a b +2(1)x y --